数学分析原理答案
数学分析原理答案
【篇一：数学分析教材和参考书】
：
《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编
高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月
参考书：
（1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，
邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月（2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著
科学出版社（1964）
（3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研
室译，人民教育出版社（1954）
（4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译
高等教育出版社（1958）
（5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译
高等教育出版社（1979）
（6）《数学分析》，陈传璋等编
高等教育出版社（1978）
（7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编，上海科学技术出版社（1983）
（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编，
高等教育出版社（1991）
（9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编，
北京大学出版社（1990）
（10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编
高等教育出版社（1999）
（11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社（2002）
（12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编，
江苏教育出版社（1998）
（13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编，
北京大学出版社（2003）
（14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编，
高等教育出版社（1993）
复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,asf播放格式，国家级精
品课程，三学期视频全程
教师简介:
陈纪修-基本信息
博士生导师教授
姓名：陈纪修
任教专业：理学-数学类
在职情况：在
性别：男
所在院系：数学科学学院
陈纪修-本人简介
姓名：陈纪修
性别：男
学位：博士
职称：教授（博士生导师）
高校教龄22年，曾获2001年上海市教学成果一等奖、获2001年
国家级教学成果二等奖、获2002年全国普通高等学校优秀教材一等奖、2002年获政府特殊津贴；获宝钢教育奖（优秀教师奖）；被评
为“九五”国家基础科学人才培养基金实施和基地建设先进工作者。
代表性著作：“面向21世纪课程教材”、《数学分析》（上，下册）代表性论文：对《数学分析》教材改革的一些思考、从一个演示课
件看“多元函数微分学”的多媒体教学
所教课程：数学分析
研究方向：复变函数
使用教材:
教材：
《数学分析》（上、下册，第二版）
陈纪修，於崇华，金路编著，高等教育出版社出版
数学分析视频录象内容目录如下：
第一章集合与映射
第一章第一节集合（1）（2）（3）
第一章第二节映射与函数（1）（2）（3）
第二章数列极限
第二章第一节实数系的连续性（1）（2）
第二章第二节数列极限（1）（2）（3）（4）
第二章第三节无穷大量（1）（2）
第二章第四节收敛准则（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）
第三章函数极限与连续函数
第三章第一节函数极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）
第三章第二节连续函数（1）（2）（3）（4）（5）
第三章第三节无穷小量与无穷大量的阶（1）（2）（3）
第三章第四节闭区间上的连续函数（1）（2）（3）
第四章微分
第四章第一节微分和导数（1）
第四章第二节导数的意义和性质（1）（2）
第四章第三节导数四则运算和反函数求导法则（1）（2）
第四章第四节复合函数求导法则及其应用（1）（2）（3）
第四章第五节高阶导数和高阶微分（1）（2）（3）
第五章微分中值定理及其应用
第五章第一节微分中值定理（1）（2）（3）（4）
第五章第二节l’hospital 法则（1）（2）
第五章第三节taylor 公式和插值多项式（1）（2）（3）
第五章第四节函数的taylor 公式及其应用（1）（2）（3）
第五章第五节应用举例（1）（2）（3）
第五章第六节方程的近似求解（1）
第六章不定积分
第六章第一节不定积分的概念和运算法则（1）
第六章第二节换元积分法和分部积分法（1）（2）（3）（4）
第六章第三节有理函数的不定积分及其应用（1）（2）（3）（4）第七章定积分
第七章第一节定积分的概念和可积条件（1）（2）（3）（4）（5）第七章第二节定积分的基本性质（1）（2）
第七章第三节微积分基本定理（1）（2）（3）（4）
第七章第四节定积分在几何计算中的应用（1）（2）（3）（4）（5）
第七章第五节微积分实际应用举例（1）（2）
第七章第六节定积分的数值计算（1）
第八章反常积分
第八章第一节反常积分的概念和计算（1）（2）
第八章第二节反常积分的收敛判别法（1）（2）（3）
第九章数项级数
第九章第一节数项级数的收敛性（1）（2）
第九章第二节上极限与下极限（1）（2）
第九章第三节正项级数（1）（2）（3）
第九章第四节任意项级数（1）（2）（3）（4）
第九章第五节无穷乘积（1）（2）
第十章函数项级数
第十章第一节函数项级数的一致收敛性（1）（2）（3）（4）
第十章第二节一致收敛级数的判别与性质（1）（2）（3）（4）（5）
第十章第三节幂级数（1）（2）
第十章第四节函数的幂级数展开（1）（2）（3）（4）
第十章第五节用多项式逼近连续函数（1）
第十一章 euclid空间上的极限与连续
第十一章第一节euclid空间上的极限和连续（1）（2）（3）（4）第十一章第二节多元连续函数（1）（2）（3）
第十一章第三节连续函数的性质（1）（2）
第十二章多元函数的微分学
第十二章第一节偏导数与全微分（1）（2）（3）（4）（5）（6）第十二章第二节多元复合函数的求导法则（1）（2）
第十二章第三节中值定理与taylor公式（1）（2）
第十二章第四节隐函数（1）（2）（3）（4）
第十二章第五节偏导数在几何中的应用（1）（2）（3）
第十二章第六节无条件极值（1）（2）（3）
第十二章第七节条件极值问题与lagrange乘数法（1）（2）（3）第十三章重积分
第十三章第一节有界闭区域上的重积分（1）（2）（3）
第十三章第二节重积分的性质与计算（1）（2）（3）（4）
第十三章第三节重积分的变量代换（1）（2）（3）（4）（5）（6）第十三章第四节反常重积分（1）（2）（3）
第十三章第五节微分形式（1）（2）
【篇二：数学物理专业的书单】
>目录：
1 数学书目 2
1.1 《数学分析--高等数学》 3
1.2 《高等代数--线性代数》 4
1.3 《空间解析几何》 5
1.4 《常微分方程》 6
1.5 《单复变函数》 8
1.6 《关于自学数学》 11
1.7 《实变函数论与泛函分析》 11 1.8 《抽象代数》 16
1.9 《组合基础》 17
1.10 《数学物理方程》 19
1.11 《拓扑学》 21
1.12 《微分几何》 22
1.13 《微分流形》 23
2 数学参考书目 25
2.1 说明 25
2.2 1.逻辑 27
2.3 组合，形式计算 30
2.4 数论 31
2.5 代数，同调代数，范畴，层 32 2.6 k-理论，c^*-代数 33
2.7 代数几何 34
2.8 群，李群和李代数 36
2.9 代数拓扑，微分拓扑 37
2.10 微分几何 39
2.11 动力系统 40
2.12 实分析，调和分析 42
2.13 泛函分析 43
2.14 复分析，解析几何，奇性 45 2.15 线性偏微分方程，d-模 46
2.16 非线性偏微分方程 47
2.17 数学物理 49
2.18 数值分析 50
2.19 概率 51
2.20 统计 52
2.21 博弈论，经济数学，最优化 54 2.22 数学史 55
3 物理学书单 56
3.1 量子力学 57
3.2 理论力学 57
3.3 电动力学 58
3.4 固体物理 58
3.5 数理方法 59
3.6 统计力学 60
3.7 一些补充 60
4 理论物理 60
5 物理经典教材 63
6 a hysics booklist: recommendations from the net 65
6.1 subject index 66
6.2 general hysics (so even mathematicians can understand it!) 66
6.3 classical mechanics 67
6.4 classical electromagnetism 68
6.5 quantum mechanics 68
6.6 statistical mechanics and entropy 70
6.7 condensed matter 71
6.8 special relativity 71
6.9 article hysics 72
6.10 general relativity 73
6.11 mathematical methods (so that even physicists can understand it!) 74
6.12 nuclear hysics 74
6.13 cosmology 74
6.14 astronomy 76
6.15 lasma hysics 76
6.16 numerical methods/simulations 76
6.17 fluid dynamics 77
6.18 nonlinear dynamics, complexity, and chaos 77
6.19 optics (classical and quantum), lasers 78
6.20 mathematical hysics 78
6.21 atomic hysics 79
6.22 low temperature hysics, superconductivity 80
7 习题 80
8 推荐给大家的优秀数学参考书 80
9 数理逻辑 85
10 现在在中国买得到的100本经典物理学专著 86
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1 数学书目
1.1 《数学分析--高等数学》
1.菲赫今哥尔茨微积分学教程,数学分析原理.
前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.此书堪称经典.微积分学教程其实连作者(莫斯科或者列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家kantorovitch)都承认不太合适作为教材,为此他才给出了能够做教材的后一套书,可以说是一个精简的版本(有所补充的是在最后给出了一个后续课程的简介).相信直到今天,很多老师在开课的时候还是会去找微积分学教程,因为里面的各种各样的例题实在太多了.如果想比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的例题当做有答案的习
题来做,当然不是每道题都可以这么办的.如果你全部做完了那里的题目然后考试的时候碰到你做过的可别怪我.毫无疑问,这套书代表了以古典的方式处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万计,可能在世界范围内也只有goursat 的书可以与之相比了.
2.apostol mathematical analysis
在西方(西欧和美国),这应该算得上是一本相当完整的课本了,在总书库里面有.
3.w.rudin principles of mathematical analysis
(有中译本:卢丁数学分析原理,理图里有)这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,(指一些符号,术语的运用)也是很好的.这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的高等数学,虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的ddmm有所帮助:就是学完高等数学以后,可以找一本
西方advanced calculus水平的书来看,基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师曾特别指出rudin的书.
说到advaced calculus,在这个标题下面有一本书也是可以一看的,就是l.loomis和s.sternberg的advanced calculus,其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚.这本书的观点还是很高的,毕竟是人家harvard的课本.
4.数学分析(北大版)方企勤,沈燮昌等
数学分析习题集,数学分析习题课教材.北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题(一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答,
5.克莱鲍尔数学分析
记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.理图里有.
6.张筑生数学分析新讲(共三册)
我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了都云作者痴,谁解其中味.在这套书里,对于许多材料的处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.
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下面的一些书可能是比较新颖的.
7a.尼柯尔斯基数学分析(教程?)
理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,人家是苏联科学院院士.
7b.数学分析
忘了是谁写的了, 也是苏联的,莫斯科大学的教材.理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉
到观点非常的高.
8.狄多涅现代分析基础(第一卷)
那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,用的术语相当高深,可能等以后学了实变,泛函再回过头来看感觉会更好一些.
9.说两句关于非数学专业的高等数学.
这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有j.dixmier院士的
高等数学第一卷)或者叫普通数学(理图里面有一套书就是这个标题),
其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课之间.
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1.1 《高等代数--线性代数》
高等代数可以认为处理的是有限维线性空间的理论.如果严格一点,关于线性空间的理论应该叫线性代数,
再加上一点多项式理论(就是可以完完全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.这门课在西方的对应一般叫linear algebra,就是苏联人喜
欢用高等这个词,你可以在外国教材中心里面找到一本kurosh(库落什)的higher algebra.
从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一
个矩阵的表示.因此这门课的确是可以建立在矩阵论上的.而且如果要
和数值搭界的话还必须这么做.复旦以前有两本课本就是这么做的.
1.蒋尔雄,吴景琨等线性代数
这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比数学专业相应
的课程要高的.因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.我个人以为还是比较有意思的.
2.屠伯埙等高等代数
这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里可能可以买到翻印的.这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量习题,特别是每章最后的选做题.能独立把这里面的习题做完对于理解矩阵的各种各样的性质是非常
有益的.当然这不是很容易的:据说屠先生退休的时候留下这么句话:今后如果有谁
开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话可以来找我.有此可见一斑.如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,那么下面这本应该说是比较适当的.
3.屠伯埙等线性代数-方法导引
这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也更实际一些.值得一做.
另外,讲到矩阵论.就必须提到
4.甘特玛赫尔矩阵论（p.iahtmaxep）
我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者是柯召先生.在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳入通常课本的内容.举个例子,大
家知道矩阵有jordan标准型,但是化一个矩阵到它的jordan标准型的变换矩阵该怎么求?请看矩阵论.这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.
5.许以超线性代数和矩阵论
虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.
6.华罗庚高等数学引论
华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的(不记得是不是在这本书里面了):n阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个把一组标准基映到1的反对称线性函数.这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.
高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如
7.贾柯勃逊(n.jacobson) lectures on abstract algebra ,ii inear algebra gtm(graduate texts in mathematics)no.31 (抽象代数学第二卷:线性代数)
这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.
8.greub linear algebra(gtm23)
这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是值得一读的.还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有:
9.丘维声高等代数(上,下)
北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.
10.李炯生,查建国线性代数
这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些内容的处理在国内可能书属于相当先进的了.
1.2 《空间解析几何》
空间解析几何实在是一门太经典,或者说古典的课.从教学内容上说,可以认为它描述的主要是三维欧氏空间里面的一些基本常识,包括最基本的线性变换(那是线性代数的特例),和二阶曲面的不变量理论.
在现行的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的空间解析几何里面,最后还有一章讲射影几何.这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影的内容还不是很好念的.可以考虑的参考书包括:
1.陈(受鸟) 空间解析几何学
内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长) 的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.
2.朱鼎勋解析几何学
这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话).朱先生相当有才华,可惜英年早逝.
如果想了解比较新的动态,可以考虑
3.postnikov
解析几何学与线性代数(?)(第一学期)这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早是要给吃到线性代数里面去的.海外教材中心有一本英文本.
我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.我相信所谓三维的解析几何的内容总有一天要下放到高中里面去.
上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有相当深刻的了解.
4.狄隆涅 (解析)几何学
这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能写的.
5.穆斯海里什维利解析几何学教程
这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.具体的说特别值得参考的是它里面关于
【篇三：数学物理学书单】
录： 1 数学书目
1.1 《数学分析--高等数学》
1.2 《高等代数--线性代数》
1.3 《空间解析几何》 1.4 《常微分方程》
1.5 《单复变函数》
1.6 《关于自学数学》
1.7 《实变函数论与泛函分析》
1.8 《抽象代数》 1.9 《组合基础》
1.10 《数学物理方程》
1.11 《拓扑学》
1.12 《微分几何》
1.13 《微分流形》 2 数学参考书目
2.1 说明
2.2 1.逻辑
2.3 组合，形式计算
2.4 数论
2.5 代数，同调代数，范畴，层
2.6 k-理论，c^*-代数
2.7 代数几何
2.8 群，李群和李代数
2.9 代数拓扑，微分拓扑 2.10 微分几何
2.11 动力系统
2.12 实分析，调和分析
2.13 泛函分析
2.14 复分析，解析几何，奇性
2.15 线性偏微分方程，d-模
2.16 非线性偏微分方程
2.17 数学物理
2.18 数值分析 2.19 概率
2.20 统计
2.21 博弈论，经济数学，最优化
2.22 数学史
3 物理学书单
3.1 量子力学
3.2 理论力学
3.3 电动力学
3.4 固体物理 3.5 数理方法 3.6 统计力学 3.7 一些补充 4 理论物理 5 物理经典教材 6 a physics booklist: recommendations from the net 6.1 subject index 6.2 general physics (so even mathematicians can understand it!) 6.3 classical mechanics
6.4 classical electromagnetism 6.5 quantum mechanics 6.6 statistical mechanics and entropy 6.7 condensed matter 6.8 special relativity 6.9 particle physics
6.10 general relativity 6.11 mathematical methods (so that even physicists can understand it!)
6.12 nuclear physics 6.13 cosmology 6.14 astronomy
6.15 plasma physics
6.16 numerical methods/simulations
6.17 fluid dynamics
6.18 nonlinear dynamics, complexity, and chaos
6.19 optics (classical and quantum), lasers
6.20 mathematical physics 6.21 atomic physics
6.22 low temperature physics, superconductivity
7 习题 8 推荐给大家的优秀数学参考书 9 数理逻辑
10 现在在中国买得到的100本经典物理学专著
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1 数学书目
1.1 《数学分析--高等数学》
1.菲赫今哥尔茨微积分学教程,数学分析原理. 前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.此书堪称经典.微积分学教程其实连作者(莫斯科或者列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家kantorovitch)都承认不太合适作为教材,为此他才给出了能够做教材的后一套书,可以说是一个精简的版本(有所补充的是在最后给出了一个后续课程的简介).相信直到今天,很
多老师在开课的时候还是会去找微积分学教程,因为里面的各种各样的例题实在太多了.如果想比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的例题当做有答案的习题来做,当然不是每道题都可以这么办的.如果你全部做完了那里的题目然后考试的时候碰到你做过的可别怪我.毫无疑问,这套书代表了以古典的方式处理数学分析内容(指不引入实变,泛
函的观念)的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万计,可能在世界范围内也只有goursat的书可以与之相比了.
2.apostol mathematical analysis
在西方(西欧和美国),这应该算得上是一本相当完整的课本了,在总书库里面有.
3.w.rudin principles of mathematical analysis
(有中译本:卢丁数学分析原理,理图里有)这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,(指一些符号,术语的运用)也是很好的.这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的高等数学,虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的ddmm有所帮助:就是学完高等数学以后,可以找一本西方advanced calculus水平的书来看,基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师曾特别指出rudin的书.
说到advaced calculus,在这个标题下面有一本书也是可以一看的,就是l.loomis和s.sternberg的advanced calculus,其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚.这本书的观点还是很高的,毕竟是人家harvard的课本.
4.数学分析(北大版)方企勤,沈燮昌等
数学分析习题集,数学分析习题课教材.北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题(一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答,
5.克莱鲍尔数学分析
记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.理图里有.
6.张筑生数学分析新讲(共三册)
我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了都云作者痴,谁解其中味.在这套书里,对于许多材料的处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.
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下面的一些书可能是比较新颖的.
7a.尼柯尔斯基数学分析(教程?)
理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,人家是苏联科学院院士.
7b.数学分析
忘了是谁写的了, 也是苏联的,莫斯科大学的教材.理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉
到观点非常的高.
8.狄多涅现代分析基础(第一卷)
那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,用的术语相当高深,可能等以后学了实变,泛函再回过头来看感觉会更好一些.
9.说两句关于非数学专业的高等数学.
这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有j.dixmier院士的高等数学第一卷)或者叫普通数学(理图里面有一套书就是这个标题),其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课之间.
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1.1 《高等代数--线性代数》
高等代数可以认为处理的是有限维线性空间的理论.如果严格一点,关于线性空间的理论应该叫线性代数,
再加上一点多项式理论(就是可以完完全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.这门课在西方的对应一般叫linear algebra,就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国教材中心里面找到一本kurosh(库落什)的higher algebra.
从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一个矩阵的表示.因此这门课的确是可以建立在矩阵论上的.而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.复旦以前有两本课本就是这么做的.
1.蒋尔雄,吴景琨等线性代数
这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比数学专业相应的课程要高的.因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.我个人以为还是比较有意思的.
2.屠伯埙等高等代数
这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里可能可以买到翻印的.这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量习题,特别是每章最后的选做题.能独立把这里面的习题做完对于理解矩阵的各种各样的性质是非常
有益的.当然这不是很容易的:据说屠先生退休的时候留下这么句话:今后如果有谁
开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话可以来找我.有此可见一斑.如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,那么下面这本应该说是比较适当的. 3.屠伯埙等线性代数-方法导引
这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也更实际一些.值得一做.
另外,讲到矩阵论.就必须提到
4.甘特玛赫尔矩阵论（p.iahtmaxep）我觉得这恐怕是这方面最权
威的一本著作了.其中译者是柯召先生.在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有jordan标准型,但是化一个矩阵到它的jordan标准型的变换矩阵该怎么求?请看
矩阵论.这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.
5.许以超线性代数和矩阵论
虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国念大学数学
系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.
6.华罗庚高等数学引论
华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在矩阵理论
方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你只能找到两个中国人
的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的(不记得是不是在这本书里面了):n阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个把一组标准基映到1的
反对称线性函数.这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.
高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如
7.贾柯勃逊(n.jacobson) lectures on abstract algebra ,ii:linear algebra gtm(graduate texts in mathematics)no.31 (抽象代数学第二卷:线性代数)
这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.
8.greub linear algebra(gtm23) 这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是值得一读的.
还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有:
9.丘维声高等代数(上,下)
北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.
10.李炯生,查建国线性代数
这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些内容的处理在国内可能书属于相当先进的了.
1.2 《空间解析几何》
空间解析几何实在是一门太经典,或者说古典的课.从教学内容上说,
可以认为它描述的主要是三维欧氏空间里面的一些基本常识,包括最基本的线性变换(那是线性代数的特例),和二阶曲面的不变量理论.
在现行的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的空间解析几何里面,最
后还有一章讲射影几何.这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影的内容还不是很好念的.可以考虑的参考书包括:
1.陈(受鸟) 空间解析几何学
内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.陈先生是吴
大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长) 的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.
2.朱鼎勋解析几何学
这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话).朱先生相当有才华,可惜英年早逝.
如果想了解比较新的动态,可以考虑
3.postnikov
我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.我相信所谓三维的解析几何的内容总有一天要下放到高中里面去.
上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有相当深刻的了解.
4.狄隆涅 (解析)几何学
这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能写的.
5.穆斯海里什维利解析几何学教程
这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是虚的而已).
数学分析教学现状调查与分析
作为学院院级精品课程，我们以素质教育观为指导思想，对数学分析教学现状进行了调查与研究.调查地目标是教学内容、教学方法和手段.调查地方式有：.在全省范围内向师范院校毕业地中学数学分析教师发出问卷（以下简称卷Ⅰ），（回收份）；.向学院在职与退休地数学分析教师发出问卷（以下简称卷Ⅱ），（回收份）；.对在职和退休地数学分析教师是行访谈；.召开在校学生座谈会；.查阅部分学校地数学分析教学档案.现梳理出调查结果并作出分析.数学分析在数学教育专业中所处地地位 教学管理机构，院、系对数学分析课地重视程度. 数学分析地形成发展有着悠久地历史，它地内容丰富、诚厚，很多数学分支是由它派生地.也有很多数学分支要以它为思想、知识、方法地基础，同时它还直接或间接地应用于自然、人文、社会科学地诸多方面.无论是哪方面地现代人才，都必须掌握足够地数学分析知识.对此，我省有关教学管理机构，各学院地院、系两级认识深刻、清楚，在学院数学教育专业地课程体系中始终把数学分析课放在“基础、主干”地地位.个人收集整理勿做商业用途 第一，保证了课时.各校给数学分析地排课都是三，四学期课时以上.年全省各校为拓宽专业口径，压缩了专业课，甚至提出淡化专业课地口号，但各校均未减少数学分析地课时.个人收集整理勿做商业用途 第二，在恢复高考招生制度后，全省高师系统首次组织地统考，就是对数学分析地统考.年省教委又组织了部分院校为数学分析摸底考试而命题.个人收集整理勿做商业用途 第三，各校都重视数学分析课地课程建设.象咸阳师院、渭南师院、安康学院都把数学分析定为校级重点建设课程.个人收集整理勿做商业用途 学生心目中地数学分析 卷Ⅰ题地统计结果是：有地人在校学习期间对数学分析课最感兴趣；地人对数学分析学习投入地精力最大；地人认为毕业后仍留下深刻影响地课是数学分析课.但只有地人将该课列为对中学数学教学作用最大地课.个人收集整理勿做商业用途 教学内容现状及分析 教学文件 2.1.1教学大纲 年原教育部委托部分院校编过一部数学分析教学大纲，其内容扎实、结构严谨.它是此后近二十年各师专数学教育专业选择教材、编写讲义、命题考试地主要依据，其作用不可低估.但用现在地眼光看，不对其“革新”就不能适应发展地教育形势，在幅员辽阅地国土上，各地经济、文化发展不平衡，生源素质不一，办学特色不同，用一个大纲覆盖万平方米是不现实地.再之，年地大纲没用具体地教学要求.仅列教学目录，不便操作.这部大纲看不出师范特点，也没能考虑专科生地接受能力，盲目向本科看齐，这个大纲是不能进入世纪地.此后，原国家教委及现教育部都从未颁过统一地数学分析教学大纲，师专数学分析教学内容地遴选无“法”学可依由来已久.年调整教学计划后，各校都自行编写了数学分析教学大纲，以教学内容地遴选、组织起到了一定地规范作用.个人收集整理勿做商业用途 2.1.2原国家教委年地“教学方案” 年原国家教委颁发了《高等师范专科研教育二、三年制教学方案》.随后陕西省教委通知各师专自级执行这一方案.这是一次力度较大地改革.其中学科必修课改革力度最大，表现在课程门类地精减和课时地压缩上，这个方案没有配置相应地大纲，只有一个学科必修课地“课程设置说明”，各科地说明都很原则.对数学分析地“说明”列举有内容要点及课程设置目地.它指出：“设置课程地目地是使学生系统地掌握数学分析地基本理论、基础知识、能熟练地进行基本运算，具有较强地分析论证能力，能深入分析和处理中学数学教材，具备一定地解决实际问题地能力，办学习后继课程打下基础”.这是适应时代要求地.“方案”不配大纲，我们要作积极地理解，这本身就是改革，是在统一目地、统一要求地前提下，充分发挥各院校在
数值分析公式、定理等
第一章 绪论 1. *x ＝ n 21k a a a .010?±，如果｜*x －x|≤0.5n k 10-?（这里n 是使此式成立的最大正整数），则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值。 2．定理：设x 的近似值*x 有（1-1）的表示式： （１）如果*x 有n 位有效数字，则 n 11 10a 21|x ||x x |-**?≤ - （２）如果n 1110) 1a (21 | x ||x x |-* *?+≤ -，则*x 至少有n 位有效数字。 第二章 非线性方程根求解 1. （零点存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，使f(a)?f(b)<0，则必存在α∈(a,b)，使f(α)=0。 2.二分法的误差： |1 k 1k k k 2a b |x x ||x x +-*-=-≤- 3. 局部收敛性：设α是f(x)=0的根，若存在α的一个邻域?，当迭代初值属于?时，迭代法得到的序列{k x }收敛到α，则称该迭代法关于根α具有局部收敛性。 4. 收敛速度：设i x 为第i 次迭代值，α是f(x)=0的根，令α-=εi i x ，且假设迭代收敛，即α=∞ →i i x lim 。若存在实数P ≥1，使 c | |||lim p i 1i i =εε+∞ →≠0 ，则称此方法关于根α具有P 阶收敛速度。C 称为渐近误差常数，渐近误差常数C 与f(x)有关。C ≠0保证了P 的唯一性。对于特殊的函数，C 可能为零，此时，由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。一般情况下，P 越大，收敛就越快。当P=1时，我们称为线性收敛。P>1，称为超线性收敛。P=2，称为平方收敛。 5.牛顿迭代法：) x (f ) x (f x x k k k 1k '- =+ 定理3：如果方程f(x)=0的根α是单根，且在α的某领域内f(x)具有二阶的连续导数,则Newton 迭代法必是局部收敛的 且 ) (f 2)(f lim 2i 1 i i α'α''- =εε+∞ →（即具有二阶收敛速度） 定理4：如果α是方程f(x)=0的r 重根（r>1），且f(x)在α的某邻域内具有r 阶连续导数，则Newton 法具有局部收敛性，且具有线性收敛速度。 定理5：如果α是方程f(x)=0的r 重根（r>1），且f(x)在α的某邻域内具有r+2阶连续导数，则修正Newton 迭代公式：)x ()x (f r x x i i i 1i '?-=+，具有局部收敛性，且具有二阶收敛速度。
Rudin数学分析原理第一章答案
The Real and Complex Number Systems Written by Men-Gen Tsai email:b89902089@https://www.wendangku.net/doc/b73992354.html,.tw 1. 2. 3. 4. 5. 6.Fix b>1. (a)If m,n,p,q are integers,n>0,q>0,and r=m/n=p/q,prove that (b m)1/n=(b p)1/q. Hence it makes sense to de?ne b r=(b m)1/n. (b)Prove that b r+s=b r b s if r and s are rational. (c)If x is real,de?ne B(x)to be the set of all numbers b t,where t is rational and t≤x.Prove that b r=sup B(r) where r is rational.Hence it makes sense to de?ne b x=sup B(x) for every real x. (d)Prove that b x+y=b x b y for all real x and y. 1
Proof:For(a):mq=np since m/n=p/q.Thus b mq=b np. By Theorem1.21we know that(b mq)1/(mn)=(b np)1/(mn),that is, (b m)1/n=(b p)1/q,that is,b r is well-de?ned. For(b):Let r=m/n and s=p/q where m,n,p,q are integers,and n>0,q>0.Hence(b r+s)nq=(b m/n+p/q)nq=(b(mq+np)/(nq))nq= b mq+np=b mq b np=(b m/n)nq(b p/q)nq=(b m/n b p/q)nq.By Theorem1.21 we know that((b r+s)nq)1/(nq)=((b m/n b p/q)nq)1/(nq),that is b r+s= b m/n b p/q=b r b s. For(c):Note that b r∈B(r).For all b t∈B(r)where t is rational and t≤r.Hence,b r=b t b r?t≥b t1r?t since b>1and r?t≥0.Hence b r is an upper bound of B(r).Hence b r=sup B(r). For(d):b x b y=sup B(x)sup B(y)≥b t x b t y=b t x+t y for all rational t x≤x and t y≤y.Note that t x+t y≤x+y and t x+t y is rational. Therefore,sup B(x)sup B(y)is a upper bound of B(x+y),that is, b x b y≥sup B(x+y)=b(x+y). Conversely,we claim that b x b r=b x+r if x∈R1and r∈Q.The following is my proof. b x+r=sup B(x+r)=sup{b s:s≤x+r,s∈Q} =sup{b s?r b r:s?r≤x,s?r∈Q} =b r sup{b s?r:s?r≤x,s?r∈Q} =b r sup B(x) =b r b x. And we also claim that b x+y≥b x if y≥0.The following is my proof: 2
数学分析·下定义及定理
第十二章 数项级数 1、级数的收敛性 定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 ???++???++n u u u 21 （1） 称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中n u 称为数项级数（1）的通项. 数项级数（1）也常写作: ∑∞ =1 n n u 或简单写作 ∑n u . 数项级数（1）的前n 项之和，记为 n n k k n u u u u S +???++==∑=211 ， （2） 称它为数项级数（1）的第n 个部分和，也简称部分和. 定义 2 若数项级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项级 数（1）收敛，称S 为数项级数（1）的和，记作 ???++???++=n u u u S 21或∑=n u S . 若{}n S 是发散数列，则称数项级数（1）发散. 定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m >N 以及对任意的正整数，都有 p m m m u u u ++++???++21<ε. （6） 定理12.2 若级数∑n u 与 ∑n υ 都收敛，则对任意常数,,d c 级数 ()∑+n n d cu υ亦收 敛，且 ()∑∑∑+=+. n n n n d u c d cu υυ 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性.
定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号，即不改变级数的收敛性，也不改变级数的和。 正向级数 定理12.5 正项级数 ∑n u 收敛的充要条件：部分和数列{}n S 有界，即存在某个正数M ， 对一切正整数n 有n S 数学分析 1．引言 数学分析是数学专业和部分工科专业的必修课程之一，基本内容是以实数理论为基础微积分，但是与微积分有很大的差别。微积分学是微分学和积分学的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问[1]。 数学分析的主要内容是微积分学，微积分学的理论基础是极限理论，极限理论的理论基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系。 2．发展历史 阿基米德：在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的。比如，芝诺的两分法悖论就隐含了几何级数的和。再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式。他们在使用穷揭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念。在古印度数学的早期，12世纪的数学家婆什加洛第二给出了导数的例子。 数学分析的创立始于17世纪以牛顿(Newton，I.)和莱布尼兹(Leibnize，G.W)为代表的开创性工作，而完成于19世纪以柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯(Weierstrass)为代表的奠基性工作。从牛顿开始就将微积分学及其有关内容称为分析。其后，微积分学领域不断扩大，但许多数学家还是沿用这一名称。时至今日，许多内容虽已从微积分学中分离出去，成了独立的学科，而人们仍以分析统称之。数学分析亦简称分析。 3．研究对象 牛顿：数学分析的研究对象是函数，它从局部和整体这两个方面研究函数的基本性态，从而形成微分学和积分学的基本内容。微分学研究变化率等函数的局部特征，导数和微分是它的主要概念，求导数的过程就是微分法。围绕着导数与微分的性质、计算和直接应用，形成微分学的主要内容。积分学则从总体上研究微小变化(尤其是非均匀变化)积累的总效果，其基本概念是原函数(反导数)和定积分，求积分的过程就是积分法。积分的性质、计算、推广与直接应用构成积分学的全部内容。牛顿和莱布尼茨对数学的杰出贡献就在于，他们在1670年左右，总结了求导数与求积分的一系列基本法则，发现了求导数与求积分是两种互逆的运算，并通过后来以他们的名字命名的著名公式—牛顿莱布尼兹公式—反映了这种互逆关系，从而使本来各自独立发展的微分学和积分学结合而成一门新的学科—微积分学。又由于他们及一些后继学者(特别是欧拉(Euler))的贡献，使得本来仅为少数数学家所了解，只能相当艰难地处理一些个别具体问题的微分与积分方法，成为一种常人稍加训练即可掌握的近于机械的方法，打开了把它广泛应用于 2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在 数学分析中的英文单词和短语 第一章实数集与函数 第二章 数列极限 Chapter 2 Limits of Sequences 第三章 函数极限 Chapter 3 Limits of Functions 第四章 函数的连续性 Chapter 4 Continuity of Functions 第六章 微分中值定理 及其应用 Chapter 6 Mean Value Theorems of Differentials and their Applications 第七章 实数的完备性 Chapter 7 Completeness of Real Numbers 第八章 不定积分 Chapter 8 Indefinite Integrals 第九章 定积分 Chapter 9 Definite Integrals 第十章定积分的应用Chapter 10 Applications of Definite Integrals 第十一章反常积分Chapter 11 Improper Integrals 第十二章数项级数Chapter 12 Series of Number Terms 第十三章函数列与函数项级数 Chapter 13 Sequences of Functions and Series of Functions 第十四章 幂级数 Chapter 14 Power Series 第十五章 傅里叶级数 Chapter 15 Fourier Series 第十六章 多元函数的极限与连续 Chapter 16 Limits and Continuity of Functions of Several Variavles 第一章复习题 一.填空 1、数集,...}2,1:)1({=-n n n 的上确界为 1 ，下确界为 -1 。 2、 =∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ; 3、)(lim 2 n n n n -+∞ → = _______ 1 2 ________。 4、设数列}{n a 递增且 a a n n =∞ →lim （有限）. 则有a = {}sup n a . 5. 设,2 12,21221 2n n n n n n x x +=-=- 则 =∞→n n x lim 1 二． 选择题 １、设)(x f 为实数集R 上单调增函数，)(x g 为R 上单调减函数，则函数 ))((x g f 在R 上( B )。 Ａ、是单调递增函数; Ｂ、是单调递减函数; Ｃ、既非单调增函数，也非单调减函数 ; Ｄ、其单调性无法确定. 2、在数列极限的“δε-”极限定义中,ε与δ的关系是（ B ） A 、 先给定ε后唯一确定δ; B 、 先给定ε后确定δ,但δ的值不唯一; C 、 先给定δ后确定ε; D 、 δ与ε无关. 3、设数列{}(0,1,2,...)n n a a n ≠=收敛,则下列数列收敛的是（ D ） A 、}1 { 2n a ； B 、}1{a n ； C 、 }1{a n ； D 、}{n a . 4. 若数列}{n x 有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ B ） (A) 必不存在； (B) 至多只有有限多个； (C) 必定有无穷多个； (D) 可能有有限多个，也可能有无穷多个. 5．设a x n n =∞ →||lim ，则 （ D ） (A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞ →lim ； (C) a x n n -=∞ →lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。 6. 设}{n x 是无界数列，则 （ D ） (A) ∞=∞ →n n x lim ； (B) +∞=∞ →n n x lim ； 求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限 解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →. 课程设计报告课程设计题目：求解 的近似值 课程名称：数值分析课程设计 指导教师： X X X 小组成员： X X X X X X X X X 2013年12月31日 目录 目录 (1) 题目 (2) 一、摘要 (2) 二、设计目的 (2) 三、理论基础 (3) 1、复合矩形法求定积分的原理 (3) 2、复合梯形法求定积分的原理 (3) 3、复合辛普森法求定积分的原理 (4) 4、龙贝格求积公式原理 (5) 四、程序代码及运算结果 (5) 1、复合矩形法求定积分：用sum函数 (5) 2、复合梯形法求定积分 (6) 方法一 (6) 方法二：用trapz函数 (7) 3、复合辛普森法求定积分 (7) 方法一 (7) 方法二：用quad函数 (7) 4、龙贝格求定积分 (8) 5、Lobatto数值积分法 (9) 6、波尔文(Borwein)高阶公式 (9) 五、结果分析 (10) 六、设计心得 (10) 七、参考文献 (11) 题 目： （1）已知：411 02π=+? x dx ，所以 ?+=10214 dx x π 。于是，我们可以通过计算上述定积分的近似值来得到π的近似值。 （2）波尔文(Borwein )高阶公式 在π值的高阶算法研究中，最好的结果来自两个都叫波尔文的数学家。他们在1984年发表了一个2阶收敛公式： 20=a ，00=b ，220+=p ， ??? ?? ? ???++=++=+=++++++1 111 11 1)1()1(2) 1(k k k k k k k k k k k k k b a b p p b a b a b a a a 式中π→k p 。试运用上述迭代算法，计算圆周率的近似值，并和前面传统方法进行比较。 一、摘要 借助matlab 环境下的计算机编程语言，先用基本的积分函数对给出的题目进行求积分，然后基于给出的波尔文高阶收敛公式，在进行了连续迭代后，对运行结果做出分析，同时与之前的传统做法进行比较。 二、设计目的 用熟悉的计算机语言编程，上机完成用复合矩形法、复合梯形法、复合辛普森法、龙贝格法以及Lobatto 数值积分方法，掌握各种方法的理论依据及求解思路，了解数值积分各种方法的异同与优缺点。 外文翻译： 数学分析原理第四章连续性第一节函数的连续性 原文来源：“Principles of Mathematical Analysis.”from Walter Rudin 译文正文： 在定义2.1和2.2中引进了函数概念和一些与它有关的术语.虽然我们（在后面各章里）主要感兴趣的是实函数和复函数（即值是实数或复数的函数），但是我们也要讨论向量 值函数（即在R k 中取值的函数）和在任意度量空间中取值的函数.我们在这个更一般的基础 上将要讨论的定理，并不会因为我们限制在（例如）实函数而显得更容易些，放弃不必要的假定和用适当普遍的措辞来叙述和证明定理，反而会使得情景确实简洁了. 我们的函数的定义域也是度量空间，遇有不同的要求，便加以适当的说明. 函数的极限 4.1定义 令Ｘ和Ｙ是度量空间，假设X E ?，ｆ将Ｅ映入Ｙ内．且ｐ是Ｅ的极限点．凡是我们写当p x →时q x f →)(，或 q x f p x =→)(lim （１） 的时候，就是存在一个点Y q ∈具有以下的性质：对于每个ε＞０，存在着δ＞０，使得 ε<)),((q x f d Y （２） 对于满足 δ<<),(0p x d X （３） 的一切点E x ∈成立． 记号Y X d d 和分别表示Ｘ和Ｙ中的距离． 如果Ｘ和（或）Ｙ换成实直线，复平面或某一欧式空间k R ，那么距离Y X d d 和自然该换成绝对值或相应的范数（见第２．１６段）． 应当注意X p ∈，但是上面的定义中，并不一定要求ｐ是Ｅ的点．此外，即使E p ∈，也完全可能)(lim )(x f p f p x →≠． 我们还可以将这个定义用序列的极限改述为： 4.2 定理 令Ｘ，Ｙ，Ｅ，ｆ和ｐ是定义4.1说的那些，那么 数学分析学习方法 数学分析是基础课、基础课学不好，不可能学好其他专业课。工欲善其事，必先利其器。这门课就是器。学好它对计算科学专业的学生都是极为重要的。这里，就学好这门课的学习方法提一点建议供同学们参考。 1.提高学习数学的兴趣 首先要有学习数学的兴趣。两千多年前的孔子就说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”这里的“好”与“乐”就是愿意学、喜欢学，就是学习兴趣，世界知名的伟大科学家、相对论学说的创立者爱因斯坦也说过：“在学校里和生活中，工作的最重要动机是工作中的乐趣。”学习的乐趣是学习的主动性和积极性，我们经常看到一些同学，为了弄清一个数学概念长时间埋头阅读和思考；为了解答一道数学习题而废寝忘食。这首先是因为他们对数学学习和研究感兴趣，很难想象，对数学毫无兴趣，见了数学题就头痛的人能够学好数学，要培养学习数学的兴趣首先要认识学习数学的重要性，数学被称为科学的皇后，它是学习科学知识和应用科学知识必须的工具。可以说，没有数学，也就不可能学好其他学科；其次必须有钻研的精神，有非学好不可的韧劲，在深入钻研的过程中，就可以领略到数学的奥妙，体会到学习数学获取成功的喜悦。长久下去，自然会对数学产生浓厚的兴趣，并激发出学好数学的高度自觉性和积极性。用兴趣推动学习，而不是用任务观点强迫自己被动地学习数学。 2.知难而进，迂回式学习 首先要培养学习数学分析的兴趣和积极性，还要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，这一点在刚开始进入大学学习数学分析时尤为重要。 中学数学和大学数学，由于理论体系的截然不同，使得同学们会在学习该课程开始阶段遇到不小的麻烦，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。 大数据分析理论和技术（2） 胡经国 本文根据有关文献和资料编写而成，供读者参考。本文在篇章结构、内容和文字上对原文献作了一些修改和补充，并且添加了一些小标题，特此说明。 三、数据分析的灵魂 1、大数据与数据的区别 大数据与数据的区别在于其海量积累、高增长率和多样性。 什么是数据？数据（Data）在拉丁文里是“已知”的意思，在英文中的一个解释是“一组事实的集合，从中可以分析出结论”。笼统地说，凡是用某种载体记录下来的、能反映自然界和人类社会某种事物的信息，都可以称之为数据。古人“结绳记事”，“打了结的绳子”就是数据。步入现代社会，信息的种类和数量越来越丰富，载体也越来越多。数字是数据，文字是数据，图像、音频、视频等都是数据。 什么是大数据呢？数据量的海量积累和高增长率，是人们对大数据的第一个认识。随着科技的发展，各个领域的数据量都在迅猛增长和不断积累。据研究发现，近年来，数字数据的数量每3年多就会翻一番。 大数据区别于数据还在于数据的多样性。据研究，数据爆炸是三维的、立体的。所谓“三维”，除了指数据量快速增大以外，还指数据增长速度的加快，以及数据的多样性，即数据的来源、种类不断增加。 2、通过数据分析发现新知识创造新价值 从数据到大数据不仅仅是数量的积累，更主要的是质的飞跃。海量的、不同来源、不同形式、包含不同信息的数据，可以容易地被整合、分析；原本孤立的数据变得互相联通。这使得人们通过数据分析，能够发现小数据时代很难发现的新知识，从而创造新的价值。 通过数据来研究规律、发现规律，贯穿了人类社会发展的始终。人类科学发展史上的不少进步，都和数据采集分析直接相关。例如，现代医学流行病学的开端。1854年，伦敦发生了大规模的霍乱，很长时间没有办法控制。一位医师用标点地图的方法，研究了当地水井分布和霍乱患者分布之间的关系。发现有一口水井周围，霍乱患病率明显较高。据此，找到了霍乱暴发的原因：一口被污染的水井。在关闭这口水井之后，霍乱的发病率明显下降。这种方法，充分展示了数据的力量。 本质上说，许多科学活动都是数据挖掘。不是从预先设定好的理论或者原理出发，通过演绎来研究问题；而是从数据本身出发，通过归纳来总结规律。进入近现代以来，随着人类面临的问题变得越来越复杂，通过演绎的方式来研究问题常常变得很困难。这就使得数据归纳的方法变得越来越重要，数据的重 第一章 实数集与函数 习题 §1实数 1、 设a 为有理数，x 为无理数。证明： （1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。 2、 试在数轴上表示出下列不等式的解： （1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。 3、 设a 、b ∈R 。证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。 4、 设x ≠0，证明|x+x 1|≥2，并说明其中等号何时成立。 5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。 6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。 你能说明此不等式的几何意义吗 7、 设x>0，b>0，a ≠b 。证明x b x a ++介于1与b a 之间。 8、 设p 为正整数。证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。 9、 设a 、b 为给定实数。试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： （1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|0（a ，b ，c 为常数，且a 定义1 给定两个非负实数 其中00,a b 为非负整数，(),1,2,k k a b k =L 为整数，若有 则称x 与y 相等，记为x y =. 定义2 定义3 绝对值得一些性质 定义4 区间和邻域 定义5 有界的定义 定义6 确界的定义 定理1 定理一 确界原理 定理2 推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）. 函数的概念 定义1 函数的四则运算 初等函数 定义2 几个重要的等式（不等式） 数列极限 定义1 收敛数列的性质 定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且12k n n n <<< 无穷小量阶的比较（定义见下页末） 函数极限存在的条件 两个重要极限 常见的几个等价无穷小量 函数的连续 区间上的连续函数 连续函数的性质 导数和微分 定义2单侧导数 导函数 导数的几何意义 求导法则 反函数的导数 复合函数的导数 基本求导法则 基本初等函数导数公式 参变量函数的导数 高阶导数 定义略 微分 定义1 定理5.10 可微函数 若函数在定义区间上每一点都可微，则称函 数为可微函数. 微分的运算法则 高阶微分 系统分析原理与方法 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 系统分析的概念 系统是系统分析的最基础的概念。按照一般系统论的创立者贝塔朗菲（L· von Bertalanffy）的观点，系统是处于一定的相互关系并与环境发生关系的各个组成部分(要素)的总体(集)。我国着名科学家钱学森则主张把“极其复杂的研究对象称为系统，即相互作用和相互依赖的若干组成部分合成的具有特定功能的有机整体，而且这个系统本身又是它所从属的一个更大系统的组成部分。”因此，我们可以一般地将系统界定为是由若干处于相互联系并与环境发生相互作用的要素或部分所构成的整体。 世界上的一切事物都是作为系统而存在的，是若干要素按一定的结构和层次组成的，并且具有特定的功能。系统普遍存在于自然界和人类社会之中。它是要由素所构成的整体，离开要素就无所谓的系统，因而要素是系统存在的基础；系统的性质一般是由要素所决定的（有什么的要素，就具有什么样的系统及其功能），但系统又具有各要素所没有的新功能；各种要素在构成系统时，具有一定的结构与层次，没有结构层次的要素的胡乱堆积构不成系统；系统的性质取决于要素的结构，而在一个动态结构的系统中，结构的好坏直接是由要素之间的协调体现出来；系统与环境之间也存在密切的联系，每个系统都是在一定的环境中存在与发展的，它与环境发生物质、能量和信息的交换（这是开放系统的一个基本特点）。系统的各要素之间，要素与整体之间，整体与环境之间存在着一定的有机联系，从而在系统内外形成一定的结构与秩序，使得系统呈现出整体性、有机关联性、结构层次性、环境适应性（开放性）和有序性等特征，这些特征就是所谓的系统的同构性。 系统分析或系统方法，就其本质而言，是一种根据客观事物所具有的系统特征，从事物的整体出发，着眼于整体与部分，整体与结构及层次，结构与功能、系统与环境等的相互联系和相互作用，求得优化的整体目标的现代科学方法以及政策分析方法。拉兹洛认为，系统论为我们提供一种透视人与自然的眼光，“这是一种根据系统概念，根据系统的性质和关系，把现有的发现有机地组织起来的模型。”贝塔朗菲则将系统方法描述为:提出一定的目标，为寻找实现目标的方法和手段就要求系统专家或专家组在极复杂的相互关系网中按最大效益和最小费用的标准去考虑不同的解决方案并选出可能的最优方案。我国学者汪应洛在《系统工程导论》一书中则认为，系统分析是一种程序，它对系统的目的、功能、费用、效益等问题，运用科学的分析工具和方法，进行充分调查研究，在收集、分析处理所获得的信息基础上，提出各种备选方案，通过模型进行仿真实验和优化分析，并对各种方案进行综合研究，从而为系统设计、系统决策、系统实施提出可靠的依据。 系统分析的作用 系统分析主要作用是：鼓励人们对系统的不同部分进行同时的研究；使人们注意系统中的结构和层次的特点；开拓新的研究领域，增加新的知识；突出未知东西的探索，使人们从过去和现在的基础上了解未来；使人们转换视角，从不同的角度或侧面看问题；迫使人们在考虑目标和解决问题的要求时，也同时注意考虑协调、控制、分析水平和贯彻执行的问题；诱导新的发现，注意进行从目的到手段的全面调查等等。系统分析的内容 根据系统的本质及其基本特征，可以将系统分析的内容相对地划分为系统的整体分析、结构分析、层次分析、相关分析和环境分析等几个方面。 一、整体分析 二、整体性是系统的最基本的属性或特征之一。因而，整体分析也就构成系统分析的一个主要内容。根据系统论的原理，任何系统都是由众多的子系统所构成的，子 《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ?=ξinf ，试证： （１） 存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使； （２） 存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使． 证明如下： （１） 据假设，ξ>∈?a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1 Λ== εn n n 相应地S a n ∈?,使得 Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ． 因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 Λ,3,2,,1min 1=? ?? ???+ξ=ε-n a n n n ， 就能保证 Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）． 证 设B A ,为非空有界数集，B A S ?=，试证： {}B A S inf ,inf m in inf =． 现证明如下． 由假设，B A S ?=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥． 另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有 S A S x inf inf inf ≥?≥； 同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤． 综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且?≠?B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?． 并举出等号不成立的例子． 证 这里只证（２），类似地可证（１）． 设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有． 于是，B A z ?∈?，必有 {}βα≥?? ?? β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界．由于B A ?亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立． 上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则， 这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而，故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,， 证明： （１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．数学分析
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