随机数生成及各概率分布

随机数生成及各概率分布

一．随机数生成及（0，1）均匀分布

1.乘同余法生成随机数：

乘同余法的迭代式如下:

Xn+1=Lamda*Xn(mod M)

Rn+1=Xn/M

这里取X0=1,Lamda=7^5,M=2^31-1;

利用乘同余法生成的300个（0，1）之间的随机数为（这里仅显示200个数据）

0.0000 0.1315 0.7556 0.4587 0.5328 0.2190 0.0470 0.6789 0.6793 0.9347 0.3835 0.5194 0.8310 0.0346 0.0535 0.5297 0.6711 0.0077 0.3834 0.0668 0.4175 0.6868 0.5890 0.9304 0.8462 0.5269 0.0920 0.6539 0.4160 0.7012 0.9103 0.7622 0.2625 0.0475 0.7361 0.3282 0.6326 0.7564 0.9910 0.3653 0.2470 0.9826 0.7227 0.7534 0.6515 0.0727 0.6316 0.8847 0.2727 0.4364 0.7665 0.4777 0.2378 0.2749 0.3593 0.1665 0.4865 0.8977 0.9092 0.0606 0.9047 0.5045 0.5163 0.3190 0.9866 0.4940 0.2661 0.0907 0.9478 0.0737 0.5007 0.3841 0.2771 0.9138 0.5297 0.4644 0.9410 0.0501 0.7615 0.7702 0.8278 0.1254 0.0159 0.6885 0.8682 0.6295 0.7362 0.7254 0.9995 0.8886 0.2332 0.3063 0.3510 0.5133 0.5911 0.8460 0.4121 0.8415 0.2693 0.4154 0.5373 0.4679 0.2872 0.1783 0.1537 0.5717 0.8024 0.0331 0.5344 0.4985 0.9554 0.7483 0.5546 0.8907 0.6248 0.8420 0.1598 0.2128 0.7147 0.1304 0.0910 0.2746 0.0030 0.4143 0.0269 0.7098 0.9379 0.2399 0.1809 0.3175 0.8870 0.6521 0.1503 0.6813 0.3858 0.3877 0.4997 0.1475 0.5872 0.8456 0.5901 0.9554 0.5561 0.1482 0.9833 0.4088 0.1418 0.5649 0.2521 0.4885 0.4640 0.9611 0.1260 0.1998 0.3192 0.6293 0.1267 0.6513 0.6216 0.8031 0.2478 0.4764 0.3893 0.2033 0.0284 0.9017 0.4265 0.1420 0.9475 0.4103 0.1312 0.8856 0.0922 0.1622 0.0711 0.3653 0.2531 0.1351 0.7832 0.4553 0.3495 0.4523 0.8089 0.9317 0.6516 0.2152 0.6796 0.9089 0.2501 0.8609 0.4713 0.5060 0.6004 0.8176 0.7558 0.4622 0.9514 0.6327 0.4393 0.8247 2.（0，1）

均匀分布数据的检验

（1）通过计算得均值为()5081.0=X E ，二阶矩为()3423.02=X E ，方差为0842.02=S

（2）均基本满足（0，1）均匀分布的均值()21=X E ，二阶矩为()312=X E ，方差为1212

=S 所以认为该随机序列基本上符合（0，1）均匀分布。

（3）（0，1）均匀分布的随机序列

图1 用matlab 产生的（0，1）均匀分布的随机序列

（4）（0，1）均匀分布的各随机数数的直框图

图2 乘同余法生成的300随机数的分布情况

分析：从图1，2可知产生的随机数基本符合（0，1）均匀分布。

二．指数分布的随机数生成与检验

（1）指数分布的分布函数

⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-0

,00,1)(x x x F e x λ，这里取5.0=λ， 利用反函数法，可以求得: x=-2lnR ；

（2）指数分布的随机序列

图3 用matlab产生的指数分布的随机序列

（3)参数为0.5的指数分布的各随机数的直框图

图4 用反函数法生成的300随机数的指数分布情况

分析：可以看出，生成的随机量较好的符合了指数分布特征。

三．正态分布的随机数生成与检验

(1)Box-Muller法生成两个相互独立的正态分布（这里只弄了一个）

假设U1,U2均服从(0,1]区间上的均匀分布且相互独立，则由下式给出： Y1=)2

pi

2U

ln(

U

*

*

2

cos(

*

)1

其中Y1服从标准正态分布。

（2）标准正态分布的随机序列

图5 用matlab产生的标准正态分布的随机序列

（3）标准正态分布的各随机数的直框图

图6 用Box-Muller法生成的10000个随机数的标准正态分布情况

分析：从上图看所生成的随机序列基本上符合标准正态分布的要求。

四．泊松分布的随机数生成与检验

(1）在泊松分布中，求出X取何值时，p(X=k)取最大值时，设为Pxmax.

其时，这样当于求解f(x)=lamda^k/k! 在k取何值时有最大值，虽然，这道题有一定的难度，但在程序中可以能过一个循环来得到取得f(x)取最大值时的整数自变量Xmax。

(2)通过迭代，不断生成0-1区间上的随机数，当随机数

(3)记录迭代过程的次数，即为所需要得到的符何泊松分布的随机量。

(4)泊松分布的公式为，这里取λ=1，则Pmax=P(x=1)=e1-=0.3679.

五．符合二项分布的随机变量的生成

（1）设二项分布B(p,N)，其中，p为每个单独事件发生的概率（这里p取成0.3）：Matlab代码：

结果为

这种算法将每个独立的事件当作一个0-1分布来做，生成的0-1区间上的随机数，若小于1-p 则不发生，否则认为发生，结果也基本上吻合。

六．实验小节：

（1）对于随机数的生成是要求生成伪随机数还是真随机数开始不是很清楚，导致一直在查找有关真随机数的生成方法，但后来听同学说是伪随机数才开始着手做。

（2）对于随机数的生成开始用C++语言进行编写硬是出现每隔一定的周期就重复的数据，所以后来用Matlab试了下结果比较好一点。

（3）关于连续的分布的随机变量的生成还感觉简单点，后边的离散的随机分布就不是那么理解了，所以没怎么有感觉对于离散的随机分布。

随机数

1。什么是随机数，什么是伪随机数 随机数是指专门的随机试验的结果。 计算机中的随机函数是按照一定算法模拟产生的，其结果是确定的，是可见的，用计算机随机函数所产生的“随机数”并不随机，是伪随机数。伪随机数并不是假随机数，这里的"伪"是有规律的意思，就是计算机产生的伪随机数既是随机的又是有规律的。产生的伪随机数有时遵守一定的规律，有时不遵守任何规律；伪随机数有一部分遵守一定的规律；另一部分不遵守任何规律。比如"世上没有两片形状完全相同的树叶"，这正是点到了事物的特性，即随机性，但是每种树的叶子都有近似的形状，这正是事物的共性，即规律性。从这个角度讲，你大概就会接受这样的事实了：计算机只能产生伪随机数而不能产生绝对随机的随机数。 2。如何用常用分布生成随机数 原理：首先产生两个服从均匀分布的随机数, 一个化成相应取值范围的随机数xi, 并计算出其概率密度函数P(xi), 另一个作为随机数yi。以yi与P(xi)比较。如果yi>P(xi),则丢弃此随机数xiii; 如果yi≤P(xi),则xi作为服从该分布的随机数。这样,P(xi)小的xi被取的机会就小, P(xi)大的xi被取的机会就大, 其被取得的机会正是按照此分布的概率分布, 因而所取得的随机数即服从该分布的随机数。 1)利用泊松分布产生随机数 由泊松分布公式， 可以推出前后项的关系，这样，就可以由第k项推出第k+1项。现在，来分析如何得出符合泊松分布的随机数。 对整数k从1到正无穷，每次都rand()一个小数，如果小于P(x=k)则输出k，此时的k即为符

合泊松分布的一个值。重复上述步骤N次，即可得到N个符合泊松分布的随机数。 2)利用几何分布产生随机数 3)利用泊松分布产生随机数 4)利用二项式分布产生随机数 5)利用正态分布产生随机数 6)利用均匀分布产生随机数 7)利用瑞利分布产生随机数 8)利用指数分布产生随机数 9)利用t分布产生随机数 10)利用韦布尔分布产生随机数 3。试用常用分布中的两种分布各生成100个随机数 1)利用泊松分布产生随机数 #include #include #include #include const int MAX_VAL = 32767; double U_Rand(double a, double b) // 均匀分布 { double x = rand(); return a + (b - a) * (x + 1) / (MAX_VAL + 1); }

python随机数原理

Python随机数原理解析 引言 在计算机科学中，随机数是一个非常重要的概念，可以用于模拟随机事件、生成随机样本以及加密等领域。Python作为一种通用的编程语言，也提供了丰富的随机 数生成函数和模块，方便开发者使用。 本文将详细解释Python中随机数的基本原理，包括伪随机数生成算法、种子值、 随机数的分布以及随机数的应用等方面的内容。 伪随机数生成算法 计算机生成的随机数实际上是伪随机数，即通过确定性算法生成的看似随机的数列。Python中的随机数生成算法主要有以下几种： 线性同余法（Linear Congruential Generator, LCG） 线性同余法是最常用的伪随机数生成算法之一。它的基本原理是通过递推公式生成数列，公式如下： X(n+1) = (a * X(n) + c) % m 其中X(n)表示第n个随机数，a、c和m是事先选定的常数。通过选择不同的常数，可以得到不同的随机数序列。 Python中的random模块使用的就是线性同余法生成随机数。它的默认参数为 a=1103515245，c=12345，m=2^32。 Mersenne Twister算法 Mersenne Twister是一种伪随机数生成算法，被广泛应用于科学计算、模拟和游 戏等领域。它的周期非常长，大约是2^19937-1，并且具有良好的随机性。 Python中的random模块的默认随机数生成器就是基于Mersenne Twister算法实现的。 Cryptographically Secure Pseudo-Random Number Generator (CSPRNG) CSPRNG是一种加密安全的伪随机数生成器，具有更高的随机性和安全性。Python 中的secrets模块提供了CSPRNG功能，可以生成安全的随机数。 种子值 在伪随机数生成算法中，种子值（seed）起到了重要的作用。种子值是一个整数，通过设置不同的种子值，可以生成不同的随机数序列。

随机数的产生

随机数的产生 摘要 本文研究了连续型随机数列的产生，先给出了均匀分布的随机数的产生算法，在通过均匀分布的随机数变换得到其他连续型随机数的产生算法.在v c 环境下，我们给出了产生均匀分布随机数的算法，然后探讨了同余法的理论原理.通过均匀随机数产生其他分布的随机数，我们列举了几种通用算法，并讨论各个算法的优缺点，最后以正态分布为例验证高效舍选法的优势. 正文 一、 随机数与伪随机数 随机变量η的抽样序列12,,n ηηη ，…称为随机数列． 如果随机变量η是均匀分布的，则η的抽样序列12,,n ηηη ，…称为均匀随机数列；如果随机变量η是正态分布的随机变量则称其抽样序列为正态随机数列． 比如在掷一枚骰子的随机试验中出现的点数x 是一个随机变量，该随机变量就服从离散型均匀分布，x 取值为1，2，3，4，5，6，取每个数的概率相等均为1／6．如何得到x 的随机数?通过重复进行掷骰子的试验得到的一组观测结果12,,,n x x x 就是x 的随机数．要产生取值为0，1，2，…，9的离散型均匀分布的随机数，通常的操作方法是把10个完全相同的乒乓球分别标上0，1，2，…，9，然后放在一个不透明的袋中，搅拦均匀后从中摸出一球记号码1x 后放回袋中，接着仍将袋中的球搅拌均匀后从袋中再摸出一球记下号码2x 后再放回袋中，依次下去，就得到随机序列12,,,n x x x ．通常称类似这种摸球的方法产生的随机数为真正的随机数．但是，当我们需要大量的随机数时，这种实际操作方法需要花费大量的时间，通常不能满足模拟试验的需要，比如教师不可能在课堂上做10000次掷硬币的试验，来观察出现正面的频率．计算机可以帮助人们在很短时间产生大量的随机数以满足模拟的需要，那么计算机产生的随机数是用类似摸球方法产生的吗?不是．计算机是用某种数学方法产生的随机数，实际上是按照一定的计算方法得到的一串数，它们具有类似随机数的性质，但是它们是依照确定算法产生的，便不可能是真正的随机数，所以称计算机产生的随机数为伪随机数．在模拟计算中通常使用伪随机数．对这些伪随机数，只要通过统计检验符合一些统计要求，如均匀性、随机性

随机数的方法

随机数的方法 随机数是计算机领域中常用的一种方法，用于产生一组随机的数值。在一些需要随机性的计算中，比如密码学、概率统计、物理模拟等，随机数的作用不可忽视。下面将介绍几种常用的随机数产生方法。 一、线性同余法 线性同余法是最简单、最基础的随机数产生算法。它的计算原理是利用某个数不断地乘以一个常数并加上另一个常数，然后对一个大数取余数，得到的余数就是一个伪随机数。该算法的公式为： X(n+1) = (aX(n)+c) mod m 其中，X(n)为第n个随机数，a、c、m为常数。为了避免过多的线性相关性，常数的选择至关重要。 二、拉斐特——罗森费尔德算法 拉斐特——罗森费尔德算法又称真随机数发生器，它是一种基于物理过程的随机数生成方法。它的原理是利用光电效应或微波辐射产生的电信号的微小变化，作为随机因素，产生随机数。该算法生成的随机数既真实又不可预测，但是需要一些特殊的硬件设备才能实现。

三、梅森旋转算法 梅森旋转算法是一种用于产生高质量随机数的算法。它的原理是利用 一个大型的循环移位寄存器，每次进行大量的移位运算以增加随机性。该算法的随机性非常好，并且产生的随机数周期很长，但是它需要更 多的时间和计算资源来实现。 四、高斯分布 高斯分布是一种常见的概率分布，也是一种常用的随机数生成方法。 它的原理是根据正态分布函数的概率密度函数来产生符合该函数的随 机数。通过该方法生成的随机数呈现出逼近正态分布的性质，适用于 需要模拟实际情况的概率统计问题。 总之，随机数发生算法有很多种，我们需要根据实际需要选择合适的 算法。在实际应用中，需要考虑到随机数的质量、随机性、周期性等 方面问题。

随机数生成及各概率分布

随机数生成及各概率分布 一．随机数生成及（0，1）均匀分布 1.乘同余法生成随机数： 乘同余法的迭代式如下: Xn+1=Lamda*Xn(mod M) Rn+1=Xn/M 这里取X0=1,Lamda=7^5,M=2^31-1; 利用乘同余法生成的300个（0，1）之间的随机数为（这里仅显示200个数据） 0.0000 0.1315 0.7556 0.4587 0.5328 0.2190 0.0470 0.6789 0.6793 0.9347 0.3835 0.5194 0.8310 0.0346 0.0535 0.5297 0.6711 0.0077 0.3834 0.0668 0.4175 0.6868 0.5890 0.9304 0.8462 0.5269 0.0920 0.6539 0.4160 0.7012 0.9103 0.7622 0.2625 0.0475 0.7361 0.3282 0.6326 0.7564 0.9910 0.3653 0.2470 0.9826 0.7227 0.7534 0.6515 0.0727 0.6316 0.8847 0.2727 0.4364 0.7665 0.4777 0.2378 0.2749 0.3593 0.1665 0.4865 0.8977 0.9092 0.0606 0.9047 0.5045 0.5163 0.3190 0.9866 0.4940 0.2661 0.0907 0.9478 0.0737 0.5007 0.3841 0.2771 0.9138 0.5297 0.4644 0.9410 0.0501 0.7615 0.7702 0.8278 0.1254 0.0159 0.6885 0.8682 0.6295 0.7362 0.7254 0.9995 0.8886 0.2332 0.3063 0.3510 0.5133 0.5911 0.8460 0.4121 0.8415 0.2693 0.4154 0.5373 0.4679 0.2872 0.1783 0.1537 0.5717 0.8024 0.0331 0.5344 0.4985 0.9554 0.7483 0.5546 0.8907 0.6248 0.8420 0.1598 0.2128 0.7147 0.1304 0.0910 0.2746 0.0030 0.4143 0.0269 0.7098 0.9379 0.2399 0.1809 0.3175 0.8870 0.6521 0.1503 0.6813 0.3858 0.3877 0.4997 0.1475 0.5872 0.8456 0.5901 0.9554 0.5561 0.1482 0.9833 0.4088 0.1418 0.5649 0.2521 0.4885 0.4640 0.9611 0.1260 0.1998 0.3192 0.6293 0.1267 0.6513 0.6216 0.8031 0.2478 0.4764 0.3893 0.2033 0.0284 0.9017 0.4265 0.1420 0.9475 0.4103 0.1312 0.8856 0.0922 0.1622 0.0711 0.3653 0.2531 0.1351 0.7832 0.4553 0.3495 0.4523 0.8089 0.9317 0.6516 0.2152 0.6796 0.9089 0.2501 0.8609 0.4713 0.5060 0.6004 0.8176 0.7558 0.4622 0.9514 0.6327 0.4393 0.8247 2.（0，1） 均匀分布数据的检验 （1）通过计算得均值为()5081.0=X E ，二阶矩为()3423.02=X E ，方差为0842.02=S （2）均基本满足（0，1）均匀分布的均值()21=X E ，二阶矩为()312=X E ，方差为1212 =S 所以认为该随机序列基本上符合（0，1）均匀分布。 （3）（0，1）均匀分布的随机序列

MATLAB产生各种分布的随机数完整版

M A T L A B产生各种分布 的随机数 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

MATLAB产生各种分布的随机数 1，均匀分布U（a,b）： 产生m*n阶［a，b］均匀分布U（a，b）的随机数矩阵：unifrnd (a,b,m, n) 产生一个［a，b］均匀分布的随机数：unifrnd (a,b) 2，0-1分布U（0,1） 产生m*n阶［０，1］均匀分布的随机数矩阵：rand (m, n) 产生一个［０，１］均匀分布的随机数：rand 4，二类分布binornd(N,P,mm,nn) 如binornd(10,,mm,nn) 即产生mm*nn均值为N*P的矩阵 binornd(N,p)则产生一个。而binornd(10,,mm)则产生mm*mm的方阵，军阵为N*p。 5，产生m*n阶离散均匀分布的随机数矩阵： unidrnd(N,mm,nn)产生一个数值在1-N区间的mm*nn矩阵 6，产生mm nn阶期望值为的指数分布的随机数矩阵： exprnd( ,mm, nn) 此外，常用逆累积分布函数表 函数名调用格式函数注释 norminvX=norminv(P,mu,sigma)正态逆累积分布函数 expinvX=expinv(P,mu)指数逆累积分布函数 weibinvX=weibinv(P,A,B)威布尔逆累积分布函数 logninvX=logninv(P,mu,sigma)对数正态逆累积分布函数 Chi2invX=chi2inv(P,A,B)卡方逆累积分布函数 BetainvX=betainv(P,A,B)β分布逆累积分布函数 随机数的产生 4.1.1 二项分布的随机数据的产生 命令参数为N，P的二项随机数据 函数 binornd 格式 R = binornd(N,P) %N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二项分布的随机数，N、P大小相同。 R = binornd(N,P,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。 R = binornd(N,P,m,n) %m,n分别表示R的行数和列数 例4-1 >> R=binornd(10, R =

5第五章 随机数的产生

第五章 随机数的产生 §5.1 [0, 1]均分布随机数产生 1、[0, 1]均匀分布 密度函数?? ?<≤=other x x f 0 1 01)( 分布函数?? ? ??≥<≤<=1 11000)(x x x x x F 2、产生均匀随机数的一般方法 （1）随机数表法 把事先作好的随机数输入到内存或外存贮器中 缺点：占用下量内存，放在外存贮器时，降低运行速度 （2）利用硬设备产生随机数，如放射粒子的放射源，电子管或晶体管的固有噪声放大作为随机源。 （3）用移位寄存器产生随机数， （4）用数学公式产生随机数 3、产生伪随机数的要求 （1）有较理想的随机性和均匀性 （2）程序应简短、运行快、占内存少

（3）循环周期应可能大 （4）伪随机数列中，前后之间和各子列之间，相互独立。 （5）保证所要求的精度 4、数学公式产生的方法 （1）平方取中法 b 进制2k 位的数，自乘后得到4k 位的乘积，去头截位，取中间2k 位，易出现退化现象 （2）倍积取中法 S i+1=[k. S i ]，k 为常数，[k. S i ]表示k. S i 中间的n 位 （3）同余法 a 、加同余法 M X X X X k i i i k i mod 11-++++++= 统计性能差 b 、二次同余法 M c ax dx x i i i mod 21++=+ 计算复杂 c 、线性同余法 M c ax x i i mod 1+=- 5、线性同余法 M c aX X i i mod 1+=- 其中a 为乘子，o X 为种子，C 为常数，M 为模 迭代步骤：

（1）设定a, c, M 值，并给定初始种子o X （2）令1=i （3）M c aX X i i mod 1+=- （4）M X i i /=ξ （5）1+=i i ，转入（3） 分析：i i i Mk c aX X -+=-1，]/)[(1M c aX k i i +=-取整 )()1(11110---+++-++++=n n n n n n a k a k k M a a c X a X M a a c X a n o n mod 11??? ? ??--+= 序列{}i X 返回初始值o X 之前取值的个数，称为序列的周期p ，M p ≤ M a a c X a X p p mod 1 ) 1(00--+= 0mod )1 )(1(=-+ -M a C X a o p 选择o X c a ,,和M 使p 达到最大 结论1：若s M 2=，S 为计算机位数，若c 与M 互素，且14+=k a 则{}i X 的周期为M ，p=M 。 结论2：若c=0即乘同余法 （1）M=2S ，a=4k+1或a=8k ±3, X o 为奇数 4 22 2 s s p = =- （2）令M 取（1，2S ）中的最大素数，a 是M 原根，则乘同余法的循环周期p=M-1 原根定义：a 与M 互素, 1mod 1=-M a M 例S=32 M=231-1 a=16807或a=630360016

随机数产生原理及实现

电子信息与通信工程学院 实验报告 实验名称随机数的产生 课程名称随机信号分析 姓名顾康学号U201413323 日期6月6日地点南一楼东204 成绩教师董燕

以上为6种分布的实验结果 1.均匀分布 随机变量X~U(0，1)的一组样本值的模拟值一般采用某种数值计算方法产生随机数序列，在计算机上运算来得到，通常是利用递推公式: Xn=f(Xn-1,.....,Xn-k) 1.1 同余法 Xn+1 = λXn(mod M) Rn=Xn/M R1 R2...Rn即为（0,1）上均匀分布的随机数列。而上述方法是伪随机的，{Rn}本质上是递推公式给定的周期序列，周期T可看做logλ（M）。

解决方法是：选择模拟参数并对序列进行统计检验。 1.2选择模拟参数 1）周期长度取决于Xo,λ， M的选择 2）通过选取适当的参数可以改善随机数的性质 几组参考的取值 Xo =1 , λ=7 , M=10^10 Xo =1 , λ=5^13 , M=2 *10^10 Xo =1 , λ=5^17 , M=10^12 1.3对数列进行统计检验 对应序列能否看作X的独立同分布样本，须检验其独立性和均匀性 for i=2:1:size %同余法均匀分布 x(i)= mod ( v*x(i-1), M); y(i)=x(i)/M; end subplot(2,3,1); hist(y,100) [ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(y)% 以0.95的置信度估计样本的参数 首先我们的标准是U ~（0，1），而实验值，ACI表示ahat的范围[-0.0030,0], BCI表示bhat的范围[1.0000,1.0030]。同时样本的均值和方差分别为0.4932 和0.0830，结论与理论值很接近。该样本以0.95的可信度服从（0,1）均匀分布。 2.伯努利分布 2.1算法原理

随机数生成公式

随机数生成公式 随机数生成公式是一种计算机程序中常用的技术，可以生成随机的数字，用于模拟和实验等场景中。本文将介绍几种常见的随机数生成公式及其应用场景。 一、线性同余法（Linear Congruential Method） 线性同余法是一种简单而又高效的随机数生成方法，其公式为： Xn+1 = (aXn + c) mod m 其中Xn为当前随机数，a、c、m为常数，mod为模运算符。该公式的原理是通过不断迭代计算，每次得到一个新的随机数。该方法的优点是计算速度快，缺点是会产生周期性重复的随机数序列。该方法常用于模拟和实验场景中。 二、梅森旋转算法（Mersenne Twister） 梅森旋转算法是一种广泛应用的随机数生成方法，其公式为： Xn+1 = Xn⊕(Xn >> u) 其中Xn为当前随机数，⊕为异或运算符，>>为右移运算符，u为常数。该公式的原理是通过对当前随机数进行位运算，得到一个新的随机数。该方法的优点是生成的随机数序列较为均匀，缺点是计算速度较慢。该方法常用于加密和安全场景中。

三、高斯分布随机数生成公式（Gaussian Distribution） 高斯分布随机数生成公式是一种生成符合正态分布（高斯分布）的随机数的方法，其公式为： X = μ + σ * Z 其中μ为均值，σ为标准差，Z为符合标准正态分布的随机数。该公式的原理是通过对标准正态分布进行线性变换，得到符合正态分布的随机数。该方法的优点是生成的随机数符合实际分布规律，缺点是计算量较大。该方法常用于金融和统计场景中。 四、指数分布随机数生成公式（Exponential Distribution） 指数分布随机数生成公式是一种生成符合指数分布的随机数的方法，其公式为： X = -ln(U) / λ 其中U为符合均匀分布的随机数，ln为自然对数函数，λ为指数分布的参数。该公式的原理是通过对均匀分布进行变换，得到符合指数分布的随机数。该方法的优点是生成的随机数符合实际分布规律，缺点是计算量较大。该方法常用于模拟和实验场景中。 五、蒙特卡罗方法（Monte Carlo Method）

几种常见的概率分布及应用

几种常见的概率分布及应用 常见的概率分布有很多种，在统计学和概率论中，这些分布被广泛应用于各种领域，包括自然科学、工程、经济和社会科学等。下面是几种常见的概率分布及其应用： 1. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的概率分布之一，它的概率密度函数在一个给定的区间内是常数。这种分布广泛应用于统计推断、模拟和随机数生成等领域。 2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布适用于具有两个可能结果的离散试验，如抛硬币、打靶等。在二项分布中，每个试验都是独立的，并且具有相同的概率。二项分布在实验研究和贝叶斯统计等领域有广泛的应用。 3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述单位时间或空间内稀有事件发生次数的概率分布。它在复杂事件模型、风险评估和可靠性分析等领域有广泛的应用。 4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的连续概率分布之一，也被称为高斯分布。它具有对称的钟形曲线，广泛应用于自然科学、社会科学和工程等领域。正态分布在统计推断、回归分析、贝叶斯统计等方面发挥着重要作用。

5. 指数分布（Exponential Distribution）：指数分布适用于描述事件发生之间的时间间隔的概率分布。它在可靠性工程、队列论、生存分析等领域有广泛的应用。 6. γ分布（Gamma Distribution）：γ分布是一类连续概率分布，用于描述正数随机变量的分布，如等待时间、寿命和利润等。它在贝叶斯统计、过程控制和金融分析等领域被广泛使用。 7. t分布（T-Distribution）：t分布是一种用于小样本情况下的概率分布，它类似于正态分布，但考虑了样本容量较小的情况。t分布在统计推断和假设检验等方面有广泛的应用。 8. χ²分布（Chi-Square Distribution）：χ²分布是一种用于度量变量之间的独立性和相关性的概率分布。它在假设检验、回归分析和因子分析等领域广泛应用。 这些概率分布只是概率论和统计学中的一部分，还有其他更复杂的分布，如多项分布、负二项分布、伽玛分布、贝塔分布、韦伯分布等。这些概率分布在不同领域和研究中的应用都是非常广泛的，它们为我们提供了对随机事件发生规律的描述和预测，从而在科学研究和实际应用中具有重要的作用。

概率论常见的几种分布

概率论常见的几种分布 常见的概率论分布有：均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。 1. 均匀分布 均匀分布是指在一段区间内，各个取值的概率是相等的。比如在一个骰子的例子中，每个面出现的概率是相等的，为1/6。均匀分布在实际应用中常用于随机数生成、样本抽取等场景。 2. 正态分布 正态分布又被称为高斯分布，是最常见的概率分布之一。正态分布的特点是呈钟形曲线，数据集中在均值周围，并且具有对称性。正态分布在自然界中广泛存在，比如人的身高、体重等都近似服从正态分布。在统计学和数据分析中，正态分布的应用非常广泛，例如在建模、假设检验和置信区间估计等方面。 3. 泊松分布 泊松分布是一种离散概率分布，描述了在一段时间或空间内，某事件发生的次数的概率分布。泊松分布的特点是事件之间是独立的，并且事件发生的平均速率是恒定的。泊松分布在实际应用中常用于描述稀有事件的发生概率，比如电话呼叫中心的接听次数、交通事故的发生次数等。 4. 指数分布 指数分布是描述连续随机变量的概率分布，用于描述时间间隔的概

率分布。指数分布的特点是事件之间是独立的，并且事件发生的速率是恒定的。指数分布在实际应用中常用于描述如等待时间、寿命等连续性事件的概率分布。 这四种分布在概率论和统计学中都有广泛的应用。它们分别适用于不同的场景和问题，能够帮助人们理解和分析数据。在实际应用中，我们常常需要通过对数据进行建模和分析来确定数据的分布类型，从而更好地理解数据的特征和规律。 除了这四种常见的分布外，还有其他许多概率分布，例如二项分布、伽玛分布、贝塔分布等。每种分布都有其独特的特点和应用领域。在实际应用中，选择合适的分布模型对数据进行建模和分析是非常重要的，可以帮助我们更好地理解数据，做出准确的推断和预测。 概率论中常见的几种分布包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。每种分布都有其特点和应用场景，在实际问题中选择合适的分布模型对数据进行建模和分析是非常重要的。通过对数据的分布进行研究，我们能够更好地理解数据的规律和特征，为决策提供科学依据。

Matlab中的随机数生成与分布拟合技巧

Matlab中的随机数生成与分布拟合技巧 在科学研究和工程应用中，我们常常需要使用随机数生成和分布拟合技巧来解决各种问题。Matlab作为一款强大的科学计算软件，提供了一系列方便的函数和工具，可以帮助我们快速、准确地处理随机数和分布相关的任务。本文将介绍一些常用的Matlab函数和技巧，以及它们在随机数生成和分布拟合中的应用。 一、随机数生成 在Matlab中，我们可以使用rand和randn函数快速生成服从均匀分布和正态分布的随机数序列。rand函数可以生成0到1之间的均匀分布的随机数，例如：```matlab random_numbers = rand(100,1); ``` 上述代码将生成一个100行1列的随机数矩阵。如果我们需要生成服从其他均匀分布的随机数，可以利用rand函数生成0到1之间的随机数，然后利用线性变换将其映射到目标分布区间。例如，如果我们需要生成一个在区间[2,5]上均匀分布的随机数，可以使用如下代码： ```matlab a = 2; b = 5; random_numbers = a + (b-a)*rand(100,1); ``` 其中a和b分别为所需区间的上下界。

同样，randn函数可以生成服从均值为0、标准差为1的正态分布的随机数序列。例如： ```matlab random_numbers = randn(100,1); ``` 与均匀分布类似，如果我们需要生成服从其他正态分布的随机数，也可以通过 线性变换来实现。假设我们需要生成一个均值为m，标准差为s的正态分布随机数，可以使用如下代码： ```matlab m = 10; s = 2; random_numbers = m + s*randn(100,1); ``` 其中m和s分别为所需正态分布的均值和标准差。 二、分布拟合 在实际问题中，我们经常需要将一组实验数据与某种理论概率分布进行拟合， 以揭示数据背后的规律。在Matlab中，可以利用hist函数快速绘制直方图，并借 助一些函数进行分布拟合。例如，我们可以使用normfit函数对一组数据进行正态 分布的参数估计，并使用normpdf函数绘制拟合结果。代码示例如下：```matlab data = randn(1000,1); [params, CI] = normfit(data);

正态分布随机数生成算法

正态分布随机数生成算法 正态分布（也称为高斯分布）是统计学中非常重要的概率分布之一、 生成服从正态分布的随机数是许多应用程序和模型的基本要求之一、下面 将介绍几种常见的正态分布随机数生成算法。 1. Box-Muller算法： Box-Muller算法是最常见的生成服从标准正态分布（均值为0，标准 差为1）的随机数的方法之一、它的基本思想是利用两个独立的、均匀分 布的随机数生成一个标准正态分布的随机数对。具体步骤如下：-生成两个独立的、均匀分布在(0,1)区间的随机数u1和u2 - 计算z1 = sqrt(-2 * ln(u1)) * cos(2 * pi * u2)和z2 = sqrt(-2 * ln(u1)) * sin(2 * pi * u2)两个服从标准正态分布的随机数。 2. Marsaglia极坐标法： Marsaglia极坐标法也是一种生成服从标准正态分布随机数的方法。 它基于极坐标系的性质，即生成的随机数对所对应的点的距离（模长）服 从Rayleigh分布，方向（角度）均匀分布。具体步骤如下： -生成两个独立的、均匀分布在(-1,1)区间的随机数u1和u2 -计算s=u1^2+u2^2，如果s>=1，则重新生成u1和u2 - 计算f = sqrt(-2 * ln(s) / s)和z1 = f * u1，z2 = f * u2即 为两个服从标准正态分布的随机数。 3. Box-Muller/Box-Muller Transformation组合方法：

此方法是将两种算法结合起来，先用Box-Muller算法生成两个服从标准正态分布的随机数，然后进行线性变换得到多种均值和标准差的正态分布随机数。 4. Ziggurat算法： Ziggurat算法是一种近似生成服从标准正态分布随机数的算法，它基于分段线性逼近的思想。Ziggurat算法将正态分布的概率密度函数拆分成多个长方形和一个截尾尾巴（tail）部分。具体步骤如下：- 初始化一个包含n个长方形的Ziggurat结构，每个长方形包括一个x坐标、一个y坐标、一个面积。 -生成一个均匀分布随机数u1和一个0到n-1之间的整数索引j。 -判断u1是否落在长方形j内，如果是，则根据长方形的x和y计算得到服从标准正态分布的随机数z。如果不是，则判断u1是否在长方形j 的下方空白部分内，如果是，则直接返回x坐标。如果不是，则进入下一步。 -根据表格中的j和面积计算得到z。 以上是几种常见的正态分布随机数生成算法，每种算法都有自己的特点和适用场景。实际应用中可以根据需求选择合适的算法来生成正态分布的随机数。

各种分布的随机数生成算法

各型分布随机数的产生算法 随机序列主要用概率密度函数（PDF〃Probability Density Function）来描述。 一、均匀分布U(a,b) ⎧1x∈[a,b]⎪ PDF为f(x)=⎨b−a⎪0〃其他⎩ 生成算法：x=a+(b−a)u〃式中u为[0,1]区间均匀分布的随机数(下同)。 二、指数分布e(β) x⎧1⎪exp(−x∈[0,∞)βPDF为f(x)=⎨β ⎪0〃其他⎩ 生成算法：x=−βln(1−u)或x=−βln(u)。由于(1−u)与u同为[0,1]均匀分布〃所以可用u 替换(1−u)。下面凡涉及到(1−u)的地方均可用u替换。 三、瑞利分布R(µ) ⎧xx2 exp[−x≥0⎪回波振幅的PDF为f(x)=⎨µ2 2µ2 ⎪0〃其他⎩ 生成算法：x=−2µ2ln(1−u)。 四、韦布尔分布Weibull(α,β) xα⎧−αα−1⎪αβxexp[−(]x∈(0,∞)βPDF为f(x)=⎨ ⎪0〃其他⎩ 生成算法：x=β[−ln(1−u)]1/α 五、高斯（正态）分布N(µ,σ2) ⎧1(x−µ)2 exp[−]x∈ℜ2PDF为f(x)=⎨2πσ 2σ ⎪0〃其他⎩ 生成算法： 1〄y=−2lnu1sin(2πu2)生成标准正态分布N(0,1)〃式中u1和u2是相互独立的[0,1]区间

均匀分布的随机序列。 2〄x=µ+σy产生N(µ,σ2)分布随机序列。 六、对数正态分布Ln(µ,σ2) ⎧1(lnx−µ)2 exp[−x>0PDF为f(x)=⎨2πσx 2σ2 ⎪0〃其他⎩ 生成算法： 1〄产生高斯随机序列y=N(µ,σ2)。 2〄由于y=g(x)=lnx〃所以x=g−1(y)=exp(y)。 七、斯威林（Swerling）分布 7.1 SwerlingⅠ、Ⅱ型 7.1.1 截面积起伏 σ⎧1−exp[σ≥0⎪σ0截面积的PDF为f(σ)=⎨σ0〃【指数分布e(σ0)】 ⎪0〃其他⎩ 生成算法：σ=−σ0ln(1−u)。 7.1.2 回波振幅起伏 ⎧AA2 ⎪exp[−2]A≥0〃式中A2=σ〃2A02=σ0。回波振幅的PDF为f(A)=⎨A02【瑞利分布R(A0)】2A0⎪0〃其他⎩ 生成算法：A=−2A02ln(1−u)=σ0ln(1−u)。也可由A2=σ得A==−0ln(1−u) 7.2 SwerlingⅢ、Ⅳ型 7.2.1 截面积起伏 2σ⎧4σ]σ≥0⎪2exp[−σσ截面积的PDF为f(σ)=⎨0〃 0⎪0〃其他⎩ 生成算法：σ=−式中u1和u2是相互独立的[0,1]区间均匀分布随机序列。 [ln(1−u1)+ln(1−u2)]〃2

16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用

16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用 概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值 上的概率分布情况。常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯 努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二 项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。以下将逐一介绍这些概率分布 的概率密度函数、意义及其应用。 1. 均匀分布（Uniform Distribution）： 概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具 有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。 2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）： 概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。 3. 二项分布（Binomial Distribution）： 概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立 重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复 试验。 4. 几何分布（Geometric Distribution）： 概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x 次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次 获得成功之前所需的试验次数。 5. 泊松分布（Poisson Distribution）：

概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。 6. 正态分布（Normal Distribution）： 概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。 7. 指数分布（Exponential Distribution）： 概率密度函数为P(x)=λ*e^(-λx)，意义是在给定时间内事件发生的间隔时间的概率分布，应用有可靠性、寿命等问题。 8. 负二项分布（Negative Binomial Distribution）： 概率密度函数为P(x)=C(x-1,r-1)*p^r*(1-p)^(x-r)，意义是在独立重复试验中，需要进行x次试验才能获得r次成功的概率分布，应用有描述成功次数问题。 9. 超几何分布（Hypergeometric Distribution）： 概率密度函数为P(x)=(C(k,x)*C(N-k,n-x))/C(N,n)，意义是在有限总体中，不放回地抽取n个对象，其中有k个成功对象，成功次数为x的概率分布，应用有样本抽样中的总体含量问题。 10. Gumbel分布（Gumbel Distribution）： 概率密度函数为P(x)=(1/β)*e^(-(x-μ)/β)*e^(-e^(-(x- μ)/β))，意义是描述极值问题，例如最大值或最小值的分布，应用有极端事件的分析。

按概率生成随机数算法

按概率生成随机数算法 1. 引言 生成随机数在计算机科学中是一个基本问题。如果要进行模拟、加密、随机化测试和许多其他应用程序，生成随机数是必需的。生成随机数的方法有很多种，但按概率生成随机数算法是其中一种非常流行的方法。本文将介绍什么是按概率生成随机数算法、它如何工作以及一些它的应用。 2. 什么是按概率生成随机数算法？ 随机数生成程序需要满足两个标准：均匀性和独立性。均匀性指生成的随机数在一定范围内的分布是相等的，独立性指生成的随机数应该互不相干。通常使用的随机数生成器，例如线性同余法和梅森旋转算法，都可以生成伪随机数，即虽然外观上随机，但它们的分布和周期都是固定的。 按概率生成随机数算法是一种通过使用给定的概率来生成更接近于真正随机数的算法。它可以模拟一定的现实世界的过程，而这个过程是具有概率元素的。例如，我们可以用掷骰子的概率来模拟随机赌博游戏的胜利或失败。 3. 如何使用按概率生成随机数算法？ 按概率生成随机数算法的基本原理是，在给定的一组可能的事件中，每个事件的权重与它被选择的概率成正比。要获得一个随机数，

我们可以创建一个由所有可能事件组成的集合，并将每个事件放入一 个输入中。使用特定函数来计算每个事件的权重，然后使用随机数发 生器生成一个数字，并将其映射到输入集合的一个事件上。 例如，假设我们要模拟向左和向右的随机步进器。我们可以使用 一个函数来计算向左的概率，然后使用随机数生成器生成一个随机数。然后，如果这个随机数小于或等于向左的概率，步进器向左移动；否则，步进器向右移动。 4. 应用 按概率生成随机数算法在许多领域得到了广泛应用。下面列出了 其中一些例子： 4.1. 游戏设计 在游戏设计中，随机事件模拟现实中的巧合和不确定性。它常常 被用来模拟掷骰子和抽取卡片等活动。 例如，经典的角色扮演游戏“龙与地下城” 中，随机事件用于 模拟连续攻击或致命打击的可能性。玩家可以根据他们的角色属性和 一些条件，使用按概率生成随机数算法来计算每个攻击的成功率。 4.2. 金融分析 按概率生成随机数算法也可以在金融分析中使用，例如用于计算 股票市场的波动性。在金融领域，通常使用蒙特卡罗模拟来进行价格 预测。蒙特卡罗方法是一种根据随机采样生成预定义分布的数值方法。

均匀分布随机数的产生-Read

第二章补充 一随机数的产生方法 1.均匀分布随机数的产生 产生(0, 1)均匀分布随机数的方法很多,大致可归纳为三大类: 1）利用专门的随机数表。 这种随机数随机性和均匀性较好，但是很难产生和存储足够大的随机数表，而仿真有时需要大量的随机数。 2）物理方法产生随机数 例如放射粒子计数器，电子管或晶体管噪声发生器等。这种随机数随机性和均匀性都很好，而且可以产生任意多个随机数。缺点是没有可重复性，难以对程序和仿真的正确性作检查。 3）数学方法产生随机数 常用的方法有：平方取中法和线性同余法。 i.平方取中法： 平方取中法是四十年代由冯·诺依曼和梅特罗波利斯(V on Neuman and Metropolis)提出的。其基本思想是任取一个N位整数作为初值，将初值平方，得到一个2N位的整数，如果初值的平方不是2N位时，高位用0补齐，取中间N 位作第一个随机数。将第一个随机数平方取中间N位即得第二个随机数，以此类推可得到一系列随机数。平方取中法虽然简单，但周期较短，产生的随机数的统计性质不好，若初值取得不恰当，还会发生退化现象。所以必须注意初值的选取。 ii.线性同余法 当今应用的大多数随机数发生器是采用线性同余法。使用线性同余法必须事先提供三个参数；l，u，m．其迭代公式为： x i+1＝(λx i +μ)(mod m) 其中，i＝1，2，…λ≠0 。 这里A称为乘子，μ为增量，m为模。在式中，若给定初值x0(称为种子)，就可迭代算出均匀随机数序列x1、x2、……，将它们除以m，即可得到(0，1)区间均匀分布的随机数xi 。 当μ≠0、λ=1时称为加同余法；当μ=0且λ≠1时，称为乘同余法；当λ≠1且μ≠0时称为混合同余法。乘同余法的迭代公式为： x i+1=λx i (mod m) 例如用乘同余法产生随机数，其中λ=19，m=100，x。＝11，按下面步骤计算：第i步x i-1λx i-1λx i-1(mod m) 1 11 209 9 2 9 171 71 3 71 1349 49 4 49 931 31 5 31 589 89

MATLAB产生各种分布随机数

MATLAB产生各种分布的随机数 1，均匀分布U（a,b）： 产生m*n阶［a，b］均匀分布U（a，b）的随机数矩阵：unifrnd (a,b,m, n) 产生一个［a，b］均匀分布的随机数：unifrnd (a,b) 2，0-1分布U（0,1） 产生m*n阶［０，1］均匀分布的随机数矩阵：rand (m, n) 产生一个［０，１］均匀分布的随机数：rand 4，二类分布binornd(N,P,mm,nn) 如binornd(10,0.5,mm,nn) 即产生mm*nn均值为N*P的矩阵 binornd(N,p)则产生一个。而binornd(10,0.5,mm)则产生mm*mm的方阵，军阵为N*p。 5，产生m*n阶离散均匀分布的随机数矩阵： unidrnd(N,mm,nn)产生一个数值在1-N区间的mm*nn矩阵 6，产生mm nn阶期望值为的指数分布的随机数矩阵： exprnd( ,mm, nn) 此外，常用逆累积分布函数表函数名调用格式函数注释norminv X=norminv(P,mu,sigma) 正态逆累积分布函数 expinv X=expinv(P,mu) 指数逆累积分布函数 weibinv X=weibinv(P,A,B) 威布尔逆累积分布函数 logninv X=logninv(P,mu,sigma) 对数正态逆累积分布函数 Chi2inv X=chi2inv(P,A,B) 卡方逆累积分布函数 Betainv X=betainv(P,A,B) β分布逆累积分布函数 4.1 随机数的产生 4.1.1 二项分布的随机数据的产生

命令参数为N，P的二项随机数据 函数 binornd 格式 R = binornd(N,P) %N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二项分布的随机数，N、P大小相同。 R = binornd(N,P,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。 R = binornd(N,P,m,n) %m,n分别表示R的行数和列数 例4-1 >> R=binornd(10,0.5) R = 3 >> R=binornd(10,0.5,1,6) R = 8 1 3 7 6 4 >> R=binornd(10,0.5,[1,10]) R = 6 8 4 6 7 5 3 5 6 2 >> R=binornd(10,0.5,[2,3]) R = 7 5 8 6 5 6 >>n = 10:10:60。 >>r1 = binornd(n,1./n) r1 = 2 1 0 1 1 2 >>r2 = binornd(n,1./n,[1 6]) r2 = 0 1 2 1 3 1 4.1.2 正态分布的随机数据的产生 命令参数为μ、σ的正态分布的随机数据 函数 normrnd 格式 R = normrnd(MU,SIGMA) %返回均值为MU，标准差为SIGMA的正态分布的随机数据，R可以是向量或矩阵。 R = normrnd(MU,SIGMA,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。 R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) %m,n分别表示R的行数和列数 例4-2 >>n1 = normrnd(1:6,1./(1:6)) n1 = 2.1650 2.3134 3.0250 4.0879 4.8607 6.2827 >>n2 = normrnd(0,1,[1 5]) n2 = 0.0591 1.7971 0.2641 0.8717 -1.4462 >>n3 = normrnd([1 2 3。4 5 6],0.1,2,3) %mu为均值矩阵 n3 = 0.9299 1.9361 2.9640