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高二数学第九章复习讲义(1)

高二数学第九章复习（1）

直线与平面的位置关系（1）

一．复习目标：

1．掌握平面的基本性质，并会运用平面的基本性质证明点共线和线共面；

2．掌握空间两直线的位置关系，异面直线的判定方法以及异面直线所成角的概念和求法。

二．知识要点：

1．平面的基本性质：

公理1：A AB B ααα∈????∈?；公理2：

P P l P l αβαβ=?∈??

?∈??∈???

是唯一

；公理3：A B C A B C A B C ααββ?

∈???∈?

不共线重合，，，，与，，．

推论1：；推论2：；推论3：．

2．空间两直线的位置关系有．异面直线的判定定理为；两异面直线所成角的范围是； 3．求两异面直线所成角的一般步骤为：（1）选择合适的点；

（2）平移一条或两条直线；

（3）找出所求异面直线所成的角；

（4）将该角放入三角形中解三角形求角（常用余弦定理）。

4．学习空间向量的坐标表示以后，可以得到：cos ,a b

a b a b

<>=

，应该注意的是，

两个向量所成的角的范围与两条异面直线所成的角的范围不同。

三．基础训练：

1．空间两直线平行是指它们（ B ） A ．无交点 B ．共面无交点 C ．和同一条直线垂直 D ．和同一条直线所成角相等 2．经过正方体的四个顶点的平面个数为（ D ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．12 3．有以下四个命题：

(1)若a 与b 异面, b 与c 异面,则a 与c 异面; (2)若a 与b 共面, b 与c 共面,则a 与c 共面 (3)若a 与b 平行,b 与c 平行,则a 与c 平行; (4)若a 与b 相交,b 与c 相交,则a 与c 相交; 其中正确命题的个数为（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，所有各面的对角线中与AB 1成60°角的异面直线的条数（ B ） A ．2条 B ．4条 C ．5条 D ．6条

5.如图A B C '''?是用斜二测法所画ABC ?水平放置的直观图,由图判断原三角形中( C )

A C 1

A 1

γβ

αb

A ．A

B AD A

C >> B ．AB AC ⊥

C ．AB A

D AC << D ．AD AC ⊥ 6．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，,P Q 分别是1AA 和1CC 则四边形1PDQB 是菱形。

四．例题分析：

例1．已知四边形ABCD 中，//AB CD ，,,,AB BC CD DA 所在的直线分别与平面α交于点,,,E G F H ，求证：,,,E G F H 必共线。提示：用公理3和公理2

例2．如图正方体的棱长为4cm ，,M N 分别是11A B 和1CC 的中点，

（1）画出过点,,D M N 的平面与平面11BB C C 及平面11AA B B 的交线；

（2）设过,,D M N 三点的平面与11B C 交于P ，求PM PN +的值。（2

例3．已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行。

五．课后作业：班级学号姓名 1．空间三条直线,,a b c ，若//,//a b b c ，则由直线,,a b c 确定的平面的个数为（ D ） ()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 1或3

2．已知异面直线a 与b 满足,a b αβ??，且l αβ= ，则直线l 与,a b 的位置关系一

定是（ B ） ()A l 与,a b 都相交 ()B l 至少与,a b 中的一条相交

()C l 至多与,a b 中的一条相交 ()D l 至少与,a b 中的一条平行

3．空间四点中，三点共线是四点共面的充分不必要条件；无三点共线是无四点共面的必要不充分条件。

4．三个平面最多可把空间分成 8 个部分。

5．,,,E F G H 顺次是空间四边形各边的中点。（1）若AC BD ⊥，则四边形EFGH 是矩形；若AC BD ⊥且AC BD =，则四边形EFGH 是正方形．

6．在空间四边形A B C D 中，,E F 分别是,A B C D 的中点，对角线

2A C B D E ==AC 和BD 所成的角为90 ，EF 与BD 所成的角为30 ．

7．如图，已知//,,m m a αβγαβ== ，b γα= ，求证：//a b ． '

8．已知：,,,,//a b a b A P b PQ a αα???=∈，求证：PQ α?．

9．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，求异面直

线CM 与D

1N 所成角的正弦值。

答案：9

（余弦值为：19-）

高中数学全套资料

高三数学二轮复习全套资料高中数学第一章-集合考试容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑知识要点一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集；如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，.

[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （注：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ? ? ?=-=+1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题. 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ② 且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3 x = 1或y = 2. 2 1≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小围推出大围；大围推不出小围. 3. 例：若255 x x x 或，?. 4. 集合运算：交、并、补. {|,}{|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律（1）包含关系： ,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ???????????C （2）等价关系：U A B A B A A B B A B U ??=?=?= C （3）集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==

高二数学复习讲义三

高二数学复习讲义（3） ——《导数及其应用》 <知识点> 1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。如一物体的运动方程是2 1s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数，记作 ()0 lim x y f x y x ?→?'='=? ()() lim x f x x f x x ?→+?-=?，导函数也简称为导数。 3、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率()() 00f x x f x y x x +?-?= ? ；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=? 。 4、导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点 ()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是 ()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x '。 5、导数的运算法则：（1）常数函数的导数为0，即0C '=（C 为常数）；（2） ()()1n n x nx n Q -'=∈，与此有关的如下：( ) 112 2 11,x x x x ' ' -????='=-'== ? ?????；（3）若(),()f x g x 有导数，则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；②[()]()C f x Cf x ''= 。 6、多项式函数的单调性：（1）多项式函数的导数与函数的单调性： ①若()0f x '>,则()f x 为增函数；若()0f x '<,则()f x 为减函数；若()0f x '=恒成立,则()f x 为常数函数；若()f x '的符号不确定,则()f x 不是单调函数。 ②若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递增，则()0f x '≥，反之等号不成立；若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递减，则()0f x '≤，反之等号不成立。（2）利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求()f x '；（2）求方程()0f x '=的根，设根为12,,n x x x ；（3）12,,n x x x 将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断()f x '的符号，由此确定每一子区间的单调性。如设函数cx bx ax x f ++=2 3 )(在1,1-=x 处有极值，且2)2(=-f ，求)(x f 的单调区间。（答：递增区间（－1,1），递减区间(),1,(1,)-∞-+∞） 7、函数的极值：

高二年级数学排列组合复习讲义

排列、组合 1．排列、组合的定义排列的定义从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组 2．排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n 个不同元素中取出 m (m ≤n )个元素的所有排列的个数从n 个不同元素中取出 m (m ≤n )个元素的所有组合的个数公式 A m n ＝n (n －1)(n －2)·…·(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！ C m n ＝A m n A m m ＝ n (n －1)(n －2)·…·(n －m ＋1) m ！＝ n ！ m ！(n －m )！性质 A n n ＝n ！，0！＝1 C m n n ＝C n －m n ， C m n ＋C m － 1n ＝C m n ＋1， C n n ＝1，C 0n ＝1 概念方法微思考 1．排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合． 2．排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？提示 (1)排列数与组合数之间的联系为C m n A m m ＝A m n . (2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．

题组二教材改编 2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144 B．120 C．72 D．24 3．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为() A．8 B．24 C．48 D．120 4．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是________．题组三易错自纠 5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有() A．192种B．216种C．240种D．288种 6．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．排列问题 1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有() A．96个B．78个C．72个D．64个 2．(2020·惠州调研)七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是() A．3 600 B．1 440 C．4 820 D．4 800 3．3名女生和5名男生站成一排，其中女生排在一起的排法种数有________．思维升华(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． (2)常见排列数的求法为：①相邻问题采用“捆绑法”．②不相邻问题采用“插空法”．③有限制元素采用

高二数学讲义四点共圆

高二数学竞赛班二试平面几何讲义第五讲四点共圆（一）班级姓名一、知识要点： 1. 判定“四点共圆”的方法: （1)若对角互补，则四点共圆；（2）若线段同一侧的两点对线段的张角相等，则四点共圆；（3）圆的割线定理成立，则四点共圆；（4）圆的相交弦定理成立，则四点共圆； 2. “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路. 二、例题精析：例1. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK. 求证：∠DMA ＝∠CKB. （第二届袓冲之杯初中竞赛） A B C D K M ··

例2.给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q 四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克) 例3．A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC， △OCA的外心.求证：O，O1，O2， O3四点共圆. (第27届莫斯科数学奥林匹克) A B C K M N P Q B′ C′ A B C O O O O 1 2 3 ？？

三、精选习题： 1．⊙O1交⊙O2于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A 交⊙O1于D点.求证：点A是△BCD的内心. 2．△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.

高二数学教案：9复习讲义(4)

高二下学期数学第九章复习（4）空间向量的（坐标）运算（2）一、基础训练： 1．已知空间三点的坐标为)2,5,1(-A 、)1,4,2(B 、)2,3,(+q p C ，若A 、B 、C 三点共线，则=p 3 ，=q 2 ． 2．在平行六面体1111D C B A ABCD -中， 4=AB ，3=AD ，51=AA ，o BAD 90=∠， o DAA BAA 6011=∠=∠，则1AC ． 3．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()|||| AB AC OP OA AB AC λ=++， [0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ?的（ B ） ()A 外心 ()B 内心 ()C 重心 ()D 垂心 4．若(1,1,3)A m n +-，(2,,2)B m n m n -，(3,3,9)C m n +-三点共线，则m n +=0． 5．已知(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C -，若||3a =且,a AB a AC ⊥⊥，则a 的坐标为 ()()1,1,1,1,1,1---． 6．已知,是空间二向量，若||3,||2,||7a b a b ==-= ，则a 与b 的夹角为60． 7．已知向量)3,2,1(-=a ，)1,1,1(=b ，则向量a 在向量b 方向上的射影向量的模为 3 ．二、例题分析：例1．在平行四边形ABCD 中，1==AC AB ，090=∠ACD ，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成060角，求B 、D 间的距离．（答案：2, ）例2．在矩形ABCD 中，已知1=AB ，a BC =，⊥PA 平面ABCD ，2=PA ，若BC 边上存在唯一一点Q ，使得DQ PQ ⊥，M 是AD 上一点，M 在平面PQD 上的射影恰好是 PQD ?的重心，求线段AM 的长度及M 到平面PQD 的距离．（答案：2 3 ） P A B C D M

高二数学讲义：直线与方程

讲义：直线与方程内容讲解： 1、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为α() 0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα??=≠ ?? ?.当2 π α=时，斜率不存在. （2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率21 2121 ()y y k x x x x -=≠-. 2、两直线的位置关系：两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则：（1）1l ∥2l ?12k k =且12b b ≠；（2）12121l l k k ⊥??=-；（3）1l 与2l 重合?12k k =且12b b = 3、直线方程的形式：（1）点斜式：()00y y k x x -=-（定点，斜率存在）（2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距）（3）两点式： 11 21212121 (,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--（两点）（4）一般式：( ) 22 00x y C A B A +B += +≠ （5）截距式： 1x y a b +=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距） 4、直线的交点坐标：设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=，则：（1）1l 与2l 相交1122A B A B ? ≠；（2）1l ∥2l 111 222 A B C A B C ?=≠；（3）1l 与2l 重合

111 222 A B C A B C ? ==. 5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y 间的距离公式2 2 122121()()PP x x y y = -+- 原点()0,0O 与任一点(),x y P 的距离22OP x y = + 6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=的距离002 2 Ax By C d A B ++= + （1）点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax C d A += （2）点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By C d B += （3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离2 2 C d A B = + 7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=间的距离122 2 C C d A B -= + 8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为 ()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈ 9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称：（1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012 022 x x x y y y +?=??? +?=?? （2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则： a 、0B =时，有 122x x C A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y y C B +=-且12x x =

人教版高二数学教案

【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了人教版高二数学教案,希望能给大家带来帮助! 一、教学目标根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点,依据新课程标准要求,确定本节课的教学目标如下: (1知识与技能目标: 1、了解微积分基本定理的含义; 2、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分. (2过程与方法目标:通过直观实例体会用微积分基本定理求定积分的方法. (3情感、态度与价值观目标: 1、学会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,提高理性思维能力; 2、了解微积分的科学价值、文化价值. 3、教学重点、难点重点:使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:了解微积分基本定理的含义. 二、教学设计复习:1. 定积分定义: 其中 --积分号, -积分上限, -积分下限, -被积函数, -积分变量, -积分区间

2.定积分的几何意义:一般情况下,定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和,在轴上方的面积取正号,在轴下方的面积去负号. 曲边图形面积: ; 变速运动路程: ; 3.定积分的性质: 性质1 性质2 性质3 性质4 二. 引入新课: 计算 (1 (2 上面用定积分定义及几何意义计算定积分,比较复杂不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的比较一般的方法。问题: 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t时物体所在位置为S(t, 速度为v(t( ,则物体在时间间隔[a,b]内经过的路程可用速度函数表示为。另一方面,这段路程还可以通过位置函数S(t在[a,b]上的增量S(b-S(a来表达,即s= = = S(b-S(a 而。推广: 微积分基本定理:如果函数是上的连续函数的任意一个原函数,则

高二数学必修二复习讲义

高二数学必修二复习讲义（九）一．解答题（每小题5分，共70分） 1. 过点(2,-3),在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 . 2.棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 3.动圆2 2 2 2220x y x k k +--+-=的半径的取值范围是__________. 4.如图所示,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧棱PA=a, ,则它的5个面中互相垂直的面有__________对. 5. 过P(0,4)及Q(3,0)两点,且在x 轴上截得的弦长为3的圆的方程是 . 6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ____ cm 3． 7. 若直线y=kx-1 与曲线y =有公共点,则k 的取值范围是 . 8．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为 33 4，则它的体积为 . 9.把半径为3cm ,中心角为π32 的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为：__________． 10. 过点(1A , 作圆22 2120x y x ++--=的弦,其中长度为整数的弦共有条. 11.已知点P 在直线x+2y-1=0上,点Q 在直线x+2y+3=0上,PQ 的中点为0(M x 0)y ,,且002y x >+,则 00 y x 的取值范围为 . 12.设m 、n 是两条不同的直线α,、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是___________(填序号). ①m n m n αβαβ⊥,?,⊥?⊥ ②α∥m n βα,⊥,∥m n β?⊥ ③m n αβα⊥,⊥,∥m n β?⊥ ④m n m n αβαββ⊥,?=,⊥?⊥ ⑤若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内无数条直线. 13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ___ ． 14.设直线系M:xcos θ+ (y-2)sin θ =1(02θ≤≤π),对于下列四个命题: ①存在一个圆与所有直线相交; ②存在一个圆与所有直线不相交; ③存在一个圆与所有直线相切; ④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等. 其中真命题的代号是 ___ .(写出所有真命题的代号) 二．解答题（共90分） 15.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AB 、BC 的中点. （1）试判截面MNC 1A 1的形状，并说明理由；（2）证明：平面MNB 1⊥平面BDD 1B 1. 16.在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x -=相切．（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求?的取值范围．

高中数学立体几何学科老师辅导讲义

北辰教育学科老师辅导讲义

V πr 2 h(即πr 2 l) 31πr 2 h 31πh(r 21+r 1r 2+r 2 2) 3 4πR 3 表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台上、下底面半径，R 表示半径。四．题型解析：题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 。（1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。图1 图2 题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（） A ．2 3 B ．3 2 C ．6 D ． 6

图

图图图

题型8：球的体积、表面积例15．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积。点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。例16．如图所示，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积。点评：本题也可用补形法求解。将P —ABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R= 2 3 a ,下略。

高二数学：数列(讲义)

高考数学基础知识复习：数列概念知识清单 1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； ③ 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替 ()f n ，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。（6）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 课前预习 1.（04 ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S =2 ) 13(1-n a （对于所有1≥n ），且544=a ，则 1a 的数值是 2．（05，14）设平面有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f （用n 表示）。

高二数学双曲线讲义

高二年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间： 11.23 一、知识点讲解（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

（3）双曲线的渐近线： ①求双曲线12 2 22=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线122 22=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x ；（4）等轴双曲线为2 22t y x =-，其离心率为2 （4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12 222 >>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设双曲线)0,0(1222 2 >>=-b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、例题讲解。例1、如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（）（A ）3 （B ）5 （C ） 2 5 （D ）31+ 例2、设P 为双曲线2 2 112 y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（） A ． B ．12 C. D ．

高二数学期末复习知识点总结(完整资料)

高二数学期末复习知识点总结一、直线与圆： 1、直线的倾斜角α的范围是[0,π）在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； 2、斜率：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k =tan α. 过两点（x 1,y 1）,(x 2,y 2)的直线的斜率k=( y 2-y 1)/(x 2-x 1)，另外切线的斜率用求导的方法。 3、直线方程：⑴点斜式：直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为 00()y y k x x -=-, ⑵斜截式：直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+ 4、111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,①1l ∥2l 21k k =?,21b b ≠； ②12121l l k k ⊥?=-. 直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：（1）平行? A 1/A 2=B 1/B 2 注意检验（2）垂直? A 1A 2+B 1B 2=0 5、点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式d 两条平行线 10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离是d = 6、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=.⑵圆的一般方程：22 0x y Dx Ey F ++++= 注意能将标准方程化为一般方程 7、过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x 轴垂直的直线. 8、直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.①d r >?相离 ②d r =?相切 ③d r b>0)注意还有一个;②定义: |PF 1|+|PF 2|=2a>2c ； ③ e= 22a b 1a c -= ④长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ； a 2=b 2+c 2 ； 2、双曲线：①方程1b y a x 22 22=-(a,b>0) 注意还有一个；②定义: ||PF 1|-|PF 2||=2a<2c ； ③ e=22 a b 1a c +=；④实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ；渐进线0b y a x 2222=-或x a b y ±= c 2=a 2+b 2 3、抛物线：①方程y 2 =2px 注意还有三个，能区别开口方向； ②定义:|PF|=d 焦点F(2 p ,0),准线 x=-2p ；③焦半径2 p x AF A +=; 焦点弦AB ＝x 1+x 2+p ； 4、直线被圆锥曲线截得的弦长公式： 5、注意解析几何与向量结合问题：1、11(,)a x y =r ,22(,)b x y =r . (1)1221//0a b x y x y ? -=r r ； (2)121200a b a b x x y y ⊥??=?+=r r r r . 2、数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b ，即1212||||cos a b a b x x y y θ?==+r r r r 3、模的计算：|a |=2 a . 算模可以先算向量的平方 4、向量的运算过程中完全平方公式等照样适用：如( ) a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r

高中数学导数练习题分类练习讲义

导数专题经典例题剖析考点一：求导公式。例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是。解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22 y x =+，则(1)(1)f f '+= 。解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1 (1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线32 242y x x x =--+在点(1 3)-，处的切线方程是。解析：443'2 --=x x y ，∴点(1 3)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00 ≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。

解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02 030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在() 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 2632302 0020+-=+-x x x x ，整理得：03200=-x x ，解得：2 3 0=x 或00=x （舍），此时，830- =y ，41-=k 。所以，直线l 的方程为x y 4 1 -=，切点坐标是?? ? ??-83,23。答案：直线l 的方程为x y 41- =，切点坐标是?? ? ??-83,23 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。解析：函数()x f 的导数为()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'a 时，函数()x f 在R 上存在增区间。所以，当3->a 时，函数()x f 在 R 上不是单调递减函数。综合（1）（2）（3）可知3-≤a 。

高中数学全套讲义选修2-3 排列中等教师版

目录考点一：排列 (2) 题型一、排列数计算 (3) 题型二、排列在实际问题中的应用 (5) 课后综合巩固练习 (6)

考点一：排列排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2) (1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．排列组合一些常用方法 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏． 3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． 4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列． 5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有1 1m n C --． 7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．实际问题的解题策略排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

艺考生高考数学总复习讲义

2015艺考生高考数学总复习讲义第一章、集合基本运算一、基础知识： 1.元素与集合的关系:用∈或?表示； 2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 3.集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2},表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线； 4.集合的表示法： ={0，1，2，3，…}； ①列举法：用来表示有限集或具有显着规律的无限集，如N + ②描述法：一般格式：{} ∈，如：{x|x-3>2}， () x A p x {(x,y)|y=x2+1}，…；描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合 ③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N；正整数集*N N 或；整数集Z； +

有理数集Q 、实数集R; 5．集合与集合的关系:用?，≠?，=表示;A 是B 的子集记为A ?B ；A 是B 的真子集记为A ≠?B 。常用结论：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ；如果A B ?，B C ?， A C ?那么. ④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个. 6．交集A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ?A ｝，集合U 表示全集. 7.集合运算中常用结论: ;A B A B A ??=A B A B B ??= 注：本章节五个定义 1.子集定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，

高中数学同步辅导讲义 1.1.1集合

集合基本概念及题型分类学生用讲义一、基本知识 1.1.1 集合的相关概念 (1) 集合、元素的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就是这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。构成集合的每个对象叫做集合的元素。 (2) 元素用小写字母Λ,,,c b a 表示；集合用大写字母Λ,,,C B A 表示。 (3) 不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ。空集是一个特殊又很重要的集合，很多问题的考虑，要注意空集的情况，这是容易忽略的问题，在学习中还要记住常用集合的记法，在今后的学习中使用频率较高，如实数集和整数集的记号，正整数集和自然数集的记号。 (4) 集合的分类： ①按照集合中元素个数的多少，可分为???无限集有限集集合； ②按照集合中元素形式的不同，可分为? ??点集数集集合； ③集合还可以分为???集不可列集可列集合。 (5) 元素的性质： ①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可。也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在集合中就确定了。例如，“山东的地级市”构成一个集合，济南、青岛、烟台、临沂在这个集合中，北京、南京……不在这个集合中；“比较大的数”不能构成一个集合，因为组成它的元素是不确定的。 ②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个，也就是说集合中的元素是不重复出现的。例如：good 中的字母构成的集合为},,{d o g ，而不是},,,{d o o g 。集合的三个特性中，互异性往往是我们考虑不周的地方，如含字母的集合中，求出字母的值，要代回原来的集合中检验。 ③无序性：集合中的元素是无次序的，也就是说只要两个集合中的元素相同，这两个集合就相等。例如：},,{},,{},,{a b c c a b c b a ==。 (6) 常见集合的表示 1.1.2 集合与元素的关系元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种，如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作A a ∈，a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于A ，记作A a ?。 1.1.3 集合的表示法 a) 例举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法例如：方程062=--x x 的解的集合，可表示为}3,2{-，也可以表示为}2,3{-；又如方程组?? ?=-=+0 2y x y x