全国高考文科数学试题及答案全国卷

2017年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A ?B 中元素的个数为 A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图

.

根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加

C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．已知4

sin cos 3

αα-=

，则sin 2α= A ．79

-

B ．29

-

C ．

29

D ．

79

5．设x ，y 满足约束条件32600

0x y x y +-≤??

≥??≥?

，则z =x -y 的取值范围是 A ．–3,0]

B ．–3,2]

C ．0,2]

D ．0,3]

6．函数f (x )= sin(x +

3π)+cos(x ?6

π

)的最大值为

A ．

6

5

B ．1

C ．

D ．

7．函数y =1+x +

2sin x

x

的部分图像大致为 A ． B ．

C ．

D ．

8．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π

B ．

3π

4

C ．

π2

D ．

π4

10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则

A ．11A E DC ⊥

B ．1A E BD ⊥

C ．11A E BC ⊥

D ．1A

E AC ⊥

11．已知椭圆C ：22

221x y a b

+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与

直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为

A ．

6 B ．

3

C ．

23

D ．13

12．已知函数2

1

1()2()x x f x x x a e

e --+=-++有唯一零点，则a =

A ．12

-

B ．13

C ．

12

D ．1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a ⊥b ，则m = .

14．双曲线22

219x y a -

=（a >0）的一条渐近线方程为35

y x =，则a = . 15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。已知C =60°，b =6，c =3，则A =_________。 16．设函数10()20x x x f x x +≤?=?>?，，，，

则满足1

()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17．（12分）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++

+-=.

（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ??

?

?+??

的前n 项和.

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温 10，15）

15，20） 20，25） 25，30） 30，35）

35，40）

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．

19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．

（1）证明：AC ⊥BD ；

（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．

20．（12分）

在直角坐标系xOy 中，曲线y =x 2

+mx –2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；

（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.

21．（12分）已知函数()f x =ln x +ax 2+(2a +1)x ．

（1）讨论()f x 的学%单调性； （2）当a ﹤0时，证明3

()24f x a

≤--．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,

,x t y kt =??=?

（t 为参数），直线l 2的参数方程为

2,,x m m m y k =-+??

?

=??

（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ)

，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.

23．选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数()f x =│x +1│–│x –2│.

（1）求不等式()f x ≥1的解集；

（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围.

一、选择题：

1．B 2．B 3 A 4 A 5．B 6 A 7．D 8．D 9．B. 10．C 11．A 12．C 二、填空题

13．2 14．5 15．75°16．1(,)4

-+∞ 三、解答题： 17．

18．解：（1）需求量不超过300瓶，即最高气温不高于C 25，从表中可知有54天， ∴所求概率为5

3

9054==

P . （2）Y 的可能值列表如下：

最高气温

10，15）

15，20）

20，25） 25，30） 30，35） 35，40） Y 100- 100-

300

900

900

900

低于C

20：100445022506200-=?-?+?=y ；

)25,20[：300445021506300=?-?+?=y ；

不低于C 25：900)46(450=-?=y ∴Y 大于0的概率为5

19016902=+=P .

19．（1）证明：取AC 中点O ，连OB OD , ∵CD AD =，O 为AC 中点， ∴OD AC ⊥，

又∵ABC ?是等边三角形， ∴OB AC ⊥，

又∵O OD OB = ，∴⊥AC 平面OBD ，?BD 平面OBD ， ∴BD AC ⊥.

20．解：(1)设()()12,0,,0A x B x ，则12,x x 是方程2

20x mx +-=的根，

所以1212,2x x m x x +=-=-，

则()()1212,1,112110AC BC x x x x ?=-?-=+=-+=-≠， 所以不会能否出现AC ⊥BC 的情况。

（2）解法1：过A ，B ，C 三点的圆的圆心必在线段AB 垂直平分线上，设圆心

()

00,E x y ，则

12022x x m x +==-，由EA EC =得()2

2

22

1212100+122x x x x x y y +????-+=+- ? ?

????，化简得

1201122x x y +==-，所以圆E 的方程为2222

1112222m m x y ????????+++=-+-- ? ? ? ?

?

???????， 令0x =得

121,2

y y ==-，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为

()123

--=，所以

所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值

解法2：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，

由122x x =-可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得122OD OC OA OB x x ===， 又1OC =，所以2OD =，

所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为3OC OD +=，为定值.

21．解：（1）)

0()

1)(12(1)12(2)('2>++=+++=x x x ax x x a ax x f

当0≥a 时，0)('≥x f ，则)(x f 在),0(+∞单调递增

当0

单调递增，在),21

(+∞-a

单调递减. （2）由（1）知，当0

f x f -= 121)21ln()243()21(++-=+---a

a a a f ，令t t y -+=1ln （021

>-=a t ） 则011

'=-=t

y ，解得1=t

∴y 在)1,0(单调递增，在),1(+∞单调递减 ∴0)1(max ==y y ，∴0≤y ，即)243()(max +-≤a x f ，∴243

)(--≤a

x f . （二）选考题：

22．（1）直线的普通方程为(2)y k x =- 直线的普通方程为2x ky =-+ 消去k 得 2

2

4x y -=， 即C 的普通方程为2

2

4x y -=.

（2）化为普通方程为2x y +=

联立22

24

x y x y ?+=??-=?? 得 322

22

x y ?=????=-?? ∴2

2

2

182

544

x y ρ=+=

+= ∴与C 的交点M 的极径为5. 23

（2）原式等价于存在x R ∈，使

2()f x x x m -+≥

成立，即 2

max [()]f x x x m -+≥

设2

()()g x f x x x =-+

由（1）知 22

23,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ?-+-≤-?=-+--<

当1x ≤-时，2

()3g x x x =-+- 其开口向下，对称轴1

12

x =

>- ∴()(1)1135g x g ≤-=---=-

当12x -<<时 2

()31g x x x =-+-

其开口向下，对称轴为32

x = ∴3995()()12424

g x g ≤=-

+-= 当2x ≥时，2

()3g x x x =-++ 其开口向下，对称轴为1

2

x =

∴()(2)4231g x g ≤=-++= 综上 max 5()4

g x =

∴m 的取值范围为 5(,]4

-∞.