中考数学圆的综合综合题汇编及答案解析

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．四边形 ABCD 的对角线交于点 E ，且 AE ＝EC ，BE ＝ED ，以 AD 为直径的半圆过点 E ，圆心 为 O ．

（1）如图①，求证：四边形 ABCD 为菱形；

（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F ，且直径 AD ＝6，求弧AE 的长．

【答案】（1）见解析；（2）π2

【解析】

试题分析：（1）先判断出四边形ABCD 是平行四边形，再判断出AC ⊥BD 即可得出结论； （2）先判断出AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ，进而得出∠CDA =30°，最后用弧长公式即可得出结论．

试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD 的对角线交于点E ，且AE =EC ，BE =ED ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵以AD 为直径的半圆过点E ，∴∠AED =90°，即有AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；

（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC 为等腰三角形，∴AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ．如图2，过点C 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接FO ．∵BF 切圆O 于点F ，∴OF ⊥AD ，且1

32

OF AD =

=，易知，四边形CGOF 为矩形，∴CG =OF =3． 在Rt △CDG 中，CD =AD =6，sin ∠ADC =

CG CD =1

2

，∴∠CDA =30°，∴∠ADE =15°． 连接OE ，则∠AOE =2×∠ADE =30°，∴3031802

AE ππ

??=

=．

点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．

2．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F . （1）求证：OE ∥BD ；

（2）当⊙O 的半径为5，2

sin 5

DBA ∠=

时，求EF 的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为212

【解析】

试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明； （2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.

试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径 ， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=?. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=?. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠. ∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD . （2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA=

25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =

2

5

BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=?

∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO .

∴

BD CD

BO EO

= ∴252

EO =

. ∵OE ∥BD ，CO =OD ， ∴CF =FB . ∴1

22

OF BD =

=. ∴212

EF OE OF =-=

3．如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ． （1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由； （2）若半圆O 的半径为6，求AC 的长．

【答案】（1）直线CE 与半圆O 相切（2）4π 【解析】

试题分析：（1）结论：DE 是⊙O 的切线．首先证明△ABO ，△BCO 都是等边三角形，再证明四边形BDCG 是矩形，即可解决问题；

（2）只要证明△OCF 是等边三角形即可解决问题，求AC 即可解决问题． 试题解析：（1）直线CE 与半圆O 相切，理由如下： ∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC. ∵∠D=90°，∴∠OCE=∠D=90°，即OC ⊥DE ， ∴直线CE 与半圆O 相切．

（2）由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF ， ∴△OCF 是等边三角形， ∴∠AOC=120° ∴AC 的长为

1206

180

π??=4π.

4．如图，AD 是△ABC 的角平分线，以AD 为弦的⊙O 交AB 、AC 于E 、F ，已知EF ∥BC ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若已知AE=9，CF=4，求DE 长；

（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，求tan ∠AFE 的值及GD 长．

【答案】（1）证明见解析（2）DE=6（3）37

5

【解析】

试题分析：（1）连接OD ，由角平分线的定义得到∠1=∠2，得到DE DF =，根据垂径定理得到OD ⊥EF ，根据平行线的性质得到OD ⊥BC ，于是得到结论；

（2）连接DE ，由DE DF =，得到DE=DF ，根据平行线的性质得到∠3=∠4，等量代换得到∠1=∠4，根据相似三角形的性质即可得到结论；

（3）过F 作FH ⊥BC 于H ，由已知条件得到∠1=∠2=∠3=∠4=30°，解直角三角形得到

FH=

12DF=1

2

×6=3，=，根据三角函数的定义得到

tan ∠AFE=tan ∠C=

7

HF CH =

；根据相似三角形到现在即可得到结论． 试题解析：（1）连接OD ， ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠1=∠2， ∴DE DF =， ∴OD ⊥EF ， ∵EF ∥BC ， ∴OD ⊥BC ， ∴BC 是⊙O 的切线； （2）连接DE ， ∵DE DF =， ∴DE=DF ， ∵EF ∥BC ， ∴∠3=∠4， ∵∠1=∠3， ∴∠1=∠4， ∵∠DFC=∠AED ， ∴△AED ∽△DFC ，

∴AE DE DF CF =，即94DE

DE =， ∴DE 2=36， ∴DE=6；

（3）过F 作FH ⊥BC 于H ， ∵∠BAC=60°，

∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，

∴FH=

1

2

DF=1

62?=3，

∴

=， ∵EF ∥BC ， ∴∠C=∠AFE ，

∴tan ∠AFE=tan ∠C=

7

HF CH =

； ∵∠4=∠2．∠C=∠C ， ∴△ADC ∽△DFC ，

∴

AD CD

DF CF

=， ∵∠5=∠5，∠3=∠2， ∴△ADF ∽△FDG ， ∴AD DF

DF DG

=， ∴

CD DF CF DG =，即3376

4DG +=， ∴DG=

18367

5

-．

点睛：本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键.

5．如图，⊙O 的直径AB ＝26，P 是AB 上(不与点A 、B 重合)的任一点，点C 、D 为⊙O 上的两点，若∠APD ＝∠BPC ，则称∠CPD 为直径AB 的“回旋角”．

(1)若∠BPC ＝∠DPC ＝60°，则∠CPD 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由； (2)若CD 的长为

13

4

π，求“回旋角”∠CPD 的度数； (3)若直径AB 的“回旋角”为120°，且△PCD 的周长为24+133，直接写出AP 的长．

【答案】(1)∠CPD 是直径AB 的“回旋角”，理由见解析；(2)“回旋角”∠CPD 的度数为45°；(3)满足条件的AP 的长为3或23． 【解析】 【分析】

（1）由∠CPD 、∠BPC 得到∠APD ，得到∠BPC ＝∠APD ，所以∠CPD 是直径AB 的“回旋角”；（2）利用CD 弧长公式求出∠COD ＝45°，作CE ⊥AB 交⊙O 于E ，连接PE ，利用∠CPD 为直径AB 的“回旋角”，得到∠APD ＝∠BPC ，∠OPE ＝∠APD ，得到

∠OPE+∠CPD+∠BPC ＝180°，即点D ，P ，E 三点共线，∠CED ＝

1

2

∠COD ＝22.5°， 得到∠OPE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，则∠APD ＝∠BPC ＝67.5°，所以∠CPD ＝45°；（3）分出情况P 在OA 上或者OB 上的情况，在OA 上时，同理（2）的方法得到点D ，P ，F 在同一条直线上，得到△PCF 是等边三角形，连接OC ，OD ，过点O 作OG ⊥CD 于G ， 利用sin ∠DOG ，求得CD ，利用周长求得DF ，过O 作OH ⊥DF 于H ，利用勾股定理求得OP ，进而得到AP ；在OB 上时，同理OA 计算方法即可 【详解】

∠CPD 是直径AB 的“回旋角”， 理由：∵∠CPD ＝∠BPC ＝60°，

∴∠APD ＝180°﹣∠CPD ﹣∠BPC ＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠BPC ＝∠APD ，

∴∠CPD 是直径AB 的“回旋角”； (2)如图1，∵AB ＝26， ∴OC ＝OD ＝OA ＝13， 设∠COD ＝n°， ∵CD 的长为134

π， ∴

1313

1804n ππ= ∴n ＝45，

∴∠COD ＝45°，

作CE ⊥AB 交⊙O 于E ，连接PE ， ∴∠BPC ＝∠OPE ，

∵∠CPD 为直径AB 的“回旋角”， ∴∠APD ＝∠BPC ， ∴∠OPE ＝∠APD ，

∵∠APD+∠CPD+∠BPC ＝180°， ∴∠OPE+∠CPD+∠BPC ＝180°， ∴点D ，P ，E 三点共线， ∴∠CED ＝

1

2

∠COD ＝22.5°， ∴∠OPE ＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠APD ＝∠BPC ＝67.5°， ∴∠CPD ＝45°，

即：“回旋角”∠CPD 的度数为45°，

(3)①当点P 在半径OA 上时，如图2，过点C 作CF ⊥AB 交⊙O 于F ，连接PF ， ∴PF ＝PC ，

同(2)的方法得，点D ，P ，F 在同一条直线上，

∵直径AB的“回旋角”为120°，

∴∠APD＝∠BPC＝30°，

∴∠CPF＝60°，

∴△PCF是等边三角形，

∴∠CFD＝60°，

连接OC，OD，

∴∠COD＝120°，

过点O作OG⊥CD于G，

∠COD＝60°，

∴CD＝2DG，∠DOG＝1

2

√

∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝133

2

∴CD＝133

√，

∵△PCD的周长为24+133

√，

∴PD+PC＝24，

∵PC＝PF，

∴PD+PF＝DF＝24，

过O作OH⊥DF于H，

∴DH＝1

DF＝12，

2

在Rt△OHD中，OH＝225

-=

OD DH

在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，

∴OP＝10，

∴AP＝OA﹣OP＝3；

②当点P在半径OB上时，

同①的方法得，BP＝3，

∴AP＝AB﹣BP＝23，

即：满足条件的AP的长为3或23．

【点睛】

本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论

6．

如图，△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝3

5

，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），

以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D，过点D作DE⊥CB于点E．

（1）当⊙P与边BC相切时，求⊙P的半径．

（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．

（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.

【答案】（1）

40

9

R=;（2）2

5

880

320

x

y x x

x

=-+

+

（3）505

-

【解析】【分析】

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝3

5

，则

sinC＝4

5

，sinC＝

HP

CP

＝

10

R

R

-

＝

4

5

，即可求解；

（2）首先证明PD∥BE，则EB BF

PD PF

=，即：20

2

4

588

x y

x

x

x

y

-+

-

=，即可求解；

（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG＝EP＝BD，即：AB＝DB+AD＝AG+AD＝5

【详解】

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，

连接HP，则HP⊥BC，cosC＝3

5

，则sinC＝

4

5

，

sinC＝HP

CP

＝

10

R

R

-

＝

4

5

，解得：R＝

40

9

；

（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝3

5

，

设AP＝PD＝x，∠A＝∠ABC＝β，过点B作BH⊥AC，

则BH＝ACsinC＝8，

同理可得：CH＝6，HA＝4，AB＝45，则：tan∠CAB＝2，BP＝22

8+(4)

x-＝2880

x x

-+，

DA＝25

x，则BD＝45﹣25x，

如下图所示，PA＝PD，∴∠PAD＝∠CAB＝∠CBA＝β，

tanβ＝2，则cosβ

5，sinβ

5

，

EB ＝BDcosβ＝（45﹣25

x ）×5＝4﹣25

x ，

∴PD ∥BE ，

∴EB BF

PD PF

=，即：202

4588x y x x

x y

-+--=，

整理得：y ＝

25x

x 8x 803x 20

-++；

（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，

两个圆交于点G ，则PG ＝PQ ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D ， GD 为相交所得的公共弦， ∵点Q 是弧GD 的中点， ∴DG ⊥EP ， ∵AG 是圆P 的直径， ∴∠GDA ＝90°， ∴EP ∥BD ，

由（2）知，PD ∥BC ，∴四边形PDBE 为平行四边形， ∴AG ＝EP ＝BD ，

∴AB ＝DB+AD ＝AG+AD ＝5 设圆的半径为r ，在△ADG 中， AD ＝2rcosβ5DG 5

AG ＝2r ， 5＝52r 51

+， 则：DG 5

50﹣5 相交所得的公共弦的长为50﹣5 【点睛】

本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．

7．如图①，已知Rt ABC ?中，90ACB ∠=，8AC =，10AB =，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作

O ，过C 作CE 切O 于E ，交AB 于F .

（1）若

O 的半径为2，求线段CE 的长；

（2）若AF BF =，求O 的半径；

（3）如图②，若CE CB =，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离.

【答案】(1)42CE =；(2)O 的半径为3；(3)G 、E 两点之间的距离为9.6.

【解析】 【分析】

（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得； （2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE BC =OC BA ，即r 8-r

=610

，解得即可；

（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，

GB GE

AB AC

=，即12108GE =，解得即可． 【详解】

(1)如图，连结OE . ∵CE 切

O 于E ，

∴90OEC ∠=?. ∵8AC =，

O 半径为2，

∴6OC =，2OE =.

∴2242CE OC OE =-=； (2)设

O 半径为r .

在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，10AB =，8AC =， ∴226BC AB AC =-=.

∵AF BF =， ∴AF CF BF ==. ∴ACF CAF ∠=∠. ∵

CE 切O 于E ，

∴90OEC ∠=?. ∴OEC ACB ∠=∠， ∴OEC BCA ?~?. ∴OE OC

BC BA =， ∴

8610

r r -=， 解得3r =. ∴

O 的半径为3；

(3)连结EG 、OE ，设EG 交AC 于点M ，

由对称性可知，CB CG =. 又CE CB =， ∴CE CG =. ∴EGC GEC ∠=∠. ∵CE 切

O 于E ，

∴90GEC OEG ∠+∠=?. 又90EGC GMC ∠+∠=?，

∴OEG GMC ∠=∠.又GMC OME ∠=∠， ∴OEG OME ∠=∠. ∴OE OM =. ∴点M 与点D 重合.

∴G 、D 、E 三点在同一条直线上. 连结AE 、BE ，

∵AD 是直径，

∴90AED ∠=?，即90AEG ∠=?. 又CE CB CG ==， ∴90BEG ∠=?.

∴180AEB AEG BEG ∠=∠+∠=?， ∴

A 、E 、

B 三点在同一条直线上.

∴E 、F 两点重合.

∵90GEB ACB ∠=∠=?，B B ∠=∠， ∴GBE ABC ?~?. ∴

GB GE AB AC =，即12108

GE

=. ∴9.6GE =.

故G 、E 两点之间的距离为9.6. 【点睛】

本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G 、D 、E 三点共线以及A 、E 、B 三点在同一条直线上是解题的关键.

8．如图，直角坐标系中，直线y kx b =+分别交x ,y 轴于点A (-8，0)，B (0，6)，C （m ,0）是射线AO 上一动点，⊙P 过B ，O ，C 三点，交直线AB 于点D （B ，D 不重合）. （1）求直线AB 的函数表达式. （2）若点D 在第一象限，且tan ∠ODC =

5

3

，求点D 的坐标.

【答案】（1）364y x =+；（2）D （8825，21625

）. 【解析】 【分析】

（1）把A 、B 两点坐标代入y=kx+b 求出k 、b 的值即可；（2）连结BC ，作DE ⊥OC 于点E ，根据圆周角定理可得∠OBC=∠ODC ，由tan ∠ODC=

5

3

可求出OC 的长，进而可得AC 的长，利用∠DAC 的三角函数值可求出DE 的长，即可得D 点纵坐标，代入直线AB 解析式求出D 点横坐标即可得答案. 【详解】

（1）∵A （-8，0）、B （0，6）在y=kx+b 上， ∴086k b

b

=-+??

=?，

解得346

k b ?=???=?，

∴直线AB 的函数表达式为

y=3

4

x+6. (2)连结BC ，作DE ⊥OC 于点E ， ∵∠BOC=90°，

∴BC 为⊙P 的直径， ∴∠ADC=90°，

∵∠OBC=∠ODC ，tan ∠ODC=5

3

，

∴

OC 5

OB 3

=， ∵OB=6，OA=8，

∴OC=10，AC=18，AB=10，

∵cos ∠DAC=

OA AB =4

5，sin ∠DAC=OB AB =35

， 472

AD AC cos DAC 1855∠=?=?

=, 723216

DE AD sin DAC 5525

∠=?=?=，

∵D 点在直线AB 上， ∴

2163

x 6254

=+， 解得：88x 25

=， ∴D （

8825，21625

）

【点睛】

本题考查待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理及锐角三角函数的定义，熟练掌握直径所对的圆周角等于90°及正切、正弦、余弦等三角函数的定义是解题关键.

9．如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一

点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝1

2

∠P．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C 为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）PM＝32；（3）满足条件的DH 63

-

或

1223

+

【解析】

【分析】

（1）如图1中，作PH⊥FM于H．想办法证明∠PFH=∠PMH，∠C=∠OFC，再根据等角的余角相等即可解决问题；

（2）解直角三角形求出AD，PD即可解决问题；

（3）分两种情形①当△CDH∽△BFM时，DH CD FM BF

=．

②当△CDH∽△MFB时，DH CD

FB MF

=，分别构建方程即可解决问题；

【详解】

（1）证明：如图1中，作PH⊥FM于H．

∵PD⊥AC，∴∠PHM＝∠CDM＝90°，∵∠PMH＝∠DMC，∴∠C＝∠MPH，∵∠C＝1

2

∠FPM，∴∠HPF＝∠HPM，

∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°，∴∠PFH＝∠PMH，

∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC，

∵∠C+∠CMD＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°，

∴∠OFC+∠PFC＝90°，∴∠OFP＝90°，

∴直线PA是⊙O的切线．

（2）解：如图1中，∵∠A＝30°，∠AFO＝90°，∴∠AOF＝60°，

∵∠AOF＝∠OFC+∠OCF，∠OFC＝∠OCF，∴∠C＝30°，

∵⊙O的半径为4，DM＝1，

∴OA＝2OF＝8，CD＝3DM＝3，

∴OD＝OC﹣CD＝4﹣3，

∴AD＝OA+OD＝8+4﹣3＝12﹣3，

在Rt△ADP中，

DP＝AD?tan30°＝（12﹣3）×

3

3

＝43﹣1，

∴PM＝PD﹣DM＝4 3﹣2．（3）如图2中，

由（2）可知：BF ＝

1

2

BC ＝4，FM ＝3BF ＝43 ，CM ＝2DM ＝2，CD ＝3 ， ∴FM ＝FC ﹣CM ＝43﹣2， ①当△CDH ∽△BFM 时，DH CD

FM BF

= ， ∴

3432=

- ，∴DH ＝63

- ②当△CDH ∽△MFB 时，DH CD FB MF

=， ∴

34432

DH =

- ，∴DH ＝1223

+ ， ∵DN ＝()

2

2443

833--=- ，

∴DH ＜DN ，符合题意， 综上所述，满足条件的DH 的值为63- 或1223

+． 【点睛】

本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题.

10．如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，过点C 作⊙O 的切线CP 交BA 的延长线于点P ，连接AE ． （1）求证：PC=PD ；

（2）若AC=5cm ，BC=12cm ，求线段AE ，CE 的长．

【答案】(1)见解析 (2) EC=22 AE=1322

【解析】

试题分析：（1）如图1中，连接OC 、OE ．利用等角的余角相等，证明∠PCD =∠PDC 即可；

（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．首先证明Rt △AEF ≌Rt △BEH ，推出AF =BH ，设AF =BH =x ，再证明四边形CFEH 是正方形，推出CF =CH ，可得5+x =12﹣x ，推出

x =

7

2

，延长即可解决问题； 试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC 、OE ．

∵AB 直径，∴∠ACB =90°，∴CE 平分∠ACB ，∴∠ECA =∠ECB =45°，∴AE =BE ，∴OE ⊥AB ，∴∠DOE =90°．∵PC 是切线，∴OC ⊥PC ，∴∠PCO =90°．∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ．∵∠PCD +∠OCE =90°，∠ODE +∠OEC =90°，∠PDC =∠ODE ，∴∠PCD =∠PDC ，∴PC =PD ．

（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．

∵CE 平分∠ACB ，EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ，∴EH =EF ，∠EFA =∠EHB =90°．∵AE =BE ，∴AE =BE ，∴Rt △AEF ≌Rt △BEH ，∴AF =BH ，设AF =BH =x ．∵∠F =∠FCH =∠CHE =90°，∴四边形CFEH 是矩形．∵EH =EF ，∴四边形CFEH 是正方形，∴CF =CH ，∴5+x =12﹣x ，∴x =

72，∴CF =FE =172，∴EC 2CF 172，AE 22EF AF +2217722（

）（）

+132

2

． 点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

2015中考数学分类汇编圆综合题学生版

2015中考数学真题分类汇编圆综合题 一．解答题（共30小题） 1．（2015?大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=4，求EF的长． 2．（2015?潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 3．（2015?枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=CD?2OE； （3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长． 4．（2015?西宁）如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM， AM． （1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径． 5．（2015?广元）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 6．（2015?北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP； （3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 7．（2015?莆田）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O 在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求证：CB是⊙O的切线．

中考数学圆综合题汇编

25题汇编 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，AD 为弦，OC ∥AD 。 （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若OA=2，求OC AD 的值。 2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC （1）求证：直线AP 是⊙O 的切线； （2）若AC=3，求PD 的长。 3. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，点E 是⊙ O 上一点，点D 是AM 上一点，连接DE 并延长交BN 于点C ，连接OD 、BE ，且OD ∥BE 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AD=1，BC=4，求直径AB 的长。 D C B A O C B M N E D B A O

4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥AB 交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，且∠ABF=∠ABC 。 （1）求证：AB=AC ； （2）若EF=4，2 3 tan = F ，求DE 的长。 5. 在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AE=1，52=BD ，求AB 的长。 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点C 的直线，垂足为D ，且AC 平分 ∠BAD 。 （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若62=AC ，AD=4，求AB 的长。 A

7. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E 。 求证：（1）AC 平分∠DAB ； （2）若∠B=60°，32 CD ，求AE 的长。 8. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是⊙O 的直径，弦BD=BA ，AB=12，BC=5，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E 。 （1）求证：BE 是⊙O 的切线； （2）求DE 的长。 9. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CB=CA=6，半径为2的⊙F 与射线BA 相切于点G ，且AG=4，将Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转135°后得到Rt △ADE ，点B 、C 的对应点分别是点D 、E 。 （1）求证：DE 为⊙F 的切线； （2）求出Rt △ADE 的斜边AD 被⊙ F 截得的弦PQ 的长度。 A E A D

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD，

∵CD是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BE?AB=BD?BD=． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC． （1）若∠G=48°，求∠ACB的度数； （2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF； （3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若 tan∠CAF= 1 2，求1 2 S S的值． 【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4

中考数学专题复习圆的综合的综合题

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32． 【解析】 【分析】 （1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可； （2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案； （3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a， 求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】 （1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC； （2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG； （3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，

《圆的有关概念》练习题

《圆的有关概念》练习题 一．选择题（共7小题） 1．下列各图形中，各个顶点一定在同一个圆上的是（） A．正方形B．菱形C．平行四边形D．梯形 2．下列说法：（1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个 3．下列说法中，（1）长度相等的两条弧一定是等弧；（2）半径相等的两个半圆是等弧；（3）同一条弦所对的两条弧一定是等弧；（4）直径是圆中最大的弦，也就是过圆心的直线．其中正确说法的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，AB是⊙O的直径，D、C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB=60°，连接AC，则 ∠DAC等于（） A．15°B．30°C．45°D．60° 5．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20° 第4题图第5题图第6题图 6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（） A．70°B．60°C．50°D．40° 7．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共3小题） 8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心、CB为半径的圆交 AB于点D，则∠ACD=度． 第8题图第9题图第0题图 9．如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD=84°，则∠BOC=． 10．如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则a、b、c的大小是． 三．解答题（共6小题）

人教版九年级数学上册 圆 几何综合中考真题汇编[解析版]

人教版九年级数学上册 圆 几何综合中考真题汇编[解析版] 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，在直角体系中,直线AB 交x 轴于点A(5,0),交y 轴于点B,AO 是⊙M 的直径,其半圆交AB 于点C,且AC=3.取BO 的中点D,连接CD 、MD 和OC ． （1）求证：CD 是⊙M 的切线； （2）二次函数的图象经过点D 、M 、A,其对称轴上有一动点P,连接PD 、PM,求△PDM 的周长最小时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点Q ，使S △PDM =6S △QAM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】解：（1）证明：连接CM ， ∵OA 为⊙M 直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°． ∵D 为OB 中点，∴DC=DO ．∴∠DCO=∠DOC ． ∵MO=MC ，∴∠MCO=∠MOC ． ∴ ． 又∵点C 在⊙M 上，∴DC 是⊙M 的切线． （2）∵A 点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt △ACO 中，． ∴545(x )x 5)12152- =--（，∴，解得10 OD 3 = ． 又∵D 为OB 中点，∴ 1552 4 +∴D 点坐标为（0，154)． 连接AD ，设直线AD 的解析式为y=kx+b ，则有

解得． ∴直线AD 为 ． ∵二次函数的图象过M （5 6 ，0)、A(5，0)， ∴抛物线对称轴x= 154 ． ∵点M 、A 关于直线x=154对称，设直线AD 与直线x=15 4 交于点P ， ∴PD+PM 为最小． 又∵DM 为定长，∴满足条件的点P 为直线AD 与直线x=15 4 的交点． 当x= 15 4时，45y (x )x 5)152 = --（． ∴P 点的坐标为（15 4，56 ）． （3）存在． ∵ ，5 y a(x )x 5)2 =--（ 又由（2）知D （0，154)，P （15 4，56 ）， ∴由 ，得 ，解得y Q =± 103 ． ∵二次函数的图像过M(0，5 6 )、A(5，0）， ∴设二次函数解析式为， 又∵该图象过点D （0，15 4 )，∴，解得a= 512 ． ∴二次函数解析式为 ． 又∵Q 点在抛物线上，且y Q =±103 ． ∴当y Q =103 时，，解得x= 1552-或x=1552 +； 当y Q =5 12 - 时，，解得x= 15 4 ．

2017中考数学真题汇编：圆(带答案)

2017年浙江中考真题分类汇编（数学）：专题11 圆 一、单选题 1、（2017·金华）如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ) A、10cm B、16cm C、24cm D、26cm 2、（2017?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点，则的长为（） A、 B、 C、 D、

3、（2017·丽水）如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（） A、 B、 C、 D、 4、（2017·衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8。则图中阴影部分的面积是（） A、 B、 C、 D、 二、填空题

5、（2017?杭州）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB=________． 6、（2017?湖州）如图，已知在中，．以为直径作半圆，交于点．若 ，则的度数是________度． 7、（2017·台州）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30cm，则弧BC的长为________cm（结果保留） 8、（2017?绍兴）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E.则∠DOE的度数为________.

9、（2017·嘉兴）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为的，，弓形 （阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为________． 10、（2017?湖州）如图，已知，在射线上取点，以为圆心的圆与相切；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切；；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切．若的半径为，则的半径长是________． 11、（2017·衢州）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线 上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是________ 三、解答题

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）

人教中考数学圆的综合综合题汇编及详细答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上DCE B ∠=∠． （1）求证：CE 是半圆的切线； （2）若CD=10，2 tan 3 B = ，求半圆的半径． 【答案】（1）见解析；(2)413 【解析】 分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论； （2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可. 详解：（1）证明：如图，连接CO . ∵AB 是半圆的直径， ∴∠ACB =90°. ∴∠DCB =180°-∠ACB =90°. ∴∠DCE+∠BCE=90°. ∵OC =OB , ∴∠OCB =∠B. ∵=DCE B ∠∠， ∴∠OCB =∠DCE . ∴∠OCE =∠DCB =90°. ∴OC ⊥CE . ∵OC 是半径， ∴CE 是半圆的切线. （2）解：设AC =2x ，

∵在Rt △ACB 中，2 tan 3 AC B BC ==, ∴BC =3 x . ∴()() 22 2313AB x x x = +=. ∵OD ⊥AB , ∴∠AOD =∠A CB=90°. ∵∠A =∠A ， ∴△AOD ∽△ACB . ∴ AC AO AB AD =. ∵1132OA AB x = =，AD =2x +10, ∴ 1 132210 13x x x = +. 解得 x =8. ∴13 8413OA = ?=. 则半圆的半径为413. 点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形. 2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，E （8,0），F(0 , 6)． （1）当G(4，8)时，则∠FGE= ° （2）在图中的网格区域内找一点P ，使∠FPE=90°且四边形OEPF 被过P 点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形． 要求：写出点P 点坐标，画出过P 点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）． 【答案】（1）90；（2）作图见解析，P （7，7），PH 是分割线． 【解析】 试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG 的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG 是直角三角形，且∠FGE="90" °． （2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P 在以EF 为直径

2018年中考数学真题汇编 圆

2018年中考数学真题汇编:圆(填空+选择46题)答案 一、选择题 1.已知的半径为，的半径为，圆心距，则与的位置关系是（ C ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 2. 如图，为的直径，是的弦，，则的度数为（ C ） A. B. C. D. 3.已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（ C ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ C ） A. B. C. D. 5.如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB，交圆O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（ D ） A.40° B.50° C.70° D.80° 6.如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ A ） A. B.40πm2 C. D.55πm2 7.如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（ A ） A. B. C. D. 8.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（D ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内 9.如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC=6cm，圆锥的面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（ C ） A. B. C. D.

10.如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（ A ）。 A.27° B.32° C.36° D.54° 11.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则 的度数是（ B ） A. B. C. D. 12.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ D ） A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm 13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则 的长为（ C ） A. B. C. D. 14.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（ B ） A. 75° B. 70° C. 65° D. 35° 15.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( D ) A.3 B. C. D. 16. 如图，已知AB是的直径，点P在BA的延长线上，PD与相切于点D，过点B作PD的垂线交PD 的延长线于点C，若的半径为4，，则PA的长为（ A ） A. 4 B. C. 3 D. 2.5 17.在中，若为边的中点，则必有成立.依据以上结论，解决如下问题： 如图，在矩形中，已知，点在以为直径的半圆上运动，则的最小 值为（ D ）A. B. C. 34 D. 10

中考数学圆的综合综合经典题及详细答案

中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4，

∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90°

2015中考数学专题与圆有关的综合题

与圆有关的综合题 知识考点?对应精练 【知识考点】 （1）圆与三角函数； （2）圆与函数； （3）圆与点、线、三角形； （4）圆与多边形. 【方法总结】 （1）看到求圆的切线，想到：有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证半径；（2）看到圆中的三角函数，想到三角函数一般在直角三角形中使用，直径所对的圆周角是直角； （3）看到过圆外的同一点的两条切线，想到切线长定理； （4）看到垂直于弦的直径，想到垂径定理. 【失分盲点】 （1）易忽视圆中的两条半径构成等腰三角形这个条件； （2）在证明一条直线是圆的切线时，若直线与圆的公共点未确定时，易犯证明直线与半径垂直的错误； （3）在圆中的三角形，易犯不说明其为直角三角形就应用三角函数解决问题的错误. 【对应精练】 例.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB 垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF． （1）求证：PB与⊙O相切； （2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明； （3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值 、

真题演练?层层推进 1.如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）若∠AOB=120°，AB= ，求⊙O的面积． 2.如题24图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC 交DC的延长线于点E. (1)求证：∠BCA=∠BAD; (2)求DE的长; (3)求证:BE是⊙O的切线. 3.(2014广东)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF. （1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π） （2）求证：OD=OE； （3）PF是⊙O的切线。

中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案

中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案 一、圆的综合 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，?? BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32． 【解析】 【分析】 （1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可； （2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案； （3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a， 求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】 （1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC； （2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵?? BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG； （3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，

专题3.4 以解析几何中与圆相关的综合问题为解答题 高考数学压轴题分项讲义(解析版)

专题三压轴解答题 第四关以解析几何中与圆相关的综合问题 【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在15年高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想. 类型一以圆的切线为背景的相关问题 典例1【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】设点为抛物线外一点，过点作抛物线 的两条切线，，切点分别为，． （Ⅰ）若点为，求直线的方程； （Ⅱ）若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）设直线方程为，直线方程为. 由可得. 因为与抛物线相切，所以，取，则，. 即. 同理可得.所以：. （Ⅱ）设，则直线方程为， 直线方程为.

由可得. 因为直线与抛物线相切，所以 . 同理可得 ,所以，时方程 的两根. 所以，. 则 . 又因为，则， 所以 .学_ 【名师指点】圆的切线的应用，往往从两个方面进行考查，一是设切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解；二是结合切线长定理与勾股定理求解． 【举一反三】已知椭圆C ：2 2 24x y +=. （1）求椭圆C 的离心率； （2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆2 2 2x y +=的位置关系，并证明你的结论. 【解析】（1）由题意椭圆C 的标准方程为12 422=+y x ， 所以42 =a ，22 =b ，从而2242 2 2 =-=-=b a c ， 所以2 2 == a c e . （2）直线AB 与圆22 2 =+y x 相切，证明如下： 设点),(00y x A ，)2,(t B ，其中00≠x ， 因为OB OA ⊥，所以0=?，即0200=+y tx ，解得0 2x y t - =，

与圆有关的综合问题

与圆有关的综合问题 题型一：与圆有关的轨迹问题 [典例] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PB Q ＝90°，求线段P Q 中点的轨迹方程． [解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设P Q 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PB Q 中，|PN |＝|BN |. 设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥P Q ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4. 故线段P Q 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. [方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的4种方法 [针对训练] 1．(2019·厦门双十中学月考)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 解析：选A 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)， 由题意得，????? x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则? ???? x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2， 故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A. 2．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程； (2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM ―→＝(x ，y －4)，MP ―→ ＝(2－x,2－y )． 由题设知CM ―→·MP ―→ ＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，

几何综合题(与圆相关)

图3 N M F E B C A B A C E F M N P 图2图1 A 图3 D A 图2图1几何综合题：与圆相关 1．已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，有一圆心角为45°半径长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，直线CE 、CF 分别与直线AB 交于M 、N 。 （1）如图1，当AM =BN 时，将△ACM 沿CM 折叠，点A 落在EF 的中点P 处，再将△BCN 沿CN 折叠，点B 也恰好落在点P 处，此时，PM =AM ，PN =BN ，△PMN 的形状是 ，线段AM 、BN 、MN 之间的数量关系是 。 （2）如图2，当扇形CEF 绕点C 在∠ACB 内部旋转时，线段AM 、MN 、BN 之间的数量关系是 ，试证明你的结论。 （3）当扇形CEF 绕点C 旋转到图3的位置时，线段MN 、AM 、BN 之间的数量关系是 ，试证明你的结论。 2．李明同学在学习正多边形和圆时，发现了以下一些有趣的结论：若P 是正多边形外接圆上一点，将P 与正多边形相邻三个顶点连结，这三条线段之间有一些特殊的数量关系。 （1）如图1，若P 是正△ABC 外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PC ，则PB +PC 与PA 之间的数量关系是 ； （2）如图2，若P 是正方形ABCD 的外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PD ，则PB +PD 与PA 之间的数量关系是 ，试证明你的结论； （3）如图3，若点P 是正六边形ABCDEF 外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PF ，则PB +PF 与PA 之间的数量关系是 。 3．小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请你根据题目要求帮小明完成探

2017中考数学真题汇编：圆(带答案)0001

2017年浙江中考真题分类汇编（数学）：专题11圆、单选题 1、（2017 ?金华）如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦 A、10cm B、16cm C、24cm D、26cm 2、（2017?宁波）如图，在Rt △KBC中，Z A = 90 ° BC = .以BC的中点O为圆心的圆分别与AC相切于D、E两点，则：三的长为（） JT B、 C、 D、AB的 AB、 长为（

3、（2017 ?丽水如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（） B、— C、 D、 32 4、（2017 ?衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是O O的直径，CD , EF是O O的弦, 且AB //CD //EF, AB=10 , CD=6 , EF=8。则图中阴影部分的面积是（） A、一 B、 C、-- + 4." D、 、填空题

（2017?杭州）如图，AT 切O O 于点A , AB 是O O 的直径.若/ ABT=40 （2017?绍兴）如图，一块含45。角的直角三角板，它的一个锐角顶点 A 在 O O 上，边AB , AC 分别 与O O 交于点D , E.则/DOE 的度数为 9、 （ 2017 ?嘉兴如图，小明自制一块乒乓球拍， 正面是半径为比謬的 . 亏：一，弓形 （阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 C 10、 （ 2017?湖州）如图，已知 Z.4.L 一;「，在射线 上取点 ，以 为圆心的圆与 相 ，则 B= 6、（ 2017?湖州）如图，已知在 上］1中，一-上二_二「.以.p?为直径作半圆 ， 交二'_1 于点一.若 的度数是 度. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB , AC 的夹角为120 ,AB 长为30cm ，则 8 、

中考数学圆综合练习题含答案

数学中考圆综合题附参考答案 1．如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ． （1）求证：CA 是圆的切线； （2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC = 32，tan ∠AEC =3 5 ，求圆的直径． 2. 如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。 (1)求证：CD 为⊙0的切线； (2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度. 1. (1)证明：连接OC, ∵点C 在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC ，∵CD ⊥PA ，∴∠CDA=90°， 有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC 平分∠PAE ，∴∠DAC=∠CAO 。 ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又∵点C 在⊙O 上，OC 为⊙0的半径，∴CD 为⊙0的切线． (2)解：过0作0F ⊥AB ，垂足为F ，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF 为矩形，∴0C=FD ，OF=CD. ∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ，∵⊙O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x ， 在Rt △AOF 中，由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：211180x x -+= 解得2x =或9x =。由AD

热点与圆有关的计算问题含答案

热点18 与圆有关的计算问题 （时间：100分钟总分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．已知圆心角为120°，所对的弧长为5 cm，则该弧所在圆的半径R=（） A．7.5cm B．8.5cm C．9.5cm D．10.5cm 2．一条弦分圆周为5：4两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为（） A．80° B．100° C．80°或100° D．以上均不正确 3．⊙O的半径R=3cm，直线L与圆有公共点，且直线L和点O的距离为d，则（） A．d=3cm B．d≤3cm C．d>3cm D．d<3cm 4．如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A，?B?两点到直线CD 的距离之和为（） A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm （1）（2）（3）（4） 5．如图2，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，AB=4，CD=2，AB?的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（） A．3：2 B5 2 C52．5：4 6．正三角形的外接圆的半径为R，则三角形边长为（） A3R B． 3 2 R C．2R D． 1 2 R 7．已知如图3，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是（） A．1 2 cm B．1cm C．2cm D．2.5cm 8．∠AOB=30°，P为OA上一点，且OP=5cm，若以P为圆心，r为半径的圆与OB相切，则半径r为（） A．5cm B 5 3 2 ． 5 2 cm D 5 3 3 cm 9．如图4，∠BAC=50°，则∠D+∠E=（） A．220° B．230° C．240° D．250° 10．秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处踩板离地面高2米（左右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为（）