数值计算方法复习题(2003级)
1、问142.3,141.3,7/22分别作为π的近似值各具有几位有效数字?
2、设计算球体体积允许其相对误差限为1%,问测量球半径的相对误差限最大为多少?
3、1)经过四舍五入得出1025.61=x ,115.802=x 。试问它们分别具有几位有效数字? 2)求21x x +的绝对误差限。
4、已知10100=,11121=,12144=,用抛物线插值求115的近似值,并 估计误差。
5、设4)(x x f =,试利用拉格朗日插值余项定理写出以2,1,0,1-为插值节点的三次 插值多项式。
6、已知1234)(248+++=x x x x f ,求]2,,2,2[810 f .
7、已知x x f sin )(=的数值表如下,试写出三阶(向前)差分表.
8、用最小二乘法建立下表的经验公式
9、设),,1,0)((n k x l k =是n+1个互异节点n x x x ,,,10 上的n 次基本插值多项式,试
证:
m n
k k m k x x k x
≡∑=0
)(),,1,0(n m =
10
求满足边界条件0)3(,1)0(='='S S 的三次样条插值函数。
11
试用3点公式计算)1.1(f '。
12、用梯形公式和辛普森公式计算积分?-1
dx e
x
,并估计误差。
13、求近似公式
≈?1
)(dx x f )]43(2)21()41(2[31f f f +-的代数精度。 14、用复合梯形公式计算积分?10sin dx x
x
的近似值,使误差不超过4105.0-?。 15、推导求积公式2/))(()()()(2a b f a f a b dx x f b
a
-'+-=?ξ,其中],[b a ∈ξ。
16、叙述二分法、牛顿法的优缺点。
17、用二分法和迭代法求方程01)(3=--=x x x f 的根。 18、判别下列方程能否用迭代法求解:
(1)4/)sin (cos x x x += (2) x
x 24-= 19、证明用迭代公式k
k k x x x 1
21+
=+, 2,1,0=k 产生序列,对于10≥x 均收敛于2. 20、设0>a ,试建立求
a
1
的牛顿迭代公式,要求在迭代公式中不含有除法运算. 21、用Gauss 消去法、列主元素消去法和矩阵的三角分解法(LU 分解)分别解方程组
??????????142210321??????????321x x x ????
??????=13814. 22、以方程组???
? ??=???? ??????
??212122211211
b b x x a a a a 为例,说明用Gauss 消去法求解时为什么要选主元?23、(1)设T
x )8513(-= ,求1x ,2x ,∞
x
.
(2)已知?
?
?
?
??--=6134A ,求1A ,∞A ,2A ;并求∞)(A cond . 24、给定线性方程组???
??????=++-=+-+=-+-=-+17
72223823113875104321
4321321431x x x x x x x x x x x x x x ,写出雅可比迭代公式和高斯-赛德尔迭代公式;分别取初值T x
)0,0,0,0()
0(=,计算)3(x ,并考察它们的敛散性。
25、考察方程组???=+=+221
1
212b x kx b kx x ,给出雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法收敛的条件。
26、试分别用欧拉方法)025.0(=h 、改进欧拉方法)05.0(=h 以及经典R-K 方法)
1.0(=h
求初值问题???
?
?=∈-='0
)0(]
3.0,0[,1y x y y 的数值解。
27、用改进的欧拉法计算积分?
-=
x
t dt e y 0
2
在1,5.0,25.0=x 时的近似值。
(保留4位小数) 28、对初值问题?
??==+'1)0(0y y y ,证明用梯形公式求得的近似解为n
n h h y ???
??+-=22。
29、证明中点方法),(211n n n n y x hf y y +=-+是2阶方法。
30、讨论梯形公式求初值问题?
??=-='a y y
y )0(λ的稳定性(这里,实数0>λ)。
题型:填空题,简答题,计算题,证明题。
2012 年(秋)季学期 课程名称:计算方法 C卷(闭卷)
2012 年(秋)季学期
2012 年(秋)季学期
2012 年(秋)季学期
2012 年 秋 季 (计算方法) (C) 卷标准答案及评分细则 一、 填空题 (每题2分,共20分) 1、 截断 舍入 ; 2、则 ()0n k k l x =∑= 1 ,()0 n k j k k x l x =∑= j x , 4、 12 。 4、 2.5 。 5、10 次。 6、A 的各阶顺序主子式均不为零。 7 、1A ρ=+() ,则6 A ∞ =。 二、综合题(共80分) 1. (本题10分)已知f (-1)=2,f (1)=3,f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1,5)的近似值,取五位小数。 解: )12)(12() 1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+? --+-+?+------? =x x x x x x x L (6分) )1)(1(34 )2)(1(23)2)(1(32-+--+---= x x x x x x (2分) 04167.024 1 )5.1()5.1(2≈= ≈L f (2分) 2. (本题10分)用复化Simpson 公式计算积分()?=1 0sin dx x x I 的近似值,要求误差限为5105.0-?。 ()()0.9461458812140611=???? ??+??? ??+= f f f S (3分) ()()0.94608693143421241401212=???? ??+??? ??+??? ??+??? ??+= f f f f f S (4分) 5-12210933.0151 ?=-≈ -S S S I 94608693.02=≈S I (3分) 或利用余项:()() -+-+-==!9!7!5!31sin 8 642x x x x x x x f () -?+?-=!49!275142) 4(x x x f ()51 )4(≤ x f
《计算方法》期中复习试题 一、填空题: 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:2.367,0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 , 拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 8、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精 度为( 5 ); 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。
复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ???????????。 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 , 拉格朗日插值多项式为 。 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( ),=]4,3,2,1,0[f ( ); 7、计算方法主要研究( )误差和( )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为( ); 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y ),y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ),代数精度为( ); 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为()。 13、 为了使计算 32)1(6)1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:, 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 , 拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); ( 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y ),y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精 度为( 5 ); 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ,1 ,进行两步后根的所在区间为 , 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ,用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ,梯形公式的代数精度为 1 ,辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ,该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ,)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高,具 有( 12+n )次代数精度。
《计算方法》期末考试试题 一 选 择(每题3分,合计42分) 1. x* = 1.732050808,取x =1.7320,则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取7 3.13≈(三位有效数字),则 ≤-73.13 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、0.5 3. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤,减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x 及常向量g ,迭代过程g x B x k k +=+)() 1(收敛的充分必要条件是_ _。 A 、11< B B 、1<∞ B C 、1)((完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版).docx
2002-2003 第一学期 一.计算及推导( 5*8) 1.已知 x* 3.141, x ,试确定 x * 近似 x 的有效数字位数。 * * * 0.100 * * * 2.有效数 x 1 3.105, x 2 0.001, x 3 1 x 2 3 ,试确定 x x 的相对误差限。 3.已知 f ( x) 0.5 x 3 0.1x 2 ,试计算差商 f 0,1,2,3 4.给出拟合三点 A (0,1), B (1,0) 和 C (1,1) 的直线方程。 5.推导中矩形求积公式 b (b a) f ( a b ) 1 f '' ( )(b a)3 f (x)dx a 2 24 b n f (x)dx A i f ( x i ) a 6.试证明插值型求积公式 i 0 的代数精确度至少是 n 次。 7.已知非线性方程 x f (x) 在区间 a, b 内有一实根,试写出该实根的牛顿迭代 公式。 8.用三角分解法求解线性方程组 1 2 1 x 1 0 2 2 3 x 2 3 1 3 0 x 3 2 二.给出下列函数值表 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x i 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 f ( x i ) 要用二次插值多项式计算 f (0.63891) 的近似值,试选择合适的插值节点进行计 算,并说明所选用节点依据。 (保留 5 位有效数字)(12 分) 三. 已知方程 x ln x 0 在 (0,1) 内有一实根 ( 1)给出求该实根的一个迭代公式,试之对任意的初始近似 x 0 (0,1) 迭代法都收 敛,并证明其收敛性。 ( 2) x 0 0.5 试用构造的迭代公式计算 的近似值 x n ,要求 x n x n 1 10 3 。 四. 设有方程组
《计算方法》练习题一 一、填空题 1. 14159.3=π的近似值,准确数位是( )。 2.满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R ( )。 3.设)}({x P k 为勒让德多项式,则=))(),((22x P x P ( )。 4.乘幂法是求实方阵( )特征值与特征向量的迭代法。 5.欧拉法的绝对稳定实区间是( )。 6. 71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是( )。 % 7.用辛卜生公式计算积分?≈+1 01x dx ( ) 。 8.设)()1() 1(--=k ij k a A 第k 列主元为)1(-k pk a ,则=-) 1(k pk a ( )。 9.已知?? ? ? ??=2415A ,则=1A ( )。 10.已知迭代法:),1,0(),(1 ==+n x x n n ? 收敛,则)(x ?'满足条件( )。 二、单选题 1.已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε,则=)(ab ε( )。 A .)()(b a εε B.)()(b a εε+ C.)()(b b a a εε+ D.)()(a b b a εε+ 2.设x x x f +=2 )(,则=]3,2,1[f ( )。 。 A.1 B.2 C.3 D.4 3.设A=?? ? ? ??3113,则化A为对角阵的平面旋转=θ( ) . A. 2π B.3π C.4π D.6 π 4.若双点弦法收敛,则双点弦法具有( )敛速. A.线性 B.超线性 C.平方 D.三次 5.改进欧拉法的局部截断误差阶是( ). A .)(h o B.)(2h o C.)(3h o D.)(4 h o 6.近似数2 1047820.0?=a 的误差限是( )。 (
《计算方法》练习题一 练习题第1套参考答案 一、填空题 1. 14159.3=π的近似值3.1428,准确数位是( 2 10- )。 2.满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R ( ))((!2) (b x a x f --''ξ ) 。 3.设)}({x P k 为勒让德多项式,则=))(),((22x P x P (5 2 )。 4.乘幂法是求实方阵(按模最大 )特征值与特征向量的迭代法。 5.欧拉法的绝对稳定实区间是( ]0,2[-)。 二、单选题 1.已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε,则=)(ab ε(C )。 A .)()(b a εε B.)()(b a εε+ C.)()(b b a a εε+ D.)()(a b b a εε+ 2.设x x x f +=2 )(,则=]3,2,1[f ( A )。 A.1 B.2 C.3 D.4 3.设A=?? ? ? ??3113,则化A为对角阵的平面旋转=θ( C ) . A. 2π B.3π C.4π D.6 π 4.若双点弦法收敛,则双点弦法具有(B )敛速. A.线性 B.超线性 C.平方 D.三次 5.改进欧拉法的局部截断误差阶是( C ). A .)(h o B.)(2 h o C.)(3 h o D.)(4 h o 三、计算题 1.求矛盾方程组:??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 2 212 212 2121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?, 由 0,021=??=??x x ? ?得:???=+=+9 629232121x x x x , 解得14 9 ,71821== x x 。
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式
计算方法模拟试题 一、 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.近似值210450.0?的误差限为( )。 A . 0.5 B. 0.05 C . 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为( )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足( )时,则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ,使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ,则=∞A ( )。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ,则乘幂法计算公式1e =( )。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 14159.3=π,具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ,则=-?)(21x x 。 3.已知1)(2-=x x f ,则差商=]3,2,1[f 。 4.雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。