数学建模练习题说课讲解

数学建模练习题

数学建模习题

题目1

1.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正

比，还有与w无关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。

解答：

（1）分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有

与w,s均无关的成本。又因为形状一定时一般有,故商品的价格可表示为（α，β，γ为大于0的常数）。

（2）单位重量价格,显然c是w的减函数。说明大

包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。

函数图像如下图所示：

题目2

2.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设,β为增长率。又设单位时间的销售量为(p为价格)。今将销售期分为和两段，每段的价格固定，记为,.求,的最优值，使销售期内的总利润最大。如果要求销售期T内的总销售量为,再求,的最优值。

解答：

由题意得：总利润为

,=+

=

由=0，，可得最优价格

,

设总销量为，

在此约束条件下的最大值点为

,

题目3

(与数量无关)，3.某商店要订购一批商品零售，设购进价,售出,订购费c

随机需求量r的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为(与时间无关)。问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平均利润为正值，需要对订购费c0加什么限制？

解答：

设订购量为u，则平均利润为

u的最优值满足

最大利润为.为使这个利润为正值，应有

.

题目4

4.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨

速与雨滴质量的关系。

解答：

雨滴质量m，体积V，表面积S与某特征尺寸l之间的关系为，

，可得。雨滴在重力和空气阻力的作用下以匀速v降落，所

以=，而.由以上关系得.

题目5

5.某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其

信用等级、到期年限、收益如表1所示。按照规定，市政证券的收益可以免

税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：

1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；

表1 证券信息

证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益/%

A 市政 2 9 4.3

B 代办机构 2 15 5.4

C 政府 1 4 5

D 政府 1 3 4.4

E 市政 5 2 4.5

问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？

（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理如何操作？

（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

解答：

（1）设投资证券A,B,C,D,E的金额分别为（百万元），按照规定、限制和1000万元资金约束，列出模型

s.t.

，即

，即

用LINGO求解得到：证券A,C,E分别投资2.182百万元，7.364百万元，

0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。

（2）由（1）的结果中影子价格可知，若资金增加100万元，收益可增加

0.0298百万元。大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息，所以应

借贷。投资方案需将上面模型第二个约束右端改为11，求解得到：证券

A,C,E分别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收

益为0.3007百万元。

（3）由（1）结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券A的税前收益可增加0.35%，故若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不应

改变；证券C的税前收益可减少0.112%（按50%的税率纳税），故若证

券C的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。

题目6

6.某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产

两种产品（分别记为A,B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先

倒入混合池中混合，混合后的液体再分别为原料丙混合生产A,B。已知原料

甲、乙、丙、丁的含硫量分别为3%，1%，2%，1%，进货价格分别为6,16,10,15

（千元/t）；产品A,B的含硫量分别不能超过2.5,1.5（%），售价分别为9,15（千元/t）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50t；产品A,B的市场需求量分别为100t，200t。问应如何安排生产？

解答：

设分别是产品A中是来自混合池和原料丙的吨数，分别是产品B中来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲、乙、丁所占的比例分别为.优化目标是总利润最大，即

约束条件为：

1）原料最大供应量限制：

2）产品最大需求量限制：

3）产品最大含硫量限制：

对产品A，，即

对产品B，类似可得

4)其他限制：

用LINGO求解得到结果为：，其余为0；目标函数值为450.

题目7

7.建立耐用消费品市场销售量的模型。如果知道了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数？

解答：

设耐用品销售量为x(t)，可用logistic模型描述x(t)的变化规律，即

=kx(N-x),其中N是市场饱和量，k是比例系数，N，k，可由过去若干时期的销售量确定，不妨设,则方程可离散化为

,可取或，N和k可由最小二乘法估计。

题目8

8.在鱼塘中投放尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的质量将增加。

（1）设尾数n(t)的（相对）减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼质量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼质量的减少率与质量

本身成正比。分别建立尾数与每尾鱼质量的微分方程，并求解。

（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量表示，记作E，即单位时间捕获量是En(t).问如何选择T和E，使从T开始的捕获量最大。

解答：

（1）尾数n(t)满足得.每尾鱼重w(t)满足，不妨近似设w(0)=0，得.

（2）设t=T时开始捕捞，且单位时间捕捞率为E，则t T时有

，因此得，单位时间捕捞鱼的尾数为En(t)，每尾鱼重w(t)，所以从T开始的鱼捕捞量是

，问题为求使y最大，可用数值法求解。

题目9

9.速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是。用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v,s,的关系。

解答：

设,量纲表达式：，解得，故(是无量纲常数)。

题目10

10.大陆上物种数目可以看做常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移。岛上物种数量的增加与尚未迁移的物种数量有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少。在适当假设下建立岛上物种数的模型，并讨论稳定状况。

解答：

植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作.若不考虑自然资源对植物生长的限制，则模型为

平衡点为P1（0，0,0），.

题目11

11.下表列出了某城市18位35-44岁经理的年平均收入（千元），风险偏好度和人寿保险额y（千元）的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大就越偏爱高风险。研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握的认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对于风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。

请你通过表2中的数据建立一个合适的回归模型，验证上面的看法，并给出进一步的分析。

表2

序

号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y 196 63 252 84 126 14 49 49 266

x1 66.29 40.96 72.996 45.01 57.204 26.852 38.122 35.84 75.796

x2 7 5 10 6 4 5 4 6 9

序

号10 11 12 13 14 15 16 17 18

y 49 105 98 77 14 56 245 133 133

x1 37.41 54.38 46.186 46.13 30.366 39.06 79.38 52.766 55.916

x2 5 2 7 4 3 5 1 8 6

解答：,

最终的回归方程为,且

(如模型中加入项，其回归系数

置信区间均含零点)。表明只有经理们的年均收入及其二次项和风险偏好度本身

对他们投保的人寿保险额有显著影响。

题目12

12.表3给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（单位：元）的数据，从散点

图可以明显的发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线

性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。

希望你构造一个合适的回归模型全面的描述生产批量与单位成本的关系。

生产批量650 340 400 800 300 600 720 480 440 540 750 单位成本 2.48 4.45 4.52 1.38 4.65 2.96 2.18 4.04 4.2 3.1 1.5

生产批量与单位成本分别记作x和y，为表示x在500以下和以上时，y与x的

不同关系，引入一个虚拟变量D，令建立线性回归模型

，得到

参数参数估计值参考置信区间

β0 6.1621 [5.0368,7.2874]

β1 -0.0047 [-0.0074,-0.0020]

β2 -0.0036 [-0.0076,0.0003]

当生产批量小于500时，每增加一个单位批量，单位成本降低0.0047元；当生

产批量超过500时，每增加一个单位批量，单位成本降低

0.0047+0.0036=0.0083元。

从散点图看，也可以拟合x的二次回归模型.

题目13

13.在一项调查降价折扣券对顾客的消费行为影响的研究中，商家对1000个顾

客发放了商品折扣券和宣传资料，折扣券的折扣比例分别为5%，10%，15%，20%，30%，每种比例的折扣券均发放了200人，现记录他们在一个月内使用折

扣券购物的人数和比例数据如表4.

折扣比例/% 持折扣券人数使用折扣券人数使用折扣券人数比例

5 200 32 0.16

10 200 51 0.255

15 200 70 0.35

20 200 103 0.515

30 200 148 0.74

扣比例，建立普通的一元线性回归模型。

（2）直接利用MATLAB统计工具箱中的glmfit命令，建立使用折扣券人数比例与折扣比例的logit模型。与（1）作比较，并估计若想要使用折扣券

人数比例为25%，则折扣券的折扣比例应该为多大？

解答：

（1）记x为折扣比例，为使用折扣券人数比例，做logit变换

,普通的一元线性回归模型为,这里没有给出误差项的形成，利用MATLAB统计工具箱中的命令regress，可算出

，通过检验，高度显著。

（2）利用glmfit命令可以得到,拟合程度也非常好。（1）中模型表面上看起来很好，其实在做估计和检

验时，需要对误差项作较强的限制，而logit回归克服了这一缺陷。

又由,解得，故想要使用折扣券人数比例为25%，则折扣券的折扣比例应该为10%。

题目14

14.“田忌赛马”是一个家喻户晓的故事：战国时期，齐国将军田忌经常与齐王赛马，设重金赌注。孙膑发现田忌与齐王的马脚力都差不多，可分为上、中、下三等。于是孙膑对田忌说：“您只管下大赌注，我能让您取胜。”田忌相信并答应了他，与齐王用千金来赌胜。比赛即将开始，孙膑对田忌说：“现在用您的下等马对付他的上等马，拿您的上等马对付他的中等马，拿您的中等马对付他的下等马。”三场比赛完后，田忌只有一场不胜而另两场胜，最终赢得齐王的千金赌注。

（1）分析这个故事中还隐含了哪些信息，并思考合适可以建模为一个博弈问题。何时只是一个简单的单人决策问题。

（2）如果齐王和田忌约定比赛开始前双方同时决定马的出场顺序，并且以后不可改变，这个博弈是否存在纯战略纳什均衡？如果不存在，求出该博弈模型的混合战略纳什均衡。

解答：

（1）这个故事中还隐含了以下信息：田忌的每一等级的马都不如齐王的同等级的马，但田忌的上等马胜过齐王的中等马，田忌的中等马胜过齐王的

下等马。每人每一等级的马只允许出场一次(例如每人每一等级的马只有一匹，且每匹马只允许出场一次)。此外，

1)如果齐王的马的出场顺序总是固定的（或者出场顺序在比赛开始

前就已经决定了且不可改变），而田忌知道这一点，那么齐王的

行动就已经是完全给定了，这时只有田忌需要决策，是一个简单

的单决策者的决策问题，可以用一般的优化方法进行建模和求

解。不妨假设齐王的马的出场顺序为（上、中、下），则田忌最

优的应对行动就是（下、上、中），这与孙膑给出的战略是一致

的。

2)如果齐王的马的出场顺序并不总是固定的，每场比赛时齐王首先

决定自己派哪个等级的马出场，然后田忌才决定派自己的哪个等

级的马与之对抗，是一个完全信息动态博弈。田忌必须见机行

事，根据齐王出哪种马，决定自己出哪种马（孙膑给出的战略仍

是田忌的最优战略）

3)比赛开始前双方同时决定马的出场顺序并且以后不可改变。假设

齐王和田忌在决策时所拥有的信息是一样的，这时就构成一个完

全信息静态博弈。

（2）双方的行动空间为{（上、中、下），（上、下、中），（中、上、下），（中、下、上），（下、上、中），（下、中、上）}。不存在纯战略纳什均衡。混合战略纳什均衡为：双方各以1/6概率选择6个行动

之一。

题目15

15.我们经常见到报道：一些不文明现象或违法行为发生在众目睽睽之下，却无人出面阻止或干预。如果不考虑这类事件的复杂社会、道德等因素，你能否完全从数学的角度通过建立博弈模型来定量分析一下这种“人多未必势众”的现象？具体来说，希望你的模型回答下面的问题：假设有多个人正在目睹某个不文明现象或违法行为，那么当目睹人数增加时，有人出面阻止或干预的可能性是增加了还是减少了？

解答：

博弈参与人集合N={1,2，…，n}，每人的行动集合为A={0,1}，其中1为干预，0为不干预。若有人出面干预（这是参与人都希望的），设对每个参与人的价值为v（如由于不文明行为或违法行为得到阻止的心理安慰等）；若自己出面干预（这是参与人不希望的），设对每个参与人的成本为c（如遭到报复等）。可设v>c>0.假设所有参与人完全相同，每个参与人都希望最大化自己的效用v-c。如果没有人干预，每个人的效用均为0.

对每个参与人来说，如果其他人不出面干预，自己应该出面干预；如果有人出面干预，自己就不用出面干预了。因此，这个博弈存在纯战略纳什均衡：有且只有一个参与人出面干预，其他人不出面干预，从所有参与人整体上看这也是最优的方案。

但是，如果参与人之间没有信息的交流与行动上的合作，这一均衡是很难发生的，很可能要么没有人出面干预，要么有多人出面干预，这都不是纳什均衡。对这个问题，在不存在合作的情况下，假设所有参与人采用相同的战略是比较合理的，这样的战略组合如果构成纳什均衡，则称为对称纳什均衡。显然，这个博弈不存在纯战略对称纳什均衡，所以考虑混合战略对称纳什均衡：每个人的战略为以概率p采取行动1（以概率1-p采取行动0）。对一个参与者来说：

如果他出面干预（采取行动1），其效用为v-c。

如果他不出面干预（采取行动0），有两种可能：其他人也都不出面干预（可能性为），其效用为0；其他人至少有一人出面干预（可能性为），其效用为v。因此他不出面干预时的期望效用为

。

当出面干预与不出面干预的效用相等时，他就没有动机改变他的战略了。所以，纳什均衡满足的条件可以很简单的从等式得到，即.

题目16

16.同类型的商家经常会出现“扎堆”现象，形成各式各样的商品城，如“书城”、“灯具城”等。人们有时不得不跑很远的路去这类商品城，于是会抱怨：如果他们大致均匀的分布到城市的不同地点，难道不是对商家更为有利可图，也更方便顾客？请你以下面的问题为例，作出适当的假设，进行建模分析：某海滨浴场准备设立两个售货亭，以供海滩上游泳和休闲的人购买饮用水和小食品等。那么，这两个售货亭的店主将会分别将售货亭设立在哪里？

解答：

将海滨浴场的海滩近似看成一条线段，售货亭位置的选择空间记为[0,1]区间。设两售货亭的位置分别位于，其中点为

.假设顾客是均匀分布的。则售货亭1会吸引m左侧的顾客，售货亭2会吸引m右侧的顾客。于是售货亭1、2的效用（份额）分别是：

。

容易证明唯一的纯战略纳什均衡为.即双方“扎堆”于区间中点。

题目17

17.奇数个席位的理事会由三派组成，议案表决实行过半数通过方案。证明在任一派都不能操纵表决的条件下，三派占有的席位不论多少，他们在表决中的权重都是一样的。

解答：

设三派的席位分别为,记（奇数）。任一派不能操纵表决，即，于是，即任两派的席位过半数。显然三派的权重都是一样的，各占1/3.

题目18

18.在基因遗传过程中，考虑三种基因类型：优种D（dd），混种H（dr）和劣种R（rr）。对于任意的个体，每次用一混种与之交配，所得后代仍用混种交配，如此继续下去。构造马氏链模型，说明它是正则链，求稳态概率及由优种和混种出发的首次返回平均转移次数。如果改为每次用优种交配，再构造马氏链模型，说明它是吸收链，求由混种和劣种出发变为优种的平均转移次数。解答：

状态定义为，用混种交配时，转移概率矩阵为

由P2>0知，马氏链是正则链，稳定状态向量为w=(1/4,1/2,1/4).优种（D）和混种（R）出发的首次平均转移次数分别为4和2.

用优种交配时，转移概率矩阵为，i=1(D)是吸收状态，，马氏链是吸收链。

由.知由i=2(H),i=3(R)出发，变为

i=1(D)的平均转移次数分别为2和3.

题目19

19.一家集生产、销售于一体的公司，希望生产率和贮存量都尽量稳定在预先设

定的水平上，如果销售量可以预测，公司需要制订一个根据贮存量控制生产率

的策略。

（1）以在一定时间T内生产率和贮存量与设定值误差的（加权）平方和最小为

目标，给出泛函极值问题。

（2）设销售量为常数，求出最优解，并在T很大的情况下给出生产率和贮存量

之间的关系。

解答：

（1）记时刻t的贮存量x(t),单位时间产量（即生产率）和销售量分别为u(t)和v(t),则

设预先给定的生产率和贮存量分别为和，则在时间T内u(t)和x(t)与和

误差的（加权α）平方和最小的泛函极值为

若设t=0和T=0的贮存量为0，则

化简得

(2)当销售量（常数）时，欧拉方程为

解得

化简得

在T很大的情况下，最后一项可忽略，于是

即生产率u可以由贮存量x直接确定。

题目20

20.遭受巨大损失：考虑由于预计全球温度会上升而导致的北极冰盖的融化对陆地的影响。特别要对由于冰盖融化在今后50年中每10年对佛罗里达州沿岸，尤其是大城市地区的影响进行建模。试提出适当的应对措施来处理这个问题。对所用数据的仔细讨论是回答本问题的重要组成部分。

解答：

仅仅北极冰盖融化对海平面的直接影响可能较小，而引起其他冰块融化的间接影响会是决定性的。可以分别对各个冰块提升海平面的影响建模，用常微分方程预测发生改变的速度。

对于小的冰盖和冰川用全球平均温度对海平面改变影响的模型，参数为融化对温度的敏感度等，对参数的不同取值计算50年后海平面的升高。对于大冰原考虑受热体积膨胀引起海平面的升高。一种计算结果是50年后升高20-30cm。

对佛罗里达州沿岸海平面升高1个单位等价于海沿岸水平损失100个单位。在最坏的情况下，到2058年几乎将损失27m陆地，会失去大多数较小的岛屿及沙滩，许多城市的港口都会遭到损失。讨论对物种和生物多样性、气候、旅游业、食品业及全球变暖的影响。

题目21

21.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。

解答：

假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S与某特征尺寸l之间的关系是，所以饲养食物量.

题目22

22.一家保姆服务公司专门向雇主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是从雇主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后。将有15%的保姆自动离职。

（1）如果公司不允许解聘保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划。哪些季度需求的增加不影响招聘计划？可以增加多少？

（2）如果公司在每个季度结束后允许解聘保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。

解答：

（1）设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为人，4个季度开始时保姆总数量分别为人。以本年度付出的总报酬最

少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为

用LINGO求解并对结果取整。4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为0，15,0,59人。

上面的模型中没有要求取整数，是因为保姆数量较大，可以近似看做实数处理。此外，由于非整数因子0.85的影响，如果要求

为整数，则可能使得新招聘的保姆数量远远超过实际需要的数量，从而难以找到合理的整数解。

由以上结果中约束的松弛（或剩余）的数据知道，春季和秋季需求的增加不影响招聘计划，可以分别增加1800人日和936人日。

（2）设4个季度开始时公司招聘的保姆数量分别为人，4个季度结束时解雇的保姆数量分别为人，4个季度开始时保姆总数量分别为人。以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始

时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为

用LINGO求解并对结果取整得到，第二个季度开始时公司新招聘15人，第二个季度结束时解聘15人；第4个季度开始时新招聘72人。目标函

数值为465.1218，比不允许解聘时数量略有减少。

题目23

23.对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型：

（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的人数成正比，推广是无限的。

（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低。

（3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用。

解答：

设t时刻采用新技术的人数为x(t).

(1)指数模型

(2)Logistic模型,N为总人数。

(3)广告等媒介在早期作用较大，它对传播速度的影响与尚未采用新

技术的人数成正比，在模型（2）的基础上，有. 题目24

24.考虑阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。

解答：

记阻尼摆周期t，摆长l，摆的质量m，重力加速度g，阻力系数k，[k]=MT-1.设,可得，做物理模拟的比例模型时，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为

t,,l,,m,,那么只要,就有.

题目25

25.某电力公司经营两台发电站，发电站分别位于两个水库上。已知发电站A可以将水库A的的水转换为400千度电能，发电站B只能将的水转换为200千度的电能。发电站A,B每个月的最大发电

能力分别是60000千度、35000千度。每个月最多有50000千度电能够以200元/千度的价格售出，多余的电能只能够以140元/千度的价格售出。水库A,B的其他有关数据如表5.（单位）.

请你为该电力公司制订本月和下月的生产经营计划。（千度是非国际单位制单位，1千度=）

表5

水库A 水库B 水库最大蓄水量2000 1500

水源流入水量本月200 40 下月130 15

水库最小蓄水量1200 800

水库目前蓄水量1900 850

解答：

假设水源流入水量是在每个月开始发生的，根据题中的数据，水库中的水应允许不发电而直接放走。

设分别为本月和下月水库A,B供应电站A,B发电的水量，

分别为本月和下月从水库A,B直接放走的水量，分别为本月和下月结束时水库A,B的蓄水量。用分别表示本月和下月以高价（200元/千度）售出的电量，分别表示本月和下月以低价（140元/千度）售出的电量。

优化目标为

约束条件有

1）每个月的发电量等于当月卖出的电量：

2）水量守恒约束：

数学建模(教案)第一章--线性规划

数学建模 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足 （目标函数） 2134m ax x x z += (1) s.t. （ 约 束 条 件 ） ?????? ?≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。

上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为 b Ax x c x T -≤-- that such min 1.3 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的标准型为 ∑==n j j j x c z 1min (3) ∑==≤n j i j ij m i b x a 1,,2,1 s.t.Λ (4) 可行解 满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x Λ=，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。

初中数学建模案例

初中数学建模案例 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

中学数学建模论文指导 中学阶段常见的数学模型有：方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型和统计模型等。我们也把运用数学模型解决实际问题的方法统称为应用建模。可以分五种模型来写。论文最好自己写，如果是参加竞赛的话从网上找的会被搜出来的。 一、建模论文的标准组成部分 建模论文作为一种研究性学习有意义的尝试，可以锻炼学生发现问题、解决问题的能力。一般来说，建模论文的标准组成部分由论文的标题、摘要、正文、结论、参考文献等部分组成。现就每个部分做个简要的说明。 1. 题目 题目是给评委的第一印象，所以论文的题目一定要避免指代不清，表达不明的现象。建议将论文所涉及的模型或所用的计算方式写入题目。如“用概率方法计算商场打折与返券的实惠效应”。 2. 摘要 摘要是论文中重要的组成部分。摘要应该使用简练的语言叙述论文的核心观点和主要思想。如果你有一些创新的地方，一定要在摘要中说明。进一步，必须把一些数值的结果放在摘要里面，例如：“我们的最终计算得出，对于消费者来说，打折比返券的实惠率提高了23%。”摘要应该最后书写。在论文的其他部分还没有完成之前,你不应该书写摘要。因为摘要是论文的主旨和核心内容的集中体现，只有将论文全部完成且把论文的体系罗列清楚后，才可写摘要。 摘要一般分三个部分。用三句话表述整篇论文的中心。 第一句，用什么模型，解决什么问题。 第二句，通过怎样的思路来解决问题。

第三句，最后结果怎么样。 当然，对于低年级的同学，也可以不写摘要。 3. 正文 正文是论文的核心，也是最重要的组成部分。在论文的写作中，正文应该是从“提出问题—分析问题—选择模型—建立模型—得出结论”的方式来逐渐进行的。其中，提出问题、分析问题应该是清晰简短。而选择模型和建立模型应该是目标明确、数据详实、公式合理、计算精确。在正文写作中，应尽量不要用单纯的文字表述，尽量多地结合图表和数据，尽量多地使用科学语言，这会使得论文的层次上升。 4. 结论 论文的结论集中表现了这篇论文的成果，可以说，只有论文的结论经得起推敲，论文才可以获得比较高的评价。结论的书写应该注意用词准确，与正文所描述或论证的现象或数据保持绝对的统一。并且一定要对结论进行自我点评，最好是能将结论推广到社会实践中去检验。 5. 参考资料 在论文中，如果使用了其他人的资料。必须在论文后标明引用文章的作者、应用来源等信息。 二、建模论文的写作步骤 1. 确定题目 选择一个你感兴趣的生活中的问题作为研究对象，并根据研究对象设置论文题目。最好是找一位或几位老师帮助安排研究课题。在确定好课题后，应该写一个写作计划给指导老师看看，并征求他们对该计划的建议。 2. 开展科研课题

数学建模教学设计说明

《函数模型的应用实例--数学建模》教学设计说明 郑州市第九中学郑敏 本节课是数学建模的入门课.数学建模是高中数学新课程中新增的研究性学习的内容，《课程标准》中没有对数学建模的内容做具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中，要求通过数学建模，了解和经历解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活的联系.而以函数为模型的应用题是中学数学中最重要的内容之一，从应用题中抽象出问题的数学特征，找出函数关系，解决实际问题也是中学数学教学的重要任务之一.所以本节课从“3.2 函数模型应用实例”中选取一道生活中的建模实例，借助图形计算器，综合分析对比一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数在实际生活中应用的优缺点，为以后的数学建模打基础，但未能使学生全面认识数学建模的全过程，于是又在本题的基础上有所改编，从实际问题出发，通过分析探究、交流合作、小组展示、总结归纳、深化反思等数学活动引导学生建立完整的数学模型解决实际问题，从而深化数学建模思想.因此本节课是从函数出发，综合运用数学知识、思想和方法，尝试数学建模，让学生从不同的角度理解数学的魅力. 高一下学期的学生学习过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数各自的函数特点，基于学校的支持，学生对于图形计算器已经有一定的基础，知道数形结合、转化化归、由特殊到一般的思想方法，但对于如何建立数学模型尚不明确.从数学活动经验上来说，学生具备了一定的数学活动经验，有主动参与数学活动的意识和小组合作学习的经验，好奇心强，学习比较积极主动. 本节课是数学建模的基础课，对学生来说是一个全新的认识，在认知方式和思维难度上对学生有较高的要求，而学生的抽象概括能力比较薄弱，学生在建立数学模型及优化数学模型的过程中会比较困难. 在领会以上精神后，我在设计本节课时注意了以下问题： 从主导思想上：本节课依据“教评学一致性”的理念进行课堂教学设计，实施目标导引教学.基于学习目标创设学习问题，激发学生的学习兴趣，基于目标设计与之匹配的评价设计和教学方案，引导学生主动参与学习过程，动手动脑动口，在学习过程中逐步锻炼分析问题、抽象概括的能力. 从内容上：本节课是数学建模的基础课，数学建模是高中数学新课程中研究性学习的内容，《课程标准》中要求通过数学建模，了解和经历解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活的联系.所以本节课从“3.2 函数模型应用实例”中选取一道生活中的建模实例，借助图形计算器，对于选择数学模型这一难点，通过分析探究、交流合作、小组展示、师生释疑等环节，设计一系列环环相扣的问题，引导学生思考、讨论、对比各自函数的特点，得出符合题意的数学模型，从而突出本节课的重点.但在实际生活中，符合题意的数学模型不一定符合实际情况，于是在题目的基础上加以修改，用实际问题去检验数学模型，不断拟合出最优的数学模型，让学生体会数学

建立数学建模案例分析

§15.4锁具装箱问题 [学习目标] 1.能表述锁具装箱问题的分析过程； 2.能表述模型的建立方法； 3.会利用排列组合来计算古典概型； 4.会利用Mathematica求解锁具装箱问题。 一、问题 某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}6个数（单位从略）中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度有两个要求：一是至少有3个不同的数；二是相邻两槽的高度之差不能为5。满足上述两个条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。销售部门在一批锁具中随意地抽取，每60个装一箱出售。 从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中不能互开（“一把钥匙开一把锁”）。但是，在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下实验结果：若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其它情况下，不可能互开。 团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们会抱怨购得的锁具中出现互开的情形。现请回答以下问题： 1．每批锁具有多少个，能装多少箱？ 2．按照原来的装箱方案，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。 二、问题分析与建立模型 因为弹子锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}这6个数中任取一数，且5个槽的高度必须满足两个条件：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为5。所以我们在求一批锁具的总数时，应把问题化为三种情况，即5个槽的高度由5个不同数字组成、由4个不同数字组成、由3个不同数字组成，分别算出各种情况的锁具个数，然后相加便得到一批锁具的总个数。在分别求这三种情况锁具个数的时候，先求出满足第1个条件的锁具个数再减去不满足第2个条件的锁具个数。在求这三种情况锁具个数的时候，主要依靠排列组合的不尽相异元素的全排列公式。 下面用一个5元数组来表示一个锁具： Key=（h1，h2，h3，h4，h5） 其中h i表示第i个槽的高度，i=1，2，3，4，5。此5元数组表示一把锁，应满足下述条件： 条件1：h i∈{1，2，3，4，5，6}，i = 1，2，3，4，5。

数学建模中常见的十大模型讲课稿

数学建模中常见的十 大模型

精品文档 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

平差数学模型与最小二乘原理电子教案

2平差数学模型与最小二乘原理

2.1 参数估计及其最优性质 几何模型：包括水准网和平面控制网（包括测角网、测边网、边角网）。每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为几何量。 在诸多几何量中，有的可以直接测量，有的是间接求出。几何模型不同，它所需要知道的元素的个数与类型也不同，目标是确定几何模型的唯一性。 1.如图2-1的三角形ABC中，为 了确定它的形状，只需要知道三个内

角中的任意两个内角的大小就可以了。它们都是同一类型的元素。

2.要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。它们中间都至少包含一条边长该情况包含角度和边长两类元素。 3. 要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素（6个坐标元素，3个内角元素，3个边长元素，3个方位角元素）中的6个不同的元素，这6个元素可以构成更多的组合，至少要包含一个点的坐标和一条边坐标方位角，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。如果A、B两点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、

两边或一边一角等。

我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素。必要观测个数用t表示。例如，确定三角形的形状，必要观测元素个数t=2；确定三角形的大小和形状，必要观测元素个数t=3；确定三角形的大小、形状、位置和方向，必要观测元素个数t=6。对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。 必要起算数据个数用d表示，水准网为1，测角网为4，测边网和边角网为3。 观测值个数用n个表示。

数学建模期末作业谈层次分析法在就业中的应用讲课稿

数学建模期末作业谈层次分析法在就业中 的应用

谈层次分析法在就业中的应用 摘要 近年高校毕业生数量急剧膨胀就业的难题似乎变得更加严峻和突出——全国就业工作座谈会传来消息，2010年应届毕业生规模是本世纪初的6倍，2011年高校毕业生人数为660万人，“十二五”时期应届毕业生年平均规模将达到近700万人。许多大学生处于就业十字路口，茫然不知所措。这种心态下的种种决策难免造成失误，所以需要一种可靠的定量的容易操作的，并且具体的有说服力的方法来帮助做出决策。本文提出了定性和定量相结合的层次分析法步骤，构成了工作满意度的评价指标体系，通过各因素重要程度比较与计算，最终确定出了6个具体指标在该体系下的权重并排序，这样在分析某种工作的满意程度时就可以按此权重进行衡量。为此我们建立了层次结构模型，做成对比较矩阵： 正互反矩阵为?????????? ????? ? ??? ?=wn wn w wn w wn wn w w w w w w w wn w w w w w w w A /...... 2/1//2........3/22/21/2/1........3/12/11/1M M M M 通过Matlab 等数学工具，得到特征向量 T w )083.0,201.0,139.0,154.0,076.0,347.0(1=，且∑==508.6)(max i i nw Aw λ，通过一致 性指标得出1016.0) 1() (max =--= n n CI λ，1.0082.024 .11016 .0<=== RI CI CR ， 如果有CI 偏差，那偏差是否在满意的一致性范围，引进平均随机一致性指标RI 。 平均随机一致性指标RI 数值

数学建模案例分析

案例分析1: 自行车外胎的使用寿命 问题： 目前，自行车在我国是一种可缺少的交通工具。它小巧、灵活、方便、易学，而且价格适中，给广大居民带来了不小的益处。但是，自行车也有令人头痛的地方，最常见的问题莫过于扎胎了。扎胎的原因有很多，但相当一部分是由于外胎磨损，致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。为了减少不必要的麻烦，如何估计自行车外胎的寿命，及时更换? 分析： 分析角度：由于题目里未明确指出我们是应从厂家角度，还是应从用户角度来考虑这个问题，因此需要我们自己做出合理判断。若从厂家角度，我们面对的应当是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。这样的估计要求一定精确度和相对明确的使用环境；而从用户角度来说，面对的仅是个人的一辆车，不需要很高的精确度，这样的寿命估计更简单，易于随时了解，下面仅从用户角度进行分析。 产品的使用者需要了解产品的寿命，是基于安全性及更换的费用来考虑的。我们将这两个标准作为主要标准来分析，首先值得注意的两个关键性问题是如何定义寿命、何时为寿命的终止。寿命的定义要做到科学，直观，有可比性，在航空工业中航天飞机的使用寿命是用重复使用的次数来衡量，而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。本题外胎的寿命亦可用时间来表征，但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关；而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系，致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较)，降低了可比性。如换成自行车的路程寿命来比较，就好得多。产品寿命是在安全性和更换费用相互制约下达到的一个点，在这个点上，外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值，更换费用(寿命越长，在一定意义上更换费用越低)也达到了最大限度的节省。 弄清了上面两个问题后，我们继续明确建立模型需要解决哪些问题及建立模型的重点难点。 自行车使用过程中，一来影响因素多，二来这些因素之间彼此相关，十分复杂，要做到比较准确地估计使用寿命，不但要对外胎的性能有相当的了解，而且对使用环境更不能忽视。当然我们由于是站在用户角度上来考虑的，相对地就可忽略一些次要的影响因素。 这样的数学模型面对着两个主要问题。一、自行车使用寿命与外胎厚度的关系，二、外胎能够抵御小石子破坏作用的最小厚度。后者可处理得相对简略些(如只考虑一块具有一般特征的小石子对外胎的破坏作用)，而重点(也是难点)是第一个问题。车重、人重、轮胎性质(力学的、热学的、甚至化学的)和自行车使用频率等都左右着它们的关系。这么多相关因素，不必一一都加以考虑(用户是不会在意这么多的)，有些因素，可以先不考虑，在模型的改进部分再作修改，采取逐步深入的方法，如：摩擦损耗有滑动摩擦和滚动摩擦损耗两种，由于滚动摩擦占用的时间(或路程)显然占绝对优势，因此可重点考虑。但滑动摩擦造成的一次损坏又比滚动摩擦大，在刹车使用过频的情况下，就不能不考虑了。 最后，需对得出的结果用简单清晰的文字进行说明，以供用户参考。 案例分析2：城市商业中心最优位置分析 问题： 城市商业中心是城市的基本构成要素之一。它的形成是一个复杂的定位过程。商业中心的选址涉及到各种因素制约，但其中交通条件是很重要的因素之一。即商业中心应位于城市“中心”，如果太偏离这一位置，极有可能在城市“中心”地带又形成一个商业区，造成重复建设。 某市对老商业中心进行改建规划，使居民到商业中心最方便。如果你是规划的策划者，如何建立一个数学模型来解决这个问题。

初一数学校本课程教案电子教案

《义务教育校本课程开发》 初一数学校本课程教案 建立一元一次方程的模型解决实际问题 教学内容：建立一元一次方程的模型解决实际问题 教学目标： 1、知识与技能： 运用一元一次方程解决实际生活中的问题，进一步体会“建模”的思想方法。2、过程与方法： （1）通过数学活动使学生进一步体会一元一次方程和实际问题的关系，通过分析问题中的数量关系，进行预测、判断。 （2）运用已学过的数学知识进行市场调查，体会数学知识在社会活动中的应用，提高应用知识的能力和社会实践能力。 3、情感、态度、价值观： 通过数学活动，激发学生学习数学的兴趣，增强自信心；进一步发展学生合作交流的意识和能力；体会数学和现实的联系；培养学生求真的科学态度。 重、难点和关键： 1、重点：经历探索具体情境中的数量关系，体会一元一次方程与实际问题之间的数量关系，会用方程解决实际问题。 2、难点：经历探索具体情境中的数量关系，体会一元一次方程与实际问题之间的数量关系，会用方程解决实际问题。 3、关键：明确问题中的已知量与未知量的关系，寻找等量关系。教具准备： 投影仪，每人一根质地均匀的直尺，一些相同的棋子和一个支架。教学过程： 教师组织学生按四人小组进行合作学习，对数学活动中的三个问题展开讨论，探究解决问题的方法，然后各小组派代表发表解法。一、活动1

一种商品售价为2.2元/件，如果买100件以上，超过100件部分的售价为2元/件，某人买这种商品共花了n 元，讨论下面的问题： （1）这个人买了这种商品多少件？（注意对n 的大小要有所考虑） （2）如果这个人买这种商品的件数恰是0.48n ，那么n 的值是多少？ 分析：（1）根据以上规定，如果买100件，需要花220元，当220 ≤n 时，这个人买了这种商品2.2n 件（即n 115），当220>n 时，这人买了这种商品的件数为（100+2220-n ）件，即220-n 件 （2）这个人买这种商品的件数恰是0.48n ，即n n 48.0115=或n n 48.0220=-，显然方程n n 48.0115=无解。解另一个方程得n=500。 二、活动2 根据国家统计局资料报告，2006年我国农村居民人均纯收入3587元,比上一年增长10.2%，扣除价格因素，实际增长7.4% 教师指出：你理解资料中有关数据的含义吗？如果不明白，请通过查阅资料或与同学探讨，弄懂它们。然后根据上面的数据，试用一元一次方程求解： （1）2005年我国农村居民人均纯收入（精确到1元） （2）扣除价格因素，2006年与2005年相比，我国农村居民人均纯收入实际增长量（精确到1元） 由学生分组合作解答： （1）设：2005年我国农村居民人均纯收入为x 元 则：（1+10.2%）x=3587 解这个方程，得：x ≈3255 因此2005年我国农村居民人均纯收入为3255元。 （2） 因为2006年与2005年相比，2006年我国农村居民人均纯收入实际增长量=2005农村居民人均纯收入?实际增长率 即：4.73255?%=240.87241≈(元) 三、活动3 布置学生运用活动前的准备的一根质地均匀的直尺，一些相同的

数学建模

承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：J20** 所属学校（请填写完整的全名）：**** 参赛队员(打印并签名) ：1. *** 2. *** 3. *** 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2014 年 9 月 15 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

摘要 论文中就题中三个问题建立了三个数据模型，分别是顾客流量与商业利润的关系，商家的最佳促销策略和顾客的最佳消费策略。不同的促销手段对于商家和顾客有不同的影响。 对于问题1，通过分析在买卖过程中的各因素之间的联系，在无促销行为的前提下，推导公式，建立模型，明确顾客流量和商业利润关系。从模型中可以看出顾客流量和商业利润总体呈正相关。对于问题2，通过收集整理现有的主要商业促销手段。如商业规模、消费水平、宗教信仰、当地经济发展水平等，建立客流量与随机客流量以及促销效果因数的模型，使得在商业利益最大化的前提下，礼品促销是最佳促销手段。问题3是通过打折促销、礼品促销、代金券促销三者比较而言，打折促销对于消费者最有利。 关键词：促销手段商业利润顾客流量

学生成绩分析数学建模优秀范文讲课教案

学生成绩分析数学建模优秀范文

2012年暑期培训数学建模第二次模拟 承诺书 我们仔细阅读了数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们的参赛报名号为： 参赛队员 (签名) ： 队员1： 队员2： 队员3：

2012年暑期培训数学建模第二次模拟 编号专用页 参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

2012年暑期培训数学建模第二次模拟 题目学生成绩的分析问题 摘要 本文针对大学高数和线代，概率论成绩进行建模分析，主要用到统计分析的知识及SPSS软件，建立了方差分析、单因素分析、相关性分析等相关模型，从而分析两个专业、四门课程成绩的显著性，以及课程之间的相关性。最后利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。 问题一：每门课程两个专业的差异性需要进行多个平均数间的差异显著性检验，首先应该对数据进行正态分布检验，结论是各个专业的分数都服从正态分布，之后可以根据Kolmogorov-Smirnov 检验（K-S检验）原理，利用SPSS 软件进行单因素方差分析，得出方差分析表，进行显著性检验，最后得出的结论是高数1、高数2、线代和概率这四科成绩在两个专业中没有显著性差异。 问题二：对于甲乙两个专业分别分析，应用问题一的模型，以每个专业不同班级的高数一、高数二、线代和概率平均数为自变量，同第一问相同的做法，得到两个专业中不同学科之间没有显著差异。 问题三：我们通过对样本数据进行Spss的“双变量相关检验”得出相关系数值r、影响程度的P值，从而来分析出高数1、高数2与概率论、现代的相关性。 问题四：利用上面数据，得到各专业课程的方差和平均值，再通过对各门课程的分析，利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。 本文针对大学甲、乙两个专业数学成绩分析问题，进行建模分析，主要用到统计分析的知识和 excel以及matlab软件，建立了方差分析、相关分析的相关模型，研究了影响学生成绩的相关因素, 以及大学生如何进行数学课程的学习。

GPS定位问题数学建模讲课讲稿

G P S定位问题数学建 模

数学建模GPS 定位问题 摘要 本次建模中要解决根据GPS 卫星位置来确定GPS 信号接收机位置的问题，在本次建立的模型中主要用到的是点定位的数学模型，用码伪距进行点定位。再用Matlab 编程解得地点位置，最后转换成其经度和纬度。 对于问题一，我们采用GPS 定位中单点定位的方法(单点定位利用一点采集的观测数据和广播星历确定点的坐标)。题目中假定了卫星所在的空间位置是准确值因此不考虑广播星历。往往伪距方程解算的基本思路是将非线性观测方程进行Taylor 级数展开至一阶,忽略二阶及以上的高阶项,得到线性观测方程。我们将 上面的每两个非线性观测方程相减消去二阶及以上的高阶项可得到4 2C 个四元一次方程。在此基础上派生出64C 个线性方程组并用2222R i z i y i x =++ 进行验证选择最符合的坐标，得到四个地点在地心空间直角坐标系的坐标是(-2179,4373,4081) ； (-2174，3,4381，4090);(-2169，4410.1，4123);(-2159， 4382.4，4142.3);再转换成经度和纬度就是(40:08:38.58167N ，116:10:14.01669E); (40:05:39.12131N ，116:23:48.72859E); (40:10:46.58408N ，116:11:20.90291E); (40:29:04.29791N ，116:13:23.03773E)然后再在地图上标出各个点的位置 对于问题二，由于添加了一个点，多出了一个数据，可以同样的继续采用上述 方法，只是每两个非线性观测方程相减消去二阶及以上的高阶项可得到5 2C 个四元一次方程。在此基础上派生出10 4C 个线性方程组并用

人教版七年级数学下册电子版教案(全册含答案)

第五章相交线与平行线 5．1相交线 5．1.1相交线 1．在具体情境中了解邻补角、对顶角，能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角．2．理解对顶角相等，并能运用它解决一些问题． 重点 邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用． 难点 理解对顶角相等的性质的探索． 一、创设情境，引入新课 引导语： 我们生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线． 本章要研究相交线所成的角和它的特征，相交线的一种特殊形式即垂直，垂线的性质，研究平行线的性质和平行线的判定以及图形的平移问题． 二、尝试活动，探索新知 教师出示一块布片和一把剪刀，表演剪刀剪布的过程． 教师提出问题：剪布时，用力握紧把手，发生了什么变化？进而使什么也发生了变化？ 学生观察、思考、回答，得出： 握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刀刃之间的角相应变小．如果改变用力方向，随着两个把手之间的角逐渐变大，剪刀刀刃之间的角也相应变大．教师提问：我们可以把剪刀抽象成什么简单的图形？ 学生回答：画成两条相交的直线，学生画直线AB、CD相交于点O，并说出图中4个角．教师提问：两两相配共能组成几对角？各对角的位置关系如何？根据不同的位置怎么将它们分类？ 学生用量角器分别量一量各角的度数，发现各对角的度数有什么关系？(学生得出结论：相邻的两个角互补，对顶的两个角相等) 学生根据观察和度量完成下表： 教师提问： 如果改变∠AOC的大小，会改变它与其他角的位置关系和数量关系吗？ 学生思考回答： 只会改变数量关系而不会改变位置关系． 师生共同定义邻补角、对顶角：

有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角． 如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角． 教师提问： 你同意下列说法吗？如果错误，如何订正？ 1．邻补角的“邻”就是“相邻”，就是它们有一条“公共边”，“补”就是“互补”，就是这两个角的另一条边在同一条直线上． 2．邻补角可看成是平角被过它的顶点的一条射线分成的两个角． 3．邻补角是互补的两个角，互补的两个角也是邻补角． 学生思考回答：1、2是对的，3是错的． 第3个应改成：邻补角是互补的两个角，互补的两个角不一定是邻补角． 教师让学生说一说在学习对顶角的概念后，通过实际操作获得的直观体验． 教师把说理过程规范地板书： 在右图中，∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD，所以∠AOC与∠BOC互补，∠AOC 与∠AOD互补，根据“同角的补角相等”，可以得出∠AOD＝∠BOC，类似地有∠AOC＝∠BOD. 教师板书对顶角的性质： 对顶角相等． 强调对顶角的概念与对顶角的性质不能混淆： 对顶角的概念是确定两角的位置关系，对顶角的性质是确定互为对顶角的两角的数量关系． 三、例题讲解 【例】如图，直线a，b相交，∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度数． 【答案】由邻补角的定义，得∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140°；由对顶角相等，得∠3＝∠1＝40°，∠4＝∠2＝140°. 四、巩固练习 1．判断下列图中是否存在对顶角． 2．按要求完成下列各题． (1)两条直线相交，构成哪两种特殊位置关系的角？指出下图中具有这两种位置关系的角．

数学建模复习题--西北农林科大学计算机系讲课稿

数学建模复习题--西北农林科大学计算机 系

10级计算机《数学模型》复习资料 西北农林科大学计算机专业 相信这些都是重点的东西，大家一定要认真复习，争取考好数模，祝大家考试顺利 第一部分（简答题） 1．叙述模型和数学模型的概念，并举例说明. （1）模型是指为了某个特定的目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 （2）对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这 一实际问题近似刻划所得的数学结构,称为此实际问题的一个数学模型. 2．写出数学建模过程流程图; 数学建模过程流程图为： 3．建立数学模型的基本步骤有哪些？ 1．模型准备(背景、目的、现象、数据、特征) 2．模型假设(合理性、简化性.但过份简单、过份详细都不对,或反映不 了原问题或无法表达模型,要充分发挥想象力、洞察力、判断力,不断修 改或补充假设) 3．模型构成(建立数学结构)

4． 模型求解(包括推理、证明、数学地或数值地求解) 5． 模型分析(数学意义分析、合理性分析、误差分析、灵敏性分析) 6． 模型检验(接受实际检验、往往在假设上) 7． 模型应用(取决于建模的目的) 4．写出5个数学模型按照应用领域分类的模型名称. 按模型的应用领域分类 数学模型 ?????????????再生资源利用模型 水资源模型城镇规划模型生态模型环境模型（污染模型）交通模型 人口模型 5．写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称. 按建模的数学方法分类数学模型 ?????????????规划论模型 概率模型组合数学模型图论模型微分方程模型几何模型 初等数学模型 6．写出5个数学模型按照建模目的分类的模型名称. 按建模目的来分类 数学模型 ???????????控制模型 决策模型优化模型 预报模型分析模型 描述模型 7. 长方形椅子摆放问题、人口问题（习题8）、习题9.{这些以小题形式出现} （1）椅子摆放问题认真看书，要知道模型的假设和模型。（6-7页）

数学建模案例

2014年河南科技大学模拟训练一 承诺书 我们仔细阅读了数学建模选拔赛的规则. 我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： C 队员签名：1. 2. 3. 日期： 2014 年 8 月 19 日

2014年河南科技大学数学建模竞赛选拔 编号专用页 评阅编号（评阅前进行编号）： 评阅记录（评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注

搜索黑匣子 摘要

一、问题重述 2014年3月8号，马来西亚航空370号班机从马来西亚吉隆坡前往中国北京途中失联，被认为是有史以来“最离奇”的飞机失联案例。空难的谜团不能解开，很大程度上取决于能不能打捞到“黑匣子”。MH370的失联，各国为此出动了25架飞机，40艘舰艇，甚至包括若干卫星。 我们要解决的问题如下： 1.我们首先将单独对船只这种搜寻工具分析，根据假设确定最后失联地点，找出大概搜索区域，确定飞机残骸和黑夹子疑似地点，利用性变形最短路径模型确定搜索完所有可疑地点的最短路径，最后求出最小风险系数下的最优搜索方案，并明确这种搜索方案的优缺点。 2.所有的飞机船舰及卫星都有一个国家统一调度，则根据卫星、飞机、船舰的各自的探索方式划分搜寻区域，进行统一分工合作，提高搜索的效率和降低搜索的费用。分别建立模型得出每种单一搜索工具的最优搜索你方案，最终利用多人TST问题计算整合出多种搜索工具共同参与下的最优搜索方案。 二、模型假设 1.马航370残骸和黑夹子落点的可疑位置已确定。 2.专家对搜索船只在搜索过程中的权重确定真是可靠。 3.船只在搜索过程中只受到文中因素的影响，其余因素影响很小。 4.在搜索过程中，风速和浪高等环境因素是不变的。 5.搜索过程中各种搜索工具不会出现故障。 6.搜救船只只能按照特定航道行驶。 7.搜索船只的设备都比较齐全，船只的类别对搜索的影响不大。 8.在搜索过程中，风速和浪高等环境因素是不变的。 9.各种搜索人员之间能够实现理想状态下的无障碍交流和信息共享。 三、符号说明 变量和缩略语定义 WC 风飘矢量位移 Vt 海流t时刻的速度 S1 只在洋流影响下的漂流位移 S0 初始位移 La1 A线上相邻顶点之间的距离 A 顶点的分组A即搜索路线A线 M 关联矩阵

初中数学建模案例

中学数学建模论文指导 中学阶段常见的数学模型有：方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型和统计模型等。我们也把运用数学模型解决实际问题的方法统称为应用建模。可以分五种模型来写。论文最好自己写，如果是参加竞赛的话从网上找的会被搜出来的。 一、建模论文的标准组成部分 建模论文作为一种研究性学习有意义的尝试，可以锻炼学生发现问题、解决问题的能力。一般来说，建模论文的标准组成部分由论文的标题、摘要、正文、结论、参考文献等部分组成。现就每个部分做个简要的说明。 1. 题目 题目是给评委的第一印象，所以论文的题目一定要避免指代不清，表达不明的现象。建议将论文所涉及的模型或所用的计算方式写入题目。如“用概率方法计算商场打折与返券的实惠效应”。 2. 摘要 摘要是论文中重要的组成部分。摘要应该使用简练的语言叙述论文的核心观点和主要思想。如果你有一些创新的地方，一定要在摘要中说明。进一步，必须把一些数值的结果放在摘要里面，例如：“我们的最终计算得出，对于消费者来说，打折比返券的实惠率提高了23%。”摘要应该最后书写。在论文的其他部分还没有完成之前,你不应该书写摘要。因为摘要是论文的主旨和核心内容的集中体现，只有将论文全部完成且把论文的体系罗列清楚后，才可写摘要。 摘要一般分三个部分。用三句话表述整篇论文的中心。 第一句，用什么模型，解决什么问题。 第二句，通过怎样的思路来解决问题。 第三句，最后结果怎么样。 当然，对于低年级的同学，也可以不写摘要。 3. 正文 正文是论文的核心，也是最重要的组成部分。在论文的写作中，正文应该是从“提出问题—分析问题—选择模型—建立模型—得出结论”的方式来逐渐进行的。其中，提出问题、分析问题应该是清晰简短。而选择模型和建立模型应该是目标明确、数据详实、公式合理、计算精确。在正文写作中，应尽量不要用单纯

数学建模习题说课材料

数学建模习题

数学建模与数学实验课程练习 练习集锦 1简述数学建模的一般过程及建模过程中需要注意的问题。 2 简述数学模型及数学建模的特点。 3 简述数学建模的常用分类方法。 4求方程 06/12625 .05.04 )(=------=x x x x f 的模最大的根的近似值（精确到小数点后两位）。 5在抢渡长江模型中，如果水流速度 1.8/v m s =为常数，人的游泳速度 1.5/u m s =为常数，江面宽度为1200H m =，终点位置在起点下游1000L m =处的条件，确定游泳者的最佳游泳路径及最短游泳时间。 6沿江的某一侧区域将建两个水厂，在江边建一个取水口。现需要设计最优的管线铺设方案，通过管线从取水口向水厂送水。水厂与江岸的位置见右图。 如果不用共用管线，城区单位建设费用是郊区的2倍。 （1） 对于最优方案，用α表示,βγ。 （2） 求最优取水口位置。 7在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵 (,0)P x

31/52a b P c d e f ????=?????? ， （1）确定矩阵P 的未知元素。 （2）求P 模最大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.6）。 8在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵 322P ????=?????? ，（1）将矩阵P 元素补全。 （2）求P 模最大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.6）。 9考虑下表数据 (1)用曲改直的思想确定经验公式形式。 （2）用最小二乘法确定经验公式系数。 10考虑微分方程