解析几何课程中求四面体体积新方法探究

解析几何课程中求四面体体积新方法探究

孙 欣, 马思佳, 李铭辉

【摘 要】对数学类专业开设的解析几何课程教材中求以不共面的4个点为顶点组成的四面体体积问题进行了研究。教材只给出了从四面体一个顶点出发的3个不共面向量求其混合积求体积的方法。事实上,只要从4个顶点中任取3个不共面向量,求其混合积就可以求四面体体积,并利用2种方法证明了所得结论。最后,以一个数值算例说明所用方法的正确性与有效性,对教材内容进行了深化与拓展。

【期刊名称】沈阳师范大学学报（自然科学版）

【年(卷),期】2016(034)003

【总页数】5

【关键词】关 键 词：四面体体积; 《解析几何》课程; 向量混合积

0 引 言

求四面体体积问题,一直是数学类问题研究的热点。文献[1-4]利用6条棱长给出四面体体积计算公式;文献[5-6]利用四面体由一个顶点出发的3条棱长及其中每2条棱的夹角求体积;文献[7-8]利用4个顶点坐标,形成由1个顶点出发的3条不共面向量,以行列式的形式给出四面体体积计算公式。文献[9]计算从1个顶点出发的3个向量混合积,求其绝对值再除以6,这样的3个向量共点却不共面,取法共有4种。事实上,不共面的3个向量除了这4种外,还有12种,即2个向量共点而第3个向量与2个向量既不共点也不共面,只要计算出3个向量混合积的绝对值再除以6就等于四面体体积。本文将用2种方法证明这16种不共面3个向量的混合积的绝对值都相等,等于已知四面体体积的6倍,由此给出求四面体体积的新方法。

1 问题的形成

现在来考虑,给出不共面4点A,B,C,D坐标,求其构成的四面体体积的问题。如图1,若不考虑向量的正反方向,4个点构成6个向量,从6个向量任取3个向量的方式共有=20种,其中3个向量共面的有4种,其余16种3个向量均不共面。其中,从1个顶点出发的3个向量共有4种,即情况Ⅱ;而从1个顶点出发2个向量,第3个向量与这两向量既不共点又不共面共有12种即情况Ⅲ。综述,如下所示:

情况Ⅰ

情况Ⅱ

情况Ⅲ

下面用2种方法证明这16种不共面的3个向量的混合积的绝对值都相等,等于以这3个向量为棱组成的四面体体积的6倍。