第一讲 微分方程的基本概念

第一讲 微分方程的基本概念

教学目的：了解微分方程的有关概念

难 点：微分方程解的分类与判定

重 点：常微分方程、通解与特解、初始条件与初值问题

我们先通过具体的例子来说明微分方程的有关概念．

例1 设曲线y = f (x )在其上任一点(x ，y )的切线斜率为3x 2，且曲线过点(0，-1)，求曲线的方程．

解 由导数的几何意义知在点(x ，y )处，

有

23x dx dy =． (1) 此外，曲线满足条件 .10-==x y (2) (1)式两边积分，得

.332c x dx x y +==⎰ (3)

其中c 为任意常数．(3)式表示了无穷多个函 数图(6–1)，为得到满足条件(2)的具体曲线，以条件(2)代入(3)，得c = -1．故所求曲线的方程为

.13-=x y (4)

例2 质量为m 的物体在离地面高为0s 米处，以初速0v 垂直上抛，设此物体的运动只受重力的影响，试确定该物体运动的路程s 与时间t 的函数关系．

解 因为物体运动的加速度是路程s 对时间t 的二阶导数，由于物体运动只受重力的影响，所以由牛顿第二定律知所求函数)(t s s =应满足

g dt

s d -=22． (5) 这里g 为重力加速度，取垂直向上的方向为正方向．此外，)(t s 还应满足条件：

00(0),(0).

s s s v =⎧⎨'=⎩ (6)

(5)式两端对t 积分，得

1C gt dt

ds +-=．

(7) 再对t 积分，得

2122

1C t C gt s ++-=． (8) 把条件(6)代入(7)和(8)，得0201,s C v C ==，于是有

0022

1s t v gt s ++-=． (9) 关系式(1)与(5)都含有未知函数的导数，它们都称为微分方程．一般地有 定义1 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶．

未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程．本章只介绍常微分方程，在不致混淆的情况下，也称常微分方程为微分方程或简称为方程．

可以看出，方程(1)是一阶微分方程，方程(5)是二阶微分方程．而

x y y x y 2sin 4='-''+'''． (10)

+'''y x 256)(x y ='． (11)

都是三阶微分方程．

n 阶常微分方程的一般形式为

0),,,;()(=⋅⋅⋅'n y y y x F ． (12)

其中x 为自变量，y 为未知函数; ),,,;()(n y y y x F ⋅⋅⋅'是)(,,,n y y y x ⋅⋅⋅'的已知函数，且)(n y 的系数不为0．

如果方程(12)的左端函数F 为)(,,,,n y y y y ⋅⋅⋅'''的线性函数，则称方程(12)为n 阶线性微分方程．否则称(12)为非线性的．n 阶线性微分方程的一般形式为 )()()()()1(1)(0x f y x a y x a y x a n n n =+⋅⋅⋅++-． (13) 其中)(),(,),(),(10x f x a x a x a n ⋅⋅⋅均为x 的已知函数，且0)(0≠x a ．

例如方程(1)为一阶线性方程，方程(5)是二阶线性方程，而方程(11) 是三阶非线性方程．

定义2 如果将已知函数)(x y ϕ=代入方程(12)后，能使其成为恒等式，则称函数)(x y ϕ=是方程(12)的解．如果由关系式0),(=Φy x 确定的隐函数)(x y ϕ=是方程(12)的解，则称0),(=Φy x 为方程(14)的隐式解．

为今后叙述简便起见，将对微分方程的解和隐式解都不再加以区别，统称为方程的解．

定义3 若微分方程的解中所含(独立的)任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则称这个解为方程的通解．在通解中给任意常数以确定的值得到的解，称为微分方程的特解．

例如，函数(3)、(8)分别是方程(1)、(5)的通解，函数(4)、(9)分别是方程(1)、

(5)的特解，它们都由通解得到．

通常，为确定n 阶方程(12)的某个特解，需给出该特解应满足的附加条件，称之为定解条件．一般地，n 阶微分方程应有n 个定解条件，才能从通解中确定某个具体的特解．n 阶微分方程(14)常见的定解条件是如下形式的条件：

10)1(1000)(,,)(,)(--=='=n n y x y y x y y x y ．

其中1100,,,,-n y y y x 为1+n 个给定的常数，通常称这样的定解条件为初始条件．

例如，方程(1)满足初始条件(2)的特解是函数(4)，而方程(5)满足初始条件(6)的特解是函数(9)．

求微分方程满足某定解条件的解的问题，称为微分方程的定解问题; 求微分方程满足某初始条件的解的问题，称为初值问题．

例3 验证： 函数at C at C x sin cos 21+=是微分方程

x a dt

x d 222+= 0． (14) 的通解．

解 求出函数at C at C x sin cos 21+=的导数：

,cos sin 21at a C at a C dt

dx +-= .sin cos 222122at a C at a C dt

x d --= 将以上两式代入方程(14)的左端，得(14)．因此，函数at C at C x sin cos 21+=是方程(14)的解，又此函数中含有两个任意常数，而方程(14)为二阶微分方程，因此，函数at C at C x sin cos 21+=是方程(14)的通解．

例4 验证： 由方程C y xy x =+-22所确定的隐函数是微分方程

y x y y x -='-2)2(． (15) 的解，并求出满足初始条件11==x y 的特解．

解 在方程C y xy x =+-22两边对x 求导，得

022='+'--y y y x y x ．

即

y x y y x -='-2)2(．

所以由方程C y xy x =+-22所确定的隐函数是微分方程(15)的解． 以初始条件11==x y 代入方程C y xy x =+-22，得1=C ．于是，所求特解为

122=+-y xy x ．

小结：

微分方程的概念：阶、解、通解、特解、初始条件与初值问题．

第二讲 一阶微分方程

教学目的：掌握常见一阶微分方程的求解方法

难 点：一阶线性非齐次微分方程的通解

重 点：可分离变量的微分方程、齐次方程和一阶线性微分方程．

一阶微分方程的一般形式

0),,(='y y x F ，

或

),(y x f y ='．

本节将介绍某些特殊类型的一阶微分方程的解法，包括可分离变量的微分方程、齐次方程和一阶线性微分方程．

1．可分离变量的微分方程

如果一阶微分方程能化为

dx x M dy y N )()(=

(1)

的形式，那么原方程称为可分离变量的微分方程．要解这类方程，先把原方程化为(1)式的形式，称为分离变量，再对(1)式两边积分，得

⎰⎰=dx x M dy y N )()(，

便可得到所求的通解．

如果需要求其特解，可由初始条件

00y y x x ==

代入通解中定出任意常数C 的值，即可得到相应的特解．

例1 求解微分方程

xy dx

dy 2=． 解 原微分方程可以分离变量，分离变量后得

xdx dy y

21=． 两边积分 ⎰⎰=xdx dy y

21． 12ln C x y +=． 2

112x c C x e e e y ⋅==+．

2

1x C e e y ⋅±=．

因为1C e ±仍是任意常数，把它记作C ，便得原方程的通解为

2x Ce y =． 以后为了运算方便起见，把y ln 写成y ln ，以上解答过程简写为：

.ln ln 2C x y += 2

x Ce y =．

只要记住最后得到的任意常数C 可正可负即可．

例2 求微分方程

0)1()1(22=+-+dy x xy dx y

满足初始条件2)1(=y 的特解．

解 分离变量，得

dx x x dy y y )1(1122+=+． 即

dx x x x dy y y ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=+22111． 两边积分，得 C x x y ln 2

1)1ln(21ln )1ln(2122++-=+． 即 )ln(1)(1ln(222Cx y x =++）

． 因此，通解为

222)1)(1(Cx y x =++．

这里C 为任意常数．

把初始条件2)1(=y 代入通解，可得10=C ．于是，所求特解为

22210)1)(1(x y x =++．

例3 实验得出，在给定时刻t ，镭的衰变速率(质量减少的即时速度)与镭的现存量M = M (t )成正比．又当t = 0时，M = M 0，求镭的存量与时间t 的函数关系．

解 依题意，有

.0),()(>-=k t kM dt t dM (2) 并满足初始条件.00M M t ==

方程(2)是可分离变量的，分离变量后得

kdt M

dM -=． 两边积分，得

C kt M ln ln +-=．

即

kt Ce M -=． 将初始条件00M M t ==代入上式，得0M C =，故镭的衰变规律可表示为

.0kt e M M -=

一般地，利用微分方程解决实际问题的步骤为：

① 利用问题的性质建立微分方程，并写出初始条件；

② 利用数学方法求出方程的通解；

③ 利用初始条件确定任意常数的值，求出特解．

2．齐次方程

可化为形如 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛=x y f dx dy ． (3) 的微分方程，称为一阶齐次微分方程，简称为齐次方程．例如方程

0)2()(22=---dy xy x dx y xy

可化为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=x y x y x y xy x y xy dx dy 2122

22． 它是一阶齐次微分方程．

一般地，形如0),(),(=+dx y x N dy y x M 的方程，若),(y x M 与),(y x N 均为x ，y 的m 次齐次函数，则它是可化为形如(3)的齐次方程．

齐次方程(3)中的变量x 与y 一般是不能分离的，如果作变量替换

x

y u =． (4) 就可以把方程(3)化为可分离变量的方程，这是因为

ux y =，dx

du x u dx dy +=．

将其代入方程(3)，便得

)(u f dx

du x u =+． 这是变量可分离的方程，分离变量，并两边积分，得

dx x du u u f ⎰⎰=-1)(1． (5) 求出积分后，将u 还原成

x

y ，便得所给齐次方程的通解． 例4 解微分方程 .tan 2x

y x y y =-

' 解 原方程可写成 .tan

2x y x y y +=' 这是齐次方程．令x

y u =，f (u ) = 2tan u + u ．代入(5)得 .tan 2⎰⎰=x dx u du

积分得

.ln ln ln 2sin ln 2cx c x u =+=

.sin 2cx u = 将x

y u =代入上式，便得原方程的通解为 .sin 2cx x

y = 在微分方程中，一般习惯上把x 看作自变量，但有时若将y 看作自变量，求解时会很简便，如下例．

例5 求微分方程

023(22=--xydx dy x y ）． 满足初始条件10==x y 的特解．

解 原方程可化为

y x y x xy x y dy dx ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=231232

22．

令y

x u =，即uy x =，则dy du y u dy dx +=，代入上式，得 u

u dy du y 2512

-=． 分离变量，并两边积分，得

dy y du u u ⎰⎰=-15122．注左=⎰---2251)51(51u u d (凑微分)

即 C y u ln 5

1ln )51ln(512-=--． 将y

x u =代入，得到原方程的通解为 C y x y =-3255 将初始条件10==x y 代入通解中，得到1=C ．于是，所求特解为

15325=-y x y ．

与齐次方程类似，某些微分方程通过变量替换可化为可分离变量的方程，然后分离变量，经积分可求得通解．变量替换的方法是解微分方程最常用的方法．在后面，我们还会用到这种方法，这里再举一例．

例6 求解微分方程

11+-=y

x dx dy ． 解 令u y x =-，则u x y -=，

dx du dx dy -=1，于是 111+=-

u dx du ．

u

dx du 1-=． 分离变量，并两边积分，得 C x u +-=22．

以y x u -=代回，得

C x y x +-=-2)(2．

3．一阶线性微分方程

可化为形如

)()(x Q y x P dx

dy =+． (6) 的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中)(),(x Q x P 均为x 的已知函数．当

0)(≡x Q 时，称方程(6)是齐次的; 当)(x Q 不恒为零时，称方程(6)是非齐次的．

设方程(6)是线性非齐次微分方程，把)(x Q 换成零而写出

0)(=+y x P dx dy ． (7) 称为对应于方程(6)的线性齐次微分方程．

方程(7)是可分离变量的，分离变量后，得

dx x P y

dy )(-=． 两边积分，得 C dx x P y ln )(ln +-=⎰．

于是，方程(7)的通解为

⎰=-dx x P Ce y )(． (8)

下面求方程(6)的通解．由于方程(7)是(6)的特殊情况，那么方程(6)的通解中必包含着方程(7)的通解．它们的解之间必有某种内在联系，下面我们分析一下方程(6)的解的形式．

把方程(6)改写为

dx y x Q x P y dy ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=)()(． 两边积分，得

1ln )()(ln C dx y

x Q dx x P y ++-=⎰⎰． 即

⎰⋅⎰=-dx x P dx y x Q e e

C y ))(1（． 因为积分dx y

x Q ⎰)(中的被积函数含有未知函数y ，因此还不能说得到了方程(6)的解．但是，由于y 是x 的函数，则积分dx y

x Q ⎰)(的结果是x 的函数．故可设 )()(1x C e

C dx y x Q =⎰．

从而有

⎰

=-dx x P e x C y )()(． (9) 再求未知函数)(x C ．因为(9)式是方程(6)的解，所以(9)式应满足方程(6)，将y 及它的导数

⎰

-⎰'='--dx x P dx x P e x P x C e x C y )()()()()(． 代入方程(6)，得

)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x P x C e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---．

即

)()()(x Q e x C dx x P =⎰'-．

⎰

='dx x P e x Q x C )()()(． 两边积分，得

C dx e x Q x C dx x P +⎰=⎰)()()(.

把上式代入(9)式，便得方程(6)的通解为

⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(． (10) 这种将线性齐次方程(7)的通解(8)中的任意常数换成待定函数)(x C ，然后求得线性非齐次方程(6)的通解的方法，叫做常数变易法．

将(10)式写成两项之和

⎰

⎰⎰+⎰=--dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P )()()()(． 上式右端第一项是对应的线性齐次方程(7)的通解，第二项是线性非齐次方程(6)的一个特解(即在通解(10)中令0=C ，便得此特解)．因此，一阶线性非齐次方程的通解等于对应的线性齐次方程的通解与线性非齐次方程的一个特解之和．

例7 求解微分方程

x x x y y sin 2cot =-'．

解法1 常数变易法

对应齐次方程为

.0cot =-'x y y

分离变量，得

.cot 1xdx dy y =

两边积分，得

.sin sin ln cot x C Ce Ce y x xdx ⋅==⎰=

用常数变易法，把C 换成新的未知函数)(x C ，即令

.sin )(x x C y =

则

.cos )(sin )(x x C x x C y +'='

代入原非齐次方程，得

x x C 2)(='．

两边积分，得

C x x C +=2)(．

故所求通解为

.sin )(2x C x y +=

解法2 公式法

.sin 2)(,cot )(x x x Q x x P =-=

故

).

(sin )

2(sin )sin 1sin 2(sin )

sin 2()

sin 2(2sin ln sin ln cot cot C x x C xdx x C dx x

x x x C dx e x x e C dx xe x e y x x xdx xdx +⋅=+⋅=+⋅⋅=+⋅=+⎰⎰=⎰⎰⎰⎰-- 例8 求微分方程 02)6(2=+'-y y x y 满足初始条件12==x y 的特解． 解 这个方程不是未知函数y 与y '的线性方程，但是可以将它变形为

y

y x dy dx 262

-=． 即

2

3y x y dy dx -=-． (11) 若将x 视为y 的函数，则对于)(y x 及其导数

dy

dx 而言，方程(11)是一个线性方程，由通解公式(10)得 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰=⎰-C dy e y e x dy y dy y 332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C y y 213． 以条件2=x 时，1=y 代入，得2

3=C . 因此，所求特解为 2

232

y y x +=． 例9 求解微分方程

.)(ln 2y x a x

y dx dy =+ 解 原方程不是线性方程，但通过适当的变换，可将它化为线性方程．将原方程改写为

.ln 112

x a y x

dx dy y =+-- 即 .ln 111x a y x

dx dy =+--- 令1-=y z ，则上式变为

.ln 1x a z x

dx dz -=- 这是z 关于x 的一阶线性方程．由通解公式(10)，得通解

].)(ln 2

[2x a C x z -= 所以，原方程通解为

.1])(ln 2

[2=-x a C xy 一般地，形如 n y x Q y x P dx

dy )()(=+ ( 1,0≠n ) (12) 的方程，称为伯努利方程．这类方程可经过变换化为线性方程，方程(12)两边同

除以n y 得

)()(1x Q y x P dx

dy y n n =+--． 再令n y z -=1，则上式化为

)()(11x Q z x P dx

dz n =+-． 即

)()1()()1(x Q n z x P n dx

dz -=-+． 这是函数z 关于x 的一阶线性方程，从而可用常数变易法或公式法得出z ，再用n y -1代换z ，即得伯努利方程(12)的解．

小结：

1．可分离变量的方程：x x f y y g d )(d )(=，两边积分得通解．

2．一阶齐次方程：)(x y

y ϕ='，令u x

y =，得⎰⎰=-x x u u u d )(d ϕ． 注 形如)(c by ax f y ++='的方程可令u c by ax =++转化为可分离变量的方程．

3．一阶线性方程：)()(x Q y x P y =+'的通解为

]d e )([d )(d )(C x x Q e y x x P x x P +⎰

⎰=⎰-． 4．伯努利方程：n y x Q y x P y )()(=+'，令u y

n =-1可转化为一阶线性方程．

第三讲 可降阶的高阶微分方程

教学目的：掌握三种可以降阶的微分方程求解方法

重 点：第二类可以降阶的微分方程

难 点：第三类可以降阶的微分方程

从这节起我们讨论二阶和高于二阶的微分方程，这类方程称为高阶微分方程．有些高阶微分方程可以通过代换化成较低阶的方程来求解．以二阶微分方程而论，如果我们能设法作代换把它从二阶降至一阶，那么就有可能用第二节所讲的方法来求解．

下面介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法．

1．)()(x f y n = 型的微分方程

微分方程

)()(x f y n = (6-18)

的右端仅含有自变量x ，对于这种方程，两端积分便使它降为一个1-n 阶的微分方程

()11d )(C x x f y n +=⎰-．

再积分可得

()[]2

12d d )(C x C x x f y n ++=⎰⎰-． 依此继续下去，连续积分n 次，便得方程(6-18)的含有n 个任意常数的通解．

例 1 求微分方程x y x cos e 2-='''的通解．

解 对所给方程连续积分三次，得

12sin e 2

1C x y x +-=''， 212cos e 4

1C x C x y x +++='， 322122

1sin e 81C x C x C x y x ++++=， 这就是所求的通解．

2．()y x f y '='',型的微分方程

微分方程

()y x f y '='', (6-19)

中不显含未知函数y ．如果设p y ='，则p x

p y '==''d d ，方程(6-19)变成 ),(p x f p ='．

这是关于x 和p 的一阶微分方程，设其通解为

()1,C x p ψ=． 由于x

y p d d =

，因此又得到一个一阶微分方程 ()1,d d C x x

y ψ=． 对它积分即得(6-19)的通解 ()21d ,C x C x y +=⎰ψ．

例 2 求方程()1212='+''+y x y x 的通解．

解 所给方程不显含变量y ，令y p '=，则p y '=''，代入原方程得

()1212

=+'+xp p x ． 它是一阶线性微分方程，化为标准形式

221112x

p x x p +=++'， 其通解为

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰++⎰=⎰++-

x x C p x x x x x x d e 11e d 1221d 1222 ()

⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎰x x x C x d 11111

2212 211x

C x ++=． 将y p '=代入上式，并再积分一次得所求方程的通解

()

212arctan 1ln 21C x C x y +++=． 例 3 求方程()y x x y '=+''212满足初始条件1|0==x y ，3|0='=x y 的特解． 解 此方程不显含y ，令y p '=，则p y '=''，代入方程得

()

xp x p 212=+'．

分离变量后两边积分得

()

211x C p +=， 由3|0='=x y 得31=C ，从而

()

213d d x x y +=． 两边积分得

233C x x y ++=，

由1|0==x y 得12=C ．故所求特解为

133++=x x y ．

3．()y y f y '='',型的微分方程

微分方程

()y y f y '='',

中不显含自变量x ，对于这类方程，令y p '=，两边对x 求导得

y

p p x y y p x p y d d d d d d d d =⋅==''． 则方程(6-20)变成

),(d d p y f y

p p =． 这是一个关于变量p 和y 的一阶微分方程，设它的通解为

()1,C y p y ϕ=='．

分离变量并积分，即可得方程(6-20)的通解

()21d ,y x C y C =+ϕ⎰．

例4 求微分方程()02

='-''y y y 的通解． 解 方程中不显含自变量x ，设p y ='，则y p p

y d d =''，代入原方程得 0d d 2=-p y p yp

．

如果0≠p ，那么方程中约去p 并分离变量得

y

y p p d d =． 两端积分并化简，得y C p 1=，即

y C y 1='．

再分离变量并积分，得

21ln ln C x C y +=，

即

x C C y 1e 2=．

如果0=p ，那么C y =，显然它也满足原方程，但C y =已包含在上述解中(令01=C 即得)，所以原方程的通解为

x C C y 1e 2=．

小结：

1．)()(x f y n =型，连续积分n 次，便得方程的含有n 个任意常数的通解．

2．()y x f y '='',型（不显含未知函数y ）．令p y ='，方程变成),(p x f p ='．

3．()y y f y '='',型（不显含自变量x ）.，令y p '=，方程变成),(d d p y f y

p p =．

第四讲 二阶常系数线性微分方程

教学目的：掌握二阶常系数线性方程的求解方法

重 点：二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解

难 点：二阶常系数非齐次线性方程的特解

二阶常系数线性微分方程的一般形式为

)(x f qy y p y =+'+''．

这里p 、q 是常数，)(x f 是x 的已知函数．当()f x 恒等于零时，称为二阶常系数齐次线性微分方程，否则称为二阶常系数非齐次线性微分方程．

1．二阶常系数齐次线性微分方程

定理1 设)(1x y y =与)(2x y y =为二阶常系数齐次线性微分方程

0=+'+''qy y p y

(1)

的相互独立的两个特解(即)()(12x y x y 不恒等于常数)，则2211y C y C y +=为方程

(1)的通解，这里1C 与2C 为任意常数．

证 按假设)(1x y 与)(2x y 为方程(1)的解，所以有下式成立

0111

=+'+''qy y p y ，0222=+'+''qy y p y ． 又 2211y C y C y +=， 221

1y C y C y '+'='， 2211y C y C y ''+''=''． 代入(1)式左端，得

()()()22112211221

1y C y C q y C y C p y C y C qy y p y ++'+'+''+''=+'+'' 0)()(2222111

1=+'+''++'+''=qy y p y C qy y p y C ． 即2211y C y C y +=为方程(1)的解． 在)()(12x y x y 不恒等于常数的条件下，2211y C y C y +=中含有两个相互独立的任意常数1C 和2C ，所以2211y C y C y +=是方程(1)的通解．

由此定理可知，求方程(1)的通解问题，归结为求(1)的两个相互独立的特

解．为了寻找这两个特解，注意到当r 为常数时，指数函数rx y e =和它的各阶导数只相差一个常数因子，因此不妨用rx y e =来尝试．

设rx y e =为方程(1)的解，则rx r y e ='，rx r y e 2=''，代入方程(1)得

.0)(2=++rx e q pr r

由于0e ≠rx ，所以有

.02=++q pr r (2) 只要r 满足(2)式，函数rx y e =就是微分方程(1)的解．我们把代数方程(2)称为微分方程(1)的特征方程，特征方程的根称为特征根．由于特征方程是一元二次方程，故其特征根有三种不同的情况，相应地可得到微分方程(1)的三种不同形式的通解．

(ⅰ) 当042>-q p 时，特征方程(8-23)有两个不相等的实根1r 和2r ，此时可得方程(1)的两个特解：

x r y 1e 1=， x r y 2e 2=，

且≠=-x r r y y )(1212e /常数，故x r x r C C y 21e e 21+=是方程(1)的通解．

(ⅱ) 当042=-q p 时，特征方程(8-23)有两个相等的实根21r r =，此时得微分方程(1)的一个特解

x r y 1e 1=．

为求(1)的通解，还需求出与x r 1e 相互独立的另一解2y ．不妨设)(/12x u y y =，则

)(e 12x u y x r =， )(e 12

1u r u y x r +'='， )2(21121u r u r u e y x r +'+''=''． 将2

2,y y '及2y ''代入方程(1)，得 0])()2[(e 12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u x r ．

将上式约去x r 1e 并合并同类项，得

0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u ．

由于1r 是特征方程(2)的二重根，因此，0121=++q pr r ，且021=+p r ，于是得

0=''u ．

不妨取x u =，由此得到微分方程(1)的另一个特解

x r x y 1e 2=，

且≠=x y y 12/常数，从而得到微分方程(1)的通解为

x r x r x C C y 11e e 21+=，

即

)(e 211x C C y x r +=．

(ⅲ) 当042<-q p 时，特征方程(2)有一对共轭复根

βαi r +=1，βαi r -=2．

于是得到微分方程(1)的两个特解

x i y )(1e βα+=，x i y )(2e βα-=．

但它们是复数形式，为应用方便，利用欧拉公式θθθsin cos e i i +=将1y 和2y 改写成

)sin (cos e 1x i x y x ββα+=，

)sin (cos e 2x i x y x ββα-=．

于是得到两个新的实函数

x y y y x βαcos e )(2

1211=+=， x y y i

y x βαsin e )(21212=-=． 可以验证它们仍是(1)的解，且≠=x y y βtan /12常数，故微分方程(1)的通解为

)sin cos (e 21x C x C y x ββα+=．

综上所述，求微分方程(1)通解的步骤可归纳如下：

第一步 写出微分方程(1)的特征方程02=++q pr r ，求出特征根； 第二步 根据特征根的不同形式，按照下表写出微分方程(1)的通解： 表1 特征方程02=++q pr r 的根21,r r 微分方程0'''=++qy py y 的通解

两个不等实根21r r ≠ x r x r C C y 21e e 21+=

两个相等实根21r r = x r x C C y 1e )(21+=

微分方程全部知识点

微分方程全部知识点 微分方程是数学中一个重要的分支，研究的是含有未知函数及其导数的方程。微分方程的研究对于理解和描述自然界中的各种现象有着重要的意义。本文将介绍微分方程的基本概念、分类、解法以及一些常见的应用领域。 一、基本概念 1. 微分方程的定义：微分方程是一个方程，其中未知函数的某个导数和它本身以及自变量之间存在关系。 2. 微分方程的阶：微分方程中最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。常见的微分方程有一阶、二阶和高阶微分方程。 3. 常微分方程和偏微分方程：常微分方程中只涉及一个自变量的导数，而偏微分方程涉及多个自变量的导数。 4. 初值问题和边值问题：初值问题是指在给定初始条件下求解微分方程的问题，边值问题是指在给定边界条件下求解微分方程的问题。 二、微分方程的分类 1. 分离变量法：将微分方程中的变量分离到等式的两边，然后进行积分得到解。 2. 齐次微分方程：如果一个微分方程中的所有项都是同一个函数的同一个函数的倍数，可以通过变量替换的方法将其转化为分离变量的形式。 3. 线性微分方程：如果一个微分方程中的未知函数及其导数出现的次数均为1次，并且未知函数的系数只依赖于自变量，可以使用常数变易法或特解法求解。 4. 高阶线性微分方程：高阶线性微分方程可以通过降阶的方法

解决。 5. 常系数线性齐次微分方程：常系数线性齐次微分方程可以通过特征方程的求解方法得到解。 6. 变参法：对于一些特殊的微分方程，可以引入适当的参数来构造方程的解。 7. 常见的特殊微分方程：如常微分方程中常见的一阶线性微分方程、二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程、高阶常系数齐次和非齐次线性微分方程等。 三、微分方程的解法 1. 分离变量法：将微分方程中的变量分离，进行积分得到解。 2. 积分因子法：对于某些形式的微分方程，可以通过乘以适当的积分因子来将其转化为恰当方程，然后进行积分得到解。 3. 常数变易法：对于线性微分方程，可以通过假设待求解的解为一个常数的形式，然后带入原方程求解。 4. 特解法：对于一些特殊的微分方程，可以通过猜测函数的形式来求解。 5. 二阶常系数齐次线性微分方程的通解：对于二阶常系数齐次线性微分方程，可以通过特征方程的求解方法得到通解。 6. 变参数法：对于一些特殊的微分方程，可以通过引入适当的参数来构造方程的解。 四、微分方程的应用领域 微分方程在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。以下是一些常见的应用领域： 1. 力学：描述物体运动的微分方程，如牛顿第二定律。 2. 电路理论：描述电路中电流、电压随时间变化的微分方程。

微分方程的基本概念与分类

微分方程的基本概念与分类 微分方程是数学中的一个重要分支，它研究函数与其导数之间的关系。微分方程在自然科学、工程技术等领域中有着广泛的应用，可以 描述许多自然现象和物理问题。本文将介绍微分方程的基本概念和分类，以帮助读者更好地理解和掌握微分方程的知识。 一、微分方程的基本概念 微分方程是表示未知函数与其导数之间关系的方程。在微分方程中，未知函数一般用y表示，自变量一般用x表示。微分方程根据未知函 数的阶数和表达形式可以分为多种类型，下面将介绍几种常见的微分 方程。 1. 一阶微分方程 一阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为一阶的微分方程。一阶 微分方程的一般形式为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。一阶微分方程可以进一步分为可分离变量的微分方程、线性微分方程、齐次微 分方程等。 2. 二阶微分方程 二阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为二阶的微分方程。二阶 微分方程的一般形式为d²y/dx²=F(x,y,dy/dx)，其中F(x,y,dy/dx)是已知 函数。二阶微分方程可以进一步分为常系数二阶线性微分方程、变系 数二阶线性微分方程等。

3. 高阶微分方程 高阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为高于二阶的微分方程。 高阶微分方程的求解相对复杂，需要借助特殊函数或数值方法进行求解。 二、微分方程的分类 根据微分方程的阶数、表达形式以及系数的性质，可以将微分方程 进行进一步的分类。 1. 阶数分类 根据微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，微分方程可以分为 一阶微分方程、二阶微分方程、高阶微分方程等。 2. 标准形式分类 根据微分方程的标准形式，微分方程可以分为常微分方程和偏微分 方程。常微分方程是只涉及一元函数的微分方程，而偏微分方程是涉 及多元函数和它们的偏导数的微分方程。 3. 特殊类型分类 在微分方程中，有一些特殊类型的微分方程具有特定的特征和解法。例如分离变量的微分方程、线性微分方程、齐次微分方程、恰当微分 方程等。 总结：

微分方程的基本概念

第一章 常微分方程 微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要渠道之一。它是研究许多自然科学、工程技术以及生物技术、农业、经济学等诸多问题的有力工具。因而微分方程具有重要的应用价值。本章主要介绍常微分方程的一些基本概念，以及求解几种常用的微分方程的一些最基本的解法。 §1－1 微分方程的基本概念 下面我们通过两个具体例题来说明微分方程的基本概念。 例1 一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(x ，y ）处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程。 解 设所求的曲线方程为y=y(x),则根据导数的几何意义可知，未知函数y=y(x)应满足下面的关系： x dx dy 2= ， (1) 且当x=1时,y=2. 即y(1)=2 (2) 对（1）式的 x dx dy 2=两端积分，得 y=C x xdx +=? 2 2 (3) 其中C 是任意常数。 将y(1)=2代人，得C=1. 代人(3)式， 即得所求曲线方程 12 +=x y （4） 例2一质量为m 的质点，从高h 处，只受重力作用从静止状态自由下落，试求其运动方程． 解 在中学阶段就已经知道，从高度为h 处下落的自由落体，离地面高度s 的变化规律为s =h －21g t 2 ，其中g 为重力加速度．这个规律是怎么得到的呢？下面我们给出推导过程． 取质点下落的铅垂线为s 轴，它与地面的交点为原点，并规定正 向朝上．设质点在时刻t 的位置在s (t )（如 图1-1） 力的作用(空气阻力忽略不计)，由牛顿第二定律F =ma ，得 m 2 2) (dt t s d =－m g ． 图1-1

即 22) (dt t s d =－g (5) 根据质点由静止状态自由下降的假设，初始速度为0，所以s =s (t )还应满足下列条件 s | t =0=h ， ds | t =0=0， (6) 对(6)式两边积分，得 dt t ds ) (=－g ?dt =－g t +C 1 ， (7) 两边再积分，得 s (t )=?+-dt C gt )(1=－ 2 1g t 2 +C 1t +C 2 ， (8) 其中C 1，C 2均为任意常数． 将条件(7)代入(8)，(9)式，得C 1=0， C 2=h ．于是所求的运动方程为 s (t )= － 2 1g t 2 +h ． (9) 上述两个例子中的关系式（1）和（5）中，都含有未知函数的导数，自变量也都只有一个，且方程都附加有一定的条件。 定义 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程为常微分方程，简称微分方程． 例1的方程(1)、例2的方程(5)都是常微分方程． 微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶．如例1的方程(1)是一阶微分方程，例2方程(5)是二阶微分方程． 例如： ()x f dx dy =是一阶微分方程，133+=+'-''x y y y 是二阶微分方程， x y y x y x y x y cos 23)4(=-'+''-'''+是四阶微分方程。 一般地，n 阶微分方程的形式是( )0,,,,) (='n y y y x F ， （10） 其中F 是n+2个变量的函数。这里必须指出，在方程（10）中) (n y 是必须出现的，而 )1(,,,,-'n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程()01=+n y 中除)(n y 外其它变量 都没有出现。 二阶及其以上阶的微分方程统称为高阶微分方程。 未知函数及其各阶导数都以一次形式出现的微分方程称为线性微分方程，否则，称为非

高等数学中的微分方程简介

高等数学中的微分方程简介 微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等各个领域。它描述了变量之间的关系，并通过求解方程来研究这些关系的性质和行为。在高等数学中，微分方程是一个重要的研究内容，本文将对微分方程的基本概念、分类以及求解方法进行简要介绍。 一、微分方程的基本概念 微分方程是包含未知函数及其导数的方程。一般形式为： \[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\] 其中，\(y\)是未知函数，\(y'\)表示\(y\)的一阶导数，\(y''\)表示二阶导数， \(y^{(n)}\)表示\(y\)的\(n\)阶导数。方程中的\(F\)是已知函数，它是\(x\)、\(y\)及其导数的函数。 二、微分方程的分类 微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。 1. 常微分方程 常微分方程中只涉及一个自变量，如\(y'=f(x)\)、\(y''+y=0\)等。常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。 - 一阶常微分方程：形如\(y'=f(x,y)\)的方程，其中\(f\)是已知函数。 - 高阶常微分方程：涉及到\(n\)阶导数的方程，如\(y^{(n)}+a_1y^{(n- 1)}+...+a_{n-1}y'+a_ny=0\)。 2. 偏微分方程

偏微分方程中涉及多个自变量，如\(u_{xx}+u_{yy}=0\)、\(u_t=ku_{xx}\)等。 偏微分方程的求解相对复杂，一般需要借助数值计算方法。 三、微分方程的求解方法 求解微分方程是微分方程学的核心内容，常见的求解方法有以下几种。 1. 变量分离法 变量分离法适用于一阶常微分方程，通过将方程中的变量分离并进行积分求解。例如，对于方程\(y'=f(x)g(y)\)，可以将方程改写为\(\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\)，然后 对两边同时积分得到解。 2. 齐次方程法 齐次方程法适用于一阶常微分方程，通过引入新的变量进行变换，将齐次方程 转化为变量分离的形式。例如，对于方程\(y'=\frac{f(x)}{g(y)}\)，引入新变量 \(v=\frac{y}{x}\)进行变换，得到新方程\(\frac{dv}{dx}=\frac{f(x)}{xg(v)}\)，然后再利用变量分离法求解。 3. 一阶线性微分方程法 一阶线性微分方程是指形如\(y'+P(x)y=Q(x)\)的方程，可以通过积分因子法求解。具体步骤是先求解对应的齐次方程\(y'+P(x)y=0\)，然后引入积分因子\(u(x)=e^{\int P(x)dx}\)，将原方程乘以积分因子后进行积分得到解。 4. 常系数线性微分方程法 常系数线性微分方程是指形如\(y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_{n-1}y'+a_ny=0\)的 方程，其中\(a_1, a_2, ..., a_n\)为常数。可以通过特征方程的根来确定通解的形式， 并利用初始条件求解特定的解。 五、总结

微分方程基本概念与解法

微分方程基本概念与解法 微分方程是数学中重要的分支之一，广泛应用于自然科学、工程领 域以及经济学等各个领域。本文将介绍微分方程的基本概念和解法。 一、微分方程的基本概念 微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。一般形式为： dy/dx = f(x) 其中y表示未知函数，x表示自变量，f(x)为已知函数。这种形式的 微分方程称为一阶常微分方程。 二、微分方程的分类 根据微分方程中未知函数和自变量的阶次，微分方程可以分为一阶、二阶、高阶等不同类型。 1. 一阶微分方程 一阶微分方程是指未知函数的导数只与自变量x的一阶有关的微分 方程。一般形式可以写为： dy/dx = f(x, y) 其中f(x, y)为已知函数。常见的一阶微分方程有可分离变量、线性 微分方程、齐次微分方程等。 2. 二阶微分方程

二阶微分方程是指未知函数的二阶导数出现在方程中的微分方程。 一般形式可以写为： d²y/dx² = f(x, y, dy/dx) 其中f(x, y, dy/dx)为已知函数。常见的二阶微分方程有常系数二阶 齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。 三、微分方程的解法 解微分方程的方法有很多种，下面介绍几种常见的解法。 1. 可分离变量法 对于可分离变量的微分方程，可以通过分离变量的方式将方程化简 为两个独立变量的微分方程，再进行求解。 2. 线性微分方程的求解 对于线性微分方程，可以使用常数变易法或特征方程法来求解。常 数变易法将未知函数表示为一个待定函数与一个特解的和，特征方程 法则通过寻找特征方程的根来求解。 3. 齐次微分方程的求解 对于齐次微分方程，可以使用同类相除法或变量替换法等求解方法。同类相除法通过将分子与分母同除以未知函数的幂次，得到一个关于 新变量的一阶微分方程。变量替换法则通过引入新的变量，将原微分 方程转化为一个更简单的形式。 四、应用实例

微分方程的基本概念和解法技巧

微分方程的基本概念和解法技巧 微分方程是数学中重要的一种方程，它涉及到函数与它的导数之间的关系。在 物理学、工程学、经济学等领域中，微分方程广泛应用于描述各种变化和运动的规律。了解微分方程的基本概念和解法技巧，对于理解和解决实际问题具有重要意义。本文将介绍微分方程的基本概念以及一些常见的解法技巧。 一、微分方程的基本概念 1. 定义：微分方程是含有未知函数及其导数的方程。一般形式可以表示为 F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中 y 是未知函数。 2. 阶数：微分方程的阶数是指该方程中导数的最高阶数。常见的阶数有一阶、 二阶和高阶微分方程。 3. 解：微分方程的解是满足方程的函数。一般来说，一个微分方程可以有无穷 多个解。 4. 初值问题：初值问题是求解微分方程时给定一个或多个初始条件，根据这些 条件确定方程的解。初值问题通常涉及到一个点上的初始状态。 5. 常微分方程和偏微分方程：常微分方程只涉及到一个自变量，而偏微分方程 则涉及到多个自变量。常微分方程的解是一类函数，而偏微分方程的解是一个函数族。 二、微分方程的解法技巧 1. 变量可分离法：适用于可以将微分方程的变量分离开的情况。通过将方程两 边同时乘以不同变量的函数，使得方程可以变为两个积分的形式，从而得到解。

2. 齐次方程法：适用于可以通过变量代换将微分方程化为齐次方程的情况。齐次方程中的未知函数可以表示为一个比值函数，通过变量代换后，方程可以化为一个仅依赖于一个变量的方程，从而得到解。 3. 一阶线性常微分方程：适用于形如 y' + p(x)y = q(x) 的一阶线性常微分方程。通过乘以一个适当的积分因子将方程化为可积形式，然后求解积分得到方程的解。 4. 常系数线性微分方程：适用于形如 y⁽ⁿ⁾ + aₙy⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + a₁y' + a₀y = g(x) 的常系数线性微分方程。通过猜测形式，得到特解和齐次方程的通解，从而得到方程的通解。 5. 库仑变换：适用于形如 y'' = f(x, y, y') 的微分方程。通过库仑变换将微分方程化为关于新变量的线性方程，然后利用线性方程的解法可求得原微分方程的解。 6. 微分方程的数值解法：对于难以得到解析解的微分方程，可以使用数值方法来近似求解。常用的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法等。 三、总结 本文介绍了微分方程的基本概念以及一些常见的解法技巧。了解微分方程的基本概念对于理解和解决实际问题具有重要意义。在实际应用中，根据具体问题的形式和条件选择适当的解法技巧，并结合数值解法可以更准确地求解微分方程。继续学习微分方程的理论和应用将有助于深入理解数学和其在各个领域中的应用。

第一讲 微分方程的基本概念

第一讲 微分方程的基本概念 教学目的：了解微分方程的有关概念 难 点：微分方程解的分类与判定 重 点：常微分方程、通解与特解、初始条件与初值问题 我们先通过具体的例子来说明微分方程的有关概念． 例1 设曲线y = f (x )在其上任一点(x ，y )的切线斜率为3x 2，且曲线过点(0，-1)，求曲线的方程． 解 由导数的几何意义知在点(x ，y )处， 有 23x dx dy =． (1) 此外，曲线满足条件 .10-==x y (2) (1)式两边积分，得 .332c x dx x y +==⎰ (3) 其中c 为任意常数．(3)式表示了无穷多个函 数图(6–1)，为得到满足条件(2)的具体曲线，以条件(2)代入(3)，得c = -1．故所求曲线的方程为 .13-=x y (4) 例2 质量为m 的物体在离地面高为0s 米处，以初速0v 垂直上抛，设此物体的运动只受重力的影响，试确定该物体运动的路程s 与时间t 的函数关系． 解 因为物体运动的加速度是路程s 对时间t 的二阶导数，由于物体运动只受重力的影响，所以由牛顿第二定律知所求函数)(t s s =应满足 g dt s d -=22． (5) 这里g 为重力加速度，取垂直向上的方向为正方向．此外，)(t s 还应满足条件： 00(0),(0). s s s v =⎧⎨'=⎩ (6) (5)式两端对t 积分，得 1C gt dt ds +-=． (7) 再对t 积分，得

2122 1C t C gt s ++-=． (8) 把条件(6)代入(7)和(8)，得0201,s C v C ==，于是有 0022 1s t v gt s ++-=． (9) 关系式(1)与(5)都含有未知函数的导数，它们都称为微分方程．一般地有 定义1 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶． 未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程．本章只介绍常微分方程，在不致混淆的情况下，也称常微分方程为微分方程或简称为方程． 可以看出，方程(1)是一阶微分方程，方程(5)是二阶微分方程．而 x y y x y 2sin 4='-''+'''． (10) +'''y x 256)(x y ='． (11) 都是三阶微分方程． n 阶常微分方程的一般形式为 0),,,;()(=⋅⋅⋅'n y y y x F ． (12) 其中x 为自变量，y 为未知函数; ),,,;()(n y y y x F ⋅⋅⋅'是)(,,,n y y y x ⋅⋅⋅'的已知函数，且)(n y 的系数不为0． 如果方程(12)的左端函数F 为)(,,,,n y y y y ⋅⋅⋅'''的线性函数，则称方程(12)为n 阶线性微分方程．否则称(12)为非线性的．n 阶线性微分方程的一般形式为 )()()()()1(1)(0x f y x a y x a y x a n n n =+⋅⋅⋅++-． (13) 其中)(),(,),(),(10x f x a x a x a n ⋅⋅⋅均为x 的已知函数，且0)(0≠x a ． 例如方程(1)为一阶线性方程，方程(5)是二阶线性方程，而方程(11) 是三阶非线性方程． 定义2 如果将已知函数)(x y ϕ=代入方程(12)后，能使其成为恒等式，则称函数)(x y ϕ=是方程(12)的解．如果由关系式0),(=Φy x 确定的隐函数)(x y ϕ=是方程(12)的解，则称0),(=Φy x 为方程(14)的隐式解． 为今后叙述简便起见，将对微分方程的解和隐式解都不再加以区别，统称为方程的解． 定义3 若微分方程的解中所含(独立的)任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则称这个解为方程的通解．在通解中给任意常数以确定的值得到的解，称为微分方程的特解． 例如，函数(3)、(8)分别是方程(1)、(5)的通解，函数(4)、(9)分别是方程(1)、 (5)的特解，它们都由通解得到．

微分方程基本概念

微分方程基本概念 微分方程是数学中重要的概念，它在各个科学领域中都有广泛的应用。本文将介绍微分方程的基本概念以及一些基本解法。 一、微分方程的定义 微分方程是包含未知函数及其导数的方程。形式上，微分方程可以表示为： F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0 其中，x是自变量，y是未知函数，y', y'', ..., y^(n)是y的一阶到n阶导数，F是关于x、y、y'、y''等的函数。 二、微分方程的类型 根据微分方程中未知函数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程两类。常微分方程中的未知函数只与自变量的一个变量有关，而偏微分方程中的未知函数与自变量的多个变量有关。 常微分方程按照阶数又可以分为一阶微分方程、二阶微分方程等。一阶微分方程中只包含一阶导数，表示为： dy/dx = f(x, y) 二阶微分方程中包含一阶和二阶导数，表示为： d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx) 三、微分方程的解

解微分方程的过程被称为求解微分方程。根据微分方程的形式和特点，可以使用不同的解法。 1. 可分离变量法 对于可分离变量的一阶微分方程，可以通过分离变量的方式求解。 将方程两边分开，然后进行积分，最后解出未知函数的表达式。 2. 齐次方程法 对于形如dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的一阶微分方程，如果f(x, y)和g(x, y)在全平面上具有相同的齐次性质，即对任意常数k，f(kx, ky) = k^m f(x, y)和g(kx, ky) = k^n g(x, y)，则可以使用齐次方程法求解。 3. 线性微分方程法 对于形如dy/dx + P(x)y = f(x)的一阶线性微分方程，可使用线性微 分方程法求解。通过乘以一个积分因子将方程化为可积的形式，并通 过积分求解。 4. 变量分离法、公式法、特征值法等 对于不同类型的微分方程，还有其他一些特定的解法。例如，一些 特殊的二阶微分方程可以通过特征值法求解，一些形式特殊的微分方 程可以通过公式法求解。 四、应用领域 微分方程在物理学、生物学、经济学等多个领域中都有广泛的应用。在物理学中，微分方程用于描述运动、电磁场、热传导等现象，如牛

微分方程的基本概念

微分方程的基本概念 微分方程是数学中一类重要的方程，它揭示了变量之间的关系以及如何随时间、空间或其他变量的变化而变化。通过解微分方程，我们可以了解并预测诸如物理系统、工程问题、经济模型等领域中的现象和行为。 一、微分方程的定义和形式 微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。一般形式为： dy/dx = f(x) 其中，y是关于自变量x的未知函数，f(x)表示它的导数。微分方程还可以包括更高阶导数和多个变量。 二、微分方程的分类 根据微分方程中出现的未知函数和导数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程。 1. 常微分方程 常微分方程仅包含未知函数的一阶或高阶导数。根据方程中的未知函数和导数的个数，常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。 一阶常微分方程的一般形式为： dy/dx = f(x, y)

或者 dy/dx = g(x) 高阶常微分方程的一般形式为： dⁿy/dxⁿ = f(x, y, dy/dx, d²y/dx², ..., dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹) 其中，n为正整数。 2. 偏微分方程 偏微分方程包含多个未知函数和其偏导数。它们通常描述多变量函 数的行为，例如描述传热问题、波动现象等。常见的偏微分方程有泊 松方程、热传导方程、波动方程等。 三、微分方程的解 解微分方程意味着找到满足方程的函数。根据方程类型和求解方法，解可以分为显式解和隐式解。 1. 显式解 显式解是对于给定的自变量x，能够直接计算得到的解析表达式。 例如，一阶常微分方程dy/dx = f(x)的显式解为y = F(x)，其中F(x)是 f(x)的一个不定积分。 2. 隐式解 隐式解是对于给定的自变量x，无法直接解析计算的解。通常，隐 式解可以通过化简方程或使用特定的数值和计算方法来获得。

微分方程基本概念介绍

微分方程基本概念介绍 微分方程（Differential equation）是数学中研究函数与其导数（或 称微商）之间的关系的方程。它在物理学、工程学、经济学等领域有 广泛的应用。本文将就微分方程的基本概念进行介绍。 一、微分方程的定义 微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''分别表示一阶、二阶导数。 二、微分方程的类型 1.第一阶微分方程：形式为dy/dx = f(x)的微分方程，它包含一阶 导数，最高阶数为1； 2.第二阶微分方程：形式为d²y/dx² = f(x)的微分方程，它包含二 阶导数，最高阶数为2； 3.常系数微分方程：系数与自变量无关的微分方程，如dy/dx + ay = 0； 4.线性微分方程：未知函数及其导数只有一次项且可相加，如y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)； 5.非线性微分方程：未知函数及其导数有非线性项的微分方程， 如y' = y²。 三、解微分方程的方法

1.可分离变量法：将方程重写成形式dy/f(y) = g(x)dx，然后分别对x和y积分； 2.齐次微分方程法：将微分方程转化为全微分形式dz = P(x, y)dx + Q(x, y)dy，其中P和Q为关于x和y的函数，然后求z的通解； 3.一阶线性微分方程法：利用一阶线性微分方程的特性，找到形如y = u(x)v(x)的通解； 4.常系数线性微分方程法：对于常系数微分方程，可通过特征方程求得特解； 5.变量代换法：通过变量代换将微分方程转化为更简单的形式，再进行求解； 6.数值解法：对于无法解析求得的微分方程，可以通过数值计算方法求得近似解。 四、微分方程的应用 微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。它可用于描述动力学系统、电路网络、人口变化、物质传输等各类问题。微分方程作为数学建模的重要工具，能够帮助我们理解和解决实际问题。 总结： 微分方程是数学中研究函数与其导数之间关系的方程。它的类型包括第一阶微分方程、第二阶微分方程、常系数微分方程、线性微分方程和非线性微分方程等。解微分方程的方法主要有可分离变量法、齐

微分方程的基本概念

微分方程的基本概念 微分方程的基本概念 一、微分方程的定义 微分方程是描述自变量和它的某些函数之间关系的方程，其中包含了这些函数在某一点上的导数或者微分。 二、微分方程的分类 1.按照未知函数个数分类： (1) 一阶微分方程：只涉及一个未知函数及其导数。 (2) 二阶微分方程：涉及一个未知函数及其前两个导数。 (3) 高阶微分方程：涉及一个未知函数及其前n个导数。 2.按照系数是否含有自变量分类： (1) 常系数微分方程：系数不含有自变量。

(2) 变系数微分方程：系数含有自变量。 3.按照解析解是否存在分类： (1) 可解析求解的微分方程：存在精确解式。 (2) 不可解析求解的微分方程：不存在精确解式，需要采用近似方法求解。 三、常见一阶线性微分方程 1. 标准形式： $$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$ 其中，$p(x)$和$q(x)$均为已知函数，$y=y(x)$为未知函数。 2. 求解步骤： (1) 求出齐次线性微分方程的通解：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$ (2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。

(3) 通解为齐次通解加上特解。 四、常见一阶非线性微分方程 1. 可分离变量的微分方程： $$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$ 将式子两边同时积分即可求出通解。 2. 齐次微分方程： $$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$ 其中，$f(u)$是关于$u$的已知函数，将$y=ux$代入原式中，化简后得到一个变量可分离的微分方程，进而求出通解。 3. 一阶线性微分方程： $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$ 其中，$P(x)$和$Q(x)$均为已知函数。通过变量代换和积分可以求出

微分方程全部知识点

微分方程全部知识点 微分方程是数学中的一个重要分支，其概念和应用涵盖广泛，包括生物学、物理学、化学、工程学等众多领域。本文将重点介绍微分方程的基本概念、分类以及解法，并列出相关的参考内容。 一、基本概念 微分方程是描述自变量与其导数之间关系的数学方程。其中，自变量通常为时间，而导数表示系统在不同时间点的状态。微分方程可以分为两类：一类是常微分方程，另一类是偏微分方程。 二、分类 常微分方程是指导数只包含一个自变量的微分方程，按照阶数和形式可以分为以下几类： 1. 一阶常微分方程：dy/dx = f(x, y) 2. 可分离变量的一阶常微分方程：dy/dx = g(x)h(y) 3. 线性一阶常微分方程： dy/dx +p(x)y = q(x) 4. Bernoulli方程：dy/dx +p(x)y = q(x)y^n 5. 二阶线性常微分方程：d²y/dx² +p(x)dy/dx +q(x)y = f(x)

偏微分方程用于描述多元函数的导数关系，并且可表示为含有多个未知函数的方程。按照阶数和形式可以分为以下几类： 1. 热方程：u(x, t) = α∂u/∂t + β∂²u/∂x² 2. 波动方程：u(x, t) = α∂²u/∂t² + β∂²u/∂x² 3. 椭圆方程：u(x, y) = ∑a_ij(∂²u/∂xi∂xj) + ∑b_i(∂u/∂xi) + c(x, y) 三、解法 常微分方程解法主要有以下几种方式： 1. 可分离变量法：将常微分方程化为两个函数的乘积。 2. 齐次方程：将方程中所有项除以后，引入一个新的函数y = ux。 3. 一阶线性方程：利用积分因子将一阶线性微分方程约化为可积函数的形式。 4. Bernoulli方程、Riccati方程和其他特殊方程的解法。 偏微分方程解法主要有以下两种方式： 1. 分离变量法：把问题转化为一系列常微分方程。

微分方程的基本概念和解法

微分方程的基本概念和解法微分方程是数学中非常重要的一种工具。它是数学中最重要的一个分支之一，也是其他许多学科的基础。微分方程在物理、化学、工程学、经济学、生物学以及计算机科学等领域都有着广泛的应用。本文将介绍微分方程的基本概念和解法。 一、微分方程的定义 微分方程是用来描述一些量的变化率的方程。在微分方程中，自变量通常是时间或空间，因变量是需要得到的量。微分方程通常由一个或多个未知函数及其导数或微分构成。 二、微分方程的类型 微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程。偏微分方程是涉及到多个自变量的微分方程。

另外，微分方程还可分为一阶微分方程和高阶微分方程两类。一阶微分方程的未知函数只出现一次导数，高阶微分方程的未知函数出现多次导数。 三、微分方程的解法 1.分离变量法 分离变量法是求解一阶微分方程的一种常用方法。假设一个未知函数y是由x的函数所支配的，即y=f(x)。将y的微分表达式dy表示成dx的函数，然后将各变量分离出来，即得到 dy/g(y)=f(x)dx，再将其两边同时积分，即可求出y的解函数。 例如，考虑求解y'=2xy的一般解。首先将dy=y'dx，将y的微分表达式代入原方程，得到dy=2xydx。将dy除以y并将dx除以2x，得到dy/y=xdx。对其两边同时积分，可得ln|y|=x^2+C，其中C为常数。解出y，得y=±e^(x^2+C)，即为通解。 2.齐次方程法

齐次方程也是求解一阶微分方程的一种方法。若一个一阶微分方程可以化为dy/dx=f(y/x)的形式，则称其为齐次方程。求解齐次方程的方法为令v=y/x，等价于y=vx，然后对v关于x求导数，即dv/dx=y'x-y/x^2，代入原方程即可得到f(v)dv=vdx。对其两边同时积分即可得到通解y=Cx^m，其中m为常数。 例如，考虑求解y'=x/2y的一般解。首先令v=y/x，则y'=v+x dv/dx。将v=y/x代入原方程，得到xdv/dx=1/2v，即dv/v=dx/2x。对其两边同时积分，得到ln|v|=1/2ln|x|+C，代入v=y/x，可得 ln|y|=1/2ln|x|^2+C'，即为通解。 3.一阶线性微分方程法 一阶线性微分方程dy/dx+p(x)y=q(x)可以求得通解公式为y=e^(-P(x))(∫e^(P(x)q(x)dx+C)，其中P(x)是p(x)的一个原函数。 例如，考虑求解y'+2xy=x。由公式可知，P(x)=x，因此e^(- P(x))=e^(-x)。将p(x)=2x，q(x)=x代入公式，可得y=e^(- x)(∫xe^(x^2)dx+C)，即为通解。

微分方程的基本概念

微分方程的基本概念 微分方程是数学中的一个重要概念，它描述了变量之间的关系以及 函数与其导数之间的关系。微分方程在自然科学、工程技术和社会科 学等多个领域中都有广泛的应用。本文将介绍微分方程的基本概念以 及其在解决实际问题中的应用。 一、微分方程的定义与分类 微分方程是包含未知函数及其导数的方程。一般形式为：dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。微分方程 可分为常微分方程和偏微分方程两类。 常微分方程是只含有未知函数的一阶或高阶导数的微分方程，它在 某个区间上成立。偏微分方程是对多个变量的未知函数及其偏导数进 行求解，它在多维空间中成立。 二、微分方程的解与初值问题 给定一个微分方程，我们需要求解它的解。解是使得方程成立的函数。常微分方程的解可以表示为y = φ(x) + C，其中φ(x)是方程的特解，C是常数。特解是满足特定条件的解。对于常微分方程，我们还需考 虑初值问题，即给定一些初始条件，求解出满足这些条件的特解。 三、微分方程的阶与线性性质

微分方程的阶指方程中最高阶导数的阶数。一阶微分方程只包含一阶导数，二阶微分方程包含二阶导数，以此类推。方程的阶数决定了方程解的复杂程度。 微分方程还有线性性质，即满足叠加和齐次性质。叠加性质表示如果一个方程有两个特解，那么它们的线性组合也是方程的解。齐次性质表示如果一个方程的解满足某些条件，那么满足这些条件的倍数也是方程的解。 四、微分方程的应用 微分方程在科学和工程中有广泛的应用。它可以描述物理学中的运动、传热、弹性力学等现象。在经济学中，微分方程可以用来研究经济指标的变化趋势和关系。在生物学中，微分方程可用于模拟生物种群的增长和传播。在电路理论中，微分方程可以描述电路中电压和电流的变化。 五、常见微分方程的例子 1. 一阶线性微分方程：dy/dx + p(x)y = q(x) 2. 二阶线性常系数齐次微分方程：d²y/dx² + a dy/dx + by = 0 3. 二阶线性非齐次微分方程：d²y/dx² + a dy/dx + by = f(x) 4. 常见的偏微分方程有热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程等。 六、总结

微分方程的基本概念

微分方程的基本概念 1. 概念定义 微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。一般形式为： F(x, y, dy/dx, d^2y/dx^2, ..., d^n-1y/dx^n-1) = 0 其中，x是自变量，y是因变量，dy/dx是y对x的导数，依此类推。 微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。常微分方程中只涉及一个自变量，而偏微分方程中涉及多个自变量。 2. 重要性 微分方程在物理学、工程学、生物学等领域中有着广泛的应用。通过建立物理规律或实验数据与数学模型之间的联系，可以利用微分方程来预测和解释自然现象和工程问题。它是现代科学研究和工程技术应用的基础。 具体而言，微分方程在以下几个方面具有重要性： (1) 描述动态过程 微分方程可以描述许多动态过程，如运动物体的运动轨迹、电路中电流和电压随时间的变化、化学反应速率等。通过求解这些微分方程，可以得到关于系统行为的详细信息。 (2) 预测未来行为 通过已知的初始条件和微分方程，可以求解出函数在未来某个时间点的值。这使得微分方程成为预测和规划问题的重要工具，如天气预报、金融市场预测等。 (3) 优化问题求解 许多优化问题可以归结为微分方程的求解。例如，在物理中常常需要找到使某个物理量最小或最大的条件。这些问题可以通过求解微分方程获得最优解。

(4) 建模与仿真 通过将实际问题建模成微分方程，可以进行数值模拟和仿真。这对于工程设计、新产品开发等领域非常重要。例如，在飞机设计中，可以使用微分方程来模拟空气动力学效应，从而改进飞机性能。 3. 应用举例 微分方程在各个领域都有广泛的应用。以下是一些典型的应用举例： (1) 物理学中的运动描述 经典力学中，牛顿第二定律描述了物体运动与作用力之间的关系： m * d^2x/dt^2 = F(x, dx/dt) 其中，m是物体的质量，x是位置，t是时间，F(x, dx/dt)是作用力。 (2) 生物学中的生长模型 生物学中，许多生物体的生长过程可以用微分方程来描述。例如，人口增长模型可以使用以下方程描述： dP/dt = r * P * (1 - P/K) 其中，P(t)是时间t时刻的人口数量，r是人口增长率，K是环境容量。 (3) 工程学中的电路分析 电路中的电流和电压随时间变化可以通过微分方程来描述。例如，简单的 RC 电路可以使用以下微分方程描述： R * C * dV/dt + V = E(t) 其中，R是电阻值，C是电容值，V(t)是时间t时刻的电压值，E(t)是外加电压源。 (4) 经济学中的供需模型 经济学中的供需关系可以用微分方程来建模。例如，在一个简单的供需模型中：

微分方程的基本概念

微分方程的基本概念 第一章常微分方程 微分方程是数学理论（尤其是微积分）与实践相结合的重要途径之一。它是研究许多 自然科学、工程技术、生物技术、农业、经济和许多其他问题的有力工具。因此，微分方 程具有重要的应用价值。本章主要介绍常微分方程的一些基本概念和几种常见微分方程的 一些基本解。 下面我们通过两个具体例题来说明微分方程的基本概念。 示例一曲线通过点（1,2），曲线任意点m（x，y）的切线斜率为2x。求出曲线方程。 解设所求的曲线方程为y=y(x),则根据导数的几何意义可知，未知函数y=y(x)应满足 下面的关系： 阿迪？2X，（1）DX，当x=1，y=2，也就是说，y（1）=2（2）到（1） dy?2x两端积分，得dx2y=2xdx?x?c(3)其中c是任意常数。 如果y（1）=2代，C=1代（3）， 即得所求曲线方程y?x?1（4） 例2质量为M的粒子只有在重力的作用下才能从静止状态自由下落。试着找到它的运 动方程 解在中学阶段就已经知道，从高度为h处下落的自由落体，离地面高度s的变化规律 为s=h－程． 二百一十二 gt，其中g为重力加速度．这个规律是怎么得到的呢？下面我们给出推导过2m?取质 点下落的铅垂线为s轴，它与地面的交点为原点，并规定正?h向朝上．设质点在时刻t的位置在s(t)（如图1-1）．因为质点只受方向向下的重s(t)力的作用(空气阻力忽略不计)，由牛顿第二定律f=ma，得 D2S（T）M=-mg。参见图1-1 1 D2S（T），即=G（5） 2dt根据质点由静止状态自由下降的假设，初始速度为0，所以s=s(t)还应满足下列 条件s|t=0=h，

微分方程的基本概念与解法

微分方程的基本概念与解法 微分方程（differential equation）是数学中一个关键的概念和工具。 它用于描述变量之间关系的数学方程，涉及未知函数及其导数。微分 方程在物理、工程、经济等领域有广泛应用。本文将介绍微分方程的 基本概念和解法，帮助读者理解和运用微分方程。 一、微分方程的基本概念 微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。常微分方程是 未知函数的导数与自变量之间的关系，不涉及多个自变量。而偏微分 方程涉及多个自变量，常用于描述包含时间和空间变量的物理现象。 微分方程的阶数是指方程中最高阶导数的阶数。例如，一阶微分方 程只包含一阶导数，二阶微分方程则包含二阶导数。根据阶数的不同，微分方程可以进一步分为一阶、二阶和高阶微分方程。 微分方程的解是满足方程的函数。一般来说，微分方程的解可以是 显式解和隐式解。显式解可以直接表达出未知函数的表达式，而隐式 解则以方程形式给出。 二、微分方程的解法 1.分离变量法（separation of variables） 分离变量法适用于可将微分方程中的未知函数与自变量分开的情况。具体步骤是将方程化为未知函数和自变量的乘积形式后，将未知函数 和自变量分离到方程的两侧，再进行积分求解。

2.齐次方程法（homogeneous equation） 对于一阶线性微分方程形如dy/dx=f(x)/g(y)，其中f(x)和g(y)是已知函数，齐次方程法通过引入新的变量转化为可分离变量的形式。具体步骤是引入新的变量u(x)=y(x)/x，然后进行变量替换，进而得到可分离变量的微分方程。 3.常数变易法（variation of parameters） 常数变易法适用于二阶常系数齐次微分方程的解法。假设已知一个齐次线性微分方程的解y1(x)，则常数变易法构造一个新的解 y2(x)=v(x)y1(x)，其中v(x)是未知函数。通过将y2(x)代入原方程，求解v(x)的导数，将该导数带入方程中，最终得到v(x)的表达式。将v(x)代入y2(x)的表达式后，得到二阶常系数齐次微分方程的通解。 4.常系数线性微分方程法（constant coefficient linear differential equation） 常系数线性微分方程的特点是系数均为常数，一般形式为 a_n*y^(n)+a_(n-1)*y^(n-1)+...+a_1*y'+a_0*y=g(x)，其中a_n,a_(n-1),...,a_1,a_0是已知常数。通过使用特征方程（characteristic equation）求解齐次方程的解，再利用常数变易法求得特解，最终得到常系数线性微分方程的通解。 以上是常见的微分方程解法，不同类型的微分方程可能需要特定的解法。在实际应用中，根据具体问题的特点和条件，选择适当的解法进行求解。

微分方程

微 一、基本概念 微分方程：含有未知数的导数的方程 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 微分方程的解：找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式，这个函数 就叫做该微分方程的解 微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数 相同，这样的解叫微分方程的通解 微分方程的特解：确定了微分方程中的任意常数之后，就得到微分方程的特解 注： 一阶微分方程中含有1个任意常数 二阶微分方程中含有2个任意常数 N 阶微分方程中含有n 个任意常数 一阶微分方程的初始条件为0 0|y y x x ==，一阶微分方程求特解只需一个初始条件 二阶微分方程的初始条件为0 000||z y y y x x x x ='===及，二阶微分方程求特需两 个条件 例1、说出下列各微分方程的阶数 02)(2=+'-'x y x y x 一阶 02=+'-''y y x y x 二阶 022 =+''+'''y x y y x 三阶 例2、一曲线通过点（1,2），且在该曲线上任意点M （x ，y ）处的切线斜率为2x ，求曲线的 方程。 解： c x xdx y x y +==⇒='⎰222 （一阶微分方程的通解） 12,12 =⇒+===c c x y y x 代入把 12+=∴x y （一阶微分方程的特解） 二、几种类型的微分方程 1、可分离变量方程：形如) ()(y g x f dx dy ∙= dx x f y g dy ∙=⇒ )()(10分离变量解法：

⎰⎰ =⇒dx x f dy y g )()(1 20两边积分 （称为原方程的通解c x G y F +=⇒)()(30 例1、 的通解求微分方程 xy dx dy 2= 失去解）解：分离变量)(0(21 ≠=⇒ y xdx dy y ⎰⎰=⇒x d x dy y 21 两边积分 c x y +=2ln 2 x c e e y ∙±= （代替一个常数为常数，故下面直接用c e c ） 为通解）也是方程的解，所以2 2 0(x x ce y y ce y === 例2、的特解满足求2|02 2 =++==x y yx y xy x dx dy 解：先转换为可分离变量方程y y x x dx dy 2 2 11+∙+= dx x x dy y y 2211+=+⇒ 分离变量 dx x x dy y y ⎰⎰ +=+⇒22 11两边积分 )1(11)1(112 2 22x d x y d y ++=++⎰⎰ c x y ln )1ln()1ln(2 2++=+ 为原方程的通解)1(122x c y +=+ 52,0=⇒==c y x 代入将 452 2+=∴x y 所求特解为：