高等数学作业集答案第八章
第八章 空间解析几何与向量代数
§8.1向量及其线性运算 1.填空题
（1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）.
（2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）.
2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角.
解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=
M M ，方向余弦为2
2cos =
α，
2
2cos =
β，0cos =γ，方向角为4
π
α=，4
π
β=
， 2
π
γ=
.
3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则
2
22222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ，
即?????-+-+=-+-+-+=-+2
2222
2)
3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点
为)3,3,0(.
4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式.
解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为
29)
4(32||2
2
2
=
-++=
a ，所以)432(29
1k j i e a -+±
=.
5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量.
解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为
9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为
k k a z 7-=.
6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.
解：设所求的点为),,0(z y P ，由||||||CM BM AM ==可得
?????-+++=+-++-+=-+-+2
22222
222222)
1()1(1)1(2)1(2)1()2(1z y z y z
y z y ，解之得21=y ，0=z 故所求的点为)0,2
1,
0(.
7. 已知点)6,2,1(-B 且向量AB 在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-，求点A 的坐标.
解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-.
8.试用向量法证明：三角形各边依次以同比分之，则三个分点所成的三角
形必与原三角形有相同的重心.
证明：若),,(111z y x A 、),,(222z y x B 、),,(333z y x C 是一个FGH ?的三个
顶
点，设
三角形的重心为E ，则
),,(3
1)(3
1321321321z z z y y y x x x C B A E ++++++=
++=
设ABC ?的同比n
m 之分点分别为F 、G 、H ，分点的坐标为
),
,
(
2
12
12
1m
n mz nz m
n my ny m
n mx nx F ++++++
),
,
(
3
23
23
2m
n mz nz m
n my ny m
n mx nx G ++++++
),,(
1
31313m
n mz nz m n my ny m n mx nx H ++++++
则三角形FGH ?的重心为
,
(
)(3
11
33
22
1m
n mx nx m
n mx nx m
n mx nx H G F +++
+++
++=++)
,1
33221133
22
1m
n mz nz m n mz nz m n mz nz m n my ny m
n my ny m
n my ny +++++++++++
+++
++),,(3
1321321321z z z y y y x x x ++++++=
.
所以三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心.
§8.2 数量积 向量积
1.若3
),(,4||,3||π
===Λ
b a b a ，求b a
c 23-=的模.
解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2
?+?-?-?=-?-=
73443
cos
431239||412||92
2
2
2
=?+???-?=+?-=π
b b a a
所以73||=
c .
2.已知||||b a b a -=+，证明：0=?b a .
证明：由||||b a b a -=+，可得22||||b a b a -=+，可知
)
()()()(b a b a b a b a -?-=+?+，展开可得
b a b a b a b a ?-+=?++2||||2||||2
2
2
2
，即04=?b a ，故0=?b a .
3.已知20||,18||,10||=+==b a b a ，求||b a -. 解：因为
b a b a b a b a b a b a ?++=?++=+?+=+=23241002||||)()(||4002
2
2
所以242-=?b a ，)()(||b a b a b a -?-=
-b a b a ?-+=2||||2
2
7824324100=++=
.
4.已知)4,2,1(=a ，)3,3,3(-=b ，求a 与b 的夹角及a 在b 上的投影.
解：934)3(231=?+-?+?=?b a ，
7
79
9916419
cos =
++?
++=θ，7
7arccos
=θ.
因为
a j
b b a b Pr ||=?，所以33
39Pr ==
a j
b .
5.已知a ,b ,c 为单位向量，且满足0=++c b a ，计算a c c b b a ?+?+?.
解：因为0)()(=++?++c b a c b a ，所以
0222||||||2
2
2
=?+?+?+++a c c b b a c b a ，
而1||||||2
22===c b a ，所以2
3-
=?+?+?a c c b b a .
6.求与k j i b k j i a 32,2-+=++=都垂直的单位向量. 解：
k
j i k j i k j i
b a
c 3571
2
213
2
113
1
123
1
2
121
-+-=+
--
-=
-=?=而83)
3(5)7(||2
2
2
=
-++-=c ，所以)3,5,7(83
1--±
=c e .
7.设)(8,186,5b a CD b a BC b a AB -=+-=+=，试证A 、B 、D 三
点共线.
证明：只需证明BD AB //.
因为AB b a b a CD BC BD 2)5(2102=+=+=+=，所以BD AB //.
8.已知)3,2,1(-=a ，=b )0,,2(m ，)9,3,9(-=c （1）确定m 的值，使得b a +与c 平行.
（2）确定m 的值，使得b a -与c 垂直.
解：（1）要使b a +与c 平行，只需0=?+c b a )(，因为
b a +)3,2,3(-=m ，而
c b a ?+)
()99,0,99(3
2m m m j --=--=， 所以当1=m 时b a +与c 平行.
（2）要使b a -与c 垂直，只需0)(=?-c b a ，因为b a -)3,2,1(---=m ，而c b a ?-)(24327639)9,3,9()3,2,1(+=+++-=-?---=m m m ，所以当8-=m 时，b a -与c 垂直.
§8.3 曲面及其方程 1.填空题
（1）将xOz 坐标面上的抛物线x z 42
=绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（x y z 42
2=+），绕z 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（2
2
2
4y x z +=）.
（2）以点)2,3,2(-为球心，且通过坐标原点的球面方程为
（17)2()3()2(222=-+++-z y x ）.
（3）将xOy 坐标面的圆422=+y x 绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面
的方程为（4222=++z y x ）.
2.求与点)1,2,1(A 与点)2,0,1(B 之比为2:1的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.
解：设动点为),,(z y x P ，由于2:1||:||=PB PA ，所以
2
222
2
2
)
2()0()1()
1()2()1(2-+-+-=-+-+-z y x z y x ，解之，
可得
1941663332
2
2=+---++z y x z y x ，
即
9
20)32()3
8()1(2
2
2
=
-
+-+-z y x ，所以所求的动点的轨迹为以点
)32,38,
1(为心，半径为3
5
2的球面. 3.求与点)3,1,2(和点)4,2,4(等距离的动点的轨迹. 解：设动点为),,(z y x P ，由题意知
2
222
2
2
)
4()2()4()
3()1()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x ，
整理得0112=-++z y x .
4. 写出下列曲面的名称，并画出相应的图形. （1）259916222-=--z y x . 解：该曲面为单叶双曲面. （2）259916222=--z y x . 解：该曲面为双叶双曲面. （3）
125
4
2
2
2
=+
+z
y x .
解：该曲面为旋转椭球面. （4）x y x 92
2
=-. 解：该曲面为双曲柱面. （5）x z y 92
2
=+. 解：该曲面为椭圆抛物面.
（6）0)3()2()1(42
2
2
=---+-z y x . 解：该曲面为椭圆锥面.
§8.4 空间曲线及其方程 1. 填空题
（1）二元一次方程组??
?-=+=3
412x y x y 在平面解析几何中表示的图形是（两相
交直线的交点)5,2(）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于z 轴且过点)0,5,2(）.
（2）旋转抛物面)20(22≤≤+=z y x z 在xOy 面上的投影为
（?
??=+=22
2z y x z ），在x O z 面上的投影为（22
≤≤z x ）
，在y O z 面上的投影为（22
≤≤z y ）.
2.求球面42
22=++z y x 与平面1=+z x 的交线在x Oy 面上的投影方程.
解：将x z -=1代入4222=++z y x ，得4)1(2
22=-++x y x ，因此
投影方程为??
?=+-=3
2202
2
y
x x z .
3.分别求母线平行于x 轴、y 轴及z 轴且通过曲线?????=+-=++0
24
2222222z y x z y x 的
柱面方程.
解：在?????=+-=++024*******z y x z y x 中消去x 得4322=-z y ，即为母线平行于x 轴
且通过曲线的柱面方程.
在?????=+-=++0
2422222
22z y x z y x 中消去y 得45322=+z x ，即为母线平行于y 轴且
通过曲线的柱面方程.
在?????=+-=++0
242222222z y x z y x 中消去z 得8522=+y x ，即为母线平行于z 轴且
通过曲线的柱面方程.
4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：
（1）???-==++-1
4)1(222x y z y x .
解：将1-=x y 代入4)1(222=++-z y x 得4)1(22
2=+-z x ，即
14
)
2()1(2
2
2
=+
-z
x . 令θcos 21=-x ，θsin 2=z ，所求的参数方程为
???
?
???==+=θθ
θsin 2cos 2cos 21z y x . （2）?????=+=++4
9222
22z x z y x .
解：做变换???==θ
θsin 2cos 2z x ，将其带入方程9222=++z y x ，即得52
=y . 所
以参数方程为??
?
??=±==θθ
sin 25cos 2z y x （πθ20≤≤）.
5.求螺旋线??
?
??===θθθ3sin 2cos 2z y x 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.
解：螺旋线在xOy 面上的投影为
??
?
??===0
sin 2cos 2z y x θθ
，直角坐标方程为??
?==+0422z y x . 螺旋线在yOz 面上的投影为
??
???===03sin 2x z y θ
θ，直角坐标方程为?????
==0
3sin
2x z y .
螺旋线在zOx 面上的投影为
??
???===03cos 2y z x θ
θ，直角坐标方程为?????==0
3cos
2y z x . 6.画出下列方程所表示的曲线：
（1）???==++1
16
4222z z y x .
（2）?????=-+=+1
)2(222
2y x y
z x .
（3）??
?
??==-4116
422y z
x . §8.5 平面及其方程 1. 填空题
（1）一平面过点)4,1,1(-且平行于向量)1,1,2(-=a 和)1,0,1(=b ，平面的点法式方程为（0)4()1(3)1(=+----z y x ）,平面的一般方程为
（023=---z y x ）,平面的截距式方程（12
2
3
2=-+
-
+z y x ）,平面的
一个单位法向量为（
)1,3,1(11
11-）.
（2）设直线L 的方程为???=+++=+++00
2222
1111D z C y B x A D z C y B x A ，当（021==D D ）
时，直线L 过原点；当（021==A A ）且（01≠D 或02≠D 有一个成立）时，直线L 平行于x 轴但不与x 轴相交；当（
2
12
1D D B B =）时，直线L 与y
轴相交；当（02121====D D C C ）时，直线L 与z 轴重合. 2.求过三点)1,1,1(-，)3,1,3(-和)2,1,0(的平面方程. 解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为
1
3131
3121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------1
21
11
013111
3111
-+---+--+-=z y x 1
2
1
4221
11---+-=
z y x =0，即0735=-++z y x . 3.求过点)1,1,1(-且垂直于两平面02=-+z y x 和052=+-z y x 的平面
方程.
解：该平面的法向量为k j i k
j i
375
2
1
211
--=--，平面的方程为0)1(3)1(7)1(=--+--z y x ，即0537=---z y x .
4.求点)1,2,1(到平面01022=-++z y x 的距离.
解：点),,(0000z y x P =到平面0=+++D Cz By Ax 的距离公式是
2
2
2
00
0|
|C
B A D Cz By
ax d +++++=
，因此点)1,2,1(到平面0
1022=-++z y x 的距离为12
21|
10122211|2
2
2
=++-?+?+?=
d .
5.求平面052=-+-z y x 与各坐标面的夹角的余弦.
解：所给平面的法向量为)1,2,1(-=n ，设该平面与xOy 面、yOz 面和zOx 面的夹角为z θ、x θ和y θ，于是
=
z θcos |
|||n k n ?6
11
)2(1|110201|2
2
2
=
+-+?+?-?=
，
=
x θcos ||||n i n ?611
)2(1|010211|2
2
2
=
+-+?+?-?=
，
=
y θcos |
|||n j n ?6
21
)2(1|011201|2
2
2
=+-+?+?-?=
.
6.求过点)5,4,1(-且在三个坐标轴上的截距相等的平面的方程.
解：设所求平面的方程为
1=+
+
a
y a
y a
x ，由于点)5,4,1(-在平面上，则
1541=+
-+
a
a
a
，2=a ，所求方程为02=-++z y x .
7.分别按下列条件求平面方程：
（1）平行于yOz 平面且经过点)2,3,2(--；
（2）通过y 轴和点)1,1,2(-；
（3）求平行于x 轴，且经过两点)2,1,2(-和)1,0,4(-的平面方程. 解：（1）yOz 平面的法向量是)0,0,1(=n ，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为0)2(0)3(0)2(1=+?++?+-?z y x ，即2=x .
（2）所求平面的法向量即垂直于y 轴又垂直于向量)1,1,2(-=n ，所以所
求平面的法向量为k i k
j i 20
1
112
+-=-，因此所求平面的方程为0)1(2)1(0)2(1=-?++?+-?-z y x ，即02=-z x .
（3）由于所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为0=++D Cz By . 将
点)2,1,2(-和)1,0,4(-分别代入0=++D Cz By 得02=+-D C B 及0=+-D C ，解得D C =及D B =. 因此所得方程为0=++D Dz Dy ，
即01=++z y . §8.6 空间直线及其方程 1. 填空题 （1）直线4
2
1z y x =-=
和平面442=+-z z x 的关系是（平面与直线互相
垂直）.
（2）过点)0,1,1(-且与直线3
21
12
3-+=-=-z y x 平行的直线的方程是
（
3
1
12
1-=
+=-z y x ）.
（3）直线
1
82
51
1+=
--=
-z y x 与直线???=+=-3
26z y y x 的夹角为（3π
）.
2.化直线??
?=++=+-5
22z y x z y x 为对称式方程和参数方程.
解：直线的方向向量为k j i k
j i
n n s 321
1
2
111
21++-=-=?=. 取10=x ，代入直线方程可得10=y ，20=z . 所以直线的对称式方程为
3
21
12
1-=
-=
--z y x .
令t z y x =-=-=--321121，所给直线的参数方程为??
?
??+=+=-=t
z t y t
x 32121. 3.求过点)3,0,2(且与直线??
?-=-+=+-1
253742z y x z y x 垂直的平面方程.
解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即
21n n n ?=)11,14,16(2
5
3
421
-=--=k j i
.
所求平面的方程为0)3(11)0(14)2(16=-+-+--z y x ，即
01111416=+--z y x .
4. 求直线???=---=-+-01023z y x z y x 与直线???=-+=+-+0
120
2z y z y x 夹角的余弦.
解：因为两直线的方向向量为k j i k
j i
n 2241
1
1
131
1++=---=，k j i k
j i n +-=-=232
1
0111
2，设两直线的夹角为θ，则422151
)2(32
24|122234|cos 2
222
2
2
=
+-+++?+?-?=
θ.
5. 求点)5,1,2(P 在直线:L
1
3
11
1-=-=
-z y x 上的投影.
解：过)5,1,2(P 作垂直于已知直线L 的平面∏，则其法向量)1,3,1(-=n ，于是平面的方程为0)5()1(3)2(=---+-z y x ，即03=-+z y x .
将已知直线的参数方程??
?
??-=+=+=t
z t y t
x 311代入03=-+z y x ，可得114-=t ，因
此点)5,1,2(P 在直线L 上的投影即为平面∏与直线L 的交点
)114
,111,
117
(
-.
6. 求直线:L ???=---=+-0
83032z y x z y x 在平面:∏12=+-z y x 上的投影直线
的方程.
解：设所给直线L 的平面束方程为0)83(32=---++-z y x z y x λ，
即
08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，其中λ为待定常数，要使该平
面与已知平面∏垂直，则有0)1()3()32(2=-++++λλλ，解得3
4-
=λ，将其代入08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，可得
32756=-+z y x ，因此直线L 在平面∏上的投影直线方程为
?
?
?=+-=-+1232
756z y x z y x . 7.确定λ的值，使直线:L ??
?=-+=-+0
2012z x y x 与平面1:=-+∏z y x λ平行，
并求直线L 与平面∏之间的距离.
解：直线L 的方向向量n k j i k
j i --==21
1
012
，要使直线L 与平面∏平行，只要0=?s n （其中=s )1,,1(-λ为平面∏的法向量），即0121=+-λ，解得1=λ. 令10=x ，代入直线L 的方程可得10-=y ，
1
0=z ，直线L 与平
面∏之间的距离
3
32)
1(11|
1)1(11111|2
2
2
=-++--?+?-?=
d .
8.求通过直线???=-++=-+-0
2201:z y x z y x L 的两个互相垂直的平面，其中一个平
面平行于直线
1
11
12
1-=
-+=
-z y x .
解：设平面束方程为0)22(1=-+++-+-z y x z y x λ，即
012)1()1()12(=--++-++λλλλz y x ，=n )1,1,12(+-+λλλ.
设平行于直线
1
11
12
1-=
-+=
-z y x 的平面为1∏，由
0)1()1(2)12(=++--+λλλ，可知1-=λ，令10=x ，代入直线L 的
方程，可得000==z y 平面1∏的方程为02)1(=---y x ，即
12=-+y x . 设垂直于平面1∏的平面为2∏，由
0)1(2)12(=-++λλ，可得4
1=
λ，平面2∏的方程为
04
54
3)1(2
3=+
-
-z y x ，即06536=-+-z y x .
第八章 空间解析几何与向量代数综合练习 1.填空题：
（1）已知1||=a ，2||=b ，且a 与b 夹角为3
π
θ=
，则=-||b a （3）.
（2）若向量)1,2,1(-=a ，=b ),,3(μλ-平行，则=),(μλ（)3,6(-）. （3）已知向量OM 的模为10，且与x 轴的夹角为
6
π
，与y 轴的夹角为
3
π
，
与z 轴的夹角为锐角，则OM =（) 0 5, , 3(5）.
（4）曲线??
?
??===θθθ
b z a y a x sin cos (a 、b 为常数)在xOy 平面上投影曲线是
（???==+0
222z a y x ）.
（5）xOy 平面上曲线16422=-y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程是
（16)(4222=+-z y x ）. （6）直线
p
z z n
y y m
x x 1
1
1-=-=-与平面0=+++D Cz By Ax 的夹角θ
的正弦=θsin （
2
222
2
2
C
B A p
n m pC
nB mA ++++++）.
（7）方程y z x =-22所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.
（8）与两直线??
?
??+=+-==t
z t y x 122
及112212-=-=+z y x 都平行，且过原点的平面方程是（0=+-z y x ）.
（9）已知动点),,(z y x P 到yOz 平面的距离与点P 到点)2,1,1(-的距离相等，则点P 的轨迹方程为（012)2()1(2
2
=++-+-x z y ）.
（10）与两平面012=--+z y x 和032=+-+z y x 等距离的平面方程为（012=+-+z y x ）.
2. 设k i a -=，k j i b ++=，求向量c ，使得b c a =?成立，这样的c
有多少个，求其中长度最短的c .
解：设=c ),,(z y x ，则 c a
?k y j x z i y z
y
k
j ++-=-=)(10，则1,1-=+=x z y ，因此这样的c )1,1,(x x --=，有无穷个.
由于||c 2
3)2
1(2)
1(12
2
2+
+
=--++=
x x x ，因此，当2
1-
=x 时，
即c )2
1,1,2
1(-
-=长度最短.
3. 已知点)0,1,1(A 和点)2,1,0(B ，试在x 轴上求一点C ，使得ABC ?的面积最小.
解：设)0,0,(x C ，则)2,0,1(-=AB ，)0,1,1(--=x AC
，
k j x i x j i
AC AB +-+=---=
?)1(221
1
01，故A B C ?的面积为
1)]1(2[22
1||2
12
2+-+=
?=
x AC AB S ，
显然，当1=x 时，ABC ?的面积最小，为
2
5，所求点为)0,0,1(.
4. 求曲线???
??+==+-2
22
2242y
x z z y x 在各坐标平面上的投影曲线方程.
解：在xOy 平面投影为???==-04
222z y x ；在y O z 平面投影为
??
?==-043222x y z ；在zOx 平面投影为???==-0
4
322y z x . 5.求原点关于平面:∏0=+++D Cz By Ax 的对称点的坐标.
解：过原点作垂直于平面0=+++D Cz By Ax 的直线，该直线的方向向
量等于平面∏的法向量),,(C B A ，所求直线的对称式方程为
C z B y A x ==，即??
???===Ct
z Bt y At
x 为其参数方程. 将此参数方程代入平面∏，有0)(2
22=+++D t C B A ，解得2
2
2
C
B
A D t ++-=
，即直线与平面的交
点为),
,
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
B
A CD C
B
A BD C
B
A AD ++-++-++-. 设所求的对称点
为),,(000z y x ，则
2
2
2
02
0C
B
A AD x ++-=
+，
2
2
2
02
0C
B
A BD y ++-=
+，
2
2
2
02
0C
B
A CD z ++-=
+，即所
求的对称点为
)2,
2,
2(
2
222
2
2
2
2
2
C
B A CD
C B A BD
C B
A AD ++-++-++-.
6.求直线1
1
111:--==-z y x L 在平面012:=-+-∏z y x 上的投影直线绕x 轴线转一周所成曲面的方程.
解：过L 作垂直于平面∏的平面0∏，所求的直线L 在平面∏上的投影就是平面∏和0∏的交线. 平面0∏的法向量为：
k j i k
j i
n 232
1
1
121
0--=--=，则过点),,(101的平面0∏的方程为： 0)1(23)1(=----z y x ，即0123=+--z y x . 所以投影线为
?
?
?=+--=-+-01230
12z y x z y x . 将投影线表示为以x 为参数的形式：
????
?
--==)
12(212x
z x y ，则绕x 轴的旋转面的方程为
222
2
)]12
(21[)2(--+=+x x z
y ，即041616452
22=+---z y x x . 7.求球心在直线1
1
212--==-z y x 上，且过点)1,2,1(-和点)1,2,1(--的球面方程.
解：设球心为),,(z y x ，则
2
22222)1()2()1()1()2()1(-++++=++-+-z y x z y x ，即 02=-+z y x .
又因为球心在直线上，直线的参数方程为??
?
??-==+=t z t y t
x 122，将直线的参数方程
代入02=-+z y x ，可得61-=t ，球心坐标为)6
7,31,611(
-，所求球面方程为6
65)6
7()3
1()6
11(2
2
2
=
-
++
+-
z y x .
8.已知两条直线的方程是1
42
21
1:
1--=+=-z y x L ，1
12
2:
2z y x L =
-=
-，求过1L 且平行于2L 的平面方程.
解：因为所求平面过1L ，所以点)4,2,1(-在平面上. 由于平面的法向量垂
直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为k j i k
j i
4321
2
121
--=-. 因此所求平面的方程为0)4(4)2(3)1(2=--+--z y x ，即
08432=+--z y x .
9. 在过直线??
?=++=+++0
201z y x z y x 的所有平面中，求和原点距离最大的平面.
解：设平面束方程为0)2(1=++++++z y x z y x λ，即
01)1()1()12(=++++++z y x λλλ，平面与原点的距离为
3
1)32(61)
1()1()12(|
10)1(0)1(0)12(|2
2
2
2
+
+
=
++++++?++?++?+=
λλλλλλλd
要使平面与原点的距离最大，只要3
2-
=λ，即该平面方程为
03=---z y x .
10. 设两个平面的方程为052=---z y x 和062=--+z y x （1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程. （3）求通过两个平面的交线，且和yOz 坐标面垂直的平面方程.
解：（1）两个平面的法向量为)1,1,2(1--=n 和)2,1,1(2-=n ，设两个平面的夹角为θ，则
2
1)
2(111
)1(2|)2()1(1112||
|||||cos 2
222
2
2
2121=
-+++-+-?-+?-?=
?=
n n n n θ，
所以3
π
θ=
.
（2）因为角平分面上任意一点),,(z y x 到两个平面的距离相等，由点到平
面的距离公式，可得
2
2
2
2
2
2
)
2(11|62|)
1()1(2|52|-++--+=
-+-+---z y x z y x ，即
)62(52--+±=---z y x z y x ，所求的角平分面方程为
12=+-z y x 或1133=-z x .
（3）设通过两个平面的交线的平面方程为
)62(52=--++---z y x z y x λ，即0)65)12()1()2(=--+--++λλλλz y x ，由于该平面垂直于yOz 坐
标面，所以00)12(0)1(1)2(=?+-?-+?+λλλ，可得2-=λ，因此所求的平面方程为0733=--z y .
11. 求直线
3
2
1
z y x =
-=
绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程.
解：由于空间曲线???
??===)()()
(t z z t y y t x x )(+∞<<-∞t 绕z 轴旋转所得旋转曲面的方
程为??
?=+=+)
()()(2
222t z z t y t x y x )(+∞<<-∞t ，消去参数t 即可. 此直线的参数方程为 ???
??=-==t z t y t x 32，故该直线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方
程为???=-+=+t
z t t y x 3)2()(2
222，消去参数t ，旋转曲面的方程为
2
2
29
5z y
x =
+.
12. 画出下列各曲面所围立体的图形：
（1）0,0,0,12643====++z y x z y x . （2）2,222=+=z y x z . （3）2
2224,y x z y x z --=+=. （4）2
222,2y x z y x z +=--=
.
（5）222y x z +=，2
2x z -=. （6）2x y =，0=z ，y z =，1=y .
兰州大学高等数学课程作业题及答案
兰州大学高等数学课程作业题及答案一单选题 1. 图片3-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D)
2. 图片443 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (D) 标准答案： (B) 3. 图片363 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D)
4. 图片2-9 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (C) 标准答案： (C) 5. 图片1-4 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (B) 标准答案： (B) 6. 图片3-14 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0
用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B) 7. 图片4-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (B) 标准答案： (A) 8. 图片2-1 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A) 9. 图片4-9 (A) (B) (C)
(D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 10. 图片238 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 11. 图片241 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0
高等数学作业上-1 (答案)
第一章函数 极限 连续 §1函数 1． 解：（1） 要使24sin x -有意义，必须.2,042≤≥-x x 即使所以定义域为[-2，2]. （2）当时，且1 3≠≠x x 3 41 2+-x x 有意义;而要使2+x 有意义，必须,2-≥x 故函数 的定义域为：).,3()3,1()1,2[+∞-、、 （3）,1010.101110ln 110ln arccos e x e e x e x x ≤≤∴≤≤≤≤-，即有意义，则使要使即 定义域为].10,10 [ e e （4）要使)1(+x tg 有意义，则必有.,2,1,0,2 1 ±±=+≠ +k k x ππ ;即函数定义域为 .,2,1,0,12? ?? ?? ?±±=-+≠∈ k k x R x x ππ且 （5）当有意义，时有意义；又当时x arctg x x x 1 033≠-≤故函数的定义域为： ].3,0()0(、，-∞ （6）x k k x k sin )2,1,0()12(2时当 ±±=+≤≤ππ有意义；有要使216x -有意义， 必须有.44≤≤-x 所以函数的定义域为：].,0[],4[ππ、 -- 2． .2)2 1(,2)21 (,2)0(,1)2(,2)3(2 1-=-====f f f f f 3． 解：3134,34)]([22≤≤-+--+-= x x x x x x g f 有意义；必须因此要使， 即[])(x g f 的定义域为[1，3]。 4．解? ?? ??>-=<=???? ???>-=<=; 0,1,0,0,0, 1,1, 1,1, 0, 1,1)]([x x x e e e x g f x x x ?????????>=<==, 1,1,1,1,1,)]([) (x e x x e e x f g x f 。 5．有意义，时当)(sin 1sin 0x f x ≤≤故其定义域为).2,1,0]()12(,2[ ±±=+k k k ππ。 6．???-<++-≥+=+?? ?<+-≥-=-; 1,52, 1,32)1(;1,52, 1,12)1(2 2 x x x x x x f x x x x x x f
高等数学基础作业答案
高等数学基础第一次作业点评1 第1章 函数 第2章 极限与连续 (一)单项选择题 ⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等. A 、 2 )()(x x f =,x x g =)( B 、 2)(x x f = ,x x g =)( C 、 3 ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D 、 1)(+=x x f ,1 1)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于( C )对称. A 、 坐标原点 B 、 x 轴 C 、 y 轴 D 、 x y = ⒊下列函数中为奇函数就是( B ). A 、 )1ln(2 x y += B 、 x x y cos = C 、 2 x x a a y -+= D 、 )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数就是( C ). A 、 1+=x y B 、 x y -= C 、 2 x y = D 、 ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的就是( D ). A 、 12lim 2 2 =+∞→x x x B 、 0)1ln(lim 0 =+→x x C 、 0sin lim =∞→x x x D 、 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时,变量( C )就是无穷小量. A 、 x x sin B 、 x 1 C 、 x x 1 sin D 、 2)ln(+x 点评:无穷小量乘以有界变量为无穷小量 ⒎若函数)(x f 在点0x 满足( A ),则)(x f 在点0x 连续。 A 、 )()(lim 00 x f x f x x =→ B 、 )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C 、 )()(lim 00 x f x f x x =+→ D 、 )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= 二、填空题 ⒈函数)1ln(3 9 )(2x x x x f ++--= 的定义域就是 .}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(,则=)(x f .x x -2 ⒊=+ ∞→x x x )211(lim .21 e
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
高等数学(同济五版)第五章-定积分-练习题册
42 / 9 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 一、填空题： 在 ? +10 3 1dx x 与? +1 41dx x 中值比较大的是 ． 二、选择题(单选)： 1．积分中值定理 ? -=b a a b f dx x f ))(()(ξ，其中： (A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点． 答：( ) 2．曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ?-10)(dx ex e x ； (B) ?-e dy y y y 1 )ln (ln ； (C) ? -e x x dx xe e 1 )(； (D) ?-1 )ln (ln dy y y y ． 答：( ) 第二节 微积分基本公式 一、填空题： 1．=-? -212 12 11dx x ． 2． 0)32(0 2=-? k dx x x )0(>k ，则=k ． 二、选择题(单选)： 若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则 2 )(lim x dt t f x x ?→ (A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在． 答：( ) 三、试解下列各题： 1．设??? ??>≤+=1,2 11 ,1)(32x x x x x f ，求?20 )(dx x f ．
43 / 9 2．设?? ???><≤≤=ππ x x x x x f ,0,00,sin 21 )(，求?=x dt t f x 0 )()(?在),(∞+-∞上的表达式． 四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，? ? += x a x b t f dt dt t f x F ) ()()(．证明： (1)2)('≥x F ； (2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根． 第三节 定积分的换元法和分部积分法
高等数学同济大学第六版 第八章 单元练习题 参考答案
第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题 参考答案： 一、填空题 1.点(),,M x y z 关于x 轴的对称点为1M (),,x y z --;关于x O y 平面的对称点为 2M (),,x y z -；关于原点的对称点为3M (),,x y z ---. 2. 平行于a ={1，1，1} 若向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行，λ为 15 . 3.已知两点() 1,2,41M 和()2,0,32M ，则向量21M M 在三个坐标轴上的投影分别是 –1 2- 、 1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i - 、j 2- 、k , = 2 , 方向余弦 =αcos 21-、 =βcos 2 2-、=γcos 21 , 方向角=α 0120、 =β 0 135、 =γ 060, 与21M M 同方向的单位向量是??????--21,22,21 . 4. 已知两向量k j i a 1046+-=，k j i b 943-+=,则=+b a 2k j i 8412-+， =-b a 23k j i 482012+-,b a 23-在oz 轴上的投影为48 . 5．过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-++??=-??=-? 垂直的平面方程是340x y z --+= 二、选择题 1. 向量a 与b 的数量积?a b =（ C ）. A a rj P b a ； B ?a rj P a b ； C a rj P a b ； D b rj P a b ． 2. 非零向量,a b 满足0?=a b ，则有（ C ）． A a ∥b ; B =λa b (λ为实数)； C ⊥a b ； D 0+=a b ． 3. 设a 与b 为非零向量，则0?=a b 是（ A ）． A a ∥b 的充要条件； B a ⊥b 的充要条件; C =a b 的充要条件； D a ∥b 的必要但不充分的条件．
高等数学上册练习题
高数练习题 一、选择题。 4、1 1lim 1 --→x x x （ ）。 a 、1-= b 、1= c 、=0 d 、不存在 5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。 a 、x 1sin b 、x x sin c 、12--x d 、x ln 7、()=--→1 1sin lim 21x x x （ ）。 a 、1 b 、2 c 、0 d 、2 1 9、下列等式中成立的是（ ）。 a 、e n n n =??? ??+∞ →21lim b 、e n n n =? ?? ??++∞→2 11lim c 、e n n n =??? ??+∞→211lim d 、e n n n =?? ? ??+∞ →211lim 10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（ ）。 a 、是低阶无穷小量 b 、是同阶无穷小量 c 、是等阶无穷小量 d 、是高阶无穷小量 11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ ）。 a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 12、 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) . （A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x (B) x (C)1 ln(12) 2x + (D) x (x +2) 14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）. （A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值
（B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在 （D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0 lim ()x x f x →+ 与0 lim ()x x f x →- 存在，则（ ）. （A ）0 lim ()x x f x →存在且00 lim ()()x x f x f x →= （B ）0 lim ()x x f x →存在但不一定有00 lim ()()x x f x f x →= （C ）0 lim ()x x f x →不一定存在 （D ）0 lim ()x x f x →一定不存在 16、下列变量中（ ）是无穷小量。 0) (x e .A x 1-→ 0) (x x 1 sin .B → )3 (x 9x 3x .C 2→-- )1x (x ln .D → 17、=∞→x x x 2sin lim （ ） 2 18、下列极限计算正确的是（ ） e x 11lim .A x 0x =??? ??+→ 1x 1sin x lim .B x =∞→ 1x 1sin x lim .C 0x =→ 1x x sin lim .D x =∞→ 19、下列极限计算正确的是（ ） 1x x sin lim .A x =∞→ e x 11lim .B x 0x =??? ??+→ 5126x x 8x lim .C 232x =-+-→ 1x x lim .D 0x =→ A. f(x)在x=0处连续 B. f(x)在x=0处不连续，但有极限 C. f(x)在x=0处无极限 D. f(x)在x=0处连续，但无极限 23、1 lim sin x x x →∞ =（ ）. （A ）∞ （B ）不存在 （C ）1 （D ）0 24、221sin (1) lim (1)(2) x x x x →-=++（ ）. （A ）13 （B ）13- （C ）0 （D ）23 ) ( , 0 x 1 x 2 0 x 1 x ) x ( f . 20、 则下列结论正确的是 设
高等数学课后习题答案第六章
习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由2 5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?= 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+ 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++= 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+= 证：方程 22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-== 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y '' = + (*) 得 (1)y y x y '= -. (*)式两端对x 再求导得
高等数学作业集答案第八章
第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，方向余弦为2 2 cos = α，2 2 cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4πβ=， 2πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.
高等数学第六版课后全部答案
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f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ→0 λ→0 lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw i = n1 +1 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为 案 ∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi , n
《高等数学基础》作业
高等数学基础 形成性考核册 专业：建筑 学号： 姓名：牛萌 河北广播电视大学开放教育学院 （请按照顺序打印，并左侧装订）
高等数学基础形考作业1： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ?? ?≥<-=0, 10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→=
高等数学习题册参考答案
《高等数学》习题册参考答案 说明 本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错. 第一册参考答案 第一章 §1.1 1.??? ????+≤≤--<≤<≤+=--. ),(2, , , 0 , 211010101T t T T t a v T t v t at v v a v a v v a v v 图形为： 2.B. 3.)]()([)]()([)(2 121x f x f x f x f x f --+-+=， 其中)]()([)(21x f x f x F -+=为偶函数，而)]()([)(2 1x f x f x G --=为奇函数. 4.??? ????=<≤-<≤-<≤=.6 ,0, 64 ,)4(, 42 ,)2(, 20 ,)(22 2x x x x x x x x f 5.???.)]([,)2()]([,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则x g f g f x g f g f 6.无界. 7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同. §1.2 1.（1）)1 ,0()0 ,1(?-=D ；（2）} , ,{2 Z ∈+≠=k k k x x D πππ；（3）)1 ,0(=D . 2.1 ,4-==b a . 3.?????>-=<=,0 ,1,0 ,0 , 0 ,1 )]([x x x x g f ???? ???>=<=-. 1 ,,1 ,1 ,1 , )]([1x e x x e x f g 4.（1）]2 ,0[,)1arcsin(2 =-=D x y ； （2）Y ∞ =+=+=0 2 2),( , )(tan log 1k a k k D x y πππ. 5.（1）x x x f f 1 )]([-= ； （2）x x f f 1 )(1][=. 6.+∞<<=-h r V r h h r 2 ,2312 2π. 7.（1）a x =)(?； （2）h x x +=2)(?； （3）h a a h x x ) 1()(-= ?. §1.9 1.1-=e a . 2.（1）1=x 和2=x 都是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （2）1 ,0==x x 和1-=x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为21）（属第Ⅰ类）； 0是跳跃间断点（左极限1-，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （3）0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类），1=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类） （注意：+∞==∞ +-→- e e x x x 11 lim ，而0lim 11 ==∞--→+ e e x x x ）；
《高等数学》第八章练习题及答案
《高等数学(下册)》第八章练习题 一、填空题 1、________________ )sin(==dz xy z 则， 设 2、设),cos(2y x z =,则=??)2,1(πx z 3、函数22)(6y x y x z ---=的极值点为 4、设xy e z =,则=dz 5、设y z ln z x =,则=?zx z 二、选择题 )2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+= 2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x ''、存在就是),(y x f 在该点连续的( )、 (a)充分条件, (b)必要条件, (c)充要条件, (d)既非充分条件又非必要条件。 3、设)2ln(),(x y x y x f +=,则＝（）)1,1(-'x f 、 (A)，31 (B)，31- (C)，65 (D).6 5- 三、计算题 方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 132 ???==x z x y 2、设),(y x z z =就是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数,F 具有一阶连续偏导数,且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求.,y z x z ???? 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。 4、设,222z y x e u ++=而y x z sin 2=,求x u ??、 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线与法平面方程。 6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。
关于高等数学课后习题答案
习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?
(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?
(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?
高等数学练习册
高等数学（下）练习册 专业班级：___________________________________________ 姓名：___________________________________________ 学号：___________________________________________ 西南科技大学城市学院数学教研室编
第七、八章 向量、空间解析几何、多元微分法 一、填空题 1、从点)7,1,2(-A 沿向量k j i a 1298-+=的方向取一段长34||=，则点B （_______）. 2、已知两个力)3,2,1(1=，)4,3,2(2--=F ，则合力的大小||F =________，合力的方向为___________________． 3、设向量+=2，b a k B +=，其中1||=，2||=，且⊥，若⊥，则k =_____． 4、已知3+=，3+=，则ABC ?得面积是________． 5、已知平面π过点)21,3(-且过直线1 2354z y x =+=-，则平面π的方程为_____________． 二、选择题 1、方程0242222=++-++z y x z y x 表示的曲面是（ ） A 、球面 B 、椭球面 C 、柱面 D 、锥面 2、若直线l ：3 7423z y x =-+=-+，平面π：3224=--z y x ，则l 与π（ ） A 、平行 B 、垂直 C 、相交而不垂直 D 、l 在平面π内 3、设直线l 为?? ?=+--=+++0 31020 123z y x z y x 平面π为0224=-+-z y x ，则（ ） A 、l ∥π B 、l ?π C 、l ⊥π D 、l π但l 与π不垂直 4、已知向量)1,1,2(-=a ，)1,3,1(-=，求，b 所确定的平面方程为（ ） A 、02=+-z y x B 、03=-+z y x C 、01632=---z y x D 、a ，b 不共面无法确定平面 5、球面92 22=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影方程是（ ） A 、082222=--+x y x B 、082222=--+z z y C 、92 2 =+y x D 、? ??==--+00 82222z x y x 三、设)4,1,1(=a ，)2,2,1(-=b ，求b 在方向上的投影向量．
兰大网络教育高等数学课程作业及答案
高等数学(2)课程作业_A 一、单选题 1.(4分)图2 ? A.A ? B.B ? C.C ? D.D 知识点：高等数学／基础知识/微积分 收起解析 答案D 2.(4分)图19-13 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：多元函数微分 收起解析
答案B 3.(4分)图14-27 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C 4.(4分)图14-24 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C
5. (4分)图20-43 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案D 6.(4分)图19-15 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C)
知识点：多元函数微分收起解析 答案A 7.(4分)图23-18 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D)知识点：重积分 收起解析 答案D 8.(4分)图17-104 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C)
知识点：无穷级数 收起解析 答案B 9.(4分)图20-83 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案A 10.(4分)图14-26 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用
答案C 11.(4分)图12 ? A.A ? B.B ? C.C ? D.D 知识点：高等数学／基础知识/微积分收起解析 答案D 12. (4分)图18-44 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：常微分方程
高等数学同济大学第六版第八章单元练习题参考答案.doc
第八章空间解析几何与向量代数单元测试题参考答案： 一、填空题 1. 点M x, y, z关于x轴的对称点为M1 x, y, z ;关于xOy平面的对称点为M 2x, y, z ；关于原点的对称点为M3 x, y, z . 2. 平行于a ={1 ，1，1} 的单位向量为1 1,1,1 ；若向量 a { ,1,5} 与向量 b { 2,10,50} 3 平行，为1 . 5 3. 已知两点M1 4, 2,1 和 M 2 3,0,2 ，则向量M1M2在三个坐标轴上的投影分别是–1 2 、1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i 、 2 j 、 k , M1M 2 2 , 方向余弦cos 1 、 cos 2 、 cos 1 , 方向角1200 、 2 2 2 1350 、60 0 , 与M1M2 同方向的单位向量是 1 , 2 , 1 . 2 2 2 4. 已知两向量a 6i 4 j 10k ， b 3i 4 j 9k ,则 a 2b 12i 4 j 8k ， 3a 2b 12i 20 j 48k , 3a 2b 在oz轴上的投影为48 . x t 2 5．过点 M (1,2, 1) 且与直线y 3t 4 垂直的平面方程是 x 3 y z 4 0 z t 1 二、选择题 1.向量a与b的数量积 a b=（C）. A a rj 2.非零向量 A a ∥b b a ；B a rj a b ； C a rj a b ； D b rj a b．a, b 满足a b0 ，则有（C）． ; B a b (为实数)；C a b ；D a b0 ． 3.设 a 与b为非零向量，则a A a ∥b的充要条件； C a b 的充要条件；b0是（A）． B a ⊥b的充要条件; D a ∥b的必要但不充分的条件．
2017兰大网络教育高等数学2课程作业及答案
高等数学(2)课程作业_A 一、单选题 1. (4分)图2 ? A. A ? B. B ? C. C ? D. D 知识点：高等数学／基础知识/ 微积分 收起解析 答案D 2. (4分)图19-13 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C)
? D. (D) 知识点：多元函数微分 收起解析 答案B 3. (4分)图14-27 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C 4. (4分)图14-24 ? A. (A)
? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用 收起解析 答案C 5. (4分)图20-43 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案D
6. (4分)图19-15 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D)知识点：多元函数微分收起解析 答案A 7. (4分)图23-18
? A. (A)? B. (B) ? C. (C)? D. (D)知识点：重积分 收起解析 答案D 8. (4分)图17-104 ? A. (A)? B. (B) ? C. (C)? D. (D)知识点：无穷级数 收起解析 答案B
9. (4分)图20-83 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案A 10. (4分)图14-26 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用 收起解析
(完整版)高数答案(下)习题册答案第六版下册同济大学数学系编
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
同济大学版高等数学课后习题答案第2章
习题2-1 1. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t). 如果旋转是匀速的, 那么称 t θ ω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样 确定该物体在时刻t 0的角速度？ 解 在时间间隔[t 0, t 0+?t]内的平均角速度ω为 t t t t t ?-?+=??=)()(00θθθω, 故t 0时刻的角速度为 )() ()(lim lim lim 0000 00t t t t t t t t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T(t), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？ 解 物体在时间间隔[t 0, t 0+?t]内, 温度的改变量为 ?T =T(t +?t)-T(t), 平均冷却速度为 t t T t t T t T ?-?+=??)()(, 故物体在时刻t 的冷却速度为 )()()(lim lim 00t T t t T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f(x)元, 此
函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f '(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x)的实际意义. 解 f(x +?x)-f(x)表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量. x x f x x f ?-?+) ()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量 的成本. x x f x x f x f x ?-?+='→?) ()(lim )(0 表示当产量为x 时单位产量的成 本. 4. 设f(x)=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 x x x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2 200 )1(10)1(10lim )1()1(lim )1( 20)2(lim 102lim 1002 0-=?+-=??+?-=→?→?x x x x x x . 5. 证明(cos x)'=-sin x . 解 x x x x x x ?-?+='→?cos )cos(lim )(cos 0 x x x x x ???+-=→?2sin )2sin(2lim x x x x x x sin ]2 2sin ) 2 sin([lim 0-=???+-=→?. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么: (1)A x x f x x f x =?-?-→?) ()(lim 000 ;