2.1 平面向量的实际背景及基本概念 学案(人教A版必修4)

2．1 平面向量的实际背景及基本概念

2．1.1 向量的物理背景与概念

2．1.2 向量的几何表示

2．1.3 相等向量与共线向量

【课标要求】

1．了解向量的实际背景，从位移、力等物理背景中抽象出向量． 2．理解向量的概念，相等向量的概念及向量的几何表示． 3．掌握向量的概念及共线向量的概念．

【核心扫描】

1．向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示．(重点) 2．共线向量的概念．(难点)

3．向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线的联系．(易混点)

新知导学

1．向量

既有大小，又有方向的量叫向量．

温馨提示：本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．

2．向量的几何表示 (1)有向线段

带有方向的线段，叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．线段AB 的长

度叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →

|.

(2)向量的几何表示法

以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作AB →

.

如果有向线段AB →表示一个向量，通常我们就说向量AB →

. (3)用字母表示向量 通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c …表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a →

， b →， c →

，…表示向量．

也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB →，CD →

. 温馨提示：向量可以用有向线段表示，但不能说向量是有向线段．

3．与向量有关的概念

(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0. (2)单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．

(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b .②规定：零向量与任一向量平行．

温馨提示：注意0与0的含义与书写的区别：前者表示实数零，后者表示零向量．

互动探究

探究点1 两个向量能比较大小吗？

提示 向量有方向、大小双重性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小． 探究点2 向量与有向线段有什么区别？

提示 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．

探究点3 向量AB →与向量BA →

是相等向量吗？

提示 不是．向量AB →与向量BA →

的大小相等，但是方向相反，所以这两个向量不是相等向 量.

类型一 向量的概念

【例1】 给出下列命题：

(1)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； (2)向量的模一定是正数；

(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

(4)向量AB →与CD →

是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________．

[思路探索] 利用向量的有关概念进行判断．

解析 (1)错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系． (2)错误.0的模|0| ＝0.

(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．

(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →、CD →

必须在同一直线上．

答案 (3)

[规律方法] 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键．

【活学活用1】 下列命题中，正确的是( )． A ．a ，b 是两个单位向量，则a 与b 相等

B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量

C ．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同

D ．共线的单位向量必是相等向量

解析 若a 与b 中有一个是零向量，则a 与b 是平行向量． 答案 B

类型二 向量的表示

【例2】 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

(1)OA →，使|OA →

|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →

|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →

|＝6，点C 在点B 北偏东30°.

[思路探索] 本题已知向量起点、向量方向、向量长度，要求用有向线段表示向量，只需在坐标纸上找准“北偏东45°”、“正东”、“北偏东30°”表示的方向，依据小方格边长为1，问题可解．

解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵

向小方格数相等．又|OA →

|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向

小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →

如图所示．

(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →

|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格

数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →

如图所示．

(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →

|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点

B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点

C 位置可以确定，画出向量BC →

如图所示．

[规律方法] 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．

【活学活用2】 中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在

A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→

表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．

解 根据规则，画出符合要求的所有向量． 马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示； 马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．

类型三 相等向量与共线向量

【例3】 如图，四边形ABCD 与ABDE 是平行四边形．

(1)找出与向量AB →

共线的向量；

(2)找出与向量AB →

相等的向量．

[思路探索] (1)找与向量AB →共线的向量就是找与AB →

方向相同或相反的向量．(2)找与向量AB →相等的向量就是找与AB →

长度相等且方向相同的向量．

解 (1)依据图形可知DC →，ED →，EC →与AB →方向相同，BA →，CD →，DE →，CE →与AB →

方向相反，

所以与向量AB →共线的向量为BA →，CD →，DC →，ED →，DE →，EC →，CE →

.

(2)由四边形ABCD 与ABDE 是平行四边形，知DC →，ED →与AB →

长度相等且方向相同，所以与向量AB →相等的向量为DC →和ED →

.

[规律方法] 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．

【活学活用3】 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．

(1)写出与AO →

相等的向量；

(2)写出与AO →

共线的向量；

(3)向量AO →与CO →

是否相等？

解 (1)与AO →相等的向量为：OC →、BF →、ED →

.

(2)与AO →共线的向量为：OA →、OC →、CO →、AC →、CA →、ED →、DE →、BF →、FB →.

(3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →

的方向相反，所以它们不相等． 易错辨析 对零向量理解错误

【示例】 下列说法中错误的是( )．

A ．零向量是没有方向的

B ．零向量的长度为0

C ．零向量与任一向量平行

D ．零向量的方向是任意的 [错解] B 或D

[错因分析] 误认为零向量没有方向．另外，没有理解零向量的长度的意义． [正解] A

[防范措施] 零向量是规定了模为0的向量，其方向没有规定，是任意的，可以看作和任 一向量平行，但并不是没有方向.

课堂达标

1．下列各量中不是向量的是( )． A ．浮力 B ．风速 C ．位移 D ．密度

解析 由向量的定义和题中物理量的含义知，浮力、风速及位移均有大小和方向，而密度只有大小而没有方向，故选D.

答案 D

2．下列说法正确的是( )．

A ．共线向量是在同一直线上的向量

B ．平行向量方向相同

C ．共线向量一定相等

D ．平行向量一定是共线向量

解析 考查平行向量与共线向量的关系，平行向量就是共线向量． 答案 D

3．若对任意向量b ，均有a ∥b ，则a 为________． 解析 0与任意向量平行，故a ＝0. 答案 0

4．设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →

＝BO →

.其中，所有正确的序号为________．

解析 正方形的对角线互相平分，∴AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →

∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →

，④不正确．

答案 ①②③

5．如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c . (1)与a 的模相等的向量有多少个？

(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？

(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量． 解 (1)与a 的模相等的向量有23个．

(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →

.

(3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →

.

(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →

；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.

课堂小结

1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此

借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．

2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．

3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。

高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)

一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 （9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等 向量：长度相等且方向相同的向量。 （10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的， 且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） （11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 （ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;

人教新课标版数学高一- 必修4第二章《平面向量》章末复习课

章末复习课 课时目标 1.掌握向量线性运算及其几何意义.2.理解共线向量的含义、几何表示及坐标表示的条件.3.掌握数量积的含义、坐标形式及其应用． 知识结构 一、选择题 1．若向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，则(a ·b )(a ＋b )等于( ) A ．20 B ．(－10,30) C ．54 D ．(－8,24) 2．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC → ＝0，那么( ) A. AO →＝OD → B. AO →＝2OD → C. AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 4．在平行四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－3,2)，则AD →·AC → 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3

5．若向量a 与b 不共线，a·b ≠0，且c ＝a －???? a·a a·b b ，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC → )等于( ) A.49 B.43 C ．－43 D ．－49 二、填空题 7．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是____________． 8．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是______． 9．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 10．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 三、解答题 11．已知A (1，－2)、B (2,1)、C (3,2)和D (－2,3)，以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →. 12．设a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R . (1)若a 与b 起点相同，t 为何值时a ，t b ，1 3(a ＋b )三向量的终点在一直线上？ (2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小？

高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)

平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是 （ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标

数学必修4_第二章_平面向量知识点

数学必修4第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。 2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a 的模分别记作|AB |和||a 。注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1)零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行， 零向量a ＝0?｜a ｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） (2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量0||1a ?=。将一个 向量除以它的模即得到单位向量，如a 的单位向量为：||a a e a = (3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b 。 规定：0与任何向量平等， 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 （4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -。 关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a --=a ； ③ ()0a a +-=； ④若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。

b a b - C （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为b a =。相等向量经过平移后 总可以重合。 2.2 平面向量的线性运算 1.向量加法 （1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC 。 规定：a a a =+=+00； （2）向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” ① 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量 是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。 ② 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向 最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。注： 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR +++ ++=，但这时必须“首尾相连”。 （3）向量加法的运算律： ①交换律：a b b a +=+ ②结合律：()()a b c a a c ++=++ 2.法向量的减 （1） 定义：若a x b +=则向量x 叫做a 与b 的差，记为b a -。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 （2） 向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” ① 三角形法则：当,a b 有共同起点时，a b -表示为从减向量b 的终点指向被减向量a 的终点的向量。 ② 平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图所

高中数学必修4知识点总结：第二章 平面向量

高中数学必修４知识点总结 第二章平面向量 １６、向量:既有大小，又有方向得量、数量:只有大小,没有方向得量、 有向线段得三要素:起点、方向、长度、零向量：长度为得向量、 单位向量:长度等于个单位得向量、 平行向量（共线向量):方向相同或相反得非零向量、零向量与任一向量平行、 相等向量:长度相等且方向相同得向量、 1７、向量加法运算： ⑴三角形法则得特点:首尾相连、 ⑵平行四边形法则得特点：共起点、 ⑶三角形不等式:、 ⑷运算性质：①交换律:; ②结合律:;③、 ⑸坐标运算:设,，则、 １８、向量减法运算： ⑴三角形法则得特点:共起点,连终点，方向指向被减向量、 ⑵坐标运算:设,,则、 设、两点得坐标分别为,,则、 19、向量数乘运算: ⑴实数与向量得积就就是一个向量得运算叫做向量得数乘,记作、 ①; ②当时,得方向与得方向相同;当时,得方向与得方向相反;当时，、 ⑵运算律：①;②；③、 ⑶坐标运算:设,则、 ２0、向量共线定理:向量与共线，当且仅当有唯一一个实数,使、 设,，其中，则当且仅当时,向量、共线、 21、平面向量基本定理:如果、就就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任意向量,有且只有一对实数、,使、(不共线得向量、作为这一平面内所有向量得一组基底) 22、分点坐标公式:设点就就是线段上得一点,、得坐标分别就就是,,当时,点得坐标就就是、(当 23、平面向量得数量积: ⑴、零向量与任一向量得数量积为、 ⑵性质:设与都就就是非零向量,则①、②当与同向时，;当与反向时,；或、③、 ⑶运算律：①;②;③、 ⑷坐标运算:设两个非零向量,，则、 若，则,或、设,，则、 设、都就就是非零向量,,,就就是与得夹角，则、 第三章三角恒等变换 24、两角与与差得正弦、余弦与正切公式: ⑴;⑵; ⑶;⑷； ⑸（); ⑹()、 25、二倍角得正弦、余弦与正切公式:

高中数学必修4平面向量知识点总结

高中数学必修4知识点总结 平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一 直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移 (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?21 2 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

§ 平面向量的实际背景及基本概念 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．． 的起点无关．．．．． . 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．． . 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a

高中数学必修4知识点总结：第二章 平面向量

高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ； ②结合律：()() a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B=-- ． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠ 共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B

必修4 平面向量(讲义和练习)

《必修4》 第二章 平面向量 一、知识纲要 1、向量的相关概念： （1） 向量： 既有大小又有方向的量叫做向量，记为AB 或a 。 向量又称矢量。 ①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。 （2）向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。 记作：|AB |或｜a ｜。 向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 （3）零 向 量： 长度为0的向量叫零向量，记为0 ，零向量的方向是任意的。 ①｜a ｜＝0； ②0 与0的区别：写法的区别，意义的区别。 （4）单位向量：模长为1个单位长度的非零向量叫单位向量。 若向量a 是单位向量，则｜a ｜= 1 。 2、 向量的表示： （1） 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意：方向是“起点指向终点”。 （2） 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b → 等； （3） 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i 、j 为基底向量，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的 坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。此时｜a ｜。 若已知1122(,)(,)A x y B x y 和，则()2121=--AB x x y y ，， 即终点坐标减去起点坐标。 特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。

必修四平面向量基本定理

平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点一 平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 思考 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG → ， a . 答案 通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF → ＝4e 1－4e 2， GH → ＝－2e 1＋5e 2，HG → ＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 知识点二 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向． (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a⊥b .

思考 在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC → 的夹角为60°； ②AB →与CA → 的夹角为120°； ③BA →与CA → 的夹角为60°； ④AB →与BA → 的夹角为180°. 题型一 对向量的基底认识 例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝ λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③ 解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)

人教A版高中数学必修四平面向量

平面向量 A 组 一、选择题 1．化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r 得（ ） A ．A B u u u r B ．DA C ．BC D ．0r 2．设00,a b u u r u u r 分别是与,a b r r 向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A ．00a b =u u r u u r B ．0 01a b ?=u u r u u r C ．00||||2a b +=u u r u u r D ．00||2a b +=u u r u u r 3．已知下列命题中： （1）若k R ∈，且0kb =r r ，则0k =或0b =r r ， （2）若0a b ?=r r ，则0a =r r 或0b =r r （3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-?+b a b a （4）若a 与b 平行，则||||a b a b =?r r g 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若a b ＝0，则a ∥b C ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a| D ．若a ⊥b ，则a b ＝(a b)2

5．已知平面向量(3,1)a =r ，(,3)b x =-r ，且a b ⊥r r ，则x =（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值， 最小值分别是（ ） A ．0,24 B ．24,4 C ．16,0 D ．4,0 二、填空题 1．若OA =)8,2(，OB =)2,7(-，则 3 1 AB =_________ 2．平面向量,a b r r 中，若(4,3)a =-r =1，且5a b ?=r r ，则向量=____。 3．若3a =r ,2b =r ，且与的夹角为0 60，则a b -=r r 。 4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。 5．已知)1,2(=a ρ 与)2,1(=b ρ，要使b t a ρρ+最小，则实数t 的值为___________。 三、解答题 1．如图，ABCD Y 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB u u u r =a r ，=b r ， 试以a r ，b r 为基底表示、BF u u u r 、CG u u u r ． 2．已知向量r r a 与b 的夹角为60o ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,求向量a 的模。 3．已知点(2,1)B -，且原点O 分→ AB 的比为3-，又(1,3)b → =，求→ b 在→ AB 上的投影。 4．已知(1,2)a =r ,)2,3(-=,当k 为何值时， （1）ka b +r r 与3a b -r r 垂直？ （2）ka +r 与3a -r 平行？平行时它们是同向还是反向？ B 组 一、选择题 1．下列命题中正确的是（ ） A ．OA O B AB -=u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA +=u u u r u u u r C ．00AB ?=r u u u r r D ．AB BC CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r

高中数学人教A版必修4讲义：复习课(三) 平面向量含答案

复习课(三) 平面向量 平面向量的概念及线性运算 1．题型为选择题和填空题．主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理及数量积运算交汇命题． 2．向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加减法满足交换律、结合律，数乘运算满足结合律、分配律．实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方向在向量的线性运算中都可以使用． [典例] (北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ＝2MC ，BN ＝NC .若MN ＝x AB ＋y AC ，则x ＝________；y ＝________. [解析] ∵AM ＝2MC ，∴AM ＝2 3AC . ∵BN ＝NC ，∴AN ＝1 2(AB ＋AC )， ∴MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－2 3AC ＝12AB －1 6 AC . 又MN ＝x AB ＋y AC ， ∴x ＝12，y ＝－16. [答案] 12 －1 6 [类题通法] 向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． [题组训练] 1．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9 D ．－9 解析：选D AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)． ∵AB ∥AC ， ∴－8(y ＋6)－24＝0. ∴y ＝－9.

2．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外， |BC |2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 解析：选C 由|BC |2＝16，得|BC |＝4. ∵|AB ＋AC |＝|AB －AC |＝|BC |＝4， |AB ＋AC |＝2|AM |， ∴|AM |＝2. 3．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP ＝3OA －OB 2 ，则( ) A ．点P 在线段A B 上 B ．点P 在线段AB 的反向延长线上 C ．点P 在线段AB 的延长线上 D ．点P 不在直线AB 上 解析：选B 由于2OP ＝3OA －OB ， ∴2OP －2OA ＝OA －OB ，即2AP ＝BA ， ∴AP ＝1 2 BA ，则点P 在线段AB 的反向延长线上． 平面向量的数量积 1．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查数量积运算、向量的垂直等问题，常与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题． 2．解决此类问题要掌握平面向量数量积的两种求法：一是根据数量积的定义，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，二是利用坐标运算，即a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法． [典例] (1)(福建高考)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53 D.32 (2)(四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB |＝6，|AD |＝4.若点M ，N 满足BM ＝3MC ，DN ＝2NC ，则AM ·NM ＝( ) A ．20 B ．15

高中数学平面向量知识点总结[1]

高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜ a ｜＝ 由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =A C （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法

高中数学必修4平面向量测试试卷典型例题(含详细答案)

高中数学平面向量组卷 一．选择题（共18小题） 1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（） A．4B．C．6D．2 2．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）?=（） A．﹣1 B．0C．1D．2 3．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（） A．2B．C．0D．﹣ 4．向量，，且∥，则=（） A．B．C．D． 5．如图，在△ABC中，BD=2DC．若，，则=（） A．B．C．D． 6．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（） A．B．C．D． 7．已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，则 的夹角为（） A．B．C．D． 8．设向量=，=不共线，且|+|=1，|﹣|=3，则△OAB的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形 9．已知点G是△ABC的重心，若A=，?=3，则||的最小值为（） A．B．C．D．2

10．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量?=（） A．﹣B．C．﹣D． 11．已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象 交于D，E两点，则（）?的值为（） A．B．C．1D．2 12．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）?（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（） A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形 13．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（） A．B．C．D． 14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（） A．垂心B．外心C．重心D．内心 15．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（） A．B．C．D．

最新高中数学必修4《平面向量》教案精品版

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平面向量说课稿 各位评委,老师们:大家好! 我说课的内容是<平面向量>的教学,所用的教材是人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书<数学>必修4,第二章。针对我校学生基础相对较好.我在进行教学设计时,也充分考虑到了这一点。 下面我从教材分析,教学目标的确定,教学方法的选择和教学过程的设计四个方面来汇报我对这节课的教学设想。 一教材分析 (1)地位和作用 平面向量的基本概念是在学生了解了物理学中的有关力,位移等矢量的概念的基础上进一步对向量的深入学习.为学习向量的知识体系奠定了知识和方法基础。 (2)教学结构的调整 将本节教学中认知过程的教学内容适当集中,以突出这节课的主题;例题、习题部分主要由学生依照概念自行分析,独立完成。 (3)重点,难点,关键 重点：向量、相等向量的概念，向量的几何表示 难点：向量的概念 关键：多用复杂的几何图形中相等的有向线段让学生辨认，加深理解 二教学目标的确定

(1)基础知识目标:理解向量、零向量、单位向量、共线向量、平行向量、相等向量的概念,会用字母表示向量,能读写已知图中的向量.会根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 (2)能力训练目标：培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法,培养学生观察问题,分析问题,解决问题的能力。 (3)情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。 三教学方法的选择 Ⅰ教学方法:本节课我采用了“启发探究式”的教学方法,根据本课教材的特点和学生的实际情况在教学中突出以下两点: (1)由教材的特点确立类比思维为教学的主线 (2)由学生的特点确立自主探索式的学习方法 Ⅱ教学手段 使用多媒体投影仪、计算机辅助教学 四教学过程的设计 Ⅰ知识引入阶段---提出学习课题,明确学习目标 (1)创设情境——引入概念 (2)观察归纳——形成概念 (3)讨论研究——深化概念 Ⅱ知识探索阶段---探索平面向量的平行向量.相等向量等概念 (1)总结反思——提高认识 (2)即时训练—巩固新知 ［练习1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．

高一数学必修4平面向量测试题(含答案)

2．下列四式不能化简为AD 的是（ ） A ．；）＋（ B ．）；＋＋（M C ．；－＋BM A D M B D ．；＋－CD OA OC 3．已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（ ） A ． 65 63 B ．65 C ． 513 D ． 13 4． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 5．已知ABCDEF 是正六边形，且?→ ?AB ＝→ a ，?→?AE ＝→ b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1 →→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 6．设→ a ，→ b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→?BC （C ）?→?AD ＝－?→?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4） 10．已知→ a ＝（1，2），→ b ＝（－2，3），且k → a +→ b 与→ a －k → b 垂直，则k ＝（ ） （A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23± 11、若平面向量(1,)a x =r 和(23,)b x x =+-r 互相平行，其中x R ∈.则a b -=r r （ ） A. 2-或0； B. C. 2或 D. 2或10. 12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

------------------------------------ 旳器0吋 -------------------------------------------- 平面向量 【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】 1. 向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a 。 3. 单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|1| 1。 4. 零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5. 平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量。 6. 相等向量：长度和方向都相同的向量。 7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。 8. 三角形法则： AB B C Ac ；AB B C CD D E A E；AB A C C B (指向被减数) 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 题型1.基本概念判断正误 (1) 共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2) 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 (3) 与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD是平行四边形的条件是 2.向量的模：向量的大小(或长度) 9.平行四边形法则 10.共线定理: Ta b a / /b。当 12.向量的模: (x, y)，则|a| 2 — □ ■ —— a 13. 数量积与夹角公式： ■ ■ 14. 平行与垂直：a//b | COS x°2 ；cos X2% ； a X1X2 yy 0 (5)若A B CD，则A B、c、D四点构成平行四边形。 (6)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。(7)若ma mb，贝U a Jla 或 4 — a 时, 反 向。 Jrb Jra |a| |b|