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2017高考数学-三角函数大题综合训练

2017三角函数大题综合训练

一．解答题（共30小题）

1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=

（1）求角C的大小，

（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．

2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知

3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．

（I）求角A的大小；

（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．

3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．

（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；

（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值．

4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．

（1）求角C的值；

（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．

5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．

（Ⅰ）求△ACD的面积；

（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．

6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．

7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．

8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．

（Ⅰ）证明：sinB=cosA；

（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．

9．（2015?新课标II）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．

（1）求；

（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．

10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．

（Ⅰ）证明：B﹣A=；

（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．

（Ⅰ）求C的大小

（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

12．（2015?河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．

（Ⅰ）求B．

（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．

13．（2015?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．

（1）求tanC的值；

（2）若△ABC的面积为3，求b的值．

14．（2015?陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．

15．（2015?江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．

（1）求BC的长；

（2）求sin2C的值．

16．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．

（Ⅰ）求a和sinC的值；

（Ⅱ）求cos（2A+）的值．

17．（2015?怀化一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．

（1）求角A；

（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．

18．（2015?甘肃一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB ﹣ccosB．

（Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）若，且，求a和c的值．

19．（2015?衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin （x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．

（1）当时，求函数f（x）的值域；

（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．

20．（2015?潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．

（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=

（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．

21．（2015?济南二模）已知向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），

函数f（x）=．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积S．

22．（2015?和平区校级三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．

（1）求cosB的值；

（2）求sin2A+sinC的值．

23．（2015?洛阳三模）在锐角△ABC中，=

（1）求角A；

（2）若a=，求bc的取值范围．

24．（2015?河北区一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且

2cosAcosC+1=2sinAsinC．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．

25．（2015?云南一模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且=（sinA+sinB+sinC，

sinC），=（sinB，sinB+sinC﹣sinA），若

（1）求A的大小；

（2）设为△ABC的面积，求的最大值及此时B的值．26．（2015?历下区校级四模）已知向量，，

若．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，

（A为锐角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．

27．（2015?高安市校级模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin （A+）+2cos（B+C）=0，

（1）求A的大小；

（2）若a=6，求b+c的取值范围．

28．（2015?威海一模）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，

sin（B﹣A）=cosC．

（Ⅰ）求A，B，C；

（Ⅱ）若S△ABC=3+，求a，c．

29．（2015?新津县校级模拟）已知向量

，函数f（x）=．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=1，b=，sinA=3sinC，求△ABC的面积．

30．（2015?和平区二模）在△ABC中，角A，B，C为三个内角，已知cosA=，cosB=，

BC=5．

（Ⅰ）求AC的长；

（Ⅱ）设D为AB的中点，求CD的长．

三角函数大题综合训练

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=

（1）求角C的大小，

（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C

的度数；

（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．

【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，

∴由正弦定理化简已知等式得：=，

整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，

∵sinA≠0，

∴cosC=﹣，

∵C为三角形内角，

∴C=；

（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，

∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，

∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），

∵S=absinC=ab≤，

∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，

则当a=b=时，△ABC的面积最大为．

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知

3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．

（I）求角A的大小；

（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（I）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简

3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得到cosA的值，即可求解A．

（II）通过三角形的面积求出b、c的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可．

【解答】解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得

2cos2A+3cosA﹣2=0，﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0．

解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

因为0＜A＜π，所以A=．﹣﹣﹣﹣（6分）

（II）由S=bcsinA=bc?=bc=5，得bc=20．

又b=5，所以c=4．﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故a=．﹣﹣﹣（10分）

又由正弦定理，得sinBsinC=sinA?sinA=?sin2A=×=．﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．

3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．

（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；

（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的

值．

【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．

【专题】转化思想；综合法；解三角形．

【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得函数f（x）取得最大值时x的集合．

（Ⅱ）由条件求得cos（2C+）=﹣，C=，求出sinB的值，再根据sinA=sin（B+C）求得它的值．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sinxcosx+（cos2x ﹣sin2x ）

=﹣sin2x+cos2x=+cos（2x+），

故函数取得最大值为，此时，2x+=2kπ时，即x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}．

（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=+cos（2C+）=﹣，

∴cos（2C+）=﹣，又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，∴2C+=，∴C=．∵cosB=，∴sinB=，

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的值域，同角三角函数的基本关系，属于中档题．

4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．

（1）求角C的值；

（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．

【考点】余弦定理；三角形的面积公式．

【专题】解三角形．

【分析】（1）利用余弦定理，可求角C的值；

（2）利用三角形的面积公式，可求a的值．

【解答】解：（1）∵c2=a2+b2﹣ab，∴cosC==，

∵0°＜C＜180°，∴C=60°；

（2）∵b=2，△ABC的面积，

∴=，

解得a=3．

【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用公式是关键．

5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．

（Ⅰ）求△ACD的面积；

（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．

【考点】余弦定理的应用；正弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；

（Ⅱ）利用余弦定理求出AC，通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．

【解答】（共13分）

解：（Ⅰ）因为∠D=2∠B，，

所以．…（3分）

因为∠D∈（0，π），

所以．…（5分）

因为AD=1，CD=3，

所以△ACD的面积．…（7分）

（Ⅱ）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD?DC?cosD=12．

所以．…（9分）

因为，，…（11分）

所以．

所以AB=4．…（13分）

【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查．

6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．

【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．

【专题】解三角形．

【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；

②利用正弦定理解之．

【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，

sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，

所以sinA+cosA=，结合平方关系sin2A+cos2A=1，

得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，

解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；

②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，

所以a=2c，又ac=2，所以c=1．

【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识．

7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．

【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，

由正弦定理可得：＞0，

代入可得（bk）2=2ak?ck，

∴b2=2ac，

∵a=b，∴a=2c，

由余弦定理可得：cosB===．

（II）由（I）可得：b2=2ac，

∵B=90°，且a=，

∴a2+c2=2ac，解得a=c=．

∴S△ABC==1．

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．

（Ⅰ）证明：sinB=cosA；

（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．

【考点】正弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．

（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）

sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形

内角和定理可求C．

【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．

∴=tanA，

∵由正弦定理：，又tanA=，

∴=，

∵sinA≠0，

∴sinB=cosA．得证．

（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，

∴sin2B=，

∵0＜B＜π，

∴sinB=，

∵B为钝角，

∴B=，

又∵cosA=sinB=，

∴A=，

∴C=π﹣A﹣B=，

综上，A=C=，B=．

【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．

9．（2015?新课标II）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．

（1）求；

（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．

【考点】正弦定理；三角形中的几何计算．

【专题】解三角形．

【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解

．

（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．

【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，

∵==2

∴BD=2DC，

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠DAC

在△ABD中，=，∴sin∠B=

在△ADC中，=，∴sin∠C=；

∴==．…6分

（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．

过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，

∵AD平分∠BAC，

∴DM=DN，

∴==2，

∴AB=2AC，

令AC=x，则AB=2x，

∵∠BAD=∠DAC，

∴cos∠BAD=cos∠DAC，

∴由余弦定理可得：=，

∴x=1，

∴AC=1，

∴BD的长为，AC的长为1．

【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．

10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．

（Ⅰ）证明：B﹣A=；

（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

【考点】正弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；

（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．

【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，

∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）

又B为钝角，∴+A∈（，π），

∴B=+A，∴B﹣A=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，

∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A

=﹣2（sinA﹣）2+，

∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，

∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤

∴sinA+sinC的取值范围为（，]

【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．

11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．

（Ⅰ）求C的大小

（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．

【专题】函数的性质及应用；解三角形．

【分析】（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=

﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C 的范围即可求C的值．

（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．

【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，

所以p≤﹣2，或p≥．

由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．

所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，

从而tan（A+B）==﹣=﹣．

所以tanC=﹣tan（A+B）=，

所以C=60°．

（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，

解得B=45°，或B=135°（舍去）．

于是，A=180°﹣B﹣C=75°．

则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．

所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．

【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．

12．（2015?河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．

（Ⅰ）求B．

（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．

【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数．

【专题】解三角形．

【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；

（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．

【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，

∴a2+c2﹣b2=﹣ac，

∴cosB==﹣，

又B为三角形的内角，

则B=120°；

（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，

∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）

+2sinAsinC=+2×=，

∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，

则C=15°或C=45°．

【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

13．（2015?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．

（1）求tanC的值；

（2）若△ABC的面积为3，求b的值．

【考点】余弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．

（2）由=×=3，可得c，即可得出b．

【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc ﹣c2，

又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，

∴a2=b2﹣=，即a=．

∴cosC===．

∵C∈（0，π），

∴sinC==．

∴tanC==2．

（2）∵=×=3，

解得c=2．

∴=3．

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14．（2015?陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．

【考点】余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；

（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．

【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，

所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，

所以tanA=，可得A=；

（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．

【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．

15．（2015?江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．

（1）求BC的长；

（2）求sin2C的值．

【考点】余弦定理的应用；二倍角的正弦．

【专题】解三角形．

【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．

（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．

【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，

所以BC=．

（2）由正弦定理可得：，则sinC===，

∵AB＜BC，∴C为锐角，

则cosC===．

因此sin2C=2sinCcosC=2×=．

【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．

16．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．

（Ⅰ）求a和sinC的值；

（Ⅱ）求cos（2A+）的值．

【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，

可得：，

可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，

，解得sinC=；

（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣

sin2Asin==．

【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．

17．（2015?怀化一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．

（1）求角A；

（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．

【考点】正弦定理；余弦定理的应用．

【专题】计算题．

【分析】（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；

（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．

【解答】解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣

sinCcosA，

∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，

∴sinA﹣cosA=1，

整理得：2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣）=，

∴A﹣=或A﹣=，

解得：A=或A=π（舍去），

则A=；

（2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC的面积为，

∴bcsinA=bc=，即bc=4①；

∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，

整理得：b+c=4②，

联立①②解得：b=c=2．

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

18．（2015?甘肃一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB ﹣ccosB．

（Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）若，且，求a和c的值．

【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．

【专题】计算题；转化思想．

【分析】（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．

（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=．

【解答】解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，

故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，

可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，

即sin（B+C）=3sinAcosB，

可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，

因此．（6分）

（II）解：由，可得accosB=2，

，

由b2=a2+c2﹣2accosB，

可得a2+c2=12，

所以（a﹣c）2=0，即a=c，

所以．（13分）

【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．

19．（2015?衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin （x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．

（1）当时，求函数f（x）的值域；

（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．

【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．

【专题】解三角形．

【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣A），由于函数在

处取得最大值．令，其中k∈z，解得A的值，

（1）由于A为三角形内角，可得A的值，再由x的范围可得函数的值域；

（2）由正弦定理求得b+c=13，再由余弦定理求得bc的值，由△ABC的面积等于，

算出即可．

【解答】解：∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA

=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA

=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A）

又∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在处取得最大值．

∴，其中k∈z，

即，其中k∈z，

（1）∵A∈（0，π），∴A=

∵，∴2x﹣A

∴，即函数f（x）的值域为：

（2）由正弦定理得到，则sinB+sinC=sinA，

即，∴b+c=13

由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA

即49=169﹣3bc，∴bc=40

故△ABC的面积为：S=．

【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题．

20．（2015?潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．

（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=

（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．

【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．

【专题】解三角形．

【分析】（I）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为．令

，k∈z，求得x的范围，结合，可得f（x）的递增区间．

（Ⅱ）由f（C）=2，求得，结合C的范围求得C的值．根据向量=（1，

sinA）与向量=（2，sinB）共线，可得，故有=①，再由余弦定理得9=a2+b2

﹣ab ②，由①②求得a、b的值．

【解答】解：（I）

∵==．

令，

解得，即，

∵，∴f（x）的递增区间为．

（Ⅱ）由，得．

三角函数基础练习题-及答案

三角函数基础练习题一、选择题： 1. 下列各式中,不正确．．．的是（） (A)cos(―α―π)=―cos α (B)sin(α―2π)=―sin α (C)tan(5π―2α)=―tan2α (D)sin(k π+α)=(―1)k sin α (k ∈Z) 3． y=sin )2 33 2(π+x x ∈R 是（） (A)奇函数 (B)偶函数 (C)在[(2k ―1)π, 2k π] k ∈Z 为增函数 (D)减函数 4．函数y=3sin(2x ―3 π)的图象，可看作是把函数y=3sin2x 的图象作以下哪个平移得到（） (A)向左平移3 π (B)向右平移3 π (C)向左平移6 π (D)向右平移6 π 5．在△ABC 中，cosAcosB ＞sinAsinB ，则△ABC 为（） (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)无法判定 6．α为第三象限角, 1 sec tan 2tan 1cos 1 2 2 -+ +ααα α化简的结果为（） (A)3 (B)－3 (C)1 (D)－1 7．已知cos2θ= 3 2 ，则sin 4θ+cos 4θ的值为（） (A)18 13 (B)18 11 (C)9 7 (D)－1 8．已知sin θcos θ=8 1且4 π＜θ＜2 π，则cos θ－sin θ的值为（） (A)－ 2 3 (B)43 (C) 2 3 (D)±4 3

9． △ABC 中，∠C=90°，则函数y=sin 2A+2sinB 的值的情况（） (A)有最大值，无最小值 (B)无最大值，有最小值 (C)有最大值且有最小值 (D)无最大值且无最小值 10、关于函数f(x)=4sin(2x+3 π), (x ∈R )有下列命题（1）y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数 (2) y=f(x)可改写为y=4cos(2x －6 π) (3)y= f(x)的图象关于(－6 π，0)对称 (4) y= f(x)的图象关于直线x=－6 π 对称其中真命题的个数序号为（） (A) (1)(4) (B) (2)(3)(4) (C) (2)(3) (D) (3) 11．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=2 6，则a 、b 、c 大小关系（） (A)a ＜b ＜c (B)b ＜a ＜c (C)c ＜b ＜a (D)a ＜c ＜b 12. 若 sinx ＜ 2 1 ，则x 的取值范围为（） (A)(2k π，2k π+6 π)∪(2k π+6 5π，2k π+π) (B) (2k π+6 π，2k π+6 5π) (C) (2k π+6 5π，2k π+6 π) (D) (2k π－67π，2k π+6 π ) 以上k ∈Z 二、填空题： 13．一个扇形的面积是1cm 2，它的周长为4cm, 则其中心角弧度数为______。 14．已知sin α+cos β=3 1，sin β－cos α=2 1，则sin(α－β)=__________。

三角函数综合练习题

三角函数综合 1、若点P 在 3 2π 的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 2、已知=- =-ααααcos sin ,4 5 cos sin 则（） A ． 47 B ．169- C ．32 9 - D ． 32 9 3、下列函数中，最小正周期为2 π 的是（） A ．)32sin(π-=x y B ．)3 2tan(π -=x y C ． ) 6 2cos(π +=x y D ．)6 4tan(π +=x y 4、等于则)2cos(),,0(,3 1 cos θππθθ+∈=（） A ．924- B ．924 C ．9 7- D ．9 7 5、若α是三角形的内角，且2 1 sin =α，则α等于（） A ． 30 B ． 30或 150 C ． 60 D ． 120或 60 6、下列函数中，最小值为－1的是（） A ．1sin 2-=x y B ．cos 1y x =- C ． x y sin 21-= D ．x y cos 2+= 7、设)4 tan(,41)4tan(,52)tan(π απββα+=-= +则的值是（） A ． 1813 B ． 22 13 C ． 22 3 D ．6 1 8、 300cos 的值是( ) A ． 2 1 B ．2 1- C ． 2 3 D ．2 3- 9、将函数x y 4sin =的图象向左平移 12 π 个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12 π - B ．3 π- C ． 3 π D ． 12 π 10、 50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A ．3 B ． 3 3 C ．3 3- D ．3- 11、化简x y x x y x cos )cos(sin )sin(+++等于( ) A ．)2cos(y x + B ．y cos C ．)2sin(y x + D ．y sin 12、若θθθ则,0cos sin >在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 13、函数是x x y 2cos 2sin 2=( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为4π的奇函数 D 周期为4 π的偶函数 14、设m M 和分别表示函数1cos 3 1 -= x y 的最大值和最小值，则等于m M +

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试注：奇变偶不变，符号看象限。注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限注：三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：

函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：

三角函数能力提高训练题含答案

三角函数能力提高训练 2017.12 选择题 1．若π04α<< 0，则（）Ａ．sin 2sin αα> Ｂ．cos 2cos αα< Ｃ．tan 2tan αα> Ｄ．cot 2cot αα< 答案：Ｂ 2．函数s i n ()y A a x b =+的图象与函数cos()y A ax b =+的图像在区间π(0)m m a a ??+>???? ，（）Ａ．可能没有交点Ｂ．一定有两个交点Ｃ．至少有一个交点Ｄ．只有一个交点答案：Ｃ 3．在ABC △，cos 2cos 2A B <是A B >的（）Ａ．充分非必要条件Ｂ．必要非充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既非充分也非必要条件答案：Ｃ填空题 4．函数23sin cos 3cos 2y x x x =+- 的最小正周期是．答案：4π 5．函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是．答案：12 +6．关于函数π()4sin 23f x x ? ?=+ ??? ()x ∈R ，有下列命题： ①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍； ②()y f x =的表达式可改写为π4cos 26y x ? ?=- ??? ； ③()y f x =的图象关于点π06??- ???，对称； ④()y f x =的图像关于直线π6x =- 对称．其中正确命题的序号是．答案：②③ 解答题

7．已知22sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，且αβ，为锐角，求证：π22 αβ+=．解：223sin 12sin cos2αββ=-= 又3sin 22sin 2αβ= 2sin 22cos 2tan 2sin sin ααβαα ∴= = tan 2cot βα∴= 1tan tan tan 2tan tan(2)1 1tan tan 21tan tan ααβααβαβαα +++==--无意义 π02α<< ，π02 β<<，02πβ<< 3π022αβ∴<+< π22αβ∴+=． 8．已知tan α，tan β是方程2 410x x --=的两个根，求22sin ()4sin 2()6cos ()αβαβαβ+-+++的值．解：由已知：tan tan 4αβ+=且tan tan 1αβ=- tan()2αβ∴+=．原式2222sin ()8sin()cos()6cos ()sin ()cos () αβαβαβαβαβαβ+-++++=+++ 22tan ()8tan()6tan ()1 αβαβαβ+-++=++ 65 =- 9．在ABC △中，求222sin sin sin 222A B C ++的最小值，并指出取最小值时，ABC △的形状，并说明理由．解：设2 22sin sin sin 222A B C y =++ 31(cos cos cos )22A B C =-++ 312cos cos cos()2222A B A B A B +-??=--+???? 2312cos cos 2cos 122222A B A B A B +-+??=--+ ???

高中三角函数综合题及答案

三角函数习题 1．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ． (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>u r r 且m n ?u r r 的最大值是5,求k 的值 2．在ABC ?中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量 (2sin ,m B =r ,2cos 2,2cos 12B n B ??=- ???r ,且//m n r r ? (I)求锐角B 的大小; (II)如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值 3．已知??? ? ??-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x ππ=,x f ?=)(? (1)求)(x f 的单调递减区间? (2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]3 4,0[∈x 时,)(x g y =的最大值? 4．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =?+ (I)求函数()f x 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式3()2 f x ≥成立的x 的取值集合? 5 ．已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，．（1）求)(x f 的最大值和最小值；（2）2)(<-m x f 在ππ42x ??∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围．

6．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+ (I)求角A; (II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值? 7．在锐角ABC ?中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(tanA －tanB)＝1＋tanA·tan B ． (1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小； (2)已知向量m ρ＝(sinA ，cosA)，n ρ＝(cosB ，sinB)，求｜3m ρ－2n ρ｜的取值范围．三角函数习题答案 1.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ．即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵01,∴t =1时,m n ?u r r 取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k = 2 3. ? 2.【解析】:(1) //m n r r 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B