2017年考研数学二真题与解析

2017年考研数学二真题

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

1

．若函数0(),0x f x b x >=?≤?

在0x =处连续，则 （A ）12ab =

（B ）1

2

ab =- （C ）0ab = （D ）2ab = 【详解

】0001112lim ()lim lim 2x x x x

f x ax ax a +++→→→-===

，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11

22

b ab a =?=．所以应该选（A ）

2．设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1f f =-=，(0)1f =-，且()0f x ''>，则（ ） （A ）1

1()0f x dx ->? （B ）1

1

()0f x dx -

（C ）

11

()()f x dx f x dx ->?

? （D ）01

1

()()f x dx f x dx -

【详解】注意到条件()0f x ''>，则知道曲线()f x 在[][]1,0,0,1-上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当[]1,0x ∈-时，()21f x x ≤--，当[]0,1x ∈时，()21f x x ≤-，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶可导．所以

1

01

1

1

()(21)(21)0f x dx x dx x dx --<--+-=?

??．所以选择（B ）．

当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数2

()21f x x =-，此时

11011

(),()33

f x dx f x dx -=-=-??，可判断出选项（A ），（C ），（D ）都是错误的，当然选择（B ）．希望同学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧． 3．设数列{}n x 收敛，则

（A ）当limsin 0n n x →∞

=时，lim 0n n x →∞

= （B

）当lim(0n n x →∞

+

=时，lim 0n n x →∞=

(C ）当2

lim()0n n n x x →∞

+=时，lim 0n n x →∞

= （D ）当lim(sin )0n n n x x →∞

+=时，lim 0n n x →∞

=

【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D ）是正确的． 其实此题注意，设lim n n x A →∞

=，则

2

2limsin sin ,lim(),lim(sin )sin n n n n n n n n n n x A x A x x A A x x A A →∞

→∞

→∞

→∞

==+=++=+

分别解方程2sin 0,0,0,sin 0A A A A A A ==+=+=时，发现只有第四个方程sin 0A A +=有唯

一解0A =，也就是得到lim 0n n x →∞

=．

４．微分方程2489(1cos 2)x

y y e x '''-+=+的特解可设为*y =（ ） （A ）22(cos 2sin 2)x

x Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe xe B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)x

x Ae

xe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe xe B x C x ++

【详解】微分方程的特征方程为2

480r r -+=，有一对共轭的复数根22r i =±．

所以12λ=不是特征方程的根，所以对应方程2489x

y y e '''-+=的特解应该设为21*x y Ae =；

而222i λ=+是方程的单根，所以对应方程2489cos 2x

y y e x '''-+=的特解应该设为22*(cos 2sin 2)x y xe B x C x =+；从而微分方程2489(1c o s 2)x

y y e

x '''-+=+的

特解可设为2212***(cos 2sin 2)x x y y y Ae xe B x C x =+=++，应该选（C ）．

5．设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y 都有

(,)(,)

0,0f x y f x y x y

??> （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f <

【详解】由条件对任意的(,)x y 都有

(,)(,)0,0f x y f x y x y

??>><<<，只有第三个不等式可得正确结论（D ），应该选（D ）．

6．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ） （A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t >

【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，2

1

()()T T S t v t dt =

?

表示时刻[]

12,T T 内所走的路程．本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t =时乙追上甲，应该选（C ）．

7．设A 为三阶矩阵，()123,,P ααα=为可逆矩阵，使得1

000010002P AP -?? ?= ? ???

，则123()A αα

α++=（ ） （A ）12αα+ （B ）232αα+ （C ）23αα+ （D ）132αα+ 【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目．可知

()()12312323000000(,,)010,,0100,,2002002A AP P αααααααα????

? ?

==== ? ? ? ?????

所以12312323()2A A A A αααααααα++=++=+，所以可知选择（B ）．

8．已知矩阵200021001A ?? ?= ? ???，210020001B ?? ?= ? ???，100020002C ??

?

= ? ???

，则

（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似

【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．

对于矩阵A ，0002001001E A ??

?

-=- ? ???

，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特

征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．

对于矩阵B ，010*******E B -?? ?

-= ? ???

，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特

征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．曲线2(1arcsin )y x x

=+的斜渐近线为 ．

解：2

(1arcsin )

lim lim

1x x x y x x x

→∞→∞+==，2lim()lim arcsin 2x x y x x x →∞→∞-==，所以斜渐近线为2y x =+． 10．设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t

?=+?=?确定，则202|t d y

dx == ．

【详解】223cos 1cos (1)sin cos ,1(1)t t t t t t d e dy t d y e t e t dt dx dx e dx e dt

?? ?+??

++===-++，所以20

21|8t d y dx ==-． 11

2

ln(1)

(1)x dx x +∞

++?

.

【详解】

0220

00ln(1)1ln(1)1

ln(1)|1(1)11(1)

x x dx x d dx x x x x +∞

+∞+∞+∞++=-+=-+=++++?

?? 12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y

df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则

(,)f x y =

【详解】(,)(1)()y

y

y

df x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)y

f x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)y

f x y xye =． 13．

1

1

tan y x

dy dx x

=?

?

． 【详解】交换二重积分的积分次序得：

1

1

111

00000tan tan tan ln cos ln cos1.x y x x dy dx dx dy xdx x x x ===-=-?????

14．设矩阵41212311A a -?? ?= ? ?-??的一个特征向量为112?? ?

? ???

，则a = ．

【详解】根据特征向量的定义，有

412111121132311222A a a αλ-????????

??? ? ?

===+ ??? ? ? ??? ? ?-????????

，解得1a =-．

三、解答题 15．（本题满分10分）

求极限0

lim t x dt +

→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-

，

t x u dt du -=?

?

00

002

lim

lim lim

lim 3

3t x u u x x x x x dt e du du +

+

+

+---→→→→==== 16．（本题满分10分）

设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,cos )x

y f e x =，求0|x dy

dx

=，202|x d y dx =．

【详解】

12(,cos )(,cos )(sin )x x x dy f e x e f e x x dx ''=+-，01|(1,1)x dy

f dx

='=； 2111122

222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d y e f e x e f e x e xf e x xf e x dx xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+

20111

22|(1,1)(1,1)(1,1)x d y

f f f dx

=''''=+-．

17．（本题满分10分） 求2

1

lim

ln 1n

n k k

k n

n →∞

=??

+ ???

∑ 【详解】由定积分的定义

1

20111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24

n

n n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞

→∞==????+=+=+ ? ?????=+=∑∑??

18．（本题满分10分）

已知函数()y x 是由方程3

3

3320x y x y +-+-=． 【详解】在方程两边同时对x 求导，得

2233330x y y y ''+-+= （1）

在（1）两边同时对x 求导，得

2222()0x y y y y y '''''+++=

也就是22

2(())

1x y y y y '+''=-+

令0y '=，得1x =±．当11x =时，11y =；当21x =-时，20y = 当11x =时，0y '=，10y ''=-<，函数()y y x =取极大值11y =； 当21x =-时，0y '=，10y ''=>函数()y y x =取极小值20y =． 19．（本题满分10分）

设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数，且(1)0f >，0

()

lim 0x f x x

-

→<，证明： （1）方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；

（2）方程2

()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．

证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0

()

lim 0x f x x

-

→<可知，存在01δ<<，及1(0,)x δ∈，使得1()0f x <，由于()f x 在[]1,1x 上连续，且1()(1)0f x f ?<，由零点定理，存在1(,1)(0,1)x ξ∈?，使得

()0f ξ=，也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；

（2）由条件0

()

lim 0x f x x

-

→<可知(0)0f =，由（1）可知()0f ξ=，由洛尔定理，存在(0,)ηξ∈，使得()0f η'=；

设()()()F x f x f x '=，由条件可知()F x 在区间[]0,1上可导，且(0)0,()0,()0F F F ξη===，分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理，则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈?∈?使得

1212,()()0F F ξξξξ''≠==，也就是方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实

根．

20．（本题满分11分）

已知平面区域{}

22(,)|2D x y x y y =+≤，计算二重积分

2

(1)D

x d σ+?? 【详解】由于积分区域关于y 轴左右对称，所以由二重积分对称性可知

20D

xd σ=??．所以

2sin 22

220

4422

4620

(1)(1)(cos 1)2sin cos 2sin 4(4sin 4sin 2sin )54

D

D

x d x d d r rdr

d d πθ

π

π

σσθθθθθθθθθθ

π+=+=+??=+ ???

=-+=???????

?

其中利用瓦列斯公式，知

2

460

0013135315sin ,sin ,sin 2242864216

d d d π

πππππ

θθπθθπθθπ???=?==?==?=

????

?? 21．（本题满分11分）

设()y x 是区间30,2?? ???

上的可导函数，且(

1)0y =．点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点()0,P Y ，法线与X 轴相交于点(),0P X ．若P p X Y =，求L 上的点的坐标(,)x y 满足的方程．

【详解】曲线过点(,)P x y 的切线方程为()()()Y y x y x X x '-=-，令0X =，得()()p Y y x xy x '=-；

曲线过点(,)P x y 的法线方程为1

()()()

Y y x X x y x -=-

-'，令0Y =，得()p X x yy x '=+． 由条件P p X Y =，可得微分方程y xy x yy ''-=+

标准形为1

1y dy x y x

y y dx x y x

--+'===

++，是个一阶齐次型微分方程．

设y u x =，方程化为1

1

du u u x dx u -+=

+，整理，得211du u x dx u +=-+

分离变量，两边积分，得1

arctan ln ln ln 2

u u x C +

=-+ 由初始条件(1)0y =，得1,0,0x y u ===，确定常数1C = 所以曲线的方程为1arctan ln ln 2y y

x x x

+=-． 22．（本题满分11分）

设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；

（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．

【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．

假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为

31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．

（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所

以基础解系为121x ?? ?

= ? ?-??

；

又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111?? ?

? ???；

方程组Ax β=的通解为112111x k ???? ? ?

=+ ? ? ? ?-????

，其中k 为任意常数．

23．（本题满分11分）

设二次型2

2

2

12312

312

1323(,,)2282f x x x x x a x x x x x x x =

-

++-+在正交变换x Qy =下的标准形为22

1122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．

【详解】二次型矩阵21411141A a -??

?

=- ? ?-??

因为二次型的标准形为22

1122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =

1

141

1

1

(3)(6)4

1

2

E A λλλλλλλ---=+=+---

令

0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．

通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-

的特征向量1111ξ???

=-???，属于特征值特征值26λ=

的特征向量2101ξ-???=???，30λ=

的特征向量3121ξ???

=???． 所以(

)123,,0Q ξξξ? == ?为所求正交矩阵．