原函数和导函数的关系
课题:探究原函数与导函数的关系
首师大附中 数学组 王建华
设计思路
这节课就是在学完导数与积分之后,学生从大量的实例中对原函数与导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律与对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上,最终登上高峰体会一览众山小的乐趣与成就感。教师实际上就是在引导学生进行一次理论的探险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要,重要的就是研究相互关联的事物的一般思路与方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。
整个教学流程
1、 从经验观察发现,猜想得命题p,q 、 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数求导,比较容易上手。
2、 学生自然会想到这个命题的逆命题就是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于y 轴对称的性质能够保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。
3、 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶函数的性质拓展为关于直线x a =对称,研究前面的四个命题还就是否成立。研究方法可以类比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成为真命题。
4、已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。
教学目标
在这个探究过程中
1、加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解;
2、增强学生对函数对称性的理解与抽象概括表达能力;
3体验研究事物的角度,一个新定理就是怎样诞生的,怎样才就是全面地认识了一个事物。4、培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。
教学重点
以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。
教学难点
灵活运用所学知识探索未知领域。
新课引入
前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,您能根据原函数的图像画出导函数的示意图不？
一． 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。
问题1 已知函数()y f x =的图像,请尝试画出其导函数的图像示意图。
3()f x x = 2'()3y f x x ==
2()f x x = '()y f x x ==
导函数的实质就是原函数的瞬时变化率,导函数的正负反应了原函数的单调性,导函数的大小反应了原函数增减的快慢。从图像的整体性质上瞧,您还有什么发现？
猜想p : 可导的奇函数的导函数就是偶函数,
猜想q: 可导的偶函数的导函数就是奇函数。
问题2 您能根据图象上解释一下您的猜想不？
奇函数关于原点中心对称,它的曲线在原点两侧等距离处升降速度相同,即切线斜率相等; 偶函数关于y 轴对称,它的曲线在y 轴两侧等距离处升降速度绝对值相等,即切线斜率互为相反数。
问题3尝试证明您的猜想
P : 已知()y f x =就是可导的奇函数,求证'()y f x =时偶函数
分析1:欲证'()y f x =时偶函数,只需证'()'()f x f x -=
若将'()f x -理解将'()f x 中的x 替换为x -得到的函数,可以用导数定义证明。
证明:当()y f x =就是奇函数时,对定义域中的任意x 都有
'()f x -000()()()()()()'()lim lim lim x x x f x x f x f x x f x f x f x x f x x x x
?→?→?→-+?----?+--?====???
所以'()y f x =时偶函数
分析2、用复合函数求导
证明:当()y f x =就是奇函数时,对定义域中的任意x 都有()()f x f x -=-
两边对x 求导得[()]'[()]'f x f x -=-,即'()(1)'()f x f x -?-=-
得'()'()f x f x -=,所以'()y f x =时偶函数
命题 q 同理可证、
思考:瞧来已知原函数的奇偶性,我们可以确定导函数的奇偶性,那么已知导函数的奇偶性能否推知原函数的奇偶性呢？命题p 与q 的逆命题就是否成立呢？
二.探究由导函数的奇偶性能否推出原函数的奇偶性。
问题4 p 与q 的逆命题就是否成立？
p 的逆命题:若'()y f x =就是偶函数,则()y f x =奇函数
o x
y y x o
x y
o
此命题不正确,可举出反例:如'()y f x x ==就是奇函数,而原函数21()2
y f x x c ==+ 当c 不为0时,原函数不就是偶函数。
这就是什么原因造成的呢？因为原函数定了,导函数就是唯一确定的,而同一个导函数的原函数有无穷多个。一个函数向上或向下平移后导函数就是不变的,直观理解就是切线的斜率不变。而函数上下平移就不能保证图象关于原点中心对称了。
q 的逆命题:若'()y f x =就是奇函数,则()y f x =偶函数
证明:'()y f x =就是奇函数时
[()()]''()'()(1)'()'()0f x f x f x f x f x f x --=---=+-=
能否推出()()0f x f x --=？
只能推出()()f x f x c --=,思考c 就是确定的值不？能求不？
问题转化为导函数就是0,原函数就是什么？可以举出分段的常数函数 ,为使此命题成立,我们加强一下条件,将命题改为“对于在R 上连续可导的函数,若'()y f x =就是奇函数,则
()y f x =偶函数”
。 此时()y f x =在0x =处有定义,则(0)(0)0f f c --==,此时可得()()f x f x =-,原函数就是偶函数。
三.探究由原函数的对称性能否推出导函数的对称性
对于连续的可导函数,原函数的奇偶性可以推出导函数的奇偶性,而逆命题中当导函数为奇函数时,原函数就是偶函数,但当导函数为偶函数时,原函数不一定就是奇函数,那么此时原函数虽然不就是奇函数了,它就是不就是也有什么性质呢？它的图像应该就是中心对称的。能否将刚才的结论推广一下？
问题5 奇函数图象特征就是关于原点中心对称,偶函数图象特征就是关于y 轴对称, 能否将上述命题推广一下？
P 的推广命题r :若可导函数()y f x =关于(,)a b 对称,则它的导函数关于直线x a =对称。 证明:()y f x =关于(,)a b 对称,则()(2)2f x f a x b +-=,
'()'(2)(1)0f x f a x +--=
即'()'(2)f x f a x =-,所以其导函数关于直线x a =对称。
q 的推广命题s :若可导函数()y f x =关于x a =对称,则它的导函数关于(,)a b 对称 证明:()y f x =关于x a =对称,则()(2)f x f a x =-,
'()'(2)(1)f x f a x =--
导函数图像与原函数图像关系
导函数图像类型题 类型一:已知原函数图像,判断导函数图像。 1. (福建卷11)如果函数)(x f y =的图象如右图,那么导函 数()y f x '=的图象可能就是 ( ) 2. 设 函数f (x ) 在定义域内可导,y=f (x )的图象如下左图所示,则导函数y=f '(x )的图象可能为( ) 3. 函数()y f x =的图像如下右图所示,则()y f x '=的图像可能就是 ( ) 4. 若函 数 2()f x x b =+的图象的顶点在第 四象限,则其导函数'()f x 的图象就是( ) 类型二:已知导函数图像,判断原函数图像。
5. (2007年广东佛山)设)(x f '就是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的 图象如右图所示,则)(x f y =的图象最有可能的就是( ) 6. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已 知函数f x ()的导函数2f x ax bx c '=++()的图象如右图,则f x ()的图象可能就是( ) 7. 函数 ) (x f 的定 义域为开区间 3 (,3)2-,导函数) (x f '在 3 (,3)2 -内的图象如图所示,则函数)(x f 的单调增区间就是_____________ 类型三:利用导数的几何意义判断图像。 8. (2009湖南卷文)若函数()y f x =的导函数．．． 在区间[,]a b 上就是增函数,则函数()y f x =在区间[,] a b 上的图象可能就是 ( ) O 1 2 x y x y y O 1 2 y O 1 2 x O 1 2 x C D O 1 2 x y a b a b a o x o x y o x y o x y y )(x f y '= x o y
最新导函数图像与原函数图像关系(我)
导函数图像类型题 类型一：已知原函数图像，判断导函数图像。 1. （福建卷11）如果函数)(x f y =的图象如右图，那么导 函数 ()y f x '=的图象可能是 ( ) 2. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如下左图所示，则导函 数y=f (x )的 图象可能为( ) 3. 函数()y f x =的图像如下右图所示，则()y f x '=的图像可能是 （ ） 4. 若 函 数 2()f x x bx c =++的图象的顶点在第 四象限，则其导函数'()f x 的图象是（ ） 类型二：已知导函数图 像，判断原函数图像。 5. (2007年广东佛山)设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的图 象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ） 知函数 象可能是 7. 函数)(x f 的定 义域 为开区间( ,3)2 - ，导函数) (x f '在 3 (,3)2 -内的图象如图所示，则函数)(x f 的单调增区间是_____________ 类型三：利用导数的几何意义判断图像。 8. （2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的 图象可能是 ( ) A ． B ． C ． D ．
9.若函数)(' x f y =在区间),(21x x 内是单调递减函数，则函数)(x f y =在区间),(21x x 内的图像可以是（ ） A B C D 10.（选做）已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是 （ ） 类型四：根据实际问题判断图像。 9. （2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水， 容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ） 10.如图，直线l 和圆c ，当l 从0l 开始在平面上绕点o 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过? 90）时，它扫过的园内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图 像大致是（ ） 11.如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图 象. 10. 已知函数 )(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下， 则（ ） 函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点 函数 )(x f 有2个极大值点，2个极小值点 函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点 函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点 11. (2008珠海质检理)函数)(x f 的定义域为 ),(b a ， 其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所示，则函数)(x f 在区间),(b a 内极小值点的个 数 是（ ） (A).1 (B).2 (C).3 (D).4 12. 已知函数3 2 ()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5， 其 导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求： （Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值. 13. 函数()y f x =在定义域3 (,3)2 - 内可导， 其图象如图，记 ()y f x =的导函数为/()y f x =，则不等式 /()0 f x ≤的解集为_____________ 14. 如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象， '()f x 为函 数()f x 的导函数，则不等式'()0x f x ?<的解集为_____ _ 15. 【湛江市·文】函数2 2 1ln )(x x x f - =的图象大致是 A ． B ． C ． D ． 16. 【珠海·文】如图是二次函数a bx x x f +-=2 )(的部分图象，则函数)(ln )(x f x x g '+=的零点所在的区 间是 （ ）
导函数图像与原函数图像关系(我)
导函数图像类型题 类型一：已知原函数图像，判断导函数图像。 1. （福建卷11）如果函数)(x f y =的图象如右图，那么导 函数()y f x '=的图象可能是 ( ) 2. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如下左图所示，则导函数y=f '(x )的图象可能为( ) 3. 函数()y f x =的图像如下右图所示，则()y f x '=的图像可能是 （ ） 4. 若函数2 ()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则其导函数'()f x 的图象是（ ） 类型二：已知导函数图像，判断原函数图像。
5.(2007年广东佛山)设) (x f'是函数) (x f的导函数,) (x f y' =的图 象如右图所示，则) (x f y=的图象最有可能的是（） 6.(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已 知函数f x ()的导函数2 f x ax bx c '=++ ()的图象如右图，则 f x()的图象可能是( ) 7.函数) (x f的定义域为开区间 3 (,3) 2 -，导函数) (x f'在 3 (,3) 2 -内的图象如图所示，则函数) (x f的单调增区间是_____________ 类型三：利用导数的几何意义判断图像。 O 1 2 x y x y y O 1 2 y O 1 2 x O 1 2 x D O 1 2 x y ) (x f y' = x o y
8.（ 2009湖南卷文） 若函数() y f x =的导函数 ．．．在区间[,] a b上是增函数，则函数() y f x =在区间[,] a b上的图象可能是( ) A ．B．C．D． 9.若函数) ('x f y=在区间) , ( 2 1 x x内是单调递减函数，则函数) (x f y=在区间) , ( 2 1 x x内的图像可以是（） A B C D 10.（选做）已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 （） 类型四：根据实际问题判断图像。 9.（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一容器的三视图，现向容器 中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（） o x o x y b a o x y o x y b y
原函数与导函数的关系
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原函数与导函数的关系
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用导数的基本运算法则巧构造导函数的原函数
用导数的基本运算法则巧构造导函数的原函数 构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数. 通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答. 本文从一到高考试题出发，追根溯源，研究并揭示高考试题的本质. 1 高考真题 真题 设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 取值范围（ ）. A. (,1)(0,1)-∞- B. (1,0)(1,)-+∞ C. (,1)(1,0)-∞-- D. (0,1)(1,)+∞ 解析：设()()f x F x x =，则2 ()()'()xf x f x F x x '-=. 因为0x >时，()()0xf x f x '-<，所以'()0F x <,即当0x >时，()F x 单调递减. 又因为()f x 为奇函数，且(1)0f -=，所以()()f x F x x = 为偶函数，且(1)(1)0F F -==, 则当0x <时，()F x 单调递增.当(,1)x ∈-∞-时，()0F x <，()0f x >.当(0,1)x ∈时，()0F x <，()0f x >.所以()0f x >成立的x 取值范围(,1)(0,1)-∞-，即答案为A.. 上述题为2015年课标全国Ⅱ选择题第12题，创新有难度，丰富有内涵. 此其题表面看上，不知道如何入手，解决问题. 因为这是一道没有具体函数表达式的不等式试题，且不等式中含有()f x '和()f x ，更是难上加难. 从试题的解析可以看出，巧妙地构造出了函数()F x ，通过分析()F x 的单调性和奇偶性，解答问题. 解题突破口不易寻找，给人一种“旧时茅店社林边,路转溪桥忽见”的感觉. 对题的解析过程进行回顾，本题是如何构造出()()f x F x x = ，从而给出极其巧妙的解答. 为了寻求问题的本质，这里对以下例题进行分析. 2 巧构导函数的原函数 例 1 已知函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若0.20.22(2)a f =?，log 3(log 3)b f ππ=?，33log 9(log 9)b f =?，则,,a b c 的大小关系（ ） A. b a c >> B. c a b >> C. c b a >> D. a b c >> 解析：设()()F x xf x =，则'()()()F x f x xf x '=+.因为0x <时，()()0f x xf x '+<，所以'()0F x <,则 当0x <时，()F x 单调递减.又因为函数()f x 的图像关于y 轴对称，所以()f x 为奇函数，当0x >时， ()F x 单调递减.又因为0.2122<<，0log 31π<<，3log 92=，则b a c >>，即答案为A. 例 2已知函数()f x 满足：()2()0f x f x '+>，那么系列不等式成立的是（ ） A. (1)f B. (0)(2)f f e < C. (1)(2)f D. 2(0)(4)f e f > 解析：设12()2()x F x e f x =，则1 112221'()2[()()][()2()]2 x x x F x e f x e f x e f x f x ''=+=+.因为()2()0f x f x '+>，所以'()0F x >,则()F x 在定义域上单调递增，所以(1)(0)F F >,则(1)f ，即答案为A. 例 3 已知()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x R ∈恒成立且e 为自然对数的底，则（ ） A. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f >?>? B. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f ? C. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f >?,(2012)(0)F F >即答案为A. 例4 定义在(0, )2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '>成立，则（ ） ()()43π π B. (1)2()sin16f f π>()()64f ππ>()()63f ππ > 解析：因为(0,)2x π ∈，所以sin 0x >，cos 0>.由()()tan f x f x x '>，得()cos ()sin 0f x x f x x '->
函数可积与存在原函数的关系
函数可积与存在原函数的关系 本文在区间[a,b]上讨论函数存在定积分与存在原函数的关系。得出的结果是两者之间没有必然联系，存在定积分不一定存在原函数，存在原函数也不一定存在定积分。本文主要给出两个反例。 一、 存在定积分但不存在原函数的例子 定义函数如下： ???=?∈=2 /1,1]1,2/1()2/1,0[,0)(x x x f 该函数显然有界，x =1/2为其唯一的间断点（而且是第一类的），因而可积，0d )(1 0=?x x f 。但因为其有第一类间断点，所以不存在原函数（这个结论是利用 导函数连续性定理得出来的，关于这个定理见本文附录）。 可能有人会想到积分上限函数，它的积分上限函数不是原函数吗？我们看看它的积分上限函数，容易求得 0d )()(0≡=?x t t f x F 显然它的导数并不是f (x )，而是f (x )在x =1/2处作连续开拓后的函数。关于积分上限函数和原函数之间的关系问题，在学了实变函数这门课后将会变得很简单，这里不再深入讨论。 二、 存在原函数但不存在定积分的例子。
定义函数如下： ?????=≤<-=0 ,010,1cos 21sin 2)(22x x x x x x x f 首先证明，这个函数存在原函数，我们指出，下面这个函数就是它的原函数： ?????=≤<=0 ,010,1sin )(22x x x x x F 为此目的，只需证明)()('x f x F =对任何x ∈[0,1]成立，而0
高考数学热点难点专题07+导数有关的构造函数方法(理)(教师版)
专题07 导数有关的构造函数方法 一．知识点 基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数 ①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④???? 1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式 ①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________； (3)???? ??f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数 (1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))． (2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为___________________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 二．题型分析 1.构造多项式函数 2.构造三角函数型 3.构造x e 形式的函数 4.构造成积的形式 5.与ln x 有关的构造 6.构造成商的形式
含有导函数的不等式如何构造原函数 耿 9
含有导函数的不等式如何构造原函数耿9.30
下面的例子精选出来，希望同学们认真练习，熟悉各种情况下原函数是如何构造。 题型一：通过观察导函数结构去构造原函数的基本题型 例1.设、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当时， ()()()()0f x g x f x g x ''+>，且，则不等式0的解集是（ ） A ． B ． C ． D ． 例2.定义在R 上的奇函数()y f x =满足(3)0f =，且不等式()'()f x xf x >-在(0,)+∞上恒成立，则函数()()lg |1|g x xf x x =++的零点的个数为（ ）B A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 例 3.已知定义域为{|0}x x ≠的偶函数()f x ，其导函数为'()f x ，对任意正实数x 满足 '()2()xf x f x >-，则2 1()(1)x f x f x x -??<- ??? 不等式的解集是（ ） A ．1(,)2+∞ B ．1(,)2-∞ C ．1(,0)(0,)2-∞ D ．1(0,)2 例4.定义在(0, )2 π 上的函数()f x ，'()f x 是它的导函数，且恒有'()()tan f x f x x >?成 立．则（ ） ()()63f ππ< B ．)1(1cos 2)6 (3f f ?>? π C ()2()64f π π> D ()()43 f ππ > 例5.已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x '满足 ()() 01 f x f x x '->-， 22(2)()x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（ ） B A ．(1)(0)f f < B ．3 (3)(0)f e f >? B ． C ．(2)(0)f e f >? D ．4 (4)(0)f e f
原函数与导函数的关系
课题：探究原函数与导函数的关系 首师大附中 数学组 王建华 设计思路 这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y 轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶函数的性质拓展为关于直线x a =对称，研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类比迁移前面的方法。能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。 4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标 在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解； 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力； 3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。 新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图，你能根据原函数的图像画出导函数的示意图吗？ 一． 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。 问题1 已知函数()y f x =的图像，请尝试画出其导函数的图像示意图。 3()f x x = 2'()3y f x x ==
关于导函数与原函数的若干性质
关于导函数与原函数的若干性质 摘要 本文主要讨论有关导函数、原函数的若干性质:导函数具有介值性、导函数无第一类间断点,进而说明在区间I 上不具介值性或具有第一类间断点的函数必定不存在原函数;具有第二类间断点的导函数可能存在原函数也可能不存在原函数。同时根据原函数的定义,讨论了函数f(x)存在原函数的充分条件与必要条件，与此同时对一元函数的原函数和一元函数的定积分之间的关系也作了一定的探讨,说明二者是既有联系又有区别的两个概念。 关键词：导函数；原函数；存在性；定积分； 1、相关知识 (l)定义1 若函数()F x 在区间I 上处处可导，x I ?∈，()()F x f x '= 对区间端点，仅考虑相应的单侧导数)，则称()f x 为I 上()F x 的导函数。 定义2 若函数()f x 与()F x 在区间I 上都有定义，若()()F x f x ='，,x I ∈则称 ()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。 (2)原函数存在定理 若f 在[],,a b 上连续，则由式子[]()(),,b a x f t dt x a b Φ=∈? 所定义的函数F 在[],a b 上处处可导，且 []()()(),,b a d x f t dt f x x a b dx 'Φ==∈? 即()x Φ是[],a b 上的()f x 的一个原函数。 这个定理也说明了:在区间[],a b 上连续函数必是某函数的导函数。 (3)函数的介值性 设函数()f x 在区间I 上有定义，对任意的[],a b I ?，c 为介于()f a 与() f b 之间的任何实数()()f a c f b <<或()()f a c f b >>，若至少存在一点(,)a b ξ∈使得 ()f c ξ=，则称()f x 在区间I 上有介值性。
原函数与导函数的关系
原函数与导函数的关系 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
课题：探究原函数与导函数的关系 首师大附中数学组王建华 设计思路 这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将 对称，研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可偶函数的性质拓展为关于直线x a 以类比迁移前面的方法。能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。