在平行六面体中巧解四面体问题

O

A B C D E C B

A S

F

z 四面体问题求解中的“嵌”与“补”

江苏省姜堰中学 张圣官（225500）

四面体（即三棱锥）是立体几何中最基本的一个几何体，而它又是与平行六面体密切相关的。有些四面体问题，若将之放到平行六面体背景中，则往往能显现其中隐含的线面关系，从而使问题获得优解。本文通过事例重点说明在正方体或长方体中如何巧解相关的四面体问题。

1． 将四面体“嵌入”到平行六面体中

我们知道，任何一个四面体都可以“嵌入”到一个平行六面体中，而使四面体的六条棱分别是平行六面体六个面的一条面对角线。例如，在证明“四面体顶点到对面三角形重心的四条连线交于一点”（此即为四面体重心）时，实施这种“嵌入”后，问题就转化为论证“平行六面体四条体对角线交于一点”，这就容易多了，而且易得四面体重心把四条连线都

分成3：1的两部分。下面看几例这种“嵌入”的应用。

例1（2000年全国高中数学联赛题）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是____________________。 分析：将正四面体ABCD “嵌入”到正方体中，使正四

面体的六条棱分别是正方体六个面的面对角线（如图1），则

球O 与正四面体的六条棱都相切等价于球O 与正方体的六个 面都相切。易知正方体棱长为

a 2

2，所以球半径为

a 4

2，故 （图1）

球的体积为36

3334

a R ππ=

。

例2（1990年全国高考题）正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） A 900 B 600 C 450 D 300

分析：本题的正三棱锥S-ABC 即为正四面体，将正 四面体SABC “嵌入”到正方体中，使正四面体的六条棱

分别是正方体六个面的面对角线（如图2），易知EF 在正

方体的两底面中心连线上，与正方体的一条侧棱平行。而 SA 与该侧棱所成角是450

，故异面直线EF 与SA 所成的 角等于450，选（C ）。

（图2）

例3 四面体ABCD 中，AB=CD=5，BC=AD=41，BD=AC=34，求此四面体的

体积。

分析：本题四面体ABCD 的面积可求，但高的位置

不易确定，直接求体积有一定困难。注意到四面体ABCD

的相对棱相等的条件，联想到长方体相对表面的对角线相等这一性质，故可补成长方体解题。 解：将四面体ABCD “嵌入”到长方体中，设长方体

的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则有

（图3）

??

???=+=+=+342541222

222x z z y y x ?????===∴3

45z y x ∴20)(43

1

21

31==

??-=-xyz xyz xyz V BCD A

即四面体ABCD 的体积为20立方单位。

例 4 设正四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上，每两个相邻平面间的距离都是h ，求这个四面体的棱长。

分析：将棱长为a 的正四面体A 1C 1BD “嵌入”到棱长为

a 2

2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，

（如图4）。设E 、F 、M 、N 分别是C 1D 1、CD 、A 1B 1、AB 的中点，那么平面A 1EFA

与平面C 1MNC 是适合题设的两个平面（另两个平面分别过B 、D 且与这两平面平行），这四个平面与正方体的上下底面垂直。

因为BC=

a 2

2，BN=

a 4

2，所以CN=

a 4

10， （图4）

在直角三角形BCN 中，B 到CN 的距离为a a a h 4

10422

2

?= ，

因此所求四面体棱长为h a 10= 。

2．将四面体补成平行六面体

以四面体过一顶点的三条棱为基底，可以将四面体补成一个平行六面体，而使四面体成为平行六面体的“一角”。特别是，当题设给出的四面体有共点的三条棱两两垂直时，可以将之补成正方体或长方体，从而有利于问题的解决。

例5（2000年上海高考题）如图5所示，四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB=BC=2，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为

10

10，求四面体

ABCD 的体积。

分析：因为四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂

直，所以可把AB 、BC 、BD 视为长方体一角的三条棱，将 （图5） 四面体ABCD 补成长方体CFAB-GHQD 。（如图6）

解：连结GF 、BF ，则∠GFB 就是异面直线AD 与BE 所成的角。

设BD=x,那么BG 2=GF 2=4+x 2, BF 2=8， 根据余弦定理得，

4

82484cos 2

22+??--++=

∠x x x GFB

44

82810

102=?=

∴

+??x x （图6）

∴V 四面体 =

386

1

422=??? 。

A

B

S

C

M

N

例6 如图7，在正三棱锥S-ABC 中，M 、N 分别为棱SC 、 BC 的中点，并且MN ⊥AM ，若侧棱长SA=32，则正三棱 锥S-ABC 的外接球的表面积为

A π12

B π36

C 32π

D π48

分析：由条件中的MN ⊥AM ，可以推得AM SB ⊥。 （图7）

又由正三棱锥S-ABC 中对棱互相垂直，得AC SB ⊥。所以SB ⊥平面SAC ，从而该正三棱锥的三个顶角都是直角。将该三棱锥补成正方体，使S 成为正方体的一个顶点，则正三棱锥S-ABC 的外接球也即是正方体的外接球，根据632332=?=?=

SA R 得，R=3，

所以正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为ππ3642

=R ，结果选（B ）。

棱柱、棱锥和棱台的结构特征

教案 教学过 （课前检测、预习新知、课 学、激励环节设计、随堂练习、课堂检测或课后巩固）【课前检测】 【预习新知】 【课堂导学】 [情境导学]观察下面四个几何体，这些几何体都是多面体．那么多面体有怎样的结构特征？本节我们就来研究这个问题． 探究点一多面体及多面体的有关概念

1．多面体 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体． (2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体． 探究点二棱柱的结构特征 2．棱柱 (1)棱柱的主要特征性质： ①有两个互相平行的面； ②其余各面都是四边形，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行． (2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱的高． (3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (5)底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体． 例1下列命题中正确的是() A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

7．正三棱柱ABC—A′B′C′的底面边长是4cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2cm，试求截面BCD的面积． 解如图，取BC的中点E， 探究点三棱锥的结构特征 思考1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？ (1)棱锥的主要结构特征： ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． (2)棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面； 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点； 相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 多边形叫做棱锥的底面； 顶点到底面的距离叫做棱锥的高． (3)棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……三个棱锥从左到右可分别表示为S－ABC，S－ABCD，P－ABCDE.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状是相似多边形． (4)如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高． 如图：

三棱锥的一个体积公式及其两条推论

三棱锥的一个体积公式及其两条推论 (李明 中国医科大学数学教研室 110001) 摘要:本文利用空间向量这个强有力的数学工具推导出了三棱锥的一个体积公 式 1 6 V =a b c 、、为三条侧楞的 长度，αβγ、、为它们的相互夹角，即三个侧面顶角)，并由该公式推演出了两条推论. 关键词: 三棱锥 体积公式 等夹角三棱锥 最大体积 0引言 我们知道,如果 OAB ?的两条边OA a OB b ==、,其夹角AOB α∠=(显然 (0,)απ∈),则OAB ?的面积1 sin 2 S ab α=(如图1).将此结论类比到空间(如图2),我们 便有如下问题:如果三棱锥O ABC -的三条侧棱OA a OB b OC c ===、、,其夹角 AOB BOC COA αβγ∠=∠=∠=、、(显然(0,),(0,2)αβγπαβγπ∈++∈、、),则 三棱锥O ABC -的体积V 如何用这些已知的棱长a b c 、、及已知的夹角αβγ、、来表示呢?即体积V 的公式是什么呢? 1 推导体积V 的公式 首先,在图2的基础上,以三棱锥O ABC -的顶点O 为坐标原点,以OA 为x 轴正向,以垂直于OAB ?所在的平面的方向为z 轴建立右手空间直角坐标系Oxyz (如图3). 图3 x

在图3中,(,0,0),(cos ,sin ,0),(,,)OA a OB b b OC x y z αα=== (其中x y z 、、为未知 数),将这些向量带入如下向量方程组: cos cos OC c OB OC OB OC OA OC OA OC βγ ?=???=???=?? 我们便得到如下关于x y z 、、的代数方程组: 2222cos sin cos cos x y z c x y c x c ααβγ?++=? +=??=? 由此方程组我们可以求得 : z 于是三棱锥的体积为 111 sin 3321 (1) 6 AOB V S z z ab α ?==?= 2 两条推论 由体积公式(1),我们可以推演出如下两条推论.其中推论2的证明略微复杂,下文将详细给出证明步骤,而推论1的证明显而易见,不予赘述. 推论1(等夹角三棱锥体积公式)如图4,在三棱锥O ABC -中,如果三条侧棱 OA a OB b OC c ===、、,其夹角AOB BOC COA θ∠=∠=∠=(显然2 (0,)3 θπ∈),则 三棱锥O ABC -的体积为 1 (1cos (2)6 V abc θ=- B b O a c 图5 C B b A O a c θ θ θ 图4 C

若四面体ABCD的三组对棱分别相等

若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD,AC=BD，AD=BC，则 充值|设为首页|免费注册|登录 在线问答在线组卷在线训练移动APP课程直播菁优商城 菁优网 （2012?安徽）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则 ②④⑤ （写出所有正确结论编号） ①四面体ABCD每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD每个面的面积相等 ③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180° ④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分 ⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 考点：棱锥的结构特征． 专题：压轴题；阅读型．

分析：①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体．结合长方体的性质判断 ②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的． ③由②，从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180°． ④连接四面体ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分 ⑤由①，设所在的长方体长宽高分别为a，b，c，则每个顶点出发的三条棱长分别为 22 + + 易知能构成三角形． 解答：解：①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体．由于长方体的各面不一定为正方形，所以同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直．①错误 ②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的．②正确 ③由②，四面体ABCD的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD每个顶

空间几何体表面积与体积公式大全

空间几何体的表面积与体积公式大全 一、全（表）面积（含侧面积） 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥： ②圆锥： 3、台体 ①棱台： ②圆台： 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略 二、体积 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥 ②圆锥

3、台体 ①棱台 ②圆台 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线计算。 三、拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的。

分析：圆柱体积： 圆柱侧面积： 因此：球体体积： 球体表面积： 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） += 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式 公式： 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形。 延长两侧棱相交于一点。 设台体上底面积为，下底面积为 高为。 易知：∽，设， 则 由相似三角形的性质得：

即：(相似比等于面积比的算术平方根) 整理得： 又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴ 代入：得： 即： ∴ 4、球体体积公式推导 分析：将半球平行分成相同高度的若干层（），越大，每一层越近似于圆柱，时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为，则：每个圆柱的体积= 半球的体积等于这些圆柱的体积之和。 ……

三棱锥的体积

锥体的体积 教学重点和难点 三棱锥体积公式及其探求． 教学设计过程 （一）复习三个问题（学生口答） 1．锥体平行于底面的截面的性质 2．祖暅原理 3．柱体的体积公式及探求思路 （二）学生探求锥体体积公式 1．底面积是S，高是h的柱体体积公式的探求思路？ 构造一个与所给柱体等底面积等高的长方体，由祖暅原理知，它们的体积相等，所以V 柱体 =Sh． 2．等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢？ 用祖暅原理．设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个四棱锥，并设它们的底面积都是S，高都是h（如图1）．①把这两个锥体的底面放在同一个平面α上，由于它们的高相等，故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α，β 之间；②用平行于平面α的任意平面去截这两个锥体，设截面面积分别为S 1，S 2 ，截面和顶点 的距离是h 1 ，体积分别 由祖暅原理知：V 1=V 2 ．（生叙述师板书） 可以叙述为：等底面积等高的两个锥体的体积相等． 3．如何求出锥体的体积？ 怎样研究三棱锥的体积呢？（板书：三棱锥的体积，并作出一个底面积为S的，高为h 的三棱锥A＇－ABC，（如图2） 图1

（1）补成三棱柱，把三棱锥A＇－ABC以底面△ABC为底面，AA＇为侧棱补成个三棱柱ABC －A＇B＇C＇． （2）分割成三个三棱锥．（补形过程及分割过程由学生完成） 怎样证明这三个三棱锥1，2，3等体积呢？ （学生思考两个锥体等体积的依据——前面定理的条件：（1）等底面积，（2）等高） 在三棱锥1，2中，S△ ABA＇=S △B＇A＇B ，又由于它们有相同顶点C，故高也相等，所以V 1 =V 2 ．又 在三棱锥2，3中，S △BCB＇=S △B＇C＇C ，它们有相同顶点A＇，故高也相等．所以V 2 =V 3 ，所以V 1 =V 2 =V 3 ． 一般锥体的体积又如何呢？（设一般锥体的底面积为S，高为h） 构造一个三棱锥，使其底面积为S，高为h，由于等底面积 （三）锥体体积公式的简单应用 例1、如图7，在正方体ABCD－A＇B＇C＇D＇中，已知棱长为a，求：（1）三棱锥B＇－ABC的体积； （2）这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几； （3）B到平面AB＇C的距离？ 分析（3）：注意到三棱锥B－AB＇C与三棱锥B＇－ABC是同一个三棱锥． S △AB＇C 也易求，这样h即可求出． 巧用了三棱锥的体积，使问题的求解变得十分简捷．这种方法称作顶点转换法，有时也称作等积转换法．

30.四面体

四面体与平行六面体 一、一般四面体的性质 性质1.任意四面体六个二面角的平分面交于一点，这点到四面体四个面的距离相等，称该点为四面体内切球球心（简称四面体的内心）。内切球与四面体四个面内切。 若四面体ABCD 的体积为V ，顶点A 所对的侧面面积为A S ，类似的有,,B C D S S S ,则内切球半径 3A B C D V r S S S S = +++. 性质2.任意四面体六条棱的垂直平分面交于一点，这点到四面体顶点的距离相等，该点称为四面体外接球球心（简称四面体外心）。外接球通过四面体四顶点。 性质3.任意四面体的四条中线（每一顶点与其对面重心的连线）交于一点，而且该点是中线的四等分点。 性质4.四面体体积公式一：1111 3333A A B B C C D D V S h S h S h S h ==== 性质5.四面体体积公式之二：1 ||||sin ,6 V AB CD d AB CD =???<> （其中d 为AB 、CD 距离） 性质6.四面体体积公式二： 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 333333C D AB A D BC A B CD B C DA B D AC A C BD S S S S S S S S S S S S V AB BC CD DA AC BD θθθθθθ= ===== 二、特殊四面体的性质 （1） 正四面体：各边均相等； （2） （3） 等腰四面体：三组对边分别相等。 三、平行面体 像平行四边形是平面图几何的基础一样， 平行六面体是立体几何的基本图形。 性质1.平行六面体的四条体对角线交于一点，且在这一点互相平分，称该点为平行六面体的中心； 性质2.平行六面体的所有体对角线的平方和等于所有棱的平方和。 推论1:平行六面体的所有侧面对角线的平方和等于其所有体对角线平方和的两倍。 推论2：平行六面体的每一侧棱的平方和等于等于与这一侧共面的两侧面四条对角线的平方减去与这一侧棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的 14 。 性质 3.平行六面体的每一体对角线长的平方等于共一端点的三条棱长的平方和减去这三条棱中每两条棱长及其所夹余弦之积的两倍。 性质 4. 平行六面体的每一体对角线通过与该对角线共端点的三条棱的另一端点构成的三角形截面的重心，且被三角形截面分成三等分。 性质5. 平行六面体的每个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积的平方4倍，等于这截面所截三个侧面面积的平方和减去这三个这三个侧面中每两个侧面面积及其所夹二面角余弦之积的二倍。 性质 6.设平行六面体的全面积为S ，体积为V ，四条体对角线长为1111,,,AC A C BD B D l l l l ,则 1 1 1 1222 2 2AC A C BD B D S l l l l ≤+++。1 111 32222 21()24AC A C BD B D V l l l l ≤+++，3 2(6)V ≤。 性质7.通过平行六面体中心的任何平面，将平行六面体分成体积相等的两部分。 推论1.以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条棱的端点构成的四面体体积是平行六面体体积的 16 。 推论 2.以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条侧面对角线端点构成的四面体体积是平行六面体体积的 13 。 性质8.平行六面体的体积等于底面面积与高的乘积，或任一侧面面积与相对面距离之积。 四、四面体与平行六面体的关系 四面体与平行六面体之间存在一种特殊的关系，即四面体可以补成一个平行六面体，且各棱恰好为平行六面体各面上的一条对角线。它们之间有如下性质：

高二数学最新教案-如何把四面体补成平行六面体 精品

如何把四面体补成平行六面体 任何一个四面体都可以补成一个平行六面体，使四面体的棱恰为平行六面体各面上 的一条对角线，并且下列重要性质： 1．任何四面体都可以补成一个平行六面体，使四面体的各棱为平行六面体各面上 的一条对角线，且V 四面体=3 1V 平行六面体. 2.若有一对相对棱长相等，则补成的平行六面体中一对相对的面为矩形；若三对相 对棱长分别相等，且有一个面为锐角三角形，则四面体可以补成一个长方体. 3.棱长为a 的正四面体可以补成一个棱长为a 2 2的正方体. 请读者自己完成这些性质的证明. 本文说明这些性质的应用. 例1如图1，四面体S —ABC 中，三组对棱分别相等，且依次为25、13、22，求四面体的体积. 图1 分析：由于底面△ABC 的三条边长都不相等，三条侧棱长SA 、SB 、SC 也都不相等， 所以如果按常规方法：V =hS 31去求体积，△ABC 面积的计算或者顶点S 到底面ABC 的 距离h 都很复杂，但根据性质（2），可以将它补成长方体，不妨令SB =AC =25， SC =AB =13，SA =BC =22，则四个面是全等的三角形，在△SBC 中，SB 最大，所以 ∠SCB 最大，而 cos SCB =2641 2213220 813=??-+>0， 所以△SCB 为锐角三角形，可以补成一个长方体，不妨令长方体的长、宽、高分别 为x 、y 、z ， 则有 x 2+y 2=13，y 2+z 2=20， z 2+x 2=8， 解得 x =.2 30,225,22==z y 所以 V 长方体= ,4305 V 四面体=31V 长方体=.12 305 例2.图2是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长 _______. 分析：由性质（3）可知，正四面体可以补成一个正方体，正方体的体积为 3V 正四面体=3·72=216，

(试卷)奥赛经典-奥林匹克数学中的几何问题---第二十一章平行六面体的性质及应用

第二十一章平行六面体的性质及应用 【基础知识】 平行六面体是平行四边形的一个三维类比模型，平行四边形的一系列有趣性质可推证到平行六面体中去．平行四边形与三角形有着极为密切的关系，因而平行六面体与四面体也有着极为密切的关系，这些构成了平行六面体一系列既有趣又有重要应用的性质． 性质1平行六面体的四条对角线相交于一点，且在这一点互相平分，并称该点为中心． 推论称侧面对角线的交点为侧面中心，则相对侧面中心的连线也交于平行六面体的中心，且在这一点互相平分．（见例5） 性质2平行六面体所有对角线的平方和等于所有棱的平方和． 推论1平行六面体所有侧面对角线的平方和等于其所有（体）对角线平方和的两倍． 推论2平行六面体每一侧棱的平方等于与这侧棱共面的两侧面四条面对角线的平方和减去与这侧棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的四分之一． 推论3平行六面体的每一对角线长的平方等于过这条对角线一端点的三条侧面对角线的平方和减去过另一端点的三条棱的平方和． 性质3平行六面体的每一对角线长的平方等于共一端点的三条棱长的平方和减去这三条棱中每两条棱长及其所夹角余弦之积的两倍． 性质4平行六面体的每一对角线通过与该对角线共端点的三条棱的另一端点构成的三角形截面的重心，且被这三角形截面分成三等分． 性质5平行六面体的每个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积平方的4倍，等于这截面所截三个侧面面积的平方和减去这三个侧面中每两个侧面面积及其所夹二面角余弦之积的两倍． 推论平行六面体的八个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积的平方和等于六个侧面面积的平方和． 性质6设平行六面体的全面积为S ，四条对角线长为1AC l 、1A C l 、1BD l 、1BD l 、1B D l ，则 111122222AC A C BD B D S l l l l +++≤． 性质7通过平行六面体中心的任何平面，将平行六面体分成体积相等的两部分． 推论1以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条棱的端点构成的四面体体积是平行六面体体积的六分之一． 推论2以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条侧面对角线端点构成的四面体体积是平行六面体体积的三分之一． 性质8平行六面体的体积等于底面积与高的乘积，或任一侧面面积与相对面距离之积． 推论设共一顶点的三条棱长为a 、b 、c ，每两条棱的夹角为α、β、γ，则体积V 为 V abc == 若记()1 2 θαβγ= ++，则2V =． 性质9() 11113/2 2222 124 AC A C BD B D V l l l l +++≤； 3/2 6S V ?? ? ?? ≤． 推论l 表面积一定的平行六面体中，以正方体之体积为最大． 推论2在各个侧面面积为定值的平行六面体中，以长方体之体积为最大． 性质11由平行六面体的各顶点，至不截此体的一平面所引诸垂线段之和，等于由其对角线之交点至同平面所引垂线段之和的8倍．

空间几何体的表面积体积公式(大全)

空间几何体的表面积与体积公式大全 一、 全（表）面积（含侧面积） 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥：h c S ‘ 底棱锥侧2 1= ② 圆锥：l c S 底圆锥侧2 1 = 3、 台体 ① 棱台：h c c S ) (2 1 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台：l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、 球体 ① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥 ② 圆锥

3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 球体 ① 球： r V 33 4 π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h ' 计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。 三、 拓展提高 1、 祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2 的圆柱形容器内装一个最大的 球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的3 2 。

分析：圆柱体积：r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱 圆柱侧面积：r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧 因此：球体体积：r r V 333 423 2ππ=?=球 球体表面积：r S 24π=球 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） + = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、 台体体积公式 公式： )(31 S S S S h V 下下 上 上 台++= 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。 易知：PDC ?∽PAB ?，设h PE 1=， 则h h PF +=1 由相似三角形的性质得：PF PE AB CD =

例谈构造平行六面体解立体几何题

例谈构造平行六面体解立体几何题 立体几何题的题设中若有“垂直”(包括线线垂直、线面垂直及面面垂直)可以试着构造长方体来求解，若没有“垂直”也可尝试构造平行六面体来求解.本文以普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称教科书)中的题目及几道高考题来谈谈这种解题方法. 题1 (教科书第106页例2)如图1，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处.从,A B 到直线l (库底与水坝的交线)的距离AC 和BD 分别为a 和b ，CD 的长为c ，AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 图1 图2 解 可在如图2所示的平行六面体中求解：因为,//CD AC AC A D '⊥，所以CD A D '⊥.又CD BD ⊥，所以CD ⊥面A DB '，得AA A B ''⊥，所以222A B d c '=-. 在A BD '?中，由余弦定理可求得2222 cos 2a b c d A DB ab ++-'∠=，此即所求二面角的余弦值. 题 2 (教科书第107页练习第2题)如图3，60?的二面角棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4,6,8AB AC BD ===，求CD 的长. 图3 图4 解 可在如图4所示的平行六面体中求解：在ACE ?中，6,6,60AC AE BD CAE ===∠=?，由余弦定理可求得252CE =.

可证BA ⊥面ACE ，所以有DE CE ⊥，在CDE ?中可求得217CD =. 题3 (教科书第113页第12题)一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是30?，求这条线段与这个二面角的棱所成角的大小. 解 可在如图5所示的长方体中求解：30ADB DAE ∠=∠=?，可不妨设2AD =，得1,3,2DE CB AB AE BD BE CD =======，所以在Rt ACD ?中可求得45ADC ∠=?，即夹在直二面角A BE D --的线段AD 与棱BE 所成角的大小是45?. 图5 题 4 已知两平行平面,αβ的距离为23，点,A B α∈，点,C D β∈，且3,2AB CD ==，异面直线,AB CD 成60?角，求四面体ABCD 的体积. 解 可在如图6所示的平行六面体中求解： 图6 在图6所示的平行六面体中，60A CD '∠=?或120?， 133,23sin 322 A CD A C A B S A CD '?''===??∠=，所以13323332 A BCD A BCD V V '--===. 题 5 (2012·安徽·文·15) 若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即,,A B CD A C B D AD BC ===，则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号)。 ①四面体ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD 每个面的面积相等 ③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180° ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分 ⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱可作为一个三角形的三边长

等面四面体的内切球与外接球讲解

第六讲等面四面体的内切球与外接球 引理2任意四面体都有内切球及外接球。 引理3任意四面体的内切球在四个面上的切点与各面顶点连线给出切点处的周角的一个相同划分。 证明如图3—8，四面体ABCD的内切球在各面上的切点分别为O i、。2、O3、O4. 由于球外一点向球引的切线长相等，可得AO2=AO 3=AO 4, BO I=BO3=BO4,….于是△ O i BC◎△ O4BC , △ O2CD ◎△ O1CD，…. 可设/ CO I D= / C02D= ：DO I B= / D03B= 一：， / CO I B= / C04B= ，/ A0 3B= / A0 4B= X , / A0 2C= / A04C= y，/ A0 2D= / A0 3D= z.由周角360 ° , 图3— 得5 m360 ① x y = 360 ② y z - 360 ③ z —360 ④ 四式相加，除以2，得二；亠?亠’亠x ? y ? z =720 ⑤ ⑤式减①式，得x y ^360 ⑥式分别与②、③、④式联立，可解得x = ：? y二：z = 引理3得证。 定理5等面四面体的各顶点到内切球的切线长相等。 此定理的另一种叙述方式是：等面四面体内切球在各面上的切点是该面的外接圆圆心。 证明如图3—8,由于△ ABC ◎△ DCB ,可移动并翻转△ ABC ,使其与△ DCB重合（A、B、C分别与D、C、B重合）.现考察04与0i的位置关系. 假设04与0i不重合，则04在厶BO I D、△ BO I C、A CO I D中的某一个内部或边上。不失一般性，不妨设O4点在△ BO I内或在BO I上，则/ B04D> / BO I D, / B04D即是原△ ABC 中的/ CO4A。由引理3,得/ C04A= / BO I D，存在矛盾，因此04必与0i重合。于是O I B=O4C=O I C，同理O i D=O i C,即0i是厶BCD的外心。同理可证。2、O3、O4分别是各面上的外心。 定理6四面体的内切球球心与外接球球心重合的充要条件是该四面体是等面四面体。

第十讲 特殊四面体及其性质2

[接上] 第十讲:特殊四面体及其性质 [直角四面体的应用] 例1． 求证判定 (3) 中O —ABC 是直角四面体。 证法一：设正四面体ABCD 的棱长为a ，则其高 DH= 3 ，而ＡＨ＝3a ，DO=OH ＝6 a ，在Rt AHO ?中?2 1 2 OA = a 2 ,同理 OB=OC=OA= 2 a,由勾股定理易证∠AOB=∠BOC=∠COA=90，故得证。 证法二：如图三，将正四面体ABCD 镶嵌在棱长为a 的正方体中， 则正四面体ABCD 中O 、H 是正方体对角线DE 的两个三等分点 [3] ，由定比分点公式得： O( 2,,333a a a )、Ｈ（22,,333a a a ）?AO OB ?=（22,,333a a a -）?（22,,333a a a ）＝０，即OA ⊥OB ，同理OB ⊥OC ，OC ⊥ＯＡ，得证。 例2． (2003年湖南省高中数学竞赛题) S —ABC 是三条棱两两互相垂直的三棱锥，Ｏ为底面ＡＢＣ内一点，若∠OSA=α,∠OSB=,β∠OSC=γ，则tan α?tan β?tan γ∈ ( ) A ． ［)+∞ Ｂ．（０， Ｃ． [1，] Ｄ．（1， 简析：由2．2 (1) I 有cos 2 a+cos 2 β+cos 2 γ=l ?sin 2 α=1–cos 2 α =cos 2 β+cos 2 γ≥2cos β?cos γ，同理有 sin 2β≥2cosacos γ，sin 2γ≥2cos αcos β 三式相乘 有tan 2αtan 2βtan 2γ≥8 ∴选(A) 或以SO 为对角线补成长、宽、高分别设为a 、b 、c 的长方体 ? tan α?tan β?tan γ≥ abc =例3．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，三侧面与底面所成的二面角分别为30°、45°、60°，底 面积为1，则三棱锥的侧面积为 （ ） (A). 2123++ (B). 213+ (C). 212+ (D). 2 6 解：每一个侧面都是底面在这个侧面所在平面上的射影，由面积射影公式cos θ =S S ' ? S 侧 = S 底·（cos30°+cos45°+cos60°）= 2 1 23++ ∴选 ( A )

高考数学例谈构造平行六面体解立体几何题

§2 例谈构造平行六面体解立体几何题 立体几何题的题设中若有“垂直”(包括线线垂直、线面垂直及面面垂直)可以试着构造长方体来求解，若没有“垂直”也可尝试构造平行六面体来求解.本文以普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称教科书)中的题目及几道高考题来谈谈这种解题方法. 题1 (教科书第106页例2)如图1，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处.从,A B 到直线l (库底与水坝的交线)的距离AC 和BD 分别为a 和b ，CD 的长为c ，AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 图1 图2 解 可在如图2所示的平行六面体中求解：因为,//CD AC AC A D '⊥，所以 CD A D '⊥.又CD BD ⊥，所以CD ⊥面A DB '，得AA A B ''⊥，所以222A B d c '=-. 在A BD '?中，由余弦定理可求得2222 cos 2a b c d A DB ab ++-'∠=，此即所求二面角的余弦值. 题 2 (教科书第107页练习第2题)如图3，60?的二面角棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4,6,8A B A C B D ===，求 CD 的长.

图3 图4 解 可在如图4所示的平行六面体中求解：在ACE ?中，6,6,6A C A E B D C A E ===∠=? ，由余弦定理可求得252CE =. 可证BA ⊥面ACE ，所以有DE CE ⊥，在CDE ?中可求得CD =. 题3 (教科书第113页第12题)一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是30?，求这条线段与这个二面角的棱所成角的大小. 解 可在如图5所示的长方体中求解：30ADB DAE ∠=∠=?，可不妨设2AD =， 得1,DE CB AB AE BD BE CD =======，所以在Rt ACD ?中可求得45ADC ∠=?，即夹在直二面角A BE D --的线段AD 与棱BE 所成角的大小是45?. 图5 题 4 已知两平行平面,αβ的距离为，点,A B α∈，点,C D β∈，且3,2AB CD ==，异面直线,AB CD 成60?角，求四面体ABCD 的体积. 解 可在如图6所示的平行六面体中求解： 图6 在图6所示的平行六面体中，60A CD '∠=?或120?， 1 3,23sin 2A CD A C AB S A CD '?''===??∠=，所以

第二十一章 平行六面体的性质及应用答

第二十一章 平行六面体的性质及应用 习题A 1．连1AD ，AC ，设E 为OA 的中点，则11O E D O ∥，于是1EO B ∠即为1D O 与1BO 所成的角，且111 2 O E D O =．不妨设正方体棱长为1， 则11BO D O == ，1O E =， BE = ．在△1BO E 中15 cos 6 BO E =∠为所求． 2．问题的难度在于不易确定该平面与正方体的位置．由条件，设正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，AC ，AD 与所给平面的夹角相同，可知所给平面与面BCD 平行．进一步，面BCD 与此正方体的12条棱的夹角都相同，因而，只需求出棱AD 与面BCD 所成的角．为此，过A 作AH ⊥面BCD ，H 为在面BCD 上的射影，连DH ，就有ADH α=∠．注意到△BCD 为正三角形，可证H 为△BCD 的外心，重心．设正方体棱长为a ， 则2sin 603DH CD = ???，而90AHD =?∠，于 是cos cos DH ADH AD α=== ∠， 故α=． 3．可以用一个平面截正方体得截面为凸五边形．设点I 为正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 延长线上一点，使得11 2 IB BB = ，E 为11A D 的中点，F 为1A A 上的点， 113AF A F =，则由△EAF ∽△11C B I ，知1EF C I ∥，从而1C ，E ，F ，I 共面．设此截面交AB 于G ，交BC 于H ，连GH ，则截面1C EFGH 为凸五边形． 用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形．若截面可以为一个正五边形，则 此五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面，过相对的两个面的截线平行，而正五边形中没有平行的边．结论获证． 4．由第3题，知截面交棱1BB 的延长线于I ，则112BI BB =，可证1 2AG AF GB BI ==， 11113BH BI B C B I ==，于是23BG =，14BH = ，从而可求得GH = 1C H =，512FG = ，EF = 1C E = 512+． 5．将正方体PQRS P Q R S ''''-的各个面依次展开，从正方形PQQ P ''出发，依次为PP Q Q ''， Q QRR ''，Q R S P ''''，R S SR ''，S SPP ''，PSRQ ．从上述展开图可知截面六边形的周长AA '≥， 而AA '= 6．作出正方体AS BC A SB C ''''-，则图中三棱锥S ABC -符合题设条件．连S C '''，则 EF SS '∥，EF 与SA 所成的角即为SS '与SA 所成的角，而45S SA '=?∠，故异面直线EF 与SA 成45?的角． 7．将题给直三棱柱补成正方体1111ABPC A B PC -．分别取BP ，1CF 的中点E ，H ，连1EF ，

在平行六面体中巧解四面体问题

O A B C D E C B A S F z 四面体问题求解中的“嵌”与“补” 江苏省姜堰中学 张圣官（225500） 四面体（即三棱锥）是立体几何中最基本的一个几何体，而它又是与平行六面体密切相关的。有些四面体问题，若将之放到平行六面体背景中，则往往能显现其中隐含的线面关系，从而使问题获得优解。本文通过事例重点说明在正方体或长方体中如何巧解相关的四面体问题。 1． 将四面体“嵌入”到平行六面体中 我们知道，任何一个四面体都可以“嵌入”到一个平行六面体中，而使四面体的六条棱分别是平行六面体六个面的一条面对角线。例如，在证明“四面体顶点到对面三角形重心的四条连线交于一点”（此即为四面体重心）时，实施这种“嵌入”后，问题就转化为论证“平行六面体四条体对角线交于一点”，这就容易多了，而且易得四面体重心把四条连线都 分成3：1的两部分。下面看几例这种“嵌入”的应用。 例1（2000年全国高中数学联赛题）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是____________________。 分析：将正四面体ABCD “嵌入”到正方体中，使正四 面体的六条棱分别是正方体六个面的面对角线（如图1），则 球O 与正四面体的六条棱都相切等价于球O 与正方体的六个 面都相切。易知正方体棱长为 a 2 2，所以球半径为 a 4 2，故 （图1） 球的体积为36 3334 a R ππ= 。 例2（1990年全国高考题）正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） A 900 B 600 C 450 D 300 分析：本题的正三棱锥S-ABC 即为正四面体，将正 四面体SABC “嵌入”到正方体中，使正四面体的六条棱 分别是正方体六个面的面对角线（如图2），易知EF 在正 方体的两底面中心连线上，与正方体的一条侧棱平行。而 SA 与该侧棱所成角是450 ，故异面直线EF 与SA 所成的 角等于450，选（C ）。 （图2） 例3 四面体ABCD 中，AB=CD=5，BC=AD=41，BD=AC=34，求此四面体的 体积。 分析：本题四面体ABCD 的面积可求，但高的位置 不易确定，直接求体积有一定困难。注意到四面体ABCD 的相对棱相等的条件，联想到长方体相对表面的对角线相等这一性质，故可补成长方体解题。 解：将四面体ABCD “嵌入”到长方体中，设长方体 的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则有 （图3）

北大附中高考数学专题复习简单几何体

学科：数学 教学内容：简单几何体 【考点梳理】 一、考试内容 1．棱柱（包括平行六面体）。棱锥。多面体。 2．球。 3．体积的概念与体积公理。棱柱、棱锥的体积。球的体积。 二、考试要求 1．理解棱柱、棱锥、球及其有关概念和性质。 掌握直棱柱、正棱锥、球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算。 3．了解多面体的概念，能正确画出棱柱、正棱锥的直观图。 对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面（棱柱、棱锥的对角面，棱柱的直截面，球的截面）以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题。 三、考点简析 1．棱柱 2．棱锥 正棱锥是底面正多边形的中心 顶点在底面上的射影 棱锥- --- -- 3．棱柱、棱锥的侧面积与体积 S 正棱柱侧=C h ′ S 正棱锥侧= 21C h ′ V 柱体=S h ′ V 锥体=3 1 S h ′ 4．球

S 球=4πR 2 V 球= 3 4 πR 3 四、思想方法 1．割补法。它是通过“割”与“补”等手段，将不规则的几何体转化为规则的几何体，是一种常用的转化方法。 2．正棱锥的计算问题。应抓住四个直角三角形和两个角。四个直角三角形，即正棱锥的高、侧棱及其在底面上的射影、斜高及其在底面上的射影、底面边长的一半组成的四个直角三角形。两个角，即侧棱与底面所成的线面角，侧面与底面所成的二面角。四个直角三角形所围成的几何体称之为“四直角四面体”，它是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握。 3．正棱锥的侧面积与底面积的关系。 正棱锥：S 底=S 侧cos α 4．多面体中表面上两点的最短距离。 多面体中表面上两点的最短距离，就是其平面展开图中，连结这两点的线段长度，这是立体几何中求最短距离的基本依据（球面上两点间的距离除外）。 5．关于组合体体积的计算问题。 有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。 构成组合体的方式一般有两种：其一是由几个简单几何体堆积而成，其体积就等于这几个简单几何体体积之和；其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成，其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。 因此，组合体体积的求法，即为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。 6．关于等积变换问题。 等积变换的依据是等底等高的棱锥体积相等。 等积变换求体积或求点到平面的距离，都是在基本几何体——四面体和平行六面体中进行的。这是因为这些几何体变换底面后，计算体积的方法不变，几何体仍为四面体和平行六面体，这样，我们就可以选择适当的面为底面，使计算简单、易行。 若几何体本身不是四面体或平行六面体，则需先将其分成几个四面体或平行六面体之后，再施行等积变换。 用等积变换求点到平面的距离，是用两种不同的体积计算方法，来建立所求距离的方程，使问题得解。 异面直线间的距离，可转化为点到平面的距离，因此也可用等积变换求解。 用等积变换求距离，可绕过距离的作图，从而降低了题目的难度。 【例题解析】 例1 如图8－1，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是直角三角形，AC ⊥CB ，∠ABC=30°，侧面A 1ABB 1是边长为a 的菱形，且垂直于底面，∠A 1AB=60°，E 、F 分别是AB 1、BC 的中点。 （1）求证：EF ∥侧面A 1ACC 1； （2）求四棱锥A ——B 1BCC 1的体积； （3）求EF 与侧面A 1ABB 1所成角的大小。

四面体与平行六面体

四面体与平行六面体 四面体与平行六面体之间存在一种特殊的关系，即四面体可以补成一个平行六面体，且各棱恰好为平行六面体各面上的一条对角线。它们之间有如下性质： 性质1.任何一个四面体都可以补成一个平行六面体，并且1 =3 V V 四面体平行六面体； 性质2.棱长为a 的正四面体可以补成一个棱长为2 a 的正方体； 性质3.三组对棱分别相等且有一个面为锐角三角形的四面体可以补成一个长方体。 例1.(03全国联赛)在四面体ABCD 中，设1AB = ,CD =直线AB ,CD 的距离为2，夹角为3 π ，则四面体ABCD 的体积为 例2（12年石家庄一模）设四面体ABCD 中,AB CD AC BD m ==== AD BC n ==，且226m n +=，则四面体ABCD 体积最大值为 （10全国）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ） (A) 练1.已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4、4、7，若此三棱锥的各个顶点 在同一球面上，则球的表面积为（ ） A. 81π B.36π C.81 π D. 144π 练2．在四面体ABCD ，则此四面体ABCD 的外接球的半径R 为 ． 例3.（04福建竞赛）四面体ABCD 中，,,AB CD A BC AD b CA BD c ======。如果异面 直线AB 与CD 所成的角为α，则cos α= 练．如图，有一个内接的四棱锥P ABCD -， 若PA ABCD ⊥底面，2 BCD π∠=，2 ABC π ∠≠， 4,5,3BC CD PA ===，该球的表面积为（ ） A ．100π B ．50π C ．80π D 例4.棱长为a 的正四面体ABCD 的棱CD 在平面α内， ||AB α， E ， F 在平面α上的射影，则由A ，B ，E,C,F,D 为 顶点的几何体的体积为 例5.正四面体ABCD 的四个顶点在半径为R 是的球上，求AB 的长。 例6.将边长分别为2,2,2a b c 的锐角三角形的各边中点连接起来，形成四个三角形，它是一个四面体的展开图。求这个四面体的体积。 例7.证明，如果四面体相对棱间的距离分别为123,,h h h ，则四面体的体积1231 3 V h h h ≥。 练1.已知四面体ABCD 的一组对棱,AB CD 的中点分别为M 、N 。求MN 与BC 所成角大小。