高考数学点与直线直线方程练习
点与直线 直线方程
一. 教学内容：
点到直线的距离；
点关于点、关于直线的对称点； 直线关于点、关于直线的对称直线； 直线方程复习；
二. 知识点：
1. 点到直线距离公式及证明
d Ax By C A B =
+++||
0022
关于证明：
根据点斜式，直线PQ 的方程为（不妨设A ≠0）
y y B
A x x -=
-00(),
即，Bx Ay Bx Ay -=-00 解方程组
Ax By C Bx Ay Bx Ay ++=-=-??
?
00， 得，x B x ABy AC
A B =--+20022
这就是点Q 的横坐标，又可得
x x B x ABy AC A x B x A B -=
----+02002020
22 =-
+++A Ax By C A B ()
0022
，
y y B
A x x
B Ax By
C A B -=-=-+++000022
()()，
所以，
d x x y y Ax By C A B =-+-=
+++()()()0202
00222
=
+++||
Ax By C A B 0022
。
这就推导得到点P （x 0，y 0）到直线l ：Ax+By+C=0的距离公式。 如果A=0或B=0，上式的距离公式仍然成立。
下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。 设点Q 的坐标为（x 1，y 1），则
Ax By C y y x x B
A A 11101000++=--=???
??,
()≠，
把方程组作变形，
A x x
B y y Ax By
C B x x A y y ()()()()()10100010100-+-=-++---=??
?
，①② 把①，②两边分别平方后相加，得
()()()()A B x x B A y y 2210222102+-++-
=++()Ax By C 002
， 所以，
()()()x x y y Ax By C A B 102
102
00222
-+-=+++，
所以，
d x x y y =-+-()()102102
=
+++||
Ax By C A B 0022
此公式还可以用向量的有关知识推导，介绍如下：
设，、，是直线上的任意两点，则P
x y P x y l 111222()() Ax By C Ax By C 112
200++=++=??
?③④
把③、④两式左右两边分别相减，得 A x x B y y ()()12120-+-=， 由向量的数量积的知识，知
n P P
·，210→
= 这里n=（A ，B ）。所以n=（A ，B ）是与直线l 垂直的向量。
当与的夹角为锐角时，n P
P 10θ d P P =→
||cos 10θ，
（如图所示）
当与的夹角为钝角时，n P
P 10→θ d P
P P P P P =-=-→=→
||cos()||cos |||cos |101210180°θθθ （如图所示）
所以，都有
d P
P =→|||cos |10θ， 因为
n P
P n P P ···，1010→=→||||cos θ 所以
d n P P n =
→||||·10
=
--+|(,)()|
A B x x y y A B ·，010122
=
-+-+|()()|
A x x
B y y A B 010122
=
+++||
Ax By C A B 0022
()因为，所以Ax By C Ax By C 11110++=--=
2. 平行线间的距离公式
3. 点关于点的对称点（中点坐标公式）
4. 已知P 0（x 0，y 0）直线l ：Ax+By+C=0（B ≠0） 点，关于直线的对称点：P x y l 000()
设为，P
x y 111() 则·A x x B y y C y y x x A B 010*********++++=---=-??
?????()
特别地关于特殊直线的对称点。
（x 轴、y 轴、直线y=x ，直线y=－x ）
5. 直线l 关于点P 0（x 0，y 0）对称直线（三种方法）
6. 直线关于直线的对称直线三种方法l l A x B y C 11110++=() 特别地直线l 关于特殊直线y=±x+b 的对称直线。
【典型例题】
例1. 求与直线：平行且到的距离为的直线的方程。l x y l 512602-+= 解法一：设所求直线的方程为，5120x y c -+=
在直线上取一点，，
5126001
20x y P -+=()
点到直线的距离为P x y c 05120-+=
d c c =-++-=
-||
()||121251261322×
由题意，得。
||
c -=6132
∴c=32或c=－20，
∴所求直线方程为和。512320512200x y x y -+=--= 解法二：设所求直线的方程为 5120x y c -+=，
由两平行直线间的距离公式，
得，解之，
265122
2
=
-+-||()
c
得或。c c ==-3220 故所求直线的方程为
512320512200x y x y -+=--=和。
小结：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线
的距离，即把两条平行线之间的距离，转化为点到直线的距离。也可以直接套两平行
线间的距离公式。
d C C A B
=
-+||212
2
例2. 已知正方形的中心为G （－1，0），一边所在直线的方程为x+3y －5=0，求其他三边所在的直线方程。
解：正方形中心G （－1，0）到四边距离均为
||
--+=
151361022
。
设正方形与已知直线平行的一边所在直线的方程为x+3y+c 1=0。
则
，即。||||-+=
-=110
6
101611c c
解得或。c c 1157=-=
故与已知边平行的边所在直线的方程为x+3y+7=0
设正方形另一组对边所在直线的方程为3x －y+c 2=0。
则
×，|()|
3110
6102-+=
c
即，||c 236-= 解得或。c c 2293==-
所以正方形另两边所在直线的方程为： 390330x y x y -+=--=和。
综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为： x y x y x y ++=-+=--=370390330、、。
小结：本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其他三
边所在直线的方程。
例3. 求直线关于直线对称的直线的方程。x y x y --=+-=21010
解法一：由，，得，x y x y x y --=+-=???
==??
?2101010 ∴点（1，0）为两已知直线的交点。
设所求直线的斜率为k ，由一条直线到一条直线的角的公式，
得
，。--
-=+-=11
2112112k k k
故所求直线方程为
y x x y =---=21220()，即。
解法二：由解法一知两已知直线的交点为A （1，0）。
在直线上取一点，，
x y B --=-210012()
设点关于直线的对称点为，，则B x y C x y +-=1000()
02
12210120110
00++-++=----=-?
???
????
?x y y x ，·()
()
解得，。x y 0032
1==?
???? ∴点的坐标为，。
C ()3
21 直线的方程为，，
AC y x x y --=----=010
1
321220
即直线关于直线对称的直线的方程为。x y x y x y --=+-=--=21010220 解法三：设P （x ，y ）是所求直线上的任一点，P 关于直线x ＋y －1＝0对称的点为P 0（x 0，
y 0）， 则在直线上。P x y 0210--= ∴，x y 00210--=
k y y x x PP 00
=
--，
线段的中点是，。PP M x x y y 000
22(
)++
∵点与点关于直线对称，P P x y 010+-=
∴×，。y y x x x x y y ---=-+++-=??
?????0
00112210()
∴，。x y y x 0011=-=-??
? 代入，得x y 00210--=
12110----=y x ()，
即为所求。220x y --=
解法四：Θ直线x+y －1=0 k=－1
∴ 由x+y －1=0??
?-=-=?x y y x 11代入x －2y －1=0得
1－y －2(1－x)－1=0 2x －y －2=0即为所求。
小结：求直线l 关于直线l 1对称的直线的方程，只要在l 上取两点A 、B ，求A 、B 关于l 1的对称点A'、B'，然后写出直线A'B'的方程即为所求。解法二和解法三中，都用到了求一个点P 关于某直线l 的对称点P 0的问题。这个问题的解法就是根据：①直线P 0P 与直线l 垂直；②线段P 0P 的中点在直线l 上，列出方程组解出x 0、y 0，代入x 0、y 0所满足的方程，整理即得所求直线的方程。
例4. 求经过直线和的交点，且在两坐标轴上的32602570x y x y ++=+-= 截距相等的直线方程。
解法一：由方程组，
，32602570x y x y ++=+-=??
?
得，
。x y =-=??
?43 ∴两已知直线的交点为（－4，3）。
当所求直线在两坐标轴上的截距都是0时，直线的横截距、纵截距相等。
∴所求直线的方程为，
y x =-3
4
即。当所求直线不过原点时，340x y += 设所求直线方程为，x y a += 因为点（－4，3）在直线x+y=a 上， ∴，，-+==-431a a
故所求直线方程为。x y ++=10
综上所述，所求直线方程为或。34010x y x y +=++=
解法二：∵所求直线经过直线和直线的交点，32602570x y x y ++=+-=
所以可设所求直线的方程为。3262570x y x y ++++-=λ()(*)
在式中，令得；(*)x y ==-+076
25λλ
令得。y x ==
-+076
32λλ 由题意，得。
762576
32λλλλ-+=-+ 所以或。
λλ==671
3
把和分别代入式整理，
λλ==671
3(*)
即得和。34010x y x y +=++=
小结：解法一设直线的截距式时注意了截距为0的情形。故而没有直接设成
x a y
a A x B y C A x B y C +=++=++10111222的形式，解法二中用到了过两直线与
＝的交点的直线系方程：。0A x B y C A x B y C 1112220+++++=λ()
例5. 已知两条直线：，：，求分别满足下l ax by l a x y b 124010-+=-++=() 列条件的a 、b 的值。
（1）直线l 1过点（－3，－1），并且直线l 1与直线l 2垂直；
（2）直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1、l 2的距离相等。 分析：考查直线与直线平行及垂直的问题的处理方法。 解：()()()111012∵⊥，∴·l l a a b -+-=
a a
b 20--=①
又点（－3，－1）在l 1上， ∴②-++=340
a b
由①、②解得a=2，b=2。
（2）∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a 。 ∴l 1的斜率也存在，
a b
a b a a =-=
-11， 故l 1和l 2的方程可分别表示为
l a x y a a
1
1
41
0：，()
()
-++
-
=
l a x y
a
a
2
1
1
：。
()
-++
-
=
∵原点到l1和l2的距离相等，
∴，或
4
1
1
2
2
3
||||
a
a
a
a
a a
-
=
-
==
因此
，
，
或
，
a
b
a
b
=
=-
?
?
?
=
=
?
?
?
??
2
2
2
3
2
小结：在（2）中由于l1∥l2，l2有斜率，从而得出l1有斜率，即b≠0。
例6. 已知函数，求的最小值，并求取得
f x x x x x f x
()()
=-++-+
22
2248
最小值时x的值。
解：∵f x x x x x
()=-++-+
22
2248
=-+-+-+-
()()()()
x x
101202
2222
它表示点P（x，0）与点A（1，1）的距离加上点P（x，0）与点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P（x，0）与点A（1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值。
由下图可知，转化为求两点A'（1，－1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数f(x)的最小值。
∴的最小值为
f x()()()
121210
22
-+--=
再由直线方程的两点式得方程为。
A B x y
'340
--=
令得。当时，的最小值为。
y x x f x
===
4
3
4
3
10
()
小结：数形结合是解析几何最根本的思想，因此本题联系图形求解，使解法直观、简捷而且准确，易于入手。
例7. 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。
证明：建立如图所示的坐标系，
A （a ，0），
B （0，b ），
C （－a ，0），（a ＞0，b ＞0）， 则直线的方程为，AB bx ay ab +-=0 直线的方程为BC bx ay ab -+=0
设底边AC 上任意一点为P （x ，0）（－a ≤x ≤a ），
则到的距离P AB PE bx ab a b b a x a b ||||()=
-+=
-+22
22
P BC PF bx ab a b b a x a b 到的距离为||||()=
++=
++22
22
A BC h ba ab a b ab a b 到的距离=
++=
+||22
222
∵||||()()PE PF b a x a b
b a x a b
ab a b
h
+=
-++
++=
+=2
2
2
2
2
2
2
∴原命题得证。
例8. 等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x －y ＝0，一条直角边所在直线l 经过点（4，－2），且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标。 解：设直角顶点为C ，C 到直线y=3x 的距离为d ，
则··，1
2210d d =
∴，设的斜率为，则°d l k k k k =-+==?=103134511
2tan
∴的方程为，即l y x x y +=
---=21
24280()
设是与直线平行且距离为的直线，l y x '=310 则与的交点就是点，设的方程是，l l C l x y m ''30-+=
则
，∴±，||
m m 101010==
∴的方程是±l x y '3100-=
由方程组及得点坐标是，或
x y x y x y x y C --=--=???--=-+=???-28031002803100125145()
()--285345，
例9. 已知直线：，l m x m y m ()()212430++-+-=
（1）求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点M ；
（2）过定点M 作一条直线l 1，使l 1夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求l 1的方程； （3）若直线l 2过点M ，且与x 轴负半轴、y 轴负半轴围成的三角形面积最小，求l 2的方程。 解：()()124230化原直线方程为，x y m x y +++--=
由，
定点的坐标为，24023012x y x y M ++=--=????--()
()21设过点的直线方程为，
M x a y
b +=
它与x 轴、y 轴分别交于A （a ，0），B （0，b ）。
∵M 为AB 中点，由中点坐标公式得a=－2，b=－4， ∴所求直线方程为240x y ++=
()()()32102设所求直线的方程为，l y k x k +=+< 它在轴，轴上的截距分别为，，则易得：x y a b
S a b k k k k k k =
=--=--=+-+-≥12122121212221244||||||||()()[()()]··
当且仅当k ＝－2时，围成的三角形面积最小，
∴所求的直线方程为，即y x x y +=-+++=221240()
【模拟试题】
1. 已知直线l 经过点P （5，10），且原点到它的距离为5，则直线l 的方程为_________。
2. 设，θπ∈[)02，则点P （1，1）到直线x y ··cos sin θθ+=2的最大距离是______________。
3. 已知点P （1，cos θ）到直线
x y sin cos []
θθθπ
+=∈11402的距离等于，且，，则θ=_____________。
4. 如图，已知正方形ABCD 的中心为E （－1，0），一边AB 所在的直线方程为x y +-=350，求其他三边所在直线的方程。
5. 求平行线27802760x y x y -+=--=和的距离。
6. 求过点A （－1，2）且与原点的距离为2
2的直线方程。
7. 求过点P （1，2）且被两平行直线l x y l x y 1243104360：与：++=++=截得的线段长为2的直线方程。
8. 求过点P （0，2）且与点A （1，1），B （－3，1）等距离的直线l 方程。 9. 原点关于直线8625x y +=的对称点坐标是（ ）
A.
()
23
2，
B. (
)25825
6，
C. ()34，
D. （4，3） （xx 年全国高考题）
【试题答案】
1. 342505x y x -+==或
提示：（1）当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为y kx b =+。
根据题意，得
1051534
25
42=++=?????==?????
??k b b k k b ，，解得，||
∴所求的直线l 的方程为34250x y -+=。
（2）当直线l 的斜率不存在时，直线的倾斜角为π
2，即直线l 与x 轴垂直。
根据题意，得所求直线l 的方程为x =5。 2. 22+
提示：点P （1，1）到直线x y ··cos sin θθ+-=20的距离为
d =
+-+=+-=+
-|cos sin |cos sin |sin cos ||sin()|
θθθθ
θθθπ
2224
22
2
。
∵θπ∈[)02，，
∴当，即时，sin()||θπ
θπ
+
=-=
=--=+4
1542222d 最大。
3. 提示：
由
|sin cos |[]θθθπ+-=
∈211402，，，得sin sin 2140θθ-+=，
∴sin θ=
1
2。
4. 解：可设CD 所在直线方程为：x y m ++=30，
则
·
，
||||m ++=-+-+513
210513
2
2
2
2
∴或m =-717。
∵点E 在CD 上方，∴m ＝－17。经检验不合题意，舍去。 ∴m=7，∴CD 所在直线方程为x y ++=370。 ∵AB ⊥BC ，
∴可设BC 所在直线方程为30x y n -+=，
则
||
||
--++=
-+-+30131051322
22n ，∴n=9或－3。
经检验，BC 所在直线方程为390x y -+=， AD 所在直线方程为330x y --=。
综上所述，其他三边所在直线方程为x y x y x y ++=-+=--=370390330，，。 5. 分析：在直线上任取一点，求这点到另一直线的距离。 解：在直线2760x y --=上任取一点，如P （3，0），
则点P （3，0）到直线2780x y -+=的距离就是两平行线间的距离。
因此
d =
-++-=
=
||
()23708271453
1453
5322
××。
［注意］
用上面方法可以证明如下结论：
一般地，两平行直线Ax By C ++=10和Ax By C ++=20()C C 12≠间的距离为
d C C A B =
-+||1222。
6. 分析：设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率k 。 解：设直线方程为y k x -=+21()，则kx y k -++=20。
∴
||
21
2
22++=
k k ，解之得k k =-=-17或。
故所求直线的方程为y x -=-+21()或y x -=-+271()，
即x y x y +-=++=10750或。
7. 分析：先画图，由图形易求得两平行直线间的距离为1，则所求直线与两平行直线成45°
角，则由夹角公式求得所求直线的斜率
k k ==-
717或。
解：易求得两平行直线间的距离为1，则所求直线与两平行直线成45°角，
设所求直线的斜率为k ，则|
|tan k k +
-==4
3143451°，
解之得
k k ==-
71
7或。
∴所求直线方程为x y x y +-=--=7150750或。
［注意］
在寻求问题解的过程中，数形结合可优化思维过程。 8. 分析：画图分析，可知符合题意的直线l 有2条。
解：画图分析，可知符合题意的直线l 有2条。其一直线经过AB 的中点；其二直线与AB 所在的直线平行。又由AB 的中点为（－1，1）得所求直线为y x =+2；当所求直线与AB 所在的直线平行时，得所求直线方程为y =2。
9. 解：直线
862543x y +=-
的斜率为，与它垂直的直线斜率为3
4，因此原点关于此直线
对称的点应在直线
y x
=
34上。
对照选项，只有（4，3）在直线上，故选D 。 ［评注］
本题考查直线方程和对称点的有关知识。
高考数学难点突破_难点21__直线方程及其应用
难点21直线方程及其应用 直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程 的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容 ?应达到熟练掌握、灵 活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问 题不难，但 将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的 ?难点磁场 (★★★★★)已知 |a|v 1,|b|v 1,|c|v 1,求证:abc+2 >a+b+c. ?案例探究 ［例1］某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费， 他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为 a (90°W av 180° )镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距 a m, b m,(a > b).问学生距离镜框下缘多远 看画的效果最佳？ 命题意图：本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的 综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目 知识依托：三角函 数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值 错解分析：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求 解；二是把问题进一步转化成求 tanACB 的最大值.如果坐标系选择不当， 或选择求sinACB 的最大值. 都将使问题变得复杂起来. 技巧与方法：欲使看画的效果最佳，应使/ ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三 角函数值. 解：建立如图所示的直角坐标系， AO 为镜框边，AB 为画的宽度, 下边缘上的一点，在 x 轴的正半轴上找一点 C(x,0)(x >0),欲使看画的 最佳，应使/ ACB 取得最大值. 由三角函数的定义知： A 、B 两点坐标分别为(acos a ,asin a 卜 (bcos a ,bsin a ),于是直线 AC 、BC 的斜率分别为： asina k AC =ta nxCA= , acosa -x (a —b) xsina _ (a —b) sina a b-(a b)x cos ： x 2 辿 x-(a b) cos ： x 由于/ ACB 为锐角，且x > 0,则tanACB w —(已一小驯〉,当且仅当 辿=x ，即x= ? ab 时, 2 Jab —(a + b)co 弊 x 等号成立，此时/ ACB 取最大值，对应的点为 C(、ab ,0),因此，学生距离镜框下缘 .ab cm 处时, 视角最大，即看画效果最佳 . ［例2］预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多， 但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5倍，问桌、椅各买多少才行？ 命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考 查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解，属★★ ★★★级题目. 知识依托：约束条件，目标函数，可行域，最优解 k BC =ta nxCB = bsin -■ bcos.- —x 于是 tanACB = k BC - k AC 1 ' k BC k AC O 为 效果
2020版高考数学(理科数学)刷题小卷练1(含解析)
刷题增分练1集合的概念与运算 刷题增分练①小题基础练提分快 一、选择题 1．[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B ＝() A．{3}B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7} 答案：C 解析：A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}．故选C. A＝() 2．[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则? R A．{x|－1 共有9个．故选A. 2．[2019·湖南联考]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ≥0}，B ＝{x |1 极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。 6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系） 高考数学必背知识点：直线方程数学是学习其他学科的基础。小编准备了高考数学必背知识点，希望你喜欢。 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是. 注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：. 注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点(0，)的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： ∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线.?②在 和的斜率都存在的前提下得到的.?因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. (一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且) 推论：如果两条直线的倾斜角为则∥. ⑵两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.?②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.?(即是垂直的充要条件) 4. 直线的交角： ⑴直线到的角(方向角);直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时. ⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有. 5. 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内) 6. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有. 注： 1.?两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：. 特例：点P(x,y)到原点O的距离： 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技 参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos= ∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣ 4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值． 由题意椭圆的参数方程为为参数）直线的极坐标方程为 小题提速练(一) 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |x |≤2}，则A ∩(?R B )＝( ) A ．[2，5] B ．(2，5] C ．[－1，2] D ．[－1，2) 解析：选B.由题得A ＝[－1，5]，B ＝[－2，2]，则?R B ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A ∩(?R B )＝(2，5]，故选B. 2．如果复数m 2＋i 1＋m i 是纯虚数，那么实数m 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．0或1 D ．0或－1 通解：选D.m 2＋i 1＋m i ＝（m 2＋i ）（1－m i ） （1＋m i ）（1－m i ） ＝m 2＋m ＋（1－m 3）i 1＋m 2，因为此复数为纯虚数，所以? ????m 2 ＋m ＝0， 1－m 3≠0，解得m ＝－1或0，故选D. 优解：设m 2＋i 1＋m i ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则有b i(1＋m i)＝m 2＋i ，即－mb ＋b i ＝m 2＋i ，所以 ?????－mb ＝m 2 ，b ＝1， 解得m ＝－1或0，故选D. 3．设x ，y 满足约束条件???? ?2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 通解：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (6，0)时，z 取得最大值，即z max ＝6，故选C. 三直线的参数方程 （课前部分） 编写者: 【学习目标】 理解直线的参数式方程以及明确它的形式特征，明确参数t 的几何意思。 【学习重点】 直线的参数式方程以及参数t 的几何意义。 【学习难点】 理解直线的参数方程中t 的几何意义. 【学法指导】通过探究直线上两点间的距离及利用向量的有关知识，让学生积极、主动地参与观察，分析、进而得出直线的参数式方程，培养了学生运用类比法的数学思想方法解决问题 通过本节课的学习，不仅要让学生学会知识，更重要的是由学会变为会学，让学生在探究活动中，自主探究知识，逐步掌握自主获得知识的学习方法。 【复习回顾】 1 、我们知道经过平面内的定点M0（x0,y 0）及斜率k 应用直线方程的点斜式就可以写出直线方程，那么你认为有几种办法能确定斜率k 值呢？ 2 、直线方程的方向向量如何确定？平面向量的共线定理是什么？ 3 、数轴上两点对应的数分别为t1,t 2 ,则两点间的距离是什么？ 【自主学习】 大家都知道，当我们把平面向量中所有的单位向量的起点放在坐标原点，那么他们的终点的轨迹是以坐标原点为圆心的单位圆。那么你能写出一个倾斜角为α的直线的一个方向单位向量吗？ 已知直线上定点M 0，M 是直线上的任意一点，当M 移动时，M0M 发生了哪些变化？与直线L 的单位方向向量e 之间什么关系？ 设直线l的倾斜角为，定点M 0、动点M 的坐标 分别为M0（x0,y0）、M （x,y） 如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M的坐标？ 通过对上面的问题的分析，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？又应当怎样选择参数呢？请同学们自己动手推导一下直线的参数方程的标准式，对比教材P35 的推导过程. 请同学们进一步思考直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？每一个量的几何意义又是什么？形式上有什么要求？ 根据直线的参数方程的公式请大家写出经过点M0（－2,3），倾斜角为30°的直线L 的参数方程？ 通过这个方程请大家求出：（1）当t=1 时对应的点P1的坐标。（2）当t= -1 时对应的点P2的坐标。（3）当t=0 时对应的点P3的坐标。（4）求出直线L 上与点M0相距为 2 的点的坐标。 画图找到这些点，做好标注！ 有人说t>0 时，t 表示向量M 0M 的长度，你同意吗？t<0 时又如何呢？通过对以上的分析你能总结出参数t 的几何意义吗？如有困难参看教材P36例 1 的上面部分。 由于直线的倾斜角α [0 ，），所以这个方向单位向量很特别，方向如何？请同学们自己动手 画出图形，写出这个向量e 的坐标。 当你竭尽全力，时间自会主持公道1 考点三十七 直线及其方程 知识梳理 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率 (1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π 2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率 通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1 . (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系 每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下： 3．直线方程的五种形式 4．过P 1(11222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0. 5．线段的中点坐标公式 若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则??? x ＝x 1＋x 2 2y ＝y 1 ＋y 2 2 ，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 典例剖析 题型一 直线的倾斜角和斜率 例1 已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于__________． 答案 56π 解析 斜率k ＝ －1－33－(－3) ＝－3 3， 又∵θ∈[0，π)， ∴θ＝5 6 π. 变式训练 经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π 4，则y ＝__________． 答案 －3 解析 由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋4 2＝y ＋2， 得y ＋2＝tan 3π 4＝－1.∴y ＝－3. 解题要点 求斜率的常见方法： 1．若已知倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率． 2．若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1 x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率． 3．若已知直线的一般式方程ax ＋by ＋c ＝0，一般根据公式k ＝－a b 求斜率． 题型二 直线方程的求解 例2 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程． 解析 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2 －2－2， 即x ＋2y －4＝0. 2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》 【题型归纳】 题型一 曲线的极坐标方程 例1 、在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4 (ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积. 【答案】（1）C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0； （2）面积为12 . 【解析】(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4 代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12 . 【易错点】互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响. 【思维点拨】１．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2 ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法等技巧. ２．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解. 题型二 参数方程及其应用 例2、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：? ????x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值. 【答案】（1）2x ＋y －6＝0；（2）最大值为2255，最小值为255. 【解析】(1)曲线C 的参数方程为? ????x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. (2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 小题专题练(一) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 1．已知集合M ＝{x |x ＞1}，N ＝{x |x 2 －2x －8≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．[－4，2) B ．(1，4] C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞) 2．已知函数f (x )＝?????log 12x ，x >12＋4x ，x ≤1，则f ??????f ? ????12＝( ) A ．4 B ．－2 C ．2 D ．1 3．设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知不等式|x ＋3|＋|x －2|≤a 的解集非空，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，5] B ．[1，＋∞) C ．[5，＋∞) D ．(－∞，1]∪[5，＋∞) 5．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2 ＋y 2 ≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 6．已知函数f (x )＝? ?? ??12x －cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．已知在(－∞，1]上单调递减的函数f (x )＝x 2 －2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[2，3] D ．[1，2] 8．函数f (x )＝(x ＋1)ln(|x －1|)的大致图象是( ) 9．若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2 ，则关于x 的方 直线方程公式 1.斜率公式 ①若直线的倾斜角为α（00≤α＜1800）, 则k=tan α (α2 π≠) ②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则21 21 y y k x x -= - 解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的中点P 0（x 0,y 0），则x 0=（x 1+ x 2）/2，y 0=（y 1+ y 2）/2。 2.方向向量坐标 ： ()()k y y x x x x p p x x ,1,11 1 2 1 2 1 22 1 1 2=---= - 3.两条直线的平行和垂直 【1】两直线平行的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1∥l 2充要条件是k 1=k 2,且b 1≠b 2。 （2）若l 1：x=x 1， l 2：x=x 2，则l 1∥l 2充要条件是x 1≠x 2。 （3）不重合的两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2充要条件是α1=α2。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1∥l 2 充要条件是A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0（或A 1C 2-A 2C 1≠0）。11112222 ||A B C l l A B C ? =≠。 【2】两直线垂直的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1⊥l 2充要条件是k 1·k 2=-1。 （2）若l 1的斜率不存在，则l 1⊥l 2充要条件是l 2的斜率为零。 （3）两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1⊥l 2充要条件是21a -a =900。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1⊥l 2 充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 【3】两直线相交的判断 （1）两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。 （2）两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。 （3）两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。 （4）直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则A 1B 2-A 2B 1≠0是两直线相交的充要条件。 【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题 1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为? ?? ?? x ＝cos θ， y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2) 且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围； (2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值． 3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点． (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若|PQ|2 =|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k. 4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?? ? x ＝3cos α， y ＝3sin α (α为参数)，以坐标原点O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ? ????θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标． 小题专项滚动练六 解析几何 小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(滚动考查)在复平面内与复数z=5i 1+2i 所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( ) A.1+2i B.1-2i C.-2+i D.2+i 【解析】选C.复数z= 5i 1+2i = 5i(1?2i) (1+2i)(1?2i) = 5(i+2)5 =2+i ，所对应的点(2，1)关于虚轴 对称的点为A(-2，1)，所以A 对应的复数为-2+i. 2.已知点P(a ，b)是抛物线x 2=20y 上一点，焦点为F ，|PF|=25，则|ab|=( ) A.100 B.200 C.360 D.400 【解析】选D.抛物线准线方程为y=-5， |PF|=b+5=25，所以b=20， 又点P(a ，b)是抛物线x 2=20y 上一点， 所以a2=20×20，所以a=±20，所以|ab|=400. 3.(滚动考查)已知点P(x，y)的坐标满足条件{x≥1, y≥x?1, x+3y?5≤0, 那么点P到直线 3x-4y-13=0的最小值为( ) A.11 5 B.2 C.9 5 D.1 【解析】选B.由约束条件{ x≥1, y≥x?1, x+3y?5≤0 作出可行域如图， 由图可知，当P与A(1，0)重合时，P到直线3x-4y-13=0的距离最小，为 d= √32+(?4)2 =2. 4.(滚动考查)如图，函数f(x)=Asin(ωx+ )(其中A>0,ω>0,|φ|≤π 2 )与 坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(1，0)，∠PQR=π 4 ，M(2，-2)为线段QR的中点，则A的值为( ) A.2√3 B.7√3 3 C.8√3 3 D.4√3 极坐标与参数方程单元练习3 一．选择题（每题5分共60分） 1．设椭圆的参数方程为()πθθ θ ≤≤?? ?==0sin cos b y a x ，()1 1 ,y x M ，()2 2 ,y x N 是椭圆上两点，M ，N 对应的参数为2 1 ,θθ且21 x x <，则 A ．21 θθ < B ．21θθ> C ．21θθ≥ D ．21θθ≤ 2.直线：3x-4y-9=0与圆：?? ?==θ θ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3.经过点M(1，5)且倾斜角为3 π的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A.???????-=+=t y t x 235211 B. ???????+=-=t y t x 235211 C. ???????-=-=t y t x 235211 D. ??? ????+=+=t y t x 235211 4.参数方程????? -=+ =2 1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( ) A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线 5．若动点(x ,y )在曲线1422 2=+b y x (b >0)上变化，则 x 22y 的最大值为 (A) ?????≥<<+)4(2)40(442b b b b ； (B) ?????≥<<+)2(2) 20(442 b b b b ；(C) 442+b (D) 2b 。 6．实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ） A 、2 7 B 、4 C 、2 9 D 、5 7．曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是 A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 8． 已知动园： ),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的 轨迹是 A 、直线 B 、圆 C 、抛物线的一部分 D 、椭圆 .选择题（共26小题） x-y-2^0 1 .设实数x , y 满足 \ i+2y-5>0,则 z 二 :丄+二的取值范围是（ ） y x 17 2 2.已知三棱锥P -ABC 中，PA 丄平面ABC ,且■ Y 3 A . [4, T B . [^ ,—] C . [4, ,AC=2AB , PA=1, BC=3, 则该三棱锥的外接球的体积等于（ 1371^ 兀 B. ““ C. D . 6 2 6 2 ) A . 3.三棱锥P -ABC 中，PA 丄平面ABC 且PA=2, △ ABC 是边长为.「；的等边三角形, 则该三棱锥外接球的表面积为（ B . 4 n C . 8 n D . 20 n 6.抛物线y 2=4x 的焦点为F , M 为抛物线上的动点，又已知点N （- 1,0）,则 - 卩IF 丨 的取值范围是（ ） A . [1, 2 ::] B . [. ；] C .[二 2] D . [1,::] 7 .《张丘建算经》卷上第22题为 今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日 织九匹三丈.”其意思为：现有一善于织布的女子，从第 2天开始，每天比前一天多 织相同量的布，第1天织了 5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该 女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ,贝U a 14+a 15+a 16+a 17的值为（ ） A . 55 B . 52 C . 39 D . 26 8.已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x >0时，f （x ） =x 3+x 2，若不等式f （-4t ）> f （2m+mt 2）对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A . H ■冋 B .（畑 Q ） 、一 订 4.已知函数f （x+1 ）是偶函数，且 （x+3） f （x+4）V 0 的解集为（ x > 1 时，f' (x )V 0 恒成立，又 f (4) =0,则 .「 ：■ - ， ■- D . - '" ' . . ■ ■ I '- 1 9.将函数f （妁二si 口（2时晋~）的图象向左平移G 〔0V ? ）个单位得到y=g （x ） A . (-X,- 2)U( 4, +x) B . ,-6) U (4, 装 ) (-6,- 3)U( 0, 4) C . +x) D . (- 6,- 3)U( 0, +x 的图象，若对满足 | f (X 1)— g (X 2)| =2 的 X 1、X 2, | x 1 - X 2| min 2 7 T ,则?的值是（ ） 10 . 7T 12 在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C : 2 - =1 (a > b > 0)的下顶点, N 在椭圆上，若四边形 OPMN 为平行四边形, M , 〒，T A . (0, ]，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ B . (0, !_3 a 为直线ON 的倾斜角，若a€ ) ]D . ] 高考数学参数方程大题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高三最后一题 1、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A 的极坐标为)6 ,2(π ，直线l 过点A 且与极轴成角 为 3π，圆C 的极坐标方程为)4 cos(2πθρ-=． （1）写出直线l 参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线圆C 交于B 、C 两点，求AC AB .的值． 【答案】（1）直线l C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；（2 2、已知曲线C 的参数方程为31x y α α ?=+??=+??（α为参数），以直角坐标系原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （2）若直线的极坐标方程为1 sin cos θθρ -= ，求直线被曲线C 截得的弦长． 【答案】（1）6cos 2sin ρθθ=+（2 3、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22522 5??? ??? ?+=+ -=为参数），若以 O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 θρcos 4=。 （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的 2 1 ，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值 【答案】（1）() 422 2 =+-y x ，052=+-y x （2 ） 专题六、解析几何（一） 直线和圆 1.直线方程：0=+++=c by ax t kx y 或 2.点关于特殊直线的对称点坐标： （1）点),(00y x A 关于直线方程x y =的对称点),(n m A '坐标为：0y m =，0x n =； （2） 点),(00y x A 关于直线方程b x y +=的对称点),(n m A '坐标为：b y m -=0，b x n +=0； （3）点),(00y x A 关于直线方程x y -=的对称点),(n m A '坐标为：0y m -=，0x n -=； （4）点),(00y x A 关于直线方程b x y +-=的对称点),(n m A '坐标为：b y m +-=0，b x n +-=0； 3.圆的方程：()()2 2 2 x a y b r -+-=或() 2 2 2 2 040x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 无xy 。 4.直线与圆相交： （1）利用垂径定理和勾股定理求弦长: 弦长公式：222d r l -=（d 为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后，化简为：02 =++c bx ax ，其判别式为?，则 弦长公式（万能公式）：12l x =-= a k a c a k ? +=--+=2 2214b 1）（ 注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可， 再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧，它可以简化运算，降低思考难度，在解析几何中具有十分广泛的应用。 5.圆的切线方程： （1）点在圆外： 如定点()00,P x y ，圆：()()2 2 2 x a y b r -+-=，[()()2 2 2 00x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =，求出k ，从而得到切线方程，这里的切线方程的有两条。特别注意：当k 不存在时，要单独讨论。 （2）点在圆上： 若点P ()00x y ，在圆()()2 2 2 x a y b r -+-=上，利用点法向量式方程求法，则切线方程为： ?=--+--0)(()((0000b y y y a x x x ））()()()()200x a x a y b y b r --+--=。 点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。 由（1）（2）分析可知：过一定点求某圆的切线方程，要先判断点与圆的位置关系。 （3）若点P ()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=外，即()()22 200x a y b r -+->， 过点P ()00x y ，的两条切线与圆相交于A 、B 两点，则AB 两点的直线方程为： 200))(())((r b y b y a x a x =--+--。 6.两圆公共弦所在直线方程： 圆1C ：2 2 1110x y D x E y F ++++=，圆2C ：2 2 2220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程。 7.圆的对称问题： （1）圆自身关于直线对称：圆心在这条直线上。 （2）圆C 1关于直线对称的圆C 2：两圆圆心关于直线对称，且半径相等。 （3）圆自身关于点P 对称：点P 就是圆心。 高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分） （2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题
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