线性代数第三章 向量与向量空间教学提纲

线性代数练习题 第三章 向量与向量空间

系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 维向量 第二节 向量间的线性关系

一．选择题

1．n 维向量s ααα,,,Λ21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k αααΛ （B ）s ααα,,,Λ21中任何)(s j j ≤个向量线性相关

（C ）设),,,(s A αααΛ21=，非齐次线性方程组B AX =有无穷多解 （D ）设),,,(s A αααΛ21=，A 的行秩 ＜ s .

2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题：

1． 设T

T T )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===ααα

则T )1,0,1(21-=-αα T

)2,1,0(23321=-+ααα

2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T

)10,5,1,10(2=α

T ),,,(11143-=α，则(1,2,3,4)T α=

3． 已知T

T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2

三．计算题：

1． 设向量()T

k 1,1,11+=α，T k ),,(1112+=α，T k ),,(1113+=α，T

k k ),,(21=β，试问当k 为

何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？

（2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？ （3）β不能由321ααα,,线性表示？

(向量组的秩ppt)

21123

31

211131*********

100(3)1

1

1

3

1

1

0r r c c c r r k k k k k k k

k k k k k k

-++-++++=++=

=++++

2． 设向量T ),,,(32011=α，T ),5,3,1,1(2=α，T a ),,,(12113+-=α，T

a ),,,(84214+=α

T b ),,,(5311+=β，试问当b a ,为何值时，（1）β不能由4321αααα,,,线性表示？

（2）β有4321αααα,,,的唯一线性表达式？并写出表达式。

31413212421

111

11111

120112101

12123243012133

518502

252111111

02100112101121001000102000100

0010u u u u u u u r u u u u u r u u u u u u u r r r a b a b r r a a r r r r a b a b r r a a ????

?

?

--- ? ? ? ?

+++- ?

?

+-+????

-????

? ?

--- ? ?- ? ++- ?

++????

?

?

(1) a= -1,b ≠0.

12341234(,,,)2;(,,,,)3R R ααααααααβ==

(2) a ≠-1

12341234(,,,)(,,,,)4R R ααααααααβ==

线性代数练习题 第三章 向量与向量空间

系 专业 班 姓名 学号 第三节 向 量 组 的 秩

一．选择题：

1．已知向量组4321αααα,,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ] （A ）14433221αααααααα++++,,, （B ）14433221αααααααα----,,, （C ）14433221αααααααα-+++,,, （D ）14433221αααααααα--++,,, 过渡矩阵满秩

2．设向量β可由向量组m ααα,,,Λ21线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121-m ααα,,,Λ线性表示，记向量组（Ⅱ）：βααα,,,,121-m Λ，则 [ B ] （A ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 （B ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 （C ）m α可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 （D ）m α可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示

112211112121(0)1

L L m m m m m m m m m m m m

k k k k k k k k k k k k βαααααβααα----=++++≠=-

----

3．设n 维向量组s ααα,,,Λ21的秩为3，则 [ C ] （A ）s ααα,,,Λ21中任意3个向量线性无关 （B ）s ααα,,,Λ21中无零向量

（C ）s ααα,,,Λ21中任意4个向量线性相关 （D ）s ααα,,,Λ21中任意两个向量线性无关 4．设n 维向量组s ααα,,,Λ21的秩为r ，则 [ C ] （A ）若s r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,,Λ21线性表示 （B ）若n s =，则任何n 维向量都可用s ααα,,,Λ21线性表示

（C ）若n r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,,Λ21线性表示 （D ）若n s >，则n r =

二．填空题：

1．已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321--==-=αααt 的秩为2，则t = 3

2．已知向量组),,,(43211=α，),,,(54322=α，),,,(65433=α，),,,(76544=α，则该向量组的秩为 2

3． 向量组T a ),,(131=α，T b ),,(322=α，T ),,(1213=α，T

),,(1324=α的秩为2，

则a = 2 b = 5

三．计算题：

1．设T ),,,(51131=α，T ),,,(41122=α，T ),,,(31213=α，T ),,,(92254=α，T

d ),,,(262=β

（1）试求4321αααα,,,的极大无关组

（2）d 为何值时，β可由4321αααα,,,的极大无关组线性表示，并写出表达式

1321

31412323

13423523215211122112260010411122012145

439012110111221102

2012140101400104001040000600006r r r r r r r r r r r r r r r r d d d d ?---+?--????

? ?

?

????→ ? ?

---- ? ?

----????

-???? ? ------ ? ???→???→ ? ? --????

1210012010140010400006r r d +?????? ?--

????→ ? ?-??

（1）123,.ααα线性无关组：

（2）1236244d βααα==-+时，

2．已知3阶矩阵A 有3维向量x 满足x A Ax x A 2

33-=，且向量组x A Ax x 2

,,线性无关。

（1）记),,(x A Ax x P 2

=，求3阶矩阵B ，使PB AP =； （2）求 | A |

232322321(,,)(,,)3000(,,)(,,)103011000103.

0110

AP PB Ax A x A x x Ax A x B A x Ax A x Ax A x A x x Ax A x B A PBP B -===-?? ?

= ?

?-??

?? ?

= ? ?-??===由可得，

又由可得，

从而

线性代数练习题 第三章 向量与向量空间

系 专业 班 姓名 学号 第四节 向 量 空 间 综 合 练 习

一．选择题：

1．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 [ C ] （A ）133221,,αααααα-++ （B ）32132212,,ααααααα-+++

（C ）1332213,32,2αααααα+++ （D ）321321321553,2232,ααααααααα-++-++ 2．设矩阵A n m ?的秩=)(A R n m <，E m 为m 阶单位矩阵，下列结论中正确的是 [ D ] （A ）A 的任意m 个列向量必线性无关 （B ）A 通过初等行变换，必可以化为（E m 0）的形式 （C ）A 的任意m 阶子式不等于零 （D ）非齐次线性方程组b Ax =一定有无穷多组解 二．填空题：

1．设???

?

? ??-=40321

2221A ，三维列向量T a )1,1,(=α，已知αA 与α线性相关，则a = -1

122212123,

30413423=11

a a A a a a a α-?????? ??? ?==+ ??? ? ??? ?

+??????

??+?=-两个向量线性相关各分量成比例 2．从2

R 的基???? ??=011α，???? ??-=112α到基???? ??=111β，???

? ??=212β的过渡矩阵为2312??

?--??

12121212(,)(,)(,,,)111110231023011201120112A A ββααααββ=→??????

→→ ? ? ?----??????

即求，使得：作法：

行最简形

三．计算题：

1．设T

T T )8,6,0,2(,)1,1,3,3(,)1,1,1,1(321-=--==ααα，试用施密特正交化方法将向量组

参考课本P107页例

2．已知3R 的两个基为?

??

?

? ??=1111a ，????? ??-=1012a ，????? ??=1013a 及 ????? ??=1211b ，????? ??=4322b ，?????

??=3433b

求由基321,,a a a 到基321,,b b b 的过渡矩阵P 。

23213123212311112

311112311112310023401111101001011111430200200111112111123100234010

01001001000110100r r r r r r r r r r r r ??????

?-

? ? ?

--- ? ? ?-- ? ? ?----?

??????? ?+--+- ? ?--?

?u u u u u r u u u u u u u r u u u u u r u u u u u u u u u r 310

023401001011010011

1r ???? ?

?-

- ? ? ? ?--???

?

u u u r

则 234010101P ??

?

=- ? ?--??

线性代数第3章_线性方程组习题解答

习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为

,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为

线性代数 第三章向量

n维向量部分 这部分逻辑性非常强，考生必须要相当熟悉教材中的重要定理。从历年考试情况来看，线性相（无）关、线性表出、极大无关组、向量组的秩及等价、向量空间（数一）等内容是考试经常会涉及到的内容。常出现在选择题中。 回顾： n维向量的运算 1．定义：设　，，k为数域Ｐ中的数，定义 ,称为向量与的和； ,称为向量与数k的数量乘积． 2．向量运算的基本性质 1） 2） 3） 4） 5） 6） 7） 8），9），， 10）若，则即，若，则或 1 向量组的秩、极大无关组的相关题型 知识点 极大线性无关组定义：设为中的一个向量组，它的一个部分组若满足 i) 线性无关 ii)　对任意的，可经线性表出 则称为向量组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）． 向量组的秩 定义：向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的秩．性质： 1）一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同． 一个向量组线性相关的充要条件是它的秩＜它所含向量个数．2）等价向量组必有相同的秩．（注意：反之不然．） 3）若向量组可经向量组线性表出，则 秩秩． 例1 设向量组 （1）求此向量组的秩； （2）求此向量组的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组表示。

例2 选择题 若向量组的秩为 r,则（） （A）必定r秩（向量组II） （C）秩（向量组I）<秩（向量组II） （D）不能确定秩（向量组I）与秩（向量组II）的大小关系 2 向量组的线性相关性的判定或根据向量相关性求参数 知识点：1对向量组，设 若如果存在不全为零的数，使上式成立，则向量组线性相关。 若当且仅当上式才成立，则线性无关。 2 设向量组I：可由向量组II：线性表现，若 r>s , 则向量组I线性相关。（注意它的逆否定理） 3 利用矩阵的秩或行列式 设有 s个n维列向量组，设A=()， 则当秩A=s时，线性无关；当秩A

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.2平面的法向量与平面的向量表示课后训

3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示 课后训练 1．设O(0,0,0)，M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若＝，则点B的坐标为( ) A．(－1,3，－3) B．(9,1,1) C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1) 2．设l1的方向向量为a＝(2,4,5)，l2的方向向量为b＝(3，x,3y)，若l1∥l2，则x，y的值分别是( ) A．6,15 B．6， C．3,15 D．3， 3．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( ) A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1 4．已知直线l的方向向量为v＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－4,5,2)，则l与α的关系是( ) A．l⊥α B．l∥α C．lα D．l∥α或lα 5．已知平面α过点A(1，－1,2)，法向量有n＝(2，－1,2)，则下列点在α内的是( ) A．(2,3,3) B．(3，－3,4) C．(－1,1,0) D．(－2,0,1) 6．已知A，B，P三点共线，则对空间任一点O，＝α＋β，那么α＋β ＝__________. 7．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y ＝__________，z＝__________. 8．直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则三角形ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边所成的图形可能是__________． 9．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点，求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C. 10．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B 上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1. 参考答案 1.答案：B 由＝得(5，－1,2)＝(x－4，y－2，z＋1)，可得点B(9,1,1)． 2.答案：B a∥b，故x，y的值分别是6，.

第三章 空间向量与立体几何(B卷)

第三章 空间向量与立体几何(B) (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．空间四个点O 、A 、B 、C ，OA →，OB →，OC → 为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( ) A ．O 、A 、B 、C 四点不共线 B ．O 、A 、B 、 C 四点共面，但不共线 C ．O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线 D ．O 、A 、B 、C 四点不共面 2．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．45° 3．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC → 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋x AB →＋y AD → ，则x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝1，y ＝1 2 C ．x ＝12，y ＝12 D ．x ＝12，y ＝1 3 5．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD → ＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP → 是平面ABCD 的法向量；④AP →∥ BD → .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a·b ＝2，则x 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD → ＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 9．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 10．若向量a ＝(2,3，λ)，b ＝??? ?－1，1，63的夹角为60°，则λ等于( ) A.2312 B.612 C.23612 D ．－23612 11．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB → 取得最小值时，点Q 的坐标为( )

线性代数教案-向量与向量空间

线性代数教学教案 第3章 向量与向量空间 授课序号01 教 学 基 本 指 标 教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质 教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容 一． 维向量的概念 1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量. 2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算 1．定义： （1）分量全为0的向量称为零向量； （2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等； （4）对于，，称为与的和； （5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为. 2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有： n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12?????????????? n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---T n a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---T n n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k ,

第三章 空间向量与立体几何 导学案

中学数学资源网 高二数学◆选修2-1◆导学案 网址：https://www.wendangku.net/doc/ca5360163.html, §3.1.1空间向量及其运算 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法； 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 8486 复习1：平面向量基本概念： 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ， 和 共三种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算： 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长 度和方向规定如下： (1)|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与A. ； 当λ＜0时，λa 与A. ； 当λ＝0时，λa ＝ . 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：空间向量的相关概念 问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？ 新知：空间向量的加法和减法运算： 空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为 两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中， OB = ， AB = ， 试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,. a b a b +- a .b 2. 点C 在线段AB 上，且5 2 AC CB =,则 AC = AB , BC = AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ ⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ； ⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )； ⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ． ※ 典型例题 例 1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC + ⑴； 'AB AD AA ++ ⑵；1'2 AB AD CC ++ ⑶ 1(')2 AB AD AA ++ ⑷． 变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和 'DB . 小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式：

线性代数习题[第三章] 矩阵的初等变换与线性方程组

习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-.

习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.

3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-=

第三章空间向量与立体几何

第三章空间向量与立体几何 § 3.1空间向量及其运算 § 3.1.1空间向量的线性运算 一、空间向量的概念 1、空间向量：空间中既有______ 又有_______ 的量 __ 」 A ? B T彳 2、空间向量的表示：AB = a （）（） 3、零向量：________________________________ 记作： _______ 4、向量的模（长度）：________________________________ 记作：___________ 5、向量的基线：表示向量的有向线段所在的直线 6、相等向量：_____________________________________________ 7、共线向量（平行向量）：基线互相________ 或______________ 记作：______________ 规定：零向量与任意向量平行。 二、空间向量的线性运算已知向量a，b 1、加法 2、减法 4 4^ T T T a - b 二a （-b） =0A AB 二_________ 二________ 屮寸 T T 即a -b = OA -OC二 __________ （三角形法则） 3、数乘 （1）---------------- | a ■+4 i，扌（2）__________________________________ ■ ^0 时，a 与a 方向 _____ ；' =0 时，a=；' :：0 时，a 与a 方 向______ ； 4 4 注：a//a 三、空间向量运算律 的向量叫做共线向量或平行向量。 a b =0A AB a b =0A OB ________ （三角形法则） _______ 平行四边形形法则） 注：若M为LOAB的边AB的中点，则OA 0B-

线性代数习题[第三章]-矩阵的初等变换与线性方程组

习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆 (2)求1 AB-.

习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ?? ??=--?? ??-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ?? ?? ??=???? ?? L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠? ? ??=?? L 2.设12312323k A k k -?? ??=--?? ??-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3) ()3R A =.

3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=

第三章 空间向量与立体几何

第三章空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下． ［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积：

实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27． Ⅱ.新课讲授 ［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？ ［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． ［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： AB OA OB +==a +b ， -=（指向被减向量）， =OP λa )(R ∈λ ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律． ［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律： ⑴加法交换律：a + b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ． ［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即： n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

第三章线性代数方程组

第3章 线性代数方程组 3.1.1 矩阵秩的定义 定义1 矩阵A 的k 阶子式 在n m ?矩阵A 中任取k 行，k 列()()n m k ,m in 1≤≤，位于这k 行，k 列交叉点处的元素按原来次序组成的行列式，称为A 的一个k 阶子式。 定义2矩阵A 的秩 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式D ，且所有的r ＋1阶子式（如果有的话）全等于零，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记为)(A rank ，简记为()A r 。 定义3 满秩阵 设A 为n 阶方阵，若()A r ＝A ，则称A 为满秩阵。 3.1.2 矩阵秩的性质 （1）()();A r A r T = （2）()(),A r A r =λ其中0≠λ； （3）()0=A r 等价于0=A ； (4)()()n m A r n m ,m in ≤?； （5）设A ，B 为同阶矩阵，则 ()()()B r A r B A r +≤+ （1） 设A 为n m ?矩阵，B 为s n ?矩阵，则 ()()()() ()()()n B r A r AB r B r A r AB r -+≥≤,min 特别当AB ＝0时，()()n B r A r ≤+成立。 （7）()()()()()()B r A r B D A r B r A r B C A r B r A r B A r +≥?? ????+≥??????+=??????0000 3.1.3 矩阵秩的有关结论 （1）初等变换不改变矩阵的秩，即 若A ∽B,则()()B r A r =

（2）矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当A 可逆时，有 ()()B r AB r =；()()B r BA r = (3) 设A 为n 阶方阵，则其转置伴随阵的秩为 () ()()()?? ? ??-≤-===2 011 *n A r n A r n A r n A r (4)设A 为方阵，则()n A r A =?≠0。 3.1.4 矩阵秩的求法 （1）用定义求矩阵的秩。 （2）用初等变换法求矩阵的秩。 （3）用性质求矩阵的秩。 （4）用有关结论求矩阵的秩。 （5）用齐次线性方称组的基础解系讨论矩阵的秩。 3.1.5 系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 问题：求b Ax =的解，其中0≠A 。 方法（1） 克莱娒法则 ()n i A D x i i ,2,1== ，其中i D 为右端列b 取代A 的第i 列所构成的行列式。 方法（2）逆矩阵法 b A x 1 1 --=，其中A A A *1 =-或用()()1-?→?A I I A 行求1 -A 。 方法（3） G 法 将增广矩阵()b A 经过行初等变换化为行梯形阵，回代求解。 方法（3）G －J 法 将增广矩阵()b A 经过行初等变换化为行标准形后得解。 3.1.6 齐次线性方程组 0=?x A n m （1）齐次线性方程组有解的条件 0=x 为0=Ax 的平凡解。 当()n A r =时，0=Ax 只有零解。 ()n A r 时，0=Ax 有含()A r n -个参数的无穷多组解。 注0=Ax 有非零解()n A r ?。 （2）齐次线性方程组解的求法

第三章空间向量与立体几何

第三章空间向量与立体几何综合测试题 时间：120分钟 满分：150分 学号： 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则可能使//l α的是（ ） A. ()()1,0,0,2,0,0a n ==- B. ()()1,3,5,1,0,1a n == C. ()()0,2,1,1,0,1a n ==-- D. ()()1,1,3,0,3,1a n =-= 2.已知向量(0,2,1),(1,1,2),==--a b 则a b 与的夹角为 （ ） A ．0° B ．45° C ．90° D ．180° 3．已知向量AM ＝(0，1，21)，＝(－1，2 1 ，1)，则平面AMN 的一个法向量是( ) A ．(－3，－2,4) B ．(3,2，－4) C ．(－3，－2，－4) D ．(－3,2，－4) 4．若{} ,,a b c 构成空间的一组基底，则( ) A. ,,b c b c a +-不共面 B. ,,2b c b c b +-不共面 C. ,,b c a a b c +++不共面 D. ,2,a c a c c +-不共面 5．在四面体OABC 中，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N 为BC 的中点，若OG ????? =1 3 OA ????? +x 4 OB ????? +x 4 OC ????? ，则使G 与M 、N 共线的x 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 3 D. 4 3 6.如图1，在三棱锥A -BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB=DC ，E 为BC 中点，则AE ????? ·BC ????? 等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7.若a ＝（a 1，a 2，a 3），b ＝（b 1，b 2，b 3），则 11b a ＝22 b a ＝3 3b a 是a ∥b 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 8.已知a =（-2，1，3），b ? =（-1，2，1），若a ⊥(a -λb ? )，则实数λ的值为（ ） A.-2 B.-143 C.14 5 D.2 9.在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，平面OAB 的法向量为n =（2，-2,1），O 为坐标原点．已知P （﹣1，﹣3，8），则 P 到平面OAB 的距离等于（ ） A ．4 B ．2 C ．3 D ．1 10.把矩形ABCD 沿对角线BD 折成二面角A -BD -C ，若AB=1，3,7 2 AC =,则平面ABD 与平面BCD 夹角为 （ ） A 030 B 060 C 090 D 0120

第三章 空间向量与立体几何2

第三章综合素质检测 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．下列说法中不正确的是( ) A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量 B ．一个平面的所有法向量互相平行 C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D ．如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 [答案] D [解析] 只有当a 、b 不共线且a ∥α，b ∥α时，D 才正确． 2．在下列条件中，使M 与不共线三点A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 [答案] C [解析] ∵点M 在平面ABC 内，∴对空间任一点O ，有OM →＝xOA → ＋yAB →＋zAC → 且x ＋y ＋z ＝1，故A 、B 、D 均不对． 3．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α) ，且a ∥ b 则

向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．90° B ．60° C ．30° D ．0° [答案] A [解析] ∵|a |2＝2，|b |2＝2， (a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )． 4．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB →⊥AC → ，则λ等于( ) A ．28 B ．－28 C ．14 D ．－14 [答案] D [解析] AB →＝(－2，－6，－2)，AC → ＝(－1,6，λ－3)， ∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝2×1－6×6－2(λ－3)＝0， 解得λ＝－14，故选D. 5．已知向量e 1、e 2、e 3是两两垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2 －e 3，b ＝e 1＋2e 3，则(6a )·(12b )等于( ) A ．15 B ．3 C ．－3 D ．5 [答案] B [解析] (6a )·(1 2b )＝3a ·b ＝3(3e 1＋2e 2－e 3)·(e 1＋2e 3)＝9|e 1|2－6|e 3|2 ＝3. 6．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为 a ，设AB → ＝a ，

线性代数向量空间自测题(附答案)

《第四章 向量空间》 自测题 （75分钟） 一、选择、填空（20分，每小题4分） 1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R 上一个向量空间的是（ ）。 （A ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，分量是整数的所有向量； （C ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量； （D ）R n 中，分量满足x 1=1，x 2，…，x n 可取任意实数的所有向量。 2．设R 4 的一组基为,,,,4321αααα令 414433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=， 则子空间}4,3,2,1,|{44332211=∈+++=i F k k k k k W i ββββ的维数为 ，它的一组基为 。 3. 向量空间R n 的子空间 },0|)0,,,,{(1121121R x x x x x x x W n n ∈=+=-- 的维数为 ， 它的一组基为 。 4. 设W 是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即?? ? ???????∈???? ??=R a a a a a W ij 2212 1211，则它的维数为 ，一组基为 。 5．若A=????? ? ? ?????? ?? ? - 10 0021021b a 为正交矩阵，且|A|=－1，则a = ，= 。 二、计算题（60分） 1.（15分）设R 3的两组基为： T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ααα和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===βββ， 向量α=（2，3，3）T （1）求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵。 （2）求α关于这两组基的坐标。 （3）将321,,βββ化为一组标准正交基。 2. （15分）在R 4 中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基，

高二数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案

第三章 空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算 §3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算 1. 下列命题中不正确的命题个数是( ) ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0； ②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。 A .1 B .2 C .3 D .4 2.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( ) A .（ 41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，3 2 ） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则 4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则 EF =_____________. 5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值. §3.1.3空间向量的数量积运算 1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A . 1010 B . 15 C .31010 D . 3 5 2．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ?=， _ _ D _ A _ P _ N _ B _ M

线性代数 向量空间

第五节 向量空间 分布图示 ★ 向量空间 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 子空间 ★ 例6 ★ 例7 ★ 向量空间的基与维数 ★ 例8 ★ 例9 ★ 向量在基下的坐标 ★ 例10 ★ 关于集合的坐标系的注记 ★ 例11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-5 内容要点 一、向量空间与子空间 定义1 设V 为n 维向量的集合,若集合V 非空,且集合V 对于n 维向量的加法及数乘两种运算封闭, 即 (1) 若,,V V ∈∈βα则V ∈+βα; (2) 若,,R V ∈∈λα则V ∈λα. 则称集合V 为R 上的向量空间. 记所有n 维向量的集合为n R , 由n 维向量的线性运算规律,容易验证集合n R 对于加法及数乘两种运算封闭. 因而集合n R 构成一向量空间, 称n R 为n 维向量空间. 注：3=n 时, 三维向量空间3R 表示实体空间; 2=n 时, 维向量空间2R 二表示平面; 1=n 时, 一维向量空间1R 表示数轴. 3>n 时, n R 没有直观的几何形象. 定义2 设有向量空间1V 和2V , 若向量空间21V V ?, 则称1V 是2V 的子空间. 二、向量空间的基与维数 定义3 设V 是向量空间, 若有r 个向量V r ∈ααα,,,21 , 且满足 (1) r αα,,1 线性无关; (2) V 中任一向量都可由r αα,,1 线性表示. 则称向量组r αα,,1 为向量空间V 的一个基, 数r 称为向量空间V 的维数,记为r V =dim 并称V 为r 维向量空间. 注: (1) 只含零向量的向量空间称为0维向量空间, 它没有基; (2) 若把向量空间V 看作向量组,则V 的基就是向量组的极大无关组, V 的维数就是向量组的秩; (3) 若向量组r αα,,1 是向量空间V 的一个基,则V 可表示为 }.,,,,|{2111R x x V r r r ∈++==λλλαλαλ 此时, V 又称为由基r αα,,1 所生成的向量空间. 故数组r λλ,,1 称为向量x 在基r αα,,1 中的坐标. 注: 如果在向量空间V 中取定一个基r a a a ,,,21 , 那么V 中任一向量x 可惟一地表示为 ,2211r r a a a x λλλ+++= 数组r λλλ,,,21 称为向量x 在基r a a a ,,,21 中的坐标.

第三章 空间向量与立体几何单元总结(解析版)

第三章 空间向量与立体几何单元小结 [核心速填] 1．空间向量的有关定理和推论 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共线向量定理的推论：若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA → ＋μOB → ，且λ＋μ＝1. (3)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b . (4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，则P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → (其中x ＋y ＋z ＝1)． (5)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 2．空间向量运算的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)， λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)， a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)重要结论： a ∥ b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ?a ·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 3．模、夹角和距离公式 (1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 ①|a |＝a ·a ②cos 〈a ，b 〉＝ a ·b |a ||b |＝(2)设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则 d AB ＝|AB → |4．空间向量的结论与线面位置关系的对应关系 (1)设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)， 则l ∥α?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α?u ∥v ?u ＝k v ?(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2(k ∈R )．

高中数学第三章空间向量与立体几何空间向量基本定理学案苏教版选修

空间向量基本定理 学习目的： ⒈了解空间向量基本定理及其推论； ⒉理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出 ⒊学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联系的观点看待事物． 学习重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论） 学习难点：空间作图． 学习过程： 一、复习引入： 1.空间向量的概念： 2.空间向量的运算 3.平面向量共线定理 4.共线向量 如果 ， 则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直 线，也可能是平行直线． 5.共线向量定理： . 6.向量与平面平行： . 7.共面向量定理： . 二、讲解新课： 1.空间向量基本定理： 证明：（存在性） （唯一性）

说明: (1)若三向量123,,e e e 不共面,则所有空间向量组成的集合是123,,}{|,e e e x y z R p p x y z ∈=++，这个集合可以看作由向量123,,e e e 生成的,所以我们把123,,{}e e e 叫做空间的一个基底，123,,e e e 叫做基向量; (2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底; (3)若空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底.特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用,,{}i j k 表示. 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++ 三、讲解范例： 例1、在正方体'''B D CA OADB -中，点E 是AB 与OD 的交点，M 是'OD 与CE 的交点，试 分别用向量OC OB OA ,,表示向量.,'OM OD 例2、已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG ，MG