计算方法引论课后答案

第一章 误差

1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.

解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2

4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.

在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 其中

我们取前9项的乘积作为π的近似值,得

这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.

2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:

816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236

3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位

4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位

5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字?

解: 已知4311

d 10,d 1022

a b --<

?

()4332111

10100.551010222

d a b da db da db ----+=+≤+=?+?=?

所以a b +有三位有效数字;

因为0.1047571410a b ?=?,

所以a b ?有三位有效数字.

6. 设120.9863,0.0062y y ==,是经过舍入后作为12,x x 的近似值.求

12

11,y y 的计算值与真值的相对误差限及12y y ?与真值的相对误差限.

解: 已知-4-41112221211

d ,d ,d =

10,d 1022

x y x x y x x x =+=+?=?, ()4

4111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x x

x x x y --???==≈=≈? ???

;

()42222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x x

x x x y --???==≈=≈? ???

;

()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---?=+≈?+?≈?.

7. 正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm 2. 解: 设正方形面积为S,边长为a,则S=a 2.所以要使:2

d d 2d 1s a a a ==≤,则要求211

d 0.5102200

a a -≤

==?.所以边长的误差不能超过2

0.510

-?cm.

8. 用观测恒星的方法求得某地维度为4502'''(读到秒),试问:计算sin ?将有多大误差?

解: ()()1d sin cos d cos 45022???*

''?

?'''== ???

.

9 . 真空中自由落体运动距离s 与时间的关系由公式2

12

s gt =

确定,g 是重力加速度.现在假设g 是准确的,而对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小. 证明: 因为:221d d d d d d d ;2.122

s gt t gt t t s gt gt t s s t gt ??

=====

??? d s 与t

成正比,

d s s

与t 成反比,所以当d t 固定的时候, t

增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.

10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知

d x x δ=,所以ln x 的绝对误差()d d ln x x x

δ==. 11. 设x 的相对误差为%α,求n

x 的相对误差.

解: 1d d d %n n n n

x nx x n x

n x x x

α-===. 12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知34

3

V R π=

,设()d dr R R a R ==,则要使得 ()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%V V V R R R R a V =

=======,则1

1%3

a =?. 第二章 插值法与数值微分

1.

设y =

在100,121,144x =三处的值是很容易求得的,

试以这三个点建立y =的二次插值多项式,并用

,且给出误差估计.用其中的任意两点,构造线性插值函数,用得到的三个线性插值函

数,

,并分析其结果不同的原因.

解: 已知012012100,121,144;10,11,12x x x y y y ======,

建立二次Lagrange 插值函数可得:

()211510.7228L ≈=.

误差()()

()()()()2012012,,,,3!

f R x x x x x x x x x x ξξξ'''=---∈,所以

利用前两个节点建立线性插值函数可得:

()111510.7143L ≈=.

利用后两个节点建立线性插值可得:

()111510.7391L ≈=.

利用前后两个节点建立线性插值可得:

()111510.6818L ≈=.

与

,二次插值比线性插值效果好,利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值效果好.此说明,二次插值

比线性插值效果好,内插比外插效果好.

2. 利用(2.9)式证明 证明: 由(2.9)式

当0

1x x x <<时,

()()01

max x x x f f x ξ≤≤''''≤,()()()01

201101max 4

x x x x x x x x x ≤≤--≤

- 所以

3. 若()0,1,...,j x n 为互异节点,且有 证明 证明: 由于

且

()0

n

k j j j x l x =∑和k

x

都为k 次多项式,而且在k+1个不同的节点处的函数值都相同

0,1,...,k n =, 所以马上有

()0

,0,1,...,n

k k

j j j x l x x

k n =≡=∑.

4. 设给出sin x 在[],ππ-上的数值表,用二次插值进行计算,若希望截断误差小于5

10-,问函数表的步长最大能取多少?

解: 记插值函数为p(x),则

所以

()()()()11cos max sin 3!

i i i x x p x x x x x x ππ

ξ-+-≤≤--=

---

()cos 1ξ-≤;令()()()()11i i i g x x x x x x x -+=---,设1i x x th -=+,得

又()()()[]12,0,2t t t t t ?

=

--∈的最大值为10.3849??= ?

?,所以有 所以

0.0538h ≤.

5. 用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点()()()()3,1,0,2,3,2,6,10---的三次插值公式. 解: Lagrange 插值函数:

牛顿插值: 首先计算差商

也可以利用等距节点构造,首先计算差分 可得前插公式 和后插公式

6. 确定一次数不高于4的多项式()x ?,使()()()()()00,00,111,21?????''=====. 解: 利用重节点计算差商

则可构造Hermite 插值函数满足题设条件:

7. 寻找过1n +个点01,,...,n x x x 的21n +次多项式()21n H x +,满足条件: 解: 和Lagrange 插值函数的构造类似,可将插值函数写成

其中,基函数满足条件 (1)()()(),,,21n i n i h x h x P n ∈+;

(2)()()()(),,,,,0;,0n i n i n i

j ij n i j j ij

j h x h x h x h x δ

δ''====

则可由已知条件,可得

()()()()2

,,,12n i n i i i n i h x l x x x l x '??=--??;

()()()2

,,n i i n i h x x x l x '=-.

所以可得

8. 过0,1两点构造一个三次Hermite 插值多项式,满足条件: 解: 计算重节点的差商

马上可得

9. 过给定数组

(1) 作一分段线性插值函数.

(2) 取第二类边界条件,作三次样条插值多项式.

(3) 用两种插值函数分别计算75.5,78.3x x ==的函数值. 解: (1)做分段线性插值函数可得:

其中, ()[][]076 75,76;

0 75,76.x x l x x ?-∈?=?

???

()[]

[][]175 75,7677 76,77;0 75,77.

x x l x x x x ?-∈?=-∈???? (2)把已知节点值带入M 关系式可得: 由边界条件可得050M M ==,所以上面方程组变为可求解方程组

解得1

2340.0058,0.0067,0.0036,0.0071M M M M ====.

所以可得在每个区间上的三次样条函数的表达式: (3)当75.5x =时,

()()()50175.5 2.76875.5 2.83375.5 2.8005I l l =+=;

()()()()()3

0.00580.005875.575.576 2.7687675.5 2.83375.575 2.799

66s ??=

-+-+--= ???

当

78.3x =时,

()()()53475.5 2.97978.3 3.06278.3 3.0039I l

l =+=;

10. 若给出sin ,cos ,tan x x x 的函数表:

用表上的数据和任一插值公式求: (1) 用tan x 表格直接计算tan1.5695.

(2) 用sin1.5695和cos1.5695来计算tan1.5695.并讨论这两个结果中误差变化的原因. 解: 利用Lagrange 插值直接用tan 表计算得

tan1.5695819.0342874999274≈;

利用Lagrange 插值计算sin 得

sin1.56950.99999917500000≈;

利用Lagrange 插值计算cos 得

cos1.56950.00129630000000≈;

最后利用sin/cos 计算tan 得

tan1.5695771.4257309264500≈.

出现小除数,误差被放大.

11. 求三次样条函数()s x ,已知

和边界条件

解: 把表中数据带入M 关系式可得

由边界条件还可得到两个方程: 联立两个方程组可解得:

带入M 表达式便可得所求三次样条函数.

12. 称n 阶方阵()

ij A a =具有严格对角优势,若 (1) 试证明:具有严格对角优势的方阵必可逆. (2) 证明:方程组(2.62)解存在唯一.

证明: (1)设矩阵A 按行严格对角占优,如果A 奇异,则存在非零向量x 使得Ax=0,写成分量形式为

令指标0i 使得

00i x x

∞

=≠,则

因此

0000010n i i i i j j j i x a a =≠??

?-≤ ? ??

?

∑ 即

0000

10n

i i i j j j i a a =≠-≤∑

上式与矩阵按行严格对角占优矛盾,因此矩阵非奇异. (2)方程组(2.62)

由于该方程组系数矩阵为严格对角占优的方阵,所以由克拉默法则可知方程组存在唯一解.

计算方法引论课后答案.

第一章 误差 1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差. 解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2 4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生 的误差即为模型误差. 在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 12 222...q q π=? ?? 其中 11 2,3,... n q q n +?=?? ==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得 3.141587725...π≈ 这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差. 2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位 4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位 5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字? 解: 已知4311 d 10,d 1022 a b --

控制工程基础第三版机械工业出版社课后答案

控制工程基础习题解答 第一章 1-5．图1-10为张力控制系统。当送料速度在短时间内突然变化时，试说明该控制系统的作用情况。画出该控制系统的框图。 图1-10 题1-5图 由图可知，通过张紧轮将张力转为角位移，通过测量角位移即可获得当前张力的大小。 当送料速度发生变化时，使系统张力发生改变，角位移相应变化，通过测量元件获得当前实际的角位移，和标准张力时角位移的给定值进行比较，得到它们的偏差。根据偏差的大小调节电动机的转速，使偏差减小达到张力控制的目的。 框图如图所示。 角位移 题1-5 框图 1-8．图1-13为自动防空火力随动控制系统示意图及原理图。试说明该控制系统的作用情况。

该系统由两个自动控制系统串联而成：跟踪控制系统和瞄准控制系统，由跟踪控制系统 获得目标的方位角和仰角，经过计算机进行弹道计算后给出火炮瞄准命令作为瞄准系统的给定值，瞄准系统控制火炮的水平旋转和垂直旋转实现瞄准。 跟踪控制系统根据敏感元件的输出获得对目标的跟踪误差，由此调整视线方向，保持敏感元件的最大输出，使视线始终对准目标，实现自动跟踪的功能。 瞄准系统分别由仰角伺服控制系统和方向角伺服控制系统并联组成，根据计算机给出的火炮瞄准命令，和仰角测量装置或水平方向角测量装置获得的火炮实际方位角比较，获得瞄准误差，通过定位伺服机构调整火炮瞄准的角度，实现火炮自动瞄准的功能。 控制工程基础习题解答 第二章 2-2．试求下列函数的拉氏变换，假定当t<0时，f(t)=0。 (3). ()t e t f t 10cos 5.0-= 解：()[][ ] ()100 5.05 .010cos 2 5.0+++= =-s s t e L t f L t (5). ()?? ? ? ?+ =35sin πt t f 图1-13 题1-8图 敏感元件

现代控制理论课后习题答案

绪论 为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。 根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。 本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！

这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。 本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日

计算方法习题答案

计算方法第3版习题答案 习题1解答 1.1 解：直接根据定义得 *411()102x δ-≤?*411()102r x δ-≤?*3*12211 ()10,()1026 r x x δδ--≤?≤?*2*5331()10,()102r x x δδ--≤?≤ 1.2 解：取4位有效数字 1.3解：433 5124124124 ()()() 101010() 1.810257.563 r a a a a a a a a a δδδδ----++++++≤≤=?++? 123()r a a a δ≤ 123132231123 ()()() a a a a a a a a a a a a δδδ++0.016= 1.4 解：由于'1(),()n n f x x f x nx -==，故***1*(())()()()n n n f x x x n x x x δ-=-≈- 故** * ***(()) (())()0.02()r r n f x x x f x n n x n x x δδδ-= ≈== 1.5 解： 设长、宽和高分别为 ***50,20,10l l h h εεωωεεεε=±=±=±=±=±=± 2()l lh h ωωA =++，*************()2[()()()()()()]l l l h h l h h εδωωδδδωδδωA =+++++ ***4[]320l h εωε=++= 令3201ε<，解得0.0031ε≤， 1.6 解：设边长为x 时，其面积为S ，则有2()S f x x ==，故 '()()()2()S f x x x x δδδ≈= 现100,()1x S δ=≤，从而得() 1 ()0.00522100 S x x δδ≈ ≤ =? 1.7 解：因S ld =，故 S d l ?=?，S l d ?=?，*****()()()()()S S S l d l d δδδ??≈+?? * 2 ()(3.12 4.32)0.010.0744S m δ=+?=, *** ** * () () 0.0744 ()0.55%13.4784 r S S S l d S δδδ= = = ≈ 1.8 解：（1）4.472 （2）4.47 1.9 解：(1) （B ）避免相近数相减 (2)（C ）避免小除数和相近数相减 (3)（A ）避免相近数相减 (3)（C ）避免小除数和相近数相减，且节省对数运算 1.10 解 （1）357sin ...3!5!7!x x x x x =-+-+ 故有357 sin ..3!5!7! x x x x x -=-+-， （2） 1 (1)(1)1lnxdx ln ln ln N+N =N N +-N N +N +-? 1 (1)1ln ln N +=N +N +-N 1.11 解：0.00548。 1.12解：21 16 27 3102 ()()() -? 1.13解：0.000021

现代控制理论习题解答..

《现代控制理论》第1章习题解答 1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：线性系统的状态空间模型为： x Ax Bu y Cx Du =+=+ 线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和 D 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统， 而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。 1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下: 1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？ 答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于n 阶传递函数 121210 1110 ()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++， 分别有 ⑴ 能控标准型： []012 101 210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du ---????? ???????????? ???=+?? ???????? ? ?????----???? ? =+??

⑵ 能观标准型： []0011221100010 00 100010 1n n n b a b a x a x u b a b y x du ---?-?? ????? ??-????? ?????=-+???? ? ????? ??????-???? ?=+?? ⑶ 对角线标准型： []1212 001001001n n p p x x u p y c c c x du ????? ??????? ???=+?????? ????? ??????=+? 式中的12,, ,n p p p 和12,,,n c c c 可由下式给出， 12121012 1 11012 ()n n n n n n n n n b s b s b s b c c c G s d d s a s a s a s p s p s p ------++++=+=+++ +++++--- 能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。 能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。 对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。 1.4 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？ 答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。 1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项D 不等 于零，其参数如何确定？ 答: 当传递函数)(s G 的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项D 不等于零。 转移项D 的确定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数 1110 111)(a s a s a s b s b s b s b s G n n n n n n n ++++++++=---- 可得： d a s a s a s c s c s c s G n n n n n ++++++++=----0 11 10 111)( 由此得到的d 就是状态空间实现中的直接转移项D 。 1.6 在例1. 2.2处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图1.12的串联分解，试 问：若将图1.12中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？

数值分析丛书

作者：李庆扬，王能超，易大义编 出版社：清华大学出版社 出版时间：2008年12月 本书是为理工科大学各专业普遍开设 的“数值分析”课程编写的教材。其内容包 括插值与逼近，数值微分与数值积分，非 线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵 的特征值与特征向量计算，常微分方程数 值解法。每章附有习题并在书末给出了部 分答案，每章还附有复习与思考题和计算 实习题。全书阐述严谨，脉络分明，深入 浅出，便于教学。 本书也可作为理工科大学各专业研究 生学位课程的教材，并可供从事科学计算 的科技工作者参考。 作者：徐萃薇，孙绳武编著 出版社：高等教育出版社 本书为普通高等教育“十一五”国家 级规划教材。本书从服务于多层次、多 专业、多学科的教学需要出发，在选材 上考虑普适性，涉及现代数字电子计算 机上适用的各类数学问题的数值解法以 及必要的基础理论，在材料组织安排上 给讲授者根据教学要求和学生情况适当 剪裁的自由，一些内容还可作为阅读材 料。 新版全书经过整理、润色，多处内容有 所修改，乃至重写。考虑到代数计算在 应用中所占份额较大，是比较活跃的领 域，六至十章改动较大；新增共轭斜量 法、预善共轭斜量法、拟Newton法等；改进了例题设置，增加数量，加强例题间联系；新 增习题参考答案；参考文献收集了国内外内容结构与本书相近的、有影响的、包括新近面世 的一些书籍，并按大学生教材和研究生教材或专著分列，可供读者加深理解和进一步提高使 用。有些对研究工作亦不无裨益。 本书算法描述不拘一格，或用自然语言，或用某种形式语言(以描述某些细节)，便于理解， 也便于编程。本书可作为工科非计算数学专业本科生学习“计算方法”课程的教材。

《控制工程基础》王积伟_第二版_课后习题解答(完整)

第一章 3 解：1)工作原理：电压u2反映大门的实际位置，电压u1由开（关）门开关的指令状态决定，两电压之差△u＝u1－u2驱动伺服电动机，进而通过传动装置控制 大门的开启。当大门在打开位置，u2＝u 上：如合上开门开关，u1＝u 上 ，△u＝0， 大门不动作；如合上关门开关，u1＝u 下 ，△u<0，大门逐渐关闭，直至完全关闭， 使△u＝0。当大门在关闭位置，u2＝u 下：如合上开门开关，u1＝u 上 ，△u>0，大 门执行开门指令，直至完全打开，使△u＝0；如合上关门开关，u1＝u 下 ，△u＝0，大门不动作。 2)控制系统方框图 4 解：1)控制系统方框图

2)工作原理： a)水箱是控制对象，水箱的水位是被控量，水位的给定值h ’由浮球顶杆的长度给定，杠杆平衡时，进水阀位于某一开度，水位保持在给定值。当有扰动（水的使用流出量和给水压力的波动）时，水位发生降低（升高），浮球位置也随着降低（升高），通过杠杆机构是进水阀的开度增大（减小），进入水箱的水流量增加（减小），水位升高（降低），浮球也随之升高（降低），进水阀开度增大（减小）量减小，直至达到新的水位平衡。此为连续控制系统。 b) 水箱是控制对象，水箱的水位是被控量，水位的给定值h ’由浮球拉杆的长度给定。杠杆平衡时，进水阀位于某一开度，水位保持在给定值。当有扰动（水的使用流出量和给水压力的波动）时，水位发生降低（升高），浮球位置也随着降低（升高），到一定程度后，在浮球拉杆的带动下，电磁阀开关被闭合（断开），进水阀门完全打开（关闭），开始进水（断水），水位升高（降低），浮球也随之升高（降低），直至达到给定的水位高度。随后水位进一步发生升高（降低），到一定程度后，电磁阀又发生一次打开（闭合）。此系统是离散控制系统。 2-1解： （c ）确定输入输出变量（u1，u2） 22111R i R i u += 222R i u = ?-= -dt i i C u u )(1 1221 得到：11 21221222 )1(u R R dt du CR u R R dt du CR +=++ 一阶微分方程 （e ）确定输入输出变量（u1，u2） ?++=i d t C iR iR u 1 211 R u u i 2 1-=

《徐翠微计算方法引论》

第二章 插值法 知识点：拉格朗日插值法，牛顿插值法，余项，分段插值。 实际问题中，时常不能给出f （x ）的解析表达式或f （x ）解析表达式过于复杂而难于计算，能采集的只是一些f （x ）的离散点值{xi,f(xi)}(i=0,1,2,…n )。因之，考虑近似方法成为自然之选。 定义：设f （x ）为定义在区间[a ，b]上的函数，x0,x1,…,xn 为[a ，b]上的互异点，yi=f （xi ）。若存在一个简单函数?（x ），满足 （插值条件）?（xi ）=f （xi ），i=0，1，…，n 。 则称 ?（x ）为f （x ）插值函数，f （x ）为被插函数,点x0,x1,…,xn 为插值节点,点{xi,f(xi)},i=0,1,2,…n 为插值点。 于是计算f （x ）的问题就转换为计算 ?（x ）。 构造插值函数需要解决：插值函数是否存在唯一；插值函数如何构造(L 插值)；插值函数与被插函数的误差估计和收敛性。 对插值函数 ?（x ）类型有多种不同的选择，代数多项式常被选作插值函数。 P23(2.18)和(2.19)指出，存在唯一的满足插值条件的n 次插值多项式p n (x )。但是需要计算范德蒙行列式，构造插值多项式工作量过大，简单表达式不易得到，实际中不采用这类方法。 插值法是一种古老的数学方法，拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）等分别给出了不同的解决方法。 拉格朗日插值 拉格朗日（Lagrange ）插值的基本思想：把插值多项式p n (x )的构造问题转化为n+1个插值基函数l i (x)(i=0,1,…,n)的构造。 (1)线性插值 ①构造插值函数 已知函数y =f (x )的两个插值点(x 0,y 0)，(x 1,y 1)，构造多项式y =p 1(x )，使p 1(x 0)=y 0,p 1(x 1)=y 1。 p n (x )≈f (x )

现代控制理论课后习题答案

前言 本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。 本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。 书中第5、6、8章习题由高立群教授组织编选和解答；第4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、2章由郑艳副教授组织编选和解答。 由于时间比较仓促，可能存在错误，请读者批评、指正。另外有些题目解法和答案并不唯一，这里一般只给出一种解法和答案。 编者 2005年5月 第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。 图P2.1 解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。 设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则 2 12221c c c du u C R u u dt ++= (1) 1121 21c c c du u du C C dt R dt += (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：

1121121121212111 c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222 111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为： 1211 1211212121 212 1222222 21111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +?=--+?? ? =--+?? ?==-?? && 即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +???? -???? ????????=+????????????--??????? ? && []11210x y u x ?? =-+???? 2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。 1 图P2.2 解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量， 选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1 dy dt ，24dy x dt =。 根据牛顿定律对1M 有： 211311 () d x x M x Kx B dt -=--&

计算方法课程教学大纲

《计算方法》课程教学大纲 课程编号： 学时：54 学分：3 适用对象：教育技术学专业 先修课程：高等数学、线性代数 考核方式：本课程考试以笔试为主70%，兼顾学生的平时成绩30%。 使用教材及主要参考书： 使用教材： 李庆扬.《数值分析(第四版)》, 清华大学出版,2014年。 主要参考书： 1.朱建新,李有法.《高等学校教材:数值计算方法(第3版)》,高等教育出版社,2012。 2.徐萃薇,孙绳武.《计算方法引论(第4版)》,高等教育出版社,2015。 一课程的性质和任务 计算方法是教育技术学专业学生的一门专业选修课。作为计算数学的一个重要分支，它是数学科学与计算机技术结合的一门应用性很强的学科，本课程重点介绍计算机上常用的基本计算方法的原理和使用；同时对计算方法作适当的分析。 教学任务：通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理计算机常用数值分析的构造思想和计算方法。同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识分析和解决实际问题的能力。 二教学目的与要求 教学目的：通过学习使学生了解数值计算方法的基本原理。了解计算机与数学结合的作用及课程的应用性。为今后使用计算机解决实际问题中的数值计算问题打下基础。 通过理论教学达到如下基本要求。 1．了解误差的概念 2．掌握常用的解非线性方程根的方法 3．熟练掌握线性代数方法组的解法 4．熟练掌握插值与拟合的常用方法 5．掌握数值积分方法 6．了解常微分方程初值问题的数值方法 三学时分配

四教学中应注意的问题 本课程是一门理论性较强、内容较抽象的综合课程，因此面授辅导或自学，将是不可缺少的辅助教学手段，教师在教学的过程中一定要注意理论结合实际，课堂教学并辅助上机实验，必须通过做练习题和上机实践来加深对概念的理解和掌握，熟悉公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。同时应注重面授辅导或答疑，及时解答学生的疑难问题。 五教学内容 第一章绪论（误差） 基本内容: 第一节数值分析研究的对象和特点 第二节数值计算的误差 1.误差的来源与分类 2.误差与有效数字 3.数值运算的误差估计 第三节误差的定性分析与避免误差的危害 1.病态问题与条件数 2.算法的数值稳定性 3.避免误差危害的若干原则 教学重点难点: 重点：数值运算的误差估计。 难点：误差的定性分析与避免误差的危害。

计算机操作系统(第四版)课后习题答案第五章

第五章 7.试比较缺页中断机构与一般的中断，他们之间有何明显的区别？ 答：缺页中断作为中断，同样需要经历保护CPU现场、分析中断原因、转缺页中断处理程序进行处理、恢复CPU现场等步骤。但缺页中断又是一种特殊的中断，它与一般中断的主要区别是： （ 1）在指令执行期间产生和处理中断信号。通常，CPU都是在一条指令执行完后去检查是否有中断请求到达。若有便去响应中断；否则继续执行下一条指令。而缺页中断是在指令执行期间，发现所要访问的指令或数据不在内存时产生和处理的。 (2)一条指令在执行期间可能产生多次缺页中断。例如，对于一条读取数据的多字节指令，指令本身跨越两个页面，假定指令后一部分所在页面和数据所在页面均不在内存，则该指令的执行至少产生两次缺页中断。 8.试说明请求分页系统中的页面调入过程。 答：请求分页系统中的缺页从何处调入内存分三种情况： （1）系统拥有足够对换区空间时，可以全部从对换区调入所需页面，提高调页速度。在进程运行前将与该进程有关的文件从文件区拷贝到对换区。 （2）系统缺少足够对换区空间时，不被修改的文件直接从文件区调入；当换出这些页面时，未被修改的不必换出，再调入时，仍从文件区直接调入。对于可能修改的，在换出时便调到对换区，以后需要时再从对换区调入。 （3）UNIX 方式。未运行页面从文件区调入。曾经运行过但被换出页面，下次从对换区调入。UNIX 系统允许页面共享，某进程请求的页面有可能已调入内存，直接使用不再调入。 19.何谓工作集？它是基于什么原理确定的？ 答：工作集：在某段时间间隔里，进程实际所要访问页面的集合。 原理：用程序的过去某段时间内的行为作为程序在将来某段时间内行为的近似。 24.说明请求分段式系统中的缺页中断处理过程。 答：在请求分段系统中，每当发现运行进程所要访问的段尚未调入内存时，便由缺段中断机构产生一缺段中断信号，进入操作系统后由缺段中断处理程序将所需的段调入内存。缺段中断机构与缺页中断机构类似，它同样需要在一条指令的执行期间，产生和处理中断，以及在一条指令执行期间，可能产生多次缺段中断。

计算方法引论-第十三章

计算方法引论： 微分方程数值解法 ?常微分方程初值问题的数值解法?双曲型方程的差分解法 ?抛物型方程的差分解法 ?橢圆型方程的差分解法 ?有限元方法

第十三章抛物型方程差分解法?初值问题和初边值混合问题 ?微分方程的差分近似 ?边界条件的差分近似 ?几种常用的差分格式 ?差分格式的稳定性 ?二维热传导方程的交替方向法

热传导方程定解问题 ?热传导方程 ?初值问题 ?初边值问题 –u (x ,0)=?(x ), 0≤x ≤1 –Ⅰu (0,t )=g 1(t ), Ⅲu (1,t )=g 2(t ), 2 20, 0, 0≤??(,0)(), u x x x ?=<+∞110 221()() 0()()x x u t u g t x t T u t u g t x λλ==? ??? -=? ?????≤≤? ????+= ??????

一些数值微分公式 ?一阶差商 ?二阶差商 1(,)(,1)(,)(,)2tt k j u u k j u k j u k t t τ τ?+-''=-?2(,)(,)(,1)(,)2 tt k j u u k j u k j u k t t τ τ?--''=+?2 3(,)(,1)(,1)(,)26 ttt k j u u k j u k j u k t t τ τ?+--''=-?2 2 (4) 22 (,)(1,)2(,)(1,)(,)12xxxx k j u u k j u k j u k j h u x j x h ?+-+-=-?

微分方程的差分近似 ?差商代微商h =1/N ?近似解满足差分方程 –形式1 –形式2 s =τ/h 2 ?截断误差 ,2 (,1)(,) (1,)2(,)(1,)0h u k j u k j u k j u k j u k j b R h ττ+-+-+---=2 (4) 2,1(,)(,)() 212 h tt xxxx bh R u"k t u x j O h τττ=-=+ 0 22 ,1,,1,1,=+----++h u u u b u u j k j k j k j k j k τ 2 (4)2 ,1(,)(,)()212 h tt xxxx bh R u"k t u x j O h ττ τ=-=+,1,1,,1,(2)k j k j k j k j k j u u bs u u u ++-=+-+

控制工程基础课后答案

第二章 2.1求下列函数的拉氏变换 （1）s s s s F 2 32)(23++= （2）4310)(2+-=s s s F （3）1)(!)(+-= n a s n s F （4）36 )2(6 )(2++=s s F （5） 2222 2) ()(a s a s s F +-= （6）)14(21)(2 s s s s F ++= （7）52 1 )(+-= s s F 2.2 （1）由终值定理：10)(lim )(lim )(0 ===∞→∞ →s t s sF t f f （2）1 10 10)1(10)(+-=+= s s s s s F 由拉斯反变换：t e s F L t f ---==1010)]([)(1 所以 10)(lim =∞ →t f t 2.3（1）0) 2()(lim )(lim )0(2 =+===∞ →→s s s sF t f f s t )0()0()()()](['2''0 ' 'f sf s F s dt e t f t f L st --==-+∞ ? )0()0()(lim )(lim '2''0f sf s F s dt e t f s st s --=+∞ →-+∞ +∞→? 1 )2()(lim )0(2 2 2 ' =+==+∞→s s s F s f s (2)2 ) 2(1 )(+= s s F , t te s F L t f 21)]([)(--==∴ ,0)0(2)(22' =-=--f te e t f t t 又，1 )0(' =∴f 2.4解：dt e t f e t f L s F st s --?-==202)(11 )]([)( ??------+-=2121021111dt e e dt e e st s st s

计算方法引论课后答案

第一章 误差 1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差. 解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2 4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差. 在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 其中 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得 这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差. 2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位 4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位 5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字? 解: 已知4311 d 10,d 1022 a b --< ?

论文计算方法

2001—2010年粮食产量数据分析 摘要: 本文搜集了近十年的粮食产量数据，应用最小二乘法原理建立了粮食产量与粮食播种面积的数学模型。通过对模型的分析得出粮食产量变化的原因，提出保障粮食安全的一些措施，并预测了下一年的粮食产量。 关键词: 粮食产量数据；数据拟合；最小二乘法 通过上网及查阅文献，收集了近十年的粮食产量数据，应用最小二乘法原理对数据进行了处理，建立了粮食产量与粮食播种面积之间的数学模型。通过分析模型找出了影响粮食产量的主要因素，针对这些因素提出了一些保障我国粮食安全的措施。其中，本文中所用的最小二乘法原理以及数据拟合方法参考文献[1]和[4].本文数据来源于《中国农业统计年鉴》、国家统计局统计、国家发改委和科技部相关网站。 1.有关数据 2. 模型的设定及预测 2.1 模型的建立 根据上述表格中的数据，作出2001-2010年粮食产量与粮食播种面积变化图

形（如下所示）： 40000 420004400046000480005000052000 54000560002001200220032004200520062007200820092010时间(年) 粮食产量(万吨) 14 14.51515.51616.517 17.5 18播种面积(亿亩) 对比上图中两条曲线的走势可以看出粮食产量大致随着粮食播种面积的变化而变化，尤其是在2003年粮食播种面积大幅度减少的同时粮食产量也明显下降。为了进一步研究这两种量之间的关系，下面建立粮食产量与粮食播种面积之间的散点图。 2001—2010年播种面积与粮食产量散点图（如下） 40000 4500050000550006000014.5 15 15.5 16 16.5 17 粮食播种面积（亿亩） 粮食产量（万吨） 根据散点图可以看出粮食产量随着粮食播种面积的增加而增加，这两种量有一定的正相关性，因此可以把粮食播种面积作为自变量x ，粮食产量作为因变量 y ，初步构造线性函数 bx a y +=

机械控制工程基础课后答案

1-1机械工程控制论的研究对象与任务是什么? 解机械工程控制论实质上是研究机械一r_程技术中广义系统的动力学问题。具体地讲，机械工程控制论是研究机械工程广义系统在一定的外界条件作用下，从系统的一定初始条件出发，所经历的由内部的固有特性所决定的整个动态历程;研究这一系统及其输入、输出二者之间的动态关系。 机械工程控制论的任务可以分为以下五个方面: (1)当已知系统和输人时，求出系统的输出(响应)，即系统分析。 (2)当已知系统和系统的理想输出，设计输入，即最优控制。 (3)当已知输入和理想输出，设计系统，即最优设计。 (4)当系统的输人和输出己知，求系统的结构与参数，即系统辨识。 (5)输出已知，确定系统，以识别输入或输入中的有关信息，即滤波与预测。 1.2 什么是反馈?什么是外反馈和内反馈? 所谓反馈是指将系统的输出全部或部分地返送回系统的输入端，并与输人信号共同作用于系统的过程，称为反馈或信息反馈。 所谓外反馈是指人们利用反馈控制原理在机械系统或过程中加上一个人为的反馈，构成一个自动控制系统。 所谓内反馈是指许多机械系统或过程中存在的相互藕合作用，形成非人为的“内在”反馈，从而构成一个闭环系统。 1.3 反馈控制的概念是什么?为什么要进行反馈控制? 所谓反馈控制就是利用反馈信号对系统进行控制。 在实际中，控制系统可能会受到各种无法预计的干扰。为了提高控制系统的精度，增强系统抗干扰能力，人们必须利用反馈原理对系统进行控制，以实现控制系统的任务。 1.4闭环控制系统的基本工作原理是什么? 闭环控制系统的基本工作原理如下: (1)检测被控制量或输出量的实际值; (2)将实际值与给定值进行比较得出偏差值; (3)用偏差值产生控制调节作用去消除偏差。 这种基于反馈原理，通过检测偏差再纠正偏差的系统称为闭环控制系统。通常闭环控制系统至少具备测量、比较和执行三个基本功能。 1.5对控制系统的基本要求是什么? 对控制系统的基本要求是稳定性、准确性和快速性。 稳定性是保证控制系统正常工作的首要条件。稳定性就是指系统动态过程的振荡倾向及其恢复平衡状态的能力。 准确性是衡量控制系统性能的重要指标。准确性是指控制系统的控制精度，一般用稳态误差来衡量。 快速性是指当系统的输出量与输入量之间产生偏差时，系统消除这种偏差的快慢程度。

《现代控制理论》第3版课后习题答案

《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - + + - +- ) (s θ)(s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ? ? ?1 1J ? 2 J K b ? ?- 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下：

u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 1611166 13153 46 1 51 41 31 33 222 11+ - - =+-==+ + - - == =? ? ? ? ? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????????? ???????????=??????? ? ?????????? ????+?? ???????? ?????????????????????? ? ??? ? ???????? ?---- -=??????????????????????????????6543211654321111111126543 2100 0001 000000 00 0000 0001 00100000 000 000 10 x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 R1 L1 R2 L2 C U ---------Uc --------- i1 i2图1-28 电路图

机械控制工程基础课后答案-董玉红、徐莉萍主编

机械控制工程课后答案 1-1机械工程控制论的研究对象与任务是什么? 解机械工程控制论实质上是研究机械一r_程技术中广义系统的动力学问题。具体地讲，机械工程控制论是研究机械工程广义系统在一定的外界条件作用下，从系统的一定初始条件出发，所经历的由内部的固有特性所决定的整个动态历程;研究这一系统及其输入、输出二者之间的动态关系。 机械工程控制论的任务可以分为以下五个方面: (1)当已知系统和输人时，求出系统的输出(响应)，即系统分析。 (2)当已知系统和系统的理想输出，设计输入，即最优控制。 (3)当已知输入和理想输出，设计系统，即最优设计。 (4)当系统的输人和输出己知，求系统的结构与参数，即系统辨识。 (5)输出已知，确定系统，以识别输入或输入中的有关信息，即滤波与预测。 1.2 什么是反馈?什么是外反馈和内反馈? 所谓反馈是指将系统的输出全部或部分地返送回系统的输入端，并与输人信号共同作用于系统的过程，称为反馈或信息反馈。 所谓外反馈是指人们利用反馈控制原理在机械系统或过程中加上一个人为的反馈，构成一个自动控制系统。 所谓内反馈是指许多机械系统或过程中存在的相互藕合作用，形成非人为的“内在”反馈，从而构成一个闭环系统。 1.3 反馈控制的概念是什么?为什么要进行反馈控制? 所谓反馈控制就是利用反馈信号对系统进行控制。 在实际中，控制系统可能会受到各种无法预计的干扰。为了提高控制系统的精度，增强系统抗干扰能力，人们必须利用反馈原理对系统进行控制，以实现控制系统的任务。

1.4闭环控制系统的基本工作原理是什么? 闭环控制系统的基本工作原理如下: (1)检测被控制量或输出量的实际值; (2)将实际值与给定值进行比较得出偏差值; (3)用偏差值产生控制调节作用去消除偏差。 这种基于反馈原理，通过检测偏差再纠正偏差的系统称为闭环控制系统。通常闭环控制系统至少具备测量、比较和执行三个基本功能。 1.5对控制系统的基本要求是什么? 对控制系统的基本要求是稳定性、准确性和快速性。 稳定性是保证控制系统正常工作的首要条件。稳定性就是指系统动态过程的振荡倾向及其恢复平衡状态的能力。 准确性是衡量控制系统性能的重要指标。准确性是指控制系统的控制精度，一般用稳态误差来衡量。 快速性是指当系统的输出量与输入量之间产生偏差时，系统消除这种偏差的快慢程度。 2-1 dt d t u RC dt d dt d t u RC dt d t u dt t u C t u R t t u idt C t u i a i i i i )t (u )(1 )t (u )t (u )(1 )t (u ) (R ) (1)(i )(u )(1 )(.000 00000=++=+=∴=+=??同时：由电压定律有：设回流电流为

《计算方法引论》实验题目3

实验三 数值积分 实验目的: 1、了解数值积分的基本原理和方法； 2、熟练掌握复化梯形公式、复化Simpson 公式及其截断误差的分析； 实验内容：(复化梯形求积公式，根据复化梯形求积公式相关公式和原理自己 填写，以下仅作参考) 由于高阶牛顿--柯特斯公式是不稳定的，因此不可能通过提高阶的方法来提高求积精度，为了提高精度通常可把积分区间分成若干n 等份，再在每个子区间上用梯形公式即当n=2时的Newton-Cotes 公式进行计算，最后将所有区间上的梯形相加即可得该积分的近似值。 )] ()(2)([2)]()([21 1110b f x f a f h x f x f h T n k k k n k k n ++=+=∑∑-=+-=， 它的余项公式是 2 ()()12n b a R f h f η-''=- ， 实际上=-=n n T I f R )()()],(12[1,1 3+-=∈''-∑k k n k x x f h ηη, )(1)(1 0∑-=''=''n k k f n f ηη； 具体计算步骤如下 1）.给出被积函数f （x ）、区间[a ，b ]端点a ，b 和等分数n ； 2）.求出 n a b h h k a x k -= +=,*； 3）.计算)(a f 、)(b f 、 1 1 ()n k k f x -=∑； 4）. 得**21 h T n =?? ? ???+*+∑-=)()(2)(1 1b f x f a f n k k

实验题目1 用复化梯形公式计算由下表数据给出的积分值 1.5 0.3 ()d y x x ? 。 k 1 2 3 4 5 6 7 x k 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 y k 0.3895 0.6598 0.9147 1.1611 1.3971 1.6212 1.8325 若已知该表数据为函数y =x +sin x /3所产生，请将计算值与精确值作比较。 1、已知精确积分值为： ()()1.5 222 0.3 1cos 111.50.3cos1.5cos 0.3 1.374866429152632323x x ??-=---= ??? 实验题目2 利用复化梯形求积公式计算圆周率，要求达到10位有效数字(方法可参考课后第三题)。