高中数学平面几何拓展-数学竞赛知识讲义

高中数学平面几何拓展

第一大定理：共角定理（鸟头定理）

即在两个三角形中，它们有一个角相等（互补），则它们就是共角三角形。它们的面积之比，就是对应角（相等角、互补角）两夹边的乘积之比。

内容：若两三角形有一组对应角相等或互补，

则它们的面积比等于对应两边乘积的比。

即：若△ABC和△ADE中，

∠BAC=∠DAE ，则S△ABC÷S△ADE=

第二大定理：等积变换定理。

1、等底等高的两个三角形面积相等；

2、两个三角形（底）高相等，面积之比等于高（底）之比。

3、在一组平行线之间的等积变形。

如图所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。

第三大定理：梯形蝴蝶定理。

任意四边形中，同样也有蝴蝶定理。

上述的梯形蝴蝶定理，就是因为AD‖EC得来的

第四大定理：相似三角形定理。

1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似；

2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

3、相似三角形性质：1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线！

图形：

第五大定理：燕尾定理。

性质：1.S△ABG：S△ACG=S△BGE：S△CGE=BE：CE

2.S△BGA：S△BGC=S△GAF：S△GCF=AF：CF

3.S△AGC：S△BGC=S△AGD：S△BGD=AD：BD

这就是燕尾模型。

其他几何定理：

塞瓦定理

塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

梅涅劳斯定理

当直线交三边所在直线于点时，

使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。[2]

它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足

AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

托勒密定理

定理内容

指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积

推论

1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆

清宫定理

设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上

射影定理

射影定理，又称“欧几里得定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形计算的重要定理。

概述图中，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

BD2=AD·DC

AB2=AC·AD

BC2=CD·AC

面积射影定理规定“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的

余弦。(即COSθ=S射影/S原）。” (平面多边形及其射影的面积分别是和 ,它们所在平面所成的二面角为 )

欧拉定理

几何定理

内容

1)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr．

2)三角形ABC的垂心H，九点圆圆心V,重心G,外心O共线，称为欧拉线

拓扑公式

V+F-E=2，V 是多面体P 的顶点个数，F 是多面体P 的面数，E 是多面体P 的棱的条数

利用欧拉定理可解决一些实际问题

如：为什么正多面体只有5种？ 足球与C60的关系？否有棱数为7的正多面体？等

复变函数

定理内容

cosx isinx ix e =+

e 是自然对数的底，i 是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

将公式里的x 换成-x ，得到：

cosx isinx ix e -=-，然后采用两式相加减的方法得到：

sin 2ix ix e e x i -??-??=，cos 2

ix ix e e -??+??=. 这两个也叫做欧拉公式。

上帝创造的公式

将

cos sin

ix

e x i x

=+中的x取作π就得到：

10

i

eπ+=.

这个等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

蝴蝶定理

蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”，不为中点时满

足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP

在圆锥曲线中

通过射影几何，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况）。

圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

１，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。

（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；

（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点Ｃ（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞０）；直线y=k2x交椭圆于两点Ｇ（x3，y3），Ｈ（x4，y4）（y４＞０）。

求证：k１x１x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。

求证：| OP | = | OQ |。

（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）

（Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1

焦点坐标为

x代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2， （Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k 整理，得

(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0

根据韦达定理，得

x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)，x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，

所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①

将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得

x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②

由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)

所以结论成立。

（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。

由C，P，H共线，得

(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4

解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)

由D，Q，G共线，同理可得

q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)

由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得：

x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)

即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)

所以|p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。

圆幂定理

圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)的统一

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PA·PB=PC·PD

共边定理

设直线AB与PQ交于M，则S△PAB/S△QAB=PM/QM

西姆松定理

过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

九点圆

三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。

九点圆具有许多有趣的性质，例如：

1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；

2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；

3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；

4. 九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。

5. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。