证明_线段垂直平分线

线段的垂直平分线各种证明

证明线段的垂直平分线的性质的逆定理 线段的垂直平分线 一、学生知识状况分析 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。 二、教学任务分析 本节课的教学目标是： 1．知识目标： ①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理． ②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2．能力目标： ①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． ②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． ③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 3．情感与价值观要求

①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．4．教学重点、难点 重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探究新课；第三环节：想一想；第四环节：做一做；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。 第一环节：创设情境，引入新课 教师用多媒体演示： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用． 在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点

证明垂直平分线与角平分线

第二节 证明（二） ——垂直平分线与角平分线 【知识要点】 1．你知道线段的垂直平分线如何运用尺规作图吗?从做法上你得到什么启示? 2．你知道如何运用尺规作图做已知角的平分线吗?从做法上你得到什么启示? 3．你能说明为什么三角形的外心和内心相交于一点吗? 4．你能举出一些运用三角形外心和内心来解决实际生活问题的例子吗? 【典型例题】 # 例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ．若 ABC ?的周长为28，BC=8，求BCE ?的周长． # 例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的 垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ， AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF A

# 例3 如图，在ABC ?中，ο108=∠A ， AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD # 例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF 交DE 于F ．求证：AF 为DE 的垂直平分线． A E F B D C

例5 如图，P 为ABC ?的BC 边的垂直平分线PG 上 一点，且A PBC ∠=∠2 1 ．BP ，CP 的延长线分别交 AC ，AB 于点D ，E ．求证：BE=CD 例6 如图，在ABC ?中，C ABC ∠=∠3， 21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD C G A E B D P

例7 如图，已知 AD 是 ABC ?中A ∠的平分线， DE ABC ?ο 60=∠B BAC ∠ACB ∠ABC ?BDC ?ο120=∠BDC ο60AMN ?AMN ?ABC ?AOC MON ∠=∠2MBN ?AC PAQ ∠ACB ∠AC ∠ABC ∠PAB ?PAB ?ABC ?BC DE ⊥ο25=∠B ο25=∠B ADC ∠ACB ∠ABC ?BDC ?ο40=∠A DBC ∠ABC ?ο120=∠BAC PAQ ∠9cm APQ ? # 7．在ABC ?中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知 ο100=∠BDC ．则A ∠的度数为 ． # 8．在ABC ?中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作 EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ? 的周长为 ． # 9．如图，在ABC Rt ?中，ο90=∠C ，BE 平分 ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线， 且DE=1cm ，则AC= cm. 10．如图，P 为正方形外一点，ο15=∠=∠PBC PAD ， 求证：PDC ?为等边三角形．

三角形的证明(垂直平分线,角平分线)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：线段垂直平分线的定理及其逆定理的内容分别是什么 答： 线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 线段垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 问题2：角平分线定理及其逆定理的内容分别是什么 答： 角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 角平分线的逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 问题3：什么是反证法 答： 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或者已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法． 问题4：你能用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角吗 答： 证明：假设等腰三角形ABC的底角是钝角或直角， ①妨设∠B和∠C是钝角，即∠B=∠C90°， ∴∠A+∠B+∠C180° 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠B和∠C是钝角”的假设不成立； ②妨设∠B和∠C是直角，即∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C180° 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠B和∠C是直角”的假设不成立； ∴等腰三角形的底角必为锐角． 三角形的证明（垂直平分线，角平分线）（北师版） 一、单选题(共11道，每道9分) 1.三条公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，则满足要求的加油站地址有( )种情况． 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质定理 2.如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠BAC两边的距离相等，且PA=PB，下列确定点P的方法正确的是( )

垂直平分线与角平分线(讲义及答案).

垂直平分线与角平分线（讲义） 知识点睛 1.垂直平分线相关定理： ①线段垂直平分线上的点到这条线段___________________； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上． 2.角平分线相关定理： ①角平分线上的点到这个角的_____________________； ②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上． 精讲精练 1.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点 E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________． 第1题图第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB 的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．若DE=1，则线段AC的长为________． 3.如图，在△ABC中，DE，GF分别是AC，BC的垂直平分线， AD=8，BG=10．若AD⊥CD，则DG的长为_______．

4.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE． 求证：OE垂直平分BD． 5.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AB=8，BC=6．若 S△ABC=14，则DE=__________． 第5题图第6题图 6.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD，点E 在射线OA上，若∠AOB=60°，∠OPE=80°，则∠AEP的度数为_________． 7.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交 于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E． 求证：OD=OE．

8.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于 点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 9.如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在x 轴正半轴上，且OC=OB，点D位于x轴上点C的右侧，连接BC，∠BAO和∠BCD的平分线AP，CP相交于点P，连接BP，则∠PBC的度数为__________．

《线段的垂直平分线》典型例题

典型例题 例1．如图，已知：在ABC ?中，?=∠90C ，?=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D . 求证：D 在AB 的垂直平分线上. 分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D 在AB 的垂直平分线上，只需证明DA BD =即可. 证明：∵?=∠90C ，?=∠30A （已知）， ∴ ?=∠60ABC （?Rt 的两个锐角互余） 又∵BD 平分ABC ∠（已知） ∴ A ABC DBA ∠=?=∠=∠302 1. ∴AD BD =（等角对等边） ∴D 在AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 例2．如图，已知：在ABC ?中，AC AB =，?=∠120BAC ，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。 求证：BF CF 2=。 分析：由于?=∠120BAC ，AC AB =，可得?=∠=∠30C B ，又因为EF 垂直平分AB ，连结AF ，可得BF AF =. 要证BF CF 2=，只需证AF CF 2=，即证?=∠90FAC 就可以了. 证明：连结AF ， ∵EF 垂直平分AB （已知） ∴FB FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等） ∴B FAB ∠=∠（等边对等角）

∵AC AB =（已知）， ∴C B ∠=∠（等边对等角） 又∵?=∠120BAC （已知）， ∴?=∠=∠30C B （三角形内角和定理） ∴?=∠30BAF ∴?=∠90FAC ∴FA FC 2=（直角三角形中，?30角所对的直角边等于斜边的一半） ∴FB FC 2= 说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题. 例3．如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。 求证：CAF B ∠=∠。 分析：B ∠与CAF ∠不在同一个三角形中，又B ∠，CAF ∠所在的两个三角形不全等，所以欲证CAF B ∠=∠，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF 垂直平分AD ，可得FD FA =，因此ADF FAD ∠=∠，又因为CAD FAD CAF ∠-∠=∠，BAD ADF B ∠-∠=∠，而BAD CAD ∠=∠，所以可证明B CAF ∠=∠. 证明：∵EF 垂直平分AD （已知）， ∴FD FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）. ∴ADF FAD ∠=∠（等边对等角） ∵BAD ADF B ∠-∠=∠（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， CAD FAD CAF ∠-∠=∠，

三角形中的垂直平分线

第一章三角形的证明 3 第2课时三角形三边的垂直平分线导学案 郑州市惠济区第五初级中学侯颖 学习目标： 1.通过作图，发现并证明三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题； 2.能够利用尺规作符合条件的等腰三角形及过一点作已知直线的垂线. 知识准备： 1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理. 性质：线段垂直平分线上的点 . 判定：到一条线段两个端点距离相等的点， . 2.线段的垂直平分线的作法. 学习过程: 一、温故知新 1.同学A与同学B玩抢凳子游戏，为保证游戏的公平性，可将板凳放在图中什么位置？说明你的理由. 2.同学A与同学B玩抢凳子游戏，同学C也要加入，为保证游戏的公平性，可将板凳放在图中什么位置？说明你的理由. 二、新知探究 探究1 三角形三边的垂直平分线的性质 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边 BC的垂直平分线相交于点P． 求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC．

分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点点P 分别在什么位置？ 当△ABC 为锐角三角形时，点P 在△ABC 的__________； 当△ABC 为直角三角形时，点P 在△ABC 的__________； 当△ABC 为钝角三角形时，点P 在△ABC 的__________. 归纳小结： 三角形三边的垂直平分线的性质定理： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 几何语言： 对应练习1： 探究2 尺规作图 独立思考后，在小组内讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论． P C B A

垂直平分线与角平分线的有关证明问题

课 题 垂直平分线、角平分线的有关证明问题 教学过程 一、主要知识点 1、 线段的垂直平分线。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 2、 角平分线。 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 二、重点例题分析 例1：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。（垂直平分线的性质） E C F A D B 例3：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。（用定义去证） A C D E B 例4：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200 ，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度。（连AE ，AG ） A D F B E G C

例5:：如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。求证：BE 垂直平分CD 。（证全等） C E A D B F 例6:：在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与 ∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角平分线交于点F ，求证：OE=OF （角平分线性质、平行线间高处处一样） 例7、如图所示，AB>AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE AB ⊥于E ，DF AC F ⊥于，求证：BE=CF 。（角平分线与垂直平分线的性质的综合应用） A E B M C F D 相应练习 1、 如图，在△ABC 中，AB=AC=BC ，AE= CD ，AD 、BE 相交于点P ，B Q ⊥AD 于Q 。求证：BP=2PQ （证角＝30度） 2、 如图，△ABC 中，AB= AC ，P 、Q 、R 分别在AB 、BC 、AC 上，且 BP=CQ ，BQ=CR 。 求证：点Q 在PR 的垂直平分线上。 P Q E D C B A 2 1 A O F E C B M N Q R P B C A

垂直平分线定理及逆定理的证明

线段的垂直平分线 教学目标： 1、能够对线段垂直平分线的定理及其逆定理进行严密的证明。 2、能够灵活运用两个定理进行相关问题的计算或者证明。 教学重点：定理的证明及应用。 教学难点：定理的证明。 教学过程： 一．复习回顾： 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 二．新课学习： 知识点一、证明：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 已知：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，点C 在直线m 上， 求证：AC ＝BC. 证明： 应用格式： 巩固练习： 1.如图，在ABC ?中，AB 的垂直平分线交AC 于D,AC=5cm ，BC=4cm ， 那么BCD ?的周长是_________ 2、ABC ?中，AB=AC,D 为AB 中点，且ED AB ⊥.若BCE ?的周长为8，且2AC BC -=, 求AB 、BC 的长。 知识点二、证明：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 已知：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC 求证：点C 在直线m 上. 证明： 应用格式： 巩固练习： 1、到三角形三个顶点距离相等的点在________________________________. 2、如图，要在街道旁修建自来水站，向居民区A 、B 居民区提供自来水，自来水站 应建在什么地方，才能使A 、B 两个居民区到它的距离相等？ 三、课堂小结：总结本节课的收获。 四．课堂检测： C D 居民区 A 街道 B 图1 图2

1、 已知点A 是锐角MON ∠内的一点，分别作点A 关于OM 、ON 的对称点'A 、''A ,连接'''A A ,分别交OM 、ON 于点B 、C ， 测得'''A A =2.2cm ，则ABC ?的周长为__________。 2、如图，∠A=90°，DE 是斜边BC 的垂直平分线，且与边AC ，BC 分别 相交于点D ，E 。若∠ABD=∠C+6°，求∠BDC 的度数。 3、如图， △ABC 中，AB=AC ，AC 边的垂直平分线DE 交 CB 的延长线与E ，交AB 于点F ，若∠A=50°，求∠EFC 的度数。 4、已知：线段,a b 求作：△ABC ，AB=AC ，BC=a ，BC 边上的高线 AH=b （保留作图痕迹，不写作法） 五．课后练习： A ．精编80-81页中1—4题，9—12题，16题 B ．1、如右图，AB C ?中，AB=AC ，036=∠A ，AB 的中垂线DE 交AC 于 D ，交AB 于 E 。则下述结论正确的是（ ） （1）BD 平分ABC ∠； （2）AD=BD=BC ； （3）BCD ?的周长等于AB+BC ； （4）D 是AC 的中点 A （1）（4） B （1）（2）（4） C （3）（4） D （1）（2）（3） 2、如图，△ABC 的一边BC 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点 E 。如果△ACD 的周长 为17cm ，△ABC 的周长为25cm 。根据这些条件，你可以求出BC 长吗？ 3、如图，AB=AC ，044=∠A ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，求 4、如图：在四边形ABCD 中，AD ∥BC,EF 垂直平分AC,分别交AD,BC 于点E ，F 。连接AF 。试说明：AE=AF C B A D E A B C E F a b A F