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高中数学公式柯西不等式

高中数学公式柯西不等

式

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

第一课时二维形式的柯西不等式（一）

2.练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+

①提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+.

证法一：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥

证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++

222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+.（要点：展开→配方）

证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a b =+，2||n c d =+.

∵m n ac bd ?=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤.∴…..

证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则

22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.

∴22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即….. ③二维形式的柯西不等式的一些变式：

222||c d ac bd +≥+222||||c d ac bd +≥+222c d ac bd +≥+.

④提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤.

即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）

→讨论：上面时候等号成立（

β是零向量，或者,αβ共线）

⑤练习：已知a 、b 、c 、d ≥.

证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义（

构造三角形）

2.教学三角不等式：

① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明 →变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？

3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）

第二课时二维形式的柯西不等式（二）

教学过程：

22222()()()a b c d ac bd ++≥+

3.如何利用二维柯西不等式求函数y =?

要点：利用变式222||ac bd c d ++.

二、讲授新课：

1.教学最大（小）值：

①出示例1：求函数y =

分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式→板演

→变式：y ,,,,,)y a b c d e f R +=∈

②练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.

解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313

x y x y x y +=

++≥+=. 2.教学不等式的证明： ①出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：1

12x y +

≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式（注意对比→构造）

要点：22221

11111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）

②练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b ++≥.

3.练习：

①已知,,,x y a b R +∈，且1a b x y +

=，则x y +的最小值. 要点：()()a

b x y x y x y +=++=….→其它证法

②若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值.（要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=

第三课时一般形式的柯西不等式

2.提问：二维形式的柯西不等式如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维

答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++

二、讲授新课：

1.教学一般形式的柯西不等式：

①提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？

②猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？

结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则讨论：什么时候取等号（当且仅当1212n n

a a a

b b b ===时取等号，假设0i b ≠）联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B AC -≥，可联想到一些什么？

③讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式（

注意分类）

要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++???++++???+（

）（22212()n b b b +++???+，则 2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++???+≥+（.

又222120n a a a ++???+>，从而结合二次函数的图像可知，

[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ?=+++-++22212()n b b b +++≤0

即有要证明的结论成立.（注意：分析什么时候等号成立.）

④变式：222212121()n n a a a a a a n

++≥++???+.（讨论如何证明） 2.教学柯西不等式的应用：

①出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.

分析：如何变形后构造柯西不等式？→板演→变式：

②练习：若,,x y z R +∈，且1

111x y z ++=，求23

y z x ++的最小值. ③出示例2：若a >b >c ，求证：

c a c b b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c

-+=-+-+≥+=---- ②提出排序不等式（即排序原理）：

设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有 1122a b a b ++···+n n a b (同序和)

1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和)

121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和)

当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和.

（要点：理解其思想，记住其形式）

2.教学排序不等式的应用：

①出示例1：设12,,,n a a a ???是n 个互不相同的正整数，求证：

321222

11112323n a a a a n n +++???+≤+++???+. 分析：如何构造有序排列如何运用套用排序不等式

证明过程：

设12,,,n b b b ???是12,,,n a a a ???的一个排列，且12n b b b <

111123n >>>???>，由排序不等式，得 332211222222

2323n n a a b b a b a b n n +++???+≥+++???+≥… 小结：分析目标，构造有序排列.

②练习：

已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，

于是222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++，两式相加即得.

3.均值不等式(全国卷1)

第三节：均值不等式 1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D 2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋＋的最大值为 A.9 B.23 C.3 2 D.2 答案：D 3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABC A B C ?∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ?的周长的取值范围是__________. 答案：](32， 4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 答案：C 5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足, 若存在两项的最小值为（） A ． B ． C ． D ．9 答案：A 6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y +的最小值是. 答案：4 7. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a =+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 114 4,a m n =+则3 2 539 4

(),()b f b 处的切线斜率的最小值是（） A.2 1 答案：A 8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足恒成立，则的最大值为. 答案：1 9. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 答案：A 10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?= ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++ 的最小值是（） A ．2 B ．．4 D ．答案：B 11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y x m m x y 8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．42m m ≥≤或－ B ．24m m ≥≤或－ C ．24m －＜＜ D ．42m －＜＜答案：D 12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是．答案： ,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? 1a 2 b

高中数学教学论文柯西不等式的证明与应用

柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。关键词：柯西不等式，证明，应用 Summar y： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application 不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。

高中数学竞赛均值不等式讲义

均值不等式 1.均值不等式知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即：设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.

高中数学：柯西不等式的几种用法

高中数学：柯西不等式的几种用法 1、熟记模型，直接应用 ()+21212 11,2111i n n a R i n a a a n a a a ∈=?? ++++++≥ ???例，求证 2、灵活变通，巧妙应用 22x y R x y x y ∈≤+≤例2、已知，，且3+26，求证： 12 22223,3,,,2365,2. a b c d a b c d R a b c d a + ++=?∈ ?+++=?≤≤例、，且满足：求证：1 35,2 x ≤≤<例4、设求证： 3、以n 为目标，在“1”上下功夫 22212 12 n n i a a a a a a a R n ++++++∈≤例5、 +441,,18 a b R a b a b ∈+=≥例6、若求证：+ ()12122 22221212,1111.n n n n a a a a a a n a a a a a a n ++++??????++++++≥ ? ? ???????例7、已知 ,,都是正数，且=1，求证： 4、以分式的各项分母为目标，配对约分为桥梁。 ()22212a b c a b c R a b c a b c b a c + ∈++≥+++++例8、若、、，证明： ()()()333 111132 a b c abc a b c b a c c a b =≥+++例9设、、为正实数，且满足，证明:++（IMO32届赛题） 5、去伪存真，再寻对策

11111223421231 n n n n n n ∈≥->-+例10、设N 且 2 求证：1-+-++ 6、综合中寻机应用，技高一筹 ,,,0,1, 131313131 a b c d abcd a b c d b c d a >≥+++≥++++例11、已知求证： (){}()() 1212222111,, ,2,,,1,1,1.2015n n n n n i i i i i i i a a a n a a n a εεεε===≥∈-??????+≤+ ? ? ??????? ∑∑∑例12、已知是实数，证明：可以选取使得：年全国联赛二试

2017-18全国卷高考真题数学不等式选修专题

2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题数学不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，，当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞，上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ．当[]11x ∈-，时，()2g x =，()()12f x f -=≥．当()1x ∈-∞-，时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=．综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ．（2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-，恒成立．即220x ax --≤在[]11-，恒成立．则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤．故a 取值范围是[]11-，．

2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0a >，222ba b +==2.证明：（1）()22()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<

【高中数学】公式总结(均值不等式)

均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

高中数学《不等式》选修题型归纳

6.不等式选讲 6.1均值不等式在证明中的应用 1. （1）已知,,,a b R x y R + ∈∈，求证：()2 22x y x y a b a b ++≥+；（2）已知实数,x y 满足：2221x y +=，试利用（1）求 2221 x y +的最小值。（1）证：()()2222222 222x y bx ay a b x y x y xy x y a b a b ??++=+++≥++=+? ??? ()2 22x y x y a b a b ++≥ +（当且仅当x y a b =时，取等号）；（2）解：()2 22222222212121922x y x y x y ++=+≥=+，当且仅当221 3x y ==时，2221x y +的最小值是9。考点：均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式 6.2绝对值不等式 6.2.1单绝对值不等式 2. 已知函数254,0 ()22,0 x x x f x x x ?++≤?=?->??若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______. 答案：(1,2)

解析：分别作出函数()y f x =与||y a x =的图像，由图知，0a <时，函数()y f x =与||y a x =无交点， 0a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点，故0.a > 当0x >，2a ≥时，函数()y f x =与||y a x =有一个交点，当0x >，02a <<时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点，当0x <时，若y ax =-与254,(41)y x x x =----<<-相切，则由0?=得：1a =或9a =（舍），因此当0x <，1a >时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点，当0x <，1a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点，当0x <，01a <<时，函数()y f x =与||y a x =有四个交点，所以当且仅当12a <<时，函数()y f x =与||y a x =恰有4个交点.

(完整word版)高中数学-公式-柯西不等式.doc

第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知 a 、 b 、 c 、d 为实数，求证 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd) 2 ① 提出定理 1：若 a 、 b 、 c 、 d 为实数，则 (a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) (ac bd )2 . 证法一：（比较法） (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd ) 2 = .= ( ad bc) 2 0 证法二：（综合法） (a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) a 2c 2 a 2 d 2 b 2c 2 b 2d 2 ( ac bd ) 2 ( ad bc) 2 ( ac bd) 2 . （要点：展开→配方） ur (a,b) ， r ur a 2 b 2 r c 2 d 2 . 证法三：（向量法）设向量 m n (c,d ) ，则 | m | ， | n | ur r ur r ur r ur r ur r ur r ∴.. ∵ m ? n ac bd ，且 mgn | m |g| n |gcos m,n ，则 | mgn | | m |g| n | . 证法四：（函数法）设 f ( x) ( a 2 b 2 ) x 2 2( ac bd ) x c 2 d 2 ，则 f ( x) ( ax c)2 (bx d )2 ≥ 0 恒成立 . ∴ [ 2(ac bd)] 2 4(a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) ≤ 0，即 .. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： a 2 b 2 g c 2 d 2 | ac bd | 或 a 2 b 2 g c 2 d 2 | ac | | bd | 或 a 2 b 2 g c 2 d 2 ac bd . 2：设 ur ur ur ur | | ur ur ④ 提出定理 , 是两个向量，则 | g || | . 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出） ur ur ur , → 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线） ⑤ 练习：已知 a 、 b 、 c 、d 为实数，求证 a 2 b 2 c 2 d 2 (a c)2 (b d) 2 . 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理 3：设 x , y , x , y R ，则 2 2 2 2 2 2 . 1 12 2 x 1 y 1 x 2 y 2 ( x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 ) 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 R ，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学过程： (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd) 2 ； x 12 y 1 2 x 2 2 y 2 2 ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 )2 3. 如何利用二维柯西不等式求函数 y x 1 2 x 的最大值 ? 要点：利用变式 | ac bd | a 2 b 2 g c 2 d 2 . 二、讲授新课： 1. 教学最大（小）值： ① 出示例 1：求函数 y 3 x 1 10 2x 的最大值？分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式： y 3x 1 10 2x → 推广： y a bx c d e fx,( a,b,c,d ,e, f R ) ② 练习：已知 3x 2 y 1，求 x 2 y 2 的最小值 . 解答要点：（凑配法） x 2 y 2 1 ( x 2 y 2 )(3 2 22 ) 1 (3 x 2 y) 2 1 . 13 13 13 2. 教学不等式的证明： ① 出示例 2：若 x, y R ， x y 2 ，求证： 1 1 2 . x y 分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 → 构造）要点： 1 1 1 ( x y)( 1 1 ) 1 [( x )2 ( y )2 ][( 1 ) 2 (1)2 ] x y 2 x y 2 x y

高中数学讲义均值不等式

微专题45 利用均值不等式求最值一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：（1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??=

高中数学-公式-柯西不等式

第一课时二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ ① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 证法一：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a b =+，2||n c d =+ ∵ m n ac bd ?=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立. } ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即….. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： 222||c d ac bd +≥+ 或 222||||c d ac bd +≥+ 222c d ac bd +≥+. ④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出） → 讨论：上面时候等号成立（β是零向量，或者,αβ共线） ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈ ? 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）第二课时二维形式的柯西不等式（二）教学过程： 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 3. 如何利用二维柯西不等式求函数y = 要点：利用变式222||ac bd c d ++. 二、讲授新课： % 1. 教学最大（小）值： ① 出示例1：求函数y = 分析：如何变形 → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式：y = → 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313 x y x y x y += ++≥+=. 2. 教学不等式的证明： ① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证： 112x y +≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式（注意对比 → 构造）

高中数学选修4-5中的著名不等式

选修4-5中的著名不等式内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军新课程改革推出了知识模块，把高等数学中一些领域的知识进行了简化，下放到高中。选修4-5中给出了许多著名不等式的特例，下面对课本上的这些不等式及其一般形式做一下介绍。绝对值的三角不等式（）：定理：若为实数，则，当且仅当时，等号成立。绝对值的三角不等式一般形式：，简记为。柯西不等式（）定理：（向量形式）设为平面上的两个向量，则。当及为非零向量时，等号成立及共线存在实数，使。当或为零向量时，规定零向量与任何向量平行，即当时，上式依然成立。定理：（代数形式）设均为实数，则，当且仅当时，等号成立。柯西不等式的一般形式（）定理：设为实数，则

，当且仅当时，等号成立（当某时，认为）。闵可夫斯基不等式（）定理：设均为实数，则，当且仅当存在非负实数（不同时为0），使时，等号成立。闵可夫斯基不等式的一般形式：定理：设是两组正数，，则或，当且仅当时，等号成立。排序不等式（）定理：设为两组实数为的任一排列，则有。当且仅当或时，等号成立。排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和。切比晓夫不等式（）：

定理：设为任意两组实数， ①如果或，则有 ②如果或，则有 ①②两式，当且仅当或时，等号成立。平均值不等式（）定理：设为个正数，则，当且仅当时，等号成立。当时，，当且仅当时，等号成立。加权平均不等式（）定理：设为正数，都是正有理数，并且，那么。杨格不等式（）：

定理：设为有理数，满足条件（互称为共轭指标），为正数，则。当时，，此时的杨格不等式就是熟知的基本不等式。贝努利不等式（）：定理：设，且，为大于1的自然数，则。贝努利不等式的一般形式：（1）设，且同号，则；（2）设，则①当时，有；②当或时，有，①②当且仅当时等号，成立。

高一数学必修一均值不等式题型归纳

均值不等式题型归纳一、拼凑求最值 1．函数y ＝x ·(3－2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________． 2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4 有( ) A ．最大值54 B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值1 3．当x >1时，不等式x ＋1x －1 ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 二、“1”的代换 1．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245 B ．285 C ．5 D ．6 三、实际应用 1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 2．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元． 3．一批救灾物资随17列火车以v km/h 的速度匀速直达400km 以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于(v 20 )2km ，则这批物资全部运送到灾区最少需__________h. 4．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求： (1)仓库面积S 的取值范围是多少？ (2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？

高中数学-公式-柯西不等式

第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ ① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 证法一：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a b =+，2||n c d =+. ∵m n ac bd ?=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立. ∴22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即….. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： 222||c d ac bd +≥+ 或 222||||c d ac bd +≥+ 222c d ac bd +≥+. ④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出） → 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线） ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d ≥. 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学过程： 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =? 要点：利用变式2 22||ac bd c d ++. 二、讲授新课： 1. 教学最大（小）值： ① 出示例1：求函数y = 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式：y = 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313 x y x y x y += ++≥+=. 2. 教学不等式的证明： ① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证： 112x y +≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 → 构造）要点：2222111111()()] 22x y x y x y +=++=++≥…