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北邮版概率论答案7

习题七

1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计.

【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X

所以p 的矩估计量 ?X

= 2.设总体X 的密度函数

f （x ,θ）=22

(),0,

.x x θθθ?-<

X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】2302

2()()d ,233

x x E X x x x θ

θθ

θθθθ??=

-=-= ????

令E (X )=A 1=X ,因此

=X 所以θ的矩估计量为 ^

3.X θ=

3.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似然估计.

（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-?≥?

（2） f （x ，θ）=1,01,

0,.x x θθ-?<

其他

【解】（1）似然函数1

(,)e

e e

i n n

x x n

n i

i i L f x θ

θθ

θθθ=---==∑=

==∏∏

ln ln n

i i g L n x θθ===-∑

由1

d d ln 0d d n

i i g L n x θθθ===-=∑知 1

i n

θ==

∑

所以θ的极大似然估计量为1

(2) 似然函数1

,01n

i i i L x x θ

θ-==<<∏g

,i =1,2,…,n.

ln ln (1)ln n

i i L n x θθ==+-∏

由1

d ln ln 0d n

i i L n

x θθ==+=∏知 1

1?ln ln n

i i n n

x θ

===-=-

∑∏

所以θ的极大似然估计量为 1

?ln n

i n

==-∑

求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n =

?0.094.EX

x ==- 由2

()()[()],()n

i i x E X D X E X E X A n

==+==∑知222

??[()]E X A σ+=,即有 ?σ

=于是 ?0.101890.0966σ

=== 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966. 5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，

求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2

E X θ

,令()E X X =，则

?2X θ

=且?()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为?220.6 1.2x θ

==?=且?2X θ=是一个无偏估计.

(2) 似然函数8

1(,)i i L f x θθ=??

== ???∏,i =1,2, (8)

显然L =L (θ)↓(θ>0)，那么18

max{}i i x θ≤≤=时，L =L (θ)最大,

所以θ的极大似然估计值?θ

=0.9. 因为E(?θ)=E (18

max{}i i x ≤≤)≠θ,所以?θ=18

max{}i

i x ≤≤不是θ的无偏计. 6.设X 1，X 2，…，X n 是取自总体X 的样本，E （X ）=μ，D （X ）=σ2，

?σ

=k 1

211

()n i i i X X -+=-∑,问k 为何值时2

?σ

为σ2的无偏估计. 【解】令 1,i i i Y X X +=-i =1,2,…,n -1,

则 2

1()()()0,()2,i i i i E Y E X E X D Y μμσ+=-=-==

于是 1

2211?[()](1)2(1),n i

i E E k Y

k n EY n k σ

σ-===-=-∑

那么当2

?()E σ

σ=,即2

2(1)n k σσ-=时, 有 1

.2(1)

k n =

7.设X 1，X 2是从正态总体N （μ，σ2）中抽取的样本

112212312211311

???;;;334422

X X X X X X μ

μ=+=+=+ 试证123???,,μ

μμ都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 【证明】（1）112122

12121?()()(),3

33333E E X X E X E X μ

μμμ??=+=+=+= ???

21213

?()()()44E E X E X μ

μ=+=, 31211

?()()(),22

E E X E X μ

μ=+= 所以123???,,μ

μμ均是μ的无偏估计量. (2) 22

1122145?()()(),3399D D X D X X σμσ????=+== ? ?????

2212135?()()(),448D D X D X σμ????

=+= ? ?????

()2

3121?()()(),22D D X D X σμ??

=+= ???

8.某车间生产的螺钉，其直径X ~N （μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，

测得其长度（单位mm ）如下：

14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 【解】n =6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,

0.252

14.95, 1.96,a x u u ===,

μ的置信度为0.95的置信区间为

/2(14.950.1 1.96)(14.754,15.146)x u α?

±=±?= ?

9.总体X ~N (μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n 多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，

且置信区间的长度不大于L ？

【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α

的置信区间为/2

x u α?± ?

/2u α,

/2u α≤L ,得n ≥22/22

4()u L ασ 10.设某种砖头的抗压强度X ~N （μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg ·cm -2）：

64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1）求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2）求σ2的置信概率为0.95的置信区间. 【解】76.6,18.14,10.950.05,20,x s n α===-==

/20.0252

22/20.025

0.975

(1)(19) 2.093,

(1)(19)32.852,(19)8.907

t n t n ααχχ

-==-===

(1) μ的置信度为0.95的置信区间

/2(1)76.6 2.093(68.11,85.089)a x n ????-== ? ?????

(2)2

σ的置信度为0.95的置信区间

222222/21/2(1)(1)1919,18.14,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.852

8.907n s n s n n ααχχ-??--??

=??= ?

?--???? 11.设总体X ~f (x )=(1),01;

10,

.x x θθθ?+<<>-??其中其他

X 1,X 2,…,X n 是X 的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.

【解】(1)

()()d (1)d ,2

E X xf x x x x θθθθ+∞

+-∞

+==+=

? 又

(),2

X E X θθ+==

+ 故

?1X X

-=-

所以θ的矩估计量 21?.1X X

-=- (2) 似然函数

1(1) 01(1,2,,)

()()0n n n

i i i i i x x i n L L f x θθθ==?+<<=?===???

∏∏L 其他. 取对数

ln ln(1)ln (01;1),

d ln ln 0,d 1n

i i n

i i L n x x i n L n x θθθθ===++<<≤≤=+=+∑∑

所以θ的极大似然估计量为1

?1.ln n

i n

==--∑

12.设总体X ~f (x )= 36(),0;

x x θθθ?-<

X 1,X 2,…,X n 为总体X 的一个样本

（1）求θ的矩估计量?θ；（2）求?()D θ

【解】(1) 2

6()()d ()d ,2

x E X xf x x x x θ

θθ+∞

-∞

令 ,2

EX X θ

所以θ的矩估计量 ?2.X θ

= (2)4

?()(2)4(),D D X D X DX n

===，又

322

6()

63()d ,2010

x x E X x θ

θθθθ-===?

于是

222

3()()(),10420

D X

E X EX θθθ=-=-=,

所以

?().5D n

θθ

13.设某种电子元件的使用寿命X 的概率密度函数为

f (x ,θ)= 2()2,;

.x x x θθθ--?>?≤?e

其中θ(θ>0)为未知参数，又设x 1,x 2,…,x n 是总体X 的一组样本观察值，求θ的极大似然估计

值.

【解】似然函数

2()1

2e 0;1,2,,;

()0ln ln 22(),;1,2,,,

i i x n i n i i i x i n L L L n x x i n θθθθ=--=?∑??≥===?

=--≥=∑L L 其他.

由

d ln 20ln (),d L

n L θθ

=>↑知那么当0

1??min{}ln ()max ln ()i

i n

x L L θθ

θθ>≤≤==时所以θ的极大似然估计量1?min{}i

i n

x θ≤≤=

其中θ(0<θ<

)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值. 【解】

13?(1)()34,()4 2

i x E X E X x x x θθ

=-=-====∑令得又所以θ的矩估计值31

?.44

x θ

-== （2）似然函数8

241

(,)4(1)(12).i

i L P x θθ

θθ==

=--∏

ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),

d ln 628628240,d 112(1)(12)

L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==---- 解2

628240θθ-+=

得

1,272

θ±=

. 由于

,122

> 所以θ的极大似然估计值为

7?2

-=15.设总体X 的分布函数为

F （x ,β）=1,,

0,.x x

x β

βααα?->???≤?

其中未知参数β>1,α>0，设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本

（1）当α=1时，求β的矩估计量；

（2）当α=1时，求β的极大似然估计量；（3）当β=2时，求α的极大似然估计量. 【解】

当α=1时，1

1,1;(,)(,1,)0,

1.x x f x F x x x ββ

ββ+?≥?==??

当β=2时, 2

132,;(,)(,,2)0,.x x f x F x x x ααααα?≥?

==??

(1) 11

()d 11

E X x x x β

ββ

β+∞

-+∞=

--?

令()E X X =,于是?,1X

X β

=- 所以β的矩估计量?.1

X β

=- (2) 似然函数

(1)11

,1,(1,2,,);()(,)0,.ln ln (1)ln ,

d ln ln 0,d n n n

i i i i i n

i i n

i i x x i n L L f x L n x L n x ββββββββ-+====???

>=? ?===???

=-+=-=∏∏

∑∑L 其他

所以β的极大似然估计量1

?.ln n

i n

==∑

(3) 似然函数

12,,(1,2,,);(,)0,.n n

i n

n i i i i x i n L f x x ααα==?≥=????

==? ?

?????

∏

∏L 其他显然(),L L α=↑

那么当1?min{}i i n

x α

≤≤=时,0

?()max ()a L L L αα>== , 所以α的极大似然估计量1?min{}i i n

x α

≤≤=. 16.从正态总体X ~N （3.4，62）中抽取容量为n 的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）

内的概率不小于0.95，问n 至少应取多大？

2/2

()d z

t z t ?-=?

【解】26~

3.4,X N n ?

则~(0,1),X Z N = {1.4 5.4}3

3210.95

333Z P X P P Z

ΦΦΦ<<<<=

?=-<

=-=-≥- ? ???????

于是0.975Φ≥ 1.96≥, ∴ n ≥35.

17. 设总体X 的概率密度为

f (x ，θ)=,01,1,

12,0,.

x x θθ<

-≤

其他其中θ是未知参数（0<θ<1）,X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值x 1,x 2,…,x n 中小于1的个数.求：（1） θ的矩估计；

（2） θ的最大似然估计. 解 (1) 由于

(;)d d (1)d EX xf x x x x x x θθθ+∞

-∞

=+?

??-

133

(1)222

θθθ=+-=-. 令

32X θ-=，解得3

X θ=-，所以参数θ的矩估计为

X θ

=-. (2) 似然函数为

()(;)(1)n

N n N i i L f x θθθθ-===-∏，

取对数，得

ln ()ln ()ln(1),L N n N θθθ=+--

两边对θ求导，得

d ln ().d 1L N n N

θθθθ

-=-- 令 d ln ()0,d L θθ=得 N

θ=，

所以θ的最大似然估计为

=. 18.设12,,,n X X X L 是总体2

(,)N μσ的简单随机样本.记

222

211111,(),.1n n i i

i i X X S X X T X S n n n

====-=--∑∑ （1）证明T 是2

μ的无偏估计量；（2）当0,1μσ==时，求D(T).

分析根据无偏估计的定义求E(T)即可证明（1）.（2）可用方差的计算公式或统计量的

分布的定义和性质求解. 证（1）因为

2222

()()1

()E T E X S E X ES n n

E X DX ES n

σσμμ=-=-=+-=+

= 所以T 是2

μ的无偏估计量.

解（2）解法1 当0,1μσ==时，有

222222

2222

22221

()()

1111[(1)](1)11121222(1)(1).(1)1(1)

D T D X S n DX DS D D n S n n n n n n n n n n n n =-=+=+--=+-=+=---g g g g 解法2 22

()()()D T E T E T =- 22()0

()1E T E S σ===

221()()()()()()D T E T E X E X E S E S n n

==-+

其中422

2()()()E X D X E X =+

北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1．某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为，

(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++；（D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ；

北邮版概率论标准答案(7)

习题七 1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计. 【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X 所以p 的矩估计量 ?X p n = 2.设总体X 的密度函数 f （x ,θ）=22 (),0, 0, .x x θθθ?-<

(2) 似然函数1 1 ,01n n i i i L x x θ θ-==<<∏g ,i =1,2,…,n. 1 ln ln (1)ln n i i L n x θθ==+-∏ 由1 d ln ln 0d n i i L n x θθ==+=∏知 1 1?ln ln n n i i i i n n x x θ ===-=- ∑∏ 所以θ的极大似然估计量为 1 ?ln n i i n x θ ==-∑ 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n = ?0.094.EX x ==- 由2 2 2 2 21 ()()[()],()n i i x E X D X E X E X A n ==+==∑知222 ??[()]E X A σ+=,即有 ?σ =于是 ?0.101890.0966σ === 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966. 5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2 E X θ = ,令()E X X =，则 ?2X θ =且?()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为?220.6 1.2x θ ==?=且?2X θ=是一个无偏估计.

北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

2. 设}4 B =x ≤ x ≤ A S：则 x x = x < 3 1: }, { 2: { }, ≤ = {≤< 5 0: （1）= A，（2） ?B = AB，（3）=B A，（4）B A?= ，（5）B A= 。 §1 .3 概率的定义和性质 1.已知6.0 A P ?B = P A B P，则 ( ,5.0 ( ) ) ,8.0 (= ) = (1) =) (AB P, (2)() P)= , (B A (3)) P?= . (B A 2. 已知, 3.0 P A P则 =AB ( (= ) ,7.0 ) P= . A ) (B §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1 A P =B A P则 = A P B | ( | ) ,3/1 ) ) ,4/1 ( (=

北邮版概率论答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有

北邮版概率论答案(2)

习题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】 3535 24 35 3,4,51 (3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6 C X P X P X P X ====== ==== 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 3 1331512213 3151133 150,1,2. C 22 (0). C 35C C 12(1). C 35 C 1 (2).C 35 X P X P X P X ========== （2）当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 2235

当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 0, 022 ,0135()34,12351,2x x F x x x

北邮概率论与数理统计条件概率1.3

§1.3 条件概率条件概率是概率论中的一个基本概念，也是概率论中的一个重要工具，它既可以帮助我们认识更复杂的随机事件，也可以帮助我们计算一些复杂事件的概率。 1. 条件概率的定义及计算在一个随机试验中或随机现象中，当我们已知一个事件B 发生了，这时对另外一个事件A 发生的概率往往需要重新给出度量.称事件A 的这个新概率为在事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率,记为)|(B A P .为了对条件概率有一个直观的认识以及考虑该如何给出条件概率的数学定义,我们先看一个例子. 例1 一批同类产品由甲、乙两个车间生产，各车间生产的产品数及正品和次品的情况如下表甲车间乙车间合计正品 465 510 975 次品 15 10 25 合计 480 520 1000 从这批产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为 %5.21000 25= 现在假设被告知取出的产品是由甲车间生产的，那么这件产品为次品的概率就不再是 %5.2，而是 %125.3480 15= 在本例中，设B 表示事件“取出的产品是由甲车间生产的”，A 表示事件“取出的产品是次品”，前面算出的事件A 的概率是在没有任可进一步的信息的情况下得到的，而后面算出的事件A 的概率是在有了 “事件B 发生了”这一信息的情况下得到的.后一个概率就是在事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率.与此对应，我们可以把前一个概率称为无条件概率。经过简单计算有 ) ()(1000/4801000/1548015)|(B P AB P B A P === 这个关系式尽管是从本例得出的，但它具有普遍意义.受由启发,我们可以在一般的样本空间中给出条件概率的数学定义. 定义设B A ,是样本空间Ω中的两个事件，且0)(>B P ，在事件B 发生的条件下，事件A 的条件概率定义为 ) ()()|(B P AB P B A P = 根据条件概率的定义，不难验证条件概率满足概率定义中的三条公理：（1）非负性：对任一事件B ，有0)|(≥A B P ；（2）规范性：1)|(=ΩA P ；

概率论与数理统计课后答案北邮版(第四章)

习题四 1.设随机变量X 的分布律为 1 0 1 2 求E （X ），E （X 2 ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111 ()(1)012;8 2842 E X =-?+? +?+?= (2) 22 22211115()(1)012;82844 E X =-?+?+?+?= (3) 1 (23)2()32342 E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ，则X 的分布律为故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =?+?+?+?+?+? 0.501,= 5 2 ()[()]i i i D X x E X P == -∑ 222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)0 0.432. =-?+-?++-?= 3.设随机变量X 的分布律为 1 0 1 且已知E （X ）=,E (X 2 )=,求P 1，P 2，P 3.

【解】因1231P P P ++=……①, 又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②, 2222 12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③ 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P === 4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则 (){|}{}N k P A P A X k P X k ===∑全概率公式 1 {}{} 1().N N k k k P X k kP X k N N n E X N N ===== ===∑∑ 5.设随机变量X 的概率密度为 f （x ）=?? ? ??≤≤-<≤.,0,21,2, 10,其他x x x x 求E （X ），D （X ）. 【解】12 20 1 ()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞ -∞ = =+-? ?? 2 1 3 32011 1.33x x x ?? ??=+-=??????? ? 1 2 2 2 3 20 1 7 ()()d d (2)d 6 E X x f x x x x x x x +∞ -∞ ==+-= ? ?? 故 2 2 1()()[()].6 D X E X E X =-= 6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1；（2） V =YZ 4X .

北邮版概率论答案

习题二 2?设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； ⑶ 1 3 3 P{X -}, P{1 X -}, P{1 X }, P{1 X 2}. 2 2 2 【解】 X 0,1,2. C ；3 22 P(X 0) J C 15 35 1 2 C ； 12 P(X 1) J — C 15 35 C 1 1 P(X 2) 3 C 15 35 故X 的分布律为 X 0 \ 1 2 P 22 12 1 .Z ........... 35 35 / 35 (2)当 x<0 时，F (x ) =P (X w x ) =0 当0 w x<1时， F (x ) =P (X w x ) \ Z 22 =P(X=0)=—— 35 2, 3, 4, 5，在其中同时取 3只，以X 表示取出的3只 X 的分布律. X 3,4,5 P(X 1 3) -3 0.1 / P(X 3 4) -3 0.3 2 / P(X 5) C 3 0.6 C ；故所求分布律为 1?一袋中有5只乒乓球，编号为1，球中的最大号码，写出随机变量【解】

4.( 1)设随机变量X 的分布律为当1 < x<2时, F (x ) =P (X W x ) =P(X=0)+P(X=1)=34 35 当 x >2 时，F (x ) =P (X W x ) =1 故X 的分布函数 0, x 0 F(x) 22 35 34 35 1, x 2 22 35 3 3 34 34 P(1 X ) F(：) F(1) 0 2 2 35 35 3 3 12 P(1 X -) P(X 1) P(1 X -)- 2 2 35 34 P(1 X 2) F(2) F(1) P(X 2) 1 - 35 1 0. 35 3?射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为，求 3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3次射击中至少击中2次的概率? 【解】设X 表示击中目标的次数?则X=0，1，2，3. P(X 0) (0.2)3 0.008 P(X 1) C ；0.8(0.2)2 0.096 P(X 2) C 3(0.8)20.2 0.384 P(X 3) 3 (0.8) 0.512 X \ 0 1 2 3 P 分布函数 0, x 0 0.008, 0 x 1 F(x) 0.104, 1 x 2 0.488, 2x3 1, x 3 P(X 2) P(X 2) P(X 3) 0.896 P(X F(2) 故X 的分布律为

北邮版概率论答案(7)

所以θ的极大似然估计量为1 ?X θ =. (2) 似然函数1 1 ,01n n i i i L x x θ θ -==<<∏,i =1,2,…,n. 1 ln ln (1)ln n i i L n x θθ==+-∏ 】由1 d ln ln 0d n i i L n x θθ==+=∏知 1 1?ln ln n n i i i i n n x x θ ===-=- ∑∏ 所以θ的极大似然估计量为 1 ?ln n i i n x θ ==-∑ 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n = 0.094.EX x = =- 由2 2 2 2 21()()[()],()n i i x E X D X E X E X A n ==+==∑知222 ??[()]E X A σ+=,即有￥ ?σ =于是 ?0.101890.0966σ === 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为和. 5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：,,,,,,,，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2 E X θ = ,令()E X X =，则

概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案 1．用切比雪夫不等式估计下列各题的概率． (1)废品率为03.0，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率； (2)200个新生儿中，男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为5.0)．解：(1)设X 为1000个产品中废品的个数，则X ～)1000,03.0(B ，有 30)(=X E ，1.29)(=X D ，由切比雪夫不等式，得 ) 3040303020()4020(-<-<-=<

北邮版概率论答案

习题七 1.设总体Ｘ服从二项分布b (n ，p ），n 已知，X 1,X 2，…,X ｎ为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计. 【解】1(),(),E X np E X A X ===因此n ｐ＝X 所以p 的矩估计量 ?X p n = 2.设总体X 的密度函数ｆ（x ,θ）＝22 (),0, 0, .x x θθθ?-<

(２) 似然函数1 1 ,01n n i i i L x x θ θ -==<<∏,i =1，２,…,n. 1 ln ln (1)ln n i i L n x θθ==+-∏ 由1 d ln ln 0d n i i L n x θθ==+=∏知 1 1?ln ln n n i i i i n n x x θ ===-=- ∑∏ 所以θ的极大似然估计量为 1 ?ln n i i n x θ ==-∑ 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n = 0.094.EX x ==- 由2 2 2 2 21()()[()],()n i i x E X D X E X E X A n ==+==∑知222 ??[()]E X A σ+=，即有 ?σ=于是 ?0.101890.0966σ === 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.９4和0.９66. ５.随机变量Ｘ服从［0,θ]上的均匀分布,今得X 的样本观测值：0.9,0.8,0．2,0.8,０.4,0.４, ０.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1） ()2 E X θ = ,令()E X X =,则 ?2X θ =且?()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为?220.6 1.2x θ ==?=且?2X θ=是一个无偏估计.

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概率论与数理统计课后习题及答案第1章三、解答题 1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确. 2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？解：因为)()()()(B A P B P A P AB P ，又因为)()(B A P B P 即.0)()( B A P B P 所以 (1) 当)()(B A P B P 时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P =0.6. (2) 1)( B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3. 3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P ，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因为)()(B A P AB P ，即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P ，所以 .1)(1)(p A P B P 4．已知P (A ) = 0.7，P (A – B ) = 0.3，试求)(AB P ．解：因为P (A – B ) = 0.3，所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7，所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4，6.0)(1)( AB P AB P . 5．从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：显然总取法有410C n 种，以下求至少有两只配成一双的取法k ：法一：分两种情况考虑：15C k 24C 212 )(C +25C 其中：2 122 41 5)(C C C 为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：! 21 61815 C C C k +2 5C 其中：! 216 1815 C C C 为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k +25C 其中：)(142 8 1 5C C C 为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2 815C C k -25C 法五：考虑对立事件：410C k -45C 4 12)(C

概率论与数理统计第四版答案习题答案

习题解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{ =B （正，正），（反，反） } {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ；（7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++

概率论与数理统计课后答案北邮版(第三章)

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值 .试写出 X 和 Y 的联合分布律 . 【解】 X 和 Y 的联合分布律如表： X 0 1 2 3 Y 1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 C 3 2228 C 3 222 3/ 8 3 1 0 1 1 1 1 8 2 2 2 8 2.盒子里装有 3 只黑球、 2 只红球、 2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红球的只数 .求 X 和 Y 的联合分布律 . 【解】 X 和 Y 的联合分布律如表： X 0 1 2 3 Y C 32 C 22 3 C 33 C 12 2 C 74 35 C 74 35 1 C 13 C 12 C 22 6 C 32 C 12 C 12 12 C 33 C 12 2 C 4 35 C 4 35 C 4 35 7 7 7 2 P(0 黑,2 红,2 白)= C 13 C 22 C 12 6 C 32 C 22 3 0 C 22 C 22 / C 74 1 C 74 35 C 74 35 35 3.设二维随机变量（ X ， Y ）的联合分布函数为 π π F （ x ， y ） = sin x sin y, 0 x 2 ,0 y 2 0, 其他 . 求二维随机变量（ X ， Y ）在长方形域 0 π π y π 内的概率 . x , 6 3 4 【解】如图 P{0 X π π Y π 4 , }公式 (3.2) 6 3 π π F ( π π F (0, π F (0, π F ( , ) , ) 3) ) 4 3 4 6 6

北邮概率论讲议第10讲习题答案

练习2： (),(0,),(0,1),()X t Vt b t b V N X t =+∈∞设随机过程为常数，～求的一维概率密度、均值和相关函数。解：X(t)服从正态分布，故可通过求其均值和方差写出X(t)的一维概率密度 2 [()]()[()]()E X t E Vt b b D X t D Vt b t =+==+= 故X(t)的一维概率密度为 22 ()2()x b t x f t --= 均值函数[()]()E X t E Vt b b =+= 相关函数121212222 121212(,)[()()][()()][]R t t E X t X t E Vt b Vt b E V t t bVt bVt b t t b ==++=+++=+ 练习3： -()()(0,0),()Yt Y f y X t e t Y X t =>>设随机变量具有概率密度，令求随机过程的一维概率密度、均值和相关函数。解：由随机变量函数的概率密度公式知，X(t )的一维概率密度 (){()}{}ln() {ln()}{} Yt X F t P x t x P e x x P Yt x P Y t -=≤=≤=-≤=≥- ' ln()' ()()'()ln()ln()ln()/,0x t X t f x F t f y dy x x x f f tx t t t t +∞-?? ==?? ?? ?????? =---=-> ??? ??????? ? 因为' ()()x a f y dy f x ??=???? ? X(t)的均值函数和相关函数分别为： [()]()()Yt yt E X t E e f y e dy ∞ --==? 1212()12120 (,)[()()][]()Yt Yt y t t X R t t E X t X t E e e e f y dy ∞---+===?

概率论与数理统计答案_北邮版_(第一章)【精选】

概率论与数理统计习题及答案习题一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点 . （1）掷一颗骰子，出现奇数点 . （2）掷二颗骰子， A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.” B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面.” B =“至少有一次出现正面.” C =“两次出现同一面.” 【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，； {}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6, (12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1), (22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,), (,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,), C =正正正反反 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ， C （1） A 发生，B ，C 都不发生；（2） A 与B 发生， C （3） A ，B ，C 都发生；（4） A ，B ， C （5） A ，B ，C 都不发生；（6） A ，B ， C （7） A ，B ，C 至多有2个发生；（8） A ，B ，C 至少有2个发生 . 【解】（1） A BC （2） AB C （3） ABC （4） A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC

概率论与数理统计课后答案北邮版

习题三 1、将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值、试写出X 与Y 的联合分布律、 2、盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数、求X 与Y 的联合分布律、 3、设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 F (x ,y )=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量(X ,Y )在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率、【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 434636 1).=--+=g g g g

题3图说明:也可先求出密度函数,再求概率。 4、设随机变量(X ,Y )的分布密度 f (x ,y )=???>>+-., 0,0,0,)43(其他y x A y x e 求:(1) 常数A ; (2) 随机变量(X ,Y )的分布函数; (3) P {0≤X <1,0≤Y <2}、【解】(1) 由 -(34)0 (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞ +∞ +∞ +-∞ -∞ == =?? ? ? 得 A =12 (2) 由定义,有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ = ?? (34)340012e d d (1 e )(1e )0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>?==?? ?????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 1 2 (34)3800 {01,02} 12e d d (1e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈? ? 5、设随机变量(X ,Y )的概率密度为 f (x ,y )=? ? ?<<<<--.,0, 42,20),6(其他y x y x k (1) 确定常数k; (2) 求P {X ＜1,Y ＜3}; (3) 求P {X <1、5}; (4) 求P {X +Y ≤4}、【解】(1) 由性质有 2 4 2 (,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞ -∞ -∞ =--==?? ? ? 故 1 8 R = (2) 13 {1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞ <<= ??

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