一轮不等关系与不等式学案

五莲中学高三一轮复习文科数学学案

6.1 不等关系与不等式

姓名： 班级： 使用时间： 10.30

1.通过具体情境了解在现实世界和日常生活中存在大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.

.

1. 从高考内容来看，不等关系、不等式的性质及应用是命题的热点.

2. 着重突出考查对不等式的灵活运用，有时与充分必要性的判断交汇命题，体现了转化与化归思想，难度中低档.

.

一、元素与集合

1．两个实数大小比较

（1）0a b ->? ；0a b -=? ；0a b -时，有1a b >? ；1a b =? ；1a

b

3、不等式的倒数性质

（1

）1

,0a b ab a

>>? 1b

（2）1

0a b a

<

（3）0,0a b c d >><

d

1．(2014年银川质检)已知a ，b ，c ∈R ，则“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

2．已知a ，b ，c 满足cac B ．c(b －a)<0 C ．cb20

3．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥b C ．c ＞b ＞a D ．a ＞c ＞b

4. 已知 且a=cos 2θ,b=cos θ-sin θ，

则a 与b 的大小关系为_________.

例1 对于实数a 、b 、c ，判断下列命题的真假．

(1)若a>b ，则ac>bc ； (2)若a>b ，则ac 2>bc 2； (3)若a< b< 0，则a 2 > ab > b 2； (4)若a 1

b

；

(5)若aa b

(6)若a ＞b ＞0，m ＞0，则

【变式训练1】

(1)(2013·北京高考)设a,b,c ∈R,且a>b,则( ) A.ac>bc B.

C.a 2>b 2

D.a 3>b 3

(2)(2013·天津高考)设a,b ∈R,则“(a-b)·a 2<0”是“a

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

b b m

a a m +>

+(0,)4πθ∈，

【例2】(1)已知a 1,a 2∈(0,1),记M=a 1a 2,N=a 1+a 2-1,则M 与N 的大小关系是( ) A.MN C.M=N D.不确定

(2)若 则( )

A.a ＜b ＜c

B.c ＜b ＜a

C.c ＜a ＜b

D.b ＜a ＜c

【变式训练2】

【思考题】已知a ，b 是实数，且e ＜a ＜b ，其中e 是自然对数的底数，则a b 与b a 的大小关系是________．

例3 设f(x)＝ax 2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．

【变式训练3】

(2012·江苏)设x ，y 为实数，满足3 ≤ xy 2

≤8, 4≤ 2x y ≤ 9，则 3

4x y

的最大值是________．

1．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是 A . 22a b < B.22a b ab < C.220a b -< D.

11a b

> 2．已知,,,a b c d 为实数，且c d >。则“a b >”是“a c b d ->-”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3．不等式①2

33x x +>；②222(1)a b a b +≥--；③

a b +2a

b

≥其中恒成立的是 A.①③

B.②③

C.①②③

D.①②

4．设a ∈（0，21），则1

212

,log ,a

a a a 间的大小关系为

A.a a a a

212

1log >> B.a

a a a >>2121log C.2

12

1log a a a a

>>

D.a a a a >>2

12

1log

5．若31<

6．设,2

1

,,2-+

=∈>a a M R x a 22)21(-=x N ，则M ，N 的大小关系是__ __.

7．若+

∈R b a ,，且b a ≠，试比较))((2244b a b a ++与233)(b a +的大小关系。

8．已知0,0>>b a ，且+

∈N n m ,，n m ≤≤1，比较n

n

b a +与m n m m

m n b a b a

--+的大小。

ln 3ln 4ln 5

a b c 345

===，，，

不等关系与基本不等式同步练习题

不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120分钟 满分：150分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40分） 1．函数)2(2 1 >-+ =x x x y 的最小值为( ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ．23 2．不等式0)31(>-x x 的解集是（ ） A ．)31,(-∞ B ． )31,0()0,( -∞ C ． ),31(+∞ D ．)3 1,0( 3．已知,R b a ∈、且0>ab ，则下列不等式不正确的是( ) A ．b a b a ->+ B ．b a b a +<+ C ．b a ab +≤2 D ． 2≥+b a a b 4．已知无穷数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． 8 6 64a a a a ≤ Ｂ． 8664a a a a < Ｃ．8664a a a a > Ｄ．8664a a a a ≥ ５．已知01,0<<-> Ｂ．a ab ab >>2 Ｃ．2 ab a ab >> Ｄ．a ab ab >>2 ６.已知,1117,32-≤<-<≤-y x 则1 2 -y x 的取值范围是（ ） Ａ．??? ??-- 92,43 Ｂ．??? ??-0,43 Ｃ．??? ??-0,21 Ｄ．??? ??-0,43 ７．若 ,11 <++b a a b 则b a 与中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知,,d c b a >>则（ ） Ａ． d b c a ->- Ｂ． c b d a > Ｃ．a d b c ->- Ｄ．bd ac >

人教a版必修5学案：3.1不等关系与不等式(含答案)

第三章 不等式 §3.1 不等关系与不等式 材拓展 1．不等式的基本性质 对于任意的实数a ，b ，有以下事实： a>b ?a －b>0； a ＝ b ?a －b ＝0； ab>0，m>0，要比较a ＋m b ＋m 与a b 的大小，就可以采用以下方法： a ＋m b ＋m －a b ＝bm －am b (b ＋m )＝m (b －a )b (b ＋m ) . ∵m>0，a>b>0，∴b －a<0， ∴m (b －a )b (b ＋m )<0，∴a ＋m b ＋m b ，b>c ?a>c. (2)a>b ，c>d ?a ＋c>b ＋d. (3)a>b ，c>0?ac>bc. (4)a>b ，c<0?acb>0，c>d>0?ac>bd. (6)a>b>0，n 为正实数?a n >b n . 双向性： (1)a －b>0?a>b ；a －b ＝0?a ＝b ； a －b<0?ab ?bb ?a ＋c>b ＋c. 单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式)． 若把c>0作为大前提，则a>b ?ac>bc ，若把c<0作为大前提，则a>b ?ac

含参不等式以及含参不等式组的解法

含参不等式以及含参不等式组的解法 不等式在中考中的运用，往往掺杂参数来增加难度，我们只要读清楚题目找到解题思路便能迎刃而解了。本节课我们就重点讲讲如何读题去寻找解题思路。 含参不等式： 解不等式5（x-1）<3x+1 通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x<3 求不等式 57x -<3 2 -x 的最小整数解. 通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x>8 31 ,故可以得出最小整数为4. 那么含参不等式如下： 解含参不等式ax0时 X< a b X ≤ a b a<0时 X>a b X ≥a b a=0时 若b>0，则解集为任意数 若b ≥0，则解集为任意数 若b ≤0，则这个不等式无解 若b<0，则这个不等式无解 在这些需要讨论的情况下，等号最后讨论才方便，不会讨论重合。 例题：1、求不等式kx+2>2x-3的解集 移项、合并同类项、讨论取值 2、（1）求不等式解集mx+a>nx+b 移项、合并同类项、讨论取值 （2）（m-1）x>a 2+1对于任意x 都成立，则参数m 的值为 练习 ：1、求不等式kx+2>3的解集 2、（1）求不等式mx-2<-7-nx 的解集 （2）求不等式m 2x+1<-x+5的解集 3、关于x 的方程5x-2m=-4-x 的解满足2

含参不等式组： 观察下列不等式组的解集 ?? ?>>31 x x ???<<31 x x ???<>31 x x ?? ?><3 1 x x 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无限了 例题：1、（1）求不等式x-a ）（x-b ）>0的解集。 （2）求不等式 320-x +518-x +716-x +914-x +11 12 -x >5的解集。 那么5的倍数呢？不是5的倍数，18呢？ 2、（1）已知关于x 的不等式组???>-≥-1 250 x a x 只有四个整数解，求实数a 的取值范围。 （2）已知关于x 的不等式组? ??-<+>232 a x a x 无解，则a 的取值范围是？ 3、已知关于x 的不等式（a+3b ）>a-b 的解集是x<-3 5 ,试求bx-a>0的解集。 4、已知关于x 的不等式组?? ? ??-<<->k x x x 111 （1）求其解集。 （2）由（1）可知，不等式组的解集是随数k 的值的变化而变化，当k 为任意有理数时，写出不等式的解集。 练习：1、已知关于x 数的不等式组?? ?>->-0 230 x a x 的整数解共有6个，则a 的取值范围是？

含参数的一元一次不等式组的解集

《含参数的一元一次不等式组的解集》教学设计 万福中心学校余达恒 教材分析：本章内容是苏科版八年级数学（下）第七章，是在学习了《一元一次方程》和《一次函数》后的基础上安排的内容，是为今后学习高中的《集合》及《一元二次不等式》，《二元一次不等式》打下基础。上节课学习了《一元一次不等式组》，知道了一元一次不等式组的有关概念及求一元一次不等式组的解集的方法，并会用数轴直观的得到一元一次不等式组的解集，它是解决本节课内容《含参数的一元一次不等式组的解集》的基础和关键，通过本节课知识的学习，学生能对初中数学中的分类讨论、数形结合的思想方法有进一步的认识，养成独立思考的习惯，也能加强与同学的合作交流意识与创新意识，为今后生活和学习中更好运用数学作准备。 教学目标： （1）知识目标：使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的概念的理解，掌握一元一次不等式组的解法，会应用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围。 （2）能力目标：培养探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。 （3）德育目标：加强同学之间的合作交流与探讨，体验数学发现带来的乐趣。 学习重点： （1）加深对一元一次不等式组的概念与解集的理解。 （2）通过含参数不等式的分析与讨论，让学生理解掌握分类讨论和数形结合的数学思想。学习难点： （1）一元一次不等式组中字母参数的讨论。 （2）运用数轴分析不等式组中参数的范围。 教学难教学难点突破办法： （1）借助数轴，数型结合，让学生直观理解不等式组中几个不等式解集的公共部分。（2）和学生一起探讨解决问题的一般方法：先运用口诀定大小，再考虑特殊情况定等号。

不等关系与不等式经典教案

不等关系与不等式 【学习目标】 1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质． 【学法指导】 1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形． 一、知识温故 a－b＞0?； a－b＝0?； a－b＜0?. 3．常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性)； (2)a>b，b>c?a c(传递性)； (3)a>b?a＋c b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0?ac bc；a>b，c<0?ac bc； (5)a>b，c>d?a＋c b＋d； (6)a>b>0，c>d>0?ac bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥2?a n b n； (8)a>b>0，n∈N，n≥2?n b. 二、经典范例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左 边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质：

如果a－b是正数，那么； 如果a－b是负数，那么； 如果a－b等于零，那么. 以上结论反过来也成立，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论． 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质． 请同学们借助前面的性质证明性质6： 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.

含参不等式

含参不等式知识互联网 题型一：不等式（组）的基本解法

x （ x （ b （ 无解（大大小小无解了） 典题精练 【例1】 ⑴解不等式 31 423 x x x +--+≤. ⑵解不等式组12(1)532122 x x x --?? ?-<+??≤，并在数轴上表示出解集 ⑶求不等式组2(2)43 251x x x x --??--? ≤＜的整数解 ⑷解不等式组32215x x -<-<

⑸解不等式组253473 x x -?? （2012年朝阳一模） 题型二：含参数的不等式（组） 思路导航 对于含参不等式，未知数的系数含有字母需要分类讨论：如不等式ax b <， 例题精讲 【引例】⑴关于x 的一次不等式组x a x b >???? ⑵13kx +> ⑶132kx x +>- ⑷36mx nx +<--

⑸() 212m x +< ⑹()25n x --< 【例3】 ⑴不等式 ()1 23 x m m ->-的解集与2x >的解集相同，则m 的值是 ． ⑵关于x 的不等式2x a -≤-1的解集如图所示，则a 的值为 . ⑶ 关于x 的不等式5ax >的解集为5 2 x <-，则参数a 的值 . ⑷ ①若不等式组3 x x a >??>? 的解集是x a >，则a 的取值范围是 . ②若不等式组3 x x a >??? ≥的解集是x a ≥，则a 的取值范围是 . A ．3a ≤ B ．3a = C ．3a > D ．3a ≥ （北京二中期中考试） ⑸已知关于x 的不等式组2 32x a x a +??-?≥≤无解，则a 的取值范围是 ． ⑹已知关于x 的不等式组>0 53x a x -??-? ≥无解，则a 的取值范围是 ． 【例4】 ⑴ 已知关于x 的不等式组0 521≥x a x -??->? 只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ． ⑵ 如果关于x 的不等式50x m -≤的正整数解只有4个，那么m 的取值范围是（ ） A ．2025m <≤ B ．2025m <≤ C ．25m < D ．20m ≥ （北京五中期中考试）

含参不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。 一． 二次项系数为常数 例1、解关于x 的不等式：0)1(2 >--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0 (两根是1和-m ，谁大？) （1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m （2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122 >+-x x ∴x ≠1 （3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1 综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当 例2:解关于x 的不等式：.0)2(2 >+-+a x a x （不能因式分解） 解：()a a 422 --=? （方程有没有根，取决于谁？） ()()R a a a 时，解集为即当32432404212 +<<-<--=? ()()3 2432404222 +=-==--=? a a a a 或时当

（i ）13324-≠ -=x a 时，解得：当 （ii ）13-324-≠+=x a 时，解得： 当 ()()时 或即当32432404232 +>-<>--=? a a a a 两根为()2 42)2(2 1 a a a x --+ -= ，()2 42)2(2 2 a a a x --- -= . ()()2 42)2(2 42)2(2 2 a a a x a a a x --+ -> --- -< 或此时解得： 综上，不等式的解集为： （1）当3 2 4324+<<-a 时，解 R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)?( +∞ -,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)?(+∞ -- ,13)； （4）当3 24-a 时， 解集为(2 48)2(, 2 +---∞-a a a )?( +∞ +-+ -,2 4 8)2(2 a a a )； 二．二次项系数含参数 例3、解关于x 的不等式：.01)1(2 <++-x a ax 解：若0 =a ，原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0 >a ，原不等式.0)1)(1(<-- ? x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ ； （2）当1>a 时，式)(*11<

不等关系与不等式-教学设计

不等关系与不等式（第一课时） 一、教学任务分析 1、感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、利用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境，让学生学习如何利用不等式（组）研究及表示不等关系，进一步理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学基本流程

四、教学情景设计

1、引入：章头图及古诗《题西林壁》引入，介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也起着重要的作用，也正是实际问题的需要我们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图：使学生体会不等关系的普遍存在，了解学习不等式的意义。 2、创设情境，让学生感受生活中的不等关系。 师：多媒体出示情景：（1）交通标志(限速、限高、限宽)；（2）商家打折海报（一折起、低至几折）；（3）产品含量指标。问：表示什么含义？怎么表示其中的不等关系？ 生：分析各种不等关系，口答并尝试用不等式（组）表示。 师：引导学生准确表述，给出不等式定义，板书学生口答的各问题中不等式（组）。 设计意图：进一步让学生感受生活中的不等关系，知道用不等式（组）表示这种不等关系。 3、知识探究一：具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师：多媒体出示问题1（销售收入问题）、2（实际安排生产问题）。 学生：独立思考后，与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示，小组代表板书结果，并说明式子的含义。 师：点评学生结果，找有不同结果的小组讲解不同方法或补充，引导学生分析比较。 设计意图：问题方式给出，强化学生的问题意识，使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究，使学生交流对于问题的认识。展示不同结果，使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决，是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望，体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二：比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生：结合学案上知识探究二中所填结果，与同组学生交流结论。 师：提问引导学生表述：要比较两数或代数式大小，可以让两数或两式相减，比较结果和0的大小。若结果大于0，则前者大于后者；若……。 设计意图：让学生分析作差法具体做法，明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习：作差法比较代数式的大小。 生：可独立完成，也可与同组同学交流，在规定时间完成。 师：巡视，指导学生疑难处，找完成好的两生板演结果，并让板演学生讲解。点评学生思路，进一步总结作差法中变形结果的形式：

学案29：不等关系与不等式

学案29：不等关系与不等式 知识梳理： 一．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a － b ＞0?a >b ；a －b ＝0?a ＝b ；a －b ＜0?a b ?ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ?ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)． [试一试]1．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2 D. a 3>b 3 2. 12－1 ________3＋1(填“>”或“<”)． 四.方法：1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0?1a <1b ；(2)a <0b >0,0b d ；(4)0

(1)真分数的性质：b a b －m a －m (b －m >0)； (2)假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b 0)． [练一练]若00，则 b ＋ c a ＋c 与a ＋c b ＋c 的大小关系为________． 1.已知a 1，a 21212 ) A ．M N C ．M ＝N D ．不确定 2．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小． [典例] (1)(2014·太原诊断)“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分必要条件 D ．必要不充分条件 (2)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c ＜0；③a －c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [针对训练]若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1b B ．|a |>|b | C ．a ＋b <2ab D.????12a

不等关系与基本不等式同步练习题

a 6 Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６.已知 - 2 ≤ x < 3,-17 < y ≤ -11, 则 的取值范围是（ ） Ａ． -? 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ? ?3,- ? Ｂ． - ,0 Ｃ． - ,0 Ｄ． - ,0 ? ??Ａ． a - c > b - d Ｂ． a 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120 分钟 满分：150 分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40 分） 1．函数 y = x + 1 ( x > 2) 的最小值为( x - 2 ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ． 3 2 2．不等式 x (1 - 3x) > 0 的解集是（ ） 1 1 1 1 A ． (-∞, ) B ． (-∞,0) (0, ) C ． ( ,+∞) D ． (0, ) 3 3 3 3 3．已知 a 、b ∈ R, 且 ab > 0 ，则下列不等式不正确的是( ) A ． a + b > a - b B ． a + b < a + b C ． 2 ab ≤ a + b D ． b a + ≥ 2 a b 4．已知无穷数列 { n }是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． a 4 ≤ a 6 a a ５．已知 a < 0,-1 < b < 0 ，则 a, ab, ab 2 的大小关系是（ ） Ａ． a > ab > ab 2 Ｂ． ab 2 > ab > a Ｃ． ab > a > ab 2 Ｄ． ab > ab 2 > a x 2 y - 1 ? ? 4 9 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 ? ７．若 ab + 1 a + b < 1, 则 a 与 b 中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知 a > b , c > d , 则（ ） b > Ｃ． c - b > d - a Ｄ． ac > bd d c

不等关系与不等式导学案

不等关系与不等式导学案 【学习目标】能用不等式（组）正确表示出不等关系, 掌握不等式的基本性质； 【重点难点】作差法比较两实数大小. 【学习过程】 1、用不等式表示不等关系 例1某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示. 变式训练1： （1）b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式 . （2）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高 0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不 等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 例2 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？变式训练2： 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 2、不等式的基本性质 （1）, a b b c a c >>?>（2）a b a c b c >?+>+ （3）,0 a b c ac bc >>?>（4）,0 a b c ac bc >>?+>+；（6）0,0 a b c d ac bd >>>>?>； （7）0,,1n n n n a b n N n a b a b >>∈>?>> 3、两代数式比较大小 a b a b ->?>0 a b a b -=?=0 a b a b -

含参不等式题型知识讲解

含参不等式题型 一、给出不等式解的情况，求参数取值范围： 总结：给出不等式组解集的情况，只能确定参数的取值范围。记住：“大小小大有解；大大小小无解。”注：端点值格外考虑。 1：已知关于x 的不等式组3x x a >-???????+>-??的解集是x>2a,则a 的取值范围是 。 4、已知关于x 的不等式组2113x x m -?>???>?的解集为2x >，则( ) .2.2.2.2A m B m C m D m ><=≤

5、关于x 的一元一次不等式组x a x b >?? >?的解集是x>a,则a 与b 的关系为( ) ...0.0A a b B a b C a b D a b ≥≤≥>≤< 6、若关于x 的不等式组841x x x m +-??? p f 的解集是x ＞3，则m 的取值范围是 7、若关于x 的不等式组8x x m ?，有解，则m 的取值范围是__ ___。 8、若关于x 的不等式组?? ?->+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是 。 二、给出不等式解集，求参数的值 总结：给出不等式组确切的解集，可以求出参数的值。方法：先解出含参的不等式组中每个不等式的解集，再利用已知解集与所求解集之间的对应关系，建立方程。 1：若关于x 的不等式组2123x a x b -? 的解集为11x -<<，求()()11a b +-的值。 2：已知关于x 的不等式组()324213 x x a x x --≤???+>-??的解集是13x ≤<，求a 的值。 3、若关于x 的不等式组 的解集为 ，求a,b 的值 {a b x b a x 22>+<+3 3<<-x

(完整版)含参数一元一次不等式

含参数一元一次不等式（组）的解法 1、若关于x 的不等式2)1(≥-x a ，可化为a x -≤12，则a 的取值范围是多少？ 2 、关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是？ 3、关于x 的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，则m 的整数值是多少？ 4、关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是多少？ 5、己知不等式 )2(211)5(21+≥--ax x 的解集是2 1≥x ，试求a 的值？

6、关于x 的不等式2x －a ≤0的正整数解恰好是1、2、3、4，则m 的取值是多少？ 7、已知关于x ，y 的方程组?? ?-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围． 8、已知a 是自然数，关于x 的不等式组?? ?>-≥-02,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值． 对应练习1、不等式组???+>+<+1 ,159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是 ． 对应练习2、若不等式组? ??>≤-≥-1 23,0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围．

对应练习：若关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 3 22,3215只有4个整数解，求a 的取值范围． 10、k 取哪些整数时，关于x 的方程5x ＋4＝16k －x 的根大于2且小于10? 二、 应用题 1.爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外的安全地区，导火索至少需要多长？ 2、某次数学竞赛活动，共有16道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答题不得分也不扣分．某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上？

5第五讲 不等关系与基本不等式(教师版) - 副本 - 副本

第一课时：不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？ 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于b a ＞b (2)a 小于ba b ?a －b >0；a ＝b ?a －b ＝0； a b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)； 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式

(3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac b ，c >d ?a ＋c >b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0?ac >bd ； (7)a >b >0?a n >b n (n ∈N ＋)； (8)a >b >0n ∈N ＋)． 类型一 用不等式(组)表示不等关系 例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 考点 用不等式(组)表示不等关系 题点 用不等式(组)表示不等关系 解 提价后销售的总收入为? ?? ?? 8－x －2.50.1×0.2x 万元， 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式? ?? ?? 8－x －2.50.1×0.2x ≥20. 反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时： (1)要先读懂题，设出未知量； (2)抓关键词，找到不等关系； (3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范． 跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm

第40讲 含参数不等式的解法

第40讲 含参数的不等式 【考点解读】 解含参数的不等式的基本途径——分类讨论思想的应用；（应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行讨论求解．能避免讨论的应设法避免讨论）。 【知识扫描】 含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式．而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点．解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻找讨论点（常见的如零点，等值点等），正确划分区间，是分类讨论解决这类问题的关键．在分类讨论过程中要做到不重，不漏． 【考计点拔】 牛刀小试： 1.设0(2a )a ③(2 a )a >a a ④a a >2a a 其中不成立的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】B 2.已知方程mx 2-2(m+2)x+(m+5)＝0有两个不同的正根，则m 的取值范围是( ) A.m<4 B.021｝ C.｛x ｜x>2｝ D.｛x ｜x<2｝ 【答案】A 4.若ax 2+bx+c>0的解集为｛x ｜x<-2或x>4｝，那么对于函数f(x)＝ax 2+bx+c 会有( ) A.f(5)???-f(-a),则实数a 的取值范围是 （A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1） 【答案】C

(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第七章不等式1第1讲不等关系与不等式教学案

第七章不等式 知识点 最新考纲 不等关系与不等式了解不等关系，掌握不等式的基本性质. 一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式. 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题. 基本不等式 ab≤a＋b 2 (a，b＞0) 掌握基本不等式ab≤ a＋b 2 (a，b＞0)及其应用. 绝对值不等式 会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式． 了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?ab，ab>0?1 a < 1 b .

②a <0b >0，0b d . ④0b >0，m >0，则 ①b a b －m a －m (b －m >0)． ②a b > a ＋m b ＋m ；a b 0)． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性．( ) (6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化] 1．(必修5P74练习T3改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2 －b 2 >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A.a －b >0?a >b ?a >b ?a 2 >b 2 ， 但由a 2 －b 2 >0?/ a －b >0. 2．(必修5P75A 组T2改编) 1 5－2______1 6－5(填“>”“<”或“＝”)． 解析：分母有理化有 1 5－2＝5＋2，1 6－5 ＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以

教案高中含参不等式的恒成立问题整理版.doc

高中数学不等式的恒成立问题 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。 基本结论总结 例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022 a a a 或 （2）?? ? ??<-=-=-0 40)2(20 2a a 解（1）得?? ?<<-<2 22 a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习 1. 已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 3.若不等式的解集是R ，求m 的范围。 4.x 取一切实数时，使3 47 2+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围．

例3．设22)(2 +-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 关键点拨：为了使 在 恒成立，构造一个新函数 是解题的关键，再利用二次 函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 解：m mx x x F -+-=22)(2 ，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 例4 。已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。 解法1：数形结合 结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立? 25a 0 a 25)2(f 0a 2)1(f >?? ?<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25 (+∞。 解法2：转化为最值研究 4a 1)2a x ()x (f 22- +-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25 ≤<所以。 2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2 3 2a max <-==>>上的最大值在时即，得2a >，所以3a >。 综上：a 的取值范围是),2 5 (+∞。 注：1. 此处是对参a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数?∈> 解法3：分离参数 ]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+ >?∈<+-。设x 1 x )x (g +=， 注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。 2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。 仿解法1：?∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0 )2(f 0)1(f ≥?? ?≤≤得即),25 [:a +∞的范围是 读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处2 5 a = 也合题。 O x y x -1

含参数不等式的解法(含答案)

含参数不等式的解法 典题探究 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 例3：在?ABC 中，已知2|)(|,2cos )2 4 ( sin sin 4)(2 <-++ =m B f B B B B f 且π 恒成立，求实数m 的范围。 例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2 ,0(4,cos sin π π ∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．设函数f (x )=???? ??? ≥-<<-+-≤+)1(11 )11(22)1()1(2x x x x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(－21 ，+∞) B.(－21，2 1) C.(－∞，－2)∪(－2 1 ，1) D.(－2，－2 1 )∪(1，+∞) 2．已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2 ，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2 b )，则f (x )·g (x ) ＞0的解集是__________. 3．已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________. 4． 解不等式)0( 01)1 (2 ≠<++ -a x a a x 5. 解不等式0652 2>+-a ax x ，0≠a