线性代数与概率统计及答案

性 代

数

第一章行列式

、单项选择题

(A) ka (B) - ka (C) k 2a

(D) 一

k 2

a

kx 1 x 2 x 3 = 0

B

. -(m + n) C. m n

二、填空题

1 1

1 0 1.行列式

0 1 0 1 0 1 1 1

0 0

1 0

1. =( )

.

2. (A)

=(

(B) -1

). (C)

(D) 2

(A) 0

(B) -1 (C) 1 (D) 2

3.若 a 11

a 21 a 12

a 22 =a

, a 12

an ka 22

ka 21 ).

4. 已知4阶行列式中第1 行元依次是-4,0,1,3, 第3行元的余子式依次为- 2,5,1,x ,则

x =().

(A)

0 (B) -3

(C) 3

5. k 等于下列选项中哪个值时, 齐次线性方程组

X 1 X 1 (D) 2

x 2 kx 3 = 0

kx 2 x^ 0有非零解.()

(A) -1

(C)-3

6.设行列式

a

11 a

12

a

13

a

11

=n

a 21

a

22

a

23

a

21

(B) -2

=m

，则行列式

(D)0

a

11

^2

- a

13 a

21

a

22

- a

23

含

等于（）

3.解方程

X

1 1 1

=0 ；

1 1 -b

1 1 2-b

0 0 1 0 0 . 2 .

0 0

2.行列式

??? ??? .

0 0 0 . .n —1

n 0 0 . 0

-1

5.

已知三阶行列式中第二列元素依次为 1,2,3,其对应

的余子式依次为3,2,1,则该行列式的

值为 ______ .

(n — 1) —b

an a 12 a 13

an 玄仁—3ai 3a 12

3.如果D = a 21 a 22 a 23 =M , 则D 1 = a 21 a 23 — 3a 22 3a 22

a 31 a 32 a 33

a 31 a 33 — 3a 32 3a 32

4.行列式

-1 -1 X -1

-1

-1 6.齐次线性方程组2X 1 kX 2

=0

-0仅有零解的充要条件是

% - x 2

X 3 = 0

7.若齐次线性方程组*

x 1

2X 2 x 3 = 0

2X 2 +5X 3=0有非零解，则k = -3x 1 - 2x 2 kx 3 二 0

2. 、计算题

1

-1 1

X —2X 2 X 3

1

1 1 . .1

x q a 2 . a

n

a a 〔

a

a 1 x a 2 . a

n

7. b b z a?

a ? ； 8.

a 1 a 2 x . a

n

b b 2 b s . a

n

a 1

a 2

a s .

x

四、证明题

一、单项选择题

1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是

2 2 2 2

(a) A =A (b) A -B =(A — B)(A + B) (c) 2. 设方阵A 、B 、C 满足AB=AC 当 A 满足()

(a) AB =BA (b) A=0 (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3. 若A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则kA =()。 (a) kA (b)

k|A (c)

k n

A (d) k n

A

4. 设 A

为n 阶方阵，且A = 0，则()。 (a) A 中两行(列)对应元素成比例(b) A 中任意一行为其它行的线性组合 (c) A 中至少有一行元素全为零

(d)

A 中必有一行为其它行的线性组合

5.设A 为n 阶方阵,A *为A 的伴随矩阵，则()。 (a) (a) A = A"

(b)

A * = A (c) A = A n * (d)

A* =

1. 设abed =1，证明:

2. a 1 b 1x a 2 b 2x

a 3

b 3x

3.

a 2 a 4

a

b b

2 b 4

c 2 c

4

c

d d

2 d 4

b 2

d 2 1 — a 1 1 -

c

a 1

b 1

c 1 d

=0.

a 1 bi G = (1-x 2

) a 2 b 2 C 2

a 3

b s

c s

=(b -a)(c - a)(d - a)(c - b)(d - b)(d - e)(a b e ■ d).

第——早

矩阵

2

T

T T

(A-B)A = A - AB (d) (AB) =A B

时，B=C

C C 2

b 1 a 2x b 2 a 3x b 3

6. 设A , B 为n 阶方矩阵，A 2 = B 2,则下列各式成立的是()

2 2

(a) A = B (b) A=—B (c) A=B (d) A=|B 7. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是( )。

(a)|2A=2A T

(b)

(2A)」=2A 」

(a) ACB=I (b) CAB=I (c) CBA = I (d) BAC = I 10. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是()。 (a) A 的每个行向量都是非零向量 (b) A 中任意两个行向量都不成比例

(c) A 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示 (d) 对任何n 维非零向量X ，均有AX =0

'12、

_ '勺 2 3、

11. 设矩阵A=( 1, 2), B=e d

5

6」则下列矩阵运算中有意义的是()

A . ACB

C . BAC

12.设矩阵A , B 均为可逆方阵,

则以下结论正确的是(D )

A )

< B 丿可逆，且其逆为& ■

A

'A L B

丿可逆，且其逆为屮

13.已知向量2

口+加=⑴-4

,-3

"

B

不可逆

B

可逆，且其逆为

，则「上(A )

A

_1

B^

(c) [(A A )J ]T

= [(A T

-)T

]」 (d)

q 3

1

、

8.已知A = 2 2 0 ，则(

)

<3

1 h

(a)

A =

=A

(b)

0 0 、 i‘1 1

3、 (c) A 0

0 1

2 0 2

1。 1

丿 住 1 h

1 *

A = A

'1 0 0 %

"1

3"

(d)

0 0 1 A =

2 0 2

1

°」

<3 1 b

I 为单位矩阵，若ABC =1，贝U(

B . AB

C

D . CBA

[(A T )T

]」=[(A 」)T ]T

9.设A,B,C,I 为同阶方阵,

)

. (0,2-1,1)丁 B (-2,0,-1,1)T A

14.设A 和B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（C ）

1. 设A 为n 阶方阵,I 为n 阶单位阵,且A 2 =1,则行列式A 二

a

-a 0

_b _c

四、证明题

设A 、B 均为n 阶非奇异阵，求证AB 可逆.

「4

= A+2X ,其中 A=| 1

-1

2.

设A 为n 阶对称阵,且A 2 =0,求A.

3.设A 为5阶方阵, A *是其伴随矩阵，且A =3，则A* =

4.设4阶方阵A 的秩为2,贝U 其伴随矩阵 A *的秩为

广2 2 3、 ‘2 2、 1) 1 -1 0 X = 3 2

-1 2

b

<0

一

2

7 三、计算题 1.解下列矩阵方程（X 为未知矩阵）. 2) '0 1 0、

0）

3、

1 0 0 X =

2 -1

0 b 1-1 1丿

J °」

3) AX

3 0

3

丿；

7

3.设 A = 「

1 <0 ‘

3

<2

<0

<0 2)亠 A)

1

3

A 4

■^2 11"

*011、

4.设 A = 1 0 1 ,B = 1 2 1

<1 1 0」

<1 1 0」

,求非奇异矩阵C ,使A 二C T BC .

A.若 AB 二 AC ，则 B=C

B.若 AB"，则 A"或 B=0

C.若

二、填空题

AB|=0，则 A =0或 |B =0

D.若A-曰=0

,则A = E 6、设两事件A

2.行列式

2. 设A k =0（k为整数）,求证I -A可逆.

设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的，求证矩阵AB相似于BA. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.

第三章向量

、单项选择题

1. 九：2〉3 , I,都是四维列向量，且四阶行列式

0(1 ?2 ?3

B i |=m,|o(i

02 ?3 °2 = n,

则行列式 |c( 1 C(2 a 3

2. 设A 为n 阶方阵，且A =0,则()。

3. 设A 为n 阶方阵，r(A)二r ：：： n ，则在A 的n 个行向量中( )。

(a)必有r 个行向量线性无关

4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是( )

5. n 维向量组：-1,：-2,..., : s 线性无关的充分条件是( )

(a) 冷，＞2,…，亠都不是零向量

(b) r,〉2,…，中任一向量均不能由其它向量线性表示 (C) ： i , ： 2,..., - s 中任意两个向量都不成比例 (d) ：1,：2，…,-S 中有一个部分组线性无关

二、填空题

1. 若宀=(1, 1, 1)T

，2=(1, 2, 3)T

，:3=(1, 3, t)T

线性相关,

2. n 维零向量一定线性 _______ 关。

3. 向量〉线性无关的充要条件是 _______ 。

4. 若：j,〉2,〉3线性相关，则〉1,〉2,...,〉s (s 3)线性 _____ 关。

5. n 维单位向量组一定线性 _______ 。

.设:1 : =(1 ■, 1, 1)T ，: 2 =(1, 1 (1) '为何值时, -能由：'1/'2, (2) ■为何值时, :能由〉仆＞2, (3) ■为何值时, ：

不能由：1,：-

2.设〉1 = (1, 0, 2, 3)T

，- 2 珂1,

2, 1 ：3唯一地线性表示? ：3线性表示，但表达式不唯一? ：

'3

线性表示?

',1)T ，:

3 珂1, 1, 1 J ，

三、计算题 :

4

=(1,

2, 4, a 8)T ，' =(1,

1, b 3,

5)T 问:

1, 3, 5)T

，: 3 =(1, 1, a 2, 1)

T

，

t= _______

(1) a,b为何值时，［不能表示为〉1「2,〉3,〉4的线性组合?

(2) a,b 为何值时，：能唯一地表示为〉1「2「3,〉4的线性组合?

求向量组：1=(1, -1, 0, 4)T

, :2=(2,

1, 5, 6)丁 , : 3=(1，2, 5, 2)T ,

：-4

=(1, -1, -2, 0)T

, : 5=(3, 0, 7, 14)T 的一个极大线性无关组，并将其余向 量用该极大无关

组线性表示。 四、证明题

设 M ' >2, ：

2 =3〉2 -〉1, ：

3 =2宀——，试证-1 , ：

2 , ：

3 线性相关。 设〉1,〉2，…，：

n 线性无关，证明>1也2, >2必3,…，〉n 比1在n 为奇数时线性无关；在n 为偶 数时线性相关。

第四章 线性方程组

一、 单项选择题

设n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r ，则AX = 0有非零解的充分必要条件 是( )

(A) r = n (B) r :: n

(C) r - n

(D) r n 设A 是m n 矩阵，则线性方程组AX 二b 有无穷解的充要条件是()

(A) r (A):: m

(B) r(A):: n

(C) r (Ab)=r(A) ::: m

(D) r(Ab)=r(A) ：： n 设A 是m n 矩阵，非齐次线性方程组 AX 二b 的导出组为AX = 0，若m ：：： n ，则()

(A) AX 二b 必有无穷多解 (B) AX 二b 必有唯一解 (C) AX =0必有非零解

(D) AX =0必有唯一解

x-i 2x 2 _ x 3 = 4

方程组 X 2 *2X 3=2 无解的充分条件是■=() I , ””” (九—2)x 3 = _(，_3)(九—4)(九 T)

(A) 1

(B) 2 (C) 3

(D) 4

% +x 2 +x 3 =九一1

2x ^ — X3 =丸—2

方程组

2 3

有唯一解的充分条件是 —()

|

-4

C -1)x 3

-3))C -1))

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

二、 填空题

设A 为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量X ，均有AX =0，则A 的秩为 _________ kx 1 2x 2 x 3 = 0

线性方程组 2x-| kx 2 0仅有零解的充分必要条件是 _________ .

% _ x 2 x 3 二 0 3.

1.

2.

1. 2.

3.

4.

5. 1.

2.

3.

设X1,X2」l(X s和C1X1 C s X^I C s X s均为非齐次线性方程组 AX二b的解(C1,cJI(C s为常

数)，贝U Cl ? C2 ? 11( Cs =

4. 若线性方程组AX =b 的导出组与BX =O(r(B)二r)有相同的基础解系，则r(A)二

5. 若线性方程组A mn X 二b 的系数矩阵的秩为m ,贝U 其增广矩阵的秩为 _ .

三、计算题

1. 已知〉1,〉2,是齐次线性方程组AX = 0的一个基础解系，问〉1叱2,〉2也3,〉3匕1是否是 该方程组的一个基础解系？为什么?

AX =0的解，试问B 的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为什么? I

x-i x 2 = 0

3.

设四元齐次线性方程组为 (I :《1 2 °

x 2 _ X 4 = 0

1) 求(I 的一个基础解系 2)

如果k 1(0,1,1,0)T k 2(-1,2,2,1)T 是某齐次线性方程组(II)的通解，问方程

组(I 和(II)

是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明理由

第五章 特征值与特征向量

一、单项选择题

巾0 1 '

1. 设A= 0 1

0 ,则A 的特征值是()。

J 0 0>

(a) -1,1,1

(b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,2

*110"

2. 设A = 1

0 1 ,则A 的特征值是()。

1。11」

(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,1 3. 设A 为n 阶方阵，A 2

= I ,则()。

(a) |A| = 1 (b) A 的特征根都是1 (c) r(A) = n (d)

A 一定是对称阵

4. 若x i , x 2分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量，则k 1x 1 k 2x 2也是A 的特征向 量的充分条件是()。

-

5 4 3 3 2.设 A =

0 1 2 2 3 2 1 1 -n 6 -3

1 -6 0 0 -

2 1 0 -23-20

,已知B 的行向量都是线性方程组

J 1 1 1 -2010

(a) & =0且k2 =0 (b) K = 0且k^-0 (c) = 0 (d) kr" 0且k^ 0

5.若n阶方阵A, B的特征值相同,则()。

(a) A = B (b) |A|=|B| (c) A与 B 相似 (d) A与 B 合同

二、填空题

1.n阶零矩阵的全部特征值为 ________ 。

2.设A为n阶方阵，且A2 = I，则A的全部特征值为________ 。

3.设A为n阶方阵，且A m=0(m是自然数)，则A的特征值为____________ 。

4.若A2= A，则A的全部特征值为_________ 。

5.若方阵A与4I相似，贝U A=_______ 。

三、计算题

1.若n阶方阵A的每一行元素之和都等于a,试求A的一个特征值及该特征值对应的一个特征向量.

2.求非奇异矩阵P ,使P"*AP为对角阵.

广1 1 -2、

2 1、

1) A = 2) A =-1 -3 1

J 2」

C20 -b

四、证明题

1.设A是非奇异阵,-是A的任一特征根,求证-是A，的一个特征根,并且A关于，的特

k

征向量也是A‘关于丄的特征向量.

2.设A2二E,求证A的特征根只能是一1.

3.设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA.

4.证明：相似矩阵具有相同的特征值.

5.设n阶矩阵A = E，如果r(A ? E) ? r(A-E) =n，证明：-1是A的特征值。

6.设 AL B，证明 A k LI B k。

7.设：\,〉2是n阶矩阵A分别属于'1,鼻的特征向量，且'■ 2，证明＞2不是A的特征

向量。

概率论部分

一、填空：(每题 3分，共15分)

1.假设代B是两独立的事件，__________________________ P(Au B) =0.7, P(A) =0.3，贝U P(B)= 。

2.设 A，B 是两事件，P(A| B) =1/4, P(B) =1/ 3，则P(AB) = ___________ 。

3._________________________________________________________________ 若二维随机变量(X,Y)满足E(XY) =E(X)E(Y)，则X与Y ___________________________________________ 。

4. 随机变量 X ~ N(0,1), 丫 =2X 3,则 Y~

5.设总体X ?N （0,1）, X 1,X 2,||（, Xg 是来自总体X 的样本，则X 服从 二、选择：（每题 3分，共15分）

如果（）成立，则事件 A, B 互为对立事件

下列结论正确的是（）

A. X 与丫相互独立，则 X 与丫不相关

B. X 与丫不独立，则X 与丫相关

C . X 与丫不相关，则X 与丫相互独立

D . X 与丫相关，则X 与丫相互独立

2

2

设X 1,X 2/ ,X n 为来自正态总体 X ~ N （?二）的一个样本，其中 J

已知，二未知，则下面不是统计

量的是（）

三、计算：（共 70分）

1.（ 15分）甲乙两袋，甲袋中有两白球一个黑球，乙袋中有一个白球两个黑球。先从甲袋中取一球放到乙袋 中，再从乙袋中取一球，

（1） 求从乙袋中取岀的是白球的概率；

（2） 已发现从乙袋中取岀的是白球，问从甲袋中取岀放入乙袋中的球为白球的概率。

2

cx ,0 ： x

2 0,

工6x , 0 ： y ： ： x ： ： 1 f(x 'y>

0,

其它

6.（ 10分）总体X 的概率密度函数为 f （x ）=二

【0

求未知参数 二的矩估计量，并验证未知参数 V 的矩估计

量是 二的有偏还是无偏估计量。

线性代数部分参考答案

试求：（1）常数c ； （2） P{ 一1 ：：

X :：: 1}

3. （10分）设随机变量 X 的密度函数为 f(x)

2x, 0,

0 ：： x 1; 2

其他，，求ex 的概率密度;

4.（ 10分）一袋中装有 小号码，求随机变量 X

5只球，编码为 的分布律与数学期望

1，2, 3, 4, 5，在袋中同时取 3只，以X 表示取岀的3只球中的最 （1）试求关于 X 及Y 的边缘概率密度；（2）

判断X 与丫是否相互独立，并说明理由

分布。

2.

x I 若X 的概率密度为f （x^M-x

0岂x 空2

2 ^x 乞4，贝U P{X _3}=() 其它

3. 设随机变量X ~ B （n, p ），则方差 var （X ）二（）

4. 5.

2.（ 10分）设随机变量

X 的密度函数为

5. （15分）设随机变量 （X,Y ）的概率密度为

0 ：： x :: V

> 0是未知参数,

其它

第一章行列式

一、单项选择题

1. ( C )2 ( C ).3. (B).4 ( C ).5. ( A )6. (C) 二?填空题

1.0；

2.(一1)心n!；

3.-3M ；

4.x 4

; 5.-2； 6.k — 2,3; 7.k = 7

三. 计算题 1. -2(x 3 y 3)； 2. x —2,0,1;

-(2 b)(1-b)...(( n-2)-b);

n

(-1)n

［【(b k -a k );

k z!

第二章参考答案

12.( D )13.A )14.( C )

二. 1. 1 或-1 ； 2. 0 ； 5. 81 ； 6. 0 ；

第三章向量参考答案

-2 1 0、

‘

?"L

1 0 0 1 -

2 1 4. 1 0 0

0 0 1 -2

2

1丿

7

0 b

7

3.

广

|Z

-10 0

-1

「3 -8 -6'

-13 -2

；2）、

3 ；3）、

2 -9 -6

〔16 0

1

厂2 12 -9丿

2. 0 ；

1.1）、

-、 单项选择

1.b

2.d 二、 填空题

1. 5

三、 解答题

3.a

4.b 2.相

关

5.b

3.

:-0 4.相关

（1 /..）x 1

x 2 X 3 = 0

则对应方程组为《 X i 十（1 +扎）X 2 + X 3 = &

2

X! + x 2 + （1 + 丸）x 3 =九 1 +九 1

其系数行列式|A = 1 1 +K

1 1

(1)当&式0,人式-3时，A 式0，方程组有唯一解，所以P 可由ot 1SE 3唯一地线性表示；

2. 解:以:^, ：-2/-3/-4,:为列构造矩阵

(1) 当a = _1且b = 0时，一：不能表示为〉1,〉2「3,〉4的线性组合； (2) 当-1,b 任意时，［能唯一地表示为〉1「2「3,〉4的线性组合

四、证明题

1.证：：3( S 「2)-4(2 S - 飞)=0

? -5 S 3 \ 4 /0

-1, -2, ：

3

线性相关

2.

证：设 k 1(：1 匕)k 2(〉2 ： 3) k n (： n ： 1)= 0

则（k 1 k n ）： 1 ? （k 1 k 2）〉2 ■ （k n 「k n ）： n 二 0

1

2

1 =九仏+3）

(2)当■ =0时，方程组的增广阵

1 1 1 0

、

广1

1 1 0

、 1 1 1 0

T

0 0 0 0

I 1 1 1 °」

1° 0 0 °」

r(A) =r(A) = 1 ：：： 3，方程组有无穷多解，所以 B 可由

a 1心2,。3线性表示，但表示式不 (3)当 =-3时，方程组的增广阵

■'-2 1 1 0 x

1 -

2 1 -

3 '

1-21-3 T

0 -3 3 -12

J

1

-2

9 ;

2

0 0 —

18』

r(A) =r(A)，方程组无解，所以

-不能由宀二2；' 3线性表示。

广1 3.

解：（％, ?2, ?3, ?4,叫）=-

0 0

2 1

1 3 '

q

0 _ 1 0 2 '

1 2 -1 0

T

0 1 1 0 1 5 5 -2 7

0 0 0 1 _ 1 6 2 0 14丿

<0

0 0

：

'1/'2/'4

为一个极大无关组，且 >3二：

2 0 4, A = A =

>5 = 2

〉1

* 2 - >4

参考答案

一、 单项选择题 1.B 2.D 3.C 4.B 5.A

二、 填空题 1. 100 2. k=-2且k=3

3. 1

4. r

5. m

三、 计算题 1.是2. 不能

3. 1)w =(0,0,1,0)T ,V 2 =(-1,1,0,1)丁

2)k(-1,1,1,1T (其中 k 为任意非零常数) 第五章

参考答案

-、单项选择题

1.a

2.c

3.c

4.d

5.b

二、填空题

1.0

2.1,-1

3.0

4.0,1

三、计算题 1.a,(1,1川,1T

<-1 1] 『1 1 -3、 2.(1) 1 1 ⑵

-2 1 1

I

1 1

丿

J 2

2」 四.证明题(略)

=0 =0

k

n J k

n

- 0

1 0 0 … 0 1 1

1 0 … 0 0

1 1 … 0 0 0 0 0 … 1 0 0 0

0 …

1 1

2n 为奇数 0,n 为偶数

???当n 为奇数时, ,k n 只能为零，：'1，：'

〉n 线性无关;

当n 为偶数时,

k 1, k

2

,

,k n 可以不全为零，〉.，： 1厂2,

:n

线性相关。

其系数行列式 k i , =1 (-俨 1

概率论部分

一、 填空(每题 3分共15分)

1.4/7 ；

2. 1/12 ；

3.不相关；

4. Y~N(3,4) ;

5. N (0,1/10) 二、 选择(每题 3分共15分) 1 . C; 2. C ;

3. D ;

4. A ;

5. B

三、 计算 1 . (15 分)

解：设A =｛第一次从甲袋中摸的是黑球｝ A 2 =｛第一次从甲袋中摸的是白球｝ (1) 由全概率公式

P(B)= P(B| A)P(AJ P(B|A 2)P(A 2)I 川川川山川I 川Ml 川川川I 川川山川|(||川川II 色分 12 12

所 以

P(AJ , HA ?)

, P(B|A) P(B|") = 3

3 4

4

P(B)=1/12+4/12=5/12

3.( 10分)解：(1) 丫 =X 2

分别在(-：：,0)和(0,+ ：：)单调，所以

f (y)

_ f x (-.y)l(-.y)'l f x (、y)l(.y)'l, 0 y :: 1 2八0, ，其他.……4 分,

_ 1

0 2 y

1, 0 y 1

=“

2 J y

.. 6 分，

0,

其他

或利用分布函数法：

F Y (y) = P{Y 乞 y} =P{X 2 乞 y} - P{ - y 岂 X G. P{0 ：： X — y}……4 分

2xdx = x 2 0y = y, 0 c y ￡1,……4 分

(2)要求 P(A 2 | B)，由贝叶斯公式 P(A 2 | B)

P(B 1

A

2

)P(A

2)

P(B)

5

分

=2 2 13 = 4

2

分

4 3 5

5

2

.(10

分)解：

(1)

由」f(

x )dx

J

2

2

8

得0

cxd

-3-1

，所以

1

⑵ P{ 一1 ：：1}二 /

f(x)dx

bdxH °8 8

y o

ft

f Y (y)二 F Y (y)二 1,

0 y ：

1

线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社

线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号） （2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似

二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。

大一线性代数期末试卷试题卷及标准答案解析.doc

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 诚信应考 ,考试作弊将带来严重后果！ 线性代数期末考试试卷及答案 号 位 座 注意事项： 1. 考前请将密封线内填写清楚； 线 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上 )； 3．考试形式：开（闭）卷； 4. 本试卷共五大题，满分100 分，考试时间 120 分钟。 题号一二三四五总分 业得分 专 评卷人 ) 一、单项选择题（每小题 2 分，共 40 分）。 题 封 答1．设矩阵A为2 2矩 阵, B 为2 3矩阵 , C为3 2矩阵，则下列矩阵运算无意义的是 院 不 内 【】学 线 封 密 A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB ( 2.设 n 阶方阵 A 满足 A2＋ E =0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有【】 A. 矩阵 A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 3.设 A 为 n 阶方阵，且行列式det(A)= 1 ,则 det(-2A)= 【】 n C. －2n A. －2 D. 1 B. －2 号密 4.设 A 为 3 阶方阵，且行列式det(A)=0 ，则在 A 的行向量组中【】学 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量，其对应分量成比例 C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 5．设向量组a1,a2, a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】名A．a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 B. a1, a2 ,2a1 3a2 姓

C. a 2 ,2a 3 ,2a 2 a 3 D. a 1－ a 3 , a 2 ,a 1 6.向量组 (I): a 1 , ,a m (m 3) 线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量 ,它不能由其余 m-1 个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数 k 1 , , k m , 使 k 1 a 1 k m a m 0 7．设 a 为 m n 矩阵，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0存在非零解的充分必要条件是 【 】 A ． A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 0 8.设 a i 、 b i 均为非零常数（ i =1， 2， 3），且齐次线性方程组 b 2 x 2 b 3 x 3 b 1 x 1 的基础解系含 2 个解向量，则必有 【 】 a 1 a 2 B. a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a 1 a 3 0 A. b 1 b 2 0C. b 2 b 3 D. b 2 b 3 b 1 b 1 b 2 9.方程组 2x 1 x 2 x 3 1 x 1 2x 2 x 3 1 有解的充分必要的条件是 【 】 3 x 1 3x 2 2 x 3 a 1 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η 1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系， 则下列向量组中也为该方程 组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由 η 1， η2， η3 线性表示的向量组 B. 与 η1， η2 ， η3 等秩的向量组 C.η 1－η2， η2－ η3， η3－ η1 D. η 1， η1-η3， η1-η 2-η 3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0 ，则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解， 也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有 n 个 【 】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间 R n 的子空间的是 【 】 n A. {( a 1 , a 2 , ,a n ) | a 1a 2 0} B. {( a 1 , a 2 , , a n ) | a i 0} C. {( a 1, a 2 , , a n ) | a i z,i 1,2, , n} D. {( a 1 , a 2 , i n 1 1} , a n ) | a i 1 0 i 1 14.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B - 3 ,E 为 2 阶单位矩阵 ,则方阵 E –A 必相似于矩阵 2

(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 25 分） 1 3 1 1.若0 5 x 0 ，则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。 x1x2x30 3．已知矩阵 A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4．已知矩阵A 为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。 5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。 二、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（） A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（） 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（） 1

x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 ．已知矩阵 A , 其特征值为（ ） 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 （每小题 10 分，共 50 分） 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ，求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？ 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时，线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明：若 A 是 n 阶方阵，且 AA A1， 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I ， 2

北大版 线性代数第一章部分课后答案详解

习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

(完整word版)同济大学线性代数期末试卷全套试卷(1至4套)

《线性代数》期终试卷1 （ 2学时） 本试卷共七大题 一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)： 1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是 , 则的属于的两个线性无关的特征向量是 ()； 2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随 矩阵, 则的行列式()； 3.(4分)设, , 则 ()； 4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()； 5.(3分)二次型经过正交变换可化为 标准型,则()；

6.(3分)行列式中的系数是()； 7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个 解向量, 其中, , 则该方程组的通解是 ()。 二、计算行列 式： (满分10分) 三、设, , 求。 (满分10分) 四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。

(满分15分) 五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分10分) 六、已知二次型， (1)写出二次型的矩阵表达式； (2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型； (3)是什么类型的二次曲面? (满分15分) 七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量 不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。 2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组 必有非零解。

《线性代数》期终试卷2 （ 2学时） 本试卷共八大题 一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）： 1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵 。（） 2.若矩阵和矩阵满足，则 。（） 3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交 阵。（） 4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本 身。（） 5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有 。（）

线性代数期末考试试卷答案合集

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号填“√”，错误的在括号填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ￡ s ￡ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

线性代数课后习题答案全)习题详解

线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---

线性代数期末考试试卷答案

线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

大一线性代数期末考试试卷

线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷(B)及答案

诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线…………………………………………………

8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+

线性代数课后习题答案分析

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0