直线与圆锥曲线的位置关系(精华版)

直线与圆锥曲线的位置关系

问题1 已知直线l 过定点M ( 0，2) ，抛物线C : y 2=x ，直线l 与抛物线C 何时有一个公共点?两个公共点? 没有公共点?

变式过点M( 0，2) 的直线l 与椭圆C ：14

22

=+y x 的两个交点在y 轴右侧，求直线l 的斜率k 的取值范围.

问题2 ( 人教 A 版选修 2 －1第62页B 组第4题）已知双曲线122

2

=-y x ，过点 P ( 1，1)能否作一条直线l 与双曲线交于A 、B 两点，使点P 是线段AB 的中点?

探究假如存在这样的直线l ，你能求出这条直线吗？

存在点M(0，m)，使得△MAB为正三角形? 如果存在，求出点M的坐标，如果不存在说明理由．

探究当△MAB为正三角形时，点M应满足哪些条件?

直线与圆锥曲线

直线与圆锥曲线 考情分析： 本节内容是高中数学的重要内容之一，也是历年高考尝试新题的板块，各种解题方法在这里表现得比较充分，尤其是在近几年高考的新课程卷中.平面向量与解几融合在一起，综合性很强，题目多变，解法灵活多样，能充分体现高考的选拔功能. 1、考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程、直线的位置关系，此类题大都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考. 2、二次曲线的基础知识，直线与二次曲线的普通方程、参数方程，以及普通方程与参数方程的互化，常以选择题、填空题的形式出现属于中档题. 3、有关直线与圆、直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生几何知识与代数知识的综合应用，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高. 二、考点整合 1、第一部分内容：直线的倾斜角、斜率，直线的方程，两条直线的位置关系；简单的线性规划及其实际应用；曲线和方程、圆的方程. 2、第二部分内容包括椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质，以及它们与直线的位置关系的判定，弦长的有关计算、证明等，本部分内容为高考命题的热点. 3、椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质. 4、椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下： （1）从方程的形式看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程都是二元二次方程，所以它们属于二次曲线； （2）从点的集合（或轨迹）的观点看：它们都是与定点和定直线距离的比是常数e 的集合（或轨迹），这个点是它们的焦点，定直线是它们的准线.只是由于离心率e 取值范围的不同，而分为椭圆（10<e ）和抛物线（1=e ）三种曲线； （3）这三种曲线都是由平面截圆锥面得到的截线. 5、坐标法是研究曲线的一种重要方法，本节进一步研究求曲线方程的一般方法，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，以及用坐标法证明简单的几何问题等. 6、椭圆、双曲线、抛物线是常见的曲线，利用它们的方程及几何性质，可以解决一些简单的实际问题；利用方程可以研究它们与直线的交点、相交弦等有关问题. 解析几何的综合问题，主要是以圆锥曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的有关性质以及函数、方程、不等式、三角、向量等知识.考查的数学思想有数形结合的思想、分类整合的思想、换元的思想、等价转化的思想等.常见题型有求曲线方程，由方程研究性质以及定值、最值、范围、探索性问题等.这类题目一般难度较大，常作高考题中的压轴题. 三、典例精讲： 例 1 （1）由动点P 向圆12 2 =+y x 作两条切线、PB PA ，切点分别为、B A ， ο60=∠APB ，则动点P 的轨迹方程为______________________. （2）设直线022:=++y x l 关于原点对称的直线为/ l ，若/ l 与椭圆14 2 2 =+y x 的交 点为、B A ，点P 为椭圆上的动点，则使得PAB ?的面积为2 1的点P 的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 （3）已知双曲线的中心在原点，离心率为3，它的一条准线与抛物线x y 42 =的准

《空间中直线与直线的位置关系》习题

《空间中直线与直线的位置关系》习题 一、选择题 1. 一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是 ( ) A .相交． B .异面 C .平行． D .相交或异面． 2.a 、b 是两条异面直线，c 、d 小也是两条异面直线，则a 、c 的位置关系是( ) A .相交、平行或异面． B .相交或平行． C .异面 D .平行或异面． 3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各侧面对角线所在的直线中与B 1D 成异面直线的条数是() A .3． B .4． C .5． D .6． 4.异面直线a 、b 分别在平面α和β内，若l =βα 则直线l 必定( ) A .分别与a 、b 相交． B .与a 、b 都不相交． C .至多与a 、b 中的一条相交． D .至少与a 、b 中的一条相交． 5. 空间四边形ABCD 中AB =CD ，且AB 与CD 成60°角，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，则EF 与AB 所成角的度数为 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．30°或60° 二、填空题 6.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是______．(把符合要求的命题序号都填上) 7.异面直线a ，b 所成角为80o，过空间一点作与直线a ，b 所成角都为θ的直线只可以作2条，则θ的取值范围为_________. 8.如果把两条异面直线看成“一对”，那么在正方体的十二条棱所在的直线中，共有_____对异面直线． 9. 正四棱锥ABCD V -的侧棱长与底面边长相等，E 是V A 中点，O 是底面中心，则异面直线EO 与BC 所成的角是___________. 10. 已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是__________________(写出所有正确结论的编号)． 三、解答题 11.已知直线a 和b 是异面直线，直线c ∥a ，直线b 与c 不相交，求证b 和c 是异面直线． =，AC 12.空间四边形ABCD ，已知AD =1，BD AD ⊥BC ，对角线BD ，求AC 和BD 所成的角。 答案与解析 1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.② 7.40o<θ<50o 8.24. 9.3 π 10.对于命题①，经过两条平行直线分别作两个平面垂直于平面α，则在这两个平面内可以作出两条不垂直的异

圆锥曲线-直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线位置关系 一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定， 下面以直线y kx m =+和椭圆：()22 2210x y a b a b +=>>为例 （1）联立直线与椭圆方程：222222 y kx m b x a y a b =+??+=? （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：() 2 22 2 22b x a kx m a b ++=，整理可得： ()22 222222220a k b x a kxm a m a b +++-= （3）通过计算判别式?的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ 0?>为例： （1）联立直线与双曲线方程：22 2 2 22 y kx m b x a y a b =+?? -=?，消元代入后可得： ()()2 2222222220b a k x a kxm a m a b ---+= （2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2 2 2 0a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为2 2 2 b a k -，有可能为零。所以要分情况进行讨论

高中数学 选修1-1 18.直线与双曲线的位置关系

18.直线与双曲线的位置关系 教学目标 班级_____姓名________ 1.了解直线与双曲线的位置关系. 2.掌握双曲线中弦长问题的解法. 教学过程 一、直线与双曲线的位置关系. 1.直线与双曲线的位置关系. （1）相交：①有两个交点:交点在双曲线同一支或交点在双曲线两支上； ②有一个交点；（直线与渐近线平行时） （2）相切：直线与双曲线相切，只有一个交点.（直线只能与双曲线的一支相切） （3）相离：直线与双曲线无交点. 2.分析直线与双曲线的位置关系. （1）通过斜率分析.（已知直线恒过定点） （2）通过?分析.（注意特殊情况） 3.弦长公式. 设直线方程m kx y +=，直线与双曲线相交，两交点分别为),(11y x A ，),(22y x B . 则 （1）2122124)(1||x x x x k AB -+?+=（联立方程，消y ，应用韦达定理）； （2）2122124)(11||y y y y k AB -+?+ =（联立方程，消x ，应用韦达定理）. 二、例题分析. 1.直线与双曲线的位置关系. 例1：已知双曲线C ：122 2 =-y x ，直线l 过点P )1,1(，当斜率k 为何值时，直线l 与双曲线C ：（1）有一个公共点；（2）有两个公共点；（3）无公共点.

2.双曲线中的弦长问题. 例2：双曲线的两条渐近线的方程为x y 2±=，且经过点)32,3(-，若过双曲线的右焦点F 且倾斜角为 60的直线交双曲线于A 、B 两点，求AB 弦长. 作业：已知斜率为2的直线l 在双曲线12 32 2=-y x 上截得的弦长为4，求直线l 的方程.

直线和圆锥曲线的位置关系

聚焦考点直线和圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力。在近几年的高考中，每年风格都在变换，考查思维的敏捷性，在探索中求创新。 具体来说，这些问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题。与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向。 纵观近几年高考和各类型考试，可以发现： 1．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。 2．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便。 3．充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用。灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题。 热点透析 题型1：直线与圆锥曲线的交点个数问题

例1已知双曲线C:2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点. (2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在. 解:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 .(*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点. ②当Δ＞0,即k＜,又k≠±, 故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点. ③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.

直线与圆锥曲线的位置关系专题复习

直线与圆锥曲线的位置关系 一.知识网络结构： 2. 直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax2 bx c 0。 ① .若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合； 当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。 ② .若a 0，设b2 4ac。a . 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 b. 0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。 c. 0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。 二.常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系： 2 2 例1.椭圆—J 1上的点到直线X 2y .2 0的最大距离是（） 16 4 A.3 B. ,11 C. 2 2 D. . 10 2 2 例2.如果椭圆—y 1的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在的直线方程是（） 36 9 A. x 2y 0 B. x 2y 4 0 C. 2x 3y 12 0 D. x 2y 8 0 题型二：直线与双曲线的位置关系： 例3.已知直线L:y kx 1与双曲线C:x2 y2=4。 ⑴若直线L与双曲线C无公共点，求k的范围；⑵若直线L与双曲线C有两个公共点，求k 的范围； ⑶若直线L与双曲线C有一个公共点，求k的范围；⑷若直线L与双曲线C的右支有两个公共点，求k的范围；⑸若直线L与双曲线C的两支各有一个公共点，求k的范围。 题型三：直线与抛物线的位置关系： 例4.在抛物线y2 2x上求一点P,使P到焦点F与P到点A（3,2）的距离之和最小。

空间直线与直线的位置关系(教案)

课题： 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 桓台一中数学组尹朔教材版本：新课标：人教版A 版《数学必修2》设计思想：空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习的。在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。 教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。 教材分析：直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 教学目标： 1、知识与技能 （1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。 （2）.会用平面衬托来画异面直线。 （3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。 （4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 （1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。 3、情感态度与价值观 （1）.让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 （2）.增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。（3）.通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。教学难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备:学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）教学模式 问题——自主、合作——探究

直线与直线的位置关系——对称

直线与直线的位置关系（3）——对称问题 教学目标 1、利用直线相关知识解决直线的有关对称问题。 2、初步学会解决三角形中的直线问题 1、两直线平行和垂直的判定 2、点到直线的距离公式 (1) 点到直线的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2 . (2) 两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0，Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝ |C 1－C 2|A 2＋B 2 例1 已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求： (1) 点P(－2，－1)关于直线l 的对称点坐标； (2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； (3) 直线l 关于点(1,1)对称的直线方程． 解：(1) 设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)， 则线段PP ′的中点M 在对称轴l 上，且PP ′⊥l. ∴????? y 0＋1x 0＋2·??? ?－12＝－1x 0－22＋2·y 0－12－2＝0 ，解得??? x 0＝25y 0＝195，即P ′坐标为????25，195. (2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P(x ，y)关于l 的对称 点P ′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．

由????? y －y ′x －x ′·????－12＝－1x ＋x ′2＋2·y ＋y ′2－2＝0，得????? x ′＝3x －4y ＋45y ′＝－4x －3y ＋85. 把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理，得7x －y －14＝0. 即直线l 2的方程为7x －y －14＝0. (3) 设直线l 关于点A(1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P(x 1，y 1)关于点A 的 对称点P ′(x ，y)一定在直线l ′上，反之也成立． 由????? x ＋x 12＝1 y ＋y 12＝1，得????? x 1＝2－x y 1＝2－y ， 将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得x ＋2y －4＝0.∴直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0. 例2 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，且A ，B 的坐标分别为A(－ 4,2)，B(3,1)，求顶点C 的坐标并判断△ABC 的形状． 解：由题意画出草图(如图所示)． 设点A(－4,2)关于直线l ：y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b)，则A ′必在直线BC 上．以下 先求A ′(a ，b)．

巩固练习直线与双曲线的位置关系文基础

【巩固练习】 一、选择题 1．双曲线2233x y -=的渐近线方程是( ) A ．3y x =± B ．1 3y x =± C ．y = D ．y x = 2．椭圆22214x y m +=与双曲线22 212 x y m -=有相同的焦点，则m 的值是( ) A ．±1 B ．1 C ．－1 D ．不存在 3．已知双曲线方程为22 1205 x y -=，那么它的半焦距是( ) A ．5 B ．2.5 C. D. 4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D. 14 5. 已知双曲线的两个焦点为F 1(0)、F 20)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A. 22123x y -= B. 22132x y -= C. 2 214x y -= D ．2 2 14y x -= 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16 B ．18 C ．21 D ．26 二、填空题 7．已知双曲线22 1124 x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．

8．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条． 9．已知双曲线22 221x y a b -= (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率e 的最大值为________． 10．设一个圆的圆心在双曲线22 1916 y x -=的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O 到该圆圆心的距离是________． 三、解答题 11.已知双曲线的中心在原点，焦点为F 1 ，F 2（0，），且离心率2e =，求双曲线 的标准方程及其渐近线． 12．设双曲线C ：1:)0(1222 =+>=-y x l a y a x 与直线相交于两个不同的点A 、B ；求双曲线C 的离心率e 的取值范围： 13．设双曲线22 22b y a x -=1（00，b >0)的两个焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°，求双曲线的渐近线方程．

直线与圆锥曲线的位置关系详解

直线与圆锥曲线的位置关系 ●知识梳理 本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式. ●点击双基 1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况. 答案：B 2.已知双曲线C ：x 2－4 2y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：数形结合法，与渐近线平行、相切. 答案：D 3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是 A.（－∞，0） B.（1，＋∞） C.（－∞，0）∪（1，+∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）

解析：数形结合法，与渐近线斜率比较. 答案：C 4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________. 解析：由题意知抛物线焦点F （1，0）.设过焦点F （1，0）的直线为y =k （x －1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）. 代入抛物线方程消去y 得k 2x 2－2（k 2+2）x +k 2=0. ∵k 2≠0，∴x 1+x 2=2 2)2(2k k +，x 1x 2=1. ∵|AB |=2212))(1(x x k -+ =]4))[(1(212212x x x x k -++ =]4)2(4)[1(42 22 -++k k k =8， ∴k 2=1. ∴△OAB 的重心的横坐标为x = 3 021x x ++=2. 答案：2 5.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +9 2y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____________. 解析：设直线l 与椭圆交于P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）， 将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率k =2121x x y y --=－) (42121y y x x ++=

《直线与直线之间的位置关系》教案正式版

《直线与直线之间的位置关系》教案 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理； （5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法 （1）师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 3、情感与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 二、教学重点、难点 重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。 难点：异面直线所成角的计算。 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课 1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图： 2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， 共面直线

BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行 再联系其他相应实例归纳出公理4 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 （2）例2（投影片） 例2的讲解让学生掌握了公理4的运用 （3）教材P47探究 让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。 3、组织学生思考教材P47的思考题 （投影） 让学生观察、思考： ∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800 教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。 （1）师：如图，已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线a'∥a 、b'∥b ，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）。 （2）强调： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； =>a ∥c 2

直线与双曲线位置关系典例精析

直线和双曲线的位置关系 一、要点精讲 1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离. 2．弦长公式：设直线 y kx b 交双曲线于 P 1 x 1 , y 1 ， P 2 x 2 , y 2 ， 则 P 1P 2 x 1 x 2 1 k 2 1 k 2 x 1 x 2 2 4x 1 x 2 ， 或 P 1P 2 y 1 y 2 1 1 1 1 y 1 y 2 2 4y 1 y 2 k 0 ． k 2 k 2 二、基础自测 1．经过点 P 1 ,2 且与双曲线 4x 2 y 2 1仅有一个公共点的直线有（ ） 2 (A)4 条 (B) 3 条 (C) 2 条 (D) 1 条 2．直线 y= kx 与双曲线 4x 2 y 2 16 不可能（ ） （ A ）相交 （ B ）只有一个交点 （ C ）相离 （ D ）有两个公共 点 3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线 y 2 x 2 的通径长是 16 1 9 (A) 9 (B) 9 (C)9 (D)10 4 2 4 ． 若 一 直 线 l 平 行 于双 曲 线 的 一 条 渐 近线 ， 则 l 与 双 曲线 的公 共 点 个 数 为 ． 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与 双曲线不是相切 5．经过双曲线 x 2 y 2 8 的右焦点且斜率为 2 的直线被双曲线截得的线段的长

是． 6．直线l在双曲线x 2y21上截得的弦长为4，且l的斜率为 2，求直线l的方程．32 三、典例精析 题型一：直线与双曲线的位置关系 1.如果直线y kx 1 与双曲线 x 2y 2 4 没有公共点，求k的取值范围．有两个公共点呢？ 解，所以△ =(b )240 ，所以 b 2 ，e c a2b2 1 ( b )2 5 ，故选D. a a a a a 2．(2010 ·安徽 )若直线 y＝kx＋2与双曲线 x2－ y2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是() A.15 ,15 B. 0,15 C.15 ,0 D.15 ,1 33333 y＝kx＋ 2， 1k 20 2216k2 4 1k210 0 解：由 得 (1－ k )x －－＝，∴，解 x2－y2＝ 64kx 10 0x1x20 x1x20 15 得－3

直线与圆锥曲线(椭圆为例)位置关系

直线与圆锥曲线（椭圆为例）位置关系 【复习要点】直线与圆锥曲线问题常用知识点 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+ 垂直：则121k k =-； 直线所在的向量120v v =r r g 平行：斜率相等，截距不等。 2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ， 则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式： 点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标M （x,y ）其中（1212 ,y 22 x x y y x ++==，）。 4、弦长公式： 若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB = 或者 AB = 【题型解析】直线和椭圆（圆锥曲线）常考题型 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 :14x y C m + =始终有交点，求m 的取值范围 解：数形结合，直线恒过（0,1）点，即此点在椭圆内即可。 14m m ≤≠且。

例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2(1)y k x y x =+??=?消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得 2242(21)4410k k k ?=--=-+>即2 1 04 k << ② 由韦达定理，得：2122 21 ,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22 211 (,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122x k = -，则211 (,0)22 E k - ABE ?Q 为正三角形， ∴211( ,0)22E k -到直线AB 的距离d 。 AB =Q 2 k =d = = 解得13 k =± 满足②式， 此时053x =。

空间中直线与直线之间的位置关系(附答案)

空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用) 反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不

是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ?? ? 共面直线??? ?? 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性 符号语言 ? ??? ?a ∥c b ∥c ?a ∥b 图形语言 知识点三 空间等角定理 1.定理

直线与圆锥曲线的位置关系一教学设计

北京市北纬路中学徐学军 《直线与圆锥曲线的位置关系（一）》教学设计 一、教材分析及学生情况分析 本节课是平面解析几何的核心内容之一。在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，直线与圆的位置关系及判定，这为本节课的学习起着铺垫作用。本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一节课，着重是教会学生如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。所以是承上启下的一节课。这节课还是培养学生数学能力的良好题材，所以说是解析几何的核心内容之一。 数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。因此本节课在教学中力图让学生动手操作，自主探究、发现共性、类比归纳、总结解题规律。 学生情况分析：对于直线和圆，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和相交，会从代数、几何两个方面进行判断。本节课，学生将类比挖掘直线与椭圆圆的位置关系，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。本班为理科班，学生整体思维能力较强，勤于动脑，喜欢想问题，但不愿动手实践，特别是进行相关计算，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识及反思总结等方面有待加强。 二、教学目标 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知心理特征和实际，制定如下教学目标： 知识与技能：①理解直线与椭圆的位置关系； ②会进行位置关系的判断，计算弦长。 过程与方法：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过回忆画图让学生理解直线与椭圆的位置关系；观察类比直线与圆的位置关系的判定，归纳总结出直线与椭圆的位置关系的判定，掌握代数方法， 学会解决相关的问题。 情感、态度、价值观：使得学生在学习知识的同时，培养学生自主探究和数形结合解决问题的能力。 三、教学重点、难点、关键 本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得这节课是解决直线与圆锥曲线综合问题的基础。对解决综合问题，我觉得只有先定性分析画出图形并观察图形，以形助数，才能定量分析解决综合问题。如：解决圆锥

直线与双曲线位置关系

直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程 知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 设直线y=kx+b ，双曲线x 2a 2－ y 2b 2 ＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B 2 －4AC 。 若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点； 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题 设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y→ax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。 弦长公式：12||PP =1212x y y -=-（k 为直线斜率） 例题选讲： 例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．求实数k 的取值范围； 解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，

故????? k 2－2≠0， Δ＝(2k )2 －8(k 2 －2)>0，－2k k 2－2>0， 2 k 2 －2>0. 解得k 的取值范围是－2

直线与圆锥曲线

例1、如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4 π的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物 线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积. 〖解析〗由题意，可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0, 由方程组? ??=+=x y m x y 42,消去y , 得x 2+(2m －4)x +m 2=0 ① ∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ， ∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) , 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4 ) 1(2m -, 点A 到直线l 的距离为d =2 5m +. ∴S △=2(5+m ) m -1,从而S △2 =4(1－m )(5+m )2 =2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(3 5522m m m ++++-)3=128. ∴S △≤8 2 ,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为8 2 . 〖总结与提高〗直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法” 知识依托：弦长公式、三

角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想

. 错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条件. 技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算. 例2、已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. (2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在. 〖解析〗(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点. 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 ① (ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程①有一个根，l与C有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±2时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k) 3时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点. ①当Δ=0,即3－2k=0,k= 2 3,又k≠±2, ②当Δ＞0,即k＜ 2 3时，方程①有两不等实根，l与C有两故当k＜－2或－2＜k＜2或2＜k＜ 2 个交点. 3时，方程①无解，l与C无交点. ③当Δ＜0，即k＞ 2 3，或k不存在时，l与C只有一个交点； 综上知：当k=±2,或k= 2

空间中直线与直线之间的位置关系经典例题

2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系 一、基础达标 1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是() A．一定平行B．一定相交 C．一定异面D．相交或异面 答案 D 解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)． 2．a、b为异面直线是指 ①a∩b＝?，且a不平行于b；②a?平面α，b?平面α，且a∩b＝?；③a?平 面α，b?平面β，且α∩β＝?；④不存在平面α能使a?α，且b?α成立．() A．①②③B．①③④ C．②③D．①④ 答案 D 解析②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．3．(2014·郑州高一检测)下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是() 答案 C 解析易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线． 4．下面四种说法： ①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；

②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交； ③若a∥b，则a、b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是() A．4 B．3 C．2 D．1 答案 D 解析若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故①不对．若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故②不对．若a⊥b，b⊥c，则a、c平行、相交、异面均有可能，故④不对．③正确． 5.(2014·威海高一检测)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正 三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是() A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE，B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° 答案 C 解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．综上所述，故选C.