21.(本小题满分12分)
某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆
柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为
立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为千元,设该容器的建造费用为千元. (Ⅰ)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的.
22.(本小题满分14分)已知动直线与椭圆C: 交于P 、Q 两不同点,且△OPQ 的面积=
,其中O 为坐标原点. (△)证明和均为定值;(△)设线段PQ 的中点为M ,求的
最大值;(△)椭圆C 上是否存在点D,E,G ,使得?若存在,判断△DEG 的形状;若不存在,请说明理由.
21.解:(I )设容器的容积为V ,
由题意知2
3480,,33
V r l r V πππ=+
=又 故3
222
4
8044203()333V r l r r r r r ππ-==-=-
由于2l r ≥ 因此0 2.r <≤
所以建造费用2
22420
2342()34,3y rl r c r r r c r
ππππ=?+=?-?+ 因此2
1604(2),0 2.y c r r r
π
π=-+
<≤ (II )由(I )得3221608(2)20
'8(2)(),0 2.2
c y c r r r r r c πππ-=--=
-<<- 由于3,20,c c >->所以
803
π
2l r ≥(3)c c >y y r r l 22
132
x y +=()11,x y ()22,x y OPQ S ?6
2212x x +22
12y y +||||OM PQ ?6
2
ODE ODG OEG S S S ???===
当3
200,2r r c -
==-时
,m =则0m > 所以222
8(2)
'()().c y r m r rm m r
π-=
-++ (1)当9
022
m c <<>即时,
∈∈当r=m 时,y'=0;当r (0,m)时,y'<0;当r (m,2)时,y'>0.
所以r m =是函数y 的极小值点,也是最小值点。 (2)当2m ≥即9
32
c <≤
时, 当(0,2),'0,r y ∈<时函数单调递减, 所以r=2是函数y 的最小值点, 综上所述,当9
32
c <≤
时,建造费用最小时2;r = 当9
2
c >
时,建造费用最小时r = 22.(I )解:(1)当直线l 的斜率不存在时,P ,Q 两点关于x 轴对称,
所以2121,.x x y y ==- 因为11(,)P x y 在椭圆上,
因此22
11132
x y += ①
又因为,2OPQ S ?=
所以11||||2
x y ?=
②
由①、②得11||| 1.x y =
= 此时2222
12123,2,x x y y +=+=
(2)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为,y kx m =+
由题意知m 0≠,将其代入22
132x y +=,得 222(23)63(2)0k x kmx m +++-=,
其中2
2
2
2
3612(23)(2)0,k m k m ?=-+-> 即2
232k m +>
…………(*)
又2121222
63(2),,2323km m x x x x k k
-+=-=++
所以2
||23PQ k
==+ 因为点O 到直线l 的距离为
d =
所以1
||2
OPQ S PQ d ?=
?
=
=
又2
OPQ S ?=
整理得2
2
322,k m +=且符合(*)式,
此时22
22
21
2
121222
63(2)
()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=-
-?=++ 222222
121212222(3)(3)4() 2.333
y y x x x x +=-+-=-+=
综上所述,2222
12123;2,x x y y +=+=结论成立。
(II )解法一:
(1)当直线l 的斜率存在时,
由(I )知11|||||2||2,OM x PQ y ==
==
因此||||22
OM PQ ?=
= (2)当直线l 的斜率存在时,由(I )知
123,22x x k
m
+= 2221212222
2212122222
22
2222222
332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),
(23)y y x x k k m k m m m m m
x x y y k m OM m m m m
k m m PQ k k m m ++-+1
=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++ 所以2
2
22111
||||(3)2(2)2OM PQ m m
?=
?-??+ 2222
211
(3)(2)11
3225(
).24
m m
m m =-
+-++≤= 所以5||||2OM PQ ?≤
,当且仅当2211
32,m m m
-=+=即时,等号成立. 综合(1)(2)得|OM|·|PQ|的最大值为5
.2
解法二:
因为222222
121221214||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-
2222
12122[()()]
10.
x x y y =+++=
所以224||||10
2|||| 5.25
OM PQ OM PQ +?≤
== 即5
||||,2
OM PQ ?≤
当且仅当2||||OM PQ == 因此 |OM|·|PQ|的最大值为5
.2
(III )椭圆C 上不存在三点D ,E ,G
,使得2
ODE ODG OEG S S S ???===
证明:假设存在1122(,),(,),(,)2
ODE ODG OEG D u v E x y G x y S S S ???===
满足,
由(I )得
222222222222
12121212222222121212123,3,3;2,2,2,
3; 1.
2,,,,,1,
2
u x u x x x v y v y y y u x x v y y u x x v y y +=+=+=+=+=+=======±±解得因此只能从只能从中选取因此D ,E ,G
只能在(1)±
这四点中选取三个不同点,而这三点的两两连线中必有一条过原点,与2
ODE ODG OEG S S S ???===
矛盾,所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ,E ,G.
(21)(本小题满分13分)
在平面直角坐标系xOy 中,F 是抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点,M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点,过M ,F ,O 三点的圆的圆心为Q ,点Q 到抛物线C 的准线的距离为
34
。 (Ⅰ)求抛物线C 的方程;
(Ⅱ)是否存在点M ,使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若点M 的横坐标为2,直线l :y=kx+
1
4
与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,l 与圆Q 有两个不同的交点D ,E ,求当1
2
≤k ≤2时,的最小值。
22(本小题满分13分) 已知函数f(x) =
x
e
k
x +ln (k 为常数,e=2.71828……是自然对数的底数),曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行。 (Ⅰ)求k 的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=(x 2+x) '()f x ,其中'()f x 为f(x)的导函数,证明:对任意x >0,
2
1)(-+ 解析:(Ⅰ)F 抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点F )2,0(p ,设M )0)(2,(02 00>x p x x ,),(b a Q , 由题意可知4p b = ,则点Q 到抛物线C 的准线的距离为==+=+p p p p b 4 32423 4,解得 1=p ,于是抛物线C 的方程为y x 22=. (Ⅱ)假设存在点M ,使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M , 而)2,(),0,0(),21,0(2 00x x M O F ,)41 ,(a Q ,QF OQ MQ ==, 16 1 )412()(222 02 0+=-+-a x a x ,03 0838x x a -=, 由y x 22=可得x y =',0302 008 3 8241x x x x k -- ==,则20 204021418381x x x -=-, 即022 04 0=-+x x ,解得10=x ,点M 的坐标为)2 1,1(. (Ⅲ)若点M M )1,2(,)4 1,82(- Q 。 由?? ???+==4122kx y y x 可得02122 =--kx x ,设),(),,(2211y x B y x A , ]4))[(1(2122122 x x x x k AB -++=)24)(1(22++=k k 圆32 3161642)21()82(:22=+=-++ y x Q ,2 2 18218 2 k k k k D += +-?= ) 1(823])1(32323[42 2 222 k k k k DE ++=+-=, 于是) 1(823)24)(1(222 2 2 2 k k k k DE AB +++++=+,令]5,45[12 ∈=+t k 418124812)24() 1(823)24)(1(2 2 22 2 2 2 ++-=++-=+++++=+t t t t t t t k k k k DE AB , 设418124)(2 ++ -=t t t t g ,281 28)(t t t g --=', 当]5,45[∈t 时,081 28)(2>--='t t t g , 即当21,45== k t 时1014414 58145216254)(min =+?+?-?=t g . 故当21=k 时,10 14)(min 2 2=+DE AB . 22(本小题满分13分) 解析:由f(x) = x e k x +ln 可得=')(x f x e x k x ln 1 --,而0)1(='f ,即01=-e k ,解得1=k ; (Ⅱ)=')(x f x e x x ln 11 --,令0)(='x f 可得1=x , 当10< )(<--='x x x f 。 于是)(x f 在区间)1,0(内为增函数;在),1(+∞内为减函数。 简证(Ⅲ)x x e x x x x e x x x x x g ln )(1ln 11 )()(222+--= --+=, 当1≥x 时, 0,0,0ln ,012 2 >>+≥≤-x e x x x x ,2 10)(-+<≤e x g . 当10< )()(-+<+--=--+=e e x x x x e x x x x x g x x 。 只需证2 2 2 1()ln (1)x x x x x e e ---+<+,然后构造函数即可证明。 21、(本小题满分13分) 设函数2()= +x x f x c e ( 2.71828…=e 是自然对数的底数,∈c R ) (Ⅰ)求()f x 的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于x 的方程ln ()=x f x 根的个数。 22、(本小题满分13分) 椭圆22 22:1(0)+=>>x y C a b a b 的左、右焦点分别是12,F F 1F 且垂直 于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF 。设12∠F PF 的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点。设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0≠k ,试证明12 11 +kk kk 为定值,并求出这个定值. 21、解:(Ⅰ)2'()(12)-=-x f x x e , 由 '()0=f x ,解得12 =x , 当 1 2< x 时,'()0>f x ,()f x 单调递增; 当 1 2 >x 时,'()0 所以,函数 ()f x 的单调递增区间是1(,)2-∞,单调递减区间是1 (,)2 +∞, 最大值为1 11()22 -=+f e c . (Ⅱ)令2()ln ()ln ,(0,)-=-=--∈+∞x g x x f x x xe c x . (1) 当 (1,)∈+∞x 时, ln 0>x ,则2()ln -=--x g x x xe c , 所以 22'()(21)-=+-x x e g x e x x . 因为 2210,0->>x e x x , 所以 '()0>g x 因此 ()g x 在(1,)+∞上单调递增. (2)当 (0,1)∈x 时, ln 0 g x x xe c , 所以 22'()(21)-=-+-x x e g x e x x . 因为22 2(1,),10∈>>>x x e e e x , 所以21-<-x e x . 又211- 所以2210-+- e x x ,即'()0 综合(1)(2)可知 当 (0,)∈+∞x 时,2 ()(1)-≥=--g x g e c . 当2 (1)0-=-->g e c ,即2-<-c e 时,()g x 没有零点, 故关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为0; 当2 (1)0-=--=g e c ,即2-=-c e 时,()g x 只有一个零点, 故关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为1; 当2 (1)0-=-- c ,即2->-c e 时, ① 当(1,)∈+∞x 时,由(Ⅰ)知 211 ()ln ln ()ln 12 --=--≥-+>--x g x x xe c x e c x c , 要使()0>g x ,只需使ln 10-->x c ,即 1(,)+∈+∞c x e ; ② 当(0,1)∈x 时,由(Ⅰ)知 211 ()ln ln ()ln 12 --=---≥--+>---x g x x xe c x e c x c , 要使()0>g x ,只需使ln 10--->x c ,即 1(0,)--∈c x e ; 所以 2 ->c e 时,()g x 有两个零点, 故关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为2. 综上所述, 当2-<-c e 时,关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为0; 当2-=-c e 时,关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为1; 当2->-c e 时,关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为2. 22、解:(Ⅰ)由于2 2 2 =-c a b ,将=-x c 代入椭圆方程22221+=x y a b ,得2 =±b y a , 由题意知2 21=b a ,即22=a b . 又= =c e a 2,1==a b . 所以 椭圆C 的方程为2 214 +=x y (Ⅱ)解法一: 设000(,)(0)≠P x y y . 又 12(F F , 所以直线12,PF PF 的方程分别为: 12000000:(0,:(0. -=-=PF PF l y x x y l y x x y 由题意知 = , 由于点P 在椭圆上, 所以2 20014+=x y = 因为022<<-< = 所以03 4 =m x . 因此3322 - < 解法二: 设00(,)P x y , 当002≤ ① 当0x 时,直线2PF 的斜率不存在,易知1)2 P 或 1 )2-P . 若1 )2 P ,则直线1PF 的方程为0-+=x . =m , 因为<< m , 所以4 = m . 若1)2-P , 同理可得=m ② 当0≠x 时, 设直线12,PF PF 的方程分别为 12(,(==y k x y k x , 由题意知 = , 所以 2 21 2 21111+ =+ k k , 因为 2 20014 +=x y 并且 12,==k k 所以 2020(34)(34) +===-x x , 即 = . 因为 0002且<≤<≠m x x 所以 . 整理得 0 34 = x m , 故 3024 且≤< ≠m m . 综合①②可得 3 02 ≤< m . 当0-20< 02- < (,)22 -. (Ⅲ)设000(,)(0)≠P x y y ,则直线l 的方程为00()-=-y y k x x , 联立 22 00+=1 4() ????-=-? x y y y k x x 整理得 222222000000(14)8()4(21)0++-+-+-=k x ky k x x y kx y k x 由题意 0?=, 即 222 0000(4)210-++-=x k x y k y 又 2 20014 +=x y 所以 222 00001680++=y k x y k x 故 0 4= x k y , 由(Ⅱ)知 000 12000 211++=+= x x x k k y y y , 所以 001212004211111 ()()8+=+=-=-y x kk kk k k k x y , 因此 12 11 + kk kk 为定值,这个定值为8-. 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =U D .A B =?I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .π8 C . 12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 组距 分数 0.0350.0250.0150005 100 9080 70605040全国百套高考数学模拟试题分类汇编 10概率与统计 二、填空题 1、(启东中学高三综合测试一)6位身高不同的同学拍照,要求分成两排,每排3人,则后排每人均比其前排的同学身材要高的概率是_________。 答案:18 2、(皖南八校高三第一次联考)假设要考查某企业生产的袋装牛奶质量是否达标,现以500袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表抽样本时,先将500袋牛奶按000,001,┉,499进行编号,如果从随机数表第8行第4列的数开始按三位数连续向右读取,请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号____________________________________________;答案:163,199,175,128,395; 3、(蚌埠二中高三8月月考)设随机变量ξ的概率分布规律为*,)1()(N k k k c k p ∈+==ξ,则 ) 2 5 21(<<ξp 的值为___________答案:2 3 4、(巢湖市高三第二次教学质量检测)从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中第一次取出一张卡片,记下数字后放回,再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于4的概率是. 答案:15 5、(北京市东城区高三综合练习二)从某区一次期末考试中随机抽取了100 个学生的数学成绩,用这100个数据来估计该区的总体数学成绩,各分数段的人数统计如图所示. 从该区随机抽取一名学生,则这名学生的数学成绩及格(60≥的概率为;若同一组数据用该组区间的中点 (例如,区间[60,80)的中点值为70)表示,则该区学生的数学成绩 的期望值为. 答案:0.65,67 6、(北京市宣武区高三综合练习二)某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:4, 现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本,样本中A 型号的产品有16件,那么此样本容量n= 答案:72 7、(东北三校高三第一次联考)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生从1—— 160编号。按编号顺序平均分成20组(1—8号,9—16号,……153—160号),若第16组应抽出的号码为126,则第一组中用抽签方法确定的号码是________。 答案:6 8、(揭阳市高中毕业班高考调研测试)统计某校1000名学生的数学会考成绩,得到样本频率分布直方图如右图示,规定不低于60分为及格,不 低于80分为优秀,则及格人数是;优秀率为。 答案:由率分布直方图知,及格率=10(0.0250.03520.01)0.8?++?==80%, 及格人数=80%×1000=800,优秀率=100.020.220?==%. 求点A到点P距离的最大值d(a); (3)在0?a?1的条件下,设△POA的面积为S1(O是坐标原点,P是曲线C上横坐标为a的点),以d(a)为边长的正方形的面积为S2.若正数m满足S1?mS2,问m是否存在最小值,若存在,请求出此最小值,若不存在,请说明理由. 2.在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),?,Pn(xn,yn),?,对每个正整数n,点Pn位于一次函数y?x? 公差的等差数列?xn?. (1)求点Pn的坐标;(2)设二次函数fn(x)的图像Cn以Pn为顶点,且过点53的图像上,且Pn的横坐标构成以?为首项,?1为42Dn(0,n2?1),若过Dn且斜率为kn的直线ln 与Cn只有一个公共点,求 ?111???lim??????的值. n??kkkkkk23n?1n??12 (3)设S?{xx?2xn,n为正整数},T?{yy?12yn,n为正整数},等差数列?an?中的任一项an?S?T,且a1是S?T中的最大数,?225?a10??115,求?an?的通项公式. 757→→3.已知点A(-1,0),B(1,0),C(- 12,0),D12,动点P(x, y)满足AP·BP=0, →→10动点(x, y)满足|C|+|D|=3 ⑴求动点P的轨迹方程C0和动点的轨迹方程C1; ⑵是否存在与曲线C0外切且与曲线C1内接的平行四边形,若存在,请求出一个这样的平行四边形,若不存在,请说明理由; ⑶固定曲线C0,在⑵的基础上提出一个一般性问题,使⑵成为⑶的特例,探究能得出相应结论(或加强结论)需满足的条件,并说明理由。 4.已知函数f (x)=m x2+(m-3)x+1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧,⑴求实数m的取值范围; 1⑵令t=-m+2,求[t;(其中[t]表示不超过t的最大整数,例如:[1]=1, [2.5]=2, [- 2.5]=-3) 1tt⑶对⑵中的t,求函数g(t)11 [t][ttt5.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A(0,2)为圆心,1为半径为圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称. (1)求双2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
全国百套高考数学模拟试题分类汇编001
((人教版))[[高考数学试题]]2008年高考数学压轴题专题训练
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]