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2020年中考备考数学专项练习：因式分解拓展题

因式分解拓展

板块一：换元法

例1．分解因式：2222

x x x x x x

++++++

(48)3(48)2

例2．分解因式：22

++++-

(52)(53)12

x x x x

【巩固】分解因式：(1)(3)(5)(7)15

+++++

x x x x

【巩固】分解因式：22

++++-

(1)(2)12

x x x x

例3.证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．

【巩固】若x，y是整数，求证：()()()()4

+++++是一个完全平方数.

x y x y x y x y y

234

例4分解因式2

+---

a a a

(25)(9)(27)91

【巩固】分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-

例5分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-

【巩固】分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-

例6分解因式：272)3()1(4

-+++x x

【巩固】分解因式：4444(4)a a ++-

板块二：因式定理

因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式.

有理根：有理根p

c q =的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数.

例7分解因式：32252x x x ---

【巩固】分解因式：65432234321x x x x x x ++++++

【巩固】分解因式：322392624x x y xy y -+-

例8分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-

【巩固】分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+

板块三：待定系数法

如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.

即，如果 12112112101210n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b --------+++++=+++++L L 那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =.

例9用待定系数法分解因式：51x x ++

【巩固】 421x x -+是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?

【巩固】631

+-能否分解为两个整系数的三次因式的积?

x x

例10分解因式：432

++-+

x x x x

板块四：轮换式与对称式

例11分解因式：222

x y z y z x z x y

-+-+-

()()()

例12分解因式：222222

-+-+-

()()()

xy x y yz y z zx z x

家庭作业

练习 1．分解因式：24(5)(6)(10)(12)3x x x x x ++++-

练习 2．要使()()()()1348x x x x m -+--+为完全平方式，则常数m 的值为________

练习 3．分解因式：22(68)(1448)12x x x x +++++

练习 4．分解因式：22222()4()x xy y xy x y ++-+

练习 5．分解因式：32252x x x ---

练习 6．分解因式：326116x x x +++

练习 7．用待定系数法分解：541x x ++

练习 8．分解因式：333()()()a b c b c a c a b -+-+-

补充题

【备选1】分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a -----

【备选2】分解因式：21

(1)(3)2()(1)2

xy xy xy x y x y +++-++-+-

【备选3】分解因式：43265332x x x x ++--

因式分解拓展题解

板块一：换元法

例1分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++

【解析】将248x x u ++=看成一个字母，可利用十字相乘得

原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++22(48)(482)x x x x x x =++++++

22(58)(68)x x x x =++++2(2)(4)(58)x x x x =++++

例2分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++-

【解析】方法1：将25x x +看作一个整体，设25x x t +=，则

原式=22(2)(3)1256(1)(6)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x ++-=+-=-+=+++- 方法2：将252x x ++看作一个整体，设252x x t ++=，则

原式=22(1)1212(3)(4)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x +-=+-=-+=+++- 方法3：将253x x ++看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至

连换元都不用，直接把25x x +看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，

则原式22222(5)5(5)6(51)(56)(2)(3)x x x x x x x x x x =+++-=+-++=++2(51)x x +-.

【巩固】分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ 【解析】 2(2)(6)(810)x x x x ++++

【巩固】分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-

【解析】 2(1)(2)(5)x x x x -+++

例3证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【解析】设这四个连续整数为：1x +、2x +、3x +、4x +

(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++[(1)(4)][(2)(3)]1x x x x =+++++22(54)(56)1x x x x =+++++

246

u x x +=++ 原式22[(55)1][(55)1]1x x x x =++-++++22(55)11x x =++-+22(55)x x =++

【巩固】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.

【解析】 ()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++????????

22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++

令2254x xy y u ++=

∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++ 即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++

例4分解因式2(25)(9)(27)91a a a +---

【解析】原式22[(25)(3)][(3)(27)]91(215)(221)91a a a a a a a a =+-+--=----- 设2215a a x --=，

原式2(6)91691(13)(7)x x x x x x =--=--=-+22(228)(28)a a a a =---- 2(4)(27)(28)a a a a =-+--

【巩固】分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-

【解析】原式22(1)(2)(21)(23)90(253)(252)90x x x x x x x x =++++-=++++-

225y x x =+

原式22(3)(2)90584(12)(7)(2512)(27)(1)y y y y y y x x x x =++-=+-=+-=+++-

例5分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-

【解析】咋一看，很不好下手，仔细观察发现：222(31)(23)44x x x x x x --++-=+-，

故可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+. 故原式=24()AB A B -+2A =-222()B AB A B -+=--

2222

(31)(23)(232)x x x x x x ??=----+-=--+??.

【巩固】分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-

【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简化

计算过程，不妨设,a b x ab y +==，【解析】则原式=222(2)(2)(1)222x y x y x xy y y x --+-=-++-

222221()2()1(1)(1)(1)(1)x y x y x y a b ab a b +=---+=--=+--=--

例6分解因式：272)3()1(4

-+++x x

【解析】设13

22x x y x +++==+，则原式=4442(1)(1)2722(61)272y y y y -++-=++-

2222(6135)2(9)(15)2(3)(3)(15)y y y y y y y =+-=-+=+-+

22(5)(1)(419)x x x x =+-++

【巩固】分解因式：4444(4)a a ++- 【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令2x a =-

4444(4)a a ++-444(2)(2)4x x =++-+22224(44)(44)4x x x x =+++-++ 422(2416)256x x =+++422(24144)x x =++222(12)x =+222[(2)12]a =-+222(416)a a =-+

板块二：因式定理

因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式.

有理根：有理根p

c q =的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数.

例7分解因式：32252x x x ---

【巩固】 02a =-的因数是1±，2±，2n a =的因数是1±，2±．因此，原式的有理根只可能是1±，2±(分母为1)，1

±．因为(1)21526f =---=-，(1)21520f -=--+-=，

于是1-是()f x 的一个根，从而1x +是()f x 的因式，这里我们可以利用

竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幂排列，没有的补0：

可得原式2(232)(1)x x x =--+(2)(21)(1)x x x =-++

点评：观察，如果多项式()f x 的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反

数，则说明(1)0f =；

如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明(1)0f -=.

23232

22232

1252

22 35 33 22 22 0x x x x x x x x x x x x x x --+---+--------

【巩固】分解因式：65432234321x x x x x x ++++++ 解析：本题有理根只可能为1±.1+当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)，经检验1-是根，所以原式有因式1x +，

原式5432(1)(221)x x x x x x =++++++&

容易验证1-也是5432221x x x x x +++++的根，

5432221x x x x x +++++42(1)(21)x x x =+++22(1)(1)x x =++，所以65432234321x x x x x x ++++++222(1)(1)x x =++

【巩固】分解因式：322392624x x y xy y -+-

解析：322392624x x y xy y -+-(2)(3)(4)x y x y x y =---

例8分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++- 【解析】常数项abc -的因数为a ±，b ±，c ±，ab ±，bc ±，ca ±，abc ±

把x a =代入原式，得

32()()a a b c a ab bc ca a abc -+++++-332222a a ba ca a b abc a c abc =---+++-0=

所以a 是原式的根，x a -是原式的因式，并且 32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-

322()[()()]()x ax b c x a b c x bcx abc =--+-++-

2()[()]x a x b c x bc =--++()()().x a x b x c =---

【巩固】分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+ 【解析】如果多项式的系数的和等于0，那么1一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的

和减去奇次项系数的和等于0，那么1-一定是它的根．现在正是这样： ()(32)(23)2()0l n l m n l m n m n -+++-----+= 所以1x +是原式的因式，并且

32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+

322[()()][(2)(2)][2()2()]l m x l m x l m n x l m n x m n x m n =+++++-++--+++ 2(1)[()(2)2()]x l m x l m n x m n =++++--+(1)(2)()x x lx mx m n =+++--

板块三：待定系数法

如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.

即，如果 12112112101210n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b --------+++++=+++++L L 那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =.

例9用待定系数法分解因式：51x x ++ 【解析】原式的有理根只可能为1±，但是这2个数都不能使原式的值为0，所以原式没有

有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．

故52321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+++++或52321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+-++-

523254321(1)(1)()(1)(1)()1x x x ax x bx cx x a b x ab c x ac b x a c x ++=+++++=+++++++++++

故0

101

a b c ab ac b a c +=??++=??++=??+=?，解得110

a b c =??=-??=?，所以52321(1)(1)x x x x x x ++=++-+ 事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.

【巩固】 421x x -+是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积? 解析：我们知道42221(1)(1)x x x x x x ++=++-+.

421x x -+不能分解成两个整系数的二次因式的乘积．

如果421x x -+能够分解，那么一定分解为22(1)(1)x ax x bx ++++或

22(1)(1)x ax x bx +-+-

比较3x 与2x 的系数可得:021a b ab +=

??±=-?

(1)(2)

由(1)得b a =-，代入(2)得221a =±+，即23a =或21a =-，没有整数a 能满足这两个方程．

所以，421x x -+不能分解成两个整系数的二次因式的积 (从而也不能分解成两个有理系数的二次因式的积)．

【巩固】 631x x +-能否分解为两个整系数的三次因式的积? 解析：设6332321(1)(1)x x x ax bx x cx dx +-=+++++-，

比较5x ，3x 及x 的系数，得010a c ad bc b d +=??

+=+??-=?

由第一个方程与第三个方程可得c a =-，d b =,再把它们代入第二个方程中，得

1ab ab -=矛盾!

所以，631x x +-不可能分解为两个整系数的三次因式的积．

例10分解因式：43223x x x x ++-+ 【解析】原式的有理根只可能为1±，3±，但是这四个数都不能使原式的值为0，所以原式

没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．我们设想43223x x x x ++-+可以分为两个整系数的二次因式的乘积．由于原式是首1的(首项系数为1)，两个二次因式也应当是首1的．

于是，设43223x x x x ++-+22()()x ax b x cx d =++++ ⑴

其中整系数a b c d 、、、有待我们去确定．比较⑴式两边3x ，2x ，x 的系数

及常数项，得1213a c b d ac bc ad bd +=

??++= ?

?+=- ?

?= ? (2)(3)(4)(5)

这样的方程组，一般说来是不容易解的．不过，别忘了b d 、是整数!根据这一点，

从(5)可以得出13b d =??=?或13b d =-??=-?，当然也可能是31b d =??=?或3

1b d =-??=-?

在这个例子中由于因式的次序无关紧要，我们可以认为只有1

3b d =??=?或13

b d =-??=-?这两种情况．

将1b =，3d =，代入(4)，得31c a +=- ⑹

将⑹与⑵相减得22a =-，于是1a =-，再由⑵得2c =这一组数

(1a =-，1b =，2c =，3d =)不仅适合⑵、⑷、⑸，而且适合⑶．因此43223x x x x ++-+22(1)(23)x x x x =-+++ ⑺ 将1b =-，3d =-，代人⑷，得31c a --=- ⑻

将⑻与 ⑵相加得20a -=.于是0a =，再由 ⑵得1c =.

这一组数(0a =，1b =-，1c =，3d =-)，虽然适合⑵、⑷、⑸，却不适合⑶，

因而43222

23(1)(3)x x x x x x x ++-+=-+-/.

事实上，分解式是惟一的，找出一组满足方程组的数，就可以写出分解式⑺，考虑有没有其他的解纯属多余，毫无必要．

板块四：轮换式与对称式

对称式：x y 、的多项式x y +，xy ，22x y +，33x y +，22x y xy +，…

在字母x 与y 互换时，保持不变．这样的多项式称为x y 、的对称式．

类似地，关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++，

222222x y x z y z y x z x z y +++++，xyz ，…在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变．

这样的多项式称为x y z 、的对称式．

轮换式：关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++，222x y y z z x ++，222xy yz zx ++，xyz …

在将字母x y z 、、轮换(即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x )时，保持不变．

这样的多项式称为x y z 、、的轮换式．显然，关于x y z 、、的对称式一定是x y z 、、的轮换式．

但是，关于x y 、，z 的轮换式不一定是对称式．例如，222x y y z z x ++就不是对称式．

次数低于3的轮换式同时也是对称式．

两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式)．例11：分解因式：222()()()x y z y z x z x y -+-+-

解析：222()()()x y z y z x z x y -+-+-是关于x y z 、、的轮换式．

如果把222()()()x y z y z x z x y -+-+-看作关于x 的多项式，那么在x y =时，它的值为222()()()0y y z y z y z y y -+-+-=.

因此，x y -是222()()()x y z y z x z x y -+-+-的因式．

由于222()()()x y z y z x z x y -+-+-是x y z 、、的轮换式，

可知y z -与z x -也是它的因式．从而它们的积()()()x y y z z x --- ⑴ 是222()()()x y z y z x z x y -+-+- ⑵的因式．

由于⑴ 、⑵都是x y z 、、的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数k ，即有 222()(.)()()()()x y z y z x z x y k x y y z z x -+-+-=--- ⑶

现在我们来确定常数k 的值．为此，比较⑶的两边2x y 的系数：左边系数为1，右边系数为k -．因此，1k =-．

于是222()()()x y z y z x z x y -+-+-()()()x y y z z x =----

思路2：利用y －z ＝(y －x)－(z －x).

例12分解因式：222222()()()xy x y yz y z zx z x -+-+- 【解析】此式是关于x ，y ，z 的四次齐次轮换式，注意到x y =时，原式0=，故x y -是

原式的一个因式.

同理，y z -，z x -均是原式的因式，而()()()x y y z z x ---是三次轮换式，故还应有一个一次轮换式，设其为()k x y z ++，

故原式()()()()k x y z x y y z z x =++---，展开并比较系数可知，1k =-，故原式()()()()x y z x y y z z x =-++---.

思路2：利用x 2－y 2＝(x 2－z 2)+(z 2－y 2).

家庭作业

练习 1．分解因式：24(5)(6)(10)(12)3x x x x x ++++-

原式2224(1760)(1660)3x x x x x =++++-2224(1660)(1660)3x x x x x x ??=+++++-??

2222

4(1660)4(1660)3x x x x x x =+++++-22[2(1660)][2(1660)3]x x x x x x =++-+++

22(231120)(235120)x x x x =++++2(215)(8)(235120)x x x x =++++

练习 2．要使()()()()1348x x x x m -+--+为完全平方式，则常数m 的值为________ 【解析】 ()()()()1348x x x x m

-+--+22222(54)(524)(5)20(5)96x x x x m x x x x m =-+--+=----+，则196m =

练习 3．分解因式：22(68)(1448)12x x x x +++++

【解析】原式22(2)(4)(6)(8)12(1016)(1024)12x x x x x x x x =+++++=+++++

设21016t x x =++，则

原式(8)12(2)(6)t t t t =++=++22(1018)(1022)x x x x =++++

练习 4．分解因式：22222()4()x xy y xy x y ++-+

【解析】设22x y a +=，xy b =，则原式22222()4()()a b ab a b x y xy =+-=-=+-. 练习 5．分解因式：32252x x x ---

【解析】

32252(2)(21)(1)x x x x x x ---=-++ 练习 6．分解因式：326116x x x +++

【解析】

3226116(1)(56)(1)(2)(3)x x x x x x x x x +++=+++=+++ 练习 7．用待定系数法分解：541x x ++

【解析】原式的有理根只可能为1±，但是这2个数都不能使原式的值为0，所以原式没有

有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．

故542321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+++++或542321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+-++-

5423254321(1)(1)()(1)(1)()1

x x x ax x bx cx x a b x ab c x ac b x a c x ++=+++++=+++++++++++故1

100

a b c ab ac b a c +=??++=??++=??+=?，解得101

a b c =??=??=-?，所以54231(1)(1)x x x x x x ++=++-+ 事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.

练习 8．分解因式：333()()()a b c b c a c a b -+-+-

【巩固】 333()()()a b c b c a c a b -+-+-是关于a b c 、、的轮换式．它有三次因式

()()()a b b c c a ---．由于原式是a b c 、、的四次式，所以还应当有一个一次因式．原式是a b c 、、的四次齐次式，所以这个一次因式也是a b c 、、的一次齐次式，即它的常数项是0(否则，它的常数项与三次式()()()a b b c c a ---相乘得到一个三次式)．这个一次齐次式是a b c 、、的轮换式，形状应当是()k a b c ++k 是常数．

即有333()()()a b c b c a c a b -+-+-()()()()k a b c a b b c c a =++--- ⑴ 比较两边3a b 的系数，得1k =-

于是333()()()a b c b c a c a b -+-+-()()()()a b c a b b c c a =-++--- 上面求k 的方法是比较系数，也可以改用另一种方法，即适当选一组使()()()()0a b c a b b c c a ++---=/的数代替a b c 、、从而定出k ，例如，令2a =,1b =,0c =,把它代入⑴，得8203(2)k -+=??-,即1k =-, 以上两种确定系数的方法可以结合起来使用．

补充题

【备选1】分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a ----- 【解析】

2(5)(510)a a a a --+ 【备选2】分解因式：21

(1)(3)2()(1)2

xy xy xy x y x y +++-++-+-

【解析】设xy u =，x y v +=,原式＝(u+v+1)(u －v+1)＝(x+1)(y+1)(x －1)(y －1). 【备选3】分解因式：43265332x x x x ++--

【解析】原式的有理数根只可能为：1±，2±，12±，13±，23±，16

经检验1

-是一个根，所以21x +是原式的因式，进而可得：

43232265332(21)(32)(21)(32)(1)x x x x x x x x x x x x ++--=+++-=+-++

中考数学专题复习卷因式分解(含解析)

因式分解一、选择题 1.下列各式中，不含因式a+1的是（） A. 2a2+2a B. a2+2a+1 C. a2﹣ 1 D. 2.下列因式分解错误的是（） A. 2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1） B. x2+2x+1=（x+1）2 C. x2y﹣xy2=xy（x﹣ y） D. x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） 3.下列因式分解中，正确的个数为（） ①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y） A. 3个 B. 2个 C. 1 个 D. 0个 4.若x=1，，则x2+4xy+4y2的值是（） A. 2 B. 4 C. D. 5.化简:(a+1)2-(a-1)2=( ) A. 2 B. 4 C. 4a D. 2a2+2 6.下列因式分解正确的是( ) A. (x-3)2-y2=x2-6x+9-y2 B. a2-9b2=(a+9b)(a-9b)

C. 4x6-1=(2x3+1)(2x3-1) D. -x2-y2=(x-y)(x+y) 7.若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（） A. ﹣ 1 B. 0 C. 1 D. 2 8.下列各多项式中,不能用平方差公式分解的是( ). A. a2b2－1 B. 4－ 0.25a2 C. －a2－ b2 D. －x2+1 9.分解因式x2y﹣y3结果正确的是（). A. y(x+y)2 B. y(x-y)2 C. y(x2-y2) D. y(x+y)(x-y) 10.边长为a、b的长方形周长为12,面积为10,则的值为( ) A. 120 B. 60 C. 80 D. 40 11.如果2x2+mx﹣2可因式分解为（2x+1）（x﹣2），那么m的值是（） A. ﹣ 1 B. 1 C. ﹣ 3 D. 3 12.下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（） A. B. C. D. 二、填空题 13.分解因式：x2﹣16=________．

因式分解专项练习题(含答案)

因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式（1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 3．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 4．分解因式：（1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解：（1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2 10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 11．把下列各式分解因式：（1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2 （3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1 12．把下列各式分解因式：（1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．

因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8 分析：（1）提取公因式3p整理即可；（2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q），（2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2． 2．将下列各式分解因式（1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2．分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可；（2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可．解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）；（2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2． 3．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2． 4．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．分析：（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；

因式分解方法的拓展

第二讲分解方法的拓展一、换元法和主元法【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x =．思路点拨视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )． A ．(y －z)(x+y)(x －z) B ．(y －z)(x －y)(x ＋z) C ． (y+z)(x 一y)(x+z) D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) 思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式： (1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3．【例4】把下列各式分解因式： (1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．练习 1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝． 2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12=． 3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y=． 4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为． 5．将多项式3224--x x 分解因式，结果正确的是（）． A ．)1)(3(22-+x x B ．)3)(1(22-+x x C ．)1)(1)(3(2+-+x x x D ．)3)(3)(1(2+-+x x x 6．下列5个多项式： ①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③b d c c b d y d c b x 222)()(-+-----+；④ )(6)(3m n n n m m -+-；⑤x x 4)2(2+-

(完整)因式分解练习题精选(含提高题)

因式分解习题精选一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。 15、方程042=+x x ，的解是________。二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（）

因式分解拓展练习

因式分解应用宝典因式分解是中学数学的重要内容之一，不但在我们平时的考试中经常考到它，就是在各级各类数学竞赛题中都能看到用因式分解求解的题目．下面举例说明因式分解在以下几个方面的应用．一、计算例1．计算： 9421715(981)2(33)8+?+?．解：原式=181621621715152(33)23(31)4(33)83(31)8+?+?=+?+?=32 1、计算： 123369510157142113539155152572135 ??+??+??+????+??+??+??．二、求值例2.若1x y +=-，则4325x x y x y ++228x y +2345xy xy y +++的值等于（） A ．0 B ．-1 C ．1 D ．3 解：原式=432234(464)x x y x y xy y +++++322322 (2)()x y x y xy x y xy ++++ =42()()()x y xy x y xy x y +++++ 把1x y +=-代入上式，得：原式=4(1)1xy xy -+-= 所以，选C ． 2、若正数,,a b c 满足ab a b bc b c ++=++=ca c a ++=3，则(1)(1)(1)a b c +++=_____. 三、确定方程的整数解例3、如果,x y 是整数，且22200420051x xy y +-=，那么x =_____, y =______. 解：由已知方程得：()(2005)1x y x y -+= 因为x 和y 都是整数,所以有：1,20051x y x y -=+= 或1,20051x y x y -=-+=- 解得1,0x y == 或1,0x y =-= 3、若,x y 是非负整数，那么满足方程225y +=2x 的解有（） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组四、判断整除性问题 4、已知96 21-能够被在60至70之间的两个数整除，则它们是（） A ．63，61 B ．61，65 C ．63，65 D ．63，67 解：因为 96484848242421(21)(21)(21)(21)(21)-=+-=++- 48241212(21)(21)(21)(21)=+++-48241266(21)(21)(21)(21)(21) =++++-482412(21)(21)(21)6563=+++?? 所以，9621-能被63，65两个数整除．所以，选C ． 4、已知24 71-可被40至50之间的两个数整除，则这两个整数是（） A ．41，48 B ．45，47 C ．43，48 D ．41，47 五、比较代数式的大小

因式分解方法的拓展.docx

第二讲分解方法的拓展一、换元法和主元法【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．思路点拨视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )． A ．(y －z)(x+y)(x －z) B ．(y －z)(x －y)(x ＋z) C ． (y+z)(x 一y)(x+z) D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) 思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式： (1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3．【例4】把下列各式分解因式： (1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．练习 1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝． 2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ． 3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ． 4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为． 5．将多项式3224--x x 分解因式，结果正确的是（）． A ．)1)(3(22-+x x B ．)3)(1(22-+x x C ．)1)(1)(3(2+-+x x x D ．)3)(3)(1(2+-+x x x 6．下列5个多项式： ①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③b d c c b d y d c b x 222)()(-+-----+；④ )(6)(3m n n n m m -+- ；⑤x x 4)2(2+-

2018版中考数学：因式分解(含答案)

§1.3因式分解 A组一、选择题 1．(2015·四川宜宾，5，3分)把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，结果正确的是 () A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2 C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2 解析先提公因式3x再用公式法分解：3x3－12x2＋12x＝3x(x2－4x＋4)＝3x(x －2)2，故D正确．答案 D 2．(2015·山东临沂，5，3分)多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是() A．x－1 B．x＋1 C．x2－1 D．(x－1)2 解析mx2－m＝m(x－1)(x＋1)，x2－2x＋1＝(x－1)2，多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是(x－1)．答案 A 3．(2015·华师一附中自主招生，7，3分)已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4＋2b4＋c4＝2a2c2＋2b2c2，则△ABC是 () A．等腰三角形B．等腰直角三角形 C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析∵2a4＋2b4＋c4＝2a2c2＋2b2c2， ∴4a4－4a2c2＋c4＋4b4－4b2c2＋c4＝0，∴(2a2－c2)2＋(2b2－c2)2＝0，∴2a2－c2＝0，2b2－c2＝0，∴c＝2a，c＝2b，∴a＝b，且a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰直角三角形．答案 B

二、填空题 4．(2015·浙江温州，11，5分)分解因式：a2－2a＋1＝________．解析利用完全平方公式进行分解．答案(a－1)2 5．(2015·浙江杭州，12，4分)分解因式：m3n－4mn＝________．解析m3n－4mn＝mn(m2－4)＝mn(m＋2)(m－2)．答案mn(m＋2)(m－2) 6．(2015·山东济宁，12，3分)分解因式：12x2－3y2＝________．解析12x2－3y2＝3(2x＋y)(2x－y)．答案3(2x＋y)(2x－y) 7．(2015·湖北孝感，12，3分)分解因式：(a－b)2－4b2＝________. 解析(a－b)2－4b2＝(a－b＋2b)(a－b－2b)＝(a＋b)(a－3b)．答案(a＋b)(a－3b) 8．(2015·四川泸州，13，3分)分解因式：2m2－2＝________．解析2m2－2＝2(m2－1)＝2(m＋1)(m－1)．答案2(m＋1)(m－1) 三、解答题 9．(2015·江苏宿豫区，19，6分)因式分解：(1)x4－81； (2)6a(1－b)2－2(b－1)2. 解(1)x4－81＝(x2＋9)(x2－9) ＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)； (2)6a(1－b)2－2(b－1)2＝2(1－b)2(3a－1)． B组一、选择题 1．(2014·湖南岳阳，7，3分)下列因式分解正确的是 () A．x2－y2＝(x－y)2B．a2＋a＋1＝(a＋1)2 C．xy－x＝x(y－1) D．2x＋y＝2(x＋y)

因式分解练习题(超经典)

因式分解习题一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值

拓展课：因式分解中的拆项、添项法

拓展课：因式分解中的拆项、添项法教学目标： 1、掌握用拆项和添项法对多项式进行因式分解，掌握这两种方法的技巧。 2、在因式分解方法的选择中，培养思维的有序性，分析问题的逻辑性和注重解题策略的良好思维品质.渗透整体思想和化归思想. 3、学会分析问题解决问题，培养观察、归纳、总结能力. 教学重点：拆项和添项的技巧。教学难点：通过对题目特点的观察，灵活变换。合理、有效的选择因式分解的方法. 教学过程：因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例1 分解因式： )22)(22() 22)(22(4)2(4444 )1(22222 222 244+-++=-+++=-+=-++=+x x x x x x x x x x x x x x 试一试：444 1y x + 例2 分解因式： x 3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将一次项-9x 拆成-x-8x ．

原式=x 3-x-8x+8=(x 3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)．解法2 添加两项-x 2+x 2．原式=x 3-9x+8=x 3-x 2+x 2-9x+8=x 2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)．解法3 将常数项8拆成-1+9．原式=x 3-9x-1+9 =(x 3-1)-9x+9=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)．解法4 将三次项x 3拆成9x 3-8x 3．原式=9x 3-8x 3-9x+8=(9x 3-9x)+(-8x 3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x 2+x+1)=(x-1)(x 2+x-8)．注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．练习：1、1724+-x x 2、 343+-a a 自主评价和小结：分解因式 3、4224b b a a ++ 4、12234++++x x x x ；、；、作业： 132412444+-+x x y x

因式分解练习题精选

一、填空： 1. 若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2. 22)(n x m x x -=++则m =____ n =____ 3. 若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 4. _____) )(2(2(_____)2++=++x x x x 5. 若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 6. 若6,422=+=+y x y x 则=xy ___ 。二、选择题： 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=-12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（） A 、2 1， B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式： 1 、234352x x x -- 2 、 2 633x x - 3 、22414y xy x +-- 4、13-x

八年级数学因式分解拓展提高练习汇总

八年级数学因式分解拓展提高练习汇总板块一：换元法例1．分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 例2．分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++- 【巩固】分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ 【巩固】分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++- 例3.证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．

【巩固】若x，y是整数，求证：()()()()4 +++++是一个完全平方数. 234 x y x y x y x y y 例4分解因式2 (25)(9)(27)91 +--- a a a 【巩固】分解因式22 ++++- (32)(384)90 x x x x 例5分解因式：2222 x x x x x x --+--+- 4(31)(23)(44) 【巩固】分解因式：2 +-+-+- (2)(2)(1) a b ab a b ab

例6分解因式：272)3()1(4 4 -+++x x 【巩固】分解因式：4444(4)a a ++- 板块二：因式定理因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式. 有理根：有理根p c q = 的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数. 例7分解因式：32252x x x ---

【巩固】分解因式：65432 ++++++ x x x x x x 234321 【巩固】分解因式：3223 x x y xy y -+- 92624 例8分解因式：32 x a b c x ab bc ca x abc -+++++- ()() 【巩固】分解因式：32 +++-+---+ ()(32)(23)2() l m x l m n x l m n x m n

初一数学乘法公式、因式分解拓展题

初一数学乘法公式、因式分解拓展题1．已知（x﹣2015)2+（x﹣２0１7)2=３4,则(x﹣２01６)２的值是( ) A．4?B.8 C.１2?D.16 2.已知:a=2014x+２０15，ｂ=2０14x+201６，c＝2014x+2０1７,则ａ2+b2+c2﹣aｂ﹣ac﹣ｂc的值是（) Ａ．０?Ｂ.1?Ｃ．2?D．3 3.已知甲、乙、丙均为ｘ的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为ｘ2+15ｘ﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同?(） A.2x＋19?B．2x﹣19?C．2x+15?Ｄ．２ｘ﹣1５４.若x２+ｍx＋k是一个完全平方式，则k等于（） A.m2?Ｂ．m2 C.m2?D．m2 ５．ｎ是整数，式子[1﹣（﹣1）n］（n2﹣１）计算的结果（) Ａ．是0? B.总是奇数 C.总是偶数?D.可能是奇数也可能是偶数 6.已知ａ+b=３，ab=﹣2，则a2＋b2的值是． 7．分解因式:a3﹣4ａ2b+4ab2＝. ８.分解因式：x3﹣xy2＝. 9．如果(x2＋p)（x2+7)的展开式中不含有x2项,则p= . 10．已知a＋ｂ=８,a2b2=4，则﹣ab= ． 11.观察下列各式的规律: (ａ﹣ｂ）（ａ+b)＝a2﹣b２（ａ﹣ｂ)（ａ2+aｂ+b2)=a3﹣b3 （a﹣b)（a3+a2ｂ＋ab2＋b3)＝ａ4﹣b４ …可得到(a﹣b)（ａ２016+a2０15ｂ＋…+aｂ2０１5+ｂ２016）=_____＿___＿＿____＿．１2．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了（a+b）n(n＝1，2，3，4…)的展开式的系数规律(按ａ的次数由大到小的顺序)：请依据上述规律，写出(x﹣)2016展开式中含x2014项的系数是________＿. 13．观察下列等式： 1+2+3+4+…+ｎ＝n(ｎ+1); 1+3+６+10＋…+n(ｎ+1)=n（ｎ＋１）(n+２);

中考数学分类(含答案)因式分解

中考数学分类（含答案）因式分解一、选择题 1. （2010山东济宁）把代数式 322 363x x y xy -+分解因式，结果正确的是 A ．(3)(3)x x y x y +- B ．223(2)x x xy y -+ C ．2(3)x x y - D ．2 3()x x y - 【答案】D 2．（2010四川眉山）把代数式269mx mx m -+分解因式，下列结果中正确的是 A ．2(3)m x + B ．(3)(3)m x x +- C ．2(4)m x - D ．2(3)m x - 【答案】D 3．（2010台湾）下列何者为5x 2+17x -12的因式？ (A) x +1 (B) x -1 (C) x +4 (D) x -4 。【答案】C 4．（2010 贵州贵阳）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（A ）xy x -2 （B ）xy x +2 （C ）22y x + （D ）22y x - 【答案】D 5．（2010 四川自贡）把x 2－y 2－2y －1分解因式结果正确的是（）。 A ．（x ＋y ＋1）(x －y －1) B ．（x ＋y －1）(x －y －1) C ．（x ＋y －1）(x ＋y ＋1) D ．（x －y ＋1）(x ＋y ＋1) 【答案】A 6．（2010宁夏回族自治区）把多项式32 2x x x -+分解因式结果正确的是（） A ．2(2)x x x - B ．2(2)x x - C ．(1)(1)x x x +- D ．2(1)x x - 【答案】D 二、填空题 1．（2010江苏苏州）分解因式a 2－a= ▲ ．【答案】 2．（2010安徽芜湖）因式分解：9x 2－y 2－4y －4＝__________．【答案】 3．（2010广东广州，15，3分）因式分解：3ab 2＋a 2b ＝_______．【答案】ab (3b ＋a )

(完整版)因式分解-提取公因式练习题

因式分解练习题 (提取公因式) 知识点一因式分解的定义理解把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。因式分解的实质是（）与（）是“积化和差”的过程正好（）。【例题】 1．下列变形是分解因式的是( ) A ．6x 2y 2=3xy ·2xy B ．a 2－4ab+4b 2=(a －2b)2 C ．(x+2)(x+1)=x 2+3x+2 D ．x 2－9－6x=(x+3)(x －3)－6x 2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（） A 、2222)1(xy y x x xy -=- B 、)3)(3(92-+=-x x x C 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- D 、c b a x c bx ax ++=++)( 3、下列分解因式结果正确的是( ) A. a 2b +7ab －b =b (a 2+7a ) B. 3x 2y －3xy +6y =3y (x 2－x +2) C. 8xyz －6x 2y 2=2xyz (4－3xy ) D. －2a 2+4ab －6ac =－2a (a －2b －3c ) 知识点二：确定多项式的公因式的方法 1、我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、找公因式的方法【例题】 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2 410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 知识点三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=-

(完整版)八年级因式分解经典练习(基础+提高+拓展)

第一章因式分解【经典基础训练】一、填空：( 30 分) 1、若x 2 2(m 3)x 16是完全平方式，则 m 的值等于 _____________ 。 2 2 3 2 6 2、 x x m (x n)则 m =_______ n = ____ 3、2x y 与 12x y 的公因式是 m n 2 2 2 4 4、若 x y =(x y )(x y )(x y )，则 m= __________________ ， n= _______ 。 2 2 2 2 4 2 2 4 5 、在多项式 m 2 n 2 , a 2 b 2,x 4 4y 2, 4s 2 9t 4 中，，其结果是 A 、 1 个， B 、 2个， C 、 3个， D 、 4个可以用平方差公式分解因式的有 2 6、若 x 2 2(m 3)x 16 是完全平方式，则 m= 7、 )x 2 (x 2)(x 2 8、已知 1 x x 2 x 2004 x 2005 2006 0, 则 x 2006 2 9、若 16(a b) M 25 是完全平方式 M= 2 。 10 、 6x (x 3)2 ， 9 (x 3)2 11、若9x 2 k y 2是完全平方式，则 k= 2 2 12、若x 4x 4的值为0,则3x 12x 5的值是 13、若 x 2 ax 15 (x 1)(x 15) 则 a = 22 14、若 x y 4,x y 6 则 xy 2 15、方程 x 2 4x 0，的解是二、选择题： 10 分) 1 、多项式 a(a x)(x b) ab(a x)(b x) 的公因式是 A 、－ a 、 B 、 a(a x)(x b) C 、 a(a x) D 、 a(x a) 2、若 mx 2 kx 9 2 (2x 3)2，则 m ， k 的值分别是( A 、 m= — 2 ， k=6 ， B 、 m=2， k=12， C 、 m=—4， k=—12、 D m=4 , k=12、 2 3、下列名式： x 2 2 2 2 2 / 、2 / 、2 y , x y , x y ,( x) ( y) 44 ,x 4 y 4 中能用平方差公式分解因式的有(

初一数学乘法公式因式分解拓展题

初一数学乘法公式、因式分解拓展题 1．已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34，则（x﹣2016）2的值是（） A．4 B．8 C．12 D．16 2．已知：a=2014x+2015，b=2014x+2016，c=2014x+2017，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac ﹣bc的值是（） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（） A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣15 4．若x2+mx+k是一个完全平方式，则k等于（） A．m2B．m2C．m2D．m2 5．n是整数，式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（） A．是0 B．总是奇数C．总是偶数D．可能是奇数也可能是偶数 6．已知a+b=3，ab=﹣2，则a2+b2的值是． 7．分解因式：a3﹣4a2b+4ab2=． 8．分解因式：x3﹣xy2=． 9．如果（x2+p）（x2+7）的展开式中不含有x2项，则p=． 10．已知a+b=8，a2b2=4，则﹣ab=． 11．观察下列各式的规律：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2 （a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3 （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4 …可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=________________． 12．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：请依据上述规律，写出（x﹣）2016展开式中含x2014项的系数是_________． 13．观察下列等式： 1+2+3+4+…+n=n（n+1）； 1+3+6+10+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；

2018年中考数学【因式分解题】汇集及答案

2018年中考数学【因式分解题】汇集及答案1.(2018安徽)下列分解因式正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 2. （2018四川绵阳）因式分解：________。【答案】y（x++2y）（x-2y） 3.（2018浙江舟山）分解因式m2-3m=________。【答案】m（m-3） 4.（2018浙江绍兴）因式分解：4x2-y2=________。【答案】（2x+y）（2x-y） 5.因式分解: ________．【答案】 6.分解因式：________. 【答案】a（a+1）（a-1） 7.分解因式：________．【答案】ab（a+b）（a-b） 8.分解因式：＝________．【答案】（4+x）（4-x） 9.因式分解：________．【答案】 10.分解因式：x3-9x=________ . 【答案】x（x+3）（x-3） 11.分解因式：________. 【答案】 12. 因式分解：________．【答案】

13.分解因式：________．【答案】 14.分解因式：________．【答案】a（a-5） 15.因式分解：________ 【答案】 16.对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”. （1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，若四位数m为“极数”，记D（m）= .求满足D（m）是完全平方数的所有m. 【答案】（1）解：如：1188，2475，9900（答案不唯一，符合题意即可）；猜想任意一个“极数”是99的倍数，理由如下：设任意一个“极数”为（其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数）， =1000x+100y+10(9-x)+(9-y) =1000x+100y+90-10x+9-y=990x+99y+99=99(10x+y+1)， ∵x、y为整数，则10x+y+1为整数， ∴任意一个“极数”是99点倍数（2）解：设m= （其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），由题意则有D（m）= =3（10x+y+1）， ∵1≤x≤9，0≤y≤9， ∴33≤3（10x+y+1）≤300，又∵D（m）为完全平方数且为3的倍数， ∴D(m)可取36、81、144、225， ①D(m)=36时，3（10x+y+1）=36，

(完整版)因式分解拓展题及解答(必考题型)

因式分解拓展题解板块一：换元法例1分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 【解析】将248x x u ++=看成一个字母，可利用十字相乘得原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++22(48)(482)x x x x x x =++++++ 22(58)(68)x x x x =++++2(2)(4)(58)x x x x =++++ 例2分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++- 【解析】方法1：将25x x +看作一个整体，设25x x t +=，则原式=22(2)(3)1256(1)(6)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x ++-=+-=-+=+++- 方法2：将252x x ++看作一个整体，设252x x t ++=，则原式=22(1)1212(3)(4)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x +-=+-=-+=+++- 方法3：将253x x ++看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直接把25x x +看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，则原式22222(5)5(5)6(51)(56)(2)(3)x x x x x x x x x x =+++-=+-++=++2(51)x x +-. 【巩固】分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ 【解析】 2(2)(6)(810)x x x x ++++ 【巩固】分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++- 【解析】 2(1)(2)(5)x x x x -+++ 例3证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【解析】设这四个连续整数为：1x +、2x +、3x +、4x + (1)(2)(3)(4)1x x x x +++++[(1)(4)][(2)(3)]1x x x x =+++++22(54)(56)1x x x x =+++++ 24652 u x x +=++ 原式22[(55)1][(55)1]1x x x x =++-++++22(55)11x x =++-+22(55)x x =++ 【巩固】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数. 【解析】 ()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++???????? 22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++ 令2254x xy y u ++= ∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++ 即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++

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