一阶微分方程的解法

一阶微分方程的解法

高数论文

小组成员：张鹏

学院班级：商学院工商管理（

微分方程解法的研究

窦文博孙洪毅余雷 2）班第一节微分方程的基本概念

【考研大纲要求解读】

了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

【重点及常考点突破】

1.一阶微分方程初值问题的几何意义：F(x，y，y’）=0 y（x0）=y0 寻求过点（X0 ,Y0) 且在该点出的切线斜率为y’的满足方程的那条积分曲

线。 2.带有未知函数的变上（下）限积分的方程称为积分方程，它通常可以通过一次或

多次求导化为微分方程求解。

3.验证函数是否是微分方程解的方法，可以由相应微分方程的阶数，求至n阶导数，

代入方程看是否恒等，若恒等，再进一步验证初始条件。

【典型例题解析】

基本题型一：验证所给函数是相应微分方程的通解或解.

【例1】判断y=x（∫e^x/xdx+C）是方程xy’- y=xe^x的通解。解：由y=x

（∫e^x/xdx+C），两边对x求导得；y’=∫e^x/xdx+C+x*e^x/x，即

y’=∫e^x/xdx+C+e^x，两边同乘以x，得xy’=x（∫e^x/xdx+C）+xe^x=y+xe^x，将原

式代入即得即xy’- y=xe^x.

故y=x（∫e^x/xdx+C）是原方程的通解. 基本类型二：化积分方程为微分方程. 【例

2】设f(x)=sinx-?x0（x-t）f（t）dt，其中f为连续函数，求f（x）所

满足的微分方程.

【思路探索】如遇到积分方程，其求解问题可化为相应的微分方程初值问题求解方

法是对变上（下)线积分求导来确定微分方程，再利用原积分方程进一步确定初始条件解：对原积分方程关于x求导，得

F’（x）=cosx-?x0f（t）dt，①

对①式关于x求导得f“（x）=-sinx-f(x),即f“（x）+f（x）=-sinx 又有f（0）

=0，f’（0）=1，记y=f（x），则f（x）满足的微分方程为y”+ y=-sinx Y|x=0，y’|x=0=1 基本类型三：求初值问题的解【例3】求以下初值问题的解

y”=x

y（0）=a0，y’（0）=a1，y”（0）=a2. 解：由y”=x，得

y”=1/2x^2+C1，

y’=1/6x^3+C1x+C2，y=1/24x^4+1/2C1x^2+C2x+C3,

1

其中C1，C2,C3为待定的常数，将初值y”（0）=a2，y’（0）=a1，y（0）=a0代入

以上三式得C1=a2，C2=a1，C3=a0，故初值问题的解为y=1/24 x^4+1/2 a2x^2+a1x+a0.

基本类型四：由微分方程通解求微分方程

【例4】求以y=C1e^x+C2e^-x-X (C1，C2为任意常数)为通解的微分方程.

解：由 y=C1e^x+C2e^-x-X ，①

两边关于x求导得y’=C1e^x- C2e^-x -1② 上式两边再关于x求导得

Y”=C1e^x+C2e^-x③

由①式与③式得y=y”-x,即所求微分方程为y”-y-x=0

第二节可分离变量的微分方程

【考研大纲要求解读】

掌握可分离变量的微分方程

【重点及常考点突破】

1. 可分离变量方程的通解形式为：∫1/g(y)dy=∫f(x)dx，由于将g(y)作为分母，故

若g(y)=0

有解y1,y2,y3,....ym,则变量可分离方程还有特解 y=yi(i=1,2,...,m). 故注意在分

离变量的同时，

经常在两边要同除以某一函数，此时往往会遗漏该函数的某些特解，而这些特解通常

并不能由通解得到，因此要及时补全。 2. 在解微分方程时变量代换是重点也是难点，应

根据具体问题尽量简化方程，选好代换变量，使得变换后的方程式比较熟悉的方程类型，

求解后，应还原为原变量。

【典型例题分析】

基本类型Ⅰ：求解可直接变量分离型微分方程

【例1】求解下列微分方程（1）ydy+(x^2-4x)dy=0; (2)

xyy’=(x+a)(x+b); (a,b为常数) （3）1+y’=e^y

解:(1) 分离变量得dx/x^2-4x + dy/y=0,即1/4（1/x-4 �C 1/x）dx+dy/y=0,积分

得

1/4（ln|x-4|- ln|x|）+ln|y|=C1 故原方程通解为（x-4）y^2=Cx(C为任意常数)，

特解y=0 包含在通解之中。（2）用x（y+b）去除方程，则有y/y+b dy=x+a/a dx.积分

得y-bln|y+b|=x+aln|x|+C1

故通解为x^a(y+b)^b=Ce^y-x(C为任意常数)，特解y=-b包含在通解之中。（3）由

原方程可得dy/dx=e^y -1

分离变量得 dy/e^y-1=dx, 积分得∫dy/e^y-1=∫dx，∫（1/e^y -1 �C 1/e^y）de^y =∫dx,ln|e^y -1/e^y|=x+lnC1 则通解为ln|1-e^-y|=x+ lnC1 即1-e^-y=Ce^x(C为任意常数)。

方法点击:变量分离的同时，有时会漏掉一些解，最后要补上，这一点一定

2

要注意！

基本类型Ⅱ:求初值问题的解

【例2】微分方程xy‘+y(lnx-lny)=0 满足条件y(1)=e^3 的解为y=___ 解：

xy’+y（lnx-lny）=0，y’+y/xlnx/y=0,u=y/x 则y’=u’x+u. 所以

u’x+u=ulnu,u’/ulnu-u=1/x, ∫u’/ulnu-u=∫1/x dx,ln|lnu-1|=ln|x|+C1,lnu-1=cx

即y=xe^cx+1. 又y(1)=e^3, 所以e^3=e^x+1 所以c=2 所以y=xe^2x+1. 【例3】

若可导函数f（x）满足关系式f（x）=∫（0,2x）f（2/t）dt+ln2,

则f(x)=__

解：由题设条件求导得f’(x)=2f(x),解方程得f(x)=Ce^2x. 又当x=0时，f(0)=ln2,所以C=

ln2;故f(x)=ln2.e^2x,故应填：ln2.e^2x 方法点击:对于这类问题，一般是对积分

方程两边求导将其化为微分方程，再求解；这时应注意关系式中隐含的初始条件。

基本题型Ⅲ：求解经变量代换后可化为变量可分离型方程的微分方程【例4】求下

列微分方程的通解：

^2^2

(1)xdy-ydx=x?x^2+ydx; (2)dy/dx=(x+y-1/x+y+1) 解：（1）设y=xv,则

dy=x=vdx+xdv,则原方程变为 x(vdx+xdv)-xvdx=x

?x^2+x^2v^2)dx,

即dv=±?1+v^2dx. 当上式取正号即x>0时，有dv/?1+v^2=dx 积分得ln（v+?1+v^2）=x+C1,即v+?1+v^2=Ce^x. 由于v=y/x ,故原方程的解为y+?x^2+y^2=Cxe^x.当x<0时即

dv=-?1+v^2dx时可得到y-?x^2+y^2= Cxe^-x

（2）设u=x+y,则du/dx=1+dy/dx,故du/dx=1+(u-1/u+1),即（1+2u/u^2+1）du=2dx

积分得u+ln(u^2+1)=2x+C 变量还原得原方程通解为（x+y）^2=Ce^x-y -1

基本题型Ⅳ：应用题

【例5】已知函数y=y(x)在任意点处的增量Δy=yΔx/1+x^2 +a,且当Δ→

0 时，a是Δx的高阶无穷小，y（0）=π，则y（1）等于（）

【思路探索】如果能够获得y（x）的表达式，则y（1）显然可求，由于Δx→0时，a=0（Δx），这说明y在x处可微，且dy=y/1+x^2dx，于是本问题转化为微分方程的特解问题。

解：由于Δy=yΔx/1+x^2 +a,又当Δx→0时，a是Δx的高阶无穷小，故由微分方

程的定义知 dy=y/1+x^2 dx 【例6】线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任意切线线段

均被切点所平分，求这曲线方程。

Y-y?y?。解：设曲线方程y=y（x），曲线上点（x，y）的切线方程

X-x由假设，当Y=0时，X=2x，代入上式，得曲线所满足的微分方程初值问题

dy?y?dxx分离变量后积分得xy=C，由y（2）=3知c=6，故所求曲线方程为xy=6 y （2）?33

【例7】海中放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，

在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，

仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k＞0）．试建立y与v所满足的微分

方程，并求出函数关系式y=y（v）．从船上向海中放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k＞0）．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y（v）．解：以沉放点为原点，垂直向下为y轴正方向， d2y则有mg-kv-bp=m dt2dy?vd2ydvdydv?*?v，由dt，则

dt2dydtdydv=mg-kv-bp，分离变量得dy=dy则由上式化为v与y之间的微分方程mvmvdv，mg-bp-kv积-分得?mm（mg-bp）?1y???-??kkmg-bp-kv??dv=mm（mg-bp）v-ln（mg-bp-kv）?c， kk2-bp）由y|v?0?0，知c=m（mg故所求关系式为 ln（mg-bp），2kY=-mm（mg-bp）mg-bp-kvv-lnkk2mg-bp 【例8】某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污

水量为某湖泊的水v量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A

的水量为6vv，流出湖泊的水量为已知1999年年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定63指标．为了治理污水，从2000年年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超0过m．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内？（注：设湖v水中A的浓度时

均匀的．）

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感谢您的阅读，祝您生活愉快。

一阶常微分方程解法总结

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程：

①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得 到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程， 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(2 221 11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：0 1、 02 2 11=b a b a ，转化为 )(by ax G dx dy +=，下同①； 02、 022 1 1≠b a b a ，???=++=++00 222111 c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=0 0y y v x x u 得到，)()( )(221 12211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()( 以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、 2 5--+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u u dx du 7 1+= - ，有dx udu 7-= 所以)(72 2 为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72 22 为常数） （C C x y x =+--。 例2.2、 1 212+-+-=y x y x dx dy 解：由???=+-=+-012012y x y x 得到?????=-=3131y x ，令?? ???-=+=3131y v x u ，有???==du dx dv dy ，代入得到

一阶线性微分方程的解法

一阶线性微分方程的解法 一、引言 微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述自然界中的各种变化规律。其中，一阶线性微分方程是最基本、最常见的微分方程类型之一。本文旨在介绍一阶线性微分方程的解法，包括常数变易法和常系数法两种方法。 二、常数变易法 常数变易法是一种求解一阶线性非齐次微分方程的常用方法。设待解方程为： $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$ 其中，$P(x)$和$Q(x)$是已知函数，$y$是未知函数。 1. 求解齐次方程 将方程改写为： $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$ 解这个方程得到齐次方程的通解$y_h$。 2. 特解的猜测 对于非齐次方程，我们猜测其特解为$y_p=u(x)y_h$，其中$u(x)$是待定函数。 3. 求解待定函数

将$y_p$代入原方程，解得待定函数$u(x)$。 4. 得到通解 将齐次方程的通解$y_h$与特解$y_p$相加，得到原方程的通解 $y=y_h+y_p$。 三、常系数法 对于具有形如$\frac{dy}{dx}+ay=b$的一阶线性非齐次微分方程，我们可以使用常系数法进行求解。 1. 求解齐次方程 将方程改写为$\frac{dy}{dx}+ay=0$，解这个方程得到齐次方程的通解$y_h$。 2. 特解的猜测 对于非齐次方程，我们猜测其特解为$y_p=C$，其中$C$是常数。 3. 求解待定常数 将$y_p$代入原方程，解得待定常数$C$。 4. 得到通解 将齐次方程的通解$y_h$与特解$y_p$相加，得到原方程的通解 $y=y_h+y_p$。 四、实例分析

现以一个具体的例子来说明一阶线性微分方程的解法。 考虑方程$\frac{dy}{dx}+2xy=x^2$，我们首先求解齐次方程 $\frac{dy}{dx}+2xy=0$，得到齐次方程的通解$y_h=Ce^{-x^2}$，其中$C$为常数。 然后猜测非齐次方程的特解为$y_p=Ax^2$，将其代入原方程，得到待定常数$A=\frac{1}{2}$。 因此，原方程的通解为$y=Ce^{-x^2}+\frac{1}{2}x^2$。 五、总结 本文介绍了一阶线性微分方程的两种解法：常数变易法和常系数法。在使用这两种方法求解方程时，首先需要求解齐次方程，然后再根据 特解的形式进行猜测，并通过待定常数或待定函数的求解得到特解。 最后，将齐次方程的通解与特解相加，得到原方程的通解。这些方法 为解决一阶线性微分方程提供了有效的途径，对于深入理解微分方程 及其应用具有重要意义。

一阶常微分方程的解法

一阶常微分方程的解法 微积分是数学的重要分支之一，常微分方程是微积分中的重要内容。在微积分中，我们经常遇到一阶常微分方程的求解问题。本文将介绍 一阶常微分方程的解法及其应用。 1. 分离变量法 一阶常微分方程常常可以通过分离变量的方法求解。具体步骤如下：（1）将方程中的未知函数和其导数分离到方程的两侧； （2）对方程两边同时积分，得到未知函数的通解； （3）根据方程的边界条件，确定通解中的常数。 例如，考虑一阶常微分方程 dy/dx = x^2。我们可以将方程重写为 dy = x^2dx，并对其两边同时积分。通过求不定积分，我们得到 y = x^3/3 + C，其中 C 是常数。这样我们就求得了方程的通解。 2. 齐次方程的解法 对于一些特殊的一阶常微分方程，我们可以使用齐次方程的解法。 如果方程可以重写为 dy/dx = f(y/x)，其中 f 是一个只与 y/x 相关的函数，那么我们可以通过变量代换 y = vx，化简方程并求解得到原方程的解。 例如，考虑一阶常微分方程 y' = y/x。我们可以通过变量代换 y = vx，其中 v 是关于 x 的函数。将代换后的方程进行化简，得到 xdv/dx + v = v，整理后得到xdv/dx = 0。显然，这是一个齐次方程，其解为v = C1，其中 C1 是常数。将 v 代回原方程中，得到 y = C1x，即为方程的解。

3. 一阶线性方程的解法 一阶线性方程是一种常见的一阶常微分方程形式，可以写作 dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中 P(x) 和 Q(x) 是已知函数。一阶线性方程的解法如下： （1）求出方程的积分因子μ(x) = e^(∫P(x)dx)； （2）将方程两侧同时乘以积分因子μ(x)； （3）对方程两侧同时积分，得到y = (∫Q(x)μ(x)dx + C)/μ(x)，其中 C 是常数。 例如，考虑一阶线性方程 dy/dx + 2xy = x。首先，我们求出方程的 积分因子μ(x) = e^(∫2xdx) = e^(x^2)。然后，将方程两侧同时乘以μ(x)，得到 e^(x^2)dy/dx + 2xye^(x^2) = xe^(x^2)。对方程两侧同时积分，得到 y = (∫xe^(x^2)dx + C)/e^(x^2)，其中 C 是常数。通过求不定积分，并将 结果代回方程中，可以得到方程的解。 以上是一阶常微分方程的部分解法，这些方法可以帮助我们求解各 种形式的一阶常微分方程，并且在物理、工程、经济等领域有广泛的 应用。掌握这些解法，并理解其应用背后的原理，对于深入学习微积 分和应用数学具有重要意义。 总结起来，我们介绍了一阶常微分方程的分离变量法、齐次方程的 解法以及一阶线性方程的解法。这些方法对于求解各种形式的一阶常 微分方程具有重要意义，并在实际问题的建模和求解中得到广泛应用。

微分方程解法小结

微分方程解法小结 PB08207038 司竹 最近学习了微分方程，现对各种方法总结如下： 一、 一阶微分方程： F （x,y,y ＇）=0 ⒈可变量分离方程 形如φ（x ）dx-ψ(y)dy,或可化为该形式的方程称为可变量分离方程。 解法：两边积分得：∫φ〔x 〕dx=∫ψ〔y 〕dy 。 ⒉齐次方程 dx dy =φ）（x y 解法：换元。令y=μx ，则原方程可化为可分离变量方程。 3.一阶线性微分方程dx dy +P （x ）y=Q （x ）y n 解法：两边同时乘以一个积分因子e ⎰dx )x (P ，可得其通解公式： y=e ⎰-dx x ）（P ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+⎰⎰c dx e )x (dx x ）（P Q 。 4.Bernouli 方程：dx dy +P （x ）y=Q （x ）y n 解法：两边除以y n 得： +dx dy y 1n P （x ）y n 1-=Q （x ），再做代换μ= y n 1-，就化成 dx dy +（1-n ）P （x ）μ=Q （x ）的线性方程。 二、二阶微分方程F （x ，y ，y ＇，y ＇＇）=0 ⒈可降阶的二阶微分方程 ① f ( x , y ＇,y ＇＇)=0型：令p= y ＇，则y ＇＇=p ＇，将方程降阶为f （x ，p ，p ＇）=0的一阶方程。 ② f （y ，y ＇，y ＇＇）=0型：令p= y ＇，则y ＇＇=p dy dp ，将方程降阶为f （y ，p ，p dy dp ）=0. 2.二阶线性微分方程 ①齐次方程y ＇＇+ P （x ）y ＇+q （x ）y=0 由已知条件或观察法或其他方法可得出齐次方程的一个特解y 1，用y=z y 1带入方程，整理后得出另一特解y 2= y 1dx e y 1dx x 21⎰-⎰）（P 。(或可通过Liouville 公式，亦可得出另一特解。)再由叠加原理得:齐次方程的通解为y=c 1 y 1+c 2 y 2。 ③非齐次方程y ＇＇+ P （x ）y ＇+q （x ）y=f （x ）

一阶线性微分方程及其解法

一阶线性微分方程及其解法 一阶线性微分方程是微分方程中的一类常见问题，其形式可以表达 为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数。解一阶线性微 分方程的方法有多种，包括分离变量法、齐次方程法、一致变量法和 常数变易法等。本文将详细介绍这些解法，并通过实例加深理解。 分离变量法是解一阶线性微分方程常用的方法之一。它的步骤是将 方程中的y和x分开，并将含有y的项移到方程的一侧，含有x的项移到另一侧。例如，对于dy/dx + x*y = x^2，我们可以将方程变形为dy/y = x*dx。然后对等式两边同时积分，即得到ln|y| = (1/2)x^2 + C，其中 C为积分常数。最后，利用指数函数的性质，我们得到y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。 齐次方程法是解一阶线性微分方程的另一种常见方法。当方程为 dy/dx + P(x)y = 0时，我们可以将其转化为dy/y = -P(x)dx的形式。同样地，对等式两边同时积分，即得到ln|y| = -∫P(x)dx + C，其中C为积分 常数。然后，利用指数函数的性质，我们可以得到y = Ce^(-∫P(x)dx)， 其中C为任意常数。 一致变量法是解一阶线性微分方程的另一种有效方法。当方程可以 写成dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n时，我们可以通过将方程除以y^n，并引 入新的变量z = y^(1-n)来转化为一致变量的形式。这样，原方程就变成 了dz/dx + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)。接下来，我们可以使用分离变量法或 者其他已知的解法来求解这个方程。

一阶常微分方程的解法

一阶常微分方程的解法 微积分理论中，微分方程是一个非常重要的分支，它们通常用来描述一些变化或进化过程中的物理现象、生物现象或经济现象等等。其中，一阶常微分方程是微分方程中最简单的一类。在这篇文章中，我们将介绍一阶常微分方程的求解方法。 一、分离变量法 分离变量法是求解一阶常微分方程最简单也是最常用的方法。这个方法的基本思想是将微分方程中的变量分开，并将每个变量移到不同的方程两侧，最终得到可以分别积分的两个方程。具体来说，如果给定一个一阶常微分方程 $$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$ 我们可以将它改写为 $$dy=f(x,y)dx$$ 然后对两边同时积分，得到

$$\int dy=\int f(x,y)dx+C$$ 其中C为常数。 这个方法的局限性在于只适用于一些特定的微分方程，例如y'=ky这类的方程就可以很容易地用这个方法求解。 举个例子，考虑方程 $$\frac{dy}{dx}=x^2y$$ 我们将它改写为 $$\frac{dy}{y}=x^2dx$$ 然后对两边同时积分，得到 $$\ln|y|=\frac{1}{3}x^3+C$$

最终解为 $$y=Ce^{\frac{1}{3}x^3}$$ 其中C为常数。 二、齐次方程 如果方程中的所有项均能够写成y和x的某个函数的乘积，那 么这个方程就是齐次方程。对于这类方程，我们可以利用变量替 换来把它转化为分离变量的形式。具体来说，如果给定一个一阶 常微分方程 $$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$ 我们可以进行变量替换，令y=ux，其中u是关于x的未知函数。因此， $$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$

一阶微分方程的解法

一阶微分方程的解法 一、分离变量法： 分离变量法适用于可分离系数的方程，即可以将微分方程变换成关于未知函数的形式。 例如，考虑一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变换为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对方程两边同时积分，即可求解出未知函数y(x)的表达式。 二、齐次方程法： 齐次方程是指一阶微分方程可以表示为dy/dx = f(y/x)的形式。对于这种类型的方程，我们可以通过变量替换来将其转化为可分离变量的方程。 设y = vx，其中v是未知函数。将y = vx代入原方程，对方程进行求导得到dy/dx = v + x*dv/dx。将这两个式子代入原方程，得到v + x*dv/dx = f(v)。将此方程化简为可分离变量的形式后，进行变量分离、积分的步骤，即可得到未知函数v(x)的表达式。进一步代回y = vx，即可求得原方程的解。 三、一阶线性方程法： 一阶线性方程是指可以表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。对于这种类型的方程，我们可以利用积分因子法来求解。 设积分因子为μ(x) = exp[∫P(x)dx]，其中P(x)是已知的系数。对原方程两边同时乘以μ(x)，可以得到μ(x)*dy/dx + P(x)μ(x)y = Q(x)μ(x)。左边这个式子是一个恰当方程的形式，我们可以将其写成

d(μ(x)y)/dx = Q(x)μ(x)的形式。对上述方程进行积分后，再除以 μ(x)，即可得到未知函数y(x)。 四、可化为可分离变量的方程： 有一些一阶微分方程虽然不能直接分离变量，但是可以通过一些代换或适当变量变换后化为可分离变量的方程。 例如，对于方程dy/dx = f(ax + by + c)，我们可以设u = ax + by + c，将其转化为关于u和x的方程。然后对方程两边进行求导，并代入 y = (u - ax - c)/b，即可得到关于u和x的可分离变量方程。最后通过分离变量、积分等步骤，计算出未知函数y(x)的表达式。 以上是一阶微分方程的四种常见解法，涵盖了大部分的情况。然而，一阶微分方程的解法是一个广泛的课题，还有其他的方法和技巧可以用来求解特殊的方程。对于特定的一阶微分方程，我们可能需要结合具体的性质和方法，来选择合适的解法。要掌握一阶微分方程的解法，需要理解这些解法的原理和应用条件，并进行实践和练习。

一阶微分方程的通解

一阶微分方程的通解 §2一阶微分方程的初等解法第二章一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量替换§2.2 线性微分方程与常数变易法§2.3 恰当微分方程与积分因子一阶微分方程的初等解法：将微分方程的求解问题化为积分问题。 §2.1 变量分离方程与变量替换 dN rN dy N ( P 5人口模型) dt 求解d dt rN即dx ay . N ( t0 ) N 0 (1)当y 0 : 是一个解. dy (2)当y 0: y adx , 两边积分得ln y ax c 故y Ceax一、变量分离方程dy 1.变量分离方程的形式d x f ( x ) ( y ).f ( x)是x的连续函数,( y)是y的连续函数.dy 2. 变量分离方程的解法先分离变量, ( y ) f ( x )dx . 当 ( y ) 0再两边积分, ( y ) f ( x )dxdyG( y)F ( x) C(P31例1) 例1 求解方程dx 3 x 2 yy 解: 先分离变量, dy 3 x 2 dxdy再两边积分,y dy 3 x dx 12说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解. 或ln y x 3 ln C例2 求解方程dx x y. 解: 先分离变量, ydy xdx再两边积分,2dy ydy xdx2解得1 y2 1 x2 1 c 2 2 2故通解为x y c , 其中c为任意正常数.dy y ( c dx ) 例3 求解方程dx x (a by ) , x 0 y 0. (P31例2)解得ln y x c13即y e x c1 3 e c1 e x 即y c ex333解: (1)当y 0 : 是一个解. (a by )dy ( c dx ) dx (2)当y 0 : 先分离变量, y xdx 再两边积分, y dy c x dx 解得a ln y by c ln x dx k 即y a

一阶常微分方程解法总结

一阶常微分方程解法总结

一阶常微分方程解法总结

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到dx x f y g dy )()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0 =ηg 时，则0 )(η=x y 也是方程的解。 例1.1、xy dx dy = 解：当 ≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到 ) (2 ln 2 为常数C C x y += 所以)(1 1 2 1 2C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为) (12 1 2为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M ) ()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0 =y N 时，0 y y =为原方程的解，当0(0 =）x P 时，0 x x =为原方程的解。 例1.2、0 )1()1(22 =-+-dy x y dx y x 解：当0 )1)(1(22 ≠--y x 时，有dx x x dy y y 1 12 2 -= -两边积分得

故代入得到) 0(,3131313113 112 1 ≠⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-++- - =+C x y x y C x （3）、一阶线性微分方程： 一般形式：)()()0 1 x h y x a dx dy x a =+（ 标准形式：)()(x Q y x P dx dy =+ 解法：1、直接带公式： ))(()()()()()()(⎰ ⎰+⎰⎰=⎰⎰+⎰=---C dx x Q e e dx x Q e e Ce y dx x P dx x P dx x P dx x P dx x P 2、积分因子法： ])()([)(1 )(⎰ += C dx x Q x x x y μμ，⎰ =dx x P e x )()(μ 3、IVP ：)()(x Q y x P dx dy =+，0 )(y x y = ⎰⎰⎰+⎰=+⎰⎰=- - x x ds s P ds s P x x ds s P ds s P dt e t Q e y y dt e t Q e y t x t x x x x x 0 000 00)()(00)()()())(( 例3、1 )1()1(++=-+n x x e ny dx dy x 解：化简方程为： n x x e y x n dx dy )1(1 +=+-，则 ;)1()(,1 )(n x x e x Q x n x P +=+- = 代入公式得到n dx x n dx x P x e e x -1)()1()(+=⎰=⎰ =+-μ

一阶微分方程

一阶微分方程

第二节 一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式为 F (x ,y ,y ′)＝0 或 y ′=f (x ,y )， 其中F (x ,y ,y ′)是x ，y ，y ′的已知函数，f (x ,y )是x ，y 的已知函数．这一节只介绍几种较简单的一阶微分方程的解法．它们通过求积分就可以找到未知函数与自变量的函数关系，我们称这种求解微分方程的方法为初等积分法． 一、 可分离变量的方程 形如 x y d d =f (x )g (y ) (10-2-1) 或 M 1(x )M 2(y )d y =N 1(x )N 2(y )d x (10-2-2) 的一阶微分方程称为可分离变量方程．其中f (x )，g (y )及M 1(x )，M 2(y )，N 1(x )及N 2(y )均为已知连续函数． 方程(10-2-1)的求解步骤如下： 先将方程(10-2-1)分离变量得

) (y g y d =f (x )d x ， g (y )≠0， 根据一阶微分形式的不变性，再对上式两端分别积分 ⎰) (y g y d =⎰x x f d )(, 得通解 G (y )=F (x )+C ， 其中G (y )和F (x )分别是)(1y g 和f (x )的一个原函数，C 为任意常数．若有实数y 0使得g (y 0)=0,则y =y 0也是方程(10-2-1)的解，此解可能不包含在通解中． 例1 求解方程 x y d d ＝ 2 1y -． 解 分离变量得 2 1y y -d ＝d x ． 两边积分得 arcsin y =x +C 或 y =sin(x +C )． 注意 对于给定的C ，上述解中x ∈ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡---C C 2,2ππ．此外，y =±1也是方程的两个特解， 但它未包含在通解之中．这是由于分离变量时，

一阶常微分方程的求解

一阶常微分方程的求解 微积分是数学中非常重要的一个分支，它研究的是函数的极限、导数、积分以及微分方程等。在微分方程的研究中，一阶常微分方程是 最基本也是最常见的类型。本文将介绍一阶常微分方程的求解方法。 一、分离变量法 分离变量法是一种常用的求解一阶常微分方程的方法。其思想是将 微分方程中的变量分开，然后分别对两边进行积分，最终得到解析解。 例如，考虑一阶常微分方程形式为dy/dx=f(x)g(y)，其中f(x)和g(y) 分别是关于x和y的函数，我们希望求解y的表达式。首先，我们将方程重新排列为dy/g(y)=f(x)dx，然后对两边同时进行积分，得到 ∫dy/g(y)=∫f(x)dx。接下来，我们可以通过求解这两个积分来得到问题的 解析解。 二、常数变易法 当一阶常微分方程形式为dy/dx=f(x,y)时，常数变易法是一种常用 的求解方法。其基本思想是假设y的解可表示为y=uv，其中u和v都 是关于x的函数。通过对y=uv进行求导，将其代入原微分方程，可以 得到一个新的方程，其中v和其导数可以互相约去。然后，我们可以 求解新方程得到v的表达式，再将其代入y=uv中，即可得到问题的解 析解。 三、齐次微分方程法

齐次微分方程是指方程右端项为0的一阶常微分方程。对于形如 dy/dx=f(y/x)的齐次微分方程，我们可以引入一个新的变量v=y/x，通过 对v进行求导，将其代入原微分方程，可以得到一个只含有v的方程。然后，我们可以通过对新方程进行积分求解v的表达式，再将其代入 v=y/x中，即可得到问题的解析解。 四、一阶线性微分方程法 一阶线性微分方程是指方程可以写成dy/dx+p(x)y=q(x)的形式。对 于这种类型的微分方程，我们可以使用一阶线性微分方程的解法来求解。具体来说，我们可以通过乘以一个积分因子，将其变为一个恰当 微分方程，然后再进行求解。 综上所述，一阶常微分方程的求解可以通过分离变量法、常数变易法、齐次微分方程法和一阶线性微分方程法等方法进行。每种方法都 有其适用的场景和操作步骤，需要根据实际问题来选择合适的方法。 通过熟练掌握这些方法，并进行大量的练习，相信大家可以顺利地解 决各种一阶常微分方程的求解问题。

解一阶线性微分方程

解一阶线性微分方程 一阶线性微分方程是一类常见的微分方程，解决这类问题的方法有很多。本文将介绍一些解线性微分方程的方法及其相关理论。 一、定义 一阶线性微分方程（简称线性微分方程）是指具有如下形式的微分方程： a(x)yb(x)y=f(x) 其中，a(x)，b(x)和f(x)是在区间[a，b]内定义的连续函数，y 是未知函数，y表示y的导数。 二、解法 1.一般解 一般解是指不考虑特殊情况的一般的解法，也就是通用的解法。 设定 f(x)=0，a(x),b(x)不全为0 则在[a,b]之间有： y= Cexp(-∫b(x)/a(x)dx) +f(x)exp(∫b(x)/a(x)dx)dx 其中C是一个任意常数。 2.特殊解 特殊解是指考虑特殊情况时，要使用的特殊的解法。 （1）a(x)=b(x)=0，f(x)=g(x) 则有： y=Cx+∫g(x)dx

其中C是一个任意常数。 （2）a(x)=b(x)=0，f(x)不等于0 则有： y=Cexp(∫f(x)dx) 其中C是一个任意常数。 （3）a(x)不为0，b(x)=f(x)=0 则有： y=C 其中C是一个任意常数。 三、实例 下面举一个实例来讲解解线性微分方程的方法及其实际应用。 实例：解 y+y=x+2（x>0） 解：这里a(x)=1，b(x)=1，f(x)=x+2，因此有 y=C*exp(-x)+x+2-2 即y=Cexp(-x)+x 取x=0时，有C=y0 综上，得通解为：y=y0exp(-x)+x 四、总结 线性微分方程是一类常见的微分方程，一般可以用一般解法和特殊解法来解决。一般解法适用于大多数情况，而特殊解法是在一般解法不能够满足特殊约束的情况下使用的，它们非常灵活，能够满足各种不同的需求。本文介绍了解一阶线性微分方程的方法，以及其实际

一阶微分方程解法

一阶微分方程解法 微分方程（differential equation）是数学中的重要概念，广泛应用于 自然科学、工程技术和社会科学等领域。它是描述物理、化学、生物、经济等问题的数学模型，对于研究和解决实际问题有着重要意义。一 阶微分方程（first-order differential equation）是指方程中最高阶导数为 一阶的微分方程。本文将介绍一些一阶微分方程的常见解法方法。 一、可分离变量法（Separable Variables Method） 可分离变量法是一种常见的解一阶微分方程的方法。对于形如 dy/dx = f(x)g(y)的分离变量方程，我们可以将其重新排列为g(y)dy = f(x)dx，并进行变量分离的积分求解。具体步骤如下： 1. 将方程重新排列为g(y)dy = f(x)dx； 2. 对两边同时积分，得到∫g(y)dy = ∫f(x)dx； 3. 对左右两边的积分进行求解，得到方程的通解。 二、线性微分方程的求解方法 线性微分方程（linear differential equation）是指未知函数和其导数 出现在线性组合中的微分方程。对于形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线 性微分方程，我们可以利用常数变易法（Method of Variation of Parameters）解得其通解。具体步骤如下： 1. 假设原方程的通解为y = u(x)y1(x)，其中y1(x)为已知的齐次方程 的解，u(x)为待定的函数；

2. 根据常数变易法，将u(x)代入方程中，并得到u(x)满足的方程； 3. 求解u(x)满足的方程，并代入通解表达式中，得到方程的通解。 三、恰当微分方程的求解方法 恰当微分方程（exact differential equation）是指存在一个原函数F(x, y)，使得该方程可以写成dF(x, y) = 0的形式。对于形如M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0的一阶微分方程，我们可以利用其恰当条件进行求解。具体步骤如下： 1. 对方程两边同时积分，得到一个未知函数F(x, y)； 2. 对F(x, y)关于x求偏导数，得到M(x, y)； 3. 对F(x, y)关于y求偏导数，得到N(x, y)； 4. 判断M(x, y)和N(x, y)是否满足恰当条件(dM/dy = dN/dx)； 5. 如果满足恰当条件，方程有解；如果不满足，方程无解。 四、常系数齐次线性微分方程的求解方法 常系数齐次线性微分方程（ordinary linear homogeneous differential equation with constant coefficients）是指系数为常数的齐次线性微分方程。对于形如y'' + ay' + by = 0的二阶齐次线性微分方程，我们可以通 过特征方程的根来确定其通解。具体步骤如下： 1. 假设y = e^(rx)为方程的解，代入方程得到特征方程； 2. 求解特征方程，得到特征方程的根r1和r2；

一阶常微分方程公式

一阶常微分方程公式 常微分方程是研究自变量和未知函数之间的关系的数学分支。其中，一阶常微分方程是指未知函数的导数只涉及到一阶的微分方程。一阶常微分方程的一般形式可以表示为： dy/dx = f(x) 其中，y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数。这个方程描述了未知函数的导数与自变量之间的关系。 一阶常微分方程可以通过不同的方法求解。下面将介绍几种常用的求解方法。 1. 可分离变量法 可分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法之一。对于可以写成dy/dx = g(x)h(y)形式的方程，我们可以将其变换为h(y)dy = g(x)dx的形式，然后对方程两边进行积分求解。 2. 齐次方程法 对于形如dy/dx = f(y/x)的齐次方程，我们可以通过变量代换y = vx将其转化为可分离变量的形式，然后进行求解。 3. 线性方程法

线性方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是已知函数。对于这种方程，我们可以通过积分因子的方法将其转化为可分离变量的形式，然后进行求解。 4. 变量替换法 对于一些特殊形式的一阶常微分方程，可以通过适当的变量替换将其转化为已知的一阶常微分方程，然后进行求解。 5. 恰当方程法 对于形如M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0的方程，如果存在一个函数u(x,y)，使得∂u/∂x = M(x,y)和∂u/∂y = N(x,y)，则该方程称为恰当方程。对于恰当方程，我们可以通过求解关于u的方程来得到原方程的解。 6. 数值解法 如果无法通过解析的方法求解一阶常微分方程，我们可以通过数值计算的方法得到其近似解。常用的数值解法有欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。 总结起来，一阶常微分方程是描述未知函数导数与自变量之间关系的数学方程。通过可分离变量法、齐次方程法、线性方程法、变量替换法、恰当方程法和数值解法等方法，我们可以求解一阶常微分方程并获得其解析或数值解。这些方法的选择取决于方程的形式和

一阶常微分方程解法总结

第 章一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如当时，得到，两边积分即可得到结果；当时，则也是 方程的解。 例1.1 、解：当时，有，两边积分得到所以显然是原方程 的解；综上所述，原方程的解为 ②、形如当时，可有，两边积分可得结果；当时，为原方程的 解，当时，为原方程的解。 例1.2 、解：当时，有两边积分得到，所以有；当时，也 是原方程的解；综上所述，原方程的解为。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如解法：令，则，代入得到为变量可分离方程，得到再 把 ②、形如 解法：令，则，代入得到为变量可分离方程，得到再把 ③、形如 解法：、，转化为，下同①；、，的解为，令得到，，下同 ②；还有几类： u 代入得到。 u 代入得到。 以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1 、 解：令，则，代入得到，有所以，把u 代入得到。 例2.2 、解：由得到，令，有，代入得到 ，令，有，代入得到，化简得到，，有，所以有，故代入得到（3）、一 阶线性微分方程： 一般形式： 标准形式： 解法：1、直接带公式： 2、积分因子法：

3、IVP ：， 例 3、 解：化简方程为： ，则 代入公式得到 所以， (4) 、恰当方程： 形如 解法：先判断是否是恰当方程： 如果有恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 有； 例 4、 解：由题意得到， 由得到，原方程是一个恰当方程； 下面求一个 由得，两边对 y 求偏导得到，得到，有， 故，由，得到 (5) 、积分因子法： 方程，那么称是原方程的积分因子；积分因子不唯一。 ①当且仅当， 原方程有只与 x 有关的积分因子， ②当且仅当， 原方程有只与 y 有关的积分因子， 例 5.1 、 解：由得，且有，有，原方程两边同乘，得到化 为， 例 5.2 、 解:由题意得到，，有 有，有，原方程两边同乘，得到，得到原方程的解为： (6) 、贝努力方程： 形如 , 解法：令，有，代入得到，下同( 3) 例 6、 解：令，有，代入得到，则， 有，，把 u 代入得到 . (7) 、一阶隐式微分方程： 一般形式：，解不出的称为一阶隐式微分方程。 下面介绍四种类型： ①、形如， 一般解法：令，代入得到，两边对 x 求导得到，这是关于 x ，p 的一阶线性微分方程，仿照 (3)， 1、得出解为，那么原方程的通解为 且为， 两边同乘以， 化为恰当方程， 下同 (4)。 且为， 两边同乘以， 化为恰当方程， 下同 (4)。 得到解为

一阶微分方程解题方法指导

一阶微分方程解题方法指导 刘 兵 军 在高数下册中，微分方程一章是独立性很强的内容，和积分与级数这些内容没有什么联系，故可以灵活安排讲授时间，即使在讲多元函数偏导数之前讲授本章内容也是可以的. 所谓微分方程就是由未知函数及其导数构成的等式. 方程中所含未知函数导数的最高阶叫作微分方程的阶. 如果方程的解中含有任意常数且其个数与方程阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. 满足确定任意常数初始条件的解为特解. 求解微分方程就是求其通解或进一步求满足某条件的特解. 本文主要讨论一阶微分方程 ),(y x f dx dy =的求解问题. 一、可分离变量的方程 一个一阶微分方程能变形为如下形式： dx x f dy y g )()(= （1） 则称其为可分离变量的方程. 假定方程（1）中)(y g 和)(x f 是连续的，则在（1）两边积分可得方程的解. 经过变形把方程变为（1）的形式，是解题的关键所在. 例1．求微分方程 xy dx dy 2=的通解. 解：分离变量得 xdx y dy 2= 两边积分得 ⎰⎰=xdx y dy 2 即 12ln C x y += 2112x C C x e e e y ==+ 令1C e C =可得2x Ce y = 例2．求微分方程的通解0)()(=-+-++dy e e dx e e y y x x y x . 解：分离变量得 dx e e dy e e x x y y 1 1+-=- 两边积分得 ⎰⎰+-=-dx e e dy e e x x y y 1 1 即 C e e x y ln )1ln()1ln(++-=- 得 C e e x y =+-)1)(1( 二、齐次方程 若一阶微分方程 ),(y x f dx dy =中的),(y x f 可写为x y 的函数)(x y ϕ，则称其为齐次方程.