(完整版)弹塑性力学习题题库加答案
第二章 应力理论和应变理论
2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为：
σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；
试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：
OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0
代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；
OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0
则：cos sin 0
cos sin 0x xy yx
y σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………
（a ）
将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：
()
()()
1cos sin 0cos sin 0
y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩
化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；
化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β
2—17.己知一点处的应力张量为3
1260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦
试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×
103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：
(()()
3
1.2333
3
121010
2217.0831******* 6.082810 4.9172410x y
Pa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯
则显然：
3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=
σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）
()22612
sin 226
12102
cos 2xy
x y
tg τθθσσθ--⨯-++
=
=
==+=--+
显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°
题图
1-3
则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）
2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。
解：由2—11题计算结果知该题的三个主应力分别为：
1σ=20σ=
；3σ=
设σ2与三个坐标轴x 、y 、z 的方向余弦为：l 21、l 22、l 23，于是将方向余弦和σ2值代入下式即可求出σ2的主方向来。
()()()()()()
212222323212222323212223221220
1020
3x yx xz xz yx y yz zy zx zy z yx zy l l l l l l l l l l l l l σσττττσσττττσσττ⎧-++==⎪⎪
+-+==⎨⎪++-=+=⎪⎩
以及：()2
2221
22
23
1
4l l l ++=
由（1）（2）得：l 23=0 由（3）得：2122l a l b =-；2221l b l a
=-； 将
以
上
结
果代入
（4
）
式分别得
：
21l =
=
=
；
22l =
=
=
；
2122a
l l b =
-22l ∴==
同理21l = 于是主应力σ2的一组方向余弦为：
（，
2
2
b a b
+，0）；
σ3
的一组方向余弦为（
2
±
）； 2—20.证明下列等式： （1）：J 2=I 2+2113I ； （3）
：()21
2
ii kk ik ik I σσσσ=--； 证
明
（
1
）
：
等
式
的
右
端
为
：
()()22211223311231133I I σσσσσσσσσ+=-+++++
()()2221231223311223311
2223σσσσσσσσσσσσσσσ=+++++-++ ()()()222123122331122331246666σσσσσσσσσσσσσσσ=+++++-++22212312233126
σσσσσσσσσ⎡⎤=++---⎣⎦
22222211222233331112226σσσσσσσσσσσσ⎡⎤=
-++-++-+⎣⎦()()()222
122331216J σσσσσσ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦
故左端=右端 证明（3）：()21
2
ii kk ik ik I σσσσ=-- 右端=
()1
2
ii kk ik ik σσσσ- ()()()222222122x y z xy yz zx x y z x y z σσστττσσσσσσ⎡⎤=+++++-++++⎣⎦ ()()222222222
1222
x y z xy yz zx x y z x y y z z x σσστττσσσσσσσσσ⎡⎤=+++++----++⎣⎦
()222
2x y y z z x xy yz zx I σσσσσστττ=-++---=
2—32：试说明下列应变状态是否可能（式中a 、b 、c 均为常数）
(1):()222
00000ij c x y cxy cxy cy ε⎡⎤
+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2): ()()()()222222
2222102
102
11022ij axy ax by ax y az by ax by az by ε⎡⎤+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦
(3): ()22200000ij c x y z cxyz cxyz cy z ε⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 解（1）：由应变张量εij 知：εxz =εyz =εzx =εzy =εz =0 而εx 、εy 、εxy 及εyx 又都是x 、y 坐标的函数，所以这是一个平面应变问题。
将εx 、εy 、εxy 代入二维情况下，应变分量所应满足的变形协调条件知：
22
222y xy
x y x x y
εγε∂∂∂+=
∂∂∂∂ 也即：2c +0=2c 知满足。 所以说，该应变状态是可能的。
解（2）：将己知各应变分量代入空间问题所应满足的变形协调方程得：
22
22
22222
22222
222
22
22
y xy
x y yz
z x zx
z xy yz zx x xy yz y zx yz xy zx z y x x y
z y y z x z z x x y z x y z y z x y z x z x y z x y εγεεγεεγεγγγεγγεγγγγε⎫∂∂∂+=⎪∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪+=∂∂∂∂⎪
⎪
∂∂∂+=∂∂∂∂⎬∂∂⎛⎫
∂∂∂+-= ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂⎛⎫∂∂+-=
⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫
∂∂∂+-= ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
………………………………（1） 202000002220cz cz cy cy cx +=⎫
⎪+≠⎪⎪=⎬⎪
=⎪
≠⎪⎭
不满足，因此该点的应变状态是不可能的。 第三章：弹性变形及其本构方程
3-10．直径为D=40mm 的铝圆柱体，紧密地放入厚度为=δ2mm 的钢套中，圆柱受轴向压力P =40KN 。若铝的弹性常数据E 1=70G a p .V 1=0.35,钢的弹性常数E =210G a p 。试求筒内的周向应力。
钢
钢钢E q q E 10102.02104122=
⨯⨯⨯⨯=--ε
∵ 钢铝εε= q =2.8MN /m 2
钢套 228/2qD
MN m t θσ==
t qv r 2=σ ； t
qr
=θσ ； 0=z σ ； 1εσ⋅=E r ；
4-14.试证明在弹性范围内剪应力不产生体积应变，并由纯剪状态说明v =0。 证明：在外力作用下，物体将产生变形，也即将产生体积的改变和形状的改变。前者称为体变，后者称为形变。
并且可将一点的应力张量σij 和应变张量εij 分解为，球应力张量、球应变张量和偏应力张量、偏应变张量。
ij m ij ij
ij
m ij ij s e σσδεεδ=+⎧⎨
=+⎩ 而球应变张量只产生体变，偏应变张量只引起形变。
通过推导，我们在小变形的前提下，对于各向同性的线弹体建立了用
球应力、球应变分量和偏应力分量，偏应变分量表示的广义胡克定律：
()
()
3122m m e ij ij
k k s Ge σε⎧==⎪⎨=⎪⎩ (1) 式中：e 为体积应变 1231
x y z e I εεεεεε'=++=++= 由（1）式可知，物体的体积应变是由平均正力σm 确定，由e ij 中的三个正应力之和为令，以及（2）式知，应变偏量只引起形变，而与体变无关。这说明物体产生体变时，只能是平均正应力σm 作用的结果，而与偏应力张量无关进一步说就是与剪应力无关。物体的体积变形只能是并且完全是由球应力张量引起的。
由单位体积的应变比能公式：31
22
o ov od m m ij ij u u u s e σε=+=+；也可说明物体的体变只能是由球应力分量引起的。
当某一单元体处于纯剪切应力状态时：其弹性应变比能为：
22
1102o ov od xy xy v u u u G E
ττ+=+=+
= 由u o 的正定性知：E >0，1+v >0.得：v >-1。
由于到目前为止还没有v <0的材料，所以，v 必须大于零。即得：v >0。
3-16．给定单向拉伸曲线如图所示，εs 、E 、E ′均为已知，当知道B 点的
应变为ε时，试求该点的塑性应变。
解：由该材料的σ—ε曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。由于B 点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为：εB =ε=εe +εp 故：εp =ε-εe
()()11
e e s s E E E E
E E
σ
εεσεεεεεε''=-=-
+-=-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 111s s s E E E E E E E E E E εεεεεε'''⎛⎫⎛⎫
=-
-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
()1s E E εε'⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭；
3-19．已知藻壁圆筒承受拉应力2
s
z σσ=
及扭矩的作用，若使用Mises 条
件，试求屈服时扭转应力应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值。 解：由于是藻壁圆筒，所可认圆筒上各点的应力状态是均匀分布的。据题
意圆筒内任意一点的应力状态为：（采用柱坐标表示）
0θσ=，0r σ=，2
s
z σσ=
；0r θτ=，z θττ=；0zr τ=；
于是据miess 屈服条件知，当该藻壁圆筒在轴向拉力（固定不变）ρ及扭矩M （遂渐增大，直到材料产生屈服）的作用下，产生屈服时，有：
()()()()1
2222222
6s r z z r r z zr θθθθσσσσσσστττ⎡⎤=-+-+-+++⎣
⎦
1122
2
2
2
2266222s s s
σσσττ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+⎢⎥⎥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎦⎣⎦
解出τ得：2
s
στ=
；
τ就是当圆筒屈服时其横截面上的扭转应力。
任意一点的球应力分量σm 为：3
6
r z
s
m θσσσσσ++=
=
应力偏量为：6
s
m s θθσσσ=-=-
；6
s
r r m s σσσ=-=-
；
2
6
3
s
s
s
z z m s σσσσσ=-=
-
=
；
0r rz r rz s s θθττ====；2
s
z z s θθσττ===
；
由增量理论知：p
ij ij d s d ελ= 于是得：6
p
s
d d s d θθσελλ==-
；6
p s
r r d d s d σελλ==-
；
3p s z z d d s d σελλ==； 0p r r d d s θθελ==；0p
rz rz d d s ελ==；2
p s
z z d d s d θθσελλ==
B
A
C O
tg E
-1tg E
-1ε
εs
tg E ′
-1σs
σ
ε
所以此时的塑性应变增量的比值为：
p d θε：p r d ε：p z d ε：p r d θε：p rz d ε：p
z d θε=6
s
σ⎛⎫- ⎪⎝⎭：6s σ⎛⎫- ⎪⎝⎭：3
s
σ：0：0：
2
s
σ
也即：p d θε：p r d ε：p z d ε：p r d θγ：p rz d γ：p
z d θγ=（-1）：（-1）：2：0：0：
6；
3-20．一藻壁圆筒平均半径为r ，壁厚为t ，承受内压力p 作用，且材料是不可压缩的，1
2
v =
；讨论下列三种情况： （1）：管的两端是自由的； （2）：管的两端是固定的； （3）：管的两端是封闭的；
分别用mises 和Tresca 两种屈服条件讨论p 多大时，管子开始屈服，如已知单向拉伸试验σr 值。
解：由于是藻壁圆筒，若采用柱坐标时，σr ≈0，据题意首先分析三种情况下，圆筒内任意一点的应力状态：
（1）：1pr
t θσσ=
=；2300r z σσσσ===== （2）：1pr t θσσ==；30r σσ==；22z vpr pr
v t t
θσσσ=⋅===；
（3）：1pr t θσσ=
=；30r σσ==；22z pr t
σσ==； 显然知，若采用Tresca 条件讨论时，（1）、（2）、（3）三种情况所得结果相
同，也即：
13
max 2
2
22
s
s pr k t θ
σσσσττ-===
=
=
=
； 解出得：s t
p r
σ=
；
若采用mises 屈服条件讨论时，则（2）（3）两种情况所得结论一样。于是
得：
（1）：()()()
22
2
2
2
2
12233122s
pr pr t t σσσσσσσ⎛⎫⎛⎫=-+-+-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解出得：s t
p r
σ=
；
（2）、（3）：2
2
2
220022s pr pr pr pr t t t t σ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
解出得：p =
； （1）：受内压作用的封闭藻壁圆管。设内压q ，平均半径为r ，壁厚为t ，
材料为理想弹塑性。
（2）：受拉力p 和旁矩作用的杆。杆为矩形截面，面积b ×h ，材料为理想弹塑性。
解（1）：由于是藻壁圆管且t
r
<<1。所以可以认为管壁上任意一点的应力
状态为平面应力状态，即σr =0,且应力均匀分布。那么任意一点的三个主应力为：
1qr t θσσ=
=；30r σσ==；22z qr t
σσ==； 13
max 2
2
22s
r
s qr
t
θσσσσσττ--==
=
=
=； 故得：s qr t σ=； 或：2s qr
t
τ=；
若采用mises 屈服条件，则有：
()()()222
2212233126s s στσσσσσσ==-+-+-
()()()222
z z r r θθσσσσσσ=-+-+-
2
2
2
22
2
3222qr qr qr qr q r
t t t t
t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； 故得：2s t σ=； 或：2s qr
t
τ=；
解（2）：该杆内任意一点的应力状态为单向应力状态，（受力如图示）
1x z
P My
F J σσ=
+= 230y z σσσσ====
且知，当杆件产生屈服时，首先在杆件顶面各点屈服，故知2
h y =+ 得：126x P M
bh bh
σσ==
+；230σσ== 若采用Tresca 屈服条件，则有：
13
max 261
2
2
2
s
s P M bh bh σσσττ-⎛⎫==
=
=+ ⎪⎝⎭； 故得：16s M
P bh h
σ⎛⎫
=
+ ⎪⎝⎭
； 或：162s M P bh h τ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
； 若采用mises 屈服条件，则有：
()()()
2222
222
1223311
262622s s P M bh bh στσσσσσσσ⎛⎫==-+-+-==+ ⎪⎝⎭
故得：16s M P bh h
σ⎛⎫
=
+ ⎪⎝⎭
；或：6s M P h τ⎫=+⎪⎭
； 一般以σs 为准（拉伸讨验）
第五章 平面问题直角坐标解答
5-2：给出axy ϕ=；（1）：捡查ϕ是否可作为应力函数。（2）：如以ϕ为应力函数，求出应力分量的表达式。（3）：指出在图示矩形板边界上对应着什
么样的边界力。（坐标如图所示） 解：将axy ϕ=代入4
0ϕ∇=式 得：2
2
0ϕ∇∇= 满足。 故知axy ϕ=可作为应力函数。 求出相应的应力分量为：
220
x y
ϕσ∂==∂；
220
y x
ϕσ∂==∂；
2xy
a x y ϕτ∂=-=-∂∂； 上述应力分量0x y σσ==；
xy a τ=-在图示矩形板的边界上对应着如图所示边界面力，该板处于纯剪切应力状态。
5-4：试分析下列应力函数对一端固定的直杆可解出什么样的平面问题。
222
332342x F x
F y q q xy
y c c c ϕσ∂⎛⎫
==-
+=- ⎪∂⎝⎭
；
220y x
ϕ
σ∂==∂；
22222223312142424xy
z F y F h F h y y x y c
c h J ϕτ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=-=-
-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪
∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭
y
o
x
τxy =-a
τyz =-a
；
显然上述应力分量在ad 边界及bc 边界上对应的面力分量均为零，而在ad 边界上则切向面力分量呈对称于原点o 的抛物线型分布，指向都朝下，法向面力为均布分布的载荷q 。
显然法向均布载荷q 在该面上可合成为一轴向拉力p 且p =2cq ；而切向面力分量在该面上则可合成为一切向集中力：
2
2
22223233222223323366432638842222
h
h
h h h
xy h h h h h F h F F Fdy dy dy y dy y h h F h h Fh h h F F F h h τ-----⎡⎤-==-=+-=⎢⎥⎣⎦
⎛⎫⎛⎫=-+++=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰
而cd 边界则为位移边界条件要求，u =0，v =0，w =0以及转角条件。 由以上分析可知，该应力函数对于一端固定的直杆（坐标系如图示），
可解决在自由端受轴向拉伸（拉力为p =2cq ）和横向集中力F 作用下的弯曲问题。（如图示） 5-6：已求得三角形坝体的应力 为：
x y
xy yx xz xz zy yz z ax by
cx dy dx ay x σσττγττττσ=+⎧⎪=+⎪⎨
==---⎪⎪=====⎩ 其中γ为坝体的材料容重，γ1为水的容重，试据边界条件求出常数a 、解：据图示列出水坝OA 边界和OB 边界面上的应力边界条件： OB 边：x =0 , l =cos(180°)=-1 ， m =0 , T x =γy , T y =0
故得：()
()
10
x x xy y T y
a T
b σγτ-==⎧⎪⎨
-==⎪⎩ OA 边：x =y tg β ，l =cos β, m =cos (90°+β)=-sin β , T x =T y =0 故有： ()()
cos sin 0
cos sin 0
x xy yx y c d σβτβτβσβ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 将0
x
x ax by by σ==+=代入（a ）式得：1b γ=-；
将：0
xy
x ay τ==-代入（b ）式得：()0ay --= 得a=0；
将x σ、xy τ代入（c ）式得：2
1d ctg γβγ=-；
将y σ、yx τ代入（d ）式得：3
12c ctg ctg γβγβ=-；
弹塑性力学习题解答
第一、二章作业 一、选择题： 1．弹性力学的研究对象是 B 。 A．刚体；B．可变形固体；C．一维构件； D．连续介质；2．弹性力学的研究对象是 C几何尺寸和形状。 A．受到…限制的物体； B．可能受到…限制的物体； C．不受…限制的物体； D．只能是…受限制的任何连续介质； 3．判断一个张量的阶数是根据该张量的C确定的。 A．下标的数量； B．哑标的数量； C．自由标的数量； D．字母的数量。4．展开一个张量时，对于自由下标操作的原则是按其变程C。 A．一一罗列； B．先罗列再求和； C．只罗列不求和； D．一一求和。 5．展开一个张量时，对于哑脚标操作的原则是按其变程B。 A．一一罗列； B．先罗列再求和； C．只罗列不求和； D．一一求和。 6．在弹性力学中，对于固体材料（即研究对象）物性组成的均匀性以及结构上的连续性等问题，提出了基本假设。这些基本假设中最基本的一条是 A。 A．连续性假设； B．均匀性假设； C．各向同性的假设； D．几何假设——小变形条件； 7．从一点应力状态的概念上讲，当我们谈及应力，必须表明的是D。 A．该应力的大小和指向，是正应力还是剪应力； B．该应力是哪一点处的正应力和剪应力，还是全应力； C．该应力是哪一点处的应力 D．该应力是哪一点处哪一微截面上的应力，是正应力还是剪应力。 8．表征受力物体内一点处的应力状态一般需要__B_应力分量，其中独立的应力分量有_C__。 A． 18个； B． 9个； C． 6个； D． 2个。9．一点应力状态的主应力作用截面上，剪应力的大小必定等于___D_________。 A．主应力值； B．极大值； C．极小值； D．零。10．一点应力状态的最大（最小）剪应力作用截面上的正应力，其大小_____D_______。 A．一般不等于零； B．等于极大值； C．等于极小值； D．必定等于零。
弹性与塑性力学第2,3章习题答案
第二章 2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij 为σij =?? ?? ??????1003100031001000000 （应力单位） 求出： （a ）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n =（1/2，1/2，1/2）； （b ）应力主轴的方位； （c ）主应力的大小； （d ）八面体应力的大小； （e ）最大剪应力的大小。 解答： (a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量n T i ，得 n T 1=σ1j n j =σ11n 1+σ12n 2 +σ13n 3 = 0 ;同样 n T 2= j n j =272.47 n T 3=σ3j n j =157.31 所以，应力矢量n T 的大小为 =n T [(n T 1 )2 +(n T 2 )2 +(n T 3)2]1/2=314.62 (b)(c)特征方程：σ3—I 1σ2 + I 2σ—I 3=0 其中I 1 =σij 的对角项之和、I 2 =σij 的对角项余子式之和、I 3 =σij 的行列式。 从一个三次方程的根的特征性可证明： I 1 =σ1+σ2+σ3 I 2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 I 3=σ1σ2σ3 其中得，σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。 将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n 12+ n 22 + n 32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i （1）=（0， ±0.866，±0.5） n i （2）=（0， μ0.5，±0.866） n i （3）=（±1， 0，0） 注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。 (d ）由式（2.96），可算 σotc =1/3（0+100+300）=133.3 τotc =1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56 (e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax =200
同济大学弹塑性力学试卷及习题解答.
弹塑性力学试卷及习题解答弹塑性力学试卷配套教材《弹性与塑性力学》陈惠发 1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。 ）（每小题 2 分）（1）物体内某点应变为0 值，则该点的位移也必为0 值。 （2）可用矩阵描述的物理量，均可采用张量形式表述。 3）因张量的分量是随坐标系的变化而变化，故张量本身也应随坐标系变化。（） 4）弹性的应力和应变张量两者的主方向是一致性，与材料无关的。（） 5）对于常体力平面问题，若应力函数x,y 满足双调和方程 2 20，那么， 由x,y 确定的应力分量必然满足平衡微分方程。（）（6）若某材料在弹性阶段呈各向同性，故其弹塑性状态势必也呈各向同性。（）（7）Drucker 假设适合于任何性质的材料。（）（8）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。（） （9）对于任何材料，塑性应变增量均沿着当前加载面的法线方向。（）（10）塑性应变增量的主方向与应力增量的主方向不重合。P107；226 （） 2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（每小题 2 分）（1）设x,y a1x a2x y a3y ，当a1,a2,a3满足_________________________________ 关系时x,y 能作为应力函数。 （2）弹塑性力学是研究固体受外界因素作用而产生的______________________ 的一门学科。（3）导致后继屈曲面出现平移及扩大的主要原因是材料_______________________ 。 （4）π 平面上的一点对应于应力的失量的 _____________________ 。P65 （5）随动强化后继屈服面的主要特征为：__________________________________________ 。（6）主应力轴和主应变轴总是重合的材料为_______________________ 。P107 （7）相对位移张量ij 通常____ 对称的，对于小变形问题由此引起的位移含______________ ________________________________ 。P75、76 （8）若f ij ij k 0 ，请分别简述ij ,k, 的真正含义及对应的强化描述： P236～238
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第二章 应力理论和应变理论 2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及 306.768 6.77() 104 sin 2cos 2sin 602cos 6022 1 32 3.598 3.60() 22 x y xy MPa MPa σστατα=----+= ?+= ?-=-?-?=-- 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τ xy = +2 3030( )cos 2sin 22 2 1041041cos 602sin 607322226.768 6.77()104 sin 2cos 2sin 602cos 602 2 1 32 3.598 3.60()2 x y x y xy x y xy MPa MPa σσσσσατα σστατα+-= ++---+= ++=--?+=----+=- ?+=- ?+=+?= 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。 2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。 解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得： 题图 1-3
c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z N A z z A A γσγ??= ==?； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为： z z z E E σγε= = ； 则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为： ()2 2z z z z z z z z y z z l d l d d zd E E E γγ γε=???=??=? = ?= ； 显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）： ()2 222l l A l l W l l d l E EA EA γγ?????=??= = = ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-????+-?? ??--?? 应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i （也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P 、正应力σn 及剪应力τ n 。 题—图 16
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第二章 应力理论和应变理论 2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0 cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩……………………………… （a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： () ()() 1cos sin 0cos sin 0 y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩ 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12× 103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： (()() 3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410x y Pa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯ 则显然： 3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯= σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算） ()22612 sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--⨯-++ = = ==+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 题图 1-3
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1 / 218 弹塑性力学2008级试题 一 简述题（60分） 1）弹性与塑性 弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变 形不能恢复残留下来的这一性质。 2）应力和应力状态 应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3）球张量和偏量 球张量：球形应力张量，即σ=0 00000m m m σσσ?????????? ，其 中()1 3 m x y z σσσσ=++ 偏 量 ： 偏 斜 应 力 张 量 ， 即 x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ?? -??=-????-?? ，其中
2 / 218 ()1 3 m x y z σσσσ= ++ 5）转动张量：表示刚体位移部分，即 1102211022110 22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ? ? ?? ??????--?? ? ? ??????? ???? ? ? ?????????? =-- ? ??? ? ???????????????????????-- ? ? ????????? ?? ?? 6）应变张量：表示纯变形部分，即 112211221122u u v u w x y x z x v u v v w ij x y y z y w u w v w x z y z z ε?? ?? ???????++? ? ? ? ???????? ???? ? ? ????? ?????? =++ ? ??? ? ???????????? ?? ?? ?????????++ ? ? ?????????? ?? ?? 7）应变协调条件：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性，因此各应变分量之间，必须要有一定得关
同济大学弹塑性力学试卷及习题解答教学文案
弹塑性力学试卷及习题解答 弹塑性力学试卷 配套教材《弹性与塑性力学》陈惠发 1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）（每小题2分） （1）物体内某点应变为0值，则该点的位移也必为0值。 （ ） （2）可用矩阵描述的物理量，均可采用张量形式表述。 （ ） （3）因张量的分量是随坐标系的变化而变化，故张量本身也应随坐标系变化。（ ） （4）弹性的应力和应变张量两者的主方向是一致性，与材料无关的。 （ ） （5）对于常体力平面问题，若应力函数()y x ,?满足双调和方程02 2 =???，那么， 由()y x ,?确定的应力分量必然满足平衡微分方程。 （ ） （6）若某材料在弹性阶段呈各向同性，故其弹塑性状态势必也呈各向同性。 （ ） （7）Drucker 假设适合于任何性质的材料。 （ ） （8）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。（ ） （9）对于任何材料，塑性应变增量均沿着当前加载面的法线方向。 （ ） （10）塑性应变增量的主方向与应力增量的主方向不重合。P107；226 （ ） 2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（每小题2分） （1）设()4322241,y a y x a x a y x ++=?，当321,,a a a 满足_______________________关系时 ()y x ,?能作为应力函数。 （2）弹塑性力学是研究固体受外界因素作用而产生的______________________的一门学科。 （3）导致后继屈曲面出现平移及扩大的主要原因是材料______________________。 （4）π平面上的一点对应于应力的失量的______________________。P65 （5）随动强化后继屈服面的主要特征为：___________________________________________。 （6）主应力轴和主应变轴总是重合的材料为______________________。P107 （7）相对位移张量ij ε通常_____对称的，对于小变形问题由此引起的位移含______________ ________________________________。P75、76 （8）若() ()0=--κασk f ij ij ，请分别简述κα,,k ij 的真正含义及对应的强化描述： ___________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________。 P236～238
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第二章 应力理论和应变理论 2— 15.如 所示三角形截面水 材料的比重 γ，水的比重 γ 1。己求得 力解 ： σ x = ax+by ， σy =cx+dy- γy ， τxy =-dx-ay ； 根据直 及斜 上的 界条件，确定常数 a 、b 、c 、 d 。 解：首先列出 OA 、 OB 两 的 力 界条件： OA ：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x= γ1 y ； T y =0 σx =-γ1y ； τ xy =0 代入： σx =ax+by ； τxy =-dx-ay 并 注 意 此 ： x =0 得 ： b=- γ1； a=0； OB ： l 1=cos β ； l 2=-sin β， T x =T y =0 ： x cos xy sin 0 yx cos y sin ???????????? （ a ） 将己知条件： σ x= 1 xy =-dx y γ y -γ y ； τ ； σ =cx+dy- 代入（ a ）式得： 1 y cos dx sin 0L L L L L L L L L b dx coscx dy y sin L L L L L L L L L 化 （ b ）式得： d = γ1 2 β； ctg T 4 n 2 τ 30° δ 30° 30° 化 （ c ）式得： c =γctg β -2γ 1 3 y ctg β 10 x 10 O x 12 6 τxy 103 Pa 2— 17.己知一点 的 力 量 6 10 0 0 0 δ y 求 点的最大主 力及其主方向。 x 题1-3 图 解：由 意知 点 于平面 力状 ，且知： σx =12× O 103 σ y =10× 103 τ xy =6× 103，且 点的主 力可由下 式求得： β 2 12 10 12 2 1.2 x y x y 2 102 3 n 2 2 xy 2 2 6 10 β γ 1y 11 37 103 11 6.0828 103 17.083 10 3 Pa γ 3 4.91724 10 B A 然 ： y 1 17.083 10 3 Pa 2 4.917 10 3 Pa 30 σ 1 与 x 正向的 角 ： （按材力公式 算） c 2 xy 2 6 12 sin 2 tg 2 12 10 2 6 x y cos2 然 2θ 第Ⅰ象限角： 2θ=arctg （ +6） =+80.5376 °
弹塑性力学试题--答案要点
一、判断题（本题18分，每小题3分） 1、弹性体的应力就是一种面力。 （ ×） 2、弹性体中任意一点都有x y r θσσσσ+=+ （√ ） 3、物体是弹性的就是说应力和应变之间的关系是直线。 （ ×） 4、极坐标系下的弹性力学方程只能用来描述具有轴对称性的受力物体。 （ ×） 5、下图为线性硬化弹塑性材料。 （ √） 图1 6、平面应力与平面应变问题的平衡方程、几何方程、物理方程完全相同。 （×） 二、概念解释（本题16分，每小题2分） 1、塑性； 2、屈服准则； 3、外力（即外荷载）； 4、均匀性，各向同性； 5、主应力和主方向； 6、翻译：主应力，剪应变，平面应变问题 三、简答题（本题17分） 1、简述半逆解法的适用条件及其实施的主要过程。（6分） 主要使用条件是常体力平面问题，这时候可以使用基于应力函数的解法。 半逆解法的主要实施过程 （a ）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分或者全部应力分量的某种函数形式； （b ）根据应力分量与应力函数的关系以及用应力函数给出的变形协调关系，确定应力函数的形式； （c ）再次利用应力分量与应力函数的关系求出应力分量，并让其满足边界条件，对于多联通域，还要满足位移单值条件。 2、简述圣维南原理及其作用 （6分） 圣维南原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。可以推广为：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计 3、在主轴坐标系下，线弹性体应变能密度是()1122331 2 U σεσεσε=++，请将其写成约定求和的指标记法。（5分） 解答：()11223311 i=1,2,322 i i U σεσεσεσε= ++=
弹塑性力学试题答案完整版
弹塑性力学2008、2009级试题 一、简述题 1）弹性与塑性 弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残留下来的这一性质。 2）应力和应力状态 应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3）球张量和偏量（P25） 球张量：球形应力张量，即σ=0 00000m m m σσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，其中()13m x y z σσσσ=++ 偏量：偏斜应力张量，即x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ⎡⎤ -⎢⎥ =-⎢⎥⎢⎥-⎣ ⎦，其中()13 m x y z σσσσ=++ 4）描述连续介质运动的拉格朗日法和欧拉法 拉格朗日描述也被称为物质描述，同一物质点在运动过程中的坐标值不变，物质体变形表现为坐标轴变形、基矢量的随体变化。 采用拉格朗日描述时，在变形过程中网格节点和积分点始终与物质点一致，便于精确描述材料特性、边界条件、应力和应变率； 欧拉描述也被称为空间描述。在欧拉描述中，当前构形被离散化，初始构形(参考构形)是未知的。由于采用了物质对固定网格的相对运动，它具有以下优点： 欧拉描述便于对固定空间区域特别是包含流动、大变形和物质混合问题的建模。 5）转动张量：表示刚体位移部分，即 1102211022110 22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ⎡ ⎤ ⎛⎫ ⎛⎫∂∂∂∂--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭ ⎢ ⎥ ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥ =-- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥ ⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭ ⎝⎭ ⎣⎦ 6）应变张量：表示纯变形部分，即
弹塑性力学习题及答案
DOC 文档资料 本教材习题和参考答案及部分习题解答 第二章 2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 答案 (1)pi iq qj jk pk δδδδδ=; 答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-; 解：(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。 （需证明） 2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明： 2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证：因为1 231 111232221 2 33 3 3i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ， 所以 1 231111232221 2 33 3 3 1 231 1112 322 212 333 3det det()i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即得 123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明： ()()()()()()⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅a b c d a c b d a d b c 证明：()()⨯⨯=a b c d ⋅
工程弹塑性力学课后答案
工程弹塑性力学课后答案 【篇一：弹塑性力学思考题答案】 一点的应力状态？ 答：通过一点p 的各个面上应力状况的集合⒉一点应变状态？答：[受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变与剪应变(任意两相互 垂直方向所夹直角的改变量)的总和，就表示了该点的应变状态。] 代表一点 p 的邻域内线段与线段间夹角的改变 ⒊应力张量？应力张量的不变量？应力球张量？体积应力？平均应力？应力偏张量？偏应力第二不 变量j2的物理意义？单向应力状态、纯剪应力状态的应力张量？给 出应力分分量，计算第一，第二不变量。 答：应力张量：代表一点应力状态的应力分量，当坐标变化时按一 定的规律变化，其变换关系符合 ??x?xy?xz???????????yxyyz???zx?zy?z???。其 中：?=?，?=?，?=?。 xzzxxyyxyzzy 应力张量的不变量：对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应 力数值,即j1,j2,j3是不变量,不随 着坐标轴的变换而发生变化。所以j1,j2,j3分别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。 应力张量可分解为两个分量 0???x-?m?xy?xz???m0 ??+???ij??0?0????mymyz?，等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应???yx ?0?m??zy?z??m??0????zx? 力偏张量。 应力球张量：应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），只 产生体积变形，不产生形状变形，任何切面上的切应力都为零，各 方向都是主方向。 应力偏张量：应力偏张量，引起形状变形，不产生体积变形，切应 力分量、主切应力、最大正应力 11 平均应力：?m?(?x??y??z)?(?1??2??3)，?m为不变量,与坐标无关。
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弹塑性力学简答题 2002年 1 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明?P24 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，应力大小均为平均应力。偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2 从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。P48 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看,物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入",即产生不连续。 3 两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数)等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么? 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 4 虚位移原理等价于哪两组方程?推导原理时是否涉及到物理方程?该原理是否适用于塑性力学问题？P156 平衡微分方程和静力边界条件。不涉及物理本构方程。适用于塑性力学问题。 5 应力状态是否可以位于加载面外？为什么?P239 当应力状态从加载面上向加载面外变化时，将产生新的塑性变形，引起内变量增加，这时,加载面会随之改变，使得更新的应力状态处在更新的加载面上. 6 什么是加载?什么是卸载？什么是中性变载?中性变载是否会产生塑性变形?P250 加载：随着应力的增加，应变不断增加，材料在产生弹性变形的同时，还会产生新的塑性变形,这个过程称之为加载。 卸载:当减少应力时,应力与应变将不会沿着原来的路径返回，而是沿接近于直线的路径回到零应力，弹性变形被恢复,塑性变形保留,这个过程称之为卸载。
中性变载：应力增量沿着加载面，即与加载面相切.应力在同一个加载面上变化，内变量将保持不变，不会产生新的塑性变形,但因为应力改变，会产生弹性应变。 7 用应力作为未知数求解弹性力学问题时，应力除应满足平衡方程外还需要满足哪些方程？P93 协调方程和边界条件。 8 薄板弯曲中，哪些应力和应变分量较大？哪些应力和应变分量较小？P121 平面内应力分量（x y xy σστ、、）最大，最主要的是应力，横向剪应力（z y xz ττ、）较小，是次要 的应力；z 方向的挤压应力z σ最小，是更次要的应力。 应变分量：x y xy εεγ、、较大，0z xz zy εγγ===较小 9 什么是滑移线？物体内任意一点沿滑移线的方向的剪切应力是多少？P310 在塑性区内，将各点最大剪应力方向作为切线而连接起来的线，称之为滑移线. 剪切应力是最大剪应力。 10 什么是随动强化?试用单轴加载的情况加以解释？P206 材料在加载反向加载的过程中,若反向屈服应力的降低程度正好等于正向屈服应力提高的程度，称为随动强化。 在单轴加载的情况下，若压缩屈服应力提高的程度等于拉伸屈服应力降低的程度，即为随动强化. 2003 1弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么？ 对于弹性体的本构关系，一点的应变取决于该点的应力状态，应变是应力状态的函数 进入塑性状态后，应变不仅取决于应力状态，而且还取决于应力历史 2偏应力第二不变量2J 的物理意义是什么? 2J 与弹性状态的形状改变能成正比，也与材料八面体上的剪应力成比例 3虚位移原理是否适用于塑性力学问题?为什么?P156
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案....................................... 第三章习题答案....................................... 第四章习题答案....................................... 第五章习题答案....................................... 第六章习题答案....................................... 第七章习题答案....................................... 第八章习题答案....................................... 第九章习题答案....................................... 第十章习题答案....................................... 第十一章习题答案..................................... 第二章习题答案 2.6设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 2.7利用上题结果求应力分量为时，过平面 处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系
可求得。 最终的结果为 2.8已知应力分量为，其特征方程为三次 多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式 ，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 2.9已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 2.10已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，，
武汉大学弹塑性力学课程习题集+答案
应力解 平衡方程： 0F z y x x =+∂∂+∂∂+∂∂zx yx x ττσ，几何方程：x u x ∂∂=x ε，x u y u y x xy ∂∂+∂∂=γ， 物理方程：v x λεεσ+=2G x ，xy γτG xy =，边界条件x zx yx x T n m l =++ττσ 1、如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为γ，试写出边界条件 解：在x =0上，l = -1，m =0， (σx )x=0⋅ (-1) +(τyx )x =0⋅0 = γy (τxy )x =0⋅ (-1) +(σy )x =0⋅0 = 0 (σx )x =0=－γy (τxy )x =0⋅ 在斜边上 l = cos α，m = -sin α σx cos α - τyx sin α = 0 τxy cos α -σy sin α = 0 2、半无限空间体受均布荷载作用 根据问题的对称性，位移应只是z 的函数 u z =w (z ) 体积应变是dz dw z u y u x u z y x v =∂∂+∂∂+∂∂= ε 代入平衡微分方程 ()0222=++g dz w d G ρλ，()()()()B A z g E w ++--+-=212211ρννν 应力是()A z G v v y x +-- ==ρσσ1，()A z G z +-=ρσ，0===zx yz xy τττ 应用边界条件求待定常数：l =m =0，n =1，0==y x T T ，q T z = 边界条件是：σz ⎪z =0=q 得A =q /ρg ，B 代表刚度位移，应由位移边界条件确定 3、用应力函数ϕ=dxy 3+bxy 求解悬臂梁一端受集中力作用下问题的应力解（不考虑体积力）。 解：（1）显然满足变形协调方程（2）满足静力边界条件 由应力函数求应力分量 dx y 6y 22=∂∂=ϕσx ，0x 22=∂∂=ϕσy ，b dy 3y x 22--=∂∂∂-=ϕτxy （a ） 边界条件：在2h y ± =处，()02=±=h y y σ，()02 =±=h y xy τ （b ） （a ）代入（b ）得： 0)2 (32 =--b h d （c ） 在x =0的边界（l = -1，m = 0）上，力边界条件要求 0dxy 61m l X 0=-=⋅-=+==x x yx x στσ，b dy 31m l Y 2+=⋅-=+=xy y xy τστ O α 1 y x q z x
弹塑性力学试卷及弹性力学教材习题及解答
二、填空题：（每空2分，共8分） 1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的-------个独立的应力分量，它们分别是-------。（参照oxyz直角坐标系）。 2、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关系的表达式叫---------方程，它的缩写式为-------。 三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小题4分，共16分。） 1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器出现破裂。裂纹展布的方向是：_________。 A、沿圆柱纵向（轴向） B、沿圆柱横向（环向） C、与纵向呈45°角 D、与纵向呈30°角 2、金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。该板危险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力__________倍。 A、2 B、3 C、4 D、5 3、若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点，沿x、y、z直角坐标系三轴线方向上的位移分量。）则在该点处的应变_________。 A、一定不为零 B、一定为零 C、可能为零 D、不能确定 4、以下________表示一个二阶张量。 A、B、C、D、 四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共8分） 1、；（i ，j = 1，2，3 ）； 2、； 五、计算题（共计64分。） 1、试说明下列应变状态是否可能存在： ；（） 上式中c为已知常数，且。 2、已知一受力物体中某点的应力状态为：
式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量 之和。为平均应力。并说明这样分解的物理意义。 3、一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。若选取＝ay2做应力函数。试求该物体的应力解、应变解和位移解。 （提示：①基础绝对刚性，则在x＝0处，u＝0 ；②由于受力和变形的对称性，在y＝0处，v＝0 。） 题五、3图 4、已知一半径为R＝50mm，厚度为t＝3mm的薄壁圆管，承受轴向拉伸和扭转的联合作用。设管内各点处的应力状态均相同，且设在加载过程中始终保持，（采用柱坐标系， r为径向，θ为环向，z为圆管轴向。）材料的屈服极限为＝400MPa。试求此圆管材料屈服时 。 （采用Mises屈服条件）的轴向载荷P和轴矩M s （提示：Mises屈服条件：；） 填空题 6 平衡微分方程 选择ABBC
弹塑性力学习题解答讲课教案
弹塑性力学习题解答
加用亦利十斑也二网和眇料普" 莎艇倂勒咖MA 即扌O 申"* “莎 ^Gi-ftt 卞為加氓$扌陆 斗十弊p 申 畅竝甲诽呼用石 旳 0耕和嗣网懸札倔删槪鼬的勧嗚鼬 册创*护 覘啣：城血=加=@耳 就羊诚亦3轴矽滿 鳞權欄比坤地砂融站枫齐R 护故嘶 说紐概矽应娥恥 喩蹄0］囲锻可 I 躺谢⑪二卜加E r I 0 9 ffj ( Q P d 严仏如阳M 土五丙环躡j "乌刃 X 如怖则越腐莎J =出俪純训 阳二扌f 删咖0 =妙 H 瞬-葩卿豎釉擁撤 翩駆麻机时静 辭澀外枷权 抑布風蒂貂騎*审葩驱屈舉 解嗣枷翎&审卜醃飙够牝 睾M?应力如二#宙种痛加 1 ，‘ 右粧的抽被曙釣T 炸欝喘 訓顒■關 加书:抚鬲=… 肚和楊 f 矗勿叽砖就^ - 弟歸旅0,＞吋仙坤丄屆 丽碣！ 如p 轉儿在场 m 埠我陌猛』珞呎离赢阴 壮敝旳 塑性: 腎化w 屮肿覲斑喊畑口 种W 晞倂什前甌7确歳 疇彌跑制賊滿頁以门 '■■ 5? 0-^0 0 血⑴ t (9^,1) 二 対豹枷钟林曲初絆和F 扌小窝艇澜方 曲貳補样 於癩Jf 直/擁期硼必羿 鱗恥警^警皿 删" n 怦啊L _菲 翫时了 鼻“溺q 站鏑)谒诲总 ”(心济专巧新掃十旷 二卅 加玷怖卅泌仙科砒工和 口敢购鴻啊 ㈱吋」二弹里企= .丫则咄样 caa 即 小 Qi A 晞 A % 閉g 煽删紳 2於珂口”血杯确血片｛盼 鮒岭碍厲彩艸
2- H 试列出题2-8图3応题2 £图(2所示何髓的全部辿界蛋件•住其端 那边界上■应用 呈维雨原理列出三个职分的应力边界条件” ［MI (1)时干图冷)的问矚 住左腰边界JT —2—b 上*应精确滿現下列边界条件’ “八 4 =—睐* "」「宀=OS I e )“ = — fifty ・ Cr )r = 0 . 在小谊界t 欣要边界^=仃上•能稱确满足卜■列边界条件= S X —q = — 胡 I -
弹塑性力学课程作业 参考答案
弹塑性力学课程作业1 参考答案 一．问答题 1. 答：请参见教材第一章。 2. 答：弹塑性力学的研究对象比材料力学的研究对象更为广泛，是几何尺寸和形态都不受任何 限制的物体。导致这一结果的主要原因是两者研究问题的基本方法的不同。 3. 答：弹塑性力学与材料力学、结构力学是否同属固体力学的范畴，它们各自求解的主要问 题都是变形问题，求解主要问题的基本思路也是相同的。这一基本思路的主线是：（1）静 力平衡的受力分析；（2）几何变形协调条件的分析；（3）受力与变形间的物理关系分析； 4. 答：“假设固体材料是连续介质”是固体力学的一条最基本假设，提出这一基本假设得意 义是为利用数学中的单值连续函数描述力学量（应力、应变和位移）提供理论依据。 5. 答：请参见本章教材。 6. 答：略（参见本章教材） 7. 答：因为物体内一点某微截面上的正应力分量 σ 和剪应力分量τ 同材料的强度分析 问题直接相关，该点微截面上的全应力则不然。 8. 答：参照坐标系围绕一点截取单元体表明一点的应力状态，对单元体的几何形状并不做 特定的限制。根据单元体所受力系的平衡的原理研究一点的应力状态。研究它的目的是： 首先是了解一点的应力状态任意斜截面上的应力，进一步了解该点的主应力、主方向、 最大（最小）剪应力及其作用截面的方位，最终目的是为了分析解决材料的强度问题。 9．答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 10. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 11. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 这样分解的力学意义是更有利于研究材料 的塑性变形行为。 12. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。）纳唯叶 (Navier) 平衡微分方程的力学意 义是：只有满足该方程的应力解和体力才是客观上可能存在的。 13. 答：弹塑性力学关于应力分量和体力分量、面力分量的符号规则是不一样的。 它们的 区别请参见教材。 14、答：弹塑性力学的应力解在物体内部应满足平衡微分方程和相容方程（关于相容方程 详见第3、5、6章），在物体的边界上应满足应力边界条件。该应力解才是客观的、真 实存在的唯一的解。 二、填空题： 1、 6 ； zx yz xy z y x τττσσσ、、、、、 ； 2． 平衡微分方程 ； 0=+'i j j i F σ ； 三．选择题参考答案：