高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解精选.

第一章 函数、极限、连续

第1节 函数

★基本内容学习

一 基本概念和性质

1函数的定义

设有两个变量x 和y ，变量x 的变域为D ，如果对于D 中的每一个x 值，按照一定的法则，变量y 有一个确定的值与之对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作：()y f x =。

2函数概念的两要素

①定义域：自变量x 的变化范围②对应关系：给定x 值,求y 值的方法。 3函数的三种表示方法

①显式：形如()y f x =的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。

②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如

(,)0F x y =，如椭圆函数22

221x y a b

+=。

③参数式：形如平抛运动的轨迹方程212

x vt

y gt =???=??称作参数式。参数式将两个

变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。 4函数的四个基本性质

①奇偶性：设函数()f x 在对称区间X 上有定义，如果对于x X ?∈恒有

()()f x f x =-

(或)()()f x f x =--，则称()f x 为偶函数(或()f x 奇函数)。注：偶函数()f x 图形关于y 轴对称，奇函数()f x 的图形关于坐标原点对称。

②有界性：设函数()f x 在区间X 上有定义,如果0M ?>,使得对一切x X ∈,恒有：()f x M ≤,则称()f x 在区间X 上有界；若不存在这样的0M >，则称()f x 在区间X 上无界.注：函数()f x 有无界是相对于某个区间而言的。

③周期性：设函数()f x 在区间X 上有定义,若存在一个与x 无关的正数T ，使对任一x X ∈，恒有()()f x T f x += 则称()f x 是以T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T 称为函数()f x 的周期。

④单调性：设函数()f x 在区间X 上有定义，如果对1212,,x x X x x ?∈<,恒有：

()()12f x f x ≤(或()()12f x f x ≥)则称()f x 在区间X

上是单调增加(或单调减少)的；

如果对于1212,,x x X x x ?∈<,恒有：()()12f x f x < (或()()12f x f x >)则称()f x 在区间X 上是严格单调增加(或严格单调减少)的。

5其它函数定义

①复合函数：设函数()y f u =的定义域为f D ，而函数()u x ?=的定义域是D ?

值域为Z ?，若f D Z ??≠?，则称函数()y f x ?=????为x 的复合函数，它的定义域是

{x ∣()}f x D x D ??∈∈且。这里?表示空集。

②反函数：设函数()y f x =的值域为f Z ，如果对于f Z 中任一y 值，从关系式

()y f x =中可确定唯一的一个x 值，则称变量x 为变量y 的函数，记为：()x y ?=，

其中()y ?称为函数()y f x =的反函数，习惯上()y f x =的反函数记为：()1y f x -=。

6初等函数

①常值函数 C (C 为常数)，x R ∈

②幂函数 ()y x R αα=∈，定义域由α确定，但不论α如何，在(0,)∞内总有定义。

③指数函数 x y a =(0a >且1a ≠) x R ∈

④对数函数 log x

a y =( 0a >且1a ≠) (0,)x ∈∞

⑤三角函数 如sin ,y x =x R ∈；cos ,y x =x R ∈；

tan y x =,(,),2

2

x k k k Z π

π

ππ∈-

+

∈；cot ,x (,(1)),x k k ππ∈+k Z ∈等

⑥反三角函数 arcsin ,y x =[1,1]x ∈-；arccos ,y x =[1,1]x ∈-；arctan y x =,x R ∈；

arccot y x =,x R ∈.

以上六类函数称基本初等函数。

由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。 7分段函数

一个函数在其定义域内，对应于不同的区间段有着不同的表达式，则该函数称为分段函数。分段函数仅是说函数的表示形式，并不是说它是几个函数。

常见的分段函数：

①符号函数 10,sgn 00,10.x y x x x >??

===??-

当当当

②取整函数 []x 表示不超过x 的最大整数；[]x n =,当1n x n ≤≤+，其中n 为整数。

③狄利克莱(Dirichlet)函数 ()10x y f x x ?==??

当为有理数时,

当为无理数时.

④绝对值函数 ,0

,0x x x x x ≥?=?

★基本题型训练

一 典型例题

1判断函数的等价性

例1.1下列各题中，函数()f x 与()g x 是否相同？为什么？

(1) 2()lg ,()2lg ;f x x g x x == (2) (),()f x x g x ==

(3) ()()f x g x ==；(4) 22()1,()sec tan f x g x x x ==-； 解：(1)不相同，因为2lg x 的定义域是(,0)(0,)-∞?∞，而2lg x 的定义域是(0,)∞。

(2)不相同，因为两者对应法则不同，当0x <时，()g x x =-。 (3)相同，因为两者定义域、对应法则均相同。

(4)不相同，因为两者定义域不同。 2求函数的定义域

例1.2设(1)f x -的定义域为[0,](0)a a >则()f x 的定义域为多少？

解：函数(1)f x -的定义域是指x 的变化范围，即

01,1,11x a t x t a ≤-≤=--≤≤-令则。故对函数()f x 而言，t 的变化范围为[1,1]a --，

由函数表达式的“变量无关性”，知：()f x 的定义域为[1,1]a --。

常见错误：[1,1]a +。主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深，误认为01x a ≤-≤，由此得到11x a ≤≤+。

3判断函数奇偶性

例1.4下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？

(1) 2

sin ,x y e x = (2)

log (a y x =+(0,1)a a >≠

解：(1)因为sin x 为奇函数，2x 为偶函数，所以2

sin x y e x =为奇函数。

(2)

()log (log log (()a a

a f x x x f x -=-+==-=-,

故()f x 为奇函数

4判断函数的周期性

例1.5下列哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期。 (1) cos(2)y x =- (2) 1sin y x π=+ 解 (1) cos(2)y x =-是周期函数，周期为2π；

(2) 1sin y x π=+是周期函数，周期是2 5判断函数单调性

例 1.6设()f x 在(,)-∞+∞上有定义，且对任意x ，(,)y ∈-∞+∞有

()()f x f y x y -<-证明()()F x f x x =+在(,)-∞+∞上单调增加。

证明：设1212,(,),x x x x ?∈-∞+∞<所以212121()()f x f x x x x x -<-=-， 而122121()()()()f x f x f x f x x x -≤-<- 所以1122()()f x x f x x +<+ 所以

12()()F x F x <

即()F x 在(,)-∞+∞上单调增加。 6求反函数

例1.7求函数y =

解：令t =，则11t

y t

+=

-。所以11y t y -=-，

11y y -=-，所以

2

2

1411(1)y y

x y y ??-=-= ?-+??

， 所以反函数2

4(1)x

y x =

+即为所求。

7复合函数求法

例1.8设1,0

(),2,0x x f x x x -≤?=?+>?2,0(),0x x g x x x ?<=?

-≥?则[()]f g x 等于多少？ 解：当0x ≥时，()g x x =-0≤，所以当0x ≥时有[()]f g x 1x =+；

当0x <时，2()0g x x =>所以0x <时有2[()]2f g x x =+，故

2

1,0[()]2,0

x x f g x x x +≥?=?+

(1)分析法：是抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该法适用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合。

(2) 代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数或抽象函数的复合，这种方法在求复合函数时一般最先想到。

(3) 图示法：借助于图形的直观性达到将函数复合的一种方法，适用于分段函数，尤其是两个均为分段函数的复合。关于图示法解题的一般步骤如下：

①先画出中间变量函数()u x ?=的图形；

②把()y f u =的分界点在xou 平面上画出(这是若干条平行于x 轴的直线)； ③写出u 在不同区间段上x 所对应的变化区间；

④将③所得结果代入()y f u =中，便得()y f x ?=????的表达式及相应x 的变

化区间。关于这种方法我们会在后面的练习或者能力拓展中用到。 二 能力拓展

例1设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有

(A)F(x)是偶函数?f(x)是奇函数。

(B)F(x)是奇函数?f(x)是偶函数。

(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数。

(D)F(x)是单调函数?f(x)是单调函数。 [A]

解法一：任一原函数可表示为?+=x

C dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)

为偶函数时，

有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即

)()(x f x f -=-，

可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则?x

dt t f 0

)(为偶函数，

从而?+=x

C dt t f x F 0

)()(为偶函数，可见选(A)。

解法二：令f(x)=1，则取F(x)=x+1，排除(B)、(C)； 令f(x)=x ， 则取F(x)=22

1

x ，

排除(D)；故应选(A)。

例2设1,1

()0,1x f x x ?≤?=?>??则{[()]}f f f x 等于 。

(A) 0 (B)1 (C) 1,1

0,1x x ?≤??>??

(D)

0,1

1,1x x ?≤??

>??

解：由[()]f f x ＝1得，{[()]}f f f x ＝1，故应选(B)

★函数理论框架图

第2节 极限与连续性

★基本内容学习

一 基本概念

1极限的概念

定义 2.1 lim 0,n n x a ε→∞

=??>?一个正整数()N ε,当()n N ε>时，恒有

n x a ε

-<。若n x 存在极限，称{}n x 收敛，否则称{}n x 发散。

定义2.2 lim ()0,x f x a ε→∞

=??>?一个整数X ，当x X >时，有()f x a ε-< 定义2.3 0

lim ()0,x x

f x a ε→=??>?正数δ，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<

2数列、函数极限的基本性质与相关定理 定理2.1(极限的不等式性质)

设lim n n x a →+∞=，lim n n y b →+∞

=若a b >，则N ?，当n N >时，n n x y >；若n N >时，n n x y ≥，则a b ≥。

定理2.2(极限的唯一性) 设lim

n n x a →+∞=，lim n n x b →+∞

=则a b =。 定理 2.3(收敛数列的有界性)设n x 收敛，则n x 有界（即

0,,1,2,n M x M n ?>≤=L

常数）。

定理2.4(极限的不等式性质) 设0

lim ()x x f x A →=，0

lim ()x x

g x B →=若A B >则?δ>0，

当00x x δ<-<时()()f x g x >；若()()f x g x ≥(00x x δ<-<)，则A B ≥。

[推论](极限的保号性) 若()()0

lim ,00x x

f x A A A →=><或,则存在一个0δ>，当()000,,x x x x x δδ∈-+≠ 时，()0f x >(或()0f x <)。

定理2.5(极限的唯一性)设 0

lim ()x x f x A →=，0

lim ()x x

f x B →=则A B =。 定理 2.6(夹逼准则) 设在0x 的领域内，恒有()()()x f x x ?ψ≤≤，且

()()0

lim lim x x x x x x A ?ψ→→==，则()0

lim x x f x A →=。

定理2.7(单调有界准则) 单调有界数列{}n x 必有极限。 3函数连续性定义

定义2.1设函数()f x 在0x 的某领域内有定义，给x 在0x 处以增量x ?，相应

地得到函数增量()()00y f x x f x ?=+?-。若极限0

lim 0x y ?

→?=，则称()f x 在0x x =处连续。

定义2.2设函数()f x 满足条件：(1)()f x 在0x 的某领域内有定义；(2)()0

lim x x

f x →存在；(3)()()0

0lim x x

f x f x →=则称()f x 在0x x =处连续。

定义2.3若()f x 在(),a b 内任一点均连续，则称()f x 在(),a b 内连续。 定义2.4若()f x 在(),a b 内连续，在x a =处右连续(即()()lim x a f x f a +

→=)，在x b

=处左连续(即()()lim x b f x f b -

→=)，则称()f x 在[],a b 内连续。

4间断点及分类

间断点定义 若()f x 在0x 处出现以下三种情形之一：

(1)()f x 在0x 处无定义；(2)()0

lim x x f x →不存在；(3)()()0

0lim x x

f x f x →≠。则称0x 为()f x 的间断点。

间断点0x 的分类：第Ⅰ类间断点()()00,f x f x -+均存在。其中若

()()()000f x f x f x -+=≠，0x x =称为可去间断点。若()()00f x f x -+≠,0x x =称为跳跃间

断点。

第Ⅱ类间断点：()()00,f x f x -+至少有一个不存在。若()()00,f x f x -+之中有一个为∞，则0x x =称为无穷间断点。

5闭区间上连续函数的性质

(1)(连续函数的有界性)设函数()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上有界，即?常数0M >，对任意的[],x a b ∈，恒有 ()f x M ≤。

(2) (最值定理)设函数()f x 在[],a b 上连续，则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次，即,ξη?使得：

()(){}[]max ,,a x b

f f x a b ξξ≤≤=∈ ()(){}[]min ,,a x b

f f x a b ηη≤≤=∈

(3) (介值定理)若函数()f x 在[],a b 上连续，μ是介于()f a 与()f b (或最大值

M

与最小值m )之间的任一实数，则在[],a b 上至少?一个ξ，使得

()().f a b ξμξ=≤≤。

(4) (零点定理或根的存在性定理)设函数()f x 在[],a b 上连续，且

()()0f a f b ?<，则在(),a b 内至少?

一个ξ，使得()()0.f a b ξξ=<<

5无穷小及其阶

(1)无穷小与无穷大的定义

定义2.5在某一过程中以零为极限的变量称为无穷小（量）。

()lim 00,x f x ε→∞

=??>?一个0X >，当x X

>时，恒有()f x ε<。

()0

lim 00,x x f x ε→=??>?0δ>，当00x x δ<-<时，恒有()f x ε<。

定义2.6在自变量的某一变化过程中，若函数()f x 的绝对值无穷增大，则称函数()f x 为无穷大量。

()lim 0,x f x M →∞

=∞??>?一个0X >，当x X

>时，恒有().f x M >

()0

lim 0,x x f x M →=∞??>?一个0δ>，当00x x δ<-<时，恒有().f x M >

(2)无穷小与无穷大、无穷小与极限的关系

()0

lim (),()0x x x x f x A f x x αα→→=?+=其中lim ；

在同一极限过程中，1()()0()1()()f x f x f x f x f x ?

≠??

????为无穷小，则为无穷大为无穷大，则为无穷小。

(3)无穷小阶的概念

定义2.7设在同一极限过程中，()x α、()x β为无穷小且存在极限

()()00()

()

lim 0,lim 0x x x x x x x x αβ→→→∞→∞==。

①若()

()

lim

0x x αβ=，则称()x α是比()x β高阶的无穷小，记为()()().x o x αβ=

②若()

()

lim

x x αβ=∞，则称()x α是比()x β低阶的无穷小。 ③ 若()

()

lim

x C x αβ=，则称()x α与()x β是同阶无穷小。 ④ 若()

()

lim 1x x αβ=，则称()x α与()x β是等价无穷小，记为()()~x x αβ。

⑤若()

()

()lim

0,0k

x C C k x αβ=≠>，则称()x α为()x β的k 阶无穷小。 (4)等价无穷小的重要性质

①若x a →()~(),()~()x x x x ααββ''，且()

lim

()

x x βα''存在，则

()()

lim

lim ()()

x x x x ββαα'=' 该结论表明：在求极限过程中等价无穷小因子可以替换。 ②()x α~()x β(x a →)()()(())x x o x αββ?=+ (5)确定无穷小阶的方法

①利用洛必达法则 确定0k >使得()

00()k

x x f x A x a →=≠-lim

，则x a →时，()

f x 是x a →的k 阶无穷小。

洛必达法则：法则Ⅰ (

型)设函数()(),f x g x 满足条件：

()()0

lim 0,lim 0x x x x f x g x →→==；()(),f x g x 在0x 的领域内可导(在0x 处可除外)且

()0g x '≠；()()

lim

x x f x g x →''存在(或∞)。则()()()

()00lim lim .x x x x f x f x g x g x →→'='

法则I ' (00

型)设函数()(),f x g x 满足条件：()()lim 0,lim 0x x f x g x →∞

→∞

==；?一

个0X >，当x X >时，()(),f x g x 可导，且()0g x '≠；()

()0lim x x f x g x →''存在(或∞)。

则()()

()

()0

0lim

lim .x x x x f x f x g x g x →→'=' 法则Ⅱ(

∞∞

型) 设函数()(),f x g x 满足条件：()()0

lim ,lim x x x x f x g x →→=∞=∞；

()(),f x g x 在0x 的领域内可导(在0x 处可除外)且()0g x '≠；()

()

lim

x x f x g x →''存在(或∞)。则()()()()

0lim

lim .x x x x f x f x g x g x →→'='同理法则II '(∞

∞型)仿法则I '可写出。

②泰勒公式 '

()

()()()()()(())!

n n n f a f x f a f a x a x a o x a n =+-++-+-L 。 若'1

()()()0,()0n n

f a f a f

a f a -====≠L 则()

()()(())!

n n n f a f x x a o x a n =-+-。

因此()f x 是()x a -的n 阶无穷小(后面章节还会讲到)。

③利用无穷小的运算性质 如若x a →时，()(),f x g x 分别是x a -的n 阶与

m 阶无穷小，则

()()f x g x 是x a -的()n m +阶无穷小，当n m <时，()()f x g x +是

x a -的n 阶无穷小。

★本章需要记忆知识

1重点概念、性质

函数的定义、函数连续的定义、间断点及其类型、夹逼准则、单调有界准则等。

2重点公式

()

1

00

sin 1lim 1,lim 1(lim 1)x

x

x x x x x e e x

x →→→∞

??

=+=+= ???

或；

常用极限：)01n α>=

特例1n =

lim arctan 2

x x π

→+∞

=

lim arctan 2

x x π

→-∞

=-

lim arccot 0x x →+∞=

lim arccot x x π→-∞

= lim 0x x e →-∞

= lim x x e →+∞

=∞ 0

lim 1x x x +

→= ★基本题型训练

1求复合函数

例 设()()22,0

,1,,11,0

x x x e x f x x x x x x ?+

。 解：由题设()()()()()(),1

,,1

x e x f x x x ??????

≥??分以下情况讨论。

(1)当()1x ?<时，

或()0,21x x x ?<=+<， 即0

1.1x x x

或()20,11x x x ?≥=-<，

即20

02x x x ≥??≤

(2)当()1x ?≥时，

或()0,21x x x ?<=+≥， 即0

10.1x x x

或()20,11x x x ?≥=-≥，

即2

2

x x x ≥??≥?≥?

综上所述，()221

2,12,

10,021,2

x x e x x x f x e x x x ?+-?<-?

+-≤

2利用函数概念求函数表达式 例 已知()1sin x f e x x =++，求()f x 。

解：令x e t =，则ln x t =。于是()1ln sin(ln )f t t t =++从而

()1ln sin(ln )f x x x =++。

注：设(())()f x x ?ψ=，其中()x ψ是已知函数，则有两类问题：一是已知

f ?求；二是已知f ?求。

①若f 是已知，并存在反函数，则1()(())x f x ?ψ-=。

②若?已知，并存在反函数，令()t x ?=，则1()x t ?-=，从而1()(())f t t ψ?-=，即1()(())f x t ψ?-=。

因此，这两类问题都是求反函数问题。 3求未定型函数极限 例 求下列极限 ①

②

③

④

解：①原式

②原式

1

③原式

④原式()

＝

4求变限积分不等式的极限

例 求极限2

2

22

00

23()lim

x t x t x

e dt e dt

→∞

??

解：原式 =2

2

2

2

2

2

2

2

222222'

440000181814142()()

4442lim

lim

lim lim 0333328x

x

x

x

t t x t t x x x x x x x x x e dt e dt e

e dt

e dt

e e

e

e

xe

→∞

→∞

→∞→∞==-=-=--???

? 注：在验证条件()

lim ()x x f t dt ?→∞=∞?

时，要用到以下结论:若()f x 连续，又

lim ()0()x f x A →∞

=≠∞也可为 lim ()x x ?→∞

=∞，则()

lim ()x x f t dt ?→∞=∞?

。

5由极限确定函数中的参数 例 确定,,a b c 的值，使

解：当 时，由

可得

原式

同理可得

故原式

故c=1

2

例 试确定常数 的值，使极限

存在，并求该

极限值.

解：原式存在

由可得，即

则原式

同理由可得，即

所以原式

6利用函数收敛准则求极限

例1 (利用夹逼准则)

_ _

解：

且

又

由夹逼原则可得原式

例2 (利用单调有界准则)

若序列{}n a的项满足：1a a

>(a为正的常数)，且

1

1

2

n n

n

a

a a

a

+

??

=+

?

??

，(这里

1,2,n =L )。

试证{}n a 有极限，并求出它。

解：由1a >

，又2121111122a a a a a a a ??+=+=>= ???

今用数学归纳法

证k a >。这只须注意到

：

21122k k k k k k

a a a a a a a +??+=+=>= ???

又 211022n n n n n n

a a a a a a a a +??--=-=> ???，故{}n a 单调且有下界，从而其极限

(n →∞时)存在，令其为A 。

由112n n n a a a a +??=+ ??? 有 11lim lim ,2n n n n n a a a a +→∞→∞??

=+ ???即 12a A A A ??

=

+ ???

，即2A a =，

所以

)0A A =>

。从而lim n n a →∞

=

7求n 项和数列的极限

例 求2sin

sin

sin

lim[

]11

12n n n n n n n n n

π

ππ

→∞++++++L 解：2sin sin sin

1112n n n n n n n n

πππ+++

+++

L <12(sin sin sin )n n n n n πππ+++L ＝11sin n i i n n π=∑ 而101

12

lim sin sin n n i i xdx n n πππ→∞===∑?，另一方面，

2sin

sin sin 1112n n n n n n n n

πππ

++++++

L >12(sin sin sin )1n n n n n πππ++++L ＝11sin 1n i n i n n n π=?+∑

且1

1lim

sin 1n n i n i n n n π→∞=?=+∑2

π，故由夹逼定理原式＝2π 8求n 项积数列极限

例 当0x ≠时，lim cos cos cos 242n n x x x →∞L

原极限2sin cos cos cos 2242lim

2sin 2

n n n

n n n

x x x x x

→∞=L 12cos cos (cos sin )

2422lim

2sin 2

n n n n n n

x x x x

x

-→∞=L 2112cos cos (2cos sin )

2422lim 2sin 2

n n n n n

n

x x x x

x ---→∞?==L L

sin lim

2sin

2n n n

x x →∞

=

sin

22n n x x -

sin sin lim

2sin

2n n n

x x

x x

→∞

==

9利用函数极限求数列极限

例 求2

1lim(tan )n n n n

→∞

解：因为1

tan

1

lim tan

lim 1,1n n n n n n

→∞

→∞

==可化为求21lim(tan )x n x x

→∞

又因为21lim(tan )x n x x →∞3

tan tan 01tan lim(1)

t

t t t t t t t t t x t

--→-=+g

，其中0

lim

0tan t t

t t

→=-而

高等数学下册典型例题精选集合.doc

最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<

而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f

高等数学知识点总结 (1)

高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-

高数典型例题解析

第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

高数知识点总结

高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin

《高等数学》 各章知识点总结——第9章

第9章 多元函数微分学及其应用总结 一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三 维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离： ||PQ = 邻域: 设0P 是n R 的一个点，δ是某一正数，与点0P 距离小于 δ的点P 的全体称为点0P 的δ 邻域，记为),(0δP U ，即00(,){R |||}n U P P PP δδ=∈< 空心邻域: 0P 的 δ 邻域去掉中心点0P 就成为0P 的δ 空心邻域,记为 0(,)U P δ =0{0||}P PP δ<<。 内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),(δP U ，使得E P U ?),(δ，则称点P 为集合E 的内点。 如果点P 的任何邻域内都既有 属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界． 聚点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。 开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。设点集n E ?R , 如果E 的补集 n E -R 是开集，则称E 为闭集。 区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域． 有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0>M ，使得(,)E U O M ?，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集． 如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．

高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数

求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常

见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

高数下典型习题及参考答案

第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知　，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式 中正确的是（ ）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（ ）

专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。

人教版七年级地理下册第九章知识要点

七年级地理下册知识点归纳 第九章 西半球的国家 第一节 美国 1、美国概况：共有50个州，其中本土48个州和一个特区， 海外州是北极圈附近的阿拉斯加州和北回归线附近的夏威夷 州。美国本土大部分处在北温带，只有阿拉斯加大部分位于 北寒带，夏威夷州在热带。美国位于北半球和西半球，本土 西临①—太平洋，东临②—大西洋，南临③—墨西哥湾，北 与加拿大相邻，西南与墨西哥相邻；阿拉斯加临北冰洋和太 平洋；夏威夷位于太平洋北回归线附近。 2、移民国家：外来移民大汇集。美国是世界第三人口 大国，人口构成主要有欧洲白人后裔（占84%）、亚洲移民 后裔（黄种人）、黑人（13%，祖先是被当作奴隶贩卖来的） 土著居民是印第安人（黄色人种），数量已不多；华人和华 侨在美国将近240万，华人和华侨最多的城市是旧金山、洛杉玑和纽约。 3、农业特点：机械化、专业化、高效率、产量大、商品率高，农产品的生产量和出口量居世界前列。 地区专业化的好处：利于大规模机械化生产；利于提高农业生产效率；利于因地制宜发展农业。 4、地形：呈南北纵列分布，西部高大的高原和山地（落基山脉）、中部广阔的中央平原、东部低矮的山地（阿巴拉契亚山）。平原面积占全国总面积的一半以上，耕地广大。 5、农业主要灌溉水源有：密西西比河（世界第四长河）、东北部五大湖（其中苏必利尔湖是世界上面积最大的淡水湖）。 6、美国发展农业的有利条件： ①地理位置：美国幅员辽阔，本土大部分处在温带和亚热带，夏威夷州位于热带，热量充足，有利于发展农业生产。美国本土三面临海，受海洋影响，气候温暖湿润，对农业生产十分有利。 ②地形：美国地形以平原为主，平原面积占全国总面积的1/2以上，耕地广大，约占世界耕地面积的10%，土壤肥沃，对农业发展有利。 ③气候：美国气候以温带大陆性气候为主，又有多样性的特点。温带大陆性气候的高温期与多雨期一致，美国年降水量从东南向西北递减，落基山以东地区降水量在500mm 以上，水分条件较好。 ④美国河湖众多：密西西比河是世界第四长河，它纵贯美国中部，水量大，流域面积广，五大湖是世界最大的淡水湖群。密西西比河和五大湖为农业灌溉提供了良好的条件。 美国在其优越的自然条件的基础上，大力发展农业，成为世界上的农业大国，许多农产品的生产量和出口量居世界前列。美国是世界上出口农产品最多的国家。 7、主要农业带 农业带 形成原因 乳畜带 这里位置偏北，气候冷湿，适宜牧草的生长。而且，这里是美国的制造业带，城市和人口分布密集，因此畜牧业非常发达 玉米带 这里是温带，地势低平，土壤肥沃，春夏气温较高，适合玉米生长。 棉花带 这里原为棉花带，由于土壤肥力下降等原因，植棉业已经衰落。现已成为以畜牧业为主的多种作物区 小麦带 这里地势低平，土质好，冬季冷而长，适宜耐寒能力强的小麦生长，密西西比河为灌溉 提供良好的条件 畜牧和灌溉农业带 这里地形多高原、高山，地势起伏大，降水较少，适宜发展畜牧业 亚热带作物带 这里地处墨西哥湾沿岸，为亚热带季风气候，终年高温多雨，适宜亚热带作物的生长。 ②③ ①

关于高等数学方法与典型例题归纳

关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

教育心理学第九章知识要点

第九章问题解决与创造性（重点章节） 1、问题、问题解决、功能固着、创造性、发散思维等基本概念 2、创造性的基本特征 3、问题解决的过程 4、影响问题解决的主要因素 5、培养问题解决的能力的有效措施 6、培养创造性的有效措施 第一节问题解决概述 一、问题与问题解决 (一)问题 1．含义 给定信息和要达到的目标之间有某些障碍需要被克服的刺激情境。 2．问题的基本成分 一是给定的条件，这是一组已知的关于问题的条件的描述，即问题的起始状态。二是要达到的目标，即问题要求的答案或目标状态。三是存在的限制或障碍，指那些阻碍实现目标状态的因素，它因人而异。 3．问题的分类 问题分为两类：有结构的问题或界定清晰的问题与无结构的问题或界定含糊的问题。 (1)有结构问题 已知条件和要达到的目标都非常明确，个体按一定的思维方式即可获得答案的问题。如，一般的数学应用题。 (2)无结构的问题 已知条件与要达到的目标都比较含糊，问题情境不明确、各种影响因素不确定，不易找出解答线索的问题。如，怎样更好地为奥运服务? (二)问题解决 1．问题解决的含义 问题解决是指个人应用一系列的认知操作，从问题的起始状态到达目标状态的过程。 2．问题解决的基本特点 (1)目的性 问题解决具有明确的目的性。它总是要达到某个特定的目标状态。如，白日梦则不能称为问题解决。(2)认知性 问题解决是通过内在心理加工实现的。整个活动过程依赖于一系列认知操作的进行。 (3)序列性 问题解决包含一系列的心理活动，即认知操作．它需要运用高级规则进行信息的重组。 3．问题解决的类型 问题解决有两种类型： 一是常规性问题解决，使用常规方法来解决有结构的、有固定答案的问题； 二是创造性问题解决。综合应用各种方法或通过发展新方法、新程序等来解决无结构的、无固定答案的问题。 二、问题解决的过程 (一)已有的观点 1．桑代克的尝试错误说与苛勒的顿悟说是阐述问题解决的两种早期的心理学理论观。 桑代克认为问题解决就是通过尝试．使错误的行为动作逐渐减少，正确的行为动作逐渐增加的过程。苛勒认为问题的解决是一个顿悟的过程。 2．以杜威为代表的学说 他们认为问题解决是一个循序渐进的、分阶段的过程。 3．20世纪50年代的认知心理学

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程

九年级化学第九章-溶液知识点总结及习题(含答案)讲解学习

九年级化学第九章-溶液知识点总结及习题 (含答案)

第九章溶液 一、悬浊液、乳浊液和溶液 1．悬浊液：固体小颗粒悬浮于液体里形成的混合物。 特点：固液混合物，且不稳定，易分层。如：黄河水，豆奶，石灰浆。 2．乳浊液：小液滴分散到液体里形成的混合物。 特点：液液不稳定混合物，易分层。如：色拉油滴入水中经振荡后而形成的水油混合物。3．①溶液：一种或几种物质分散到另一种物质里，形成均一的、稳定的混合物。 特点： 均一性----指溶液各部分的性质、组成完全相同，外观表现为透明、澄清、颜色一致。它不一定是无色，但一般透明。由溶质和溶剂组成。 稳定性----指外界条件不变时，溶液不论放置多久，溶质与溶剂都不会分层。 ②溶液的组成：由溶质和溶剂组成。 注意：（1）溶液不一定无色，如CuSO4为蓝色 FeSO4为浅绿色 Fe2(SO4)3为黄色（2）溶质可以是固体、液体或气体；水是最常用的溶剂。 （3）溶液的质量 = 溶质的质量 + 溶剂的质量；溶液的体积≠ 溶质的体积 + 溶剂的体积。 （4）溶液的名称：溶质的溶剂溶液（如：碘酒——碘的酒精溶液）。 ③溶质和溶剂的判断： 溶质：被溶解的物质，可呈气、固、液三态。 溶剂：能够溶解其他物质的物质，一般为液体，也可以为气体。 （1）固体、气体溶于液体：液体为溶剂，固体、气体是溶质。 （2）液体溶于液体：有水，水为溶剂，其它为溶质；无水，量多的为溶剂，量少的为溶质。（3）根据名称：溶液的名称一般为溶质的溶剂溶液，即溶质在前，溶剂在后。 （4）如果物质在溶解时发生了化学变化，那么在形成的溶液中，溶质是反应后生成的能溶解的物质。 例1：下列各组中的物质混合后能形成溶液的是（） A．碘晶体与酒精 B．硫酸钡与水 C．煤油与水 D．氢氧化铁与水 例2、下列有关溶液的说法中，正确的是 ( ) A．不饱和溶液转化为饱和溶液，溶液中溶质的质量分数一定增大

高等数学试题库

高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π

2017七年级地理下册第九章知识点汇总

2017七年级地理下册第九章知识点汇总 2017七年级地理下册第九章知识点汇总 第九章：西半球的国家第一节美国 一、民族大熔炉 1．领土组成：本土个州和哥伦比亚特区，个海外州（__州和__州）。地跨北美洲、大洋洲两洲的国家。 2014地理会考复习资料03第5页共7页 2.地理位置： ①半球位置：美国位于北半球和西半球。 ②纬度位置：跨_热带_、_温带_、_寒带_三带。（北回归线穿过_夏威夷_州，北极圈穿过_阿拉斯加_州） ③海陆位置：美国本土三面临海，东临_大西洋_洋，西临_太平洋_洋，东南临_墨西哥_湾，美国北与_加拿大_相邻，西南与_墨西哥_相邻。（阿拉斯加州北临_北冰_洋） 3.人口：美国是世界第三人口大国，西半球人口最多的国家，_是美国人口增长较快的主要原因，以_白色_人种为主。 二、美国农业 1.地形：分南北三大纵列带：西部是高大的_山系，主要山脉是落基山脉等；中部为面积广大的_平原_，东部是低缓的__阿巴拉契亚__山脉。 2.气候：以__气候为主，降水自_向_递减。 3.河流和湖泊：世界第四长河-------__；世界最大的淡水湖群-------__

4.美国发展农业的有利条件： ①地形：_平原_面积占全国总面积的一半以上，_耕地面积_广大，土壤肥沃。 ②气候：本土以__温带大陆性气候_为主，三面临海，受海洋影响，气候温暖湿润。③美国河湖众多，密西西比河和五大湖为灌溉、航运提供了良好的条件。 5.农业地区_①专业化的好处：农业生产的各个过程和环节都实现了_机械化_和_专业化_，效率高，产量大。 ②主要农业带（会看图说出农业带的名称、分析形成原因） 三、世界_最发达_的工业国家 1．美国拥有完整的工业部门体系，生产规模大，技术先进，是世界上最发达的工业国家，其中，军事工业和尖端技术领域处于世界领先地位。 2.三大工业区及主要城市：东北部工业区、南部工业区和西部工业区，其中_工业区是美国，也是世界上最大的工业区。 3.高新技术产业（__技术产业、_技术产业、__技术产业）有利的促进了经济的增长，美国是世界最大的高新技术产业基地。旧金山东南的“_硅谷”是世界兴起最早、规模最大的的高新技术产业中心。 第二节巴西 一、自然环境 1.地理位置：_（纬线）穿过北部，_（纬线）穿过南部，大部分在_带。

高数知识点总结(上册)

高数知识点总结（上册） 函数： 绝对值得性质： (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a-b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法： （1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数： 定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1 x f y -=存在，且是单 值、单调的。 基本初等函数： （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数 （5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限： 定义：设 {}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小） ， 总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n x ，不等式 ε <-a x n 都成立，则称数a 是数列 {}n x 的 极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a x n n =∞ →lim ，或 a x n →（∞→n ） 收敛数列的有界性： 定理：如果数列 {}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界 推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛 函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质： （1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0 ，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0 x 可除外），有0)(>x f （或0)(

第九章-不等式与不等式组知识点归纳

第九章 不等式与不等式组 一、知识结构图 二、知识要点 （一、）不等式的概念 1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。 2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。 4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。 ????????????????????????????????与实际问题 组一元一次不等式法 一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321

（二、）不等式的基本性质 不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。 用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。 用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或c b c a >)；如果0,>c b a ，那么bc ac <(或c b c a <)；如果0,<(或c b c a >)； 解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为xa 或x ＜a 的形式。 （注：①传递性：若a ＞b ,b ＞c ,则a ＞c . ②利用不等式的基本性质可以解简单的不等式） （三、）一元一次不等式