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抛物线知识点归纳总结与经典习题

抛物线经典结论和例题

焦半径

11(,)A x y

p AF x =+

p AF x =-+

p AF y =+

p AF y =-+

焦点弦长

12()x x p ++

12()x x p -++

12()y y p ++

12()y y p -++

焦点弦

AB 的几条性质

11(,)

A x y 22(,)

B x y

以AB 为直径的圆必与准线l 相切

若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=

若AB 的倾斜角为α，则2

2cos p

AB α

= 2

124

p x x = 212y y p =-

112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p

++===?? 切线方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+

1. 直线与抛物线的位置关系直线

，抛物线

，

，消y 得：

x ()22,B x y

y ()11,A x y

（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k ≠0时，

Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗（不一定）

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：b kx y += 抛物线

，)0(φp

① 联立方程法：

???=+=px

y b

kx y 22

?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出

x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，

2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长

2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a

k ?+=2

1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+

k ?+=2

1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=

， 2

10y y y += ② 点差法：

设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得

1212px y = 22

22px y = 将两式相减，可得

)(2))((212121x x p y y y y -=+-所以

121212y y p

x x y y +=

a. 在涉及斜率问题时，2

12y y p

k AB +=

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，

021*******y p

y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =，

同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点

),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p

x p x p x x k AB 0

021222==+=

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

一、抛物线的定义及其应用

例1、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．

(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．

例2、设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)

二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线交于A 、

B 两点，交准线于

C 点，点A 在x 轴上方，AK ⊥l ，垂足为K ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则△AKF 的面积是 ( ) A ．4 B ．3 3 C ．4 3

D ．8

例4、过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l

于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3则此抛物线的方程为 ( )

A ．y 2＝32x

B ．y 2＝9x

C ．y 2＝92

x D ．y 2

＝3x

三、抛物线的综合问题

例5、已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，

y 1)，B (x 2，y 2)(x 1

C 为抛物线上一点，若OC u u u r ＝ OA u u u r

＋λOB u u u r ，求λ的值．

例6、已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；

(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，

B ，l 2与轨迹

C 相交于点

D ，

E ，求AD u u u r EB u u u

r 的最小值

例7、已知点M (1，y )在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，M 点到抛物线C 的焦点F 的距离为2，直线l ：y ＝－1

2x ＋b 与抛物线C 交于A ，B 两点．

(1)求抛物线C 的方程；

(2)若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的方程．练习题

1．已知抛物线x 2＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2－x 2＝2的上焦点，则a 等于( ）

A ．1

B ．4

C ．8

D ．16

2．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )

A ．－

1716

B ．－

3．(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )

B ．1

4．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )

A ．相离

B ．相交

C ．相切

D ．不确定

5．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值等于 ( ) A ．4 2

B ．8

C ． 8 2

D ．16

6．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点

P 的坐标是 ( )

A ．(－2,1)

B ．(1,2)

C ．(2,1)

D ．(－1,2)

7．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．16

8．抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，抛物线的方程（） A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x 9以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______． 10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．

11．已知抛物线y 2

＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为

F ，那么| FA u u u r | ＋| FB u u u r

| ＝________.

12．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，那么 |AB |等于________ 13．根据下列条件求抛物线的标准方程：

(1)抛物线的焦点是双曲线 16x 2－9y 2＝144的左顶点；

(2)过点P (2，－4)．

14．已知点A (－1,0)，B (1，－1)，抛物线C ：y 2＝4x ，O 为坐标原点，过点A

的动直线l 交抛物线C 于M ，P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q .若向量OM

u u u u r

与OP u u u r 的夹角为π

，求△POM 的面积．

解析

一、抛物线的定义及其应用

例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1.

由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到

F (1,0)的距离之和最小．显然，连结AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为|AF |，即为 5.

(2)如图，自点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.

例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即p ＝4，根据已知只要|FM |>4即可．根据抛物线定|FM |＝y 0＋2由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．

二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、设点A (x 1，y 1)，其中y 1>0.由点B 作抛物线的准线的垂线，垂足为B 1.则有 |BF |＝|BB 1|；又|CB |＝2|FB |，因此有|CB |＝2|BB 1|，cos ∠CBB 1＝

|BB 1||BC |＝1

，∠CBB 1＝π3

.即直线AB 与x 轴的夹角为π3

.又|AF |＝|AK |＝x 1＋p

＝4，因此y 1＝

4sin π3＝23，因此△AKF 的面积等于12|AK |·y 1＝1

×4×23＝4 3.

例4．分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1、B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，又|AA 1|＝|AF |＝3，

∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，∴F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝3

2，故抛物线的方程为y 2＝3x .

三、抛物线的综合问题

例5、(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p

2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px

＋p 2

＝0，所以：x 1＋x 2＝5p

，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，

从而抛物线方程是y 2＝8x .

(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；

设OC u u u r

＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．

又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)．即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2. 例6、 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有

x －1

＋y 2－|x |＝1.化简得

y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.

所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由???

y ＝k x －1y 2

＝4x

，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. (7分)

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4

2，

x 1x 2＝1. (8分)

因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1

. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得

x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)·(x 4＋1)

＝ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 (11分) ＝1＋(2＋4k

2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1

2)≥8＋4×2

k 2·1

2＝16.

当且仅当k 2

＝1

2，即k ＝±1时，AD u u u r EB u u u r

取最小值16.

例7 、(1)抛物线y 2

＝2px (p >0)的准线为x ＝－p

，由抛物线定义和已知条件可知

|MF |＝1－(－p 2)＝1＋p

＝2，解得p ＝2, 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x .

(2)联立???

y ＝－12x ＋b ，y 2

＝4x

消去x 并化简整理得y 2＋8y －8b ＝0.

依题意应有Δ＝64＋32b >0，解得b >－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2

＝－8，y 1y 2＝－8b ，设圆心Q (x 0，y 0)，则应用x 0＝

x 1＋x 2

，y 0＝

y 1＋y 2

＝－4.

因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，所以圆的半径为r ＝|y 0|＝4. 又|AB |＝x 1－x 2

＋y 1－y 2

＝1＋4y 1－y 2

＝

5[y 1＋y 2

－4y 1y 2]＝5

64＋32b

所以|AB |＝2r ＝5

64＋32b

＝8，解得b ＝－8

所以x 1＋x 2＝2b －2y 1＋2b －2y 2＝4b ＋16＝485

，则圆心Q 的坐标为(

245，－4)．故所求圆的方程为(x －24

)2＋(y ＋4)2＝16.

练习题：

1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a

4)，双曲线的上焦点为(0,2)，

依题意则有a

＝2解得a ＝8.

2．解析：抛物线方程可化为x 2

＝－y

4，其准线方程为y ＝1

.设M (x 0，y 0)，则由

抛物线的定义，可知

116－y 0＝1?y 0＝－15

. 3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝5

. 4．解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线

l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12

(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝1

|AB |＝半径，故相切． 5．解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由???

y ＝x －2，y 2

＝8x

，消去y

得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.

6．解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取

等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B 7．解析：设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．16

8．解析：由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正，半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为 y 2＝2px ＝8x

9．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8. 所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.

10．解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，则准线为y ＝－a

4.∵Q (－3，m )在抛

物线上，∴9＝am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，∴|m －(－a

4)|

＝5.将m ＝9a 代入，得|9a ＋a

4|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18，∴所求抛物线的

方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y . 11．解析：由??

y 2

＝4x

2x ＋y －4＝0

，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根

为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所

以| FA u u u r | ＋| FB u u u r | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝7 12．解析：因线段AB 过焦点F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |.又由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.

13．解析：双曲线方程化为x 29－y 2

＝1，左顶点为(－3,0)，由题设抛物线方程为

y 2＝－2px (p >0)，则－p

＝－3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝－12x .

(2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .

14．解：设点M (y 214，y 1)，P (y 22

4，y 2)，∵P ，M ，A 三点共线，∴k AM

＝k PM ，

即

y 1y 214＋1

＝

y 1－y 2y 214－y 224

，即y 1y 21＋4＝1

y 1＋y 2，∴y 1y 2＝4. ∴ OM u u u u r · OP u u u r ＝y 214·y 22

4＋y 1y 2＝5.∵向量 OM u u u u r 与 OP u u u r 的夹角为π4，∴|

OM u u u u r |·|OP u u u r |·cos π4

＝5.∴S △POM ＝12

| OM u u u u r | ·| OP u u u r | ·sin π4

＝5

高中数学双曲线抛物线知识点总结

双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴关于x 轴、y 轴及原点对称关于ｘ轴、y 轴及原点对称准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关系 222c a b =+ 考点题型一求双曲线的标准方程１、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。（1）虚轴长为12,离心率为 54 ; （2）焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）；（3）与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y

解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。（2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +,

高中数学复习-抛物线知识点归纳总结

高中数学复习-抛物线抛物线 ) 0(22>=p px y )0(22>-=p px y ) 0(22>=p py x )0(22>-=p py x 定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 {MF M =点M 到直线l 的距离} 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤ 对称性关于x 轴对称关于y 轴对称焦点 (2 p ,0) (2 p - ,0) (0, 2 p ) (0,2 p - ) 焦点在对称轴上顶点 (0,0)O 离心率 e =1 准线方程 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 1. 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，有两不同交点； Δ=0，直线l 与抛物线相切，有一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：b kx y += 抛物线，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2 12 212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1 或 212 2122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点坐标 ),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--，即0 y p k AB = ，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

高三复习抛物线知识点总结及基础测试

第八节抛物线基础测试题知识梳理 1、抛物线定义 2、抛物线的标准方程与几何性质抛物线定义与一个定点F和一条定直线l的距离相等() F l ?的点的轨迹。标准方程①焦点在x轴上，开口向右：22 y px =②焦点在x轴上，开口向左：22 y px =- ③焦点在y轴上，开口向上：22 x py =④焦点在y轴上，开口向下：22 x py =- 图形①焦点在x轴上，开口向右:22 y px =②焦点在x轴上，开口向左：22 y px =-①② ③焦点在y轴上，开口向上：22 x py =④焦点在y轴上，开口向下：22 x py =-③④ 焦点①(,0) 2 p ；②(,0) 2 p -③(0,) 2 p ；④(0,) 2 p - 顶点 (0,0) 关系 p为焦点到准线的距离离心率 1 e= 准线①焦点在x轴上，开口向右准线： 2 p x=-②焦点在x轴上，开口向左准线： 2 p x= O x y l F P O x y l F P O x y P F O x y P F

第一部分基础自测 1、抛物线28y x =-的准线方程是（） A. 116x = B. 116y = C. 132y = D. 132 x = 2、已知抛物线的焦点坐标是(0,3)-，则抛物线的标准方程是（） A. 212x y =- B. 212x y = C. 212y x =- D. 212y x = 3、抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点(2,4)P ，则该抛物线的方程是_________. 5、设抛物线28y x =，过焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，过AB 中点M 作x 轴平行线交y 轴于N ，若2MN =，则AB =_________. 第二部分课堂考点讲解 1、已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点 (3,2)A . （1）求PA PF +最小值，并求出取最小值时P 点的坐标；（2）求点P 到点1 (,1)2B -的距离与点P 到直线12 x =-的距离之和的最小值. 渐近线 ③焦点在 y 轴上，开口向上准线：2 p y =- ④焦点在y 轴上，开口向下准线：2 p y = 统一定义到定点F 的距离与到定直线l ()F l ?的距离之比等于定值e 的点的集合．01e <<时，轨迹是椭圆；1>e 时，轨迹是双曲线，1=e 时，轨迹是抛物线。 (注:焦点要与对应准线配对使用)

高考数学抛物线大题专练30题(含详解)经典收藏版

目录目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11

抛物线大题专练（一） 1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

高中数学抛物线知识点归纳总结与经典习题

抛物线经典结论和例题

方程 1. 直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：b kx y += 抛物线，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，

2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+-所以 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点 ),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）一、抛物线的定义及其应用

(完整版)《抛物线》典型例题12例(含标准答案)

《抛物线》典型例题12例典型例题一例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）2=p Θ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a y 12=，a p 1 2=∴ ①当0>a 时， a p 41 2=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41 -=． ②当0?，则1->k ．

∵AB 中点横坐标为：28 422 21=+=+∴ k k x x ，解得：2=k 或1-=k （舍去）．故所求直线方程为：22-=x y ．解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22 212 188x y x y ==．两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即 2 121218 y y x x y y +=--． 421=+x x Θ444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ， 4 48 -= ∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）．则所求直线方程为：22-=x y ．典型例题三例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．如图所示，只须证明12 MM AB =，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切．证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作 l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知： BF BB AF AA ==11, 在直角梯形A A BB 11中： AB BF AF BB AA MM 21 )(21)(21111=+=+= AB MM 21 1=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切．说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值．（2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面