当前位置：文档库 › 2010年北京市丰台区高三二模试题及答案(数学理)

2010年北京市丰台区高三二模试题及答案(数学理)

丰台区2010年高三统一练习（二）

数学（理科）

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．已知向量a =（1，k ），=b （2，1），若a 与b 的夹角为?90，则实数k 的值为

A ．12

B ．

C ．2-

D ．2

2．直线x-y+1=0与圆（x+1）2

+y 2

=1的位置关系是（）

A ．相切

B ．直线过圆心

C ．直线不过圆心但与圆相交

D ．相离

3．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（-1，1），若取原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P 极坐标的是（）

A ．（

32,4

π） B ．（52,4

π-

） C ．112,

π） D ．2,4

）

4．设p 、q 是简单命题，则""p q ∧为假是""p q ∨为假的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示

甲茎乙 7 7 8 6 8 8 6 2

3 6 7

设12,s s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有

A ． 12x x =，12s s <

B ． 12x x =， 12s s >

C ． 12x x >， 12s s >

D ． 12x x =， 12s s =

6．已知函数2()log f x x =，若()1f x ≥，则实数x 的取值范围是（）

A ． 1

(,]2

-∞ B ． [2,)+∞ C ． 1

(0,][2,)2

+∞ D ． 1

(,][2,)2

-∞+∞

7．设f(x)、g(x)是R 上的可导函数，''

(),()f x g x 分别是f(x)、g(x)的导函数，且

()()()()0f x g x f x g x +<，则当a x b <<时，有（）

A ． f(x)g(x)>f(b)g(b)

B ． f(x)g(a)>f(a)g(x)

C ． f(x)g(b)>f(b)g(x)

D ． f(x)g(x)>f(a)g(a)

8．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，2

B A

C π

∠=

，

12AB AC AA ===，

点G 与E 分别为线段11A B 和1C C 的中点，点D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点。若G D E F ⊥，则线段DF 长度的最小值是（）

A ．

2 B ． 1 C ．

D ．

二、填空题（每小题5分，共30分）

9．执行右图所示的程序框图，输出结果y 的值是_________.

10．如下图，AB 是半圆O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于D ，CD=4，AB=3BC ，则AC 的长是。 11．椭圆

12516

+=的焦点为12,F F ,过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆于一点P ，那么|PF 1|的

值是。

12．已知{(,)6,0,0},x y x y x y Ω=+≤≥≥{(,)4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥。若向区域Ω上随机投一点P ,则点P 落入区域A 的概率是。

13．如右图，在倾斜角150(∠CAD=150 )的山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔（BC ），在A 处测得塔顶B 的仰角为450（∠BAD =450），则塔顶到水平面的距离（BD ）约为米（保留一位小数，如需3 1.7 )

14．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ???（n 是不小于2的正整数），如果在

p q

时有

p q

i i <，则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数

组的“顺序数”．例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2，４”，“２，3”，其“顺序数”等于２．若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是４，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（12分）已知函数f(x)=sin()A x ω?+(其中A>0,0,02

ω?><<)的图象如图所示。

（Ⅰ）求A ，ω及?的值；（Ⅱ）若tan α=2, ,求()8

f π

α+

的值。

16．（14分）在正四棱柱1111ABC D A B C D -中，E,F 分别是1111,C D C B 的中点，G 为1C C 上任一点，EC 与底面ABCD 所成角的正切值是4.

（Ⅰ）求证AG ⊥EF ；

（Ⅱ）确定点G 的位置，使AG ⊥面CEF,并说明理由；（Ⅲ）求二面角1F C E C --的余弦值。

17．（13分）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖。（Ⅰ）求仅一次摸球中奖的概率；

（Ⅱ）求连续2次摸球，恰有一次不中奖的概率；（Ⅲ）记连续3次摸球中奖的次数为ξ，求ξ的分布列。

18．（14分）已知函数2

()(2),(,)x

f x x ax e x a R =++∈. （Ⅰ）当a=0时，求函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）若f(x)在R 上单调，求a 的取值范围；（Ⅲ）当52

a =-

时，求函数f(x)的极小值。

19．（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121()n n a S n N *+=+∈,等差数列{}

n b 中0n b >(*)n N ∈，且12315b b b ++=，又11a b +、22a b +、33a b +成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b ?的前n 项和n T .

20．（13分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于

点M ．

（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）设直线M F 交该抛物线于C ，D 两点，求四边形A C B D 面积的最小值．

丰台区2010年高三统一练习（二）

数学（理科）

一、选择题（每小题5分，共40分）

题号

1 2 3 4 5 6 7 8

答案

C B

D B B C A C

二、填空题（每小题5分，共30分） 9．1 ； 10．8 ； 11．

345

； 12．

； 13．40.5 ； 14．６.

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（12分）已知函数f(x)=sin()A x ω?+(其中A>0,0,02

ω?><<)的图象如图所示。

（Ⅰ）求A ，ω及?的值；（Ⅱ）若tan α=2, ,求()8

f π

α+

的值。

解：（Ⅰ）由图知A=2, ……………………1分

T=2(

588

ππ

)=π,

∴ω=2, ……………………3分 ∴f(x)=2sin(2x+?) 又∵()8

f π=2sin(

+?)=2,

∴sin(4

+?)=1,

∴

+?=

k π

π+,?=

+2k π,(k ∈Z)

∵02

?<<

,∴?=

……………………6分由（Ⅰ）知：f(x)=2sin(2x+4

)，

∴()8

f π

α+

=2sin(2α+

)=2cos2α=4cos 2α-2…………9分

∵tan α=2, ∴sin α=2cos α

又∵sin 2α+cos 2α=1, ∴cos 2

α=

∴()8

f π

α+

=65

……………………12分

16．（14分）在正四棱柱1111ABC D A B C D -中，E,F 分别是1111,C D C B 的中点，G 为1C C 上任一点，EC 与底面ABCD 所成角的正切值是4.

（Ⅰ）求证：AG ⊥EF ；

（Ⅱ）确定点G 的位置，使AG ⊥面CEF,并说明理由；（Ⅲ）求二面角1F C E C --的余弦值。

解：∵1111ABC D A B C D -是正四棱柱

∴ABCD 是正方形，设其边长为2a,∠ECD 是EC 与底面

所成的角。而∠ECD=∠CEC 1, ∴CC 1=4EC 1=4a.……………1分

以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在的直线分别为x 轴,y 轴,z 轴，建立如图所示的直角坐标系。

则A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0), A 1(0,0,4a),B 1(2a,0,4a),C 1(2a,2a,4a),D 1(0,2a,4a),

E(a,2a,4a),F(2a,a,4a),设G(2a,2a,b)(0

（Ⅰ）A G =（2a,2a,b ）,EF

=(a,-a,0),AG EF =2a 2-2a 2+0=0,

∴AG ⊥EF ……………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，使AG ⊥面CEF ，只需AG ⊥CE,

只需AG C E

=（2a,2a,b ）?（-a,0,4a ）=-2a 2+4ab=0,

∴b=

a,即CG=1

CC 1时，AG ⊥面CEF 。………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当G(2a,2a,

a)时，A G

是平面CEF 的一个法向量，

由题意可得，AD

是平面CEC 1的一个法向量，

设二面角1F C E C --的大小为θ，

则cos θ=||||A G A D A G A D 2222

1(2,2,)(0,2,0)

214444

a a a a a a a a

++ 3333,

二面角1F C E C --的余弦值为3333

. …………………………14分

（运用综合法相应给分）

（Ⅱ）求连续2次摸球，恰有一次不中奖的概率；（Ⅲ）记连续3次摸球中奖的次数为ξ，求ξ的分布列。

解：（Ⅰ）设仅一次摸球中奖的概率为P 1,则P 1=2

5210

2C C =

……………………3分

（Ⅱ）设连续2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中奖的概率为P 2，则

P 2=1

211(1)C P P -=

4081

………………………………………………7分

（Ⅲ）ξ的取值可以是0，1，2，3

(0)P ξ==(1-1P )3

125729

(1)P ξ==1

311(1)C P P -=

300

729=

100

243

, (2)P ξ==2

311(1)C P P -= =240

729

80243

(3)P ξ==3

1P =

64729

所以ξ的分布列如下表 ξ

125729

100243

80243

64729

………………………………………………………13分

18．（14分）已知函数2()(2),(,)x f x x ax e x a R =++∈. （Ⅰ）当a=0时，求函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）若f(x)在R 上单调，求a 的取值范围；（Ⅲ）当52

a =-

时，求函数f(x)的极小值。

解:2()[(2)2]x f x e x a x a '=++++

（Ⅰ）当a=0时，2()(2),x f x x e =+2()(22)x f x e x x '=++,………………2分

(1)3f e =,(1)5f e '=,

∴函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程为y-3e=5e(x-1),

即5ex-y-2e=0 …………………………………………………………4分

（Ⅱ）2()[(2)2]x f x e x a x a '=++++,

考虑到0x e >恒成立且2x 系数为正，

∴f(x)在R 上单调等价于 2(2)20x a x a ++++≥恒成立. ∴(a+2)2-4(a+2)≤0,

∴-2≤a ≤2 ，即a 的取值范围是[-2，2]，……………………8分（若得a 的取值范围是（-2，2），可扣1分）

（Ⅲ）当52

a =-

时, 2

5()(2),2

x f x x x e =-

11()()2

x f x e x x '=-

………………………………………………………………10分

令()0f x '=，得12x =-，或x =1，令()0f x '>，得12

x <-，或x >1，

令()0f x '<，得112

x -

<<. ………………………………12分

x,()f x ',f(x)的变化情况如下表 X

1(,)2-∞-

- 1(,1)2

1 (1,+∞)

()f x '

+ 0 - 0

f(x)

极大值

极小值

所以，函数f(x)的极小值为f(1)=1

e ……………………………………14分

19．（14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121()n n a S n N *+=+∈,等差数列{}

n b 中，0n b >(*)n N ∈，且12315b b b ++=，又11a b +、22a b +、33a b +成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b ?的前n 项和n T .

解：（Ⅰ）∵11a =，121()n n a S n N *+=+∈，

∴121(,1)n n a S n N n *-=+∈>，

∴112()n n n n a a S S +--=-，

∴12n n n a a a +-=，

∴13(,1)n n a a n N n *

+=∈> …………………………2分

而2112133a a a =+==，∴13()n n a a n N *

+=∈

∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，

∴13()n n a n N -*

=∈ …………………………4分

∴1231,3,9a a a ===，

在等差数列{}n b 中，∵12315b b b ++=，∴25b =。

又因11a b +、22a b +、33a b +成等比数列，设等差数列{}n b 的公差为d ， ∴（15d +-）(95)64d ++= ………………………………6分解得d=-10,或d=2, ∵0n b >(*)n N ∈，∴舍去d=-10，取d=2， ∴b 1=3, ∴b n =2n+1()n N *

∈， ………………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知

315373(21)3

(21)3

n n n T n n --=?+?+?++-++ ①

3335373(21)3

(21)3n n

n T n n -=?+?+?++-++ ②………………10分

① -②得

23123232323

(21)3n n

n T n --=?+?+?+?++?-+ ……………12分

32(3

333)(2

1)3

n n

n -=+++

-+ 33

32(21)33(21)32313

n n n n

n n n -=+?

-+=-+=-?-，

∴3n n T n =? ………………………………………………………………14分

20．（13分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M ．

（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）设直线M F 交该抛物线于C ，D 两点，求四边形

A C

B D 面积的最小值．

解：（Ⅰ）由已知，得(0,1)F ，显然直线A B 的斜率存在且不得0，则可设直线A B 的方程为1y kx =+（0k ≠），11(,)A x y ，22(,)B x y ，由24,1

x y y kx ?=?=+?消去y ，得2440x kx --=，显然216160k ?=+>. 所以124x x k +=，124x x =-. ………………………………………………2分

由2

4x y =，得214

y x =

，所以'

y x =

，

所以，直线A M 的斜率为112

A M k x =，所以，直线A M 的方程为1111()2

y y x x x -=

-，又2

114x y =，

所以，直线A M 的方程为 112()x x y y =+①。………………………………4分

同理，直线BM 的方程为 222()x x y y =+②。………………………………5分 ②-①并据12x x ≠得点M 的横坐标12

x x x +=

，

即A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列。 …………………………………7分（Ⅱ）由①②易得y=-1,所以点M 的坐标为（2k,-1）(0k ≠)。所以212M F k k

-，

则直线MF 的方程为11y x k

=-+， …………………………………………8分

设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4)

由24,

x y y x k ?=??=-+??

消去y ，得2

440x x k +-=，显然2

16160k ?=+>，所以344x x k

+=-，344x x =-。 …………………………………………9分

又2

121212||()()(1)()AB x x y y k x x =

-+-=

1212(1)[()4]4(1)k x x x x k =

++-=+。…………10分

3434342

1||()()(1)()C D x x y y x x k

-+-=

-2

34342

11(1)[()4]4(1)x x x x k

+-=+。……………………11分

因为1M F AB k k ?=-，所以AB C D ⊥ ，所以，22

111||||8(

1)(1)8(2)322

A C

B D S A B

D k k k

?=++=+

+≥，

当且仅当1k =±时，四边形A C B D 面积的取到最小值32。……………………13分