弹塑性力学复习思考题

研究生弹塑性力学复习思考题

1. 简答题：

（1） 什么是主平面、主应力、应力主方向？简述求一点主应力的步骤？

（2） 什么是八面体及八面体上的剪应力和正应力有何其特点 （3） 弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么？ （4） 偏应力第二不变量J 2的物理意义是什么？

（5） 什么是屈服面、屈服函数？Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件的几何

与物理意义是什么？

（6） 什么是Drucker 公设？该公设有何作用？（能得出什么推论？） （7） 什么是增量理论？什么是全量理论？ （8） 什么是单一曲线假定？

（9） 什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？在弹性范围内这两类问题之间有

和联系和区别？

(10) 论述薄板小挠度弯曲理论的基本假定？

二、计算题

1、已知P 点的应力张量为

31110

21

2

0ij σ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

求该点的主应力、主方向及最大剪应力

2、 利用应变协调条件检查其应变状态是否存在存在？

，

（1）εx =Axy 2，εy =Bx 2y ，γxy =0，A 、B 为常数

222(),,2x y xy k x y ky kxy εεγ=+== k 为常数

（2）2

22

22

5ij x y xz y

z z xz z ε⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

3、写出如下问题的边界条件

(a)用直角坐标，（b）用极坐标

P

l θ

r

θ

r

θ

r

4、 正方形薄板三边固定，另一边承受法向压力b

x

p p π-=sin

0，如图所示，设位移函数为 0=u b

y b x

a v 2sin sin

2ππ= 利用Ritz 法求位移近似解（泊松比ν=0）。

y

x

a b

A B

C

O

（第4题图） （第6题图）

5、悬臂梁在自由端受集中力P 作用，如图所示。试用极小势能原理求最大挠度

第5题图 提示设梁的挠曲线为

6、对给定的应力函数：

（1）32223123,,Ax y Bx y Cxy ϕϕϕ===，试确定它们哪个能作为平面问题的应力函数，并分析它们能解什么问题？

（2）证明32

23[]434F xy P xy y c c c

ϕ=-+可以作为应力函数，并求在区域0,x c y c -区

域内的应力分量，并分析该应力函数可以解决那类平面问题。

7．如图所示矩形截面柱承受偏心载荷作用，且不计其重量，若应力函数32

Ax Bx ϕ=+，试 求：

（1）应力分量；（2）应变分量；（3）假设D

点不移动，且该点处截面内线单元不能转动

x

23

23w a x a x =+

（0,0

0x y u y ==⎛⎫

∂=

⎪

∂⎝⎭），求位移分量

8、图示三角形截面梁只受重力作用，梁的质量密度为ρ，宽度为1，试用纯三次应力函数求解各应力分梁。

9.如图所示的楔形体两侧面上受有均布切向载荷q ，试求其应力分量。

y

10.已知一圆形薄管，平均半径为a,厚度为t,在薄管的两端受有拉力p 和扭矩T 作用，写出管内一点处的Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件表达式。

11．如图所示的矩形薄板OABC ，OA 边与BC 边为简支边，OC 边与AB 边为自由边。板不受横向荷载，但在两个简支边上受大小相等而方向相反的均布弯矩M 。试证，为了将薄板弯成柱面，即w =f (x )，必须在自由边上施加以均布弯矩νM 。并求挠度和反力。 12．如图所示的矩形板，使用板的挠度表示相应的边界条件。

13、试证明用位移表示的平衡方程为

,,()0i jj i i Gu G X λ++Θ+= 其中 ii u v w x y z

ε∂∂∂Θ=

++=∂∂∂为体积应变 （提示广义胡克定律的另外一种表达形式为

2ij ij kk ij G σελεδ=+）

14、试以矩形薄板（第12题）为例说明自由边等效剪力的含义。

x

y

弹塑性力学习题解答

第一、二章作业 一、选择题： 1．弹性力学的研究对象是 B 。 A．刚体；B．可变形固体；C．一维构件； D．连续介质；2．弹性力学的研究对象是 C几何尺寸和形状。 A．受到…限制的物体； B．可能受到…限制的物体； C．不受…限制的物体； D．只能是…受限制的任何连续介质； 3．判断一个张量的阶数是根据该张量的C确定的。 A．下标的数量； B．哑标的数量； C．自由标的数量； D．字母的数量。4．展开一个张量时，对于自由下标操作的原则是按其变程C。 A．一一罗列； B．先罗列再求和； C．只罗列不求和； D．一一求和。 5．展开一个张量时，对于哑脚标操作的原则是按其变程B。 A．一一罗列； B．先罗列再求和； C．只罗列不求和； D．一一求和。 6．在弹性力学中，对于固体材料（即研究对象）物性组成的均匀性以及结构上的连续性等问题，提出了基本假设。这些基本假设中最基本的一条是 A。 A．连续性假设； B．均匀性假设； C．各向同性的假设； D．几何假设——小变形条件； 7．从一点应力状态的概念上讲，当我们谈及应力，必须表明的是D。 A．该应力的大小和指向，是正应力还是剪应力； B．该应力是哪一点处的正应力和剪应力，还是全应力； C．该应力是哪一点处的应力 D．该应力是哪一点处哪一微截面上的应力，是正应力还是剪应力。 8．表征受力物体内一点处的应力状态一般需要__B_应力分量，其中独立的应力分量有_C__。 A． 18个； B． 9个； C． 6个； D． 2个。9．一点应力状态的主应力作用截面上，剪应力的大小必定等于___D_________。 A．主应力值； B．极大值； C．极小值； D．零。10．一点应力状态的最大（最小）剪应力作用截面上的正应力，其大小_____D_______。 A．一般不等于零； B．等于极大值； C．等于极小值； D．必定等于零。

复习题 (1)

1．弹塑性力学的研究对象是_______。 A．刚体；B．可变形固体；C．一维构件；D．连续介质； 2．受力物体内一点处于空间应力状态（根据oxyz坐标系），一般确定一点应力状态需_____独立的应力分量。 A．18个；B．9个；C．6个；D．2个； 3．一点应力状态的主应力作用截面上，剪应力的大小必定等于 ____________。 A．主应力值；B．极大值；C．极小值；D．零； 4．一点应力状态主应力作用截面和主剪应力作用截面间的夹角为 ___________。 A．；B．；C．；D．； 5．正八面体单元微截面上的正应力为：____________。 A．零；B．任意值；C．平均应力；D．极值； 6．平衡微分方程是____________间的关系。 A．体力分量和面力分量；B．应力分量和面力分量； C．体力分量和应力分量；D．体力分量、面力分量和应力分量； 7．从应力的基本概念上讲，应力本质上是____________。 A．集中力；B．分布力；C．外力；D．内力； 8．直接反映和表征物体各点处变形程度的力学量是_________。 A．位移；B．应变；C．应力；D．角应变； 9．若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点位置坐标的函数），则在该点处的应变_________。 A．一定不为零；B．一定为零；C．可能为零；D．不能确定 10．固体材料塑性应力应变关系的重要特征是它的________。 A．线性和唯一性；B．非线性和唯一性； C．线性和不唯一性；D．非线性和不唯一性； 11．弹塑性力学中的几何方程一般是指联系____________的关系式。 A．应力分量与应变分量；B．面力分量与应力分量； C．应变分量与位移分量；D．位移分量和体力分量； C．线应变和角应变；D．线位移和角位移； 12．一点应变状态的主应变所指示方向，称为主方向。主方向彼此间所夹角度为_________。

应用弹塑性力学习题解答

应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系

可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，，

已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得 第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。

解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其 中，可得 则主应变有 解得主应变，，。由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为 于是有，同理，可解得与轴的夹角为。 物体内部一点的应变张量为 试求：在方向上的正应变。

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第二章 应力理论和应变理论 2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0 cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩……………………………… （a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： () ()() 1cos sin 0cos sin 0 y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩ 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12× 103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： (()() 3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410x y Pa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯ 则显然： 3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯= σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算） ()22612 sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--⨯-++ = = ==+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 题图 1-3

弹塑性力学复习思考题

研究生弹塑性力学复习思考题 1. 简答题： （1） 什么是主平面、主应力、应力主方向？简述求一点主应力的步骤？ （2） 什么是八面体及八面体上的剪应力和正应力有何其特点 （3） 弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么？ （4） 偏应力第二不变量J 2的物理意义是什么？ （5） 什么是屈服面、屈服函数？Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件的几何 与物理意义是什么？ （6） 什么是Drucker 公设？该公设有何作用？（能得出什么推论？） （7） 什么是增量理论？什么是全量理论？ （8） 什么是单一曲线假定？ （9） 什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？在弹性范围内这两类问题之间有 和联系和区别？ (10) 论述薄板小挠度弯曲理论的基本假定？ 二、计算题 1、已知P 点的应力张量为 31110 21 2 0ij σ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 求该点的主应力、主方向及最大剪应力 2、 利用应变协调条件检查其应变状态是否存在存在？ ， （1）εx =Axy 2，εy =Bx 2y ，γxy =0，A 、B 为常数 222(),,2x y xy k x y ky kxy εεγ=+== k 为常数 （2）2 22 22 5ij x y xz y z z xz z ε⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦

3、写出如下问题的边界条件 (a)用直角坐标，（b）用极坐标 P l θ r θ r θ r

4、 正方形薄板三边固定，另一边承受法向压力b x p p π-=sin 0，如图所示，设位移函数为 0=u b y b x a v 2sin sin 2ππ= 利用Ritz 法求位移近似解（泊松比ν=0）。 y x a b A B C O （第4题图） （第6题图） 5、悬臂梁在自由端受集中力P 作用，如图所示。试用极小势能原理求最大挠度 第5题图 提示设梁的挠曲线为 6、对给定的应力函数： （1）32223123,,Ax y Bx y Cxy ϕϕϕ===，试确定它们哪个能作为平面问题的应力函数，并分析它们能解什么问题？ （2）证明32 23[]434F xy P xy y c c c ϕ=-+可以作为应力函数，并求在区域0,x c y c -区 域内的应力分量，并分析该应力函数可以解决那类平面问题。 7．如图所示矩形截面柱承受偏心载荷作用，且不计其重量，若应力函数32 Ax Bx ϕ=+，试 求： （1）应力分量；（2）应变分量；（3）假设D 点不移动，且该点处截面内线单元不能转动 x 23 23w a x a x =+

(完整word版)弹塑性力学思考题答案

弹塑性理论思考题 ⒈ 一点的应力状态？ 答：通过一点P 的各个面上应力状况的集合 ⒉ 一点应变状态？ 答：[受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变与剪应变(任意两相互垂直方向所夹直角的改变量)的总和，就表示了该点的应变状态。] 代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变 ⒊ 应力张量？应力张量的不变量？应力球张量？体积应力？平均应力？应力偏张量？偏应力第二不变量J2的物理意义？单向应力状态、纯剪应力状态的应力张量？给出应力分分量，计算第一，第二不变量。 答：应力张量：代表一点应力状态的应力分量，当坐标变化时按一定的规律变化，其变换关系符合张量之定义，因此，表示点的应力状态的9个分量构成一个二阶张量，称为应力张量。一点的应力状态可以借用矩阵以张量σij 表示： 。其中：xz τ=zx τ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。 应力张量的不变量：对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应力数值,即J 1,J 2,J 3是不变量,不随 着坐标轴的变换而发生变化。所以J 1,J 2,J 3分别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。 应力张量可分解为两个分量 0-00+00m x m xy xz ij m yx y m yz m zx zy z m σσσττσστσστσττσσ????????=-????????-???? ，等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应力偏张量。 应力球张量：应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），只产生体积变形，不产生形状变形，任何切面上的切应力都为零，各方向都是主方向。 应力偏张量：应力偏张量，引起形状变形，不产生体积变形，切应力分量、主切应力、最大正应力及主轴同原σij ，二阶对称张量，同样存在三个不变量J 1' ,J 2' ,J 3' 体积应力：P46 平均应力：12311 ()()33 m x y z σσσσσσσ=++=++，m δ为不变量,与坐标无关。 偏应力第二不变量J2的物理意义：形状变形比能。 单向应力状态：两个主应力为零的应力状态。 纯剪应力状态的应力张量: 给出应力分分量，计算第一，第二不变量。（带公式） ⒋ 应变张量？应变张量的不变量？应变球张量？体积应变？平均应变？应变偏张量？ 应变张量：几何方程给出的应变通常称为工程应变，这些应变分量的整体，构成一个二阶的对称张 ??????????z zy zx yz y yx xz xy x στττστττσ[]=σ

应用弹塑性力学习题解答

应用弹塑性力学习题解答 张宏编写 西北工业大学出版社

目录 第二章习题答案 ..... 错误!未定义书签。第三章习题答案 ..... 错误!未定义书签。第四章习题答案 ..... 错误!未定义书签。第五章习题答案 ..... 错误!未定义书签。第六章习题答案 ..... 错误!未定义书签。第七章习题答案 ..... 错误!未定义书签。第八章习题答案 ..... 错误!未定义书签。第九章习题答案 ..... 错误!未定义书签。第十章习题答案 ..... 错误!未定义书签。第十一章习题答案 ... 错误!未定义书签。

第二章 习题答案 设某点应力张量ij σ的分量值已知，求作用在过此点平面ax by cz d ++=上的应力矢量 (,,) n nx ny nz p p p p ，并求该应力矢量的法向分量 n σ。 解 该平面的法线方向的方向余弦为 l a d m b d n c d d ====，，， 而应力矢量的三个分量满足关系 nx x xy xz ny xy y yz nz xz yz z p l m n p l m n p l m n στττστττσ?=++? =++?? =++? 而法向分量n σ满足关系n nx ny nx p l p m p n σ=++最后结果为 ()()()()2222 2222 222nx x xy xz ny xy y yz nx xz yz z n x y z xy yz zx p a b c d p a b c a p a b c d a b c ab bc ca d d a b c στττστττσσσσστττ=++=++=++=+++++=++ 利用上题结果求应力分量为 0,2,1,1,2,0 x y z xy xz yz σσστττ======时，过平面 31x y z ++=处的应力矢量n p ，及该矢量的法向分量n σ及切向分量n τ。 解 求出l m n ===,,nx ny nz p p p 及n σ，再利用关系 2 22222 n nx ny nz n n p p p p στ=++=+可求得n τ。 最终的结果为 nx ny nz p p p === 2911,n n στ== 已知应力分量为 10,5,1,4,2,3 x y z xy xz yz σσστττ===-==-=，其特征方程为三

弹塑性力学习题集(有图)

~ 弹塑性力学习题集 [ 殷绥域李同林编 ! ) ~ 中国地质大学·力学教研室

二○○三年九月

》 目录 弹塑性力学习题 (1) 第二章应力理论.应变理论 (1) ； 第三章弹性变形.塑性变形.本构方程 (6) 第四章弹塑性力学基础理论的建立及基本解法 (8) 第五章平面问题的直角坐标解答 (9) 第六章平面问题的极坐标解答 (11) 第七章柱体的扭转 (13) ] 第八章弹性力学问题一般解.空间轴对称问题 (14) 第九章* 加载曲面.材料稳定性假设.塑性势能理论 (15) 第十章弹性力学变分法及近似解法 (16) 第十一章* 塑性力学极限分析定理与塑性分析 (18) 第十二章* 平面应变问题的滑移线场理论解 (19) ` 附录一张量概念及其基本运算.下标记号法.求和约定 (21) 习题参考答案及解题提示 (22)

> 前言 弹塑性力学是一门理论性较强的技术基础课程，它与许多工程技术问题都有着十分密切地联系。应用这门课程的知识，能较真实地反映出物体受载时其内部的应力和应变的分布规律，能为工程结构和构件的设计提供可靠的理论依据，因而受到工程类各专业的重视。 · 《弹塑性力学习题集》是专为《弹塑性力学》（中国地质大学李同林、殷绥域编，研究生教学用书。）教材的教学使用而编写的配套教材。本习题集紧扣教材内容，选编了170余道习题。作者期望通过不同类型习题的训练能有助于读者理解和掌握弹塑性力学的基本概念、基础理论和基本技能，并培养和提高其分析问题和解决问题的能力。鉴于弹塑性力学课程理论性强、内容抽象、解题困难等特点，本书对所编习题均给出了参考答案，并对难度较大的习题给出了解题提示或解答。 本习题集的编写基本取材于殷绥域老师编写的弹塑性力学习题集，由李同林老师重新修编，进一步充实而成。书中大部分内容都经过了多届教学使用。为保证教学基本内容的学习，习题中带“*”号的题目可酌情选做。由于编者水平所限，错误和不妥之处仍在所难免，敬请读者指正。 < 编者 2003年9月

弹塑性力学总复习

《弹塑性力学》课程 第一篇 基础理论部分 第一章 应力状态理论 1.1 基本概念 1． 应力的概念 应力：微分面上内力的分布集度。从数学上看，应力s P F s ??=→? 0lim ν 由于微分面上的应力是一个矢量，因此，它可以分解成微分面法线方向的正应力ν σ和微分面上的剪应力ντ。 注意弹塑性力学中正应力和剪应力的正负号规定。 2． 一点的应力状态 （1）一点的应力状态概念 凡提到应力，必须同时指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分面。物体内同一点各微分面上的应力情况，称为该点的应力状态。 （2）应力张量 物体内任一点不同微分面上的应力情况一般是不同的，这就产生了一个如何描绘一点的应力状态的问题。应力张量概念的提出，就是为了解决这个问题。在直角坐标系里，一点的应力张量可表示为 ????? ? ? ?=z zy zx yz y yx xz xy x ij στττστττσσ 若已知一点的应力张量，则过该点任意微分面ν上的应力矢量p 就可以由以下公式求出： n m l p xz xy x x ττσν++= （1-1’a ） n m l p yz y yx y τστν++= （1-1’b ） n m l p z zy zx z σττν++= （1-1’c ） 由式（1-1），还可进一步求出该微分面上的总应力p 、正应力νσ和剪应力v τ： 2 22z y x p p p p ++= （1-2a ） nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσσν222222+++++= （1-2b ）

22ννστ-=p （1-2c ） （3）主平面、主方向与主应力 由一点的应力状态概念可知，通过物体内任一点都可能存在这样的微分面：在该微分面上，只有正应力，而剪应力为零。这样的微分面即称为主平面，该面的法线方向即称为主方向，相应的正应力称为主应力。 主应力、主方向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题： }{}]{[i n i ij n n σσ= （1-3） 式中，][ij σ为该点应力张量分量构成的矩阵，n σ为主应力，}{i n 为主方向矢量。 由于应力张量矩阵是实对称方阵，根据线性代数知识可知，式（1-3）必定存在实数的特征值，即主应力n σ必然存在。求解主应力n σ的特征方程如下： 032213=---I I I n n n σσσ （1-4a ） 式中，I 1、I 2和I 3分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。并且， 3211σσσσσσ++=++=z y x I （1-4b ） ) (1332212 222σσσσσστττσσσσσσσττσσττσσττσ++-=+++---=- -- =zx yz xy x z z y y x x zx zx z z yz yz y y xy xy x I （1-4c ） 3213σσσστττστττσ==z zy zx yz y yx xz xy x I （1-4d ） 应注意在主应力求出之后，相应的主方向的求解方法。 （5）最大剪应力 在与主方向成450角的微分面内，剪应力取极值。若规定321σσσ≥≥，则最大剪应力出现在过2σ主应力轴而平分1σ和3σ轴的微分面上，并且 2 3 1max σστ-= （1-5） （6）应力球量与应力偏量——应力张量的分解 ij ij s +=σσ （1-6） 式中，??? ?? ? ?=m m m σσσσ0 000 00 和????? ? ??---=m z zy zx yz m y yx xz xy m x ij s σστττσστττσσ分别称为应力球量和 应力偏量，并且 3/)(3/1z y x m I σσσσ++==。

应用弹塑性力学习题解答

应用弹塑性力学习题解 答 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。

解求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，，

，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，， 已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得

第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。 解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，， ，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其中，可得 则主应变有

弹塑性力学总复习

《弹塑性力学》课程 期末复习总结 第一篇 基础理论部分 第一章 应力状态理论 1.1 基本概念 1．应力的概念 应力：微分面上内力的分布集度。从数学上看，应力s P F s ??=→?ρ ρ0lim ν 由于微分面上的应力是一个矢量，因此，它可以分解成微分面法线方向的正应力νσ和 微分面上的剪应力ντ。 注意弹塑性力学中正应力和剪应力的正负号规定。 2．一点的应力状态 （1）一点的应力状态概念 凡提到应力，必须同时指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分面。物体内同一点各微分面上的应力情况，称为该点的应力状态。 （2）应力张量 物体内任一点不同微分面上的应力情况一般是不同的，这就产生了一个如何描绘一点的应力状态的问题。应力张量概念的提出，就是为了解决这个问题。在直角坐标系里，一点的应力张量可表示为 ????? ? ??=z zy zx yz y yx xz xy x ij στττστττσσ 若已知一点的应力张量，则过该点任意微分面ν上的应力矢量p ρ 就可以由以下公式求 出： n m l p xz xy x x ττσν++= （1-1’a ） n m l p yz y yx y τστν++= （1-1’b ） n m l p z zy zx z σττν++= （1-1’c ） 由式（1-1），还可进一步求出该微分面上的总应力p 、正应力νσ和剪应力v τ： 2 22z y x p p p p ++= （1-2a ）

nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσσν222222+++++= （1-2b ） 22ννστ-=p （1-2c ） （3）主平面、主方向与主应力 由一点的应力状态概念可知，通过物体内任一点都可能存在这样的微分面：在该微分面上，只有正应力，而剪应力为零。这样的微分面即称为主平面，该面的法线方向即称为主方向，相应的正应力称为主应力。 主应力、主方向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题： }{}]{[i n i ij n n σσ= （1-3） 式中，][ij σ为该点应力张量分量构成的矩阵，n σ为主应力，}{i n 为主方向矢量。 由于应力张量矩阵是实对称方阵，根据线性代数知识可知，式（1-3）必定存在实数的特征值，即主应力n σ必然存在。求解主应力n σ的特征方程如下： 032213=---I I I n n n σσσ （1-4a ） 式中，I 1、I 2和I 3分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。并且， 3211σσσσσσ++=++=z y x I （1-4b ） ) (1332212 222σσσσσστττσσσσσσσττσσττσσττσ++-=+++---=- -- =zx yz xy x z z y y x x zx zx z z yz yz y y xy xy x I （1-4c ） 3213σσσστττστττσ==z zy zx yz y yx xz xy x I （1-4d ） 应注意在主应力求出之后，相应的主方向的求解方法。 （5）最大剪应力 在与主方向成450角的微分面内，剪应力取极值。若规定321σσσ≥≥，则最大剪应力出现在过2σ主应力轴而平分1σ和3σ轴的微分面上，并且 2 3 1max σστ-= （1-5） （6）应力球量与应力偏量——应力张量的分解 ij ij s +=σσ （1-6）

弹塑性力学试题--答案要点

一、判断题（本题18分，每小题3分） 1、弹性体的应力就是一种面力。 （ ×） 2、弹性体中任意一点都有x y r θσσσσ+=+ （√ ） 3、物体是弹性的就是说应力和应变之间的关系是直线。 （ ×） 4、极坐标系下的弹性力学方程只能用来描述具有轴对称性的受力物体。 （ ×） 5、下图为线性硬化弹塑性材料。 （ √） 图1 6、平面应力与平面应变问题的平衡方程、几何方程、物理方程完全相同。 （×） 二、概念解释（本题16分，每小题2分） 1、塑性； 2、屈服准则； 3、外力（即外荷载）； 4、均匀性，各向同性； 5、主应力和主方向； 6、翻译：主应力，剪应变，平面应变问题 三、简答题（本题17分） 1、简述半逆解法的适用条件及其实施的主要过程。（6分） 主要使用条件是常体力平面问题，这时候可以使用基于应力函数的解法。 半逆解法的主要实施过程 （a ）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分或者全部应力分量的某种函数形式； （b ）根据应力分量与应力函数的关系以及用应力函数给出的变形协调关系，确定应力函数的形式； （c ）再次利用应力分量与应力函数的关系求出应力分量，并让其满足边界条件，对于多联通域，还要满足位移单值条件。 2、简述圣维南原理及其作用 （6分） 圣维南原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。可以推广为：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计 3、在主轴坐标系下，线弹性体应变能密度是()1122331 2 U σεσεσε=++，请将其写成约定求和的指标记法。（5分） 解答：()11223311 i=1,2,322 i i U σεσεσεσε= ++=

弹塑性力学试题答案完整版

弹塑性力学2008、2009级试题 一、简述题 1）弹性与塑性 弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残留下来的这一性质。 2）应力和应力状态 应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3）球张量和偏量（P25） 球张量：球形应力张量，即σ=0 00000m m m σσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，其中()13m x y z σσσσ=++ 偏量：偏斜应力张量，即x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ⎡⎤ -⎢⎥ =-⎢⎥⎢⎥-⎣ ⎦，其中()13 m x y z σσσσ=++ 4）描述连续介质运动的拉格朗日法和欧拉法 拉格朗日描述也被称为物质描述，同一物质点在运动过程中的坐标值不变，物质体变形表现为坐标轴变形、基矢量的随体变化。 采用拉格朗日描述时，在变形过程中网格节点和积分点始终与物质点一致，便于精确描述材料特性、边界条件、应力和应变率； 欧拉描述也被称为空间描述。在欧拉描述中，当前构形被离散化，初始构形(参考构形)是未知的。由于采用了物质对固定网格的相对运动，它具有以下优点： 欧拉描述便于对固定空间区域特别是包含流动、大变形和物质混合问题的建模。 5）转动张量：表示刚体位移部分，即 1102211022110 22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ⎡ ⎤ ⎛⎫ ⎛⎫∂∂∂∂--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭ ⎢ ⎥ ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥ =-- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥ ⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭ ⎝⎭ ⎣⎦ 6）应变张量：表示纯变形部分，即

弹塑性力学试卷及弹性力学教材习题及解答

二、填空题：（每空2分，共8分） 1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的-------个独立的应力分量，它们分别是-------。（参照oxyz直角坐标系）。 2、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关系的表达式叫---------方程，它的缩写式为-------。 三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小题4分，共16分。） 1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器出现破裂。裂纹展布的方向是：_________。 A、沿圆柱纵向（轴向） B、沿圆柱横向（环向） C、与纵向呈45°角 D、与纵向呈30°角 2、金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。该板危险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力__________倍。 A、2 B、3 C、4 D、5 3、若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点，沿x、y、z直角坐标系三轴线方向上的位移分量。）则在该点处的应变_________。 A、一定不为零 B、一定为零 C、可能为零 D、不能确定 4、以下________表示一个二阶张量。 A、B、C、D、 四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共8分） 1、；（i ，j = 1，2，3 ）； 2、； 五、计算题（共计64分。） 1、试说明下列应变状态是否可能存在： ；（） 上式中c为已知常数，且。 2、已知一受力物体中某点的应力状态为：

式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量 之和。为平均应力。并说明这样分解的物理意义。 3、一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。若选取＝ay2做应力函数。试求该物体的应力解、应变解和位移解。 （提示：①基础绝对刚性，则在x＝0处，u＝0 ；②由于受力和变形的对称性，在y＝0处，v＝0 。） 题五、3图 4、已知一半径为R＝50mm，厚度为t＝3mm的薄壁圆管，承受轴向拉伸和扭转的联合作用。设管内各点处的应力状态均相同，且设在加载过程中始终保持，（采用柱坐标系， r为径向，θ为环向，z为圆管轴向。）材料的屈服极限为＝400MPa。试求此圆管材料屈服时 。 （采用Mises屈服条件）的轴向载荷P和轴矩M s （提示：Mises屈服条件：；） 填空题 6 平衡微分方程 选择ABBC

弹塑性力学习题及答案

DOC 文档资料 本教材习题和参考答案及部分习题解答 第二章 2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 答案 (1)pi iq qj jk pk δδδδδ=; 答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-; 解：(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。 （需证明） 2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明： 2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证：因为1 231 111232221 2 33 3 3i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ， 所以 1 231111232221 2 33 3 3 1 231 1112 322 212 333 3det det()i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即得 123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明： ()()()()()()⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅a b c d a c b d a d b c 证明：()()⨯⨯=a b c d ⋅

武汉大学弹塑性力学课程习题集+答案

应力解 平衡方程： 0F z y x x =+∂∂+∂∂+∂∂zx yx x ττσ，几何方程：x u x ∂∂=x ε，x u y u y x xy ∂∂+∂∂=γ， 物理方程：v x λεεσ+=2G x ，xy γτG xy =，边界条件x zx yx x T n m l =++ττσ 1、如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为γ，试写出边界条件 解：在x =0上，l = -1，m =0， (σx )x=0⋅ (-1) +(τyx )x =0⋅0 = γy (τxy )x =0⋅ (-1) +(σy )x =0⋅0 = 0 (σx )x =0=－γy (τxy )x =0⋅ 在斜边上 l = cos α，m = -sin α σx cos α - τyx sin α = 0 τxy cos α -σy sin α = 0 2、半无限空间体受均布荷载作用 根据问题的对称性，位移应只是z 的函数 u z =w (z ) 体积应变是dz dw z u y u x u z y x v =∂∂+∂∂+∂∂= ε 代入平衡微分方程 ()0222=++g dz w d G ρλ，()()()()B A z g E w ++--+-=212211ρννν 应力是()A z G v v y x +-- ==ρσσ1，()A z G z +-=ρσ，0===zx yz xy τττ 应用边界条件求待定常数：l =m =0，n =1，0==y x T T ，q T z = 边界条件是：σz ⎪z =0=q 得A =q /ρg ，B 代表刚度位移，应由位移边界条件确定 3、用应力函数ϕ=dxy 3+bxy 求解悬臂梁一端受集中力作用下问题的应力解（不考虑体积力）。 解：（1）显然满足变形协调方程（2）满足静力边界条件 由应力函数求应力分量 dx y 6y 22=∂∂=ϕσx ，0x 22=∂∂=ϕσy ，b dy 3y x 22--=∂∂∂-=ϕτxy （a ） 边界条件：在2h y ± =处，()02=±=h y y σ，()02 =±=h y xy τ （b ） （a ）代入（b ）得： 0)2 (32 =--b h d （c ） 在x =0的边界（l = -1，m = 0）上，力边界条件要求 0dxy 61m l X 0=-=⋅-=+==x x yx x στσ，b dy 31m l Y 2+=⋅-=+=xy y xy τστ O α 1 y x q z x

(完整word版)武汉大学弹塑性力学简答题以及答案

弹塑性力学简答题 2002年 1 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明?P24 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，应力大小均为平均应力。偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2 从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。P48 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看,物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入",即产生不连续。 3 两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数)等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么? 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 4 虚位移原理等价于哪两组方程?推导原理时是否涉及到物理方程?该原理是否适用于塑性力学问题？P156 平衡微分方程和静力边界条件。不涉及物理本构方程。适用于塑性力学问题。 5 应力状态是否可以位于加载面外？为什么?P239 当应力状态从加载面上向加载面外变化时，将产生新的塑性变形，引起内变量增加，这时,加载面会随之改变，使得更新的应力状态处在更新的加载面上. 6 什么是加载?什么是卸载？什么是中性变载?中性变载是否会产生塑性变形?P250 加载：随着应力的增加，应变不断增加，材料在产生弹性变形的同时，还会产生新的塑性变形,这个过程称之为加载。 卸载:当减少应力时,应力与应变将不会沿着原来的路径返回，而是沿接近于直线的路径回到零应力，弹性变形被恢复,塑性变形保留,这个过程称之为卸载。

中性变载：应力增量沿着加载面，即与加载面相切.应力在同一个加载面上变化，内变量将保持不变，不会产生新的塑性变形,但因为应力改变，会产生弹性应变。 7 用应力作为未知数求解弹性力学问题时，应力除应满足平衡方程外还需要满足哪些方程？P93 协调方程和边界条件。 8 薄板弯曲中，哪些应力和应变分量较大？哪些应力和应变分量较小？P121 平面内应力分量（x y xy σστ、、）最大，最主要的是应力，横向剪应力（z y xz ττ、）较小，是次要 的应力；z 方向的挤压应力z σ最小，是更次要的应力。 应变分量：x y xy εεγ、、较大，0z xz zy εγγ===较小 9 什么是滑移线？物体内任意一点沿滑移线的方向的剪切应力是多少？P310 在塑性区内，将各点最大剪应力方向作为切线而连接起来的线，称之为滑移线. 剪切应力是最大剪应力。 10 什么是随动强化?试用单轴加载的情况加以解释？P206 材料在加载反向加载的过程中,若反向屈服应力的降低程度正好等于正向屈服应力提高的程度，称为随动强化。 在单轴加载的情况下，若压缩屈服应力提高的程度等于拉伸屈服应力降低的程度，即为随动强化. 2003 1弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么？ 对于弹性体的本构关系，一点的应变取决于该点的应力状态，应变是应力状态的函数 进入塑性状态后，应变不仅取决于应力状态，而且还取决于应力历史 2偏应力第二不变量2J 的物理意义是什么? 2J 与弹性状态的形状改变能成正比，也与材料八面体上的剪应力成比例 3虚位移原理是否适用于塑性力学问题?为什么?P156