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13.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质

第2课时含30°角的直角三角形的性质

13.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质

【知识与技能】

1.熟练掌握含30°角的直角三角形的性质.

2.会利用性质解题.

【过程与方法】

通过直尺量取得到直观结论,然后加以证明。

【情感态度】

本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程,使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法,提高了学生研究和学习的兴趣.

【教学重点】

在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【教学难点】

巧妙运用性质解题.

13.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质

一、情境导入,初步认识

用两个全等的含30°角的直角三角尺,试着把它们拼在一起,看能否拼成一个等边三角形,然后以小组为单位一起讨论可从中发现什么结论,并予以证明.

老师指导拼图,得出结论,并一起证明结论.

(1)在直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半.

(2)在三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角为30°.

【教学说明】教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.

二、思考探究,获取新知

例1在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM的长为15cm,求BC的长.

13.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质

【分析】要求BC 的长,可分别求出BM 和CM 的长.利用等腰三角形的判

定得出BM=AM ,利用含30°角的直角三角形的性质得CM=12

AM,将所求线段转化为已知线段进行求解.

解:∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,

∠BAC=60°,

∴∠B=30°.

∵AM 平分∠BAC,

∴∠CAM=∠BAM=30°.

∴∠B=∠BAM,∴AM=BM=15cm.

∴在Rt △ACM 中,∠CAM=30°.

∵CM=12

AM=7.5cm. ∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5cm.

【教学说明】

在直接求一条线段不易求的情况下,可以将其转化为求易求的两条线段的和或差进行计算.

例2 在Rt △ABD 中,∠ADB=90°,∠A=60°,作DC ∥

13.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质

AB,且∠DBC=∠BDC,DC 与BC 交于点C ,已知CD=4cm.

(1)求∠CBD 的度数;

(2)求AB 的长.

【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余,可知∠DBA 的度数,再由DC ∥AB 及等腰三角形的性质即可计算∠CBD 的度数;(2)可作等腰三角形CBD 底边上的高,延长交AB 于点E.根据等腰三角形“三线合一”,可以得出CE 平分BD 且平分∠DCB,由此可知△BCE 是等边三角形,所以BE=4,则DE=BE=4.再证明△ADE 是等边三角形即可.

解:(1)在Rt △ADB 中,∵∠A=60°,∠ADB=90°,

∴∠ABD=30°.

又∵AB ∥CD,∴∠CDB=∠ABD=30°.

∴∠CBD=∠CDB=30°.

(2)过点C 作CM ⊥BD 于点M ,交AB 于点E ,连接DE,则DE=EB, ∴∠EDB=∠EBD=30°.

∵∠CDM=30°,∠CMD=90°,

∴CM=12

CD=2. 又∵∠EBM=∠CBM=30°,BM=BM,

∠EMB=∠CMB=90°,

∴△CBM ≌△EBM(ASA),

∴EM=CM=2.

∴DE=2EM=4.

∵∠DEA=∠EDB+∠EBD=60°,

∠A=60°,

∴AD=DE=4.

又∵∠ADB=90°,∠ABD=30°,

∴AB=2AD=8.

【教学说明】

直角三角形30°角的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用,此性质是求线段长度和证明线段间倍分问题的重要依据.

例3 如图所示,在△ABC 中,AB=AC,D 为BC 边上的点,

13.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质

DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别为E 、F ,∠BAC=120°.求证:DE+DF=12

BC. 【分析】∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.又DE ⊥AB,DF ⊥AC,可以构造两个含30°角的直角三角形.

【证明】∵AB=AC,∠BAC=120°,

∴∠B=∠C=12

(180°-120°)=30°. 又∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,

∴∠BED=∠CFD=90°.

在Rt△BDE中,∵∠B=30°,

∴DE=1

2 BD.

同理,在Rt△CDF中,DF=1

2 CD.

∴DE+DF=1

2

BD+

1

2

CD=

1

2

(BD+CD)=

1

2

BC.

13.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质

例4 如图所示,在四边形ABCD中,AD=4,BC=1,∠A=30°,

∠ADC=120°,试求CD的长.

【分析】由于CD不是特殊三角形的边长,所以无法利用已知

条件直接求出,延长AD、BC,将题中已知条件集中在两个特殊的

三角形中.

解:延长AD、BC交于点E,

在Rt△ABE中,∠E=180°-90°-30°=60°,

又∵∠CDE=180°-120°=60°,

∴∠DCE=60°.

∴△CED是等边三角形.

设CD=x,则BE=1+x,AE=4+x,

在Rt△ABE中,∵∠A=30°,

∴AE=2BE.

即4+x=2(1+x),解得x=2,即CD的长为2.

三、运用新知,深化理解

1.若三角形的三个内角的比为1∶2∶3,则它的最短边与最长边的比为().

A.1∶3

B.1∶2

C.2∶3

D.1∶4

2.如果一个三角形是轴对称图形,且有一个角是60°,那么这个三角形是____.

【答案】1.B 2.等边三角形

四、师生互动,课堂小结

特殊直角三角形,运用性质先判断,30°所对的直角边,长度恰为斜边一半.

13.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质

1.布置作业:从教材“习题13.3”中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

13.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质

教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,经历观察、实验、归纳等思维过程,从中获得数学知识与技能,体验教学活动的方法,同时升华学生的情感、态度和价值观.