容易混淆的概念-数学一11页

高等数学部分易混淆概念

第一章：函数与极限

一、数列极限大小的判断 例1：判断命题是否正确．

若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞

→∞

==<则

解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：

11

,1

n n x y n n ==

+，,n n x y n

设n n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞

→∞

-=则（ ）

A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C 正确

分析：若lim lim 0n n n n x y a →∞

→∞

==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞

=≠，故不选A 与

D.

取1

1(1),(1),(1)n n n n n n x y z n n

=--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞

-=，但

lim n n z →∞

不存在，所以B 选项不正确，因此选C ．

例3．设,n n x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞

-=则与（ ）

A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A 正确．

分析：由于,n n x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim()0n n n y x →∞

-=及夹逼定理

得

lim()0n n a x →∞

-=

因此，lim n n x a →∞

=，再利用lim()0n n n y x →∞

-=得lim n n y a →∞

=．所以选项A ．

二、无界与无穷大

无界：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得

()f x M

x X D ≤?∈?

则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界．

无穷大：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ）

，只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式

()f x M >

则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ②

① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0

lim ()x x

f x →=∞

②

如果0

lim ()x x

f x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界

解析：举反例说明．设11()sin f x x x

=，令11

,,22

n n x y n n π

π

π=

=

+

，当n →+∞时，0,0n n x y →→，而

lim ()lim (2)2

n n n f x n π

π→+∞→+∞

=+=+∞

lim ()0n n f y →+∞

=

故()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确．

由定义，无穷大必无界，故②正确．

结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大． 三、函数极限不存在≠极限是无穷大

当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．

例5：函数10()0

010

x x f x x x x -?

，当0x →时()f x 的极限不存在．

四、如果0

lim ()0x x

f x →=不能退出0

1

lim

()

x x f x →=∞ 例6：()0

x x f x x ?=?

?为有理数为无理数，则0lim ()0x x f x →=，但由于1

()

f x 在0x =的任一邻域

的无理点均没有定义，故无法讨论

1

()

f x 在0x =的极限． 结论：如果0

lim ()0x x

f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，

则0

1lim

()x x

f x →=∞．反之，()f x 为无穷大，则

1

()

f x 为无穷小。 五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。 例7．求极限1

lim ,lim x

x

x x e e

→∞→

解：lim ,lim 0x x x x e e →+∞

→-∞

=+∞=，因而x →∞时x e 极限不存在。

1

100lim 0,lim x x x x e e →-→===+∞，因而0x →时1x

e 极限不存在。

六、使用等价无穷小求极限时要注意：

（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价

无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。

（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换 例8

：求极限0

x →

2

写成1)1)+，再用等价无穷小替换就会导致错误。 分析二：用泰勒公式

22222211()122(1())22!

11()122(1())222!1

()

4

x x x x x x x x οοο-+++-+-++-=-+ 原式222

1

()

144

x x x ο-+==-。 例9：求极限sin lim

x x

x

π→

解：本题切忌将sin x 用x 等价代换，导致结果为1。

sin sin lim

0x x x πππ

→==

七、函数连续性的判断

（1）设()f x 在0x x =间断，()g x 在0x x =连续，则()()f x g x ±在0x x =间断。而2()(),(),()f x g x f x f x ?在0x x =可能连续。

例10．设0

()1

x f x x ≠?=?

=?，()sin g x x =，则()f x 在0x =间断，()g x 在0x =连续，()()()sin 0f x g x f x x ?=?=在0x =连续。

若设10

()1

x f x x ≥?=?

-

续。

（2）“()f x 在0x 点连续”是“()f x 在0x 点连续”的充分不必要条件。 分析：由“若0

lim ()x x f x a →=，则0

lim ()x x f x a →=”可得“如果0

0lim ()()x x

f x f x →=，则0

0lim ()()x x

f x f x →=”，因此，()f x 在0x 点连续，则()f x 在0x 点连续。再由例10可得，()f x 在0x 点连续并不能推出()f x 在0x 点连续。

（3）()x ?在0x x =连续，()f u 在00()u u x ?==连续，则(())f x ?在0x x =连续。其余结论均不一定成立。

第二章 导数与微分

一、函数可导性与连续性的关系

可导必连续，连续不一定可导。

例11．()f x x =在0x =连读，在0x =处不可导。 二、()f x 与()f x 可导性的关系

（1）设0()0f x ≠，()f x 在0x x =连续，则()f x 在0x x =可导是()f x 在0

x x =可导的充要条件。

（2）设0()0f x =，则0()0f x '=是()f x 在0x x =可导的充要条件。 三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论

设()()()F x g x x ?=，()x ?在x a =连续，但不可导，又()g a '存在，则()0g a =是()F x 在x a =可导的充要条件。

分析：若()0g a =，由定义

()()()()()()()()

()lim

lim lim ()()()x a x a x a F x F a g x x g a a g x g a F a x g a a x a x a x a

????→→→---''====--- 反之，若()F a '存在，则必有()0g a =。用反证法，假设()0g a ≠，则由商的求导法则知()

()()

F x x g x ?=

在x a =可导，与假设矛盾。

利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。

四、在某点存在左右导数时原函数的性质

（1）设()f x 在0x x =处存在左、右导数，若相等则()f x 在0x x =处可导；若不等，则()f x 在0x x =连续。

（2）如果()f x 在(,)a b 内连续，0(,)x a b ∈，且设0

lim ()lim (),x x x x f x f x m →+→-

''==则

()f x 在0x x =处必可导且0()f x m '=。

若没有如果()f x 在(,)a b 内连续的条件，即设0

lim ()lim ()x x x x f x f x a →+→-

''==，则得不到任何结论。

例11．2

()0

x x f x x

x +>?=?

≤?，显然设00lim ()lim ()1x x f x f x →+→-''==，但0lim ()2x f x →+=，

0lim ()0x f x →-

=，因此极限0

lim ()x f x →不存在，从而()f x 在0x =处不连续不可导。

第三章 微分中值定理与导数的应用

一、若lim (),(0,lim ()x x f x A A f x →+∞

→+∞

'=≠∞=∞可以取）, 则

若lim ()0x f x A →+∞

'=≠，不妨设0A >，则0,()2

A

X x X f x '?>≥>

时，，再由微分中值定理

()()()()

(,(,))f x f X f x X x X X x ξξ'=+->∈

()()()()lim ()2

x A

f x f X x X x X f x →+∞

?≥+

->?=+∞

同理，当0A <时，lim ()x f x →+∞

=-∞

若lim (),0,()1x f x X x X f x →+∞

''=+∞??>≥>时，，再由微分中值定理

()()()()(,(,))f x f X f x X x X X x ξξ'=+->∈

()()()()lim ()x f x f X x X x X f x →+∞

?≥+->?=+∞

同理可证lim ()x f x →+∞

'=-∞时，必有lim ()x f x →+∞

=-∞

第八章 多元函数微分法及其应用

高等数学部分易混淆概念及例题

高等数学部分易混淆概念 第一章：函数与极限 一、数列极限大小的判断 例1：判断命题是否正确． 若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞ →∞ ==<则 解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：11 ,1 n n x y n n == +，,n n x y n ，那么函数()f x 在X 上无界． 无穷大：设函数 ()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大）， 总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ< -<（或x X >） ，对应的函数值()f x 总满足不等式 ()f x M > 则称函数 ()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果 ()f x 在0x 某邻域内无界，则0 lim ()x x f x →=∞

高等数学基本知识点大全

高等数学基本知识点

一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1

高数易混淆概念

概念区别： 1．无界与无穷大 无界是对任一M(无论多大),总存在x,使得f(x)>M,这里x任意，存在即可，不强调存在方式。 无穷大是对任一M(无论多大)，总存在x0,当x>x0时，f(x)>M(注，这里的无穷大时x趋近正无穷时，其他同理)，这里的存在有限制。 从定义，再结合图像，无穷算是无界的一种。但是无界不一定无穷 无界是一个区间而无穷是针对一个趋势，举个例子1/x,在(0,+∞)是无界而同是这个函数x趋近0是无穷而趋近无穷则是0 第二个例子xsinx,x趋近无穷满足无界的定义，是无界，但不是无穷，因为无论怎样取x0,x>x0总有函数等于0，也就是不存在这样的函数。也就是说对于一个无界的区间你如果有意识的话可以挑选一些数，有一定顺序组成一个新的函数的话完全可以成为无穷了。正如例子中你选π/2,5π/2,9π/2……是不是无穷？ 这也涉及到一元函数的极限概念，考虑一下二元函数极限是x,y无论哪条路径都可以趋近某个值，其实一元函数也有个路径，不过这个路径指的是在x轴无论0，2，4，6……还是1，3，5……等等都是趋近同一值，这是想通之处了。而对于某一类的无界它也不过是挑取某个路径达到无穷。不能满足所有路径都是。 2．无穷小和零 无穷小是趋势，一定条件下的趋势，同是一个函数在不同条件下地位不同比如x趋近0时时无穷小x趋近1就是，0是无论那种情况都是趋近0，所以0是无穷小。但是无穷小和0不是等价的，这点把握到这里就可以了。 3．常见的几种点 驻点：导数为0的点，不仅有定义，而且导数必须存在且为0 极值点：相对点，相对于附近某一小临域，它是最大〔小〕的值，这里强调这个临域存在，临域不是区间；这样的点有一些性质，若可导则导数必为0，但导数为0不全是极值点(x^3) 但是这不是判断极值点的唯一条件，还要根据定义，这就属于不可导的点了(|x|的0点)，所以极值点穿插很多，多重考虑，别忘了必须有定义。 拐点：性质有点类似极值点只是要求不同，它是某一临域左右凸凹性改变，同理既要考虑二阶导数是0还有二阶导不存在的穿插，还要注意最基本，有定义 4．可积，原函数，变限积分 可积指定积分存在〔注意是定积分不包括反常积分广义积分〕，按几何意义，曲线与x轴面积〔这里也可以说是负面积〕存在。 原函数是函数，不是一个值，判定是否存在原函数，对它求导后导函数是该函数。 变限积分定积分下限为常数，上限是自变量，集合两者，把x确定为一个值它就是定积分，某种意义上它可以算是某个原函数，但是这是一般情况，总体来说它还是一个函数。 可积不一定有原函数〔一个值存在怎么断定一个趋近有函数呢，〕，有第一类间断点是没有原函数但是可以有定积分，可积。有原函数不一定可积〔1/x〕，它们之间关系颇为复杂，求一个定积分我们有能力的就是利用奇偶性或者间接利用原函数〔牛顿，来布尼次公式〕，一马归一马，注意区别。 而可积和变限积分联系挺大的，一般区间可积的话变限积分不仅存在而且连续，不深入讨论。 原函数和变限积分是最易混淆的，两者都是函数，求的过程容易觉得变限积分算是原函数的其中一个，一般函数可以这么以为，不过深入讨论，决不这么简单，对于存在原函数的上述结论正确，可是最大的区别就是有第一类间断点没有原函数，但是变限积分存在且连续，图形上理解就是有间断点，不影响面积存在性而且不影响连续性，这点可以证明。 5．一元与二元函数的可微，可导和连续 一元函数和二元函数在连续，可微，可导虽然从书上看性质不太一样但这决不违背定理，两个之间有莫大的关系。 一元函数和二元函数的连续都要求极限存在且等于函数值，不同就是因为不同元函数因为空间的分布不同决定了极限的趋近方式不同，因为一元只有x是一条轴，一根线，那么教材上强调的更多是左右趋近，其实另一角度看，正如概念区别1来说其实方式也有很多，因为别看只是一条轴它却有无穷多个点，极限是要求连续取的，可是为了区别，我们有时候会跳跃取。正如数列极限中2n,2n+1,只有同时取尽才保证极限存在，而二元函数分布于一个平面这就决定了方向的无穷性了，随意一个一元函数都可以决定一个方向y=x,y=x^2等等，作为一条曲线可以作为一条方向只要它过所确定的点即可，一元函数其实就是沿着(x,0)对二元函数的极限，这也就说明二元函数连续，那么在该点确定的一元函数也连续。举个例子f(x,y)在0,0连续，那么f(x,0)肯定在x=0连续，一般到特殊，但是反之却不可以，这也从一定程度说明证明二元函数不连续，可以选取不同y,x关系，极限不同则不连续。 可导，一元函数中有可导必连续，这是因为导数的定义

初中数学基本知识点总结(精简版)

初中数学基本知识点总结(精简版) 1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数．如:－3,，０．231,0.737373…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.101001０001…（两个1之间依次多1个０)．有理数和无理数统称为实数. 2、绝对值:a≥０丨a丨=a；a≤０丨ａ丨＝－ａ．如：丨－丨=；丨3．１４-π丨=π-3.14． 3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.如:0.05９72精确到0．0０1得0.060,结果有两个有效数字6,0. 4、把一个数写成±a×１0n的形式(其中1≤ａ＜10,ｎ是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如:-4０700＝-4.07×10５，０.０00043＝４．３×10-5. 5、乘法公式（反过来就是因式分解的公式）:①（a＋b）（a－b）=a２-ｂ2.②(a±b)2=a２±２ab+b2.③(a+b）（a2－ab＋b２)＝a3＋b3.④(a－b）(a2＋ａb＋b2）＝ａ3－ｂ３；a2+b2=(ａ＋b）２－２ａb，（a-b)2=(a+b)2－4aｂ. 6、幂的运算性质：①a m×ａn＝a m+n．②aｍ÷aｎ=aｍ-n.③(ａm)n＝a mｎ.④(aｂ)n＝a n b n.⑤(）n=n． ⑥a－n＝1 n a ，特别:()－n＝()n．⑦a0=１(a≠０）.如：ａ3×a２=ａ5,ａ6÷a2=a4，(a3)2＝a６，(3a3)3=27a9,(－ ３)－1=－，5－2＝=，()－2＝（)2=，(-3.14)o＝１，(-)0=1． 7、二次根式：①()2＝a（ａ≥０)，②=丨a丨,③=×,④＝(a>0,b≥0)．如:①(3- )2=4５．②=6．③a＜0时,=－a．④的平方根＝４的平方根＝±2.（平方根、立方根、算术平方根的概念) 8、一元二次方程:对于方程:ax２+bｘ＋c=0： ①求根公式是x= 24 2 b b ac a -±- ,其中△=b2－4ac叫做根的判别式． 当△＞０时，方程有两个不相等的实数根； 当△=０时,方程有两个相等的实数根； 当△<0时，方程没有实数根.注意:当△≥０时，方程有实数根． ②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2+ｂx＋ｃ可分解为a（ｘ-x1)(ｘ－x２)． ③以a和b为根的一元二次方程是x2-(ａ+b）x+ａｂ＝0. 9、一次函数y=ｋx＋ｂ（ｋ≠０)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k>0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升）;当k＜0时,ｙ随x的增大而减小（直线从左向右下降）.特别:当b=0时,ｙ＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(ｙ与x成正比例)，图象必过原点． 10、反比例函数y＝(ｋ≠0)的图象叫做双曲线．当ｋ＞０时,双曲线在一、三象限（在每一象限内，从左向右降)；当k<0时,双曲线在二、四象限（在每一象限内，从左向右上升).因此，它的增减性与一次函数相

高中生物容易混淆的概念

高中生物容易混淆的概念 生物学科的概念有容量大、易混淆的特点，复习时可以将相近或相反的概念一组组甚至一串串地进行识记、辨别、区分和比较，这样不但容易记住，更重要的是记得准。鉴于篇幅原因，本篇只把概念一组组列出，同学们在复习时如果带着这些概念去看书和梳理知识，就可以大大提高复习的效率。下面列出的这些概念有大有小，如果你都能辨别和区分清楚的话，高考生物所需要的基础知识就已经掌握大半了。 １、生长、生殖、发育 ２、应激性、适应性 ３、脱氧核糖核酸、脱氧核糖核苷酸、核糖核酸、核糖核苷酸 ４、细胞质、细胞液 ５、染色质、染色体 ６、同源染色体、姐妹染色单体 ７、赤道板、细胞板 ８、纺锤丝、纺锤体、星射线 ９、有丝分裂、无丝分裂、减数分裂 10、分裂、分化 11、细胞衰老、细胞癌变 12、大量元素、微量元素、主要元素、基本元素、矿质元 素 13、转氨基作用、脱氨基作用 14、必需氨基酸、非必需氨基酸　15、有氧呼吸、无氧呼吸 16、自养型、异养型 17、需氧型、厌氧型 18、同化作用、异化作用 19、神经中枢、中枢神 经 20、体液调节、激素调节、神经调节 21、反射（条件反射、非条件反射） 22、感受器、效应器 23、突触、突触小体、突触小泡 24、先天性行为（趋性、非条件反射、本能） 25、后天性行为（印随、模仿、条件反射、推理、判断） 26、有性生殖、无性生殖　27、囊胚、胚囊 28、胚膜、羊膜 29、极体、极核 30、胚胎发育、胚后发育 31、复制、转录、逆转录、翻译 32、遗传信息、遗传密码 33、基因分离规律、基因自由组合规律 34、基因型、表现型 35、显性基因、隐性基因 36、纯合子、杂合子 37、杂交、测交、自交 38、常染色体、性染色体 39、XY型性别决定、ZW型性别决定 40、基因突变、基因重组　染色体变异　41、基因突变、人工诱变 42、突变、基因突变 43、地理隔离、生殖隔离 44、物种、种群 45、种群、群落 46、生态系统、生物圈 47、生态因素（生物因素、非生物因素） 48、寄生、共生、捕食、竞争 49、群落的水平结构和垂直结构 50、抵抗力稳定性、恢复力稳定性 51、生态系统的稳定性、生物圈的稳态　52、生长素、生长激素 53、水平衡、盐平衡、糖平衡 54、特异性免疫、非特异性免疫 55、体液免疫、细胞免疫 56、抗原、抗 体 57、淋巴因子、抗体 58、特异性免疫的三个阶段：感应阶段、反应阶段、效应阶段 59、免疫失调（过敏反应、自身免疫病、免疫缺陷病） 60、C3植物、C4植物 61、光合作用效率、光能利用率 62、自生固氮微生物、共生固氮微生物 63、固氮细菌、硝化细

小学数学16条易混淆概念解析

随着课程改革的不断深入，新课程理念已为越来越多的一线数学教师所接受。对处于微观知识层面的一些现实性“诘问”，诸如“最小的一位数是0还是1”、“为什么0也是自然数”、“最大的分数单位是多少”、“计算出勤率可不可以不乘100%”……等等，看似“细节”的问题，却是彰显数学教学“科学性”“严谨性”不可或缺的一环，处理不好可能直接影响到教学评估和考试命题。特转录了困扰小学数学教师的16条“知识性诘问”，供同仁参考。 1、最小的一位数是0还是1 这个问题在很长一段时间存在争论。先来看看《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”的叙述：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如“2”是含有一个数位的数，叫做一位数；“30”是含有两个数位的数，叫做两位数；“405”是含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。再来听听专家的说明：在自然数的理论中，对“几位数”是这样定义的，“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字（其中左边第一个数字为有效数字）表示的数，叫做两位数……所以，在一个数中，数字的个数是几（其中最左边第一个数字为有效数字），这个数就叫几位数。于此，所谓最大的几位数，最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。所以一位数共有九个， 即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。０不是最小的一位数。 ２、为什么0也是自然数 课标教材对“０也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。于此，中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。从教学实践层面来说，将“０”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。 “0”作为自然数的“好处”。众所周知，数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。有限集合是含有有限个元素的集合，像某班学生的集合。无限集合是含有的元素个数是非有限的集合，如分数的集合。因为自然数具有“基数”的性质，因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。但在有限集合中，有一个最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素个数为0。如果不把0作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。如果把“0”作为一个自然数，那么自然数就可以完成刻画“有限集合元素个数”的任务了。于此，从“自然数的基数性”这个角度，我们看到了把“0”作为自然数的好处。 把“0”作为自然数，不会影响自然数的“运算功能”。“0”加入传统的自然数集合，所有的“运算规则”依旧保持，如新自然数集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数。同时，加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘法的分配律也不会受到影响。所以，“0”加盟到自然数集合实属理所当然，而不仅仅是人为的“规定”。它让我们更好地理解自然数和它的功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的“定义”和“规定”，还

初中数学五种作图基本概念及技巧

初中数学五种作图基本 概念及技巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中数学五种作图基本概念及技巧 一、基本概念 1.尺规作图：在几何里，用没有刻度的直尺和圆规来画图，叫做尺规作图． 2.基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图． 3.五种常用的基本作图： (1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角； (3)平分已知角； (4)作线段的垂直平分线． (5)经过一点作已知直线的垂线 4.掌握以下几何作图语句： (1)过点×、点×作直线××；或作直线××，或作射线××； (2)连结两点×、×；或连结××； (3)在××上截取××=××； (4)以点×为圆心，××为半径作圆（或弧）； (5)以点×为圆心，××为半径作弧，交××于点×； (6)分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点××； (7)延长××到点×，或延长××到点×，使××=××． 5.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述就可以了。 如： (1)作线段××=××； (2)作∠×××=∠×××； (3)作××（射线）平分∠×××； (4)过点×作××⊥××，垂足为×； (5)作线段××的垂直平分线××． 二、尺规作图基本步骤和作图语言 1、作线段等于已知线段已知：线段a 求作：线段AB，使AB＝a 作法： （1）作射线AC （2）在射线AC上截取AB＝a ，则线段AB就是所要求作的线段 2、作角等于已知角已知：∠AOB求作：∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.作法:(1)作射线O′A′.(2)以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D.(3)以点O′为圆心,以OC长为半径画弧,交O′A′于点C′.(4)以点C′为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D′.(5)过点D′作射线O′B′.∠A′O′B′就是所求作的角.

【小学数学】小学数学最易混淆的15个基础概念

小学数学最易混淆的15条基础概念 数学考试里有不少基础概念，似是而非，孩子们很容易因为混淆而没能答对题。今天小编搜集了小学数学最容易混淆的15条基础概念，家长让孩子看看都搞清楚了吗？ 最小的一位数是0还是1？ 这个问题在很长一段时间存在争论。先来看看《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”的叙述：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如“2”是含有一个数位的数，叫做一位数；“30”是含有两个数位的数，叫做两位数；“405”是含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。 再来听听专家的说明：在自然数的理论中，对“几位数”是这样定义的，“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字（其中左边第一个数字为有效数字）表示的数，叫做两位数……所以，在一个数中，数字的个数是几（其中最左边第一个数字为有效数字），这个数就叫几位数。 于此，所谓最大的几位数，最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。所以一位数共有九个，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。 ０不是最小的一位数。 为什么0也是自然数? 课标教材对“０也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。 于此，中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。 从教学实践层面来说，将“０”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。 “0”作为自然数的“好处” 众所周知，数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。有限集合是含有有限个元素的集合，像某班学生的集合。无限集合是含有的元素个数是非有限的集合，如分数的集合。因为自然数具有“基数”的性质，因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。 但在有限集合中，有一个最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素个数为0。如果不把0作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。如果把“0”作为一个自然数，那么自然数就可以完成刻画“有限集合元素个数”的任务了。于此，从“自然数的基数性”这个角度，我们看到了把“0”作为自然数的好处。 把“0”作为自然数，不会影响自然数的“运算功能” “0”加入传统的自然数集合，所有的“运算规则”依旧保持，如新自然数集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数。同时，加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘法的分配律也不会受到影响。 所以，“0”加盟到自然数集合实属理所当然，而不仅仅是人为的“规定”。它让我们更好地理解自然数和它的功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的“定义”和“规定”，还应该思考“规定”背后的数学涵义。 什么是有效数字一无效数字？ 有效数字是对一个数的近似值的精确程度而提出的。同一个近似数如果在取舍时，保留的有效数字多，就比保留的有效数字少更精确。

初中数学的基本概念

初中数学的基本概念 数学 SHU XUE 第一章有理数 一．基本概念 １．大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数；0既不是正数也不是负数． 注（１）正负数通常用来表示一对具有相反意义的量．（２）不一定是负数． （３）负数＜０＜正数．（要会比较两个数的大小） ２有理数＂或有理数 注：了解几个概念，＂正整数＂、＂负整数＂、＂非正整数＂、＂非负整数＂． ３．数轴的三要素：原点、正方向和单位长度．（判断是不是数轴的依据） ４．（１）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （２）倒数：乘积为１的两个数叫做互为倒数． （３）绝对值：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值．

注：① 互为相反数的两数之和为０；互为倒数的两数之积为１． ② ０的相反数是０；０的绝对值是０；０没有倒数． ③ 出现＂平方＂、＂绝对值＂、＂距离＂等关键字的题目，一般有两个答案． 例如：平方为９的数有±３；绝对值为３的数有±３；距离原点３个单位长度的点表示的数是±３． 注：要求能够熟练、快速、准确的求出任意一个数的相反数、倒数（０除外）和绝对值． 相反数 绝对值 倒数 正数 负数

正数 正数 负数 正数 正数 负数 ０ ０ ０ 不存在 ５．科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式，就

叫做科学记数法． 注：是整数位只有一位的数，是正整数． ６（１）近似数：它是相对于精确数来说的． （２）有效数字：从一个数的左边第一个非０数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 二．有理数的运算法则 １．加法法则： （１）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． （２）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． （３）０加任何数都得任何数． ２．减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数．即 注：加上一个数等于减去这个数的相反数．例如． ３．乘法法则： （１）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （２）０乘任何数都得０． ４．除法法则：

语文容易混淆的几个概念

语文容易混淆的几个概念 表达效果：简单一点说就是表达技巧（包括表达方式、表现手法、描写方法、修辞）的作用。 修辞方式与表达方式在初中语文中是经常提及的两个名词术语：它们之间区别很大。 （一）修辞方式：是指修饰文字词句，运用各种方法，使语言表达得准确、鲜明而生动有力，情感真挚、强烈而又引人入胜。初中课文常见的修辞方式有比喻、拟人、夸张、对偶、排比、反问、设问、对比、借代、反复、反语、引用、互文、婉曲、顶真、回环、通感等。（二）表达方式： 也叫表达方法，其内涵包括记叙、描写、说明、议论、抒情五个方面。 (1)记叙： 是写作中最基本记叙是写作中最基本记叙是写作中最基本记叙是写作中最基本、最常见的一种表达方式，它是作者对人物的经历和事件的发展变化过程以及场景、空间的转换所作的叙说和交代。在写事文章中应用较为广泛。 记叙文的写作手法如首尾照应、画龙点睛、巧用修辞、详略得当、叙议结合、正侧相映等；记叙文六要素：时间、地点、人物、事情的起因、经过、结果。记叙顺序：顺叙、倒叙、插叙。 (2)描写：是把描写对象的状貌、情态描绘出来(包括心理描写、语言

描写、动作描写、神态描写、外貌描写、环境描写）等，再现给读者的一种表达方式。它是记叙文，特别是文学创作中的主要表达方式之一。 在一般的抒情、议论、说明文中，有时也把它作为一种辅助手段。描写的手法运用得好，能逼真传神、生动形象，使读者如见其人、如闻其声、如临其境，从中受到强烈的艺术感染。 (3)抒情： 就是抒发和表现作者的感情。具体指以形式化的话语组织，象征性地表现个人内心情感的一类文学活动，它与叙事相对，具有主观性、个性化和诗意化等特征。 作为一种特殊的文学反映方式，抒情主要反映社会生活的精神方面，并通过在意识中对现实的审美改造，达到心灵的自由。抒情是个性与社会性的辩证统一，也是情感释放与情感构造、审美创造的辩证统一。它是抒情文体中的主要表达方式，在一般的文学作品和记叙文中，也常常把它作为重要的辅助表达手段。 (4)议论： 议论就是作者对某个议论对象发表见解，以表明自己的观点和态度。它的作用在于使文章鲜明、深刻，具有较强的哲理性和理论深度。在议论文中，它是主要表达方式；在一般记叙文、说明文或文学作品中，也常被当作辅助表达手段。 (5)说明：说明是用简明扼要的文字，把事物的形状、性质、特征、成因、关系、功用等解说清楚的表达方式。这种被解说的对象，有的

考研数学容易混淆的概念辨析归纳

考研数学容易混淆的概念辨析归纳

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高等数学部分易混淆概念 第一章：函数与极限 一、数列极限大小的判断 例１：判断命题是否正确. 若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞ →∞ ==<则 解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如:11 ,1 n n x y n n ==+，,n n x y n ，那么函数()f x 在X 上

英语语言学 易混淆概念辨析

Phonological structure音系结构 Which sound units are used and how they are put together Phonological analysis 音系学分析 Take a word, replace one sound by another, and see whether a different meaning results. (minimal pairs Phonemic contrast The relation between 2 phonemes when they occur in the same environment and distinguish meaning Phonological rule 音系规则 a formal way of expressing a systematic phonologicalprocess or sound change in language. Assimilation Dissimilation 异化 A process where 2 identical or similar phonemes changes or displaces the other one Suprasegmental/Phonological features (syllable stress tone intonation Those aspects of speech that involve more than single sound segments Syllable structure 音节结构(divided into rhyme and onset Componential analysis A way in which the meaning of a word can be dissected into meaning components, called semantic features. Grammatical construction 语法结构 The process of internal organization of a grammatical unit ( IC analysis Syntactic construction 句法结构 (endo/exo-centric construction Syntactic function 句法功能 Shows the relationship between a linguistic form and other parts of the linguistic pattern in which it is used Grammatical rule By which the grammaticality of a sentence is governed Grammatical relations The structural and logical functional relations of constituents Syntactic relations positional/substitutability/co-occurrence

(整理)高等数学基本公式概念和方法

高等数学基本公式、概念和方法 一．函数 1．函数定义域由以下几点确定 （１）0)(;) (1 ≠= x f x f y （２）0)(;)(2≥=x f x f y n （其中n 为正整数） （３）0)(:)(log >=x f x f y a 。 （４）1 )(1);(arccos 1)(1);(arcsin ≤≤-=≤≤-=x f x f y x f x f y （５）函数代数和的定义域，取其定义域的交集． （６）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定． 2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的． （１） 若)(),()(x f x f x f =-是偶函数，若)(),()(x f x f x f -=-是奇函数． （２） 若)(x f y =的图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．如x y x y cos ..2 ==等。 若)(x f y =的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如x y x y x y sin (3) === ３． 将函数分解成几个简单函数的合成． 由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系．函数与常数的四则运算，不必另设一层关系． 二．极限与连续 1．主要概念和计算方法： （１）．A x f x f A x f x x x x x x ==?=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0 （２）．若0)(lim 0 =→x f x x （极限过程不限），则当0x x →时)(x f 为无穷小量。 （3）．若)()(lim 00 x f x f x x =→，则函数在0x 处是连续的。 即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。 若上述三条至少一条不满足，则0x 是函数的间段点。 （4）．间断点的分类：设0x 是函数的间断点 若左、右极限均存在，则0x 称为第一类间断点。 若左、右极限至少有一个是无穷大，则0x 称为第二类间断点。 （5）．重要公式：条件0)(lim =x ?（极限过程不限）

初中数学基本概念整理

初中数学课本基本概念整理 七上 有理数：整数和分数的统称。 数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 绝对值：一般地，数轴上表示午数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是。倒数：乘积是1的两个数互为倒数。 乘方：求n个相同因数的积的运算。 幂：乘方的结果。 科学计数法：把一个大于10的数表示成a?10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数） 单项式：数或字母的积的式子以及单独的一个字母或一个数。 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。多项式：几个单项式的和。 多项式的项：多项式中每个单项式叫做多项式的项。 多项式的次数：多项式里，次数最高项的的次数，叫做这个多项式的次数。 整式：样单项式与多项式的统称。 同类项：所含字母相同，并且相同字幕的指数也相同的项叫做同类项。 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。 合并同类项后，所得项的系数是合并前个同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 方程：含有未知数的等式。 一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是一，等号两边都是整式。等式的性质1：等式两边加（减）同一个数，（或式子结果仍相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等。 七下： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线段最短 直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离。 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行

高中生物 易混淆概念总结工作总结

高中生物易混淆概念总结工作总结 高中生物易混淆概念总结工作总结高中生物易混淆概念总结1.脂质与油脂脂质是脂类物质的统称，包括油脂(C、H、O)、磷脂 (C、H、O、N、P)、胆固醇(C、H、O)、植物蜡(C、H、O)等。 2.鲜重与干重鲜重：细胞正常活性状态下的重量。一般含量 最多的化合物是H2O，含量最多元素是O;干重：细胞除去自由水 后的重量，烘干后保持恒重后测定的重量。一般含量最多的化合 物是蛋白质，而含量最多的元素是C。 3.类囊体膜与叶绿体内膜类囊体在叶绿体基质中，是单层膜 围成的扁平小囊，也称为囊状结构薄膜。沿叶绿体的长轴平行排列，含有光合色素和电子传递链组分，光能向活跃的化学能的转 化在此上进行，因此类囊体膜亦称光合膜。类囊体可增大叶绿体 的膜面积，增大光合作用率。与叶绿体内膜的区别见右图。 4.分裂与增殖(1)细胞增殖是侧重结果，细胞分裂侧重过程。 (2)对于真核生物而言，绝大多数体细胞靠有丝分裂来增殖; 少数的体细胞(如蛙的红细胞)是靠无丝分裂来增殖;精子和卵细胞是靠减数分裂来增殖的。 例如年上海高考题：精原细胞增殖的方式为：A有丝分裂B有丝分裂和减数分裂(答案：A)解析：精原细胞的增殖方式只能是有丝分裂，减数分裂增殖的是精子。

5.细胞液与细胞内液细胞液特指植物细胞液泡内的液体;细胞内液是细胞内所有液体成分的总括，包括细胞质基质，核基质，叶绿体等细胞器的基质以及液泡内的细胞液。 6.原生质体与原生质层原生质层：指细胞膜、液泡膜和这两层膜之间的细胞质，可看作是一层选择透过性膜，这层膜将细胞液与外界环境分隔开。原生质层为成熟的高等植物细胞及成熟的酵母菌等所具有。 原生质体：通常是指具细胞壁的细胞用酶解法除去壁后获得的结构。原生质体主要用于细胞工程的体细胞杂交研究。 如：植物细胞用纤维素酶和果胶酶处理可获得原生质体，细菌用溶菌酶处理可获得原生质体。需要指出的是：在用酶解法获取原生质体时，必须将细胞置于等渗溶液中操作，以防细胞失水皱缩或过分吸水胀破。 7.载体蛋白与通道蛋白载体蛋白和通道蛋白均属于膜转运蛋白，对被运输的物质都具有高度的特异性或选择性。通道蛋白只参与被动转运，在运输过程中不与被运输的物质结合，也不移动，如离子通道、水通道;载体蛋白参与的有主动转运和易化扩散，在运输过程中与相应的物质特异性结合(具有类似于酶和底物结合的饱和效应)，自身的构型会发生变化，并会移动。通道蛋白转运速率与物质浓度成比例，且比载体蛋白介导的转运速度更快(1000倍以上)。通道蛋白其结构和功能状态在细胞内外理化因子

高考地理易混淆的40个概念

高考地理易混淆的40个概念 易混概念一天体与天体系统 天体——宇宙中各种物质存在的形式，如恒星、行星、小行星、流星体、彗星、星云等都属于天体。 天体系统——运动着的天体之间相互吸引和相互绕转所构成不同等级，构成天体系统至少要有两个天体，如地月系、太阳系等。 区别——天体是独立的个体，天体系统是多个天体的集合。 易混概念二地球存在生命的条件与地球存在生命的原因 地球存在生命的条件——三大金锁链条件，液态水、适宜的温度和适合呼吸的大气。 地球存在生命的原因——是指形成三大条件的地球自身和宇宙条件，如日地距离适中、地球体积质量适中、八大行星各行其道等。 易混概念三光照与热量 光照——主要是指直接来自太阳辐射的能量。光照的多少主要取决于日照时数的多少，而影响日照时数的因素主要与昼夜长短、天气、海拔高度有关。通常太阳高度角越大，晴天多，日照时数越长，光照就越充足。一般在光照充足的地区，农作物光合作用强，单产高，比如新疆的长绒棉、青藏高原的青稞。 热量——是指某一地区在特定的气候条件下所能获得的热量，它是太阳辐射和地表、大气各种物理过程的综合结果。一个地区的热量主要取决于纬度位置和海拔高度。一般来说，纬度低，地面获得的太阳辐射能量多，热量高;纬度高，地面获得的太阳辐射能量少，热量低。热量状况最直观的描述就是温度。 区别——光照充足的地方，热量不一定丰富，例如青藏高原光照充足但热量不足。 易混概念四积温和无霜期 积温——我们知道，温度是影响农作物生长与发育的主要因素。由于大多数农作物只有在日平均气温稳定升到10 ℃以上时才能活跃生长，因此我们把日均温达到10 ℃以上的持续时期视为作物的活跃生长期。把作物生长期内，每天的日平均气温累加起来，得到的温度总和叫做积温。积温的多少决定了农作物的生长期的长短，能直接影响作物长势和生长季节。根据≥10 ℃积温的多少，我国自北向南可以分为五个温度带：寒温带、中温带、暖温带、亚热带和热带;积温越来越多，农作物的生长期也是越来越长。 无霜期——是指一地春天最后一次霜至秋季最早一次霜之间的天数。无霜期直接影响育苗移栽的时间，决定了播种的时节。在实际生产中，真正有危害的是霜冻，因此应该叫无霜冻期，即春季最后一次霜冻(终霜冻)至秋季第一次霜冻(初霜冻)之间的天数。 易混概念五恒星日与太阳日 恒星日——指地球以恒星作为参照物，地球上的某点顺地球自转方向连续两次对准恒星的时间间隔，是地球真正的周期，时间为23小时56分4秒。 太阳日——指地球以太阳作为参照物，地球上的某点顺地球自转方向连续两次对准恒星的时间间隔，是昼夜交替的周期，时间为24小时。谭老师地理工作室综合整理 易混概念六冬至日与近日点、夏至日与远日点 地球绕太阳运行的轨道(黄道)为近似正圆的椭圆轨道，太阳位于椭圆的两焦点之一。 近日点——每年1月初，地球离太阳最近，这个位置叫近日点。 远日点——7月初，地球距离太阳最远，这个位置叫远日点。