2018 年高考数学 ( 理科 ) 模拟试卷 ( 四)
(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.满分
150 分,考试时间 120 分钟 )
第Ⅰ卷 (选择题 满分 60 分)
一、选择题 (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60
分,每小题只有一个选项符合题意
)
1. [2016 ·都诊断考试成 ]已知集合 A = { x|y = 4x - x 2
} ,B = { x||x|≤ 2} ,则 A ∪ B =(
)
A .[-2,2]
B .[-2,4]
C . [0,2]
D . [0,4]
2.[2016 ·名市二模茂 ]“ a =1”是“复数 z = (a 2
- 1)+ 2(a + 1)i( a ∈ R )为纯虚数”的 (
)
A .充要条件
B .必要不充分条件
C .充分不必要条件
D .既不充分也不必要条件
2
2
3. [2017
x + y
= 1 相交于 A , B 两点,分别过
A , B
呼·和浩特调研 ]设直线 y =kx 与椭圆 4 3
向 x 轴作垂线,若垂足恰好为椭圆的两个焦点,则 k 等于 (
)
3 1
B .±
C . ±
2
2
4.[2016 洛·阳第一次联考 ]如果圆 x 2+ y 2= n
2
至少覆盖曲线 f(x)= 3sin πx
n (x ∈R )的一个最
高点和一个最低点,则正整数
n 的最小值为 (
)
A .1
B .2
C . 3
D .4
5. [2016 长·春质量检测 ]运行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为(
)
6. [2016 贵·阳一中质检 ]函数 g(x)= 2e x + x - 3 2t 2dt 的零点所在的区间是 (
)
1
A .(-3,- 1)
B . (- 1,1)
C . (1,2)
D . (2,3)
7.[2016 浙·江高考 ]在平面上, 过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点
P 在直线 l 上的
投影.由区域
x - 2≤ 0,
x + y ≥ 0, 中的点在直线 x + y - 2=0 上的投影构成的线段记为
AB ,则 |AB|= ()
x - 3y + 4≥ 0
A .2 2
B .4
C .3 2
D .6
8. [2017 广·西质检 ]某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )
A . 24+ 6π
B . 12π
C . 24+ 12π
D . 16π
9.[2016 南·京模拟 ]已知四面体 P - ABC 中, PA = 4,AC = 2 7,PB = BC = 2 3,PA ⊥平
面 PBC ,则四面体 P -ABC 的外接球半径为 (
)
A .2 2
B .2 3
C .4 2
D .4 3
→ →→ →→ →→
10.[2016 四·川高考 ] 在平面内, 定点 A ,B ,C ,D 满足 |DA|= |DB |= |DC |,DA ·DB =DB ·DC
→ → → → → → 2 的最大值是 (
)
= DC ·DA =- 2,动点 P , M 满足 |AP |= 1,PM = MC ,则 |BM
|
S - S
S - S
12
6
6
3
n
为正项等比数列
n
- 7·
- 8=0,
11. [2016 山·西质检 ] 记 S
{ a } 的前 n 项和,若
S 6
S 3
3
1
8
且正整数
+ 的最小值是 ()
m , n 满足 a 1a m a 2n = 2a 5,则
m
n
-
x
x - y - 1= 0 垂直,
12. [2016 海·口调研 ] 已知曲线 f(x)= ke 2
在点 x = 0 处的切线与直线 若 x 1, x 2 是函数 g(x)= f(x)- |ln x|的两个零点,则 (
)
A . 1< x 1x 2< e
第Ⅱ卷 (非选择题 满分 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20分) 13. [2017 ·徽合肥统考安 ]一个煤气站有 5 个阀门控制对外输送煤气,使用这些阀门必须 遵守以下操作规则: (ⅰ )如果开启 1 号阀门,那么必须同时开启 2 号阀门并且关闭 5 号阀门; (ⅱ )如果开启 2 号阀门或者 5 号阀门,那么要关闭 4 号阀门; (ⅲ )不能同时关闭 3 号阀门和 4 号阀门,现在要开启 1 号阀门,则同时开启的 2 个阀门是 ________. 14.[2017 云·南检测 ] 若函数 f(x)= 4sin5ax - 4 3cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距 π 离为 ,则实数 a 的值为 ________. 3 2 2 15. [2017 山·西怀仁期末 ]已知双曲线 C : x 2 - y 2= 1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为 F 1、 a b F ,焦距为 2c ,直线 y = 3 (x + c)与双曲线的一个交点 P 满足∠ PF F =2∠PF F ,则双曲线 2 3 2 1 1 2 的离心率 e 为 ________. 1- |x +1|, x<1, 16. [2016 ·州综合测试广 ]已知函数 f(x)= x 2- 4x +2, x ≥ 1, 则函数 g(x)= 2|x|f(x)- 2 的零点个数为 ________个. 三、解答题 (共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17. [2016 ·南六市联考河 ](本小题满分 12 分 )如图,在一条海防警戒线上的点 A 、B 、 C 处各有一个水声监测点, B 、C 两点到 A 的距离分别为 20 千米和 50 千米,某时刻, B 收到发 自静止目标 P 的一个声波信号, 8 秒后 A 、C 同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传 播速度是千米 /秒. (1)设 A 到 P 的距离为 x 千米,用 x 表示 B、 C 到 P 的距离,并求 x 的值; (2)求 P 到海防警戒线 AC 的距离. 18. [2016 ·庆市一模重 ]( 本小题满分12 分 )某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下 两种优惠方案中选择一种. 方案一:每满200 元减 50 元; 方案二:每满200 元可抽奖一次.具体规则是依次从装有 3 个红球、 1 个白球的甲箱, 装有 2 个红球、 2 个白球的乙箱,以及装有 1 个红球、 3 个白球的丙箱中各随机摸出 1 个球, 所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别) 红球个数3210 实际付款半价7折8折原价 (1)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价优惠的概率; (2)若某顾客购物金额为 320 元,用所学概率知识比较哪一种方案更划算? 19. [2016 ·州四校联考贵](本小题满分12 分 )已知长方形ABCD 中,AB= 1, AD = 2.现 将长方形沿对角线BD 折起,使AC= a,得到一个四面体A- BCD ,如图所示. (1)试问:在折叠的过程中,异面直线AB 与 CD , AD 与 BC 能否垂直?若能垂直,求出 相应的 a 值;若不垂直,请说明理由. (2) 当四面体A- BCD 体积最大时,求二面角A- CD- B 的余弦值. 20. [2016 ·国卷Ⅲ全 ]( 本小题满分 12 分 )已知抛物线 C:y2= 2x 的焦点为 F ,平行于 x 轴的 两条直线 l1, l2分别交 C 于 A, B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点. (1) 若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明AR∥ FQ; (2)若△ PQF 的面积是△ ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程. 21. [2016 ·北八校联考湖](本小题满分12 分 )已知函数f(x)= ax- ln x- 4(a∈R ). (1)讨论 f(x)的单调性; (2) 1 ,+∞ ,使 f(x)在 [m,n] 上的值域是k ,k,当 a=2 时,若存在区间 [m,n]? 2m+1n+ 1 求 k 的取值范围. 请考生在22、 23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. [2016·西八校联考陕](本小题满分10 分 )选修4- 4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C1的方程为 x2+ y2= 1,以平面直角坐标系xOy 的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为ρ(2cosθ-sinθ)= 6. (1) 将曲线 C1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标伸长为原来的 2 倍后得到曲线 C2,试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C2的参数方程; (2) 设 P 为曲线 C2上任意一点,求点P 到直线 l 的最大距离. 23. [2016 ·昌一模南 ]( 本小题满分 10 分 )选修 4- 5:不等式选讲设函数 f(x) = x- 2+ 11- x的最大值为 M. (1)求实数 M 的值; (2)求关于 x 的不等式 |x- 2|+ |x+ 2 2|≤ M 的解集. 参考答案 ( 四) 一、选择题 (本题共 12 小题,每小题 5 分,共1. [2016 成·都诊断考试]已知集合 A= { x|y= A . [- 2,2] B . [- 2,4] C. [0,2] D . [0,4] 60 分,每小题只有一个选项符合题意 4x- x2} ,B= { x||x|≤ 2} ,则 A∪ B=( ) ) 答案B 解析A= { x|0≤x≤ 4} , B= { x|- 2≤ x≤ 2} ,故 A∪ B= { x|- 2≤ x≤ 4} ,故选 B. 2.[2016 茂·名市二模 ]“ a=1”是“复数z= (a2- 1)+ 2(a+ 1)i( a∈ R )为纯虚数”的 () A .充要条件B.必要不充分条件 C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件 答案A 解析a2- 1+ 2(a+ 1)i 为纯虚数,则a2-1= 0, a+1≠ 0,所以 a=1,反之也成立.故 选 A. 22 3. [2017 x+y= 1 相交于 A, B 两点,分别过A, B 呼·和浩特调研 ]设直线 y=kx 与椭圆43 向 x 轴作垂线,若垂足恰好为椭圆的两个焦点,则k 等于 () 31 B.± C.± 22 答案B 3 解析由题意可得c= 1,a= 2, b=3,不妨取 A 点坐标为1,±,则直线的斜率k= 2 3 ± . 2 4.[2016 洛·阳第一次联考 ]如果圆 x2+ y2= n2至少覆盖曲线f(x)= πx 3sin(x∈R )的一个最n 高点和一个最低点,则正整数n 的最小值为 () A .1 B.2 C. 3 D.4 答案B n 3 ,原点到至高点距离为半径,即n2=n2 解析最小范围内的至高点坐标为2, 4+ 3?n =2,故选 B. 5. [2016 ·春质量检测长]运行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为 () 答案A 解析由程序框图可知,输出的结果是首项为1 2,公比也为 1 2的等比数列的前9项和,即 29- 1 29,故选A. 6. [2016 贵·阳一中质检 ]函数 g(x)= 2e x+ x- 32t2dt 的零点所在的区间是 () 1 A .(-3,- 1)B. (- 1,1) C. (1,2)D. (2,3) 答案C 2 解析因为 32t2dt= t3= 8- 1= 7,∴ g(x) = 2e x+ x-7, g′ (x)= 2e x+1>0 , g(x) 在 R 11 上单调递增, g(- 3)= 2e-3- 10<0,g(- 1)= 2e-1- 8<0 ,g(1) =2e- 6<0 ,g(2) = 2e2- 5>0,g(3)=2e3- 4>0,故选 C. 7.[2016 ·江高考浙 ]在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线 l 上的投影.由区域 x- 2≤ 0, x+ y≥ 0,中的点在直线x+ y- 2=0 上的投影构成的线段记为AB,则 |AB|= () x- 3y+ 4≥ 0 A.2 2 B.4 C.3 2 D.6 答案C 解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,过点C, D 分别作直线x +y- 2= 0 的垂线,垂足分别为 A,B,则四边形 ABDC 为矩形,又 C(2,- 2),D (- 1,1),所以|AB|= |CD |= 2+ 1 2+- 2-1 2=3 2.故选 C. 8. [2017 ·西质检广 ]某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为() A . 24+ 6πB. 12πC. 24+ 12πD. 16π 答案A 解析由三视图可知,该几何体是由一个棱长为 2 的正方体与 6 个半径为 1 的半球构成的组合体,该组合体的表面由 6 个半球的表面 (除去半球底面圆 )、正方体的 6 个表面正方形 挖去半球底面圆构成,所以 6 个半球的表面 (除去半球底面圆 )的面积之和 S1等于 3个球的表面积,即 S1= 3×4π× 12= 12π;正方体的 6 个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2= 6(22-π× 12 )= 24- 6π所.以该组合体的表面积为 12 π+ (24- 6π)=24+ 6π. S= S+S =12 9.[2016 ·京模拟南]已知四面体 P- ABC 中, PA= 4,AC=2 7,PB= BC= 2 3,PA⊥平 面 PBC,则四面体 P-ABC 的外接球半径为 () A.2 2 B.2 3 C.4 2 D.4 3 答案A 解析 PA⊥平面 PBC, AC= 2 7, PA= 4,∴ PC= 2 3,∴△ PBC 为等边三角形,设其外接圆半径为 r ,则 r = 2,∴外接球半径为 2 2.故选 A. →→→→→ →→10.[2016 四·川高考 ] 在平面内,定点 A,B,C,D 满足 |DA|= |DB |= |DC |,DA·DB =DB ·DC → →→→→→ 2的最大值是 () = DC ·DA =- 2,动点 P, M 满足 |AP |= 1,PM = MC ,则 |BM | 答案 B → → → → → → → → → 解析 由 |DA |= |DB |= |DC |知,D 为△ ABC 的外心. 由 DA ·DB = DB ·DC =DC ·DA 知,D 为 △ ABC 的内心,所以△ ABC 为正三角形,易知其边长为 2 3.取 AC 的中点 E ,因为 M 是 PC → 1= → 49 ,选 B. 的中点,所以 EM = 1 1,所以 |BM max 7,则 |BM max 2 2AP = 2 | = |BE|+ 2 2 | = 4 S 12- S 6 S 6- S 3 n n 项和,若 - 7·- 8=0, 11. [2016 山·西质检 ] 记 S 为正项等比数列 { a } 的前 n S S 6 3 3 1 8 且正整数 + 的最小值是 ( ) m , n 满足 a 1a m a 2n = 2a 5,则 m n 答案 C 解析 ∵ { a n } 是正项等比数列,设 { a n } 的公比为 q(q>0),∴ S 12- S 6 = q 6 , S 6- S 3 =q 3 ,∴ S 6 S 3 6 3 8= 0,解得 q = 2,又 a 1 m 2n 3 3 m + 2 n - 2 4 3 3 13 q - 7q - 5 1 ·2 = 2(a 1 = a 1 2 ,∴ m + 2n =15, a a = 2a ,∴ a 2 ) 2n +8m 2n × 8m 18118 17+ m n 17+ 2 m n 5 2n 8m ∴ m + n = 15 m + n (m + 2n) = 15 ≥ 15 = 3,当且仅当 m = n , n =2m , 即 m = 3,n = 6 时等号成立,∴ 1 + 8 的最小值是 5 ,故选 C. m n 3 - 2x 在点 x = 0 处的切线与直线 x - y - 1= 0 垂直, 12. [2016 海·口调研 ] 已知曲线 f(x)= ke 若 x 1, x 2 是函数 g(x)= f(x)- |ln x|的两个零点,则 ( ) A . 1< x x < e 1 2 1 2 C . 2 1 2 1 2 答案 B 解析 依题意得 - 1 f ′ ( x)=- 2ke 2x , f ′ (0) =- 2k =- 1, k = .在同一坐标系下画出函数 y 2 = f(x) = 1 2e - 2x 与 y = |ln x|的大致图象,结合图象不难看出,这两条曲线的两个交点中,其中一 个交点横坐标属于区间 (0,1),另一个交点横坐标属于区间 (1,+ ∞ ),不妨设 x 1∈ (0,1) , x 2∈ 1 - 2x 1 - 2 1 1 - 2x 1 -2 1 - 2x (1,+ ∞) ,则有 2e 1= |ln x 1|=- ln x 1∈ 2e , 2 , 2 e 2= |ln x 2 |=ln x 2∈ 0, 2 e , 2 e 2 1 - 1 - - , 0 ,于是有 e 2 1 1 e 2x 1= ln x 2+ ln x 1= ln ( x 1x 2)∈ - 2 2 e 第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分 ) 二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20分) 13. [2017 安·徽合肥统考 ]一个煤气站有 5 个阀门控制对外输送煤气,使用这些阀门必须 遵守以下操作规则: (ⅰ )如果开启 1 号阀门,那么必须同时开启 2 号阀门并且关闭 5 号阀门; (ⅱ )如果开启 2 号阀门或者 5 号阀门,那么要关闭 4 号阀门; (ⅲ )不能同时关闭 3 号阀门和 4 号阀门,现在要开启 1 号阀门,则同时开启的 2 个阀门是 ________. 答案 2 或 3 解析 若要开启 1 号阀门,由 ( ⅰ)知,必须开启 2 号阀门,关闭 5 号阀门,由 (ⅱ )知,关 闭 4 号阀门,由 (ⅲ )知,开启 3 号阀门,所以同时开启 2 号阀门和 3 号阀门. 14.[2017 云·南检测 ] 若函数 f(x)= 4sin5ax - 4 3cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距 π 离为 3,则实数 a 的值为 ________. 答案 3 ± 5 解析 因为 f(x)= 8sin π T = π 2π 2π 2π 5ax - ,依题意有, 2 ,所以 T = ,又因为 T = ,所以 5|a| 3 3 3 5|a| = 2π 3 3,解得 a =± . 5 2 2 15. [2017 山·西怀仁期末 ]已知双曲线 C : x 2 - y 2= 1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为 F 1、 a b F ,焦距为 2c ,直线 y = 3 (x + c)与双曲线的一个交点 P 满足∠ PF F =2∠PF F ,则双曲线 2 3 2 1 1 2 的离心率 e 为 ________. 答案 3+ 1 解析 ∵直线 y = 3 3 (x + c)过左焦点 F 1,且其倾斜角为 30°,∴∠ PF 1F 2= 30°,∠ PF 2F 1 = 60°,∴∠ F 2PF 1= 90°,即 F 1P ⊥ F 2P.∴ |PF 2|= 1 2|F 1F 2|= c , |PF 1|= |F 1F 2| sin60· =° 3c ,由双 曲线的定义得 2a = |PF 1 2 c = c = 3+1. |- |PF |= 3c - c ,∴双曲线 C 的离心率 e = a 3c - c 2 16. [2016 1- |x +1|, x<1, ·州综合测试广 ]已知函数 f(x)= x 2- 4x +2, x ≥ 1, 则函数 g(x)= 2|x|f(x)- 2 的零点个数为 ________个. 答案 2 解析 x - x 1- |x +1|, x<1, - x 由 g(x)= 2| |f(x)- 2= 0,得 f(x)= 21 | |,画出 y = 与 y = 21 | |的 x 2- 4x + 2,x ≥ 1 图象,可知,它们有 2 个交点,所以零点个数为 2. 三、解答题 (共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17. [2016 ·南六市联考河 ](本小题满分 12 分 )如图,在一 条海防警戒线上的点 A 、B 、 C 处各有一个水声监测点, B 、C 两点到 A 的距离分别为 20 千米和 50 千米,某时刻, B 收到发自静止目标 P 的一个声波信号, 8 秒后 A 、C 同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传 播速度是千米 /秒. (1) 设 A 到 P 的距离为 x 千米,用 x 表示 B 、 C 到 P 的距离,并求 x 的值; (2) 求 P 到海防警戒线 AC 的距离. 解 (1)依题意,有 PA = PC = x , PB = x -× 8= x - 12.(2 分 ) 在△ PAB 中, AB = 20, cos ∠ PAB = PA 2+ AB 2- PB 2 x 2+ 202 - x - 12 = 2x ·20 2PA ·AB 2 3x + 32 = , 5x 同理,在△ PAC 中, PA 2+AC 2-PC 2 x 2+ 502- x 2 25 AC =50, cos ∠ PAC = = = x .(4 分 ) 2PA ·AC 2x ·50 ∵ cos ∠ PAB = cos ∠PAC ,∴ 3x +32 = 25 , 5x x 解得 x = 31.(6 分 ) (2) 作 PD ⊥AC 于点 D ,在△ ADP 中, 由 cos ∠ PAD = 25 , 31 得 sin ∠PAD = 1- cos 2 ∠ PAD = 4 3121 , (9 分 ) ∴ PD = PAsin ∠PAD = 31× 4 21 = 4 21. 31 故静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离为 4 21千米. (12 分 ) 18. [2016 ·庆市一模重 ]( 本小题满分 12 分 )某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下 两种优惠方案中选择一种. 方案一:每满200 元减 50 元; 方案二:每满200 元可抽奖一次.具体规则是依次从装有 3 个红球、 1 个白球的甲箱, 装有 2 个红球、 2 个白球的乙箱,以及装有 1 个红球、 3 个白球的丙箱中各随机摸出 所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别) 红球个数3210 实际付款半价7折8折原价 1 个球, (1)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价优惠的概率; (2)若某顾客购物金额为 320 元,用所学概率知识比较哪一种方案更划算? 解 (1)记顾客获得半价优惠为事件A,则 P(A)=3×2×1 = 3 , (2 分 ) 4× 4×4 32 两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率P= 1- P( A )P( A )= 1- 1-3 2= 183 .(4 321024 分 ) (2) 若选择方案一,则付款金额为320- 50= 270 元. (6 分) 若选择方案二,记付款金额为X 元,则 X 可取 160,224,256,320. P(X= 160) 3 ,= 32 P(X= 224)=3× 2× 3+3× 2× 1+ 1× 2×1= 13, 4× 4×432 P(X= 256)=3× 2× 3+1× 2× 3+ 1× 2×1= 13, 4× 4×432 1×2×33 P(X= 320)==,(9分) 则 E(X)= 160×3 + 224× 13 + 256× 13 + 320× 3 = 240. 32323232 ∵270>240 , ∴第二种方案比较划算. (12 分 ) 19. [2016 ·州四校联考贵](本小题满分12 分 )已知长方形ABCD 中,AB= 1, AD = 2.现 将长方形沿对角线BD 折起,使AC= a,得到一个四面体A- BCD ,如图所示. (1)试问:在折叠的过程中,异面直线 AB 与 CD , AD 与 BC 能否垂直?若能垂直,求出相应 的 a 值;若不垂直,请说明理由. (2) 当四面体A- BCD 体积最大时,求二面角A- CD- B 的余弦值. 解 (1)若 AB ⊥ CD ,因为 AB ⊥ AD , AD ∩ CD =D ,所以 AB ⊥面 ACD?AB ⊥ AC. 即 AB 2 + a 2 =BC 2?12+a 2=( 2)2?a = 1.(2 分 ) 若 AD ⊥ BC ,因为 AD ⊥ AB , AB ∩ BC = B ,所以 AD ⊥面 ABC?AD ⊥ AC , 即 AD 2 +a 2= CD 2?( 2)2+ a 2= 12?a 2=- 1,无解, 故 AD ⊥ BC 不成立. (4 分 ) (2) 要使四面体 A - BCD 体积最大, 因为△ BCD 面积为定值 2 ,所以只需三棱锥 A - BCD 2 的高最大即可,此时面 ABD ⊥面 BCD.(6 分 ) 过 A 作 AO ⊥ BD 于 O ,则 AO ⊥面 BCD , 以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz(如图 ), 6 6 3 2 3 则易知 A 0,0, 3 ,C 3 , 3 ,0 ,D 0, 3 , 0, → 6 显然,面 BCD 的法向量为 OA = 0, 0, .(8 分) 3 设面 ACD 的法向量为 n = (x , y , z). → 6, → 2 3, 6 , 因为 CD = - 3,0 ,DA = 33 0,- 3 3 6x = 3y , 令 y = 2, 所以 2 3y = 6z. 得 n = (1, 2, 2), (10 分 ) 故二面角 A - CD -B 的余弦值即为 2 6 → 3 2 7 . (12 分 ) |cos 〈 OA , n 〉 |= = 6 7 3 · 1+2+4 20. [2016 ·国卷Ⅲ全 ]( 本小题满分 12 分 )已知抛物线 C :y 2= 2x 的焦点为 F ,平行于 x 轴的两条直线 l 1, l 2 分别交 C 于 A , B 两点,交 C 的准线于 P ,Q 两点. (1) 若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR ∥ FQ ; (2) 若△ PQF 的面积是△ ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程. 1 解 由题知 F ,0 .设 l 1: y = a , l 2: y = b ,则 ab ≠ 0, 2 2 -1 , a - 1 , b a , a b , b , P ,Q , 且 A 2 , B 2 2 2 1 a + b R - 2, 2 . 记过 A ,B 两点的直线为 l ,则 l 的方程为 2x - (a + b)y + ab = 0.(3 分 ) (1) 证明:由于 F 在线段 AB 上,故 1+ ab = 0. 记 AR 的斜率为 k 1,FQ 的斜率为 k 2,则 k 1= a - b = a - b = 1 = - ab =- b = k 2, a 1+ a 2 a 2- ab a 所以 AR ∥ FQ .(5 分 ) 1, △ ABF 1 1 x 1- 1 , S △ PQF = |a -b| (2) 设 l 与 x 轴的交点为 D (x 0),则 S = 2|b - a| |FD · |=2|b - a| 2 2 . 则题设可得 |b - a| x 1- 1 = |a - b| ,所以 x 1=0( 舍去 )或 x 1= 1. 2 2 设满足条件的 AB 的中点为 E(x , y). 当 AB 与 x 轴不垂直时,由 k 2 = y a +b = y ,所以 y 2=x - AB =k DE 可得 a + b (x ≠ 1),而 2 x - 1 1(x ≠ 1). 当 AB 与 x 轴垂直时, E 与 D 重合,此时 E 点坐标为 (1,0),满足方程 y 2= x -1. 所以,所求轨迹方程为 y 2= x - 1.(12 分 ) 21. [2016 ·北八校联考湖 ](本小题满分 12 分 )已知函数 f(x)= ax - ln x - 4(a ∈R ). (1) 讨论 f(x)的单调性; 1 ,+∞ ,使 f(x)在 [m ,n] 上的值域是 k , k , (2) 当 a =2 时,若存在区间 [m ,n]? 2 m +1 n + 1 求 k 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)的定义域是 (0 ,+ ∞ ), f ′ (x)= ax - 1 , x 当 a ≤ 0 时, f ′( x)≤ 0,所以 f(x)在 (0,+ ∞ )上为减函数, 当 a>0 时,令 f ′ (x)=0,则 x = 1 a ,当 x ∈ 0, 1 a 时, f ′ (x)<0 , f(x)为减函数, 1 当 x ∈ a ,+ ∞ 时, f ′ (x)>0 , f(x)为增函数, (3 分 ) 1 1 ,+ ∞ ∴当 a ≤ 0 时,f( x)在 (0,+∞ )上为减函数;当 a>0 时,f(x)在 0, a 上为减函数,在 a 上为增函数. (4 分) (2) 当 a = 2 时, f(x) = 2x - ln x - 4,由 (1) 知: f(x) 在 1 ,+ ∞ 上为增函数,而 [ m , 2 1 n]? 2,+ ∞ , ∴ f(x)在 [m ,n]上为增函数,结合 f( x)在 [m ,n] 上的值域是 k , k 知: f(m) = k , m + 1 n + 1 m +1 k ,其中 1 ≤ m 1 ,+ ∞ 上至少有两个不同的实数根, (6 分) f(n) =n + 1 2 x + 1 2 由 f(x)= k ,得 k = 2x 2- 2x - (x + 1)ln x - 4,x + 1 记 φ(x)= 2x 2 - 2x - (x + 1)ln x - 4, x ∈ 1 2,+ ∞ ,则 φ′ (x)= 4x - 1 x - ln x -3, 2 - x + 1 2 + 3x 记 F(x)= φ′ (x)= 4x -1 - ln x - 3,则 F ′ (x)= 4x = 2x - 1 >0, x x 2 x 2 ∴ F(x)在 1 ,+ ∞ 上为增函数,即 1 ,+ ∞ 上为增函数,而 φ′ (1) = 0, 2 φ′ (x)在 2 ∴当 x ∈ 1 , 1 时, φ′ (x)<0,当 x ∈(1 ,+ ∞ )时, φ′ (x)>0 , 2 1 ∴ φ(x)在 2, 1 上为减函数,在 (1,+ ∞)上为增函数, (10 分) 1 3ln 2- 9 而 φ 2 = 2 , φ(1)=- 4,当 x → + ∞ 时, φ(x)→ +∞ ,故结合图象得: 1 ?- 4 2 - 9,∴ k 的取值范围是 - 4, 3ln 2- 9 .(12 分 ) φ(1)< k ≤ φ 2 2 2 请考生在 22、 2 3 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. [2016 ·西八校联考陕 ](本小题满分 10 分 )选修 4- 4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 1 的方程为 x 2+ y 2= 1,以平面直角坐标系 xOy 的 原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l 的极 坐标方程为 ρ(2cos θ- sin θ)= 6. (1) 将曲线 C 1 上的所有点的横坐标伸长为原来的 3倍,纵坐标伸长为原来的 2 倍后得到 曲线 C 2,试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 2 的参数方程; (2) 设 P 为曲线 C 2 上任意一点,求点 P 到直线 l 的最大距离. 解 (1)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为 2x - y -6= 0.(2 分 ) ∵曲线 C 2 的直角坐标方程为: x 3 2+ y 2 2= 1, 即 x 2+y 2 = 1, (4 分 ) 3 4 ∴曲线 C 2 的参数方程为 x = 3cos θ, (θ为参数 ). (5 分) y = 2sin θ (2) 设点 P 的坐标 ( 3cos θ, 2sin θ),则点 P 到直线 l 的距离为 d = |2 3cos θ- 2sin θ-6|= 5 4cos θ+ π- 6 6 , 5 ∴当 cos θ+ π=- 1 时, d max = |4+ 6| = 2 5.(10 分 ) 6 5 23. [2016 南·昌一模 ]( 本小题满分 10 分 )选修 4- 5:不等式选讲 设函数 f(x) = x - 2+ 11- x 的最大值为 M. (1) 求实数 M 的值; (2) 求关于 x 的不等式 |x - 2|+ |x + 2 2|≤ M 的解集. 解 (1)f(x)=x-2+ 11- x≤ 2x-2 +11- x =3 2, 2 当且仅当 x=13 时等号成立.故函数f(x)的最大值 M= 3 2.(5分) 2 (2) 由 (1)知 M=3 2.由绝对值三角不等式可得|x- 2|+ |x+ 22|≥ |(x- 2)- ( x+22)|= 3 2. 所以不等式|x-2|+ |x+ 2 2|≤ 32的解集就是 方程 |x-2|+ |x+ 2 2|=32的解. (7 分 ) 由绝对值的几何意义,得当且仅当- 2 2≤x≤2时, |x - 2|+ |x+ 2 2|= 3 2,所以不等式|x-2|+ |x+ 22|≤ M的解集为 { x|- 22≤ x≤2}.(10 分) 黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科(四) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合{}2,101,, -=A ,{} 2≥=x x B ,则A B =I A .{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A .2x y = B .y x = C .y x = D .2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )-sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 ( ) A .命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B .“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C .若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D .若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A .80 B .40 C .31 D .-31 7.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A .π16+ B .π416+ C .π8+ D .π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中,常数项为 A .64 B .30 C . 15 D .1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A .(1,2) B .(2,)e C . (,3)e D .(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图,若0.9p =,则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==, S p 是 输入p 结束 输出n 12n S S =+ 否 1n n =+ 1 2 1 2 2 1 主视图 左视图 俯视图 高考模拟试卷(四) 一、填空题 1. 已知集合M ={0,1,2},N ={x |x =2a ,a ∈M },则集合M ∩N =( ) A. B. C. D. 2. 复数 在复平面上对应的点位于第( )象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3.已知在等比数列中,,9,则 ( ) A . B .5 C . D .3 4. 若对任意实数,不等式成立,则实 数的取值范围为( ) A. B. C. D. 5. 在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列,已知,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为( ) A. 80 B. 120 C. 160 D. 200 6. 已知公差不为的正项等差数列中,为其前项和,若, ,也成等差数列,,则等于( ) A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 7. 一个算法的流程图如图所示.若输入的n 是100,则输出值S 是( ) A. 196 B. 198 C. 200 D. 202 8. 已知周期函数是定义在R 上的奇函数,且的最小正周 期为3, 的取值范围为( ) A. B. C. D. {}0,1{}0,2{}1,2{}2,4i i 4321+-{}n a 11=a =5a =3a 5±3±[] 1,1p ∈-()2 330px p x +-->x ()1,1-(),1-∞-()3,+∞() (),13,-∞-+∞}{n a 122a a =0{}n a n S n 1lg a 2lg a 4lg a 510a =5S )(x f )(x f ,2)1( 高考模拟复习试卷试题模拟卷 【高频考点解读】 1.能画出y =sin x ,y =cos x ,y =tan x 的图象,了解三角函数的周期性; 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点 等),理解正切函数在区间??? ?-π2,π2内的单调性. 【热点题型】 题型一 三角函数的定义域、值域 【例1】 (1)函数y =1 tan x -1 的定义域为____________. (2)函数y =2sin ??? ?πx 6-π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A .2- 3 B .0 C .-1 D .-1-3 解析 (1)要使函数有意义,必须有???? ?tan x -1≠0,x ≠π2+kπ,k ∈Z , 即? ??x ≠π 4+kπ,k ∈Z ,x ≠π 2+kπ,k ∈Z. 故函数的定义域为{x|x≠π4+kπ且x≠π 2+kπ,k ∈Z}. (2)∵0≤x≤9,∴-π3≤π6x -π3≤7π 6, ∴sin ????π6x -π3∈???? ??-32,1. ∴y ∈[]-3,2,∴ymax +ymin =2- 3. 答案 (1){x|x≠π4+kπ且x≠π 2+kπ,k ∈Z} (2)A 【提分秘籍】 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型: ①形如y =asin x +bcos x +c 的三角函数化为y =Asin(ωx +φ)+k 的形式,再求最值(值域);②形如y =asin2x +bsin x +c 的三角函数,可先设sin x =t ,化为关于t 的二次函数求值域(最值);③形如y =asin xcos x +b(sin x±cos x)+c 的三角函数,可先设t =sinx±cos x ,化为关于t 的二次函数求值域(最值 2018技能高考模拟题(数学部分) ―、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1. 下列四个命题:(1)空集没有子集.(2)空集是任何集合的真子集(3)}0{=? (4)任何集合必有两个或两个以上的子集.其中正确的有( )个 A.0 B. 1 C.2 D.3 2.下列函数:(l )2x y =,(2)3x y =,(3)x x y -+=11lg ,(4)2 1131--=x y 其中奇函数有( )个 A.3 B.2 C.1 D.0 3.下列命题:(l )02sin 2cos >-,(2)若54sin =a ,则53cos =a . (3)在三角形ABC 中,若A A cos 3sin 2=,则角A 为30度角.其中正确的有()个 A.3 B. 2 C.1 D.0 4.下列说法:(1)两个相等的向量起点相同,则终点相同.(2)共线的单位向量相等.(3)不相等的向量一定不平行.(4)与零向量相等的向量一定是零向量. (5)共线向量一定在一条直线上.其 中正确的有( )个 A.2 B.3 C.4 D.5 5. 有点(3,4),(3-,4-),(1,1+3)(1-,31-),其中在直线013=+-y x 上的有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 6.下列说法中:⑴数列{112-n }中负项有6项.(2)73为数列{12-n }中的项. (3)数列2.4.6.8可表示为{2. 4. 6.8}.其中正确的有()个 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分) 1.若数列{n a }中,11++= n n n a a a 对任意正整数都成立,且216=a ,则5a = 。 n a = 。 2. 若a =(3,4),b =(2,1),且(a +xb ))(b a -⊥ = 。 3. 满足2 1sin ≥ a 的角a 的集合为 。 4. 4.函数|3|log 2 1-=x y 的单调减区间为 。 三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分) 1.(1)角a 的终边上一点P 的坐标为(t t 3,4-)(t 不为0),求a a cos sin 2+. (2)设2e ,2e 是两不共线的向量,若涵212ke +=,113e e +=,212e e -= 若三点A 、B 、D 共线,求k 的值. 2.(1)求函数)6 2sin(3π-=x y 的单增区间. (2)说出函数)3tan(π-=x y 的周期和单调区间. 3.(1)过点P (1-,1-)的直线与两坐标轴分别相交于A 、B 两点,若P 点为线段AB 的中点,求该直线的方程和倾斜角. (2)已知数列{n a }为等差数列,n S 为其前n 项和,且77=S ,1515=S . ①求n S .②若为数列的{n S n }前n 项和,求n T . 2020年高考数学模拟试卷汇编 专题4 立体几何(含答案解析) 1.(2020·河南省实验中学高三二测(理))现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合,其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -,如图所示,已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=,三棱锥的外接球的表面积为4π,该三棱锥的体积的最大值为 ( ) A 3 B .36 C 3 D 3 2.(2020·湖南省长沙市明达中学高三二模(理)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”,刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π:4.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为( ) A .16 B .163 C .163 D .1283 3.(2020·湖南省长沙市明达中学高三二模(理)关于三个不同平面,,αβγ与直线l ,下列命题中的假命题是( ) A .若αβ⊥,则α内一定存在直线平行于β B .若α与β不垂直,则α内一定不存在直线垂直于β C .若αγ⊥,βγ⊥,l αβ=I ,则l γ⊥ D .若αβ⊥,则α内所有直线垂直于β 4.(2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟(理))榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明, 它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑,同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城,山西悬空寺,福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构,榫卯结构 中凸出部分叫榫(或叫榫头),已知某“榫头”的三视图如图所示,则该“榫头”的体积是( ) A .36 B .45 C .54 D .63 5.(2020·江西省名高三第二次大联考(理))某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .83π3 B .4π1633 C 16343π+ D .43π1636.(2020·江西省名高三第二次大联考(理))在平面五边形ABCD E 中,60A ∠=?,63AB AE ==BC CD ⊥,DE CD ⊥,且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起,使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?,则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为( ) A .63π B .84π C .252π D .126π 7.(2020·陕西省西安中学高三三模(理))某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) 高三上期第二次周练 数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}=0123A ,,,, {}=21B x x a a A =-∈,,则=( )A B ? A. {}12, B. {}13, C. {}01 , D. {}13-, 2.已知i 是虚数单位,复数z 满足()12i z i +=,则z 的虚部是( ) A. i - B. i C. 1- D. 1 3.在等比数列{}n a 中, 13521a a a ++=, 24642a a a ++=, 则数列{}n a 的前9项的和9S =( ) A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4.如图所示的阴影部分是由x 轴,直线1x =以及曲线1x y e =-围成, 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点,则该点落在阴影区域的概率是( ) A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5.在 52)(y x x ++ 的展开式中,含 2 5y x 的项的系数是( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6.已知一个简单几何体的三视图如右图所示,则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7.已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减,则a 的取值范围是( ) A. 11<< F D C B A 2019年高考数学模拟试题(理科) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。 一.选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1.已知集合}032{2>--=x x x A ,}4,3,2{=B ,则B A C R ?)(= A .}3,2{ B .}4,3,2{ C .}2{ D .φ 2.已知i 是虚数单位,i z += 31 ,则z z ?= A .5 B .10 C . 10 1 D . 5 1 3.执行如图所示的程序框图,若输入的点为(1,1)P ,则输出的n 值为 A .3 B .4 C .5 D .6 (第3题) (第4题) 4.如图,ABCD 是边长为8的正方形,若1 3 DE EC =,且F 为BC 的中点,则EA EF ?= A .10 B .12 C .16 D .20 5.若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ,则y x z 82?=的最大值是 A .4 B .8 C .16 D .32 6.一个棱锥的三视图如右图,则该棱锥的表面积为 A .3228516++ B .32532+ C .32216+ D .32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0,1,2,3,4,若从这5张卡片中随机取出2张,则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A . 101 B .51 C .103 D .5 4 8.设n S 是数列}{n a 的前n 项和,且11-=a ,11++?=n n n S S a ,则5a = A . 301 B .031- C .021 D .20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8,若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ,则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是 一、选择题(5分×6=30分) 19. 下列命题中错误的个数是( ) ①若A B =?I ,则,A B 中至少一个是空集 ②若A B S =I ,S 为全集,则A B S == ③()()A B A A B ≠≠ ??I U ④22 (2)0(2)0x y x y +-=-=是的必要不充分条件 A.0 B.1 C.2 D.3 20. 不等式(5)(4)14x x -+-≥的解集是( ) A. 32x -≤≤ B. {}|32x x x ≤-≥或 C. {}|32x x -≤≤ D. {}|32x x -<< 21. 下列说法正确个数的是( ) ①1,(,)y x =+∈-∞+∞表示一个函数 ②22()1()sin cos f x t t t ==+和g 表示同一函数 ③设函数()y f x =在区间(,)a b 上有意义.如果有12,(,)x x a b ∈,当12x x <时,12()()f x f x <成立,那么函数()f x 叫作区间(,)a b 上的增函数 ④如果函数2()2(1)31+)f x x a x =-++∞在区间[,是增函数,则a 的取值范围是[3,)+∞ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 22. 下列函数在定义域内为减函数且为奇函数的是( ) A. ()3x f x -= B. 3 ()f x x =- C. ()sin f x x = D. ()cos f x x = 23. 已知向量,a b r r ,且22,56,92,AB a b BC a b CD a b =+=-+=-u u u r r r u u u r r r u u u r r r 则一定三点共线的是() A. A,B,D B. A,B,C C. B,C,D D. A,C,D 24. 小明抛一块质地均匀的硬币两次,出现正反各一次的概率是( ) A 14 B 12 C 34 D 1 二、填空(5分×4=20分) 25. 计算( 34 1 log 50.5330.125+29--+= 26. 函数()f x =的定义域是 27. 在等差数列{}n a 中,已知1110a =,则21S = 28. 已知正四棱柱底面边长为4cm ,侧面积为80cm 2,则它的体积是 xx 北技能高考数学模拟试题(一) 2020全国各地模拟分类汇编(文):集合 【辽宁抚顺二中2020届高三第一次月考文】1.“lg lg x y >”是“1010x y >”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】A 【辽宁省瓦房店市高级中学2020届高三10月月考】已知集合}1|1||{<-=x x M , )}32(log |{22++==x x y y N 则=N M I ( ) A .}21||{<≤x x B .}20||{<2018年高三数学模拟试题理科
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