高中数学：柯西不等式
类型一：利用柯西不等式求最值
例1．求函数的最大值
解：∵且，函数的定义域为，且，
即时函数取最大值，最大值为
法二：∵且，∴函数的定义域为
由，得
即，解得∴时函数取最大值，最大值为.
当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解
【变式1】设且，求的最大值及最小值。
利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10
【变式2】已知，，求的最值.
法一：由柯西不等式
于是的最大值为，最小值为.
法二：由柯西不等式
于是的最大值为，最小值为.
【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．
根据柯西不等式
，故
。
当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，
变式4：设a
(1，0， 2)，b
(x ，y ，z)，若x 2
y 2
z 2
16，则a b
的最大值为 。
【解】∵ a
(1，0， 2)，b
(x ，y ，z) ∴ a ．b
x 2z
由柯西不等式[12 0 ( 2)2](x 2 y 2
z 2) (x 0 2z)2 5 16 (x 2z)2
45
x
45
45
a ．
b 45，故a ．b
的最大值为45:
变式5：设x ，y ，z R ，若x 2 y 2 z 2 4，则x 2y 2z 之最小值为 时，(x ，y ，z)
解(x 2y 2z)2 (x 2 y 2 z 2)[12 ( 2) 2 22] 4．9 36 ∴
x
2y
2z 最小值为
6，公式法求 (x ，y ，z) 此时
322)2(26221222-=+-+-==-=z y x ∴ 32-=x ，34=y ，3
4-=z 变式6：设x, y, z ∈R ，若332=+-z y x ，则2
2
2
)1(z y x +-+之最小值为________，又此
时=y ________。
解析：14
36
])1([)332(]1)3(2][)1([2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
≥
+-+++-≥+-++-+z y x z y x z y x ∴最小值
7
18
1, 233,2(2)3(31)3231x y z t x y z t t t -===-+=∴--++=- ∴73=t ∴7
2
-=y
变式7：设a ，b ，c 均为正数且a b c 9，则c
b a 16
94++之最小值为
解： 2)432(
c c
b b a a ?+?+? ≤ (
c b a 1694++)(a b c) (c b a 1694++)．9 (2 3 4)2 81 c b a 1694++9
81
9
变式8：设a, b, c 均为正数，且232=++c b a ，则c
b a 3
21++之最小值为________
解：: 22222
22)321(])3
()2()1][()3()2()[(++≥++++c
b a
c b a ∴18)3
21(
≥++c
b a ，最小值为18 变式9：设x ，y ，z R 且
14)3(5)2(16)1(2
22=-+++-z y x ，求x y z 之最大、小值: 【解】∵
14
)3(5)2(16)1(2
22=-+++-z y x 由柯西不等式知 [42（5)2 22]??
?
???+-+++-2
22)
23()52()4
1(
z y x
．．．2)52(5)41(4++??
?+-y x 2
)23(???-z 25 1
(x y z 2)2 5 |x
y z 2| 5 x y z 2 5 ∴ 3 x y z 7
故x y z 之最大值为7，最小值为 3
类型二：利用柯西不等式证明不等式
基本方法：（1）巧拆常数 （例1） （2）重新安排某些项的次序（例2）
（3）改变结构 （例3） （4）添项（例4）
例1．设、、为正数且各不相等，求证：
又、、各不相等，故等号不能成立∴。
例2．、为非负数，+=1，，求证：
∴
即
例3．若>>，求证：
解：
，
，∴
，∴所证结论改为证
∴
例4．，求证：
左端变形，
∴只需证此式即可。
【变式1】设a,b,c为正数，求证：．
，即。
同理，．将上面三个同向不等式相加得，
．
【变式2】设a,b,c为正数，求证：
于是即
【变式3】已知正数满足证明。
解：
又因为
在此不等式两边同乘以2，再加上
得：
，故。
类型三：柯西不等式在几何上的应用
6．△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证：
证明：由三角形中的正弦定理得
，所以
，
同理，
于是左边= 。
【变式】ΔABC 之三边长为4，5，6，P 为三角形内部一点，P 到三边的距离分別为x ，y ，z ，求
的最小值。
且
4x+5y+6z=
由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x 2+y 2+z 2)(42+52+62)
≥(x 2+y 2+z 2)×77x 2+y 2+z 2≥。
柯西不等式
()2
2211n n b a b a b a +++ (
)()2
222212
2222
1n
n
b b b
a a a ++++++≤ ()n i R
b a i
i 2,1,=∈
等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）
利用柯西不等式可处理以下问题： 1） 证明不等式
例2:已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
证明： (
)
23131312
22
2222222a b c
a a
b b
c c ??
++=++ ??? []222333222a b c a b c ??????????≤++++ ? ? ???????????
()()2
333a b c a b c =++++
()1a b c ++=
又因为 2
2
2
a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上2
2
2
a b c ++得：
()()2223a b c a b c ++≤++
()
()()2
2
2
23
3
3
2
2
2
3a
b c
a b c a b c ++≤++?++故222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
2） 解三角形的相关问题
例3 设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，
≤
证明： =111
a b c
≤++记S 为ABC 的面积，则22
42abc abc
ax by cz S R R
++===
≤
=≤
3） 求最值
例4已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 2
2
2
2
2365a b c d +++=试求a 的最值
解： (
)()2222
111236236b c d
b c d ??
++++≥++
???
即()2222236b c d b c d ++≥++ 由条件可得， ()2
2
53a a -≥-
解得，12a ≤≤
== 时等号成立， 代入11
1,,36
b c d ==
=时， max 2a =
21
1,,33
b c d ==
=时 min 1a = 5）利用柯西不等式解方程
例5．在实数集内解方程222
94
862439
x y z x y y ?++=
???-+-=? 解： (
)()
()()2
22
222
286248624x y z x y y ??++-++-≥-+-??
①
(
)()
()22222
28624x y z
??++-++-??()2964364144394
=?++?= 又()2
2
862439x y y -+-=,.(
)()
()()2
22
2
2
2
286248624x y z
x y z ??++-++-=-+-??
即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得
8624
x y z
==
--，它与862439x y y -+-=联立，可得 613x =- 926y =
18
13
z =- 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
柯西不等式求最值
柯西不等式求最值 １. 设a 、b 、ｃ为正数，求4936 ()()a b c a b c ++++的最小值 【答案】121 ２.设x ，ｙ,z ∈ Ｒ,且满足x 2 + y ２ + z 2 = 5,则x + 2y ＋ 3z 之最大值为 解(x + 2y + 3z)2 ≤ (x 2 + y 2 + z ２ )（12 ＋ ２2 + ３2) = ５．14 = 7０ ∴ x ＋ 2y + 3z 最大值为70 3．设ｘ，y,z ∈ R ，若x 2 ＋ y 2 ＋ z ２ ＝ ４,则ｘ - ２y + 2z 之最小值为 时，(ｘ,y ，z) ＝ 解(x - 2ｙ ＋ 2z)2 ≤ (x 2 + ｙ２ + z 2)[1２ + ( － 2） 2 ＋ 2２ ] ＝ ４．9 = 36 ∴ ｘ - ２y + 2z 最小值为 - 6 此时 3 22)2(26221222-=+-+-==-=z y x ∴ 32-= x ,34=y ,3 4 -=z 4.设,,x y z R ∈，2 2 2 25x y z ++=，试求22x y z -+的最大值M 与最小值ｍ。 答：根据柯西不等式 )](2)2(1[)221(2 2 2 2 2 2 2 z y x z y x +++-+≤?+?-? 即259)22(2 ?≤+-z y x 而有152215≤+-≤-z y x 故z y x 22+-的最大值为15，最小值为–15。 5．设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，试求2 22z y x ++之最小值 )]()2()1(2[])2()1(2[2222222z y x z y x ++-+-+≤-+-+即 )(9)22(2222z y x z y x ++≤-- 将622=--z y x 代入其中,得 )(9362 22z y x ++≤ 而有 42 22≥++z y x 故2 2 2 z y x ++之最小值为4。 变形:．设x,y,z ∈ R ，2ｘ + ２y + z + 8 = ０，则(x - 1）2 + (y + ２)2 + （z - 3)２ 之最小值为 [2（x - 1) + 2(y ＋ ２) + (z － 3）]２ ≤ [(x － 1)２ + (y + 2) 2 + (z － ３) 2].(22 + 22 + 12) ? (ｘ - 1)２ + (ｙ + ２) 2 + (z - ３) 2 ≥ 9 )9(2 -= 9 6．设x, y, z ∈R ，若332=+-z y x ，则2 2 2 )1(z y x +-+之最小值为_＿______,又此时=y ____＿___ 1436])1([)332(]1)3(2][)1([2222222222≥ +-+++-≥+-++-+z y x z y x z y x ∴最小值7 18 1, 233,2(2)3(31)3231x y z t x y z t t t -===-+=∴--++=- ∴73=t ∴7 2 -=y 7.设a, b, c 均为正数，且232=++c b a ，则 c b a 3 21++之最小值为_______＿，此时=a ______＿_。 解: 22222 22)321(])3()2()1][()3()2()[(++≥++++c b a c b a
3.均值不等式(全国卷1)
第三节：均值不等式 1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D 2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋ ＋的最大值为 A.9 B.23 C.3 2 D.2 答案：D 3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABC A B C ?∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ?的周长的取值范围是__________. 答案：](32， 4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 答案：C 5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足, 若存在两项 的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ．9 答案：A 6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y +的最小值是. 答案：4 7. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a =+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 114 4,a m n =+则3 2 539 4
(),()b f b 处的切线斜率的最小值 是（ ） A.2 1 答案：A 8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足 恒成立，则 的最大值为. 答案：1 9. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目 标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 答案：A 10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?= ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++ 的最小值是（ ） A ．2 B ．．4 D ．答案：B 11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y x m m x y 8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．42m m ≥≤或－ B ．24m m ≥≤或－ C ．24m －＜＜ D ．42m －＜＜ 答案：D 12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ． 答案： ,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? 1a 2 b
高中数学教学论文 柯西不等式的证明与应用
柯西不等式的证明及其应用 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 Summar y： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application 不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中 的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。
可用柯西不等式的基本不等式训练题(含详解)
可用柯西不等式的基本不等式训练题（含详解） 柯西不等式()（a+b ）c d +≥+ 条件a,b,c,d 为正 当且仅当c d a b =取=号 1．已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则 的最小值是（ ） A ． B ．4 C ． D ．5 2．若直线 ()10,0x y a b a b +=>>过点()1,2，则2a b +的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．12 3．已知直线210kx y k -+-=恒过定点A ，点A 也在直线10mx ny ++=上，其 中m n 、均为正数，则12m n +的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．已知正数,x y 满足 811x y +=，则2x y +的最小值是（ ） A ．18 B ．16 C ．8 D ．10 5．如图，在ABC 中，23 BD BC =，E 为线段AD 上的动点，且CE xCA yCB =+，则13x y +的最小值为（ ） A ．16 B ．15 C ．12 D ．10 6．若对0x >、0y >，有()212x y m x y ??++≥ ???恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．8m ≤ B ．8m > C ．0m < D ．4m ≤ 7．圆222610x y x y ++-+=关于直线30(0,0)ax by a b -+=>>对称，则 13a b +的最小值是( )
A ． B ．263 C ．4 D ．153 8．若直线 1x y a b +=（0a >，0b >）过点()1,2，则2+a b 的最小值等于（ ） A ．9 B ．8 C ．3+ D ．4+ 9．若直线 1(00)x y a b a b +=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 10．若直线1(00)x y a b a b +=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________． 11．已知x ，y 是正数，且141x y +=，则x y +的最小值是______． 12．已知()222log log log x y x y +=+，则 11x y +=______2x y +的最小值为 ______．
高二第一学期数学教学计划教学进度表
2019年高二第一学期数学教学计划教学进 度表 第1周 数学必修2：立体几何 1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图（1）（2） 第2周 1.2空间几何体的三视图和直观图（1）（2） 第3周 1.3表面积体积空间几何体的复习（1）（2） 第4周 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（1）（2）（3）（4）（单元检测） 第5周 2.2直线、平面平行的判定及其性质（1）（2）（3）（4） 第6周 2.3直线、平面垂直的判定及其性质（1）（2）（3）（4）（单元检测） 第7周 2.3直线、平面垂直的判定及其性质（4） 空间点、线、面复习（月考） 第8周
选修2-1：空间向量 第三章3.1空间向量及其运算 第9周 空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法 第10周 期中考试 第11周 空间向量复习（单元检测） 第12周 第一章常用逻辑用语: 1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件 第13周 1.3简单的逻辑连结词1.4全称量词与存在量词 第14周 常用逻辑用语复习(2课时)2.1椭圆(3课时) 第15周 2.1椭圆(3课时)2.2双曲线(2课时) 第16周 2.2双曲线(2课时)2.3抛物线(3课时) 第17周 2.3抛物线(1课时)2.4直线与圆锥曲线的位置关系(3课时) 第18周
曲线与方程(2课时)复习（单元检测） 第19周 总复习 第20周 要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。期末考试
高中数学基本不等式的解法十例
高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1．222a b a b +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2．2a b a b +≥，其中[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 3．常考不等式： 2 2 2 2112 2a b a b a b a b ++??≥≥≥ ??? + ，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路： （1）积定和最小：若a b 是定值，那么当且仅当a b =时，()m in 2a b a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2 m a x 2a b a b +??= ??? ，其中,a b R ∈。 例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是 ． 解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：2 2 222 221222 4 a b a b a b a b -++?= ??≤≤? ??+≤-? ? ，当且 仅当1a b ==-时取等号。 变式：函数1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1m x n y +=上，则m n 的最大值为______。 解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1m x n y +=中可得1m n +=，明显，和为 定，根据和定积最大法则可得：2 124m n m n +?? ≤= ? ?? ，当且仅当12m n ==时取等号。 例题2：已知函数()2 122 x x f x +=+ ，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________． 解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：2 2 1122212 2 x x x x +++≥? =，当且仅当2 12 12 x x x += ?=-时 取等号。 变式：已知2x >-，则12 x x + +的最小值为 。 解析：由题意可得()120,2 12 x x x +>+ ?= +，明显，积为定，根据和定积最大法则可得： ()1122 222 2 x x x x ++≥+?=++，当且仅当122112 x x x x += ?+=?=- +时取等号，此时可得
2020年教学计划高中数学
教学计划高中数学 教学计划（课程计划）是课程设置的整体规划，以下是整理的关于教学计划高中数学，欢迎阅读参考。 我以前一直是在教文科班的数学，这学期对于我来说，面临着挑战，因为本学期我接手了两个理科班。以前我带的始终是文科班，对于文科班的学生的情况比较理解，但对于理科班来说，我不知道他们对学习会有怎样的想法与做法。针对这种情况，我制定了如下的高中数学教学计划： 一、指导思想 在学校、数学组的领导下，严格执行学校的各项教育教学制度和要求，认真完成各项任务，严格执行“三规”、“五严”。利用有限的时间，使学生在获得所必须的基本数学知识和技能的同时,在数学能力方面能有所提高,为学生今后的发展打下坚实的数学基础。 二、教学措施 1、以能力为中心，以基础为依托，调整学生的学习习惯，调动学生学习的积极性，让学生多动手、多动脑，培养学生的运算能力、逻辑思维能力、运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。精讲多练，一般地，每一节课让学生练习20分钟左右，充分发挥学生的主体作用。 2、坚持每一个教学内容集体研究，充分发挥备课组集体的力量，精心备好每一节课，努力提高上课效率。调整教学方法，采用新的教学模式。
3、脚踏实地做好落实工作。当日内容，当日消化，加强每天、每月过关练习的检查与落实。坚持每周一周练，每章一章考。通过周练重点突破一些重点、难点，章考试一章的查漏补缺，章考后对一章的不足之处进行重点讲评。 4、周练与章考，切实把握试题的选取，切实把握高考的脉搏，注重基础知识的考查，注重能力的考查，注意思维的层次性(即解法的多样性)，适时推出一些新题，加强应用题考察的力度。每一次考试试题坚持集体研究，努力提高考试的效率。 5.注重对所选例题和练习题的把握： 6.周密计划合理安排，现数学学科特点，注重知识能力的提高，提升综合解题能力，加强解题教学，使学生在解题探究中提高能力. 7.多从“贴近教材、贴近学生、贴近实际”角度，选择典型的数学联系生活、生产、环境和科技方面的问题，对学生进行有计划、针对性强的训练，多给学生锻炼各种能力的机会，从而达到提升学生数学综合能力之目的.不脱离基础知识来讲学生的能力，基础扎实的学生不一定能力强.教学中不断地将基础知识运用于数学问题的解决中，努力提高学生的学科综合能力. 三、对自己的要求——落实教学的各个环节 1.精心上好每一节课 备课时从实际出发，精心设计每一节课，备课组分工合作，利用集体智慧制作课件，充分应用现代化教育手段为教学服务，提高四十五分钟课堂效率。
高中数学精讲教案-不等式的解法
高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0，解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a；若a<0，解集为?? ? ? ? ? x| x< b a；若a＝0，当b≥0时，解集为?，当b<0时，解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根 有两相异实根 x＝x1或x＝x2 有两相同实根 x＝x1＝x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2＋bx＋ c>0(a>0) {x|x
高中数学竞赛均值不等式讲义
均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.
高中数学：柯西不等式的几种用法
高中数学：柯西不等式的几种用法 1、熟记模型，直接应用 ()+21212 11,2111i n n a R i n a a a n a a a ∈=?? ++++++≥ ???例 ，求证 2、灵活变通，巧妙应用 22x y R x y x y ∈≤+≤例2、已知 ，，且3+26， 求证： 12 22223,3,,,2365,2. a b c d a b c d R a b c d a + ++=?∈ ?+++=?≤≤例、，且满足：求证：1 35,2 x ≤≤<例4、设求证： 3、以n 为目标，在“1”上下功夫 22212 12 n n i a a a a a a a R n ++++++∈≤例5、 +441,,18 a b R a b a b ∈+=≥例6、若 求证：+ ()12122 22221212,1111.n n n n a a a a a a n a a a a a a n ++++??????++++++≥ ? ? ???????例7、已知 ,,都是正数，且=1， 求证： 4、以分式的各项分母为目标，配对约分为桥梁。 ()22212a b c a b c R a b c a b c b a c + ∈++≥+++++例8、若、、，证明： ()()()333 111132 a b c abc a b c b a c c a b =≥+++例9设、、为正实数，且满足， 证明:++（IMO32届赛题） 5、 去伪存真，再寻对策
11111223421231 n n n n n n ∈≥->-+例10、 设N 且 2 求证：1-+-++ 6、综合中寻机应用，技高一筹 ,,,0,1, 131313131 a b c d abcd a b c d b c d a >≥+++≥++++例11、已知求证： (){}()() 1212222111,, ,2,,,1,1,1.2015n n n n n i i i i i i i a a a n a a n a εεεε===≥∈-??????+≤+ ? ? ??????? ∑∑∑例12、已知是实数，证明：可以选取使得：年全国联赛二试
柯西不等式与排序不等式及其应用经典例题透析
经典例题透析 类型一：利用柯西不等式求最值 1．求函数的最大值． 思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。 解析： 法一：∵且， ∴函数的定义域为，且， 当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为 法二：∵且， ∴函数的定义域为 由， 得 即，解得 ∴时函数取最大值，最大值为. 总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键． 举一反三： 【变式1】（2011辽宁，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。 （I）证明：-3≤f（x）≤3； （II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。 【答案】
(Ⅰ) 当时，． 所以．…………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为． 综上，不等式的解集为．……10分 【变式2】已知，，求的最值. 【答案】 法一： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 法二： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．【答案】 根据柯西不等式 ，
故。 当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立， 此时， 评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑． 类型二：利用柯西不等式证明不等式 利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。 （1）巧拆常数： 2．设、、为正数且各不相等，求证： 思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证： 而，又，故可利用柯西不等式证明之。 证明： 又、、各不相等，故等号不能成立 ∴。 （2）重新安排某些项的次序： 3．、为非负数，+=1，，求证： 思路点拨：不等号左边为两个二项式积，，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 证明：∵+=1
高中数学教学进度表
高一上教学进度周次节次教学内容(包括复习,测试等安排) 11集合的含义及其表示2子集,全集,补集 1交集,并集 21习题课 1一元二次不等式的解法 1简单高次不等式及分式不等式的解法1简单绝对值不等式的解法 1复习课 32函数的概念和图像1函数的概念和图像2函数的表示方法 42函数的简单性质2函数的简单性质1映射的概念 52函数习题课 1二次函数图像、概念和性质 61二次函数在给定区间上的最值问题2分数指数幂 71指数函数3指数函数1对数 81对数 1对数函数2对数函数1幂函数 92习题课 1简单复合函数的研究2简单复合函数的研究 101二次函数与一元二次方程1用二分法求方程的近似解2函数模型及其应用 1习题课 112复习与期中考试 121任意角 1弧度制 1习题课（角范围的表示）
1任意角的三角函数的概念 1三角函数线(补充简单的三角不等式) 131同角三角函数的基本关系1同角三角函数的基本关系2诱导公式 1习题课 141三角函数的周期性 1正、余弦函数的图象及五点法 1正、余弦函数的性质（补充对称性）1正、余弦函数的性质习题课 1正切函数的图象与性质 151习题课 2函数y=Asin(ωx+φ)的图像2三角函数的应用 161向量的概念及其表示1向量的加法 1向量的减法 2向量的数乘 172习题课 1平面向量的基本定理 1平面向量的座标表示及运算1向量平行的座标表示 181向量的数量的概念 1向量数量积的座标表示1习题课 1复习与小结 191两角和与差的余弦 2两角和与差的正弦 1习题课(补asinx+bcosx的内容) 1两角和与差的正切 201 习题课 2二倍角的三角函数，明确降幂公式1 习题课 1 几个三角恒等式 三角函数的化简、求值和证明
高中数学不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(
【高中数学】公式总结(均值不等式)
均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』
例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
柯西不等式的最大值问题 文本内容
柯西不等式的问题（2）——最大值 内容概述 柯西不等式的最大值问题，高考时通常出现在不等式选讲部分. 用到的公式是柯西不等式二维形式的变形. 先来看柯西不等式的二维形式： ()()()22222a b c d ac bd ++≥+当且仅当a b c d =时取等号。 该不等式的证明方法有很多，此处以作差法为例. ()()()2 2222a b c d ac bd ++-+ () 2222222222222()(2) 0a c a d b c b d a c abcd b d ad bc =+++-++=-≥ 并从向量的角度对柯西不等式的二维形式作出解释. 设向量(,)u a b = ，向量(,)v c d = ，向量u 与v 的夹角为θ， 则根据cos u v u v θ?= ，有u v u v u v -≤?≤ ，所以() 222u v u v ≥? ， 又u v ? 故有()()()22222a b c d ac bd ++≥+，当且仅当a b =时取等号. 体现的方法：公式法或配凑法，要充分关注柯西不等式的结构特征以及注意等号成立的条件，类似于基本不等式的“一正二定三相等”. 柯西不等式，有时可用于求函数的最值。而构造柯西不等式求最值，有利于培养学生的数学建模能力。当然，与此同时，也提高了逻辑思维和分析解决问题的能力。 关注其结构特征，注意等号成立条件。接下来通过具体的例题来看柯西不等式的应用。 例题示范 （柯西不等式二维形式的变形，求证最大值） 【例1】（2017年江苏高考题第21（D ）题） 已知,, ,a b c d 为实数，且22224,16a b c d +=+=，证明：8ac bd +≤ . 证明：由柯西不等式得ac bd +≤ 即ac bd +≤
人教版高中数学教学计划-人教版高中数学进度安排教
人教版高中数学教学计划:人教版高中数学 进度安排教 人教版高中数学教学计划高中数学教学计划（一）： 新学期已经开始，在学校工作总体思路的指导下，现将本学期数学组工作进行规划、设想，力争使本学期的工作扎实有效，为学校的发展做出新的贡献。 一、指导思想以学校工作总体思路为指导，深入学习和贯彻新课程理念，以教育教学工作为重点，优化教学过程，提高课堂教学质量。结合数学组工作实际，用心开展教育教学研究活动，促进教师的专业发展，学生各项素质的提高，提高数学组教研工作水平。 二、工作目标1、加强常规教学工作，优化教学过程，切实提高课堂教学质量。 2、加强校本教研，用心开展教学研究活动，鼓励教师根据教学实际开展教学研究，透过撰写教学反思类文章等促进教师的专业化发展。 3、掌握现代教育技术，用心开展网络教研，拓展教研的深度与广度。 4、组织好学生的数学实践活动，以调动学生学习用心性，丰富学生课余生活，促进其全面发展。
三、主要工作1、备课做好教学准备是上好课的前提，本学期要求每位教师做好教案、教学用具、作业本等准备，以良好的精神状态进入课堂。备课是上好课的基础，本学期数学组仍采用年级组群众备课形式，要求教案尽量做到环节齐全，反思具体，有价值。群众备课时，所有教师务必做好准备，每个单元负责教师要提前安排好资料及备课方式，对于教案中修改或补充的资料要及时地在旁边批注，电子教案的可在旁边用红色批注(发布学校网数学组板块内)，使群众备课不流于形式，每节课前都要做到课前的“复备”。 每一位教师在个人研究和群众备课的基础上构成适合自我、实用有效的教案，更好的为课堂教学服务。各年级组每月带给单元备课活动记录，在规定的群众备课时间，教师无特殊原因不得缺席。 提高课后反思的质量，提倡教学以后将课堂上精彩的地方进行实录，以案例形式进行剖析。对于原教案中不合理的及时记录，结合课堂重新修改和设计，同年级教师能够共同反思、共同提高，为以后的教学带给借鉴价值。数学教师每周反思不少于2次，每学期要有1-2篇较高水平的反思或教学案例，及时发布在向学校网上，学校将及时进行评审。 教案检查分平时抽查和定期检查两种形式，“推门课”后教师要及时带给本节课的教案，每月26号为组内统一检查教案时间，每月检查结果将公布在学校网数学组板块中的留言板中。 2、课堂教学课堂是教学的主阵地。教师不但要上好公开课，更要上好每一天的“常规课”。遵守学校教学常规中对课堂教学的要求。
高中数学精讲教案-不等式的解法
高中数学-不等式的解法 若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解. 3高次不等式的解法 如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0， n € N *， n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1 第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知 a 、 b 、 c 、d 为实数，求证 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd) 2 ① 提出定理 1：若 a 、 b 、 c 、 d 为实数，则 (a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) (ac bd )2 . 证法一：（比较法） (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd ) 2 = .= ( ad bc) 2 0 证法二：（综合法） (a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) a 2c 2 a 2 d 2 b 2c 2 b 2d 2 ( ac bd ) 2 ( ad bc) 2 ( ac bd) 2 . （要点：展开→配方） ur (a,b) ， r ur a 2 b 2 r c 2 d 2 . 证法三：（向量法）设向量 m n (c,d ) ，则 | m | ， | n | ur r ur r ur r ur r ur r ur r ∴.. ∵ m ? n ac bd ，且 mgn | m |g| n |gcos m,n ，则 | mgn | | m |g| n | . 证法四：（函数法）设 f ( x) ( a 2 b 2 ) x 2 2( ac bd ) x c 2 d 2 ，则 f ( x) ( ax c)2 (bx d )2 ≥ 0 恒成立 . ∴ [ 2(ac bd)] 2 4(a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) ≤ 0，即 .. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： a 2 b 2 g c 2 d 2 | ac bd | 或 a 2 b 2 g c 2 d 2 | ac | | bd | 或 a 2 b 2 g c 2 d 2 ac bd . 2：设 ur ur ur ur | | ur ur ④ 提出定理 , 是两个向量，则 | g || | . 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） ur ur ur , → 讨论：上面时候等号成立？（ 是零向量，或者 共线） ⑤ 练习：已知 a 、 b 、 c 、d 为实数，求证 a 2 b 2 c 2 d 2 (a c)2 (b d) 2 . 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理 3：设 x , y , x , y R ，则 2 2 2 2 2 2 . 1 12 2 x 1 y 1 x 2 y 2 ( x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 ) 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 R ，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结： 二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二） 教学过程 ： (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd) 2 ； x 12 y 1 2 x 2 2 y 2 2 ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 )2 3. 如何利用二维柯西不等式求函数 y x 1 2 x 的最大值 ? 要点：利用变式 | ac bd | a 2 b 2 g c 2 d 2 . 二、讲授新课： 1. 教学最大（小）值： ① 出示例 1：求函数 y 3 x 1 10 2x 的最大值？ 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式： y 3x 1 10 2x → 推广： y a bx c d e fx,( a,b,c,d ,e, f R ) ② 练习：已知 3x 2 y 1，求 x 2 y 2 的最小值 . 解答要点：（凑配法） x 2 y 2 1 ( x 2 y 2 )(3 2 22 ) 1 (3 x 2 y) 2 1 . 13 13 13 2. 教学不等式的证明： ① 出示例 2：若 x, y R ， x y 2 ，求证： 1 1 2 . x y 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造） 要点： 1 1 1 ( x y)( 1 1 ) 1 [( x )2 ( y )2 ][( 1 ) 2 (1)2 ] x y 2 x y 2 x y(完整word版)高中数学-公式-柯西不等式.doc
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