微分方程(1-3)
第9章微分方程与差分方程
第1节微分方程的根本概念
我们已经知道，利用函数关系可以对客观事物的规律性进展研究.而在许多几何，物理，经济和其他领域所提供的实际问题，即使经过分析、处理和适当的简化后，我们也只是能列出含有未知函数及其导数的关系式.这种含有未知函数的导数的关系式就是所谓的微分方程.求出微分方程中的未知函数的过程就叫解微分方程.
本章主要介绍微分方程的一些根本概念和几种常用的微分方程的解法.
实际问题中的数据大多数是按等时间间隔周期统计的.因此，有关变量的取值是离散变化的，处理他们之间的关系和变化规律就是本章最后的容——差分方程.
含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.
现实世界中的许多实际问题，例如，物体的冷却，人口的增长，琴弦的振动，电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题.这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.
例9.1 质量为m 的物体只受重力作用由静止开场自由垂直降落.根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度的乘积，即F ma =.取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向向下.下落的起点为原点.记开场下落的时间0t =，则物体下落的距
离x 与时间t 的函数关系()x
x t =满足
22
d x
g dt
=， (9.1) 其中g 为重力加速度常数.这就是一个2阶微分方程。
例9.2 产品的月产量为x 时的边际本钱
1
()82
c x x '=
+， (9.2) 就是一个1阶微分方程.
在微分方程中，假设未知函数是一元函数就称为常微分方程；假设未知函数是多元函数，就称为偏微分方程.本章只讨论常微分方程。
n 阶微分方程的一般形式是
()(,,,,,)0n F x y y y y '''=，
(9.3)
其中x 为自变量，()y
y x =是未知函数，上式(9.3)中，()n y 必须出现，而其余变量〔包
括低阶导数〕可以不出现.
如果能从式(9.3)中解出最高阶导数得到微分方程的如下形式
()(1)(,,,,,)n n y f x y y y y -'''= (9.4)
以后我们只讨论姓如式(9.4)的微分方程，并假设式(9.4)右端的函数f
在所讨论的围连续.
特别地，式〔9.4〕中的
f 如果能写成如下形式
()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y g x --'++++= (9.5)
则称式(9.5)为n 阶线性微分方程.其中1(),
,()n a x a x 和()g x 均为自变量x 的函数.把
不能表示成形如式(9.5)的微分方程称为非线性微分方程.
例9.3 试指出以下方程是什么方程，并指出微分方程的阶数. (1)
3dy x y dx =+ (2)sin (cos )tan 0dy
x x y x dx
++= (3)3
2235d y dy x y dx dx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
(4)33
ln d y dy x xy x dx dx ++= 解方程(1)是一阶线性微分方程.因为dy
dx
和y 都是一次.方程(2)也是一阶线性微分方程.因为两边除以sin x 就可看出.
方程(3)是2阶非线性微分方程，因为其中含有3
dy dx ⎛⎫
⎪
⎝⎭
.
方程(4)是3阶线性微分方程.因为33
,,d y dy
y dx dx
都是一次式. 如果一个函数代入微分方程能使方程式为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解. 例如，(a)212x gt =
,(b)2121
2
x gt c t c =++都是例9.1中的微分方程9.1的解，其中12,c c 为任意常数.
通常，称不含任意常数的解为微分方程的特解.而含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解为微分方程的通解〔一般解〕.
这里所说的相互独立的任意常数，是指它们取不同的值时就得到不同的解.从而不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.
上面的解中，(a)和(c)分别是方程(9.1)和(9.2)的特解，(b)和(d)分别是方程(9.1)和(9.2)的通解.
在实际问题常都要求寻找满足*些附加条件的解.此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数.这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件.
一般地，一阶微分方程(,)y f x y '=
的初始条件为 0
0x x y y == (9.6)
其中00,x y 都是常数.
二阶微分方程(,,)y f x y y '''=
的初始条件为
00,x x x x y y y y ==''== (9.7)
带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题. 微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线. 例9.4 验证函数3
()cos y x
c x =+〔c 为任意常数〕是方程
的通解，并求出满足初始条件0
0x y ==的特解.
解要验证一个函数是否是微分方程的通解，只要将函数代入方程，验证是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数一样.
对3
()cos y x c x =+，求一阶导数
把y 和
dy
dx
代入方程左端，得 因为方程两边恒等，且
y
中含有一个任意常数，方程又是一阶的，故
3()cos y x c x =+是题设方程的通解.
把初始条件
00x y ==代入通解3()cos y x c x =+中，得0c =.从而所求特解为
3cos y x x =.
习题9-1
1、 指出以下微分方程的阶数
〔1〕220xy yy x '''-+=
〔2〕2
35()sin 0y y x x ''-+=
〔3〕2
2(3)(45)0x
dx x y dy +++=
2、指出以下各题中的函数是否为所给微分方程的解. 〔1〕2
2,5xy y y x '== 〔2〕2122220,y
y y y c x c x x x
'''-
+==+ 〔3〕12121212()0,x
x y y y y c e c e λλλλλλ'''-++==+
3、验证1y cx c
=+〔c 为任意常数〕是方程2
()10x y yy ''-+=的通解，并求满足初始
条件0
2x y
==的特解.
4、设曲线在点(,)x y 处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试建立曲线所满足的微分方程，并求出通解.
习题9-1答案
1、〔1〕2阶〔2〕2阶〔3〕1阶
2、〔1〕是〔2〕是〔3〕是
3、特解为1
22
y
x =+ 4、微分方程为
3dy
x dx =，通解为414
y x c =+ 第2节一阶微分方程
微分方程没有统一的解法，必须根据微分方程的不同类型，研究相应的解法.本节我们将介绍可别离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.
一、可别离变量的微分方程. 在一阶微分方程
(,)dy
F x y dx
=中，如果右端函数能分解成(,)()()F x y f x g y =， x 与y 别离，x 的一个函数()f x 与y 的一个函数()g y 相乘的形式，即
()()dy
f x
g y dx
= (9.8) 其中
()f x ，()g y 都是连续函数.根据这种方程的特点，我们可以通过积分的方法来求解.
设()0g y ≠.用()g y 除方程(9.8)的两端，用dx 乘以方程的两端，使得未知函数y 的*函数及其微分与自变量x 的*函数及其微分置于等号的两边〔又一次别离了x 与y 〕得 再对上述等式两边积分，即得
1
()()dy f x dx g y =⎰⎰ (9.9)
积分出来以后就说明y 是x 的一个〔隐〕函数〔关系〕，就是方程(9.8)的解. 如果0()0g y =，则易验证0y
y =也是方程(9.8)的解.
上述求解可别离变量的微分方程的方法，称为别离变量法. 例9.5 求微分方程 的通解.
解先合并,dx dy 的各项得 设2
10,10y x
-≠-≠,别离变量得
两端积分211
dy x
dx y x =--⎰⎰ 得2
111ln |1|ln |1|ln ||22
y x c -=-+
于是2
21(1)(1)y c x -=±-
记1c
c =±，则得到题设方程的通解为22(1)(1)y c x -=-
例9.6 求微分方程
x dy
e y dx
=的通解. 解别离变量后两边积分 得1ln |
|ln ||x y e c =+
从而1x
e y c e =±
记1c
c =±，则得到题设方程的通解为x
e
y ce =
例9.7 一曲线通过点(3,2)，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求曲线的方程.
解设曲线的方程为()y
y x =.曲线上任一点(,)x y 的切线方程为
由假设，切点(,)x y 的切线位于两坐标轴间的线段的两个端点分别是0X
=时，
2Y y =和0Y =时，2X x =.将这两个端点代入切线方程都得到曲线所满足的微分方程
别离变量后积分，得到通解为xy
c =
将初始条件3|2x y ==代入通解得6c =. 从而所求的曲线方程为6xy =.
二、齐次方程 如果一阶微分方程 中的函数
(,)f x y 可以写成
y x 的函数，即(,)y f x y x ϕ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，于是 dy y dx x ϕ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
(9.10) 这称为齐次方程.
齐次方程可以通过引进新的未知函数的方法化成为可别离变量的微分方程.
令y u x =，u 是x 的一个新的未知函数.则,dy du
y ux x u dx dx
==+，
原齐次方程变成()du
x
u u dx
ϕ+= 别离变量后积分得
ln ||()du dx
x c u u x ϕ==+-⎰⎰
记()u Φ为
1
()u u
ϕ-的一个原函数，则得通解为()ln ||u x c Φ=+
再以
y x 代替u ,就得所给齐次方程的通解ln ||y x c x ⎛⎫
Φ=+ ⎪⎝⎭
例9.8 求微分方程2
2()()0xy x dx y xy dy ---=的通解.
解原方程变形为 就是一个齐次方程 令y u
x =
，则,dy du y ux x u dx dx
==+ 代入齐次方程得2
1du u x u dx u u
-+=- 别离变量，0,0u
x ≠≠时，得
2
1
1u du dx u x
=- 两边积分2
1
1u du dx u x
=-⎰⎰ 得211
ln |1|ln ||ln ||2
u x c -
-=+ 以
y x 代替u 就得到原方程的通解11ln |1|ln ||ln ||2y
x c x
--=+ 记2
11
c
c =±
得21y c x x
-
= 从而2
x xy c -=.
注.此题也可以直接别离变量法求解.
0y x -≠时，ydy xdx =-
积分得22111222
y x c =-+ 即2
2y
x c +=为原方程的通解.
这样此题得到两个通解形式2
x xy c -=和22y x c +=.说明微分方程的通解并不一
定要包含所有解！
三、一阶线性微分方程 方程
()()dy
p x y Q x dx
+= (9.11) 叫做一阶线性微分方程，它对于未知函数y 及其导数y '都是一次的.如果()0Q x ≡，则方程(9.11)称为齐次的，否则就称为非齐次的.
对于齐次一阶线性微分方程
()0dy
p x y dx
+= (9.12) 通过别离变量积分，可得它的通解
()p x dx
y Ce -⎰= (9.13)
而对于非齐次一阶线性微分方程(9.11)，我们可以利用它相应的齐次一阶线性微分方程(9.12)的通解(9.13)，并使用所谓常数变易法来求非齐次方程(9.11)的通解，这种方法是把齐次方程(9.12)的通解(9.13)中的任意常数C 变易换成x 的未知函数()u x ，即作变换
()p x dx y ue -⎰= (9.14)
假设(9.14)是非齐次方程(9.11)的解，代入(9.11)中进而求出()u x ，再代入(9.14)就得到非齐次方程(9.11)的解.为此，将(9.14)对x 求导，注意u 是x 的函数，得
()()()p x dx
p x dx dy du e up x e dx dx
--⎰⎰
=- (9.15) 将(9.15)和(9.14)代入(9.11)，得 别离变量后积分得
()()p x dx
u Q x e dx C ⎰
=+⎰ (9.16)
将(9.16)代入(9.14)就得到(9.11)的通解
()()()()p x dx p x dx p x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰
(9.17)
易见，一阶非齐次线性方程的通解(9.17)是对应的一阶齐次线性方程的通解(9.13)与其本身的一个特解((9.17)中取0C =的解)之和.此后还可看到，这个结论对高阶非齐次线性
方程也成立.
例9.9 求方程1cos x
y y x x
'+
=
的通解.
解题设方程是一阶非齐次线性方程，这时1cos (),()x
p x Q x x x
==
. 于是，按公式(9.17)，所求通解为 例9.10 求方程
38dy
y dx
+=的通解. 解这是一个非齐次线性一阶方程.下面不利用公式(9.17)，而采用常数变易法来求解. 先求解相应的齐次方程的通解.由 别离变量后积分得相应齐次方程的通解31x
y c e
-=，其中1c 为任意常数.
利用常数变易法，将1c 变易为()u x ，即设原非齐次方程的通解为3x y
ue -=
求导得333x
x dy du e ue dx dx
--=-
代入原非齐次方程得
38x
du e dx
-= 别离变量后积分得338()83
x
x
u x e dx e C ==+⎰
从而得到原非齐次方程的通解为38
3
x y
Ce -=+ 习题9－2
1、求以下微分方程的通解 〔1〕2
2(1)(1)0x y dx y x dy -+-=
〔2〕
3x y dy
dx
+= 2、求以下微分方程的通解
〔1〕0xy y '--=
〔2〕2
222()()0y x
xy y dx x x xy y dy -++++=
3、求以下微分方程的通解 〔1〕x y y e -'+
=
〔2〕sin xy y x '+=
4、求以下微分方程的初值问题： 〔1〕0cos (1)sin 0,|4
x
x ydx e ydy y π
-=++==
〔2〕20(1)(1),|1x x x y y x e y ='+-
=+=
5、*产品生产的总本钱C 由可变本钱与固定本钱两局部组成.可变本钱y 是产量x 的函数，且y 关于x 的变化率等于22
2xy x y +，当10x =时，1y =；固定本钱为
100.求总本钱函
数()c c x =.
习题9－2答案
1、〔1〕2
2(1)(1)x
y C --=；
〔2〕33x y
C -+=
2、〔1〕2
y Cx
+=；〔2〕arctan y x xy Ce
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
=
3、〔1〕()x
y x C e -=+；〔2〕1(cos )y C x x
=-
4、〔1〕(1)sec x
e
y +=〔2〕(1)x
y x e =+
5、99()1001)2C x =+
- 第3节可降阶的二阶微分方程
本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程的求解. 一、()y f x ''=
型
这种简形的方程，其解法就是屡次积分. 在()y f x ''=
两端积分，得1()y f x dx C '=+⎰
再次积分，得1212[()]()y
f x dx C dx C f x dxdx C x C =++=++⎰⎰⎰⎰
注：对于n 阶微分方程()
()n y f x =，显然也可以连续积分n 次，就得到含有n 个任
意常数的通解.
例9.11 求方程2sin x y e
x ''=+的通解. 解连续积分两次，得
这就是所求通解.
二、(,)y f x y '''=型
这种类型的特征是不显含y ，求解方法是：
令()y p x '=，则()y p x '''=，则原二阶方程化成了一阶方程
利用上一节的方法求出它的通解
1(,)p x C ϕ=，再根据1(,)dy y p x C dx ϕ'===也是一阶方程.
直接积分得12(,)y x C dx C ϕ=+⎰，就是原二阶微分方程的通解.
注：由于一阶微分方程(,)p f x p '=，我们并不都会求解.因此本类型(,)y f x y '''=方程的求解还不能说都可求出.
例9.12 求方程1x y y xe x '''=
+的通解. 解令p y '=，原方程化成
的一阶线性微分方程.从而
即1x p y c x xe '==+
因此，原方程的通解为
三、(,)y f y y '''=型
这种类型的特征是不明显地含x .这时我们把x 看成自变量
y 的函数，令p y '=，从而p 也是y 的函数.再利用复合函数的求导法则，把对x 的导数y ''化为对y 的导数，即
于是，(,)y f y y '''=
就变成了 这样就得到一个关于,y p 的一阶微分方程.
设1(,)y p y c ϕ'==是它的通解，则别离变量再积分就得到原方程的通解为
21(,)dy x c y c ϕ=+⎰.
注.一阶微分方程1(,)dp p y c dy
ϕ=不一定会求解，因此本类型(,)y f y y '''=也不一定能求出解来.
例9.13 求方程y yy '''=的通解. 解令p y '=，将x 看作是y 的函数. 这时dp
dp
dy
dp
y p dx dy dx dy ''==⋅=
代入原方程就得到一个一阶方程 别离变量再积分得211
2p y c =+ 再解一阶微分方程211
2y p y c '==+
别离变量再积分得
就是原方程的通解.
习题9－3
1、 求以下方程的通解
〔1〕cos y x x ''=-
〔2〕y x y '''=+
〔3〕(1)y y y '''=+
2、求以下微分方程初始问题的特解. 〔1〕300,|0,|0x x x y e y y =='''=== 〔2〕111
,|0,|2x x y y y y x ==''''=== 〔3〕200()0,|2,|1x x yy y y y y =='''''--===
习题9－3答案
1、〔1〕3121
cos 6y x x c x c =+++
〔2〕12x
x y c e xe c =-+
〔3
〕2x c +=2、〔1〕3111
939x y e x =--
〔2〕21y x =- 〔3〕1x y e =+
一阶常微分方程
一阶微分方程 1．关于常微分方程的基本概念（略） 2．一阶微分方程的解法 (1) 可分离变量的一阶微分方程 形如dy y g dx x f )()(=的方程，称为可分离变量的微分方程． 将上式两边同时积分即可求得通解．即 ??+=C dy y g dx x f )()(． 其中)(x f 、)(y g 在所考察的范围内是连续函数．若给定了初始条件则可求得方程的特解． (2) 齐次微分方程 形如?? ? ??=x y f dx dy 的方程，称为齐次微分方程． 令x y v =，则v dx dv x dx dy +=，从而有)(v f v dx dv x =+，原方程化为可分离变量的方程： x dx v v f dv =-)(，从而两边积分求得通解． (3) 一阶线性微分方程 形如)()(x Q y x P y =+'的方程，称为一阶线性微分方程．通解 ??? ? ??+?=-?dx x P dx x P C dx x Q x y )()(e )(e )( (4) 贝努利方程 形如n y x Q y x P dx dy )()(=+)1,0(≠n 的方程，称为贝努利方程． 令 n y Z -=1，则原方程化为 )()1()()1(x Q n Z x p n dx dZ -=-+， 这是关于Z 的一阶线性方程，代入公式求通解即可． 3.例题 （一）解各类一阶微分方程 1．判别下列微分方程的类型，并分别求出其通解或特解． （1）x y dx dy y e sin cos =- （2）y x y y x 24=-'
（3）0|,1)2sin cos (0=='+=x y y y y x 的特解 （4）xy y x dx dy 2 2+= 解 （１）原方程化为 x y dx y d e sin sin =-， 令y u sin =，得x u dx du e =-，此为一阶线性方程．按公式求得其通解为 ()())(e e e e 11C x C dx u x dx x dx +=?? ????+???=?---， 于是原方程的通解为 )(e sin C x y x +=． （2）原方程为y x y y x 2 4=-'，即y x y x y =-'4，它属于贝努利方程． 令21 y Z =，则可化为线性方程2 2x Z x dx dZ =-，其通解为 ??? ??+=??????+?=?? ????+??=??--C x x C dx x x x C dx x Z dx x dx x ln 212e 2e 22222 于是原方程的通解为 2 4ln 21?? ? ??+=C x x y ． （3）原方程为1)2sin cos (='+y y y x ，它不属于一阶微分方程的四种类型，可将y 作自 变量，x 作为函数，于是方程改写成 y y x dy dx 2sin cos =-， 此为x 的一阶线性方程，其通解为 []()[][]y y y y y y y y y d y y d y C y C y C yd C dy y y C dy y x sin sin sin sin sin sin sin sin cos cos e 2sin 2e 2e sin 2e e sin 2e e cos sin 2e e 2sin e +--=+-?-=+-=+?=?? ????+???=-----??? 代入初始条件0|0==x y ，得2=C ，故所求特解为 () y y x sin e 1sin 2-+-=． （4）原方程整理得
总结一阶微分方程的类型及其解法
总结一阶微分方程的类型及其解法 一阶微分方程是指只包含未知函数的一阶导数的方程。一阶微分方程 广泛应用于物理、工程、经济等各个领域，并且在实际问题中具有重要的 作用。下面将总结一阶微分方程的类型及其解法。 一阶微分方程可以分为可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努 利方程、可化为常数系数线性方程、可化为直接积分方程等几种类型。 1.可分离变量方程： 可分离变量方程指的是方程可以通过将变量分离到方程的两侧来求解。形式为dy/dx = f(x)g(y)。首先将方程化为dy/g(y) = f(x)dx的形式， 然后对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。最后可以求出y 的解。 2.齐次方程： 齐次方程指的是方程为dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的形式，其中f(x, y)和g(x, y)为齐次函数。这类方程可以通过进行变量代换，令y = ux， 即可将方程化为可分离变量的形式，进而解出y的解。 3.线性方程： 线性方程指的是方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式。对于这类方程，可以使用线性常数变易法来求解。通过引入一个特殊的函数u(x)， 可以将方程化为du/dx + [P(x) - Q(x)]u = 0的形式。然后可以使用可 分离变量的方法来求解。 4.伯努利方程：
伯努利方程指的是方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n的形式，其中n 为常数且n≠0。1、对于这类方程，可以通过简单的变量代换y = u^(1-n)来将方程化为线性方程，从而方便地求解。 5.可化为常数系数线性方程： 可化为常数系数线性方程指的是方程可以通过适当的变换化为形如 dy/dx + Py = Q的方程，其中P和Q为常数。一般来说，这类方程可以 通过进行一些适当的代换变量和函数来求解。 6.可化为直接积分方程： 可化为直接积分方程是一类特殊的一阶微分方程，形式为M(x,y) + N(x,y)dy/dx = 0。对于这类方程，可以通过将方程两边进行积分，从而 将方程转化为积分方程的形式，进而求出y的解。 总结一阶微分方程的类型及其解法，包括可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、可化为常数系数线性方程和可化为直接积分方程。了解不同类型方程的求解方法和技巧，可以更好地应用一阶微分方程解决 实际问题。
(完整版)微分方程试题及部分应用题答案整理版
第十章 微分方程习题 一.填空题：（33） 1-1-40、 微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、 微分方程 0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、 微分方程0d d d d 2 2=++s x s x s 的阶数是 . 1-4-43、 x y y y y sin 5''10'''4)() 4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y 2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0 d d =+y x y 的通解是 . 1-7-46、方程 y e y x ='的通解是 . 1-8-47、 方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 . 1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程 为 1-13-52、微分方程x e y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程 x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程 x y x f y x x d ),(0?=等价的微分方程初值问题
是 . 1-17-56、方程 0d )2(d )(2 2=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为 21221,(C C e C e C y x x +=为任意常数)的微分方程为 . 1-19-58、方程y x e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 . 1-19-59、方程0dy 1dx 2 =-+x xy 化为可分离变量方程是 1-20-60、方程xy y 2'=的通解是 1-21-61、 方程 x y xy x y x y d d d d 2 2=+化为齐次方程是 1-22-62、 若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω . 1-23-63、若kt Ce Q =满足Q dt dQ 03.0-=, 则=k . 1-24-64、y y 2'=的解是 1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和 x -1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为 1-26-66、 圆222r y x =+满足的微分方程是 1-27-67、 a x ae y =满足的微分方程是 1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dy x Q y x P x =+的通解是 . 1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方 程为 . 1-30-70、方程2 5x y =是微分方程y xy 2'=的 解. 1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不 等实根，则其通解为 . 1-33-73、将微分方程 0)2()(2 2=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为
(完整版)高等数学-微分方程证明题
高等数学 一、证明题（共 52 小题，） 1、验证32 213 1 t t C C x ++=是方程tx x t ''-'=2 的通解。 2、证明：由参数方程x t t y t t C =+=+++? ??????31321413 3 32()所确定的函数y y x C =(,)是方程 x y xy 3330+'-'=的通解。 3、证明：()x C y C ++=22 2 1（C C 12,为任意常数）是方程102 +''+'=yy y 的通解。 4、证明：y e x x =-2333212sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解。 5、证明：方程'+=y ky kq x ()的通解是y e C k q u e u kx ku x =+?? ???-?()d 0 ，其中 C 为任意常数。 6、验证：x x y y C 4224 2++=（C 为任意常数）是方程()d x xy x 32+++=()d x y y y 230的通解。 7、验证：y x e x x C x =+?? ? ? ??d 是微分方程xy y xe x '-=的通解。 8、验证x t t =-223(sin sin )是初值问题 d d sin d d 2200410302 x t x t x x t t t +===-?? ??? ??==的解。 9、验证x y C x C y C 22 123220++++=（C C C 123,,为任意常数）是微分方程 '''+'-'''=y y y y [()]()13022的解，并指出是否是通解。 10、验证y e t =+-321212是初值问题d d y t ty t y t +==??? ??=22 1的解。
常微分方程第一章
第一章 一阶微分方程 1.1学习目标： 1. 理解微分方程有关的基本概念, 如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分方程的三种主要方法: 解析方法, 定性方法和数值方法. 2. 掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程的猜测检验法, 常数变易法和积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质. 3. 能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场, 通过给定的斜率场描述方程解的定性性质; 理解和掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单的近似计算. 4. 理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念. 5. 理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定自治方程的相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为. 6. 理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念, 掌握发生分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解, 利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况. 7. 掌握在给定的假设条件下, 建立与实际问题相应的常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析. 1.2基本知识： (一) 基本概念 1. 什么是微分方程: 联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是 指等式），称之为微分方程. 2. 常微分方程和偏微分方程: (1) 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程, 例如 )(22t f cy dt dy b dt y d =++, 0)(2=++y dt dy t dt dy . (2) 如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏 微分方程. 例如 02 22222=??+??+??z T y T x T , t T x T ??=??422. 本书在不特别指明的情况下, 所说的方程或微分方程均指常微分方程. 3. 微分方程的阶数: 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数. 例如，
微分方程(1-3)
第9章微分方程与差分方程 第1节微分方程的根本概念 我们已经知道，利用函数关系可以对客观事物的规律性进展研究.而在许多几何，物理，经济和其他领域所提供的实际问题，即使经过分析、处理和适当的简化后，我们也只是能列出含有未知函数及其导数的关系式.这种含有未知函数的导数的关系式就是所谓的微分方程.求出微分方程中的未知函数的过程就叫解微分方程. 本章主要介绍微分方程的一些根本概念和几种常用的微分方程的解法. 实际问题中的数据大多数是按等时间间隔周期统计的.因此，有关变量的取值是离散变化的，处理他们之间的关系和变化规律就是本章最后的容——差分方程. 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶. 现实世界中的许多实际问题，例如，物体的冷却，人口的增长，琴弦的振动，电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题.这时微分方程也称为所研究问题的数学模型. 例9.1 质量为m 的物体只受重力作用由静止开场自由垂直降落.根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度的乘积，即F ma =.取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向向下.下落的起点为原点.记开场下落的时间0t =，则物体下落的距 离x 与时间t 的函数关系()x x t =满足 22 d x g dt =， (9.1) 其中g 为重力加速度常数.这就是一个2阶微分方程。 例9.2 产品的月产量为x 时的边际本钱 1 ()82 c x x '= +， (9.2) 就是一个1阶微分方程. 在微分方程中，假设未知函数是一元函数就称为常微分方程；假设未知函数是多元函数，就称为偏微分方程.本章只讨论常微分方程。 n 阶微分方程的一般形式是 ()(,,,,,)0n F x y y y y '''=， (9.3)
数学一数学二和数学三的数学微分方程解法
数学一数学二和数学三的数学微分方程解法数学微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、经济 等领域。数学一、数学二和数学三是大学数学学科中的三个重要组成 部分，其中涉及到的微分方程也是逐步深入的。本文将为您介绍数学一、数学二和数学三中微分方程的解法。 一、数学一中的微分方程解法 数学一中主要涉及到一阶微分方程的解法。一阶微分方程是指最高 阶数为一的微分方程，常见形式为dy/dx=f(x)。以下是数学一中常见的 微分方程解法方法： 1. 可分离变量法：将微分方程两边进行分离，然后分别进行求积分，最后得到解析解。 2. 齐次方程法：对微分方程进行适当的变量代换，将方程转化为齐 次方程，然后再进行求解。 3. 线性方程法：对微分方程进行线性变换，将方程转化为线性方程，然后再进行求解。 4. 恰当方程法：对微分方程进行适当的变换，使其变为恰当方程， 然后再进行求解。 二、数学二中的微分方程解法
数学二中主要涉及到二阶微分方程的解法。二阶微分方程是指最高 阶数为二的微分方程，常见形式为d²y/dx²=f(x)。以下是数学二中常见 的微分方程解法方法： 1. 特征方程法：对二阶微分方程进行特征方程的求解，得到特征根，然后再根据特征根的不同情况得到解析解。 2. 变量代换法：对二阶微分方程进行适当的变量代换，将方程转化 为可分离变量的形式，然后再进行求解。 3. 常数变易法：对二阶微分方程的解进行设定，设定一些常数的取值，然后再通过代入原方程进行求解。 4. 幂级数法：对二阶微分方程的解进行幂级数展开，得到幂级数的 系数，从而求得近似解。 三、数学三中的微分方程解法 数学三中主要涉及到高阶（大于二阶）的微分方程的解法。高阶微 分方程的解法较为复杂，常见的解法方法如下： 1. 特征方程法：对高阶微分方程进行特征方程的求解，得到特征根，然后再根据特征根的不同情况推导解析解。 2. 常数变易法：对高阶微分方程的解进行设定，设定一些常数的取值，然后通过代入原方程进行求解。 3. 幂级数法：对高阶微分方程的解进行幂级数展开，得到幂级数的 系数，从而求得近似解。
一阶微分方程
一阶微分方程
第二节 一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式为 F (x ,y ,y ′)＝0 或 y ′=f (x ,y )， 其中F (x ,y ,y ′)是x ，y ，y ′的已知函数，f (x ,y )是x ，y 的已知函数．这一节只介绍几种较简单的一阶微分方程的解法．它们通过求积分就可以找到未知函数与自变量的函数关系，我们称这种求解微分方程的方法为初等积分法． 一、 可分离变量的方程 形如 x y d d =f (x )g (y ) (10-2-1) 或 M 1(x )M 2(y )d y =N 1(x )N 2(y )d x (10-2-2) 的一阶微分方程称为可分离变量方程．其中f (x )，g (y )及M 1(x )，M 2(y )，N 1(x )及N 2(y )均为已知连续函数． 方程(10-2-1)的求解步骤如下： 先将方程(10-2-1)分离变量得
) (y g y d =f (x )d x ， g (y )≠0， 根据一阶微分形式的不变性，再对上式两端分别积分 ⎰) (y g y d =⎰x x f d )(, 得通解 G (y )=F (x )+C ， 其中G (y )和F (x )分别是)(1y g 和f (x )的一个原函数，C 为任意常数．若有实数y 0使得g (y 0)=0,则y =y 0也是方程(10-2-1)的解，此解可能不包含在通解中． 例1 求解方程 x y d d ＝ 2 1y -． 解 分离变量得 2 1y y -d ＝d x ． 两边积分得 arcsin y =x +C 或 y =sin(x +C )． 注意 对于给定的C ，上述解中x ∈ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡---C C 2,2ππ．此外，y =±1也是方程的两个特解， 但它未包含在通解之中．这是由于分离变量时，
微分方程求解-解微分方程
微分方程求解-解微分方程 微分方程求解求解微分方程：简单地说，就是去微分，将方程化成自变量与因变量关系的方程。 近来做毕业设计遇到微分方程问题，搞懂后，特发此文，来帮广大同学，网友。 1.最简单的例子： ——————》 求微分方程的通解。dx 解方程是可分离变量的，分离变量后得 两端积分： 得： 从而： 又因为。仍是任意常数，可以记作C 。 非齐次线性方程 2y 求方程的通解 解：非齐次线性方程。 先求对应的齐次方程的通解。5 ，
， 用常数变易法：把C换成u(x)，即令 则有，dx 1 2，代入原方程式中得 两端积分，得。33 再代入式即得所求方程通解 。3 法二：假设待求的微分方程是: 我们可以直接应用下式 得到方程的通解，其中， 2， 代入积分同样可得方程通解5 ，323 2.微分方程的相关概念：(看完后你会懂得各类微分方程) 一阶微分方程：或 可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为 的形式，解法： 得：称为隐式通解。
，即写成的函数，解法：dxx ydydududxduy设，则，，分离变量，积分后将代替u，齐次方程：一阶微分方程可以 写成 即得齐次方程通解。 一阶线性微分方程： 当时,为齐次方程， 当时，为非齐次方程， ， 全微分方程： 如果中左端是某函数的全微分方程，即： 应该是该全微分方程的通解。 二阶微分方程： 时为齐次时为非齐次 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： ，其中p,q为常数； 求解步骤： 1、写出特征方程：，其中r2，r的系数及常数
项恰好是(*)式中的系数； 2、求出式的两个根r1,r2 3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解： ，p,q为常数 型，为常数； 型 3.工程中的解法： 四阶定步长Runge-Kutta算法 其中h 为计算步长，在实际应用中该步长是一个常数，这样由四阶Runge-Kutta算法可以由当前状态变量Xt 的值求解出下状态变量Xt +1 的值 亲们，你们满意吗？ 一阶微分方程的解一阶微分方程的常数变易法的应用探析The exploration of linear ordinary differential equation of first order with method of leading variables 作者：刘* 专业：数学与应用数学 指导老师：杜* * 完成时间：2016年9月1号 摘要 常数变易法是作为求解一阶线性方程的解法给出的。本文先介绍
各类微分方程的解法大全
各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程 解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2
③y”=f(y,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1) 即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y”+py’+qy=f(x) 先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解 求y”+py’+qy=f(x)特解的方法: ①f(x)=P m(x)eλx型 令y*=x k Q m(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m(x)的m+1个系数 ②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型 令y*=x k eλx［Q m(x)cosωx+R m(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m(x)和R m(x)的m+1个系数
一阶齐次微分方程
一阶齐次微分方程 齐次（homogeneous）”是指代数式中所有的项都是同次的。在中学里我们可以用这 个概念把任意一个代数式归类为“齐次”或者“非齐次”，但是这个概念在微分方程这里 并不适用。我学高数时也难以理解“齐次”是什么意思，直到我寻找了它英文的解释。 从语言源头来看，“齐次”是对“homogeneous”的翻译，词义为：同种类的;同性质的;由相同成分（或部分）组成的。国外的数学家把它用在“differential equation” 之前应是来表示方程结构比较规整，容易得到解。“齐次微分方程”唯一的修饰词“齐次”代表其区别于其他微分方程的性质，而这个性质是源于结构而非源于次数，我们删去次数 的概念照样可以掌握这类方程的性质。这在定义中已有体现。 齐次微分方程的各类定义： （1）如果一阶微分方程可化成：y'=f(y/x)的形式，那么就称这方程称为“齐次（微分）方程”。 （2）如果一阶线性微分方程y' +p(x)y=q(x)中q(x)恒为0（即y' +p(x)y=0），则 此方程称作齐次的；如果q(x)不恒为0，则此方程称作非齐次的。 （3）如果n阶线性微分方程y（n）+ a1(x) y（n-1)+…+ an-1(x) y'+an(x) y=f(x) 中f(x) 恒为0，则此方程是“n阶齐次线性（微分）方程”；如果f(x) 不恒为0，则此 方程是“n阶非齐次线性（微分）方程”。 多项式中“homogeneous”的译者引申为“齐次”的确很最合适，但微分方程中“homogeneous”稳步译者为“齐次”就很含糊，“齐次方程”不如“齐型方程”更能够 彰显这种微分方程的特点（没别的特点，唯一的特点就是不好求解）。你VM288教材，可 以辨认出微分方程这部分都就是挑选出特定类型的微分方程来说其数学分析，毕竟多数微 分方程难以解析。
一阶三次常微分方程的解法
一阶三次常微分方程的解法 一阶三次常微分方程（ODE）是指一个求解方程组的方法，它可以用来解决微 分方程及其衍生的延伸问题。根据它的定义，一阶三次常微分方程一般形式如下： $$ \begin{aligned} y'+\ p_1 \ y= \ p_2 \ x^2 +\ p_3 \ x+p_4 \end{aligned} $$ 其中，$p_i$（i=1,2,3,4）是常数（可以是任意实数），$y'$是变量$y$的导数，$x^2$、$x$分别代表$x$的平方、一次方。 解决一阶三次常微分方程的方法称为解析解法，即采用分析的方法求得解。首先，把方程组用关于y的一次微分方程变形，即： $$ \begin{aligned} y'= cx^2 +dx +e-py \end{aligned} $$ 其中，$c=p_2$、$d=p_3$、$e=p_4$、$p=p_1$。解上式，可以得到$y$的解析 表达式： $$ \begin{aligned} y = \frac{1}{p} \left[ cx^2+dx+e + A e^{-px} \right] \end{aligned} $$ 其中$A$是待定常数，解出$A$，就可以求得$y$的解。 在解解析解法之前，必须熟悉各个元素，计算机只能处理单变量，而一阶三次 常微分方程的变量是相互联系的多变量，因此要配合数值方法来得到最合适的结果。当然，数值方法也会产生一些错误，如误差计算，因此解析表达式可以优化结果，使得得到的解更准确、更准确，可以极大地提高解精度。
总之，一阶三次常微分方程是一种重要的几何求解方法，它可以用来解决微分方程和其他相关问题，并可以通过解析解法，结合数值方法，解出所需的解，也可以有效调整结果的精度。
常微分方程教学大纲1(数学与应用数学专业)
云南师大数学学院 数学与应用数学专业课程教学大纲 [课程名称] 常微分方程（Ordinary Differential Equation） [课程编码] 08T103070 [课程类别] 学科基础课程 [课时] 51 [学分] 3 [课程性质、目标和要求] 《常微分方程》是云南师范大学数学与应用数学专业本科必修课中的一门学科基础课程。该课程针对云南师范大学数学与应用数学所有专业的本科学生。本课程是微分方程学科的基础，是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，是一门理论和应用紧密结合的重要课程。本课程是常微分方程稳定性理论、偏微分方程、微分方程数值解法、数学模型等应用数学各后继课程的基础。要求先修数学分析，高等代数和解析几何三门课程。 《常微分方程》的教学目的是：通过该课程的教学，使学生掌握常微分方程的基本概念，基本理论和求解的基本方法，让学生学习建立和解决微分方程模型的思想方法，从而训练其数学思维、应用意识和分析解决实际问题的能力。 《常微分方程》的教学要求是：重点讲授一阶方程的初等积分法，线性方程和方程组解的基本理论与方法，证明一阶方程初值问题解的存在唯一性的逐次逼近法思想。 [教学时间安排]
本课程计 3 学分，51学时，学时分配如下： [教学内容要点] 第一章绪论 一、学习目的要求 初步了解常微分方程的物理背景和其它实际背景，掌握方程建立的基本步骤和基本概念；了解常微分方程课程要讨论的基本问题和任务。 二、主要教学内容 1. 微分方程：某些物理过程的数学模型 2. 基本概念 三、课堂讨论选题
无 四、课外作业选题 1．习题1.2 ： 1—9题 2．习题2.5 ： 33题 第二章一阶微分方程的初等解法 一、学习目的要求 掌握一阶微分方程的初等积分法，熟练掌握：分离变量法、常数变易法和积分因子法；掌握特殊的一阶隐式方程的解法；会用已有知识建立常微分方程模型，并利用数学软件解决一些简单的问题。 二、主要教学内容 1.变量分离方程与变量变换 2.线性方程与常数变易法 3.恰当方程与积分因子 4.一阶隐方程与参数表示 三、课堂讨论选题 各种初等积分法之间的联系和区别是什么？ 四、课外作业选题
(整理)微分方程单元测试1-2-3参考答案
解方程 21 21 dy x y dx x y -+= -+。 解. 解方程组 { 210,210,x y x y -+=-+=得11 ,3 3 x y =-=。令1 ,31,3 x z y y =-=+⎧⎨⎩ 代入原方程， 则有 22d y z y dz z y -= -。再令y u z =，即 y uz =，则上式化为 ()() 21221u du dz z u u -= -+， 两边同时积分，得()22ln 1ln u u z c -++=，即() 2 2ln y z y z c -+=。 所以，原方程的通解为：22 11111ln 3333y x y x c ⎡⎤ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， 化简为2 2 x y xy x y c +-+-=。这里1 1 3 c c e =-，1c 为任意常数。 2、解方程 2 2y x y dx dy -=。 解 将原方程改为 2 dx x y dy y =-，这是一个以x 为函数，y 为自变量的一阶线性微分方程。 容易求得其齐次方程 2 dx x dy y =的解为 2x cy =。令原方程的解为2()x c y y =，对其两边关于y 求导，得到 2 ()2()dx dc x y c y dy dy =+，并代入原方程得到 ()1dc y dy y =-，积分得到()ln | |c y y c =-+。因此原方程的通解为 2(ln ||)x y c y =-。 3、解方程 1y x dy e xe dx -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 。 解 原方程可以变形为 ()() x y d y x xe dx ++= 即
微积分第2版-朱文莉第10章 微分方程与差分方程习题详解(1-3节)
微积分第2版-朱文莉第10章微分方程与差分方程习题详解(1-3节) 题10.1(A) 1.指出下列微分方程的阶数： 1) x(y')-2yy'+x=； 2) y^2(4)+10y''-12y'+5y=sin2x； 3) (7x-6y)dx+(x+y)dy=S； 4) 2d^2S/dt^2+S=0. 解：(1) 1阶；(2) 4阶；(3) 1阶；(4) 2阶。 2.判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？若是解，它是通解还是特解？ 1) x(dy/dx)=-2y，y=Cx^-2（C为任意常数）； 2) 2x(y'')-2y'+y=0，y=xe； 3) y''-2/(y'+y)=0，y=C1x+C2/x^2（C1，C2为任意常数）； 4) xdx+ydy=R，x+y=const（R为任意常数）。 解：(1) 通解；(2) 否；(3) 通解；(4) 通解。
3.验证：函数y=(C1+C2x)e^-x（C1，C2为任意常数）是 方程y''+2y'+y=的通解，并求满足初始条件y(0)=4，y'(0)=-2的特解。 解：由已知得y=C1e^-x+C2xe^-x，y'=C2e^-x-C1e^-x- C2xe^-x。 将y代入方程得(C1-2C2)e^-x=0，因为e^-x不为0，所以 C1=2C2. 所以通解为y=(C1+C2x)e^-x=(2C2+2C2x)e^-x=(2+2x)e^-x。 将初始条件代入得C1=4，C2=2，所以特解为 y=(4+2x)e^-x。 4.已知曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标 与纵坐标的乘积，求该曲线所满足的微分方程。 解：根据题意，设曲线为y=f(x)，则斜率为f'(x)，根据题 意得f'(x)=xf(x)，即y'=xy，所以微分方程为dy/dx=xy。 题10.1(B) 1.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 1) 曲线上点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的平方；
经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程组
1.经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程组 1.1运用四阶龙格库塔法解一阶微分方程组算法分析 （1-1） ， （1-2） （1-3） （1-4） （1-5） （1-6） （1-7） （1-8） （1-9） （1-10） 经过循环计算由推得…… 每个龙格-库塔方法都是由一个合适的泰勒方法推导而来，使得其最终全局误差为,一种折中方法是每次进行若干次函数求值，从而省去高阶导数计
算。4阶龙格-库塔方法(RK4)是最常用的，它适用于一般的应用，因为它非常 精准，稳定，且易于编程。 1.2经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程流程图 图1-1 经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程流程图 1.3经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程程序代码： #include
郑大微分方程一、二、三章习题解答
习题解答 习题1.1 1．一质量为m 的物体，从高度0s 处以初速度0v 铅直向上抛出．设空气的阻力与速度成正比，试求物体的运动规律所满足的微分方程，并写出初始条件． 解 如图建立坐标系，设时刻t 时物体的高度为()x t ．因物体所受的合力为 f m g k dx dt =+，方向向下，由Newton 第二定律可得 22d x dx m mg k dt dt =--（0k >为常数）， 化简后可得微分方程 220d x k dx g dt m dt ++=． 若令dx dt v =，则得速度v 满足的一阶微分方程 0dv k v g dt m ++=， 相应的初始条件为 0(0)v v =． 2．一高温物体在C 20的恒温介质中冷却．设在冷却过程中降温速度与物体和其所在介质的温度差成正比．已知物体的初始温度为0u ，试求物体的温度)(t u 所满足的微分方程，并写出初始条件． 解 设时刻t 时物体的温度为)(t u ，由Newton 冷却定律可得微分方程 (20)du k u dt =--（0k >为常数） ， 相应的初始条件为 0(0)u u =． 3．已知曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，试求这曲线所满足的微分方程． 解 如图所示建立坐标系，设所求曲线为()y y x =，曲线上的坐标为(,)x y ，过点(,)x y 处的切线上的坐标为(,)X Y ，则切线方程为 '()Y y y X x -=-， 易见该切线在纵轴上的截距为 'b y xy =-． 由条件可知
'2 x y y xy +-= ， 整理可得微分方程 11 '02 y y x - +=． 习题1.2 4．求下列两个微分方程的公共解： 24'2y y x x =+-，242'2y x x x y y =++--． 解 公共解当然满足关系式 2424222y x x x x x y y +-=++--， 化简，得 22()[2()1]0y x y x -+-=． 所以2 y x =和212 y x =-可能是两个方程的公共解．进一步验证可知前者是公共解，而后 者不是． 5．求微分方程2 ''0y xy y +-=的直线解． 解 设直线解为y ax b =+，则 2()0a a x ax b +-+=． 比较同次幂系数得 a b =，2a a =， 故0a b ==，或1a b ==．亦即所求的直线解为0y =或1y x =+． 6．试求下列曲线族所满足的微分方程： （1）2 y cx x =+， （2）12x x y c e c xe =+； （3）平面上的一切圆． 解 （1）从 2y cx x =+，'2y c x =+ 消去c 可得微分方程2 '0xy x y --=． （2）从 12x x y c e c xe =+，12'(1)x x y c e c x e =++，12"(2)x x y c e c x e =++ 消去12,c c 可得微分方程"2'0y y y -+=． （3）从 222()()x a y b c -+-=，()()'0x a y b y -+-=， 21'()"0y y b y ++-=，3'"()"'0y y y b y +-= 消去,,a b c 可得微分方程2 2 [1(')]"'3'(")0y y y y +-=． 7．给定微分方程2 2 2 3 4'x y y xy ，证明其解曲线关于坐标原点(0,0)O 成中心对称的曲线，也是此微分方程的解曲线．