苏州大学2018届高考考前指导卷2(含答案)

苏州大学2018届高考考前指导卷2

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．卡相应位置上．．．．．．

． 1．设全集{|2,}U x x x =∈N ≥，集合2{|5,}A x x x =∈N ≥，则U A =e ▲ ． 2．已知i 是虚数单位，复数(12i)(i)a -+是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．利用计算机随机产生0～1之间的数a ，则事件“310a ->”发生的概率为 ▲ ． 4．某地区连续5天的最低气温（单位：C ?）依次为8,4,1,0,2--，则该组数据的方差为 ▲ ．

5．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．

6．若抛物线24x y =的弦AB 过焦点F ，且AB 的长为6，则弦AB 的中点M 的纵坐标为 ▲ ．

7．已知一个正方体的外接球体积为1V ，其内切球体积为2V ，则2

1

V V 的值 为 ▲ ．

8．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若满足a 4 + 3a 11= 0，则

21

14

S S = ▲ ． 9．已知0a >，函数2()()f x x x a =-和2()(1)g x x a x a =-+-+存在相同的极值点，则a = ▲ ． 10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝4，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC 的最大值为 ▲ ．

11. 若cos 2cos()4ααπ=+，则tan()8

απ

+= ▲ ．

12. 已知0,0a b >>，则

222a b

a b b a

+

++的最大值为 ▲ ． 13. 在ABC △中，90C =∠°，24AB BC ==，,M N 是边AB 上的两个动点，且1MN =，则CM CN ?u u u u r u u u r

的取

值范围为 ▲ ．

14. 设函数()33,2,,x x x a f x x x a ?-<=?-?

，

≥若关于x 的不等式()4f x a >在实数集R 上有解，则实数a 的取值范围

是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

如图，在多面体ABCDE 中，∠ABD =60o，BD =2AB ，AB ∥CE ，AB ⊥CD ， （1）求证：//AB 平面CDE ； （2）求证：平面ABC ⊥平面ACD . 16．（本小题满分14分）

在△ ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =?，8c =. （1）若点M 是线段BC 的中点，

AM

BM

=b 的值； （2）若12b =，求△ ABC 的面积.

C A

B

D

E

（第15题图）

17．（本小题满分14分）

某校在圆心角为直角，半径为1km 的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距1km 的A ，B 两个位置分别有300，100名学生，在道路OB 上设置集合地点D ，要求所有学生沿最短路径到D 点集合，记所有学生行进的总路程为S （km ）． （1）设ADO θ∠=，写出S 关于θ的函数表达式； （2）当S 最小时，集合地点D 离点A 多远？

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>

的离心率为2，右准线方程为4x =，(,0)

Q n 是椭圆C 的长轴上一点(Q 异于长轴端点)，过点Q 的直线l 交椭圆于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）①若2n =，求OA OB ?u u u r u u u r

的最大值；

②在x 轴上是否存在一点P ，使得PA PB ?u u u r u u u r

为定值，若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由．

（第17题图）

（第18题图）

19．（本小题满分16分）

已知数列{a n }，{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n （n ∈N *）． （1）若a 1＝1，b n ＝n ，求数列{a n }的通项公式； （2）若b n ＋1b n －1＝b n （n ≥2），且b 1＝1，b 2＝2．

①记c n ＝a 6n －1（n ≥1），求证：数列{c n }为等差数列；

②若数列{a n

n

}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a 1应满足的条件．

20．（本小题满分16分）

已知函数()ln f x x =，1

()g x x x

=-

． （1）①若直线1y kx =+与()ln f x x =的图像相切, 求实数k 的值；

②令函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 在区间[,1]a a +上的最大值． （2）已知不等式2()()f x kg x <对任意的(1,)x ??恒成立，求实数k 的范围．

苏州大学2018届高考考前指导卷（2）参考答案

一、填空题

1．{2} 2．2- 3．2

3

4．16 5．11 6．2 7

． 8．76

9．3 10．4 11

．13

12

．23- 13． 11

[,9]4 14．

1(,))2-∞+∞U

填空题参考解答或提示

1．

{}{|2}2U A x x x =<∈=N ≤e．

2． (12i)(i)(2)(12)i a a a -+=++-是纯虚数，所以实数a 的值为2-．

3．本题为几何概型，因为13103

a a ->?>，所以所求概率1

12313P -

=

=． 4． 8(4)(1)0215

x +-+-++==，所以该组数据的方差为52

211()165i i s x x ==-=∑．

5．第1次，33S I ==，；第2次，75S I ==，；第三次，117S I ==，． 6．设1122(,),(,)A x y B x y ，则126AB y y p =++=，所以1262

222

M y y y +-=

==． 7．设正方体棱长为a

，则

3

33

3

1113

2224π214π2V R R V R R a ?

?

??? ?===== ?

??? ???

8．由题意得74430a a q +?=，又40a ≠，所以713

q =-，

3

21

2114

21411()1731

16

1()3

S q S q ---=

=

=---． 9． 2322()()2+f x x x a x ax a x =-=-，所以22()34+(3)()f x x ax a x a x a '=-=--；

由题意得

132a a -=

或1

2

a a -=，又0,a >所以3a =． 10．由题意知，在PAC △中，由正弦定理可得，

sin sin PC AC

PAC APC

=

∠∠， 所以2

sin 4sin sin30PC PAC PAC =

∠=∠?

，所以当90PAC ∠=?时，PC 的最大值为4． 11． cos 2cos(),cos()2cos()48888

ααααπππππ

=++-=++，

所以3sin()sin cos()cos 8888ααππππ

+=+所以121

tan()8

33(21)

3tan

8

απ++=

=

=π

-．

12．设20,20m a b n b a =+>=+>，则22,33

m n n m

a b --=

=

， 所以原式24222223322223333m n n m

n m n m m n m n m n --=+=---?=-

≤， 当且仅当

233n m

m n

=

即2n m =，也即3222b a +=时等号成立． 13．设MN 的中点为D ，则2221

=()()4

CM CN CD DM CD DN CD DM CD ?+?+=-=-u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ， 故只需考虑||CD u u u r

的最大、最小值.如图，点D 在D 1及D 2处（1212

AD CD AB =⊥，）分别取得最大、

最小值.由222137,34CD CD ==u u u u r u u u r ，所以CM CN ?u u u u r u u u r 的取值范围为11

[,9]4

.

14．由题意知，max ()4f x a >

①当0a <时，因为(0)0f =， max ()4f x a >显然成立；

②当0a =时，()33,02,0,x x x f x x x ?-<=?-?

，

≥ max ()(1)204f x f a =-=>=，

满足题意；

③当0a >时，令332,x x -=解得121,2x x =-=，所以 i ）当02a <<时，max max ()(1)24,f x f a =-=>解得1

02

a <<

； ii ）当2a >时，3()3f x a a <-，由题意334a a a ->，解得7a >； 综上所述，实数a 的取值范围是1

(,)(7,)2

-∞+∞U ． 二、解答题

15. 证明（1）由题意AB ∥CE ，CE ?面CDE ，AB ?平面CDE ，

所以//AB 平面CDE.

（2）在△ABD 中，因为∠ABD =60o，BD =2AB ，

所以???-+=60cos 2222BD AB BD AB AD ，即223AB AD =， 因为222BD AD AB =+，所以AB AD ⊥，

又AB CD AD CD D ⊥=I ，，所以⊥AB 平面ACD ， 又?AB 面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD.

16. 解（1）因为点M 是线段BC

的中点，

AM

BM

=BM x =

，则AM =， 又60B =?，8c =，在△ABM 中，由余弦定理得2236428cos60x x x =+-??， 解得4x =（负值舍去），则4BM =，8BC =. 所以△ ABC 中为正三角形，则8b =.

（2）在△ ABC 中，由正弦定理

sin sin b c B C =

，得8sin 2sin 123

c B

C b

==

=. 又b c >，所以B C >，则C

为锐角，所以cos 3

C =则(

)1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=+=

+=

， 所以△ ABC

的面积1sin 482

6

S bc A =

==17. 解（1）因为在△OAD 中，θ=∠ADO ，1OA =，

所以由正弦定理可知1ππsin sin sin 33AD OD

θθ==??+ ???

， 解得

πsin 3sin AD OD θθ

?

?+ ?

??=

，且π2π(,)33θ∈，

故πsin 330010010012sin sin S AD BD θθθ????+ ???????=+=+-??

???

?

3cos 50sin θθ-=+，π2π(,)33θ∈， （2） 令3cos sin y θ

θ

-=

，则有23cos 1sin y θθ-+'= ，

当1cos 3θ>时，0y '<； 当1

cos 3

θ<时，0y '>；

可知，当且仅当1

cos 3

θ=时，y 有最小值22，

当AD =时，此时总路程S

有最小值50km ．

答：当集合点D 离出发点A

km

时，总路程最短，其最短总路程为50km ．

18. 解（1

）由2c e a ==，右准线方程为24a x c

==，

所以，a =2b =，即椭圆22

:184

x y C +=．

（2）①由已知，(2,0)Q ，

当直线AB 垂直于x 轴时，

A ，(2,

B ， 2OA OB ?=u u u r u u u r

．

当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB ：(2)y k x =-，

代入22

184

x y +=得2222(12)8880k x k x k +-+-=，

设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 212121212(2)(2)OA OB x x y y x x k x x ?=+=+--u u u r u u u r

2221212(1)2()4k x x k x x k =+-++

22222

22(1)(88)8241212k k k k k k k +-=-?+++224812k k -=+2

10212k

=-+＜2． 所以，当直线AB 垂直于x 轴时，OA OB ?u u u r u u u r

取到最大值2．

②设点(,0)P t ，11(,)PA x t y =-u u u r ，22(,)PB x t y =-u u u r

，

当直线AB 不垂直于y 轴时，

设AB ：x my n =+，代入22

184

x y +=得222(2)280m y mny n +++-=，

12121212()()()()PA PB x t x t y y my n t my n t y y ?=--+=+-+-+u u u r u u u r

2

2

1212(1)()()()m y y m n t y y n t =++-++-22222

(8)(1)2()

()2

n m m n n t n t m -+--=+-+ 22222

[82()]8()2

m n n n t n n t m ---+-=+-+， 令2282()812n n n t n ----=

得2384n t n

+=， 当2384n t n +=时，2222

222883894()()522416n n n PA PB n t n n n n --+?=+-=+-=+-u u u r u u u r ．

当直线AB 垂直于y 轴时，(A n ，(,B n ，238

(,0)4n P n

+ 2222238894

()54216n n PA PB n n n n

+-?=-+=+-u u u r u u u r ．

所以，在x 轴上存在点238

(,0)4n P n +，使得PA PB ?u u u r u u u r 为定值2294516n n

+-．

方法二 先利用直线l 垂直于x 轴和垂直于y 轴两种情况下PA PB ?u u u r u u u r 的值不变，猜想点238

(,0)4n P n +，

然后再证明此时PA PB ?u u u r u u u r 为定值2294

516n n

+-．

19. 解（1）当n ≥2时，有a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)

＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝n 22－n

2＋1．

又a 1＝1也满足上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝n 22－n

2

＋1．

（2）①因为对任意的n ∈N *，有b n ＋6＝

b n ＋5b n ＋4＝1

b n ＋3＝b n ＋1b n ＋2

＝b n ， 所以c n ＋1－c n ＝a 6n ＋5－a 6n －1＝b 6n －1＋b 6n ＋b 6n ＋1＋b 6n ＋2＋b 6n ＋3＋b 6n ＋4＝1＋2＋2＋1＋12＋1

2＝7．

所以数列{c n }为等差数列．

②设c n ＝a 6(n －1)＋i (n ∈N *)（其中i 为常数且i ∈{1，2，3，4，5，6}，

所以c n ＋1－c n ＝a 6(n －1)＋6＋i －a 6(n －1)＋i ＝b 6(n －1)＋i ＋b 6(n －1)＋i ＋1＋b 6(n －1)＋i ＋2＋b 6(n －1)＋i ＋3

＋b 6(n －1)＋i ＋4＋b 6(n －1)＋i ＋5＝7，

即数列{a 6(n －1)＋i }均为以7为公差的等差数列．

设f k ＝a 6k ＋i 6k ＋i ＝a i ＋7k i ＋6k ＝76

(i ＋6k )＋a i －76i i ＋6k ＝76＋a i －76i

i ＋6k （其中n ＝6k ＋i ，

k ≥0，i 为{1，2，3，4，5，6}中一个常数）

当a i ＝76i 时，对任意的n ＝6k ＋i ，有a n n ＝7

6

；

当a i ≠76i 时，f k ＋1－f k ＝a i －76i i ＋6(k ＋1)－a i －76i

i ＋6k ＝(a i －7

6i )－6[i ＋6(k ＋1)](i ＋6k )，

①若a i ＞7

6i ，则对任意的k ∈N 有f k ＋1＜f k ，所以数列{a 6k ＋i 6k ＋i }为递减数列；

②若a i ＜7

6i ，则对任意的k ∈N 有f k ＋1＞f k ，所以数列{a 6k ＋i 6k ＋i }为递增数列．

综上所述，集合B ＝{76}∪{43}∪{12}∪{－13}∪{－16}＝{76，43，12，－13，－1

6}．

当a 1∈B 时，数列{a n

n

}中必有某数重复出现无数次；

当a 1 B 时，数列{a 6k ＋i

6k ＋i }(i ＝1，2，3，4，5，6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现

一次，所以数列{a n

n }任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．

20. 解（1）设切点00(,)x y ，1

()f x x

￠=

. 所以000001

ln 1x y x y kx k ，，

，ì?=???=+í??=???

所以20x e =，21k e =. （2）因为1

()g x x x

=-

在(0,)+?上单调递增，且(1)0g =． 所以1ln ,01,1()()|()|ln ||1ln , 1.x x x x

h x f x g x x x x x x x x ì??+-<

??-+?????

当01x <<时，1()ln h x x x x =+-

，211

()10h x x x

￠=++>，

当1x ≥时，1()ln h x x x x

=-+，222111

()10x x h x x x x -+-￠=--=<，

所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+?上单调递减，且max ()(1)0h x h ==． 当01a <<时，max ()(1)0h x h ==； 当1a ≥时，max 1()()ln h x h a a a a

==-+． （3）令1

()2ln ()F x x k x x

=--

，(1,)x ??． 所以222

212()(1)kx x k

F x k x x x -+-￠=-+=

． 设2()2x kx x k j =-+-，

①当0k ￡时，()0F x ￠>，所以()F x 在(1,)+?上单调递增，又(1)0F =，所以不成立； ②当0k >时，对称轴01

x k

=， 当

1

1k

≤时，即1k ≥，(1)220k j =-≤,所以在(1,)+?上，()0x j <，所以()0F x ￠

<， 又(1)0F =，所以()0F x <恒成立； 当

1

1k

>时，即01k <<，(1)220k j =->，所以在(1,)+?上，由()0x j =，0x x =， 所以0(1,)x x ?，()0x j >，即()0F x ￠>；0(,)x x ??，()0x j <，即()0F x ￠<， 所以max 0()()(1)0F x F x F =>=，所以不满足()0F x <恒成立． 综上可知：1k ≥.