海伦公式证明

证明： 在任意三角形ABC 中，不妨规定A 为最大的角

作边BC 边上的高AD ，则AD 一定在三角形内部，设AD=h, BD=d, CD=e p=a+b+c 2

则有：

d 2+h 2=c 2 ①

e 2+h 2=b 2 ②

d=a -e ③

① - ② 得：

d 2-

e 2=c 2－b 2

把③代入，得

(a-e)2-e 2=c 2-b 2

a 2+e 2-2ae-e 2=c 2-

b 2

e=a 2+b 2?c 22a

由②可得：

h=√b 2?(a 2+b 2?c 22a )2

则S △ABC =12ah=√14a 2[b 2?(a 2+b 2?c 22a )2]=√14[a 2b 2?(a 2+b 2?c 22)2](这个就是秦九韶公式)

=√(12ab)2?(a 2+b 2?c 24)2=√(ab 2+a 2+b 2?c 24)( ab 2?a 2+b 2?c 24)

=√a 2+b 2+2ab?c 24×?a 2?b 2+2ab+c 24=√(a+b)2

?c 24×c 2?(a?b)24=√a+b+c 2×a+b?c 2×c+a?b 2×c?a+b 2

=√a+b+c 2×(a+b+c 2?c)×(a+b+c 2?b)×(a+b+c 2?a)

=√p(p ?a)(p ?b)(p ?c)

证毕

(完整版)运用向量法证明几个数学公式

运用向量法证明几个数学 向量法是几何问题代数化的一种重要方法，运用向量法可以证明一些三角或者几何公式，下面仅举几例予以说明。 例1、用向量证明和差化积公式 cos cos 2cos cos 22αβ αβ αβ+-+= sin sin 2sin cos 22αβαβ αβ+-+= 如图，作单位圆，并任作两个向量 (cos ,sin )OP αα=u u u r ，(cos ,sin )OQ ββ=u u u r 取 ?PQ 的中点M ，则 (cos ,sin )2 2 M αβαβ ++ 连接PQ 、OM ，设它们相交于点N ，则点N 为线段PQ 的中点，且ON PQ ⊥，∠Mo x 和∠MOQ 分别为,22αβαβ +-，所以||||cos cos 22 ON OM αβαβ --==u u u r u u u u r ，所以点N 的坐标为(||cos ,||sin ) 22 ON ON αβαβ ++u u u r u u u r ，即(cos cos ,cos sin )2222N αβαβαβαβ-+-+ 又11 ()(cos cos ,sin sin )22ON OP OQ αβαβ=+=++u u u r u u u r u u u r 所以(cos cos ,cos sin )2222αβαβαβαβ-+-+1 (cos cos ,sin sin )2 αβαβ=++ 即cos cos 2cos cos 22 αβαβ αβ+-+= sin sin 2sin cos 22 αβαβαβ+-+= 在上面的基础上，还可以证明另外两个和差化积公式：

sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--= cos cos 2sin sin 2 2 αβ αβ αβ+--=- 如图，过P 点作y 轴的平行线，过Q 作x 轴的平行线相交于点F ，那么||sin sin PF αβ=-u u u r ，||cos cos FQ βα=-u u u r ， ∠ QPF ＝ ∠ QNE ＝ ∠ Mox ＝ 2 αβ +， ||2||2||sin 2sin 22 PQ NQ OQ αβαβ --===u u u r u u u r u u u r 所以||||cos ,||||sin PF PQ QPF FQ PQ QPF =∠=∠u u u r u u u r u u u r u u u r 即sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--= cos cos 2sin sin 22 αβαβ αβ+--=- 例2、用向量解决平行四边形与三角形面积的计算公式 如图，在直角坐标系中，已知12(,)OA a a a ==u u u r r ，12(,)OB b b b ==u u u r r ，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，那么平行四边形的面积1221||S a b a b =-，三角形OAB 的面积 12211 ||2 OAB S a b a b ?= - 证明：设,a b α<>=r r ，那么可以得出 ||||sin OACB S a b α=r r ，由于cos ||||a b a b α?=r r r r 所以222sin 1cos 1()|||| a b a b αα?=-=-r r r r 222222 1122122111221221222222222 222121212121212()2()1()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a a b b a a b b a a b b ++--=-==++++++ 所以sin α=

自动控制原理网上作业题

东北农业大学网络教育学院 自动控制原理网上作业题 第一章基本概念 一、简答题 1 简述自动控制的基本概念 2 简述自动控制系统的基本组成 3 简述控制系统的基本控制过程 4 简述自动控制系统的基本分类 5 试比较开环控制和闭环控制的特点 6 简述自动控制系统的性能评价指标 二、分析计算题 1 液位自动控制系统如图所示。试分析该系统工作原理，画出系统原理框图，指出被控对象、被控参量和控制量 2 发动机电压调节系统如图所示，试分析其工作原理，画出系统原理框图，指出其特点。 3液面控制系统如图所示。试分析该系统的工作原理，指出系统中的干扰量、被控制量及被控制对象，并画出系统的方框图。 4控制系统如图所示。简述该系统的工作原理，说明该系统的给定值、被控制量和干扰量，并画出该系统的方块图。

图1-7发电机-电动机调速系统 操纵电位计 发电机 伺服电机 减速器 负载 Θr 给定值Ur 前置放大器功放执行元件 被控量 Wm 这是一个开环控制的例子 +E -E Θr 发电机-电动机调速系统 5火炮随动控制系统如图所示。简述该系统的工作原理，并画出该系统的原理框图。 第二章 线性控制系统的数学模型 一、简答题 1 简述建立控制系统数学模型的方法及其数学表示形式 2 简述建立微分方程的步骤 3 简述传递函数的基本概念及其特点 4 给出组成控制系统典型基本环节 二、分析计算题 1 有源电网络如图所示，输入量为)(1t u ，输出量为)(2t u ，试确定该电网络的传递函数 2 电枢控制式直流电动机原理图如图所示，输入量为)(1t e ，输出量为)(t o ，试确定其微分方程。

海伦公式的推导和应用

海伦公式 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的国王希伦（,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2 —————————————————————————————————————————————— 注1：Metrica(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。 —————————————————————————————————————————————— 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明（1）： 与海伦在他的着作Metrica(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ）：2证明（ 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国着名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上

用向量法证明海伦公式

用向量法证明海伦公式 杜云 （六盘水师范学院数学系；贵州六盘水553004） 摘要：从数与形的角度对向量进行再认识，通过应用向量方法证明海伦公式，更进一步阐明了向量是沟通代数与几何的天然桥梁，是一个重要的数学模型，它能为解决问题提供新的方法和视角。 关键词：向量；几何；海伦公式；数形结合 中图分类号：G421文献标识码：A 文章编号：1671-055X （2009）03-0063-03 To prove Heron's Formula with the Vector DU Yun (Mathematics Department of Liupanshui Nornal College;Liupanshui,553004,China) Abstract:Recognized the vector from algebra and geometry and by proving Heron's Formula further expounds ,If shows thar the vector is a natural bridge between algebra and geometry,and it is an important mathematics style,and also provides the new method and view to solve the problems. Key words :vector ；geometry;Heron's Formula;combination between algebra and geometry 收稿日期：2009-03-03 作者简介：杜云（1982-），男，贵州盘县人，助教，研究方向：高等代数与解析几何。 第21卷第3期 2009年6月六盘水师范高等专科学校学报Journal of Liupanshui Teachers College Vol.21NO.3June 2009 63--

高中数学必修3海伦公式的证明方法

高中数学必修3海伦公式的证明方法 海伦公式的证明⑴ 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c 的对角分别为A、B、C，则余弦定理为[1] cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b- c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 海伦公式的证明⑵ 中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角

形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果 这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来 求三角形的面积?直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜 求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方， 送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”， 作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2} 当P=1时，△2=q, △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2} 因式分解得 △^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/4[(c+a)^2-b^2][b^2-(c-a)^2] =1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得： S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c)

海伦公式的证明(精选多篇)

经典合同 海伦公式的证明 姓名：XXX 日期：XX年X月X日

海伦公式的证明 与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则余弦定理为cosc = (a^2+b^2-c^2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos^2 c)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2 +b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4* √[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+ b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式 =√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 第二篇：海伦公式的几种证明与推广 海伦公式的几种证明与推广 古镇高级中学付增德 高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重 要且优美的公式——海伦公式〔heron's formula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积s可由以下公式求得： s? (p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p? 12 (a?b?c)，称为半周长。 图1 第 2 页共 32 页

信号流图与梅森公式

2.5 信号流图与梅森公式 2.5.1 信号流图 信号流图是表示复杂的又一种图示方法.信号流图相对于结构图更简便明了,而且不必对图形进行简化,只要根据统一的公式,就能方便地求出系统的传递函数. 1. 信号流图的组成及基本性质 信号流图由节点和支路组成.一个节点代表系统中的一个变量,用小圆圈”Ο”表示;连接两个节点之间有箭头的定向线段为支路.支路相当于信号乘法器,乘法因子(或支路增益)表在支路上;信号只能沿箭头单方向传递,经支路传递的信号应乘以乘法因子;只有输出支路,无输入支路的节点称为输入节点,代表系统的输入变量;只有输入支路,无输出支路的节点称为输出节点,代表系统的输出变量;既有输入支路,也有输出支路的节点称为混合节点.信号流图的特征描述还需要以下专用术语: 前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时,对任何节点只通过一次的通路称为前向通路.而前向通路上各支路增益之积,为前向通路总增益. 回路 如果信号传递通路的起点和终点在同一节点上,且通过任何一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路.回路中各支炉增益的乘积称为回路增益. 不接触回路 两个或两个以上回路之间没有任何公共节点,此种回路称为不接触回路. 由图2-31的信号流图可以说明以上的基本元素,即 74321X X X X X 是节点； j h d c b a ,,,,, 为支路增益； 4,1X X 为输入节点； 7X 为输入节点； 6532X X X X 为混合节点。 信号流图共有三条前向通道，第一条是7 65321X X X X X X → → → → →；第二条是 76531X X X X X → → → →；第三条是765324X X X X X X → → → → → 。 有两个单独回路，一个是565X X X →→，起点和终点是5X ；另一个起点、终点在3X 的自回路。而且这两个回路无公共节点，是不接触回路。 图2-31 信号流图 注意：对于确定的控制系统，其信号流图不是唯一的。 2.5.2 信号流图的绘制 信号流图可以根据系统方框图的绘制，也可以根据数学表达式绘制。 1． 根据系统方框图绘制 将方框图中比较点和引出点分别作为信号流图的节点，方框图中的方框变为信号流图中标有传递函数的线段，便得到支路。 从系统方框图绘制信号流图是时应尽量精简节点数目。若在方框图的比较点之前没有引出

向量法证明几何命题

毕业论文 论文题目向量法证明初等几何命题 学院数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级 2011级 学号 4 学生平 指导教师峰 完成时间 2015 年 4 月 学院教务处制

向量法证明初等几何命题 平 摘 要 本文使用向量的数量积，向量积，混合积证明一些初等几何的命题．例如，勾股定理，余弦定理，海伦公式． 关键词 初等几何；数量积；向量积；混合积 1引言 向量这个名词对于大家来说并不陌生，在高中的教材中已经接触了不少向量的容．在力学、物理学已及日常生活中，咱们常常遇到很多的量，譬如像温度、时间、质量、密度、功、长度、面积与体积等，这些量在规定的单位下，都可以由一个数来完全确定，这种只有大小的量叫做数量．其余又有一些比较复杂的量，比方像位移、力、速度、加速度等，他们不仅有大小，而且还有方向，这类量便是向量． 向量最初被应用于物理学．不少物理量如力，速度，位移一集电场强度，磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个了的组合作用可用著名的平行四边形则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有想线段．最早使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿． 从数学发展历史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所了解，直到19世纪未20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算关联起来，使向量成为具备一套优良运算通性的数学体制． 向量可以进入数学并得到发展，最初使用于复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔初次使用坐标平面上的点来表示复数a bi +（a 、b 为有理数，且不同时等于0），把坐标平面上的点用向量表示出来，并使用拥有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并用向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐渐接受了复数，也学会了利用复数来表述和研究平面中的向量，向量就这样平静地投入了数学中． 因为向量法证明许多几何命题都是比较简化，所以许多命题都有向量法去证明，许多学生因为学习了向量，从而激发他们的兴趣，在许多熟悉的问题上都想向量法去证明，但他们不清楚不了解向量法的基本思路和证明技巧，不仅仅学生，甚至老师也有时候还是用比较繁琐的方法去证明初等几何命题． 本论文主要介绍向量的基本运算法则，还有对几个经典的问题进行证明，分别用一般的方法和向量法对一些初等的几何命题进行证明，然后作对比，比较一下向量法和一般的方法有什么不一样，看看哪一种方法更加简捷和实用． 2结果与讨论 2．1向量的基本运算[1] 向量的加法运算： AB BC AC +=，a b b a +=+，0a a +=，()0a a +-=，()()a b c a b c ++=++．

格林公式

从而 ， , , , 有 . (20) 四、格林公式 平面曲线积分，当曲线C（A,B）的始点A与终点B重合时（即C是一条闭曲线），在力学、电学等有很多应用。因为第二型曲线积分与所沿平面闭曲线的曲线积分要规定闭曲线的正方向。按右手坐标系，当一个人沿着平面闭曲线环行时，闭曲线所围成的区域位于此人的左侧，规定这个方向是曲线的正方向，如图14.7，反之是负方向，如图14.8 沿闭曲线C的曲线积分，记为

规定其中曲线C 总是取正方向。格林公式给出了平面区域上的二重积分与沿着该区域边界的闭曲线的曲线积分之间的关系。 设D 是有向的x 型或y 型闭区域，即 ,如图14.9， 或 {(x,y)│φ1 (y )≤y≤φ2 (y ),a≤x≤b}，如图14.10. 这里的 ， 在[a,b]上是连续函数，φ1 (y)，φ2 (y)在[a,b]上是连续函数，D 的正负向 按上面的规定。 定理3（格林公式） 若函数P ,Q 及其偏导数，在有界闭区域D 上连续，则有 . (21) 其中是围成闭区域D 的边界封闭曲线，取正向。公式（21）称为格林公式

格林公式是两个等式组成的： 与 证明由于区域D形状不同，定理证明分三步进行。1）设D是x型闭区域（如图14.9）。 dx ]. (22) 由曲线积分的计算公式，按图14.9，有 ? ? ? ??+ + + = ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( H N N M M K K H dx y x P dx y x P dx y x P dx y x P dx y x P τ τ τ ττ , 其中 ? ?=b a K H dx x x P dx y x P)] ( , [ ) , ( 1 ) , ( ? τ ， ? ? ?-= = b a a b M K dx x x P dx x x P dx y x P)] ( , [ )] ( , [ ) , ( 2 2 ) , ( ? ? τ 因为线段KM与NH都平行于y轴，有 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( = =? ? H N M K dx y x P dx y x P τ τ . 于是， ? ? ?- = Γ b a b a dx x x P dx x x P dx y x P)] ( , [ )] ( , [ ) , ( 2 1 ? ? =dx x x P x x P b a )]} ( , [ )] ( , [ { 1 2 ? ?- -?。（23） 由（22）式与（23）式，有 ? ?? Γ = ? ? -dx y x P dxdy y P D ) , (（24） 若D又是y型闭区域（如图14.10）.同理可证 ? ?? Γ = ? ? dx y x Q dxdy y Q D ) , (，（25） 2）若闭区域D是一条光滑或逐段光滑的闭曲线Γ所围成，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x型又是y型闭区域，然后逐块按照1）的计算方法得格林公式，再逐块相加即得（21）式。其中在D内两个小区域有共同边界，则因正向取向恰好相反，他们的积分值正好互相抵消。

海伦公式几种证明方法

已知三角形的三个边c b a 、、求它的面积S ,有公式))()((c p b p a p p S ---=, 其中)(21 c b a p ++=。这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何课本上一般都有介紹。人们认为这 个公式一定是海伦所首先发现,其实并不然。在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。海伦是古希腊的数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我们还不知道,大概在公元1-3世纪期间。 为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。而在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边c b a 、、直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解决的，于是他得到了海伦公式。 而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。 一种方法是用解三角形基本的知识解决。 已知三角形的三边为c b a 、、，设)(2 1 c b a p ++=， 求证：三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=. 证明：由正弦定理C ab S sin 21= 可得）（C b a C b a S 2222222cos 14 1sin 41-==， 又由余弦定理2 2222222222 4)(2cos b a c b a ab c b a C -+=-+=）（，从而有 ）（（222222222 4141b a c b a b a S -+-=16412 22222）（c b a b a -+-= ]4[1612 22222）（c b a b a -+-= ]2(2[(161222222））c b a ab c b a ab +---++= )])(()[((1612222b a c c b a ---+=）))()()((16 1b a c b a c c b a c b a +--+-+++= 2 ) (2)(2)(2)(b a c b a c c b a c b a +-?-+?-+?++= 2 )2(2)2(2)2(2)(a b a c b b a c c c b a c b a -++?-++?-++?++=

[0315]格林公式的推导

格林公式的推导 推导格林公式之前，首先要深入理解高斯-散度定律： v div dv Γ=?????F Fds (1) 其实就是一句话， 矢量的散度的体积积分=矢量的面积积分。简单来说可以这样理解：对比等式左右两端，左端的被积函数求了散度（就是微分运算）比右端低了一阶，因此左端的积分变量上就要比右端高一阶（由面元变为体元）。 详细说明如下： 注意P Q R =++F i j k 为矢量，散度算子div x y z ???=++???i j k 也是矢量，因此等式左端是两个矢量的标量积的体积积分。 而等式右端，面积微元()cos cos cos ds ds αβγ==++ds n i j k 也是矢量，因此等式右端实际上是两个矢量的标量积的面积积分。 这样将上式（1）展开，可以得到高斯-散度定理另一种形式： ()cos cos cos v P Q R dv P Q R ds x y z αβγΓ?????++=++ ?????? ????? (2) 注意，上述推导中矢量的处理（矢量都已加粗并上标箭头），不要混淆了。 明白了以上几点，再推导格林公式就很容易了： 令,,v v v P u Q u R u x y z ???===???代入（2）式： 左端： v v v P Q R u v u v u v dv u vdv dv x y z x x y y z z ?????????????++=?+++ ? ?????????????? ????????? 右端： ()cos cos cos cos cos cos P Q R ds v v v u ds x y z v u ds n αβγαβγΓΓΓ++???????=++?? ????? ????=??????? 最后一步逆用了方向导数的定义，方向恰为外法线方向： cos cos cos αβγ=++n i j k 稍微整理，即得格林第一公式： v v u u v u v u v v udv v ds dv n x x y y z z Γ??????????=-++ ?????????? ???????? (3)

二重积分的分部积分公式与格林公式

在导出黎曼问题的弱解概念时，在欧拉方程两边同时乘以任意函数再积分转化为一等价的“弱”形式的方程时用到了二重积分的分部积分方法，其实就是格林公式。 一般意义下的分部积分公式： uv dx uv vu dx ''=- ?? 或udv uv vdv =-?? 证明： 分部积分实际上是把普通积分公式f dx f ' =?中的被积函数f 换成了两个函数的乘积，故可称之为一维情况下的分部积分； 把普通积分公式运用到二维情况，其实就得到了格林公式，格林公式实现了把面积分转换成了线积分（降次）。 格林公式： F dxdy Fdy x Ω ?Ω ?=??? ? F dxdy Fdx y Ω ?Ω ?=-??? ? 一般合并写为D L Q P dxdy Pdx Qdy x y ?? ??-= + ???????? 证明（以第一个公式为例）： 积分域为{ }(x,y)|a(y)x b(y),c y d Ω=≤≤≤≤，如图： 则：

(y)(y) (y)(y) (x,y)((y),y)((y),y)d b c a d x b x a c d d c c F dxdy x F dxdy x F dy F b dy F a dy Fdy Ω ==?Ω ???= ?==-= ?? ?????? 类似地，把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出二维情况下 的分部积分。 二重积分的分部积分公式： ()g f f dxdy fg dy g dxdy x x Ω ?Ω Ω ??=-??????? ()g f f dxdy fg dx g dxdy y y Ω ?Ω Ω ??=--??????? 证明（以第一个公式为例）： 在F dxdy Fdy x Ω ?Ω ?=??? ? 中，把F 换为fg ，则： () ()fg dxdy fg dy x Ω ?Ω ?=??? ? ， 即()()g f f g dxdy fg dy x x Ω ?Ω ??+=????? 即()g f f dxdy fg dy g dxdy x x Ω ?Ω Ω ??=- ??????? 综上： 把普通积分公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了一维分部积分公式； 把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了二维分部积分公式。 且两种分部积分公式在形式上是很相似的： uv dx uv vu dx ''=-??对比()g f f dxdy fg dy g dxdy x x Ω ?Ω Ω ??=-??????? 北航曾元圆

海伦公式的几种证明与推广(简洁)

海伦公式的几种证明与推广 高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula 〕：假设有一个三角形，边长分别为,,,c b a ，三角形的面积S 可由以下公式求得： ))()((c p b p a p s ---=，而公式里的)(2 1 c b a p ++= ，称为半周长。 图1 C 为了证明该公式，海伦公式有多种变形，如：S= ))()((c p b p a p p --- = ))()()((41a c b b c a c b a c b a -+-+-+++=])(][)[(412222b a c c b a ---+ =)]2()[2(41222222ab c b a ab c b a --+-+-+=222222)(441 c b a b a -+- =4442222222224 1 c b a c b c a b a ---++ （方法一）：利用三角形面积公式C ab s sin 2 1=和余弦定理C ab b a c cos 22 22-+= C ab s sin 21==C n ab 2 cos 121-=2222)2(121ab c b a ab -+-下略。 （方法二）：利用三角形最基本的面积公式a ABC ah S 2 1 = ?入手，并利用勾股定理，如图2。

y 图2 B C 在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，根据勾股定理，有?? ???=+=+=+a z y b z x c y x 2 22222解方程，得a b c a y 2222-+=， a c b a z 2222-+=，2222222222222)(421)2(b c a c a a a b c a c y c x -+-=-+-=-=下略。 （方法三）：利用三角形内切圆 图3 z z C 如图3,在△ABC 中，内切圆⊙O 的半径是r,则x r A =2tan , y r B =2tan ,z r C =2tan ,代入恒等式2tan 2tan B A ?+2tan 2tan C A ?+2 tan 2tan C B ?=1，(考虑三角形内角和之半为九十度，并考虑和角正切公式) 得1222=++yz r xz r xy r ，两边同乘xyz ，有等式 xyz z y x r =++)(2 ………①

海伦公式的证明(精选多篇)

海伦公式的证明(精选多篇)第一篇：海伦公式的证明 与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在变形此我们用三角公式和公式变形来说明。设三角形的三边a、b、c 的对角分别为a、b、c，则余弦定理为cosc = (a^2+b^2- c^2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos^2 c)=1/2*ab*√[1- (a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2- c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2- b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a- b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 第二篇：莉莉公式的几种证明与推广 海伦公式的几类证明与推广 古镇高级中学付增德 高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔heron"s formula〕：换言之有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积s可由以下公式求得： s? (p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p? 12 (a?b?c)，称为半周长。 图1

格林公式及其应用教(学)案

丽水学院 教案 课程名称：高等数学 课程代码：B2 授课专业班级：电信121、122本 授课教师：洪涛清 院别：理学院 2013年 5月13 日

一、授课题目 §10 3 格林公式及其应用 二、教学时间安排： 共3课时 三、教学目的、要求 1．了解格林公式的证明过程，理解格林公式的实质及满足的条件。 2．熟练掌握格林公式及其简单的应用。 3．理解并掌握平面曲线积分与路径无关的四个等价条件。 4．会求全微分的原函数。 四、教学重点和难点 重点: 格林公式的应用 难点: 灵活应用格林公式进行简化计算。 五、教学方法及手段 启发式讲授法结合多媒体教学。 六、教学过程设计 准备知识 1．单连通与复连通区域 设D 为平面区域 如果D 任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D 为平面单连通区 域 否则称为复连通区域 2．边界曲线的正向： 对平面区域D 的边界曲线L 我们规定L 的正向如下 当观察者沿L 的这个方向行走时 D 在他近处的那一部分总在他的左边 （一）格林公式 1．定理1设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成 函数P (x y )及Q (x y )在D 上具有一阶连续偏导数 则有 ???+=??-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q )( 其中L 是D 的取正向的边界曲线 2．简要证明分析 先就D 既是X －型的又是Y －型的区域情形进行证明 设D {(x y )| 1 (x )y 2 (x ) a x b } 因为 y P ??连续 所以由二重积分的

计算法有 dx x x P x x P dx dy y y x P dxdy y P b a x x b a D )]}(,[)](,[{}),({12)()(21????-=??=??????? 另一方面 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有 ?????+=+= a b b a L L L dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx )](,[)](,[212 1 ?? dx x x P x x P b a )]}(,[)](,[{21??-=? 因此 ???=??-L D Pdx dxdy y P 设D {(x y )|1 (y )x 2 (y ) c y d } 类似地可证 ???=??L D Qdx dxdy x Q 由于D 既是X －型的又是Y －型的 所以以上两式同时成立 两式合并即得 ???+=??? ? ???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q 注意 对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D 来说都是正向 3．格林公式的简单应用： （1）化曲线积分为二重积分，如课件例1 例1/ 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线 证明 ?=+L dy x xydx 0 22 证 令P 2xy Q x 2 则 022=-=??-??x x y P x Q 因此 由格林公式有 022=±=+???dxdy dy x xydx D L (为什么二重积分前有“” 号？ ) （2）化二重积分为曲线积分 例2 计算 ??-D y dxdy e 2 其中D 是以O (0 0) A (1 1) B (0 1)为顶点的三 角形闭区域 分析 要使 2 y e y P x Q -=??-?? 只需P 0 2 y xe Q -=

自动控制原理复习题

复习提纲 一、拉氏变换与拉氏反变换 例1．cos ωt 的拉氏变换为 。sin ωt 的拉氏变换为 。 e –at 的拉氏变换为 。 例2．t e t f t 4cos 321)(3++=-的拉氏变换=)(s F 例3. 求4 ()(2) F s s s = +的拉氏反变换式f(t) 例4. 已知)(t f 的拉氏变换为2()() s a F s s s a += +，则原函数=)(t f 例5. 应用终值定理求下列象函数的原函数f(t)的稳态值： （1）4 ()(5)(8)F s s s = ++ （2）5 ()(1)F s s s = + （3）(4) ()(1) s s F s s += + 例6．已知误差)25(9 )(2 +++= s s s s s E ，用终值定理求稳态误差==∞ →)(lim t e e t ss 例7.（1）正弦函数t ωsin 的 拉普拉斯变换为（ ） A ． 2 2ωω +s B. 22ω+s s C. ωω+s D. 2 21 ω+s （2） 函数st te t f --=2)(的拉氏变换式为（ ） A ． 2)5(12+-s s B. 2)5(12--s s C. 5 212--e s s D. 2)5(11++s s （3）已知5 21 )(2++= s s s F ，其拉氏反变换)(t f 为（ ） A ．t e t cos 2- B.t e t 2sin 21- C. t e t 2sin 21 D. t e t cos 2 1

（4）已知象函数)52)(2(3 3)(22+++++=s s s s s s s F ，其原函数的终值， lim f(t)= A ．∞ B ．0 C ．0.6 D ．0.3 二、控制系统的数学模型 例1．（1）以下例子中，属于闭环控制系统的是（ ） A ．洗衣机 B.空调 C.调级电风扇 D.普通车床 （2）下列不属于对自动控制系统基本要求的是（ ） A ．稳定性 B.快速性 C.连续性 D.准确性 （3） 以下关于反馈的描述,正确的是( ) A ．只有自然控制系统才存在反馈 B.只是一种人为地把输出信号回输到输入端的信息传 递方式 C.人类简单地行动,如取物,行走等都存在着信息的反馈 （4）不属于开环控制系统优点的是( ) A ．构造简单,维护容易存在反馈 B.成本比响应的闭环控制系统低 C.不存在稳定性问题 D.可根据输出量,随时对输入量进行自动修正. （5） 表示系统快速性的性能指标是( ) A ．超调量 B.振荡次数 C.调整时间 D.稳态误差 （6）表示系统平稳性的性能指标是( ) A ．超调量 B.上升时间 C.调整时间 D.稳态误差 （7）表示系统准确性的性能指标是( ) A ．超调量 B.上升时间 C.调整时间 D.稳态误差 （8）开环控制系统的控制信号取决于( ) A ．给定的输入信号 B.输出信号 C.反馈信号 D.参考输入信号和反馈信号之差 （9）闭环控制系统的控制信号取决于( ) A ．给定的输入信号 B.输出信号 C.反馈信号 D.参考输入信号和反馈信号之差 （10）闭环控制系统中,( )反馈作用 A ．依输入信号的大小而存在 B.一定不存在 C.必然存在 D.不一定存在 （11）线性定常系统的传递函数就是（ ） A ．输出的拉氏变换比输入的拉氏变换； B ．零初始条件下，输出与输入之比； C ．零初始条件下，输入的拉氏变换比输出的拉氏变换 D ．零初始条件下，输出的拉氏变换比输入的拉氏变换 （12）线性定常系统的传递函数与（ ）有关。

海伦公式几种证明方法

已知三角形的三个边c b a 、、求它的面积S ,有公式))()((c p b p a p p S ---=, 其中)(21c b a p ++=。这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何课本上一般都有介紹。人们认为这个公式一定是海伦所首先发现,其实并不然。在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。海伦是古希腊的数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我们还不知道,大概在公元1-3世纪期间。 为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。而在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边c b a 、、直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解决的，于是他得到了海伦公式。 而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。 一种方法是用解三角形基本的知识解决。 已知三角形的三边为c b a 、、，设)(21c b a p ++= ， 求证：三角形的面积))()((c p b p a p p S ---= . 证明：由正弦定理C ab S sin 21= 可得）（C b a C b a S 2222222cos 141sin 41-==， 又由余弦定理2 22 22222 2224)(2cos b a c b a ab c b a C -+=-+=）（，从而有 ））（（222222222 4141b a c b a b a S -+-=1641222222）（c b a b a -+-= ]4[161222222）（c b a b a -+-=]2(2[(16 1222222））c b a ab c b a ab +---++= )])(()[((1612222b a c c b a ---+=）))()()((16 1b a c b a c c b a c b a +--+-+++= 2 )(2)(2)(2)(b a c b a c c b a c b a +-?-+?-+?++=2)2(2)2(2)2(2)(a b a c b b a c c c b a c b a -++?-++?-++?++= ))()((a p b p c p p ---=