高等数学作业集-9答案.
第九章多元函数微分学及其应用
(C) e-1 ； (D) e . 第一节多元函数的基本概念
1.选择题: （1）函数z=
ln
41x2
+y
2
+arcsin
x2
+y
2
定义域( A ).
（A）1≤x2+y2≤4；（B）1 x y )=(x+y)2，则f(x,y)=( B ). （A）x2 (y+1y )2；（B） xy(1+y)2 ； （C） y2 (x+ 1x)2；（D） y x (1+y)2. 2（3）lim(11 xx+y x-=( Ｃ ). y→→∞ x) (A) 0 ； (B) 1 ； 2.填空题： (1)当点p(x,y)以不同方式（特别地可以取两种不同的方式）趋于 p0(x0,y0)时，函数f(x,y)趋于不同值，那么可以断定极限 →lim(x0,y0) f(x,y) 不存在。 (x,y)(2)若函数z=f(x, y)在点p0(x0,y0)连续，则极限(x,y)→lim (x,0,y0) f(x,y)=f(x0y0) 3. 求下列各函数的定义域. 2(1)z= 4x-yln(1-x2 -y2 ) ； ?4x-解: 由?y2≥0?1-x2-y2 >0得: ?? 1-x2-y2≠1定义域D={(x,y)0 ． (2) z=arcsin（x2+2y2 -1）．解: 由-1≤x2 +2y2 -1≤1得: 定义域D={(x,y)x2+2y2 ≤2} ． 4．设f(x-y, y x )=x2-y2，求f(x,y)．?x-y=t? t解:令??y,得：?x=1-s ?? ?x =s?? y=ts1-st2代入得f(t,s)=(1+s) 1-s 故f(x,y)=x2 (1+y) 1-y ． 5.求下列极限： (1) lim 1-(xy)2+ex ； xy→→0 1 x2+y3 解: 原式= 1-0+1 0+1 =2 ． (2) lim 1-cos(xy)； x2 y→→00 xy+1-1 (xy)2( 22+1+1)解:原式=lim xyxy→→00 x2y2 =1． 1 (3)lim sin(xy) x(1+xy)y；y→→20 ysin(xy)1 解:原式= limxx? (1+xy)xy ?x=2e2．y→→20 xy6．判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值． (1) limx2-y x； y→→00 y解:当x→0时，令y=kx2 ，则 limx2-y=limx2-kx2=1-k，其值与k有关，故极限不存在．x2y→→00 yx→0y=kx 2kxk(2) lim 5x-6y xy→→∞∞ x2+y ；解:当x→∞,y→∞时，有 0≤ 5x-6y5xx2+y2≤x2+y2+6yx2+y2≤5xx2 +6y y 2→0，故lim 5x-6y x=0． y→→∞∞ x2+y2 ?1,x2+y2≠0 7．研究函数f(x,y)=?的连续性（在哪些点22 ?0,x+y=0 连续，哪些点不连续）． 解:limf(x,y)=1≠0=f(0,0)，故函数在(0,0)处不连续，其它处均x→0 y→0 （B）lim f(x0+?x,y0)-f(x0,y0) ΔxΔx→0 f(x0+?x,y)-f(x0,y0) ΔxΔx→0 f(x0+?x,y0) ΔxΔx→0 （C）lim （D）lim 连续． 第二节偏导数 １．选择题： ?1 ?sinx2y,xy≠0, (3) 设f(x,y)=?xy则fx(0,1)=（Ｂ） ?0,xy=0,? (A) 0 ； (B) 1 ； (C) ２； (D) 不存在 . （1）fx,fy在(x0,y0)处均存在是f(x,y)在该点连续的条件是（ D ）； （A）充分条件但不是必要条件；（B）必要条件但不是充分条件；（C）充分必要条件；；（D）既非充分也非必要条件；（2）设z=f(x,y)，则 ２．填空题 ??z=+x2+y2 (1)曲线?在点(1,1,)处的切线与y轴正向 ?x=1? 所成的角是 ?z =（ B ） ?x(x,y) 00 π； 6 y1?z1?z =-，=；，则 x?xx?yy （A）lim f(x0+?x,y0+?y)-f(x0,y0) ΔxΔx→0 (2)设z=ln (3)设f(x,y,z)=zexy，则fx(0,0,1)=0，fy(0,0,1)=0， 4．求下列函数的二阶偏导数： fz(0,0,1)=1． 3．求下列函数的一阶偏导数： (1)z= xy x+y ；?zy2?zx2 解: ?x=(x+y)2 ，?y= (x+y)2 ． (2) z=(1+xy)x 解: ?z?x=(1+xy)x[ln(1+xy)+xy1+xy](3) u=xyz ； 解 : ?u =yzxyz-1?x ， ?u =yzlny?xyz?z lnx． ，?z?y =x2(1+xy)x-1．?u =zyz-1z?y xylnx， (1)z=xln(x+y) 解: ?zx??x=ln(x+y)+x+y ，z?y= x x+y ，?2zx+2y?x2=(x+y)2，?2zy ?x?y=(x+y)2 ，?2zx?2?y2=-(x+y)2，z?y?x= y(x+y)2 (2)z=arcsinxy ； 解: ?z =1?x y2-x2 ， ?z-?y= x ， yy2-x2 ?2z=x(y-x)-3 2 ，?222z=-y(y2-x2)-3 2?x 2 ?x?y，?2z-1-3 ?y2=xy2 (y2-x2)2+x(y2-x2)2 ?2z11 3 22--?y?x=-y [(y-x)2 +x2(y2-x2)2]． 4 ， 1? ,x2+y2≠0,?ycos22 ?f?2f-x2y23-x2y2，解：，=ye=-2xye 5．设函数f(x,y)=??x+y 判断其在点(0,0)? 0,x2+y2=0,处的连续性和偏导数是否存在．解: 1） lim1 x→0 f(x,y)=limx→0ycos x2+y2 =0=f(0,0) y→0 y→0 故函数在点(0,0)处连续； 2）ff(0+Δx,0)-f(0,0)x(0,0 )=Δxlim →0 Δx =Δxlim0-0 →0Δx=0 f0,0+Δy)-f(0,0) y(0,0)=lim f(Δy→0 Δy Δycos 1 =(Δy) 2 -0 Δylim →0 Δy =limcos 1 Δy→0 Δy2 ，极限不存在，故此点 处关于y的偏导数不存在． 1.（1996.4）设f(x,y)= ? xy-x?2f0 et2 dt，求y?x2-2?2f?x?y+y?2fx?y 2 ?x?x 2?2f?x?y =(1-2x2y2)e-x2y2，由对称性， ?2f-y2x2 ?y 2 =-2yx3e 故x?2f?2fy?2f-x2yy?x2-2?x?y+x?y2 =-2e2 第三节全微分 1）函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续，且两个偏导数 fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是f(x,y)可微的( B （A）充分条件,但不是必要条件；（B）必要条件,但不是充分条件；（C）充分必要条件； （D）既不是充分条件,也不是必要条件. ). １．选择题：（ 1?2222?z?z(x+y)sin,x+y≠0dz=Δx+Δy=1?0.1+2?(-0.2)=-0.3 ? x2+y2（2）设f(x,y)=? ?x?y ? x2+y2=0?0,４．求下列函数的全微分： 则在原点(0,0)处f(x,y)( D ). (A)偏导数不存在； (B)不可微； (C)偏导数存在且连续； (D)可微 . (3) 在点(x,y)处df(x,y)存在的充分条件为（ C）． （A）f的全部二阶偏导数均存在；（B）f连续； （C）f的全部一阶偏导数均连续； (D)f连续且fx,fy均存在． 2．填空题： 二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微的充分必要条件是 lim Δz-dz ρ→0 ρ =0，其中Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y), dz为表达式fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δx,ρ= Δx2+Δy2 ． ３．求函数z=xy当x=2，y=1，?x=0.1，?y=-0.2时的全增量和全微分． 解:Δz=2.1?0.8-2?1=-0.32 (1) z=x3y2 解: ?z?x=3x2y2 ，?z ?y =2x3y dz= ?z?xdx+?z ?y dy=3x2y2dx+2x3ydy (2) z= x y 解: ?z?x= 1 2xy ，?zxy?y=-2y2 dz= ?z?xdx+?z?ydy=1 2xydx-xy2y 2dy (3) u=ln(x2+y2+z2 ) 解: ?u?x=2xx2+y2+z2 ，?u2y ?y=x2+y2+z 2 ， ?u2z =2 ?zx+y2+z2du= ５．讨论函数z= （2002.1）考虑二元函数f(x,y)的下列四条性质：（1）f(x,y)在点(x0,y0)连续；（2）fx(x,y)、fy(x,y)在点(x0,y0)连续；（3）f(x,y)在点(x0,y0)可微分； 2x2y2z dx+dy+dz 222222222 x+y+zx+y+zx+y+z xy在点(0,0)处的可导性与可微性． Δx?0-0Δx （4）fx(x0,y0)、fy(x0,y0)存在. ?z =lim解: ?x(0,0)Δx→0 =0, 若用“P?Q”表示可由性质P推出性质Q，则有（ A ） A、（2）?（3）?（1）B、（3）?（2）?（1） C、（2）?（4）?（1） D、（3）?（1）?（4） 解：因为对于二元函数有如下蕴含关系：两个偏导数连续可推出函数可微，从而可推出函数连续且两个偏导数存在。故选A ，其中ρ= ?z =lim ?y(0,0)Δx→0 故函数z=但lim ρ→0 0?Δy-0Δy =0, xy在点(0,0)处的偏导数存在； ΔxΔy Δz-dz =limρ→0ρ Δx2+Δy2 Δx2+Δy2 )沿直线y=x趋于(0,0)时此极限不存在。故函数易知当(Δx,Δy z=xy在点(0,0)处不可微． 第四节多元复合函数的求导法则 1．选择题： （1）设z=f(x,v),v=v(x,y)，则 ?2z?y 2 =( C ). (A)?2f?v?y??v?y+?f?v??2v ；(B)?f?v??2v；?y2?y2 (C)?2f?v2(?v?y)2+?f?v??2v；(D)?2f?y2?v2??v?y+?f?v??2v ?y 2. （2）设 z=ln ?x+ y? ?2x?? ,则f'y (1,0) = ( C ) (A) 1 (B) 2 (C) 1 2 (D) 0 2．求下列函数的偏导数或全导数： (1) z=x2-y2，x=3t,y=4t3． 解: dz?dt=z?x?dxdt+?z?y?dydt=1 x2-y2 (3x-12yt3) = 19t-48t5) 9t2-16t6 ((2) z=y+f(v),v=y2-x2，其中f可导． 解: ?z?x=f'(v)??v?x =-2xf'(v) ?z?y =1+f'(v)??v?y=1+2yf'(v) (3) z=xey，y=?(x)，其中?可导． 解: dzdx=?z?x+?z?y?dydx =ey +xey?'(x) (4)设z=u2v3,u=x+2y,v=x-y，求 ?z?z?x,?y ．解: ?z=?z??u+?z??v=2uv3+3u2v2?x?u?x?v?x ?z?y=?z?u??u?y+?z?v??v?y =4uv3-3u2v2 (5) z=u2v3w，u=2t+1,v=t3,w=3t-1．解: dz322223 dt =4uvw+9uvwt+3uv 3．求下列函数的偏导数：(1) z=f(x2+y3,sin(xy))，其中f可导，求 ?z?x，?z?y ．解: ?z ?x =2xf1'+ycos(xy)f2' ?z ?y =3y2f1'+xcos(xy)f2' 8 ?u?u?u (2) u=f(x-ey+xsin(yz))，其中f可导，求，，．x ?2z ''+5x2y2f''+2x3yf'' =2yf'+2xf'+2xy3f?x?y?z 解: ?u =(1-ex?x y+sin(yz))f'，?u ?y =(-ex+xzcos(yz))f' ，?u?z=xycos(yz)f'． (3) 设z=f(u,x,y),u=xey ，其中f二阶可导，求?z?2z ?x，?x?y ． 解: ?z ?x =eyf1'+f2'，?2z =eyfy?x?y 1'+xe2f11 ''+eyf13''+xeyf21''+f23''． 2 2 f具有二阶连续偏导数，求?2(4) 设z=f(xy,xy),z?2z ?x2，?x?y ， ?2 z ?y 2．解: ?z?x=y2fxyf?z 1'+22'，?y =2xyf1'+x2f2' ?2z ?x 2=2yf2'+y4f11 ''+4xy3f12''+4x2y2f22'' ?x?y 1211 1222?2z ?y =2xf221'+4xy2f11 ''+4x3yf12''+x4f22'' 4．已知函数f，g可导，验证u=f(x+at)+g(x-at)满足 ?2u2 ?t2=a2?u?x 2．证明：?u=af'-a g'，?2u 22?t?t 2=af''+ag''，?u2 ?x=f'+g'，?2u?2u2?u?x2=f''+g''，故?t2=a?x 2． 1.（2000.1）设z=f(xy, x y)+g(yx )，其中f具有二阶连续偏导数，9 ?2z求．?x?y 解 ： （2）设 x+z=yfx2-z2则 z(A)x (B)y () ?zy?z= ( A ) + ?x?y (C)z (D)yfx2-z2 () ?z?x=y?f1'+1y?f2'+g'?(-yx2)=y?f1'+1 y?f2 '-g'?yx 2，?2z?x?y=f1'+y[f11''?x+f12''?(-x1 'y2)]-x 2f2 + 1x1y[f21''?x+f22''?(-y2)]-x2 (g'+yg''?1 x) =f1 '-1 y2f2'+xyf11''-xy2f22''-1 x2g'-yx2g'' 第五节隐函数的求导公式 1．选择题： （1）设?(x-az,y-bz)=0则a ?z??x+bz ?y = ( D ) (A)a (B)b (C)-1 (D)1 （3）设有三元方程xy-zlny+exz=1，根据隐函数存在定理， 存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程（ D ）（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y); (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,y)和z=z(x,y); （C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 2．设方程xy+x2+y2=2确定了隐函数y=y(x)，求 dy dx ．解:（公式法）令F(x,y)=xy+x2 +y2 -2，Fx=y+2x Fy=x+2y， 则 dyFdx=-xF=-y+2x ， y x+2y 提示：另还可用两边直接对自变量求偏导或两边求全微分的方法，过 程略。下同。 3．设方程sin(x+y-z)=z+x确定了隐函数z=z(x,y)，求 ?z，?x 则 F?z =-x=-ye-xy(e-z+2)，?xFz ?z ，dz．?y 解:（公式法）令F(x,y,z)=sin(x+y-z)-z-x， ?2zy2e-xy[(e-z+2)2+e-(z+xy)] =． -3?x2(e+2) 5．设隐函数z=z(x,y)由方程F(x+ zz ,y+)=0所确定，证明yx Fx=cos(x+y-z)-1 x Fy=cos(x+y-z)，Fz=-cos(x+y-z)-1 则 ?z?z +y=z-xy．?x?y z F2' 2x FyF?zcos(x+y-z)-1?zcos(x+y-z) =-x===- ?xFzcos(x+y-z)+1?yFzcos(x+y-z)+1 cos(x+y-z)-1cos(x+y-z) dx+dy cos(x+y-z)+1cos(x+y-z)+1 -xy 证明：Fx=F1'- Fy=- 11z '''F+F2', ，F=F+F112z2 yxy dz= 4．设方程e+e -z ?z?2z 求． =2z确定了隐函数z=z(x,y)， ?x?x2 zz'F-F1'F1'-2F2'22 FFx?zy?zy=-=-=-,=-, 1111?xFzFzF1'+F2'?yF1'+F2'yxyx 故x 解:令F(x,y,z)=e，Fz=-e-2 z -xy +e-z-2z，Fx=-yexy ?z?z +y=z-xy．?x?y 6．求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数： ?x2+y2+z2-50=0dydz(1)设?，求，． dxdx?x+2y+3z=4 解: 方程组两边直接对自变量x求偏导，得：均有一阶连续的偏导数，求dy． dx?y=f(x,t)解:联立方程组?两边直接对自变量x求偏导，得： F(x,y,t)=0? ?t?dy'=f+fxt??dx?x ?dy?t?F+F+Ft=0xy?dx?x? 故dydz?2x+2y+2z=0??dxdx ??1+2dy+3dz=0?dxdx?故dy-3x+zdz2x- y==，． dx3y-2zdx3y-2zfF-ftFxdy=xt dxftFy+Ft ?u3+xu=y?u?u?v?v(2)设?3，求，，，．?x?y?x?y?v+yu=x 解: 方程组两边直接对自变量x求偏导，得： 1（1995.1）设 u=f(x,y,z),?(x2,ey,z)=0,y=sinx,其中f,?均有一阶连续的偏导数，且 ?v?2?u3u+v+x=0??u-3v3-x?v3u2+yv??x?x故=22，=22 ??x9uv-xy?x9uv- xy?3v2?v+y?u=1??x?x? ?u3v2+xu?v-3u3-y同理可得到：=，=．?y9u2v2-xy?y9u2v2-xy (x,t),而t是由F(x,y,t)=0所确定的x,y的函数，7．设y=f其中f,F 12 du??≠0,求．dx?z第六节多元函数微分学的几何应用t1π1．求曲线 x=,y=sint,z=cost在对应t=的点处的切线方224程和法平面方程． 122,-) 解:切向量T=(x',y',z')t=π=(,2244 曲线在对应t= π 4 的点处的切线方程为： x-1y-1z-2 ==，法平面方程为：x-y=0． 1-10 22 x-y-z- ==，法平面方程为：122 - 224 π 3．求曲面z=x2+y2在点(1,1,2)处的切平面方程和法线方程．解: 法向量n=(zx,zy,-1) (1,1,2) =(2,2,-1) 1π2222(x-)+(y-)-(z-)=0，即2822442x+22y-2z= 故所求切平面方程为2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0即 π 4 + 3 ． 2 2x+2y-z-2=0． 法线方程为： 4．求椭球面 x-1y-1z-2 == 22-1 ?x2+y2+z2=6 2．求曲线?在点M0(1,1,2)处的切线方程及法平面22 ?z=x+y 方程． 解:用隐函数组求导的方法得到 x2+2y2+3z2=21上某点M 处的切平面π 的方程，使平面π过已知直线L: dydz2xz+x0==， dx-y-2yzdx-y-2yz x-6y-32z-1 ==． 21-2 解:设点M的坐标为(x0y0,z0) ，则切平面π的法向量 dydz 点M0(1,1,2)处的切向量T=(1,,)=(1,-1,0) dxdxM0 曲线在对应点M0(1,1,2)处的切线方程为： 1 n=(2x0,4y0,6z0)，直线L过点(6,3,)，且方向向量为 2 l=(2,1,-1)， ?4x0+4y0-6z0=0?1? 故有?2x0(x0-6)+4y0(y0-3)+6z0(z0-)=0， 2?222 ?x0+2y0+3z0=21? s就是过点M(x,y,z)的某直线的方向向量（常向量），该直线就是所 求平行于切平面的定直线． ?x=t ?2 1．（1992.1）．在曲线?y=-t的所有切线中，与平面x+2y+z=4 ?z=t3? 平行的切线 (A)只有一条 (B)只有两条 (C)至少三条 (D)不存在 ?x0=3?x0=1?? 解得?y0=0或?y0=2 ?z=2?z=2?0?0 所求切平面方程为x+2z=7或x+4y+6z=21． 注：上题中在直线L上任取两点的坐标代入平面π的方程，同样可求得点(x0y0,z0)，过程略． 5．设F(u,v)是可微函数，证明：曲面 ２．（2001.1）设函数f(x,y)在点(0,0)附近有定义，且 '(0,0)=3,fy'(0,0)=1，则fx (A)dz(0,0)=3dx+dy; (B)曲面z=f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为{3,1,1}; F( ax-bz,ay-cz)=0(abc≠0)的切平面平行于某定直线． 证明：曲面在任意点M(x,y,z)处切平面的法向量 n=(aF1,aF2,-bF1-cF2)， 设向量s= ?z=f(x,y) 1,0,3}; (C)曲线?在点(0,0,f(0,0))的切向量为{ y=0??z=f(x,y) (D) 曲线?在点(0,0,f(0,0))的切向量为{3,0,1}. ?y=0 ?bc? ,,1?，有n?s=0，即n⊥s，?aa? 3．求函数u=xyz在点(3,4,5)处沿着锥面z=向的方向导数．解: x2+y2的外法线方 第七节方向导数与梯度 1．填空题： ?z =?x xx2+y2 = 3?z，=5?y yx2+y2 352 = 4 ，锥面的外法线方5 ',fy'在点(x0,y0)(1) fx 不充分也不必要条件． （3，4，-5）向为，其方向余弦为cosα=，cosβ= 452 ， (2) 函数z=xexy在点(1,0)沿i+j方向的方向导数最大，其最大值是2． 22．求函数z=ln(x+y)在点(1,2)处沿着抛物线y=4x在该点处偏cosγ= -552 ?u ?x =20， (3,4,5) ?u?y =15， (3,4,5) 兰州大学高等数学课程作业题及答案一单选题 1. 图片3-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D) 2. 图片443 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (D) 标准答案： (B) 3. 图片363 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D) 4. 图片2-9 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (C) 标准答案： (C) 5. 图片1-4 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (B) 标准答案： (B) 6. 图片3-14 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B) 7. 图片4-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (B) 标准答案： (A) 8. 图片2-1 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A) 9. 图片4-9 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 10. 图片238 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 11. 图片241 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 第一章函数 极限 连续 §1函数 1． 解：（1） 要使24sin x -有意义，必须.2,042≤≥-x x 即使所以定义域为[-2，2]. （2）当时，且1 3≠≠x x 3 41 2+-x x 有意义;而要使2+x 有意义，必须,2-≥x 故函数 的定义域为：).,3()3,1()1,2[+∞-、、 （3）,1010.101110ln 110ln arccos e x e e x e x x ≤≤∴≤≤≤≤-，即有意义，则使要使即 定义域为].10,10 [ e e （4）要使)1(+x tg 有意义，则必有.,2,1,0,2 1 ±±=+≠ +k k x ππ ;即函数定义域为 .,2,1,0,12? ?? ?? ?±±=-+≠∈ k k x R x x ππ且 （5）当有意义，时有意义；又当时x arctg x x x 1 033≠-≤故函数的定义域为： ].3,0()0(、，-∞ （6）x k k x k sin )2,1,0()12(2时当 ±±=+≤≤ππ有意义；有要使216x -有意义， 必须有.44≤≤-x 所以函数的定义域为：].,0[],4[ππ、 -- 2． .2)2 1(,2)21 (,2)0(,1)2(,2)3(2 1-=-====f f f f f 3． 解：3134,34)]([22≤≤-+--+-= x x x x x x g f 有意义；必须因此要使， 即[])(x g f 的定义域为[1，3]。 4．解? ?? ??>-=<=???? ???>-=<=; 0,1,0,0,0, 1,1, 1,1, 0, 1,1)]([x x x e e e x g f x x x ?????????>=<==, 1,1,1,1,1,)]([) (x e x x e e x f g x f 。 5．有意义，时当)(sin 1sin 0x f x ≤≤故其定义域为).2,1,0]()12(,2[ ±±=+k k k ππ。 6．???-<++-≥+=+?? ?<+-≥-=-; 1,52, 1,32)1(;1,52, 1,12)1(2 2 x x x x x x f x x x x x x f 高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 高等数学基础第一次作业点评1 第1章 函数 第2章 极限与连续 (一)单项选择题 ⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等. A 、 2 )()(x x f =,x x g =)( B 、 2)(x x f = ,x x g =)( C 、 3 ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D 、 1)(+=x x f ,1 1)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于( C )对称. A 、 坐标原点 B 、 x 轴 C 、 y 轴 D 、 x y = ⒊下列函数中为奇函数就是( B ). A 、 )1ln(2 x y += B 、 x x y cos = C 、 2 x x a a y -+= D 、 )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数就是( C ). A 、 1+=x y B 、 x y -= C 、 2 x y = D 、 ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的就是( D ). A 、 12lim 2 2 =+∞→x x x B 、 0)1ln(lim 0 =+→x x C 、 0sin lim =∞→x x x D 、 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时,变量( C )就是无穷小量. A 、 x x sin B 、 x 1 C 、 x x 1 sin D 、 2)ln(+x 点评:无穷小量乘以有界变量为无穷小量 ⒎若函数)(x f 在点0x 满足( A ),则)(x f 在点0x 连续。 A 、 )()(lim 00 x f x f x x =→ B 、 )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C 、 )()(lim 00 x f x f x x =+→ D 、 )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= 二、填空题 ⒈函数)1ln(3 9 )(2x x x x f ++--= 的定义域就是 .}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(,则=)(x f .x x -2 ⒊=+ ∞→x x x )211(lim .21 e 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； 高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2 习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由2 5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?= 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+ 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++= 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+= 证：方程 22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-== 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y '' = + (*) 得 (1)y y x y '= -. (*)式两端对x 再求导得 《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+ A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21. 大学答案 --- 中学答案 --- 考研答案 --- 考试答案最全最多的课后习题参 考答案，尽在课后答案网（）！ Khdaw团队一直秉承用心为大家服务的宗旨， 以关注学生的学习生活为出发点，旨在为广大学生朋友的自主学习提供一个分享和交流的平台。爱校园（）课后答案网（）淘答案（） 习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线密度为 μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达: (1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds . L L ww w. kh d ∫L ∫L 和L2, 则 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1 ∫L f (x, y)ds =∫L n 课 x= M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds 后 曲线 L 的重心坐标为 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ→0 λ→0 lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw i = n1 +1 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为 案 ∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi , n 高等数学基础 形成性考核册 专业：建筑 学号： 姓名：牛萌 河北广播电视大学开放教育学院 （请按照顺序打印，并左侧装订） 高等数学基础形考作业1： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ?? ?≥<-=0, 10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= 高等数学 一、填空 、选择题（每题3分，共30分） 1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是（ ） (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????. 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 高等数学(2)课程作业_A 一、单选题 1.(4分)图2 ? A.A ? B.B ? C.C ? D.D 知识点：高等数学／基础知识/微积分 收起解析 答案D 2.(4分)图19-13 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：多元函数微分 收起解析 答案B 3.(4分)图14-27 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C 4.(4分)图14-24 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C 5. (4分)图20-43 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案D 6.(4分)图19-15 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) 知识点：多元函数微分收起解析 答案A 7.(4分)图23-18 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D)知识点：重积分 收起解析 答案D 8.(4分)图17-104 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) 知识点：无穷级数 收起解析 答案B 9.(4分)图20-83 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案A 10.(4分)图14-26 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用 答案C 11.(4分)图12 ? A.A ? B.B ? C.C ? D.D 知识点：高等数学／基础知识/微积分收起解析 答案D 12. (4分)图18-44 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：常微分方程 第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?， 高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 高等数学(2)课程作业_A 一、单选题 1. (4分)图2 ? A. A ? B. B ? C. C ? D. D 知识点：高等数学／基础知识/ 微积分 收起解析 答案D 2. (4分)图19-13 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：多元函数微分 收起解析 答案B 3. (4分)图14-27 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C 4. (4分)图14-24 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用 收起解析 答案C 5. (4分)图20-43 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案D 6. (4分)图19-15 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D)知识点：多元函数微分收起解析 答案A 7. (4分)图23-18 ? A. (A)? B. (B) ? C. (C)? D. (D)知识点：重积分 收起解析 答案D 8. (4分)图17-104 ? A. (A)? B. (B) ? C. (C)? D. (D)知识点：无穷级数 收起解析 答案B 9. (4分)图20-83 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案A 10. (4分)图14-26 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用 收起解析兰州大学高等数学课程作业题及答案
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