数值分析第七章非线性方程求根习题答案
第七章非线性方程求根
（一）问题简介 求单变量函数方程
()0f x = (7.1)
的根是指求*x （实数或复数），使得(*)0f x =.称*x 为方程(7.1)的根,也称*x 为函数()
f x 的零点.若()f x 可以分解为
()(*)()m
f x x x
g x =- 其中m 为正整数,()g x 满足()0g x ≠,则*x 是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x 为单根;当m>1时,称*x 为m 重根.若()g x 充分光滑,*x 是方程(7.1)的m 重根,则有
(1)()
(*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 若()f x 在[a,b]上连续且()()0f a f b <,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得.
(二)方程求根的几种常用方法 1.二分法
设()f x 在[a,b]上连续,()()0f a f b <,则()0f x =在(a,b)内有根*x .再设()0f x =在(a,b)内
仅有一个根.令00,a a b b ==,计算0001
()
2x a b =+和
0()f x .若0()0f x =则*x x =,结束计算;若
00()()0f a f x >,则令10,1a x b b ==,得新的有根区间11[,]a b ;若00()()0f a f x <,则令
10,10a a b x ==,得新的有根区间11[,]a b .0011[,][,]a b a b ?,11001
()2b a b a -=-.再令1111
()2x a b =+计算
1()f x ,同上法得出新的有根区间22[,]a b ,如此反复进行,可得一有根区间套
1100...[,][,]...[,]n n n n a b a b a b --????
且110011
*,0,1,2,...,()...()
22n n n n n n a x b n b a b a b a --<<=-=-==-. 故 1
lim()0,lim lim ()*
2n n n n n n n n b a x a b x →∞→∞→∞-==+=
因此,
1
()2n n n x a b =
+可作为()0f x =的近似根,且有误差估计
11
|*|()2n n x x b a +-≤
- (7.2)
2.迭代法
将方程式(7.1)等价变形为 ()x x ?= (7.3)
若要求*x 满足(*)0f x =则*(*)x x ?=;反之亦然.称*x 为函数()x ?的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求()x ?的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为
1(),0,1,2...k k x x k ?+== (7.4)
函数()x ?称为迭代函数.如果对任意1(),0,1,2...k k x x k ?+==,由式(7.4)产生的序列{}k x 有
极限
lim *
k k x x →∞
=
则称不动点迭代法(7.4)收敛.
定理7.1(不动点存在性定理)设()[,]x C a b ?∈满足以下两个条件: 1.对任意[,]x a b ∈有();a x b ?≤≤
2.存在正常数1L <,使对任意,[,]x y a b ∈,都有|()()|||x y x y ??-≤- (7.5) 则()x ?在[,]a b 上存在惟一的不动点*x .
定理7.2(不动点迭代法的全局收敛性定理)设()[,]x C a b ?∈满足定理7.1中的两个条件,则对任意
0[,]x a b ∈,由(7.4)式得到的迭代序列{}k x 收敛.到()x ?的不动点,并有误差估计式
1|*|||1k k k L
x x x x L --≤
-- (7.6)
和 1|*|||
1k
k k k L x x x x L --≤-- (7.7)
定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)设*x 为()x ?的不动点,'()x ?在*x 的某个邻域连续,且|'()|1x ?<,则迭代法(7.4)局部收敛.
收敛阶的概念 设迭代过程(7.4)收敛于方程()x x ?=的根*x ,如果迭代误差
*k k e x x =-当k →∞时成产下列渐近关系式
1
(0)k k e C C e +→≠常数 (7.8)
则称该迭代过程是p 阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收敛,p=2时称平方
收敛.
定理7.4(收敛阶定理)对于迭代过程(7.4),如果
()()K x ?在所求根*x 的邻近连续,并且 (1)()'(*)''(*)...(*)0(*)0
p p x x x x ????-====≠ (7.9)
则该迭代过程在点*x 的邻近是收敛的,并有
()11lim
(*)
!p k p k k
e x e p ?+→∞= (7.10)
斯蒂芬森(Steffensen)迭代法 当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯
蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为
2
1(),()()20,1,2,...k k k k k k k k k k k
y x z y y x x x z y x k ??+==-=-
-+= (7.11)
此法也可写成如下不动点迭代式
12
(),0,1,2,...
(())()(())2()k k x x k x x x x x x x ψ?ψ???+==-=-
-+ (7.12)
定理7.5(斯蒂芬森迭代收敛定理) 设*x 为式(7.12)中()x ψ的不动点,则*x 是()x ?的不动点;
设''()x ?存在,'(*)1x ?≠,则*x 是
()x ψ的不动点,则斯蒂芬森迭代法(7.11)是2阶收敛的.
3.牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为
其迭代函数为
1()
,0,1,2,...'()k k k k f x x x k f x +=-
= (7.13)
()
()'()f x x x f x ?=-
牛顿迭代法的收敛速度 当(*)0,'(*)0,''(*)0f x f x f x =≠≠时,容易证
明,'(*)0f x ≠,
''(*)
''(*)0'(*)f x x f x ?=
≠,由定理7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且
12''(*)lim
2'(*)k k k e f x e f x +→∞=
(7.14) 重根情形的牛顿迭代法 当*x 是()0f x =的m 重根(2)m ≥时,迭代函数
()
()'()
f x x x f x ?=-
在*x 处的导数
1'(*)10x m ?=-
≠,且|'(*)|1x ?<.所以牛顿迭代法求重根只是线性收敛.若
*x 的重数m 知道,则迭代式
1()
,0,1,2,...'()k k k k f x x x m
k f x +==-= (7.15)
求重根二阶收敛.当m 未知时,*x 一定是函数
()
()'()f x x f x μ=
的单重零点,此时迭代式
1()()'()
'()['()]()''()
0,1,2,...k k k k k k k k k k x f x f x x x x x f x f x f x k μμ+=-
=--= (7.16)
也是二阶收敛的.
简化牛顿法 如下迭代法
10()
,0,1,2,...'()k k k f x x x k f x +=-
=
称为简化牛顿法或平行弦法.
牛顿下山法 为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材. 4.弦截法
将牛顿迭代法(7.13)中的
'()k f x 用()f x 在1k x -,k x 处的一阶差商来代替,即可得弦截法
111()
()
()()k k k k k k k f x x x x x f x f x ++-=-
-- (7.17)
定理7.6假设
()f x 在其零点*x 的邻域:|*|x x δ?-≤内具有二阶连续导数,且对任意x ∈?
有'()0f x ≠,又初值
01,x x ∈?
,,则当邻域?充分小时,弦截法(7.17)将按阶
15
1.6182p +=
≈收敛到*x .这里p 是方程2
10λλ--=的正根.
5.抛物线法
弦截法可以理解为用过11(,()),(())k k k k x f x x f x ---两点的直线方程的根近似替()0f x =的
根.若已知
()
0f x =的
三个近似根k
x ,
1k x -,2k x -用过
1
12
(,()),(,()),(,())k k
k k
k k x f
x
x f x x f x ----的抛物线方程的根近似代替
()0f x =的根,所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法. 当
()f x 在*x 的邻近有三阶连续导数,'(*)0f x ≠,则抛物线法局部收敛,且收敛阶为
1.839 1.84p =≈.
二、知识结构图
10[1,2]1x x --=≤≤--∈3-3-6k k 32三、常考题型及典型题精解
例7-1 证明方程x 在上有一个实根x*,并用二分法求这个根,要求|x -x*|10.若要求|x -x*|10,需二分区间[1,2]多少次?
解 设f(x)=x ,则f(1)=-1<0,f(2)=5>0,故方程f(x)=0在[1,2]上有根x*.又因f'(x)=3x -1,所以当x [1,2]时,f'(x)>0,即f (x)=0在[1,2]上有惟一实根x*.用二分法计算结果如表7-1所示.
表7-1
k k a
k b
k x
()k f x 的符号
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3204 1.3243
2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.13438 1.3282 1.3282 1.3282
1.5 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3282 1.3204 1.3243 1.3263
+ - + - + + - - +
9 1.3243 1.3263 1.3253 +
610x e -≤≤?≤≤≤
≤≥∈-3-39910-6k k k+101
此时x =1.3253满足|x -x*|0.9771010,可以作为x*的近2
似值.
1
若要求|x -x*|,只需|x -x*|10即可,解得k+119.932,2
即只需把[1,2]二分20次就能满足精度要求.例7-2 已知函数方程(x-2)=1,(1)确定有根区间[a,b];(2)构造不动点迭代公式使之对任意初始近似x [a,b],31|10.
k x --- 1lim lim x x x x x e e e e →+∞ →-∞ ∞∞∞∈解 (1)令f(x)=(x-2)-1,由于f(2)=-1<0,f(3)=-1>0,因此区间[2,3]是方程f(x)=0的一个有根区间.又因f'(x)=(x-1),f(x)=+,f(x)=-1, f'(1)=--1<0,当x>1时f(x)单增,x<1时f(x)单减,故f(x)=0在(-,+)内有且仅有一根x*,即x*[2,3]. 2'k k x x x x x x e e e e e e e ???-----∈∈≤≤≤?∈k+100k+1(2)将(x-2)=1等价变形为x=2+,x [2,3].则(x)=2+.由于当x [2,3]时2(x)3,|(x)|=|-|<1 故不动点迭代法x =2+,k=0,1,2,...,对x [2,3]均收敛.(3)取x =2.5,利用x =2+进行迭代计算,结果如表7-2所示. 表7-2 k k x 1||k k x x -- 0 1 2 3 4 2.5 2.082084999 2.124670004 2.119472387 2.120094976 0.417915001 0.042585005 0.0005197617 0.000622589 4 2.120094976.73cos 3120cos c k x x x x ?≈=--+=∈≤4k+10-30k+1k+1k 此时x 已满足误差要求,即x*例 考虑求解方程2的迭代公式2 x =4+,k=0,1,2,... 3 (1)试证:对任意初始近似x R,该方法收敛;(2)取x =4,求根的近似值x ,要求|x -x |10;(3)所给方法的收敛阶是多少? 2 解 (1)由迭代公式知,迭代函数(x)=4+3{}os , (,).|'sin |1 (,)x x x ???∈-∞+∞≤<-∞+∞?∈0k 022 由于(x)的值域介于(4-)与(4+)之间,且 33 22 (x)|=|-33 故根据定理7.1,7.2知,(x)在内存在惟一的不动点x*,且对x R,迭代公式得到的序列x 收敛于x*.(2) 取x =4,迭代计算结果如表7-3所示. 表7-3 k k x 1||k k x x -- 0 1 2 3 4 5 4 3.564237587 3.391995168 3.354124827 3.348333384 3.347529903 0.435762413 0.172242419 0.037870341 0.005791443 0.000803481 此时 5x 已满足误差要求，即5* 3.347529903x x ≈= （3）由于'(*)0.1363231290x ?≈≠，故根据定理7 .4知方法是线性收敛的，并且有 1 lim '(*) k k k e x e ?+→∞=。 例7-4 对于迭代函数2 ()(2)x x C x ?=+-，试讨论： （1）当C 为何值时， 1()(0,1,2,...)k k x x k ?+==产生的序列{}k x 收敛于2； （2）C 为何值时收敛最快？ （3）分别取 12C =- ，1 22-，计算()x ?的不动点2，要求 5 1||10k k x x -+-< 解： （1） 2()(2)x x C x ?=+-，'()12x Cx ?=+，根据定理7.3，当|'(2)||122|1C ?=+<，亦即 1 02C - <<时迭代收敛。 （2）由定理7.4知，当'(2)1220C ?=+=，即1 22C =- 时迭代至少是二阶收敛的， 收敛最快。 （3）分别取 11 ,222C = - ，并取0 1.2x =，迭代计算结果如表7-4所示。 表7-4 k 1 () 2C =-k x k 1 () 22C =- k x 0 1 6 12 13 1.2 1.48 1.413369586 1.414209303 1.414215327 0 1 2 3 4 1.2 1.397989899 1.414120505 1.414213559 1.414213562 此时都达到5 1||10k k x x -+-<.事实上2 1.414213562...=, 例7-5 给定初值02 0, x a ≠以及迭代公式 1(2),0,1,2,...k k k x x ax k +=-=,常数0a ≠ 证明: (1)该迭代函数是二阶收敛的;(2)该迭代产生的序列 {}k x 收敛的充要条件是 0|1|1ax -<． 解: (1) 显然,迭代函数为()(2)x x ax ?=-,且 11()a a ?= ,即1 a 是()x ?的不动点.又 '()2(1),''()2x ax x a ??=-=-,所以 1'()0a ?=, 1''()20 a a ?=-≠，由定理7.4知， 迭代是二阶收敛的，且1211 lim ''()2k k k e a e a ?+→∞==-． （２）因 11 (1) k k k e x ax a a =- =-，令1k k r ax =-，则 11 (1),k k k k k x x r e r a +=-= 然而 112111 1(1)1 (1)(1)1k k k k k k k r ax ax r r r r -----=-=--=+--=- 故 2 42 1 2 0...k k k k r r r r --=-=-==- 2 011k k k e r r a a ==- 由此可知lim 0k k e →∞=等价于lim 0 k k r →∞=，而lim 0 k k r →∞ =又等价于 0||1r <，即0|1|1ax -<． 注 （１）的结论也可以直接用二阶收敛函数的定义去证明．另外，本题迭代式实际上 是对1 ()f x a x =- 使用牛顿迭代法而得． 例7-6 对 3 (),0x x x x ?=+=为()x ?的一个不动点,验证迭代1()k k x x ?+=对任意00x ≠不收敛,但改用斯蒂芬森迭代却是收敛的,并说明斯蒂芬森迭代计算()x ?的不动点0x =时的收敛阶. 解 由于2'()13x x ?=+,当0x ≠时|'()|1x ?>,且有 1|0||()0||'()(0)|k k k x x x ??ξ+-=-=-,ξ介于k x 与0之间,若00,1x L ≠>,迭代不收敛. 若改用斯蒂芬森迭代(7 .12),可得 142(),()33k k x x x x x x x ψψ+==- ++ 2 '(0)3ψ= ,根据定理7.3,斯蒂芬森迭代法收敛. 由于 2'(0)03ψ= ≠,故用斯蒂芬森迭代计算不动点0x =时,收敛阶1p =.(请读者注意,这一 结论与定理7.5的结论是否矛盾?) 例7-7 当R 取适当值时,曲线2y x =与222 (8)y x R +-=相切,试用迭法求切点横坐标的近 似值,要求不少于四位有效数字,且不必求R. 解 2y x =的导数'2y x =,由222 (8)y x R +-=确定的函数y 的导数满足 2'2(8)0yy x +-=,由两曲线相切的条件,可得 2222(8)0x x x ??+-= 即 3 280x x --= 令 3 ()28f x x x =--,则(1)0,(2)0,()0f f f x <>=在(1,2)内有实根.又2'()610f x x =+>,故()0f x =仅有一个根,构造迭代公式 131 8(),()(),(1,2) 2k k x x x x x ??+-==∈, 则当[1,2]x ∈时,1()2x ?≤≤. 22 3 31811|'()||()|()1 6263x x L ?--=-≤=< 故迭代收敛.取 0 1.5x =,计算结果如表7-5所示. 表7-5 k k x 1||k k x x -- k k x 1||k k x x -- 0 1 1.5 1.481248 0.018752 2 3 1.482671 1.482563 0.001423 由于 3 3321 |*|||1012L x x x x L --≤ - 3* 1.483x x ≈=,即可保证两曲线切点的横坐标的近似值具有四位有效数字. 例7-8 曲线30.511y x x =-+与 2 2.4 1.89y x =-在点(1.6,1)附近相切,试用牛顿迭代法求切点的横坐标的近似值1k x +,使5 1||10k k x x -+-≤. 解 两曲线的导数分别为 2 '30.51y x =-和' 4.8y x =,两曲线相切,导数相等,故有 2 3 4.80.510x x --= 令 2 ()3 4.80.51f x x x =--,则(1)0,(2)0f f <>,故区间[1,2]是()0f x =的有根区间.又当[1,2]x ∈时,'()6 4.80f x x =->,因此()0f x =在[1,2]上有惟一实根*x .对()f x 应用牛顿迭代法,得计算公式 3 1 0.000108102 - 213 4.80.51 ,0,1,2,... 6 4.8k k k k k x x x x k x +--=-=- 由于''()60f x =>,故取0 2x =迭代计算一定收敛,计算结果如表7-6所示. 表7-6 k k x k k x 0 1 2 2.0 2.293055556 1.817783592 3 4 5 1.706815287 1.700025611 1.7 继续计算仍得 6 1.7x =,故* 1.7x =. 注 本题也可令3 2 0.511 2.4 1.89x x x -+=-,解得切点横坐标满足方程 32() 2.451 2.890f x x x x =--+=,用有重根时的牛顿迭代法(7.15)式计算,此时2m =.仍 取 02x =,经四步可得* 1.7x =. 例7-9(牛顿迭代法收敛定理)设()f x 在[,]a b 上具有二阶连续导数,且满足条件 (1)()()0;f a f b < (2)在[,]a b 上'()0,''()0;f x f x ≠≠ (3) 0[,]x a b ∈满足00()''()0f x f x >. 则由牛顿迭代法产生的序列{}k x 单调收敛于()0f x =在[,]a b 内的惟一实根*x ,并且是平 方收敛的. 证明 因()f x 在[,]a b 上连续,由条件(1)知,方程()0f x =在(,)a b 内有根*x .又由于条件(2)知'()f x 在[,]a b 上恒正或恒负,所以()f x 在[,]a b 上严格单调,因而*x 是()0f x =在(,)a b 内的惟一实根. 条件(1),(2)共有四种情形: (1)()0,()0,'()0,''()0,[,];f a f b f x f x x a b <>>>?∈ (2)()0,()0,'()0,''()0,[,];f a f b f x f x x a b <>><<>?∈ (4)()0,()0,'()0,''()0,[,].f a f b f x f x x a b ><< 000[,],()''()0x a b f x f x ∈>可知0()0f x >,再由'()0f x >知()f x 单增且0*x x >.又由 牛顿迭代法知 0100 0() '()f x x x x f x =- < 又台劳展开得 2000001 ()()'()()''()()2!f x f x f x x x f x x ξ=+-+ - 其中 0ξ介于x 与0x 之间.利用(*)0f x =,得 *200000* 2000000*2 1001()'()(*)''()(*)02()''() 1*(*)'()2'()''()1(*)2'()f x f x x x f x x f x f x x x x f x f x f x x x f x ξξξ+-+ -==---= -- 由'()0,''()0f x f x >>以及前面证明的1 0x x <,有 10*x x x << 一般地,设 1*k k x x x -<<,则必有()0k f x >且 1() '()k k k k k f x x x x f x +=- < 同样由台劳公式 21 ()()'()()''()()2!k k k k k f x f x f x x x f x x ξ=+-+ - 及(*)0f x =,得 *2*2*2111 ()'()(*)''()(*)02 ()''() 1*(*)'()2'()''()1(*)2'()k k k k k k k k k k k k k k k k k f x f x x x f x x f x f x x x x f x f x f x x x x x f x ξξξ+++-+ -==---= --<< 根据归纳法原理知,数列{}k x 单调下降有下界*x ,因此有极限.设lim k k x l →∞ =.对迭代式 1'()k k k k x x f x +=- 两端取k →∞的极限,并利用()f x .'()f x 的连续性知()0f l =,即 *l x =. 由上述证明知,有关系式 12*1''(*) lim (*)2'(*)k k k x x f x x x f x +→∞-= -,即对于单根,牛顿迭代法是平方收敛的. 例7-10 设函数()f x 具有二阶连续导数,{}(*)0,'(*)0,''(*)0,k f x f x f x x =≠≠是由牛顿 迭代法产生的序列,证明 121''(*) lim ()2'(*)k k k k k x x f x x x f x +→∞--=-- 解 牛顿迭代法为 1() ,0,1,2,...'()k k k k f x x x k f x +=- = 故 1()'()k k k k f x x x f x +-=- 2 1121121212122 11()'()()'()()()(*)['()][()(*)]'() '()['()](*)'()['()](*)k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f f x x x f x f x x ξξ+--------?? -=-= ??-?? --=---- 其中 k ξ介于k x 与*x 之间,1k ξ-介于1k x -与*x 之间,根据式(7.14)得 211222111'()['()]*lim lim ()'()['()](*)1''(*)2'(*) k k k k k k k k k k k k x x f f x x x x x f x f x x f x f x ξξ+-→∞→∞-----=-=--- 例7-11 设()f x 具有连续的m 阶导数,*x 是()0f x =的m 重根{}(2),k m x ≥是由牛顿迭 代法产生的序列,证明 (1)1*1 lim 1; *k k k x x x x m +→∞-=-- (2)111 lim 1; k k k k k x x x x m +→∞--=-- (3)111lim . 2k k k k k k m x x x -→∞-+=-+ 证明 (1)因*x 是()0f x =的m 重根,则()f x 可以表示成 ()(*)(),()m f x x x h x h x =-≠ 所以 11'()(*)()(*)'() (*)[()(*)'()]m m m f x m x x h x x x h x x x mh x x x h x --=-+-=-+- 由牛顿迭代法 1() '()k k k k f x x x f x +=- 得 11(*)() **(*)[()(*)'()]() (*)1()(*)'()m k k k k m k k k k k k k k k x x h x x x x x x x mh x x x h x h x x x mh x x x h x +---=--= -+-??--?? +-?? 故 1*1 lim 1*k k k x x x x m +→∞-=- - (2) 111111********* 1()'()()'() (*)()(*)[()(*)'()] (*)()(*)[()(*)'()]*()()(*)*()k k k k k k k k m m k k k k k k m m k k k k k k k k k k k k x x f x f x x x f x f x x x h x x x mh x x x h x x x h x x x mh x x x h x x x h x mh x x x h x x h x +----------------== ---+-= --+-????-+- ???-????1'()()(*)'()k k k k x mh x x x h x -+- 利用(*)0h x ≠及(1)的结论得 111 lim 1; k k k k k x x x x m +→∞--=-- (3)先证明牛顿迭代函数 () ()'()f x x x f x ?=- 的导函数 1 '()1(*)x x x m ?→- → 因*x 是()f x 的m 重零点,则由假设,()f x 具有m 阶连续导数,得 (1)() (*)'(*)...(*)0,(*) m m f x f x f x f x -====≠ 且 () 1()1 2()2 31()()(*)!1 '()()(*)(1)!1 ''()()(*)(2)!m m m m m m f x f x x m f x f x x m f x f x x m ξξξ--= -=--=-- 其中 123,,ξξξ介于x 与*x 之间,故有 ()()132()2**2()()()''()11'(*)lim lim 1['()][()]m m m n x n x f f f x f x m x f x m f m ξξ?ξ→→-===- 而 1111111112()() 1 '()()1'() k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x ?ξ?ξ---+-+-----== -+----= -+-- 所以 111 11 lim lim 121'()1(1)k k k k k k k k x x m x x x m ?ξ-→∞→∞-+-===-+--- 注 结论(1)和 1 '(*)1x m ?=- 都表明牛顿迭代法求重根时仅为线性收敛.结论(3)可以用来计 算重根数m . 例7-12 考虑下列修正的牛顿公式(单点斯蒂芬森方法) 21() (())()k k k k k k f x x x f x f x f x +=- +- 设()f x 有二阶连续导数,(*)0,'(*)0f x f x =≠,试证明该方法是二阶收敛的. 证明 将 (())k k f x f x +在k x 处作台劳展开,得 21 (()) () '()()''()( ) 2k k k k k k f x f x f x f x f x f f x ξ+=++ 其中ξ介于k x 与()k k x f x +之间,于是 211 (())()'()()''()()2 ()**1 '()''()() 2 k k k k k k k k k k k f x f x f x f x f x f f x f x x x x x f x f f x ξξ++-=+-=-- + 由于*x 是()0f x =的单根,故 ()(*)(),(*)0f x x x h x h x =-≠ 所以 12'()()(*)'() (*)() **1 ()(*)'()''()() 2 () (*)11 ()(*)'()''()()21(*)'()''()()21()(*)'()2k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k f x h x x x h x x x h x x x x x h x x x h x f f x h x x x h x x x h x f f x x x h x f h x h x x x h x ξξξ+=+---=-- = +-+????--=????+-+?? ?? -+?? ??+-+''()()k f h x ξ?? ?? ?? 故 121 '(*)(*)''(*)*2lim (*)(*)k k k h x h x f x x x x x h x +→∞+-= - 即迭代法是二阶收敛的. 四、学习效果测试题及答案 1、证明方程1020x e x +-=在(0,1)内有一个实根*x ,并用二分法求这个根.若要求 6|*|10n x x --<,需二分区间[0,1]多少次? (答案:当3 |*|10n x x --<时 9*0.090820313x x ≈=对分次数120k +≥.) 2、对方程2 30x x e -=,确定[,]a b 及()x ?,使1 ()k k x x ?+=对任意0[,]x a b ∈均收敛,并求出方 程的各个根,误差不超过4 10-. (答 案:(1)2 1[,][1,0],(),*0.458962267 3x a b x e x ?=-=-≈-;(2)2 1[,][1,0],(),*0.910007572 3x a b x e x ?==≈;(3) 2[,][3,4],()ln(3),* 3.733079028a b x x x ?==≈) 3、建立一个迭代公式计算222...+++,分析迭代的收敛性,取0 0x =,计算6x . (答案: 162,0,1,2,..., 1.999397637 k k x x k x +=+==.) 4、试分别采用1()2ln x x ?=+和2 2()x x e ?-=的斯蒂芬森迭代法求方程ln 2x x -=在区间 (2,)+∞内的根*x ,要求8 1 | |10k k k x x x ---≤. (答案:取 03x =,其解分别为4 3.146193220x ≈和5 3.146193262x =.) 5、由方程 42 ()440f x x x =-+=求二重根*2x =,试用牛顿法(7.13),有重根时的牛顿法(7.15),(7.16)计算*x ,要求8 1 ||10k k x x -+-<. (答案:三种方法均取 0 1.5x =,分别得 24331.414213568, 1.414213562, 1.414213562.x x x ===) 6、用弦切法求Leonardo 方程 32 ()210200f x x x x =++-=的根,要求6 1||10k k x x -+-<. (答案:取 021,2x x ==,用式(7.17)得5 1.368808108x =.) 7、用抛物线法求解方程3310x x --=在02x =附近的根,要求61||10k k x x -+-<. (答案:取 02361,2, 2.5,* 1.879385242.x x x x x ===≈=) 8、试构造一个求方程2x e x +=根的收敛的迭代格式,要求说明收敛理由,并求根的近似值k x , 使3 11 ||102k k x x ---≤?. (答案:有根区间[0,1],不动点迭代式 1()ln(2)k k k x x x ?+==-,取 0140.5,*0.442671724x x x =≈=.另外,也可用牛顿迭代法求解得3*0.442854401.x x ≈=) 9、试确定常数,,p q r ,使迭代公式 2 15 k k k a x px q x +=+ 产生的序列收敛到3 a ,并使其收敛阶尽可能高. (答案:利用定理7.4可得 51 ,99p q r ===-,且3 '''()0a ?≠,此时迭代法三阶收敛.) 10、 2 ()()()()()x x p x f x q x f x ?=--,试确定函数()p x 和()q x ,使求解()0f x =且以()x ?为迭代函数的迭代法至少三阶收敛. (答案:利用定理(7.4)可得3 11''() (),().'()2['()]f x p x q x f x f x = =) 五、课后习题全解 1、用二分法求方程2 10x x --=的正根,要求误差小于0.05. 解 设 2 ()1,(1)10,(2)10f x x x f f =--=-<=>,故[1,2]为()f x 的有根区间.又'()21f x x =-,故当 102x << 时,()f x 单增,当1 2x > 时()f x 单增.而 15 (),(0)124f f =-=-,由单调性知()0f x =的惟一正根*(1,2)x ∈.根据二分法的误差估计式(7.2)知要求误差小于0.05,只需1 1 0.052k +<,解得1 5.322k +>,故至少应二分6次.具体 计算结果见表7-7. 表7-7 k k a k b k x ()k f x 的符号 0 1 2 3 4 5 1 1.5 1.5 1.5 1.5625 1.59375 2 2 1.75 1.625 1.625 1.625 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.59375 1.609375 - + + - - - - 即 5* 1.609375x x ≈=. 2、为求3210x x --=在0 1.5x =附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应 的迭代公式: (1)211x x =+,迭代公式1211k k x x +=+; (2)321x x =+,迭代公式1 23 1(1) k k x x +=+; (3) 2 11x x = -,迭代公式11 1 k k x x +=-. 试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根. 解 取 0 1.5x =的邻域[1.3,1.6]来考察. (1)当[1.3,1.6]x ∈时, 233122()1[1.3,1.6],|'()|||11.3x x L x x ??=+ ∈=-≤=<,故迭代公式 121 1k k x x +=+ 在[1.3,1.6]上整体收敛. (2)当[1.3,1.6]x ∈时 21/322223 3 ()(1)[1.3,1.6] 22 1.6|'()|||0.5221 3 3 (1) (1 1.3) x x x x L x ??=+∈= < ≤=<++ 故 123 1(1) k k x x +=+在[1.3,1.6]上整体收敛. (3) 3/2 111 (),|'()|||12(1)2(1.61)1x x x x ??-= =>>---故 11 1 k k x x +=-发散. 由于(2)的L 叫小,故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字,只需 3 11 |*|||1012k k k L x x x x L ---≤ - 33111 ||100.5102k k L x x L -----< ?? 取 0 1.5x =计算结果见表7-8. 表7-8 k k 1 2 3 1.481248034 1.472705730 1.468817314 4 5 6 1.467047973 1.466243010 1.465876820 k x k x 由于3 651 ||102x x -- 6* 1.466x x ≈=. 3、比较求1020x e x +-=的根到三位小数所需的计算量: (1)在区间[0,1]内用二分法; (2)用迭代法 1 210k x k e x +-= ,取初值00x =. 解 (1)因*[0,1],(0)0,(1)0x f f ∈<>,故0*1x <<,用二分法计算结果见表7-9. 表7-9 k k a k b k x ()k f x 的符号 112k + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 0 0 0 0.0625 0.0625 0.0778125 0.0859375 0.08984375 0.08984375 0.08984375 0.090332031 0.090332031 0.090454101 0.090515136 1 0.5 0.25 0.125 0.125 0.09375 0.09375 0.09375 0.09375 0.091796875 0.09082031 2 0.090820312 0.090576171 0.090576171 0.090576171 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.09375 0.078125 0.0859375 0.08984375 0.091796875 0.090820312 0.090332031 0.090576171 0.090454101 0.090515136 0.090545653 + + + - + - - - + + - + - - + 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 0.00390625 0.001953125 0.000976562 0.000488281 0.00024414 0.00012207 0.000061035 0.000030517 此时 414141511|*|0.00003051710,*22x x x x --≤ = (2)当[0,0.5]x ∈时, 1 ()[0,0.5],|'()|||0.82510x x x e L ??∈= -≤=,故迭代试 11 (2) 10k x k x e += -在[0,0.5]上整体收敛.取0 0x =,迭代计算结果如表7-10所示. 表7-10 k k x k k x 1 2 0.1 0.089482908 4 5 0.090512616 0.090526468 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x ) 非线性方程求根 本章主要内容： 1.区间二分法. 2切线法. 3.弦位法. 4.一般迭代法. 重点、难点 一、区间二分法 区间二分法是求方程f(x)=0根的近似值的常用方法。 基本思想：利用有根区间的判别方法确定方程根的区间[a,b],将有根区间平分为二；再利用有根区间的判别方法判断那一个区间是有根区间；重复上述步骤，直到小区间端点差的绝对值小于等于精度要求的数值，则用将上一区间的分半值作为方程的根的近似值。 区间二分法的计算步骤如下： 1. 计算区间端点的函数值f(a),f(b)（不妨设f(a)＜0,f(b)＞0）； 确定初始有根区间[a,b]. 2.二分有根区间[a,b]，并计算)2( b a f +取2 1b a x += 3.判断：若0)(1=x f ，则方程的根为1x x =* ； 若0)(1>x f ，则有根区间为[]1,x a x ∈* ；令[]],[,111b a x a = 若0)(1 例1用区间二分法求方程0353 =+-x x 在某区间内实根的近似值（精确到0.001） 【思路】参见上述区间二分法的计算步骤 解∵f(1.8)=-0.168＜0,f(1.9)=0.359＞0∴f(x)在区间[1.8，1.9]内有一个根。 由公式644.512 ln 001 .0ln 1.0ln 12ln ln )ln(=--=---≥ εa b n 取n=6，计算结果列表如下： 则方程在区间[1.8，1.9]内所求近似值为x * ≈x=1.8328125 区间二分法的优点是计算程序简单，只要f (x )在区间[a,b]上连续，区间二分法就可使用，但区间二分法不能用来求偶次重根，由于区间二分法收敛比较慢，在实际计算中，区间二分法常用来求比较好的含根区间和初始近似值，以便进一步使用收敛更快的迭代法求出更精确的近似值。 迭代序列收敛阶的概念 设迭代序列{}n x 收敛于* x ，如果存在实数1≥p 与正常数c ，使得 c x x x x p n n n =--* *+∞ →1lim ，则称序列{}n x 是p 阶收敛于*x 。 特别地，当1=p 时，称序列{}n x 为线性（一次）收敛；{}n x 为线性收敛时，必须要求1 第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。 令4 ()f x x =，则 数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q (1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() ()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 《数值分析》 重点考察内容及各章作业答案 学院： 学号： 姓名： 重点考察内容 基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。 第一章基础 掌握：误差的种类，截断误差，舍入误差的来源，有效数字的判断。 了解：误差限，算法及要注意的问题。 第二章插值 掌握：Hermite插值，牛顿插值，差商计算，插值误差估计。 了解：Lagrange插值 第三章数据拟合 掌握：给出几个点求线性拟合曲线。 了解：最小二乘原理 第四章数值积分微分 掌握：梯形公式，Simpson公式，代数精度，Gauss积分，带权Gauss积分公式推导，复化梯形公式推导及算法。 了解：数值微分，积分余项 第五章直接法 掌握：LU分解求线性方程组，运算量 了解：Gauss消去法，LDL，追赶法 第六章迭代法 掌握：Jacobi,Gauss-Seidel迭代格式构造，敛散性分析，向量、矩阵的范数、谱半径 了解：SOR迭代 第七章Nolinear迭代法 掌握：牛顿迭代格式构造，简单迭代法构造、敛散性分析，收敛阶。 了解：二分法，弦截法 第八章ODE解法 掌握：Euler公式构造、收敛阶。 了解：梯形Euler公式、收敛阶，改进Euler公式 题目类型：填空，计算，证明综合题 第一章 误差 1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。 2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-，这里产生是什么误差？ 3. 0.7499作 3 4 的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字. 4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确： （1）11,||1121x x x x --++ （2 ||1x （3） 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ （4）sin sin ,αβαβ-≈ 5. 采用下列各式计算61)时，哪个计算效果最好？并说明理由。 （1） （2 ）99-3 ）6 (3-（4 6. 已知近似数*x 有4位有效数字，求其相对误差限。 上机实验题： 1、利用Taylor 展开公式计算0! k x k x e k ∞ ==∑，编一段小程序，上机用单精度计算x e 的函数 值. 分别取x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分1 ,0,1,2,,206 n n x I dx n x ==+? ,有如下的递推关系 111 110 0(6)61666 n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-? ? 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -= -=取； (2) 12011),0.6n n I nI I n -=-=（取 第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 令4()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 （2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--% 数值分析整理版试题及答案 例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 第七章非线性方程求根 要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断 （2） 迭代公式收敛阶概念 （3） Newton 迭代公式及收敛性左理 复习题： 1、建立一个迭代公式il ?算数G = j5 + 7?+辰二,要求分析所建迭代公式的收敛性 解：迭代式为：「卄产 l/o = 5 数d 应是函数卩（x ） = jrr§的不动点（即满足0（a ） = a ） 注意到（1）当xeI0,5］时，恒有0（人）€［0?习 (2)当xe[(X5]时，恒有0Cr) = — <-< 1 2\J X + 5 2 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到“ 2、对于方程—x = 2 ? 解：（1）记/（X ）= 8’ — / 一 2 显然 /(_1.9) = 0.0496 >0, /(一1) =-0.6321 <0 当Jce[-L9,-1]时.恒有/V) = e'-l<0 可见/（X ）在区间［-1.9,-I ］内有且仅有一个零点 即方程在区间内有且仅有一个实根 (2)取 严-X-2 兀屛=兀------ 汗七― e" -1 .心=一1?9 3、为求x^-x--\=0/￡ L5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的 迭代公式：(1) x = l + A： (2) x = (l + x-)h试分析每一种迭代的收敛性 X- 解：记 ⑴ 迭代式为￡. = 1+2,这里记9?U)= I+4 注意到/(1?3)/(1?5)<1?并且f\x) = 3x--2x = x(3x-2)>Q. xe[L3J.5] 所以区间［1.3J.5］为有根区间 2 0([l?3J?5])c[l?3J?习，井且当xe[L3J.5]时，恒有I 数值分析第8章 数值积分与数值微分 8.1 填空题 （1）n+1个点的插值型数值积分公式∫f(x)dx b a ≈∑A j n j=0f(x j )的代数精度至少是 n ，最高不超过 2n+1 。【注：第1空，见定理8.1】 （2）梯形公式有 1 次代数精度，Simpson 公司有 3 次代数精度。【注：分别见定理8.1,8.3】 （3）求积公式∫f(x)dx h 0≈h 2[f (0)+f (h )]+ah 2[f ′(0)?f ′(h)]中的参数a= 1/12 时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 3 。 解：令f(x)=1,x,x 2带入有， { h 2[1+1]+ah 2[0?0]=h h 2[0+h ]+ah 2[1?1]=12 (h 2)h 2[0+h 2]+ah 2[0?2h ]=13 (h 3) //注：x 的导数=1 解之得，a=1/12，此时求积公式至少具有2次代数精度。 ∴ 积分公式为：∫f(x)dx h 0≈h 2[f (0)+f (h )]+h 2 12[f ′(0)?f ′(h)] 令 f(x)= x 3带入求积公式有：h 2 [0 +h 3]+ h 212 [0?3h 2]=14 (h 4)，与f(x)= x 4的定积分计算值1 4 (h 4)相等， 所以，此求积公式至少具有3次代数精度。 令f(x)= x 4带入求积公式有，h 2[0+h 4]+h 2 12[0?4h 3]=1 6(h 5)，与f(x)= x 5的定积分计算值1 5(h 5)不相等，所以，此求积公式的最高代数精度为3次代数精度。 8.2 确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度。 解题思路：按照P149 中8.3式进行求解，根据求积公式中未知量n 的数量决定代入多少f(x)，当积分公式代入求积节点x n 的计算结果与定积分的计算结果一致，继续代入求积节点X n+1,，若计算结果与对应的定积分计算结果不一致时，求积公式拥有最高n 次的代数精度。 （1）∫f(x)dx 2h 0≈A 0f (0)+A 1f (h )+A 2f(2h) 解：令f(x)=1,x,x 2代入有,【注：本例中需求解A 0、A 1、A 2共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】 {A 0+A 1+A 2=2h A 1h +A 22h =1 2(2h )2A 1h 2+A 2(2h )2=1 3(2h )3 求解得A 0=13h ，A 1=43h ，A 2=1 3h ， ∴求积公式为：∫f(x)dx 2h 0≈13hf (0)+43hf (h )+1 3 hf(2h) ∵该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0， //注：参见P149定理8.1 ∴该求积公式至少具有2次代数精度。 令f(x)= x 3，代入求积公式有：4 3hh 3+1 3h (2h )3=4h 4 ∵函数f(x) = x 3的定积分结果为：∫x 3dx 2h 0=1 4(2h )4=4h 4 ，与求积公式计算值相等， ∴该求积公式具有3次代数精度。 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 第七章 非线性方程求根 教学目的与要求： 理解二分法求根的思想；掌握二分法求解过程；了解二分法的优点和缺点。了解迭代法的基本思想，迭代法的收敛条件以及局部收敛性的定义；理解基本迭代法的迭代思路，收敛条件的产生与求证过程；掌握基本迭代法的迭代格式，收敛条件的应用以及局部收敛定理。 重点和难点：迭代法的基本思想，迭代法的收敛性 ■ 教学内容： 基本概念： 的零点； 的m 重零点。 )(x f )(x f 非线性方程的求根通常分为两个步骤：一是对根的搜索，二是根的精确化，求得根的足够精确的近似值。 求方程的有根区间有如下方法： (1)描图法。画出的简图，从曲线与)(x f y =x 轴交点的位置确定有根区间。 (2)解析法。根据函数的连续性、介值定理以及单调性等寻找有根区间。 § 1 二分法 分析二分法的基本原理 例1 用二分法求方程的一个正根，要求误差不超过. 01)(6=??=x x x f 2105.0?ק 2 迭代法及其收敛性 一、迭代法的定义 二、基本迭代法 定义：将方程改写成以下等价形式() x x ?=取定初始值0x ，由迭代公式1() (0,1,2,)n n x x n ?+==L 产生迭代序列{}n x 。显然，若{}n x 收敛于*x ,()x ?在*x 处连续，就有** 1lim lim ()()n n n n x x x ??+→∞→∞ ===x 即*x 是方程() x x ?=的解，从而也是0)(=x f 的解。故当充分大时，可取作为方程根的近似值。用迭代格式求得方程近似根的方法称为基本迭代法，n n x )(x ?称为迭代函数。由于收敛点*x 满足*()* x x ?=，故称*x 为)(x ?的不动点 例 求方程的一个实根，要求精确到六位小数。 032)(3 =??=x x x f 注意：把此方程转换成三种等价形式 ,32)(31+==x x x ?)3(2 1)(32?= =x x x ?, 3)(33??==x x x x ?三、迭代法的收敛条件 ()()()()()()()()()收敛较慢 代入上式得：将解： 收敛速度次并分析该迭代公式的迭代的根求方程 取试用迭代公式∴≠<<*'*+++-='∴+*+*=*∴=+?+?? ? ??===++= =∴++= ==-++=++=++014.01022220||10 2202613381013202132020 132010212010220. 2.0 20102110220 4.1222 222212012123021x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k k k k k k ?????? )))()()()[]()()[])49998.0cos 215.0cos 2 1,022,00cos 2 102 12,0210,2,0.cos 2 10sin 2 11,cos 2 113cos 2 12; 1.0cos 2 12.4120101==== ==->-=<-=-=>+='-===-+x x x x x x x f f x x x f x x f x x x f x x x x k k 则 取上有一个根在所以上在为单调递增函数故则令解： 位有效数字求出这些根，精确到用迭代公式分析该方程有几个根给定方程ππππ 500 .0105.0102.0||3412≈*? 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝ 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程 稳定吗 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误 差做比较. 2.求证: (a)当时,. (b)当时,. 3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式. 数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案 例1、 已知函数表 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1） 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---=== -----= ==----=== --- 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 ()()()()()()()()1 1 200110 1 1 2011000 1 210 1 ,11, ,3 1 23 ,,, ,3226 9,324 dx x dx xdx f x x dx f x x x dx ??????????==== ====++= =++= ????? 所以，法方程为 01123126119234a a ??????????=?????????? ??????? ?? ?，经过消元得012311 62110123a a ??? ???? ???=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111 ()46 S x x = + 例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳 平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有数值分析试题及答案汇总
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