代数几何学习经验

古典代数几何起源于19世纪末，20世纪初得到充分的发展。这篇帖子没有借助任何参考书目，仅仅是我头脑中的记忆堆积出来的，因此，如果有不同理解，或者我讲错了，请见谅。因为我忘了很多了。

古典代数几何的发展主要是仿射簇和投射簇的研究，以及后来渐渐发展的代数簇。直到现在，代数簇理论仍然是非常有用的方法，所以喜欢代数几何的不要盲目的崇尚现代代数几何理论，因为概型的直观性要大大少于代数簇。

最先引起我们注意的是仿射簇（affine variety），用几何的语言叙述，那是affine space An里面由一些代数方程的公共零点集(zero locus set)。因此我们考虑An上的代数方程构成的多项式环k[x1,..xn]及其理想，容易定义V:{I/I为理想}->An 为公共零点集，I:An->{I/I为理想} 为生成理想。（k为代数闭域！）

我们得到的第一个重要理论是nullstellensatz定理（零点定理）：I(V(I))=rad(I) (即I取radical)这个使得我们将理想和代数集一一对应。另一个较弱的形式是说对于任何极大理想m，k[V]/m总是k的代数扩域，由于我们已经假设k是代数闭的，因此k[V]/m同构于k，所以任何仿射簇V，k[V]总是k和m的直和（作为k模），这是我们研究局部性质的基础。

我们不能总是将V作为嵌入在放射空间的子集来看待，我们需要更本质更内蕴的方法。（我认为这是很重要的数学思想，寻找内蕴的性质）现在大部分参考书采用的方法是给与一个Structure sheaf来定义。于是，我们说一个affine variety，总是指一个ringed space(具有层结构的拓扑空间)。通过一系列形式推导（具体看任何一本参考书），我们得到了一个很漂亮的最基本的定理：

affine variety范畴反变(contravariant)等价于affine k-algebra范畴。

范畴等价意味着我们可以抛开几何，只看代数范畴，可以弄清全部具有范畴性质的几何结构（比如product,coproduct，zariski拓扑结构，维度等）特别的，我们观察monic和epic可以发现，代数簇间一个象稠密的映射是epic，对应一个单代数同态，同样，代数簇间一个open immersion是monic，对应一个满代数同态。

更广泛的，我们不仅考虑投射簇，考虑更一般的代数簇，使得投射簇作为它的特例。我们定义：一个代数簇就是一个T0 ringed space，在每一点拥有一个开集ringed isomorphic to an affine variety.这个定义显然包含了投影簇，于是我们利用类似的方法可以得到大量投影簇的性质和定理。

最后，我想说的是，通过古典代数几何的发展，我们第一次得到代数和几何的紧密交融，几乎全部交换代数定理都有明显的几何意义，比如noether正规化定理意味着任何不可约仿射簇能够满射到同等维度的放射空间，going-up,going-down定理，zariski主要定理（都是重要的定理）的几何解释也是明显的。不停的交换“代数和几何的观点”有助于融合它们，因为它们基本上是交汇的。

借用eisenbud交换代数书的开篇语作为结束：algebra is written geometry, geometry is drawn algebra. (本人水平有限，请不要过于苛责,哈。)

强烈推荐一本

[Iversen]的cohomology of sheaves

非常强悍的工具，其他书里很多大定理可以象切豆腐一样搞定。看完后能够让你手中的剑变得锋利无比。

概型，层论和平展上同调

同古典代数几何帖子一样，这也是我个人的记忆堆积出来的，我尽量写的更好一点，如果有错误和偏见，望见谅，这只是属于我自己个人的一篇短文。

在grothendieck创造scheme之前，sheaf theory已经有了巨大的进步，sheaf cohomology被完好的定义出来。这对于上同调理论是一个巨大的进步，和之前的de rham cohomology, cech cohomology, cellular cohomology, singular cohomology可以被极好的统一在sheaf里面，特别的，任给一个sheaf能够构造一个cohomology，这使得上同调变得象函数一样重要且可构造。构造上同调已经成为一种数学思维，如algebraic K－theory 等。

简单说一下定义，对于C，D两个范畴，定义presheaf范畴为D^C^op，就是C^op到D 的函子范畴（functor category）。进一步，我们定义sheaf范畴。设C为grothendieck site(具有grothendieck topology的范畴)，则sheaf cat为presheaf cat的一个fully faithful subcat。其中的object满足0->F(U)->productF(Ui)-> productF(Ui fibre product(U)Uj)->0是正合的，当Ui是U一个covering。

在这里我们假设C是拓扑空间U的开集范畴，D是模范畴。

构造sheaf cohomology的关键一步：derived functor是什么？认识到最重要的一点是：sheaf exact是一个局部性质，而presheaf exact要更强，具有整体性质。所以对于一个sheaf I,我们构造一列injective sheaf sequence: 0 ->I->I1->…

（细心的人会发现，这其中需要定理enough injectives）

然而，0->I（U）－>I1（U）..不是exact的，因此我们就有了cohomology。

接下来，scheme的出现带来了层论的活跃，也把代数几何推到了新的高度。然而，grothendieck发现了尴尬的情况：

grothendieck theorem:scheme的coherent sheaf cohomology全部为0。

coherent sheaf是一种很好的sheaf，在affine的情形下，它相当于structure sheaf F和关于模M的constant sheaf(细心的人会发现这只能定义在irreducible space上)的一个张量积。

这说明了什么？很明显，这是zariski topology的不足造成的。因为这个拓扑太粗了。我们需要更精细的结构。一项浩大的工程被激发起来了，把sheaf定义到一个范畴上（我们前面

已经这么做了，然而在那个年代还没有），并且从一个概型上诱导出一个grothendieck site，在此之上我们就得到了一种上同调，它被称为etale cohomology(平展上同调)。

这个名字的来源是grothendieck形容自己做数学的方式就像漫升的海洋，etale在法文中有缓慢涨潮的意思。他说，海洋的前进无声无息，好象什么事情都没有发生，什么都没有被打搅，海水是如此之远人们几乎听不到它。但结果它却包围了最顽固的物体，其渐渐变成了半岛，然后是岛屿，然后是小岛，最终被淹没了，就好象被无边无际伸展的大洋溶解了一样。这种形式化的思维正是他能够统治代数几何领域近12年的原因，并且在这之后，抽象化和形式化的浪潮越来越大。

上同调的计算是评价一个上同调的核心内容，在复代数几何的情况下，平展同调具有和作为复流形的同调相关性，特别的etale fundamental group和complex manifold fundamental group具有称为completion的一种关系。详细的内容可以看[milne]的网上讲义。

最后，给朋友们推荐两本书：

希望了解层论和上同调的，

[Iversen] cohomology of sheaves 是一本优秀的“层论使用手册”

希望了解抽象概型理论的，

[Hartchorne] algebraic geometry (chapter 2,3)

（基础不够的咨询 [shafarevich] basic algebraic geometry 2）

同调代数范畴论交换代数然后就可以找本简单的来看了

看这些肯定是很花时间的没办法

最快路径：

同调代数 GTM4 前10章

范畴论 GTM5 前8章

交换代数 Atiyah Macdonald 全

然后看 harris写的 GTM133 和shafarevich

我暂时想不出更快的如果那些书看不懂就找些基础书另外一点点流形论代数拓扑谱序列和黎曼曲面也是必要的至少要知道定义单值化定理 kunneth formula ，fiber product

另外，懂一点点示性类会让你读代数几何的例子更轻松点

怎样学习代数几何？(初级)

代数几何作为现代数学的核心分支，囊括了数论，复几何，流形，交换代数，同调，代数拓扑，谱序列等数学分支，几乎无所不包（universal），为了学习并精通这门课程，3－6年是必要的。因此这是一个艰苦的过程，但是通过一定量的练习，有一定数学基础的人还是能够学习的。

初级阶段：

需要交换代数和同调代数的基础([AM] [HS]等读完各一本)，有一些书籍是入门的，在这

里我强烈的推荐

[Harris]1992 Algebraic Geometry:A First Course

非常通俗的一本书，例子很多，如果没有足够的基础，不要随便跨越阶段！

另外，由于该书的理论较少，下面一本书可以做为补充

[Shafarevich] Basic Algebraic Geometry 非常容易阅读的书内容主要是古典代数几何的内容，另外，网上有[Gathman]的讲义，名字忘了，也是讲古典代数几何的。

接下来，我们用一些更现代的的语言。

[milne] Algebraic Geometry 网上的讲义，简洁并且容易阅读，需要一些较好的交换代数和域论，Galois theory(如[milne]的网上讲义)的知识

[Mumford] The Red Book 初级阶段的最后一本代数几何教程

另外为了中期的准备代数拓扑(如[Hatcher][Rotman][Fulton][May],四选一，最后一本需要很好的同调代数和范畴论，如GTM5[MacLane]，才能够阅读)

示性类也是必要的，这里非常推荐[Milnor]的经典教材Characteristic Classes，还有[Hatcher]的网上讲义。重点要看陈类。

这里我建议把所有列的书看完，因为这是很必要的。最好能把所有习题做完。另外，我尽可能的列网上的讲义是因为他们对所有人免费，并且持续更新，错误较少。

好了，喜欢代数几何的朋友们，开始学习把，如果基础不够的别忘了先补交换代数和同调代数啊。

中级教程的帖子很快我会写出来。

交换代数：针对代数几何的学习路径

交换代数的两个主要的动机是代数几何和代数数论。我先发一篇针对代数几何的。事实上，代数几何现在已经包含代数数论的绝大多数内容。

[Atiyah&McDonald] An Introduction to Commutative Algebra 入门最常用的文献集中的下面那些讲义最主要的东西，习题非常多

[Bourbarki] 法文的名字忘记了也很不错内容翔实 60，70年代的大作

[Eisenbud] Commutative Algebra:A view toward algebraic geometry 特点是很多讲构造的动机，是为了和[Hartshorne]（1977）的代数几何配套。

[Matsumura] Commutative Algebra中等水平的教材长度适中又很好的几何化[Matsumura] Local Ring Theory 需要[AM]作为基础

[Nagata] Local Rings 简洁但比较难读

[Serre] Local Algebra 简单的入门书重点是同调方法

建议是如果学代数几何最好都看看，不学的话第一本看完也差不多了。

同调代数的入门途径

什么是同调？

首先确定一个范畴C,假设我们需要构筑一类关于C的上同调群,令G为群范畴(或某个阿贝尔范畴,如模范畴等)我们通过构筑一个入射(或投射,如果是构筑同调)正合列生成函子F:C->C[ch] 一个非正合函子S:C->G, I为C中一个物体.则通过函子F和S[ch] I-> {I->I1->I2->…}-> {G->G1->G2->..} 则H0(I)=im(i0)/ker(i1)… Hn(I)=im(in)/ker(in+1) 其中im_=ker(cok_)=cok(ker_)

接下来举个具体例子:拓扑空间层的上同调

令F为拓扑空间X上的一个层,S为F打到F(X)的函子,最后获得的上同调是容易看出的.

另外一提的是如果X是光滑流形M,F为光滑函数层,最后获得的上同调是De Rham cohomology（这就是从另一个角度解释微分几何的一个重要定理：de rham上同调与微分结构无关，只与拓扑结构相关）

同调的方法自从代数拓扑中引进之后已经成为现代数学的核心方法，我介绍几本书供大家参考。

[Hilton&Stambach]A Course in Homological Algebra GTM4不错的入门书重点是module范畴。

[Osbourn]Basic Homological Algebra GTM196喜欢代数几何的可以看这本上手很快并且后半部分是抽象同调理论

[Eilenberg]Homological Algebra 抽象同调代数建立在Abelian Category上面的[Iversen] Cohomology of Sheaves 层的上同调，一本使用手册，重点在应用，强烈推荐。[Schapira] Categories and Homological Algebra 一本范畴和同调融合，从范畴观点看同调的小册子。

[Weibel] An Introduction to Homological Algebra 常用的参考书，最好应该看一遍的。[Gelfrand] A Metheods in Homology 名字有点忘了比较难的书我没有看过不能评价

大家根据自己需要看吧，入门的话我个人觉得GTM4比较好，初等代数几何的话GTM196（我有习题答案，自己做的）如果是EGA等高难度的代数几何，Iversen的书可能是必要的，如果可能的话最好能懂点抽象的层（比如[Kashiwara&Schapira]Categories and Sheaves 06年4月的新书难度稍大内容过于抽象我根本没法看）

一个新课题：同伦代数

同调代数无与伦比的成功促使Quillen思考另一类代数拓扑的重要结构：同伦论。一维同伦群我们知道就是所谓的基本群，是一个非常好的量。为什么好呢？

1functorial

2geometric intuition

详细的见论坛另一篇贴我的数学方法，这两个条件决定了基本群函子pi是性质非常好的构造，但是不够强，因此我们考虑同调论，同调的直观性要弱很多。

还有一类构造称为高维同伦群，现在对这个的研究比较艰难，这也是促进同伦代数发展的一个动机。

但是同伦代数的难度远远大于同调，因为同调结构是天生有很多代数的样子，可是同伦是拓扑结构，因此从范畴论的角度来考虑就相当难了。后来我们有了一个方法，cofibrant 和fibrant（和我们今天学习的顺序相反，历史上是fibrant先出现的）结构。在这个结构上，Quillen构筑了同伦代数的雏形，这门学科沉寂达10多年，最近开始热门起来了，而且在K理论和多个代数结构中都体现出威力。

不过和它的初衷不同，同伦代数在代数几何中的应用已经远远超过代数拓扑本身了。不过在我看来这是个好现象，进一步现实了现代数学的语言是有可能统一的，尽管需要时间。

好了，介绍就到这里，打击有兴趣的快点去学把，感受那份继承Grothendieck的优美数学。

利用同调对于证明The Jacobian Conjecture的想法

我自己有一个很有趣的想法，就是利用上同调的工具来证明The Jacobian Conjecture，其中核心的想法是构筑所谓的topoids groupoids homotopy of topoids等另外还涉及category和representable functor。有兴趣的朋友可以来交流

需要阅读的材料除了猜想本身的文献，还有：

EGA1(elements de geometrie algebrique) SGA1 SGA4(seminaire de geometrie algebrique) 和[hartshorne]的二，三章 [milne] etale cohomology

(完整版)奥鹏福师201803《高等代数选讲》试卷A参考答案

▆ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 《高等代数选讲》期末考试 一、 单项选择题（每小题4分，共20分） 1 2 3 4 5 D A A C D 1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ ） () ()k k k A AB A B =； ()B A A -=-； 22() ()()C A B A B A B -=-+； ()D AB B A =。 2．设A 为m n ?矩阵，B 为n m ?矩阵，则（ ）。 ()A 若m n >，则0AB =； ()B 若m n <，则0AB =； () C 若m n >，则0AB ≠； () D 若m n <，则0AB ≠； 3．n R 中下列子集是n R 的子空间的为（ ）． () {} 3111[,0,,0,],n n A W a a a a =∈L R ()3 2121[,,,],1,2,,,1n n i i i B W a a a a i n a =??=∈==???? ∑L L R ； ()33121[,,,],1,2,,,1n n i i i C W a a a a i n a =?? =∈==????∏L L R ；， () {}342[1,,,],2,3,,n i D W a a a i n =∈=L L R 4．3元非齐次线性方程组Ax b =，秩()2r A =，有3个解向量 123,,ααα， 23(1,0,0)T αα-=，12(2,4,6)T a α+=，则Ax b =的一般解形式为（ ）. （A ）1(2,4,6)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （B ） 1(1,2,3)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （C ）1(1,0,0)(2,4,6)T T k + ，1k 为任意常数 （D ） 1(1,0,0)(1,2,3)T T k +，1k 为任意常数 5．已知矩阵A 的特征值为1,1,2-，则1A -的特征值为（ ） ()A 1,1,2-； ()B 2,2,4-； ()C 1,1,0-； ()D 11,1, 2 -。 二、 填空题（共20分） 1．（6分）计算行列式2 2 2 1 11 2 34234= 2 ；32001200 02321 2 4 4 = 16 。 2．（4分）设4 44113 2145 3 33222354245613 D =，则212223A A A ++= 0 ；2425A A += 0 。 3．（3分）计算 100123100010456001001789010?????? ??????-=?????????????????? 。 4．（4分）若2 4 2 (1)|1x ax bx -++，则a = 1 ；b = -2 。 5．（3分）当λ满足 λ≠1,-2 时，方程组 000x y z x y z x y z λλλ++=?? ++=??++=? 有唯一解。 三．（10分）计算n 阶行列式：320001320 01300 000320 1 3 n D = L L L L L L L L L L L 四．（10分）已知矩阵X 满足111221022402110066X -???? ????=-????????-???? ，求X

高等代数读书报告

读 书 报 告 学校： 专业： 学号： 姓名： 读书时间：2010年9月——2011年2月

书名：《高等代数》 作者：王萼芳、石生明 出版社：高等教育出版社 页数： 432页 内容概要：高等代数是大学数学专业的一门主干基础课，它概念多、抽象度高、思维方式独特，与中学代数在研究问题和处理问题方式上存在较大区别。但是，高等代数与中学代数在知识内容、思想方法和数学观念方面有一定的联系。因此，开展高等代数观点下的中学代数研究对数学教师专业知识的深化、科学理论的完备、教学实践能力的提高以及教学研究能力的培养具有重要理论意义和应用价值。 本课程的内容包括：线性方程组，矩阵，行列式，双线性型与二次型，线性空间，线性变换，具有度量的线性空间（欧氏空间、酉空间、四维时空空间、辛空间），Jordan标准形，有理整数环，一元和多元多项式环，多线性代数（张量积、张量、外代数）的初步理论等。本课程不仅注重讲授代数学的基本知识，更强调对于学生的“三个基本训练”和“一个初步训练”，即:代数学基本思想的训练、代数学基本方法的训练、线性代数基本计算的训练以及综合运用分析、几何、代数方法处理问题的初步训练。代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。虽然也叫做加

法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等。 多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。 多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。 我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。 心得：《高等代数》是数学专业一门重要的基础课,也是对学生进行思维缜密性、逻辑性、条理性训练的一门很有效的课程。但由于高等代数理论性强,定理及证明较多,学生学习有一定难度,因此,如何上好高等代数课并提高该课程的教学质量显得尤为重要。 学习高数无疑是多看多做,熟练公式,灵活运用.把每道题目做的滚瓜烂熟,想做就哗哗地写出来了,把每一个公式记得“想唱就唱”,把任何一个公式运用地生龙活虎,不要把每个公式都记住了而不会灵活地运用,这就等于没有记住一样。

线性代数的学习方法和心得体会

线性代数的学习方法和心得体会 一、学习方法 今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。 首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。 总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。 我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成； 2. 这些点之间存在相对的关系； 3. 可以在空间中定义长度、角度； 4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动， 认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。

奥鹏福师201803《高等代数选讲》试卷A参考答案

▆ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 《高等代数选讲》期末考试 一、 单项选择题（每小题4分，共20分） 1 2 3 4 5 D A A C D 1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ ） () ()k k k A AB A B =； ()B A A -=-； 22() ()()C A B A B A B -=-+； ()D AB B A =。 2．设A 为m n ?矩阵，B 为n m ?矩阵，则（ ）。 ()A 若m n >，则0AB =； ()B 若m n <，则0AB =； () C 若m n >，则0AB ≠； () D 若m n <，则0AB ≠； 3．n R 中下列子集是n R 的子空间的为（ ）． () {} 3111[,0,,0,],n n A W a a a a =∈R ()3 2121[,, ,],1,2, ,,1n n i i i B W a a a a i n a =? ? =∈==????∑R ； ()33121[,, ,],1,2,,,1n n i i i C W a a a a i n a =? ? =∈==????∏R ；， () {}342[1,, ,],2,3, ,n i D W a a a i n =∈=R 4．3元非齐次线性方程组Ax b =，秩()2r A =，有3个解向量 123,,ααα， 23(1,0,0)T αα-=，12(2,4,6)T a α+=，则A x b =的一般解形式为（ ）. （A ）1(2,4,6)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （B ） 1(1,2,3)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （C ）1(1,0,0)(2,4,6)T T k + ，1k 为任意常数 （D ） 1(1,0,0)(1,2,3)T T k +，1k 为任意常数 5．已知矩阵A 的特征值为1,1,2-，则1A -的特征值为（ ） ()A 1,1,2-； ()B 2,2,4-； ()C 1,1,0-； ()D 11,1, 2 -。 二、 填空题（共20分） 1．（6分）计算行列式2 2 2 1 11 2 34234= 2 ；32001200 02321 2 4 4 = 16 。 2．（4分）设444113 2145 3 33222354245613 D =，则21222 3A A A ++= 0 ； 2425A A += 0 。 3．（3分）计算 100123100010456001001789010?????? ??????-=?????????????????? 。 4．（4分）若2 4 2 (1)|1x ax bx -++，则a = 1 ；b = -2 。 5．（3分）当λ满足 λ≠1,-2 时，方程组 000x y z x y z x y z λλλ++=?? ++=??++=? 有唯一解。 三．（10分）计算n 阶行列式：320001320001300000320 1 3 n D = 四．（10分）已知矩阵X 满足111221022402110066X -???? ????=-????????-???? ，求X

新课标解读数与代数

新课标解读数与代数． 新课标解读之“数与代数”领域内容分析与研讨各位老师大家好！我今天能够作为小学暑期培训教师代表发言，我感到非常荣幸。

主要负责《义务教育小学数学课程标准》“数与代数”部分的解读。下面我结合自己的教学实践，与大家一起交流。也希望通过交流能够引发大家更多的思考和共鸣。 我们都知道，数与代数部分是小学数学课程的重要内容。在小学数学学习中占的比例是最大的，更重要的是这部分学习内容是整个数学学习和学习其他的学科的基础，可以说它是学习数学的主线。“数与代数”的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程等。通过研究分析这部分的内容,可以使我们了解小学阶段数与代数内容的本质与发展，从整体上把握相关概念和数的发展脉络，促使数与代数内容的教学设计和教学目标的实现。

下面我围绕以下几个问题和大家交流一下： 1、小学数学新课程标准和旧课标比较有何变化？ 2、数与代数部分的核心概念。 3、如何建立“数”的概念？ 4、如何处理运算教学中的算理与算法的关系？ 5、如何落实新课标对估算的要求？ 如何依托现实情境帮助学生体现和理解常见的量、6． 问题一：小学数学新课程标准和旧课标比较有何变化？《标准》对数与代数这部分内容作了较大地改革：

1．重视数与符号意义以及对数的感受，体会数字用来表示和交流的作用。通过探索丰富的问题情景发展运算的含义，在保持基本笔算训练的前提下，强调能够根据题目条件寻求合理、简捷的运算途径和运算方法，加强估算，引进计算器，鼓励算法多样化。 2．对于应用问题：选材强调现实性、趣味性和可探索性；题材呈现形式多样化（表格、图形、漫画、对话、文字等）；强调对信息材料的选择与判断（信息多余、信息不足……）；解决的策略多样化；问题答案可以不唯一；淡化人为编制的应用题类型及其解题分析。 3．使学生初步体会数学可以发现、描述、分析客观世界中多种多样的模式，把握事物的变化和事物间的关系；初步发展学生的符号意

学习高代的一些感悟

学习高代的一些感悟 高代，有人喜欢有人厌，而我是不喜欢也不讨厌的那类人。 虽然学习高代的时间也有两年了，但是还是觉得自己对它是一知半解的，真的像老师说的那样，不知道它从哪里来，也不知道它要到哪里去。高代于我而言，一直是一门让我很头痛的课。 自从大一开始学习高代开始，我就对高代这门课没什么感觉，那时候还有点不喜欢它。同学们都说文毅玲老师上课上得很好，都很喜欢他上的高代课，可是我一直都没有这样的感觉。就是从那时开始，就觉得自己很笨，心中就认定了自己没有学好高代的天赋，从此对它就产生了一种恐惧感。所以，高代和数分，我更喜欢后者，花在高代的时间就比数分的少。一直以来也是数分学得比高代好很多。其实我也一直很想学好高代这门课，但是就不知道该如何下手，感觉它太抽象了，我一直很想走进高代的殿堂，但是自己好像一直都是站在大门之外，进不去。学习高代的两年时间里，自己觉得大二那个学期时是比较努力的，但是也学得不好。这学期的高代选讲课相对来说比较不认真，有时候上课也不认真听老师讲，有时候跟不上老师的进度时，自己就会开始不听在那里发呆直到下课。这种学习态度确实很不好。大学里的学习，我丢掉了高中时爱问问题的好习惯，有时遇到不懂的问题也是搁置着，不主动去寻求解决办法。在高代的学习中，我不是最厉害的那个人，但我也认为没有谁是笨的，只要努力，终会有所收获的。在接下来的日子里，努力学习，因为大学的时光所剩不多了，我知道努力不一定有收获，但是不努力注定没有收获。不管是高代，还是接下来所要学习的各种课程，都应该全力以赴。 听过文老师和卢老师的高代课，我觉得文老师课上得很好，板书很好啦，也负责任，卢老师也很不错啦，也非常负责任，相比文老师来说，卢老师还缺乏一些经验吧，但是卢老师很善于和学生交流，这在大学里是比较难得的。每个老师的有自己的上课风格，只要我们适应了老师，听起课来就会比较容易了。而且也只有我们去适应老师，不可能让老师来适应学生的。 不管怎么样，我觉得要把学习搞好，都要脚踏实地，一步一个脚印。我相信只要努力去学习，终会有所收获的！

线性代数超强的总结(不看你会后悔的)

线性代数超强总结 ()0A r A n A Ax A A οο??

√ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =-K N N √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? O O 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ?????????? N N

小学数学数与代数教材分析

小学数学数与代数教材分析 小学数学学科主要包括数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合应用四个部分的内容，其中数与代数部分占据了近50%的比重。因此这部分知识的教学是小学数学教学的重心所在，教师教学成功与否，知识的巩固与落实直接关系着学生数学基本素养的生成。所以对本部分教材进行分析，对于我们更好的提高个人素质，把握教学要求有着重要的意义，现即从以下几个方面对本部分知识进行分析。 一、数与代数的教学内容 一年级1、生活中的数即学习认识10以内、100以内的数； 2、比较10以内、100以内数的大小； 3、10以内、20以内、100以内数的加减法； 4、认识钟表； 5、购物； 二年级1、数一数与乘法，体会乘法的意义； 2、乘法口诀的学习； 3、分一分与除法，体会除法的意义，除法与乘法的互逆关系； 4、时、分、秒； 5、乘加、乘减、除加、除减、加减混合以及两步有括号式题； 6、万以内数的认识学习以及万以内数的加减法； 三年级1、百以内一位数乘两位数和一位数除两位数的口算； 2、千克、克、吨的认识学习； 3、两位数乘一位数及连乘、三位数乘一位数、两位数乘两位数； 4、两、三位数除以一位数的除法和连除、乘除混合运算及估算意识的培养； 5、年、月、日的学习； 6、分数的初步认识； 四年级1、认识亿以内的数； 2、三位数乘两位数；

3、三位数除以整十数、三位数除以两位数这是小学阶段整数运算的最后一个学习内容； 4、负数的初步认识； 5、小数的认识及小数加减法、小数乘法、小数除法的学习； 6、认识方程； 五年级1、倍数与因数； 2、分数的再认识； 3、分数加减法、分数乘法、分数除法的学习； 4、分数混合运算； 5、百分数的学习； 六年级1、百分数的应用； 2、比的认识； 3、正、反比例的学习； 二、数与代数教学的具体目标 在这部分的叙述中将整个教材分为两部分，第一学段（1---3年级）和第二学段（4---6年级）。 （一）第一学段的具体目标 1：数的认识 （1）能认、读、写万以内的数，会用数字表示物体的个数或事物的顺序和位置。 （2）认识符号＜，＞，＝的含义，能够用符号和词语来描述玩以内数的大小。案例：对于50，98，38，10，51这些数，请用大一些、小一些、大得多、小得多等语言描述它们之间的大小关系；并用“＜”或“＞”表示它们的大小关系。 （3）能说出各数位的名称，识别各数位上数字的意义。 （4）结合现实素材感受大数的意义，并能进行估计。案例1：1200张纸大约有多厚？1200名学生大约能组成多少个班级？1200步大约有多长？案例2：估计一张报纸一个版面的字数。

高等代数半期心得体会

高等代数半期心得体会 刚刚开始接触到高等代数的时候，对它一无所知，仅仅听其它专业的同学谈论过线性代数这门课程。唏嘘记得第一高代课节讲的是排列，全新的知识点，因为第一次课没有课本，那节课我异常的认真，发现高代很有趣。在第一次课，我们也见到了树文老师，第一次课老师提早了五分钟来，在这几分钟里老师没有和我们说话，让我觉得老师很严肃。但是在之后的接触却让我深深的喜欢树文老师。 记得老师说过数学大致分为基础数学运用数学。而基础数学包含几何、代数和分析，这三个主要方面。说明我们所学的高等代数是学习之后课程的基础，可见其重要性。《高等代数》是数学学科的一门传统课程。在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用性的今天，《高等代数》以其追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是我们的主干基础课程。它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。高等代数是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。 在学习之前，我一直认为高等代数就是线性代数。经过半学期的学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。高等代数是我们数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，只注重应用。 经过半学期的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是代数的一些思想，也从中收获不少。下面就对半学期的学习做一个回顾和总结。 行列式 行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域 定义：设A=（aij）为数域F上的nn矩阵，规定A的行列式为

数与代数教材分析

1、数与代数 教学目标： 1.结合具体的情境，回顾和整理小学阶段所学习的数，构建数的认识的知识网络；进一步理解自然数、小数、分数、负数的意义及表示方法；总结整数、小数、分数比较大小的方法，并进行比较。 2.从现实生活中解决实际问题的需要和数学运算的需要两个不同的角度体会数 的扩充过程，进一步体会数的作用，会用数来表示事物并进行交流；在估计大数、刻画数之间的相对大小关系等活动中，发展数感。 3.结合具体情境，进一步理解四则运算的意义及其在现实生活中的应用；进一步加深对整数、小数、分数四则运算的法则和算理的理解，能正确进行相关的计算；进一步总结梳理估算的方法，能合理运用估算解决简单的实际问题；进一步体会估算的作用，掌握混合运算的顺序，加深对运算律的理解，能合理、灵活、正确地进行四则混合运算。 4.在运用所学知识解决实际问题过程中，梳理解决问题的思路和策略，进一步提高发现问题和提出问题的能力，提高分析数量关系的能力，提高解决实际问题能力，感受数学与生活的联系，提高数学的应用价值。能回顾解决问题的过程，进一步养成检验和反思的习惯。 5.回顾和整理小学阶段有关代数的初步知识，进一步体会方程的意义和思想，能用等式的性质解简单的方程；能用方程表示简单情境中的等量关系；能用方程解决简单的实际问题，进一步体会方程的价值。 6.进一步理解比的意义和比例的意义，深刻理解比与分数、除法的关系，能运用比和比例的知识解决一些简单的实际问题；结合具体情境，进一步理解正比例、反比例的意义，在正比例、反比例的回顾与反思中，体会函数的思想。 7.整理常见的量及其单位，进一步体会各个单位的实际意义，复习单位之间的换算。 8.进一步经历探索给定情境中蕴含规律的过程，体验用含有字母的式子表示规律，发展应用规律解决问题的意识。

关于高等代数与数学分析的学习体会

高等代数与数学分析的学习体会 摘要：作为数学系的学生，高等代数和数学分析，是我们一进大学就开始学习的两门最重要的课程。同时它们也是数学中最基础的两门课程，几乎所有的后学课程都要用到它们。在本文中，我就自己对这两门课程的基本内容，学习体会，以及这两门课程与后学课程的联系三个方面谈了一些自己的看法。 高等代数部分 基本内容： 在谈自己对高等代数的学习体会之前，我想先回顾一下高等代数的基本内容。我们大一所学习的高等代数，主要包括两部分：多项式代数和线性代数。 其中线性代数部分又可以分成：行列式，线性方程组，矩阵，二次型，线性空间，线性变换， —矩阵，欧几里得空间，双线性函数与辛空间等一些章节。而在这些章节中，又是以向量理论，线性方程理论和线性变换的相关理论为核心的。 如果和以前学过的初等代数相比，我觉得，高等代数在初等代数的基础上把研究对象作了进一步的扩充。它引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 简单体会： 记得大一刚学习高等代数的时候，那时感觉自己真的学得云里雾里，因为那时感觉它实在是太抽象了而无法理解。但是通过不断地对它的学习，慢慢地开始有好转，开始感觉它不再那么陌生，并对它有了初步的认识。而当我学完抽象代数之后，我发现自己对高等代数的有了更好的理解。其实高等代数中的每个不同的章节，都是由一个集合再加上一套运算规则，进而构成的一个代数结构。 例如，第一章多项式，我们所有的讨论都是在某个数域P上的一元多项式环中进行。其中的某个数域P中的一元多项式全体，就相当于某个集合，在这个集合的基础上再加上关于多项式的运算规则，就构成了一个代数结构。 因为高等代数具有这种结构，所以在学习每种代数结构时，我们总会先学这个代数结构是建立在那个集合上以及它的运算规则是怎样定义的。因此，在高等代数学习中对每种代数

线性代数学习心得体会doc

线性代数学习心得体会 篇一：学习线性代数的心得体会 学习线性代数的心得体会 线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。”我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级的应用。我自己对线性代数的应用了解的也不多。但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。 线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的困难。在这门课的学习过程中，很多同学遇到了上课听不懂，一上课就想睡觉，公式定理理解不了，知道了知识但不会做题，记不住等问题。我认为，每门课程都是有章可循的，线性代也不例外，只要有正确的方法，再加上自己的努力，就可以学好它。 线代是一门比较费脑子的课，所以如果前一天晚上睡得太晚第二天早上的线代课就会变成“催眠课”。那么，就应该在第二天有线代课时晚上睡得早一点。如果你觉得上课跟不上老师的思路那么请预习。这个预习也有学问，预习时要“把更多的麻烦留给自己”，即遇到公式、定理、结论马上把证明部分盖住，自己试着证一下，可以不用写详细的过程，

想一下思路即可；还要多猜猜预习的部分会有什么公式、定理、结论；还要想一想预习的内容能应用到什么领域。当然，这对一些同学有困难，可以根据个人的实际情况适当调整，但要尽量多地自己思考。 一定要重视上课听讲，不能使线代的学习退化为自学。上课时干别的会受到老师讲课的影响，那为什么不利用好这一小时四十分钟呢？上课时，老师的一句话就可能使你豁然开朗，就可能改变你的学习方法甚至改变你的一生。上课时一定要“虚心”，即使老师讲的某个题自 己会做也要听一下老师的思路。 上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍再做作业。实际上应该先试着做题，不会时看书后或做完后看书。这样，作业可以帮你回忆老师讲的内容，重要的是这些内容是自己回忆起来的，这样能记得更牢，而且可以通过作业发现自己哪些部分还没掌握好。作业尽量在上课的当天或第二天做，这样能减少遗忘给做作业造成的困难。做作业时遇到不会的题可以 问别人或参考同学的解答，但一定要真正理解别人的思路，绝对不能不弄清楚别人怎么做就照抄。适当多做些题对学习是有帮助的。。 线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只

数与代数课程目标解读

第1单元课程目标解读 在本学段中，学生将学习万以内的数、简单的分数和小数、常见的量，体会数和运算的意义，掌握数的基本运算，探索并理解简单的数量关系。 具体目标： 1. 数的认识 ●能认、读、写万以内的数，会用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。 ●认识符号＜、＝、＞的含义，能够用符号和词语来描述万以内数的大小。 ●能说出各数位的名称，识别各数位上数字的意义。 ●结合现实素材感受大数的意义，并能进行估计。 ●能结合具体情境初步理解分数的意义，能认、读、写小数和简单的分数。 ●能运用数表示日常生活中的一些事物，并进行交流。 2. 数的运算 ●结合具体的情境，体会四则运算的意义。 ●能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，会口算百以内的加减法。 ●能计算三位数的加减法，一位数乘三位数、两位数乘两位数的乘法，三位数除以 一位数的除法。 ●会计算同分母分数（分母小于10）的加减运算以及一位小数的加减运算。 ●能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程。 ●经历与他人交流各自算法的过程。 ●能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断。 3. 常见的量 ●在现实的情景中，认识元、角、分，并了解它们之间的关系。 ●能认识钟表，了解24时计时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短。 ●认识年、月、日，了解它们之间的关系，能正确判断平年和闰年。 ●在具体生活情境中，感受并认识重量单位克、千克、吨和长度单位米、分米、厘 米、，并能进行简单换算。 ●结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。 4. 探索规律 ●发现给定的事物中隐含的简单规律。

案例一： 教学过程 ▼ ▼ ▼ ★教学内容分析 9加几的进位加法”的教学是（人教版）《义务教育课程标准实验教科书》一年级上册

高代选讲学习心得

竭诚为您提供优质文档/双击可除 高代选讲学习心得 篇一：关于高等代数学习的感想 关于高等代数学习的感想 数学是一门需要耐心与细心的学科，很多同学一提到数学就觉得头疼。的确，数学繁复的证明，难记的公式，复杂的计算让很多同学望而生畏，正因为如此，一旦经过自己的努力解出一道数学题，那种兴奋的感觉是难以形容的。我想，数学的魅力就在于此吧。 大一下学期，我们开设了高等代数这门课程。高等代数主要是对多项式、行列式、矩阵、线性空间、线性变换等进行学习。记得高等代数第一节课时，我就对高代复杂且枯燥的证明失去信心，看着密密麻麻的证明和叙述，我完全没有看下去的兴趣。高代老师段辉明看出了我们的困惑，她耐心地引导我们，尽量使ppt内容简洁易懂，活跃课堂气氛，使同学们在幽默轻松的环境下学习。渐渐地，高代的课堂上充满了欢乐，同学们对高代的兴趣也逐渐提升，大家的学习成绩自然也提高了不少。

经过对高代一学期的学习，我总结出以下的学习技巧：1、按部就班。数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。所以，平时学习不应贪快，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。2、强调理解。概念、定理、公式要在理解的基础上记忆。每新学一个定理，尝试先不看答案，做一次例题，看是否能正确运用新定理；若不行，则对照答案，加深对定理的理解。3、基本训练。学习数学是不能缺少训练的，平时多做一些难度适中的练习，但要避免陷入死钻难题的误区，要熟悉常考的题型，训练要做到有的放矢。4、标出重点。平常看题看课本的时候, 碰到有好的解题方法或重点内容,可以用鲜艳的彩笔划出来,以便以后复习时能一目了然。5、学会做笔记。做笔记是一种与动手相结合的学习行为，有助于对知识的理解和记忆，是一种必须掌握的技能。学习笔记主要有课堂笔记、读书笔记和复习笔记等，课堂笔记应注意结合教材进行记录，不能全抄全录老师的板书。读书笔记应注意做好圈点勾批，所谓"不动笔墨不读书"。复习笔记应注意做好知识的归纳整理，理清知识结构和联系。还需要指出的是，不论哪种笔记都要做好疑难问题的记录，便于集中处理。做好课堂笔记是学好高等代数必不可少的环节，它为下一步复习提供资料。做课堂笔记是有技巧的，要记那些书本里没有的东西、具有

线性代数心得体会

线性代数 关键词：高等数学自学理解 线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。 线性代数是继微积分之后又一门高等数学，与微积分想比，线性代数的基础行列式和矩阵是在高中有所学习的，入门还是相对比较简单的。线性代数从内容上看前后联系紧密，环环相扣，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。所以多做题也是积累经验来方便自己在解题时能更快更准确得运用适当的性质来简化题目。 认真上好每一堂课对于学习好线性代数是格外重要的.教材上的知识和技巧主要由老师在课堂上以授课的形式传授给你。你在上课时应集中精力听讲，积极思考老师提出的问题，迅速而恰当地做笔记。看书的准确程序是：课前预习内容，课上跟着老师的思路走，尽量不看书来回答上课提出的问题，课后进行复习巩固。而有的人恰恰相反，他们在课上埋头看自己的书，丝毫不理会老师在讲什么，这样做只会降低效率 线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只要能朦朦胧胧地想到它的所以然就行了。学习线代及其它任何学科时都要静下心来，如果学习前很亢奋就拿出一两分钟时间平静下来再开始学习。遇到不会做的题时不要去想“这道题我怎么又不会做”等与这道题无关的东西，一心想题，这样解出来的可能性会大很多。做完题后要想想答案上的方法和自己的方法是怎么想出来的，尤其对于自己不会做的题或某个题答案给出的解法非常好且较难想到，然后将这种思路记住，即做完题目后要总结自己做题的思路，活用在之后的做题中。 很多人都说，审计是文科的，学像微积分和线代这样的理科课程没有什么意义，虽然表面看起来是这样的，但实际上却不然。理科注重的逻辑，在学习的理科的过程中，我们的思路会变得清晰，会计是很复杂的一个专业，很多时候不同的条件会需要进行不同的处理，而理科会让这些复杂的东西在我们脑海中变得仅仅有条，所以学习线代也是有必要的。

高代选讲心得

高代选讲心得 说起数学，这是让我引以为豪的学科。从初中开始就喜欢数学，是那种没有理由的喜欢，因此当了六年的数学科代表。大学也选择了数学与应用数学专业，目标是当数学老师，估计这辈子跟数学是分不开的了。 高等代数是我进入大学所学的第一门专业课，高等代数是数学专业本科生最重要的一门基础课，它和数学分析、解析几何统称为数学专业的三门基础课程。从中学数学到高等数学，实际上是由具体的、粗浅的数学结构上升到了严谨的公理化体系的论述，由形象思维上升到抽象思维，由特殊到一般，由简单到复杂，由低级到高级。高等代数为后面我学习近似代数、拓扑学等学科奠定了基础。刚接触这门课的时候，觉得很难很抽象，就以做题目为例，凡是涉及到数字计算的还可以做，一到脱离数字的证明题就无从下手。经过三年的大学学习，特别是这次学完高等代数选讲，让我获益匪浅。具体可以从下面这几大方面来说： 一、高等代数选讲这门学科自身的魅力 首先是矩阵，用陈老师的话来说，就是“很漂亮”。学完高等代数选讲，会发现矩阵、矩阵的行列式、矩阵的秩、逆、转置以及特征值、特征向量可以解决很多数学问题。比如线性方程组可以表示成矩阵和列向量的乘积，通过该系数矩阵的秩和增广矩阵的秩以及未知数的个数的关系可以判断该线性方程是无解、有唯一解还是有无穷多解。他们彼此之间不是独立的，是相互联系的。比如求矩阵A的逆可以利用伴随矩阵*A和行列式A的逆来求。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域，在力学、物理、科技等方面都有广泛的应用。 其次是等价关系。给定的集合中的元素之间的关系若满足反身性、对称性和传递性，则称该关系为等价关系。等价关系是高等代数中一个非常重要的关系，比如矩阵的相似、合同以及相抵关系都是等价关系、线性映射的同构也是一个等价关系。再联想初中、高中，我们所熟悉的全等三角形也可以看做是一个等价关系。 然后是线性空间。在高等代数选讲的前言中讲到，这本书分三个层次学习线性空间。第一个层次研究线性空间的元素之间的线性关系。在这本书的第四章，涉及到线性相关、线性无关、极大无关组、基和维数等。从线性空间的元素之间

福建师范大学《高等代数选讲》A卷答案(可编辑修改word版)

1 1 n 1 4 2 n i 福建师范大学网络教育学院 《高等代数选讲》 期末考试 A 卷 学习中心 专业 学号 姓名 成绩 一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 设 A , B 是n 阶方阵， k 是一正整数，则必有（D) (A ) )( AB )k = A k B k ； (B ) - A = - A ； (C ) (C ) A 2 - B 2 = ( A - B )( A + B ) ； (D ) (D ) AB = B A 。 2. 设 A 为m ? n 矩阵， B 为n ? m 矩阵，则（ A ）。 ( A ) 若m > n ，则 AB = 0 ； (B ) 若m < n ，则 AB = 0 ； (C ) 若m > n ，则 AB ≠ 0 ； (D ) 若m < n ，则 AB ≠ 0 ； 3. R n 中下列子集是R n 的子空间的为（ A ）． ( A ) W = {[a , 0, , 0, a ] a , a ∈ R 3} ( B ) W = ? , a ] a ∈ R 3, i = 1, 2, , n , ∑ a = ? 2 ?[a 1 , a 2 , n i ? ? 3 i i =1 n 1? ； ? ? (C ) W 3 = ?[a 1 , a 2 , , a n ] a i ∈ R , i = 1, 2, , n , ∏ a i = 1? ；， ( D ) ? W = {[1, a , , a ] i =1 ? a ∈ R 3 , i = 2, 3, , n } 4. 3 元非齐次线性方程组 Ax = b ， 秩 r ( A ) = 2 ， 有 3 个解向量 1,2 ,3 ， - = (1, 0, 0)T ， a + = (2, 4, 6)T ，则 Ax = b 的一般解形式为（ C ）. 2 3 1 2 n n

抽象代数学习心得

The Learning Experience Of Abstract Algebra 抽象代数学习心得 When I contacted with abstract algebra firstly,I felt like such a course was very difficult for me, because the material is written in English, each one strange English word brought me a lot of pressure. Especially in the class, I feel that I can't keep up with the teacher. Because before unstanding the definition during my study, I have to translate the English words back to the Chinese in my mind, so it greatly reduced the efficiency of my study and it has become one of the biggest difficulties in my learning abstract algebra. 当我刚开始接触抽象代数这么课程时，我感觉这么课程对我来说是很困难的，因为教材是全英文撰写的，一个个陌生的英语词汇给我带来了很大的压力。尤其在课堂上，我感觉我完全不能跟上老师思路。因为我在学习过程中在理解和思考定义之前，我必须将英文词汇的意思在脑海中翻译回中文，这样大大地降低了我学习的效率，因此成了我学习抽象代数中的最大困难之一。 When I was thinking about how to solve the difficulties, I think back to the reference books which the teacher had recommended to us, so I found some reference books about abstract algebra in the school library. After reading these books, they make me feel relaxed studying of abstract algebra. Because these reference books are in Chinese and they eliminated the ambiguity of understanding the definition or theorem which caused by I was not familiar with the English. Before class, I will see a Chinese reference book first, and then looking at the teaching material which written in English, it will make me feel much easier to understand the teaching material content. 在我思考怎样解决这个困难的时候，我回想到老师向我们推荐的参考书，于是我在学校图书馆找到了一些关于抽象代数的参考书。阅读这些参考书之后，使我感觉抽象代数的学习变得轻松了些，因为这些参考书是中文的，消除了因对英文的不熟悉而引起对定义或定理理解的歧义。在上课前的预习，我都会先看一次中文的参考书，再看全英的教材，使我感觉对教材上的内容的理解也变得轻松了些。 After two months of learning, I have learnt that abstract algebra is mainly doing researches on algebraic structure on the basic of the set and mapping. In the first chapter, we mainly study the definition and representation of sets, the relationship between the sets, the operation of set and mapping and so on. This is similar with that conten t of the advanced algebra. In the function study, we need to distinguish the injective, bijective and surjective clearly. And when the function f is both injective and surjective, which is elements of a set to elements of another set is one-to-one, so we can said that the function f is bijective, and it is the identical transformation of advanced algebra. We not only study the relationship between the sets, but also study the relationship between elements of a set, including the identity relationships and partition of a set.