全国卷高考文科大题立体几何模拟练习题

全国卷高考文科大题立体几何模拟练习题

1．如图所示，在等腰梯形中ABCD ，AD//BC ，AD CD AB ==，60ABC ∠=?， 将三角形ABD 沿BD 折起，使点A 在平面BCD 上的投影G 落在BD 上. （1）求证：平面ACD ⊥平面ABD ；

（2）若点E 为AC 的中点，求三棱锥G ADE -的体积.

2．如图，在矩形ABCD 中，2,4,,AD AB E F ==分别为,AB AD 的中点，现将ADE ?

沿DE 折起，得四棱锥A BCDE -. （1）求证：EF//平面ABC ；

（2）若平面ADE ⊥平面BCDE ，求四面体FACE 的体积.

3．等腰ABC ?的底边AB =，高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B ，D 的动点，

点F 在BC 边上，且EF AB ⊥．现沿EF 将BEF ?折起到PEF ?的位置，使PE AE ⊥． （1）证明：EF ⊥平面PAE ；

（2）记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积，求()V x 的最值.

4．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，?=∠30DBA ，

BD AB 23=，AD PD =，⊥PD 底面ABCD ，E 为上一点，且BC PE 2

1

=. （1）证明： PA BD ⊥；

（2）若AD =，求三棱锥E CBD -的体积.

5．已知五边形ABCDE 是由直角梯形ABCD 和等腰直角三角形ADE 构成，如图所示，

AB AD ⊥，AE DE ⊥，AB//CD ，且224AB CD DE ===，将五边形ABCDE 沿着AD 折起，且使平面ABCD ⊥平面ADE .

（1）若M 为DE 中点，边BC 上是否存在一点N ，使得//MN 平面ABE ？若存在， 求BN BC

的值；若不存在，说明理由； （2）求四面体B CDE -的体积.

6．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形， 90ADC ∠=?，

AD//BC ，AB AC ⊥，AB AC ==，点E 在AD 上，且2AE ED =． （1）已知点F 在BC 上，且2CF FB =，求证：平面PEF ⊥平面PAC ；

（2）若PBC ?的面积是梯形ABCD 面积的4

3

，求点E 到平面PBC 的距离．

7．如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=?，AF//DE ， 22DE DA AF ===. （1）求证：AC //平面BEF ； （2）求四面体BDEF 的体积.

8．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是直角梯形，

其中1,1,2,AB AD AB BC AD AA ⊥=== （1）求证:直线1C D ⊥平面1ACD ； （2）试求三棱锥11A ACD -的体积.

9．如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由直角SAB ?和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中

90SAB SDC ∠=∠=，且点A 为线段SD 的中点，21,SD AD DC AB ===，现将SAB ?沿

AB 进行翻折，使得平面SAB ⊥平面ABCD ，得到的图形如图（2）所示，连接SC ，点E F 、 分别在线段SB SC 、上. （1）证明： BD AF ⊥；

（2）若三棱锥B ACE -的体积是四棱锥S ABCD -体积的2

5

，求点E 到平面ABCD 的距离.

10．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2PA AB ==， E 为PA 的中点，60BAD ∠=?． （1）求证： //PC 平面EBD ； （2）求三棱锥P EDC -的体积．

11．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB//CD ，

2AB DC ==△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心，

AC BD F ?=.

（1）求证：GF //平面PCD ； （2）求三棱锥G PCD -的体积.

12．如图，AB 是圆O 的直径，矩形DCBE 垂直于圆O 所在的平面，4AB =，2BE =． （Ⅰ）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；

（Ⅱ）当三棱锥C ADE -体积最大时，求三棱锥C ADE -的高.

13．如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，1AD AB BC ===，3

ADC π

∠=

， 平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，1AE =，点M 在线段EF 上.

（1）当FM

EM 为何值时，//AM 平面BDF ？证明你的结论；

（2）求三棱锥E BDF -的体积E BDF V -.

14．如图，边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直，

AF BC O ?=，DE =//ED AF 且90DAF ∠=.

（1）求证：DE ⊥平面BCE ；

（2）过O 作OH ⊥平面BEF ，垂足为H ，求三棱锥A BCH -的体积.

15．如图，ABCD 是边长为a 的正方形，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，

2EB FD ==.

（1）求证：EF AC ⊥；

（2）求三棱锥E FAC -的体积.

16．在如图所示的多面体中，DE ⊥平面,//,//,,60,ABCD AF DE AD BC AB CD ABC =∠=

244BC AD DE ===.

（1）在AC 上求作P ，使//PE 平面ABF ，请写出作法并说明理由； （2）若A 在平面EDC 的正投影为M ，求四面体M AEC -的体积.

17．如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，PBC ?是等边三角形，点A 在平面PBC 的正投影E 恰好是PB 中点. （1）求证：//PD 平面ACE ；

（2）若AB PA ⊥，2BC =，求点P 到平面ABCD 的距离.

18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=?，PD ⊥平面ABCD ，

1PD AD ==，点,E F 分别为AB 和PC 的中点，连接,EF BF .

（1）求证：直线//EF 平面PAD ； （2）求三棱锥F PEB -的体积.

19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ．E 是AP 的中点. （1）求证：PC//平面EBD ；

（2）过点D 作DF PC ⊥，垂足为F ，求证：平面DEF ⊥平面PCB ．

20．如图，在四棱锥P ABCD -中，O AD ∈，AD ∥BC ，AB AD ⊥，1AO AB BC ===，

PO =

PC =.

（1）求证：平面POC ⊥平面PAD ；

（2

）若CD =，三棱锥P ABD -与C PBD -的体积分别为12V V 、，求

1

2

V V 的值．

立体几何大题（文科）分类汇编

参考答案

1．（1）见解析；（2）

6

.

（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，可设2AD CD AB ===，可求出BD = 4BC =， 在BCD 中， 222BC BD DC =+，∴BD DC ⊥，

∵点A 在平面BCD 上的投影G 落在BD 上，

∴AG ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ，∴AG CD ⊥， 又BD DC ⊥， AG BD G ?=，∴CD ⊥平面ABD ， 而CD ?平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABD .

（2）解：因为2AD AB ==，所以ABD ADB ∠=∠， 又AD BC ，所以ADB CBD ∠=∠，

因为60ABC ∠=?，所以30ABD ∠=?，解得1AG =，

因为E 为AC 中点，三棱锥G ADE -的体积与三棱锥G CDE -的体积相等，

所以11

22

G ADE G ACD A CDG V V V ---==,

因为111232A CDG V -=???=，所以12G ADE A CDG V V --==.

2．（1）见解析；（2）

3

. (1)取线段AC 的中点M ，连接,MF MB ，因为F 为AD 的中点，所以MF CD ，且1

2

MF CD =，在折叠前，四边形ABCD 为矩形， E 为AB 的中点，所以BE CD ，且1

2

BE CD =. MF BE ∴，且MF BE =,所以四边形BEFM 为平行四边形，故EF

BM ，又EF ?平面,ABC BM ?平面

ABC ，所以EF 平面ABC .

(2) 在折叠前，四边形ABCD 为矩形， 2,4,AD AB E ==为AB 的中点，所以,ADE CBE ??都是等腰直角三角形，且2AD AE EB BC ====，所以45DEA CEB ∠=∠=，且

DE EC ==.又180,90DEA DEC CEB DEC ∠+∠+∠=∴∠=，又平面ADE ⊥平面

BCDE ，平面ADE ?平面,BCDE DE CE =?平面BCDE ，所以CE ⊥平面ADE ，即CE 为三

棱锥C EFD -的高.因为F 为AD 的中点，所以111·221224

EFA S AD AE ?=

??=??=，所以四面

体FACE

的体积11·133EFA V S CE ?=

?=??=. 3．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）()(

)6max V x V ==（Ⅰ）证明：∵EF AB ⊥，∴90BEF PEF ∠=∠=?，故EF PE ⊥，而AB PE E ?=，

所以EF ⊥平面PAE ．

（Ⅱ）解：∵PE AE ⊥， PE EF ⊥，∴PE ⊥平面ABC ，即PE 为四棱锥P ACFE -的高. 由高线CD 及EF AB ⊥得//EF CD ，∴

BE EF

BD CD =

，由题意知3EF =

，∴EF x =，

∴22

11322ACFE ABC BEF S S S x ??=-=

?-=． 而PE EB x ==，∴(

)3

13ACFE V x S PE x =

?=-

（0x <<， 所以当6x =时， ()(

)6max V x V ==

4．(1)见解析

;(2)

(1)在ABD ?中， 2222?·cos AD BA BD BA BD DBA =+-∠，不妨设2AB =，则由已

知

2BD =，

得BD =，所

以

2

22

22212

AD =+

-?=，所以222AD BD BA +=，

所以90ADB ∠=，即BD AD ⊥，又PD ⊥底面ABCD ，所以BD PD ⊥，所以PAD

}}PAD ,PAD

BD AD

BD PD BD PA BD AD PD D PA AD PD ⊥⊥⊥??⊥?=??面面面.

(2)如图，过E 作EF CD ⊥于F ，则三棱锥E CBD -的高为EF ，由已知，结合平面几何体知识，

2233EF PD AD ===，由（1）知·tan6032BD AD ==，所以三棱锥E CBD

-

的体积111

··332

CBD V S EF AD BD EF ?=

?=?= 5．（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）4

3

.

（1）取BC 中点为N ， AD 中点为P ，连接MN ， NP ， MP . MP AE ， AE ?面ABE ， MP ?面ABE MP ∴面ABE ，同理NP 面ABE 又MP NP P ?=

MN ∴面ABE

∴边AB 上存在这样的点N ，且

1

2

BN BC = （2）ADE 为等腰直角三角形.

EP AD ∴⊥又平面ABCD 平面ADE EP ∴⊥平面ABCD

2EP =， BCD S =B CDE E BCD V V --∴= 1

3BCD

EP S

=??= 14

33

=.

6．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

2

（Ⅰ）证明：∵AB AC ⊥， AB AC =，∴45ACB ∠=?， ∵底面ABCD 是直角梯形， 90ADC ∠=?， //AD BC ， ∴45ACD ∠=?，即AD CD =，

∴2BC AD =

=，

∵2AE ED =， 2CF FB =，∴2

3

AE BF AD ==

， ∴四边形ABFE 是平行四边形，则//AB EF ， ∴AC EF ⊥，

∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA EF ⊥， ∵PA AC A ?=，

∴EF ⊥平面PAC ，∵EF ?平面PEF ， ∴平面PEF ⊥平面PAC ．

（Ⅱ）解：∵PA ⊥底面ABCD ，且AB AC =，∴PB PC =， 取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥， 1AG CD ==

设PA x =，连接PG ，则PG =

∵侧面PBC 的面积是底面ABCD 的4

3

倍，

∴

()141

212232

PG ??=??+，即2PG =，求得x = ∵//AD BC ，∴E 到平面PBC 的距离即时A 到平面PBC 的距离，

∵A PBC P ABC V V --=， 2PBC ABC S S ??=，

∴E 到平面PBC 的距离为12PA =． 7．（1）见解析（2）

43

（1）证明：设AC BD O ?=，取BE 中点G ，连结FG ， OG ，

所以， 1

2

OG DE 因为AF DE ， 2DE AF =，所以AF OG ，

从而四边形AFGO 是平行四边形， FG

AO

因为FG ?平面BEF ， AO ?平面BEF ，

所以AO 平面BEF ，即AC 平面BEF

（2）因为平面ABCD ⊥平面ADEF ， AB AD ⊥， 所以AB ⊥平面ADEF . 因为AF

DE ， 90ADE ∠=?， DE DA = 22AF ==，

所以DEF 的面积为

1

22

ED AD ?=， 所以四面体BDEF 的体积14

33

DEF S AB =?=.

8．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 内过C 点作CE AD ⊥交AD 于点E ， 因为由底面四边形ABCD 是直角梯形， 所以AB AD ⊥, 又1AB BC ==，

易知1AE ED ==，且AC CD ==

所以222AC CD AD +=，所以AC CD ⊥

又根据题意知1CC ⊥面ABCD ，从而1CC AC ⊥，而1CC CD C ?=， 故1AC C D ⊥

因为11CD AC AA CC ===，及已知可得11CDD C 是正方形，从而11CD C D ⊥. 因为11CD C D ⊥， 1AC C D ⊥，且1AC CD C ?=， 所以1C D ⊥面1ACD （Ⅱ）解：

因三棱锥11A ACD -与三棱锥11C AA D -是相同的，故只需求三棱锥11C AA D -的体积即可， 而CE AD ⊥,且由1AA ⊥面ABCD 可得1CE AA ⊥，又因为1AD AA A ?=, 所以有CE ⊥平面11ADD A ，即CE 为三棱锥11C AA D -的高.

故

9．（1）见解析（2）

1

2

（1）证明：因为二面角S AB C --的大小为90，则SA AD ⊥，

又B SA A ⊥，故SA ⊥平面ABCD ，又BD ?平面ABCD ，所以SA BD ⊥. 在直角梯形ABCD 中， 90,21,2BAD ADC AD CD AB ∠=∠====， 所以1

tan tan 2

ABD CAD ∠=∠=

，又90DAC BAC ∠+∠=， 所以90ABD BAC ∠+∠=，即AC BD ⊥；又AC SA A ?=，故BD ⊥平面SAC ， 因为AF ?平面SAC ，故BD AF ⊥.

（2）设点E 到平面ABCD 的距离为h ，因为B AEC E ABC V V --=，且

2

5

E ABC S ABCD V V --=，

故ABCD ABC 5112SA

153

2112h 2132

S ABCD E ABC

S V V S h --????===????梯形， 故12h =，故点E 到平面ABCD 的距离为12

.

10．（Ⅰ）见解析;

（Ⅰ）设AC 与BD 相交于点O ，连接OE ．

由题意知，底面ABCD 是菱形，则O 为AC 的中点， 又E 为AP 的中点，所以//OE CP ，且OE ?≠

平面BDE ， PC ?平面BDE ，

则//PC 平面BDE ．

（Ⅱ）111

2222

PCE PAC S S ??==??= 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 又因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA BD ⊥，

又PA AC A ?=，所以DO ⊥平面PAC ， 即DO 是三棱锥D PCE -的高， 1DO =，

则1133

P CDE D PCE V V --===．

11．（1）见解析；（2 （1）连接AG 并延长与PD 交于H ，连接CH

易知： DFC ?∽AFB ?，所以::AF FC AB DC = 2:1= 因为G 是PAD ?的重心，所以:2:1AG GH = 所以GF HC

因为HC ?平面PCD ， GF ? PCD ，所以GF 平面PCD

（2）提示： G PCD V - 2233E PCD p ECD V V --=

= 1

3

= P ACD V -=

12．（1）见解析（2）

3

（Ⅰ）证明：因为AB 是直径，所以BC AC ⊥， 因为矩形DCBE 垂直于O 所在的平面， 所以CD ⊥平面ABC ， CD BC ⊥，

又CD AC C ?=，所以BC ⊥平面ACD ， 因为四边形DCBE 为矩形，

所以//BC DE ，所以DE ⊥平面ACD ， 又DE ?平面ADE ，

所以平面ADE ⊥平面ACD ．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1111

3323

C ADE E AC

D ACD V V S D

E AC CD DE AC BC --?==

?=????=? ()

2216AC BC ≤

+ 218

63

AB ==，

当且仅当AC BC ==

此时AD =

= 1

2

ADE S AD DE ?=??=

设三棱锥C ADE -的高为h ，则1833

C ADE ADE V S h -?=??=，

所以h =

13．（1）见解析;（2）

4

. （1）当

1

2

FM EM =时， //AM 平面BDF ，证明如下： 在梯形ABCD 中，设AC BD O ?=，连接FO ， 因为1AD BC ==， 060ADC ∠=，

所以2DC =，又1AB =， //AB DC 因此:2:1CO AO =，

所以12

FM AO EM CO ==，因为ACFE 是矩形，

所以四边形AOFM 是平行四边形， 所以//AM OF ，

又OF ?平面BDF ， AM ?平面BDF ， 所以//AM 平面BDF ；

（2）连接OE ，过点B 作BG AC ⊥于点G ， 因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，且交线为AC ，

所以BG ⊥平面ACFE ，即BG 为点B 到平面ACFE 的距离，

因为1AB BC ==， 0120ABC ∠=，所以1

2

BG =

又因为DA AC ⊥，平面ACFE ⊥平面ABCD ，所以DA ⊥平面ACFE ， 即DA 为点D 到平面ACFE 的距离，

111

11322E BDF B OEF D OEF V V V ---??

=+=??+=

???

14．（1）见解析;（2）

415

.

（1）证明：∵AF = DE =

，∴//

DE AO =，∴四边形DEOA 为平行四边形，∴//DA EO ，

∵平面DAFE ⊥平面ABFC ，且平面DAFE ?平面ABFC AF =，

90DAF ∠=，∴DA ⊥平面ABFC ，∴EO ⊥平面ABFC ，

∵AF ?平面ABFC ，∴EO AF ⊥.

在正方形ABFC 中，

}AF BC

AF EO BC O

⊥?⊥?=平面BCE ， ∵//DE AF ，∴DE ⊥平面BCE .

（2）解：取BF 的中点G ，连接OG ，则OG BF ⊥，连接EG ，过O 作OM EG ⊥于M ，

∵EO ⊥平面BOF ，∴EO BF ⊥，∴BF ⊥平面EOG ，∴BF OM ⊥，∴OM ⊥平面BEF ，∴H 与M 重合.

在Rt EOG ?中， 2EO =， 1OG =， EG =

，由2OG HG EG =?，得5

HG =

，∴1

5

HG EG =

. 过H 作HK OG ⊥，垂足为K ，易证HK ⊥平面ABF ，交OG 于K ，则//HK EO ，

且12

55

HK EO ==.

∴1214

2235215A BCH H ABC V V --==????=.

15．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 3

. （Ⅰ）证明：连接BD ，

因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥.

因为FD ⊥平面ABCD ， AC ?平面ABCD ， 所以AC FD ⊥.

因为BD FD D ?=，所以AC ⊥平面BDF .

因为EB ⊥平面ABCD ， FD ⊥平面ABCD ，所以EB FD .

所以B ， D ， F ， E 四点共面.

因为EF ?平面BDFE ，所以EF AC ⊥. （Ⅱ）设AC BD O ?=，连接EO ， FO . 由（Ⅰ）知， AC ⊥平面BDFE ， 所以AC ⊥平面FEO .

因为平面FEO 将三棱锥E FAC -分为两个三棱锥A FEO -和C FEO -， 所以E FAC A FEO C FEO V V V ---=+.

因为正方形ABCD 的边长为a ， 2EB FD ==，

所以FO a =

=， EO =.

取BE 的中点G ，连接DG ，则FE =2

a =

.

所以等腰三角形FEO 的面积为12FEO S = 234a =. 所以E FAC A FEO C FEO V V V ---=+ 11

33

FEO FEO S AO S CO =?+?

1

3FEO

S AC =? 2

1334

a =?= 34a .

所以三棱锥E FAC -的体积为3

4

a .

16．（1）见解析（2(Ⅰ)取BC 的中心G ，连结DG ，交AC 于P ， 连结PE ，此时P 为所求作的点 下面给出证明：

2BC AD =， BG AD ∴=,又//BC AD ,∴四边形BGDA 是平行四边形， 故//DG AB 即//DP AB .

又AB ?平面ABF , DP ?平面ABF ,//DE ∴平面ABF ，

//AF DE ， AF ?平面,ABF DE ?平面ABF ， //DE ∴平面ABF ， 又

DP ?平面PDE ， DE ?平面PDE ， PD DE D ?=, ∴平面//ABF 平面PDE ，

又PE ?平面PDE ,//PE ∴平面ABF .

(Ⅱ) DE ⊥平面ABCD , DE ?平面DEC , ∴平面DEC ⊥平面ABCD .

过A 作AM DC ⊥，交CD 的延长线于点M ，则AM ⊥平面,DEC M 为A 在平面DEC 上的正投 影.

在直角三角形ADM 中，得AM = 1DM =，

113·13222

EMC S ED CM ?∴=

=??=，

113

·3322

M AEC A EMC EMC V V S AM --?===?

所以四面体M AEC -

17．（I ）详见解析；（II ）

7

. （Ⅰ）证明：连BD 交AC 于点F ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴F 是BD 的中点， 又E 是PB 的中点， ∴//PD EF ，

又PD ?平面ACE ， EF ?平面ACE ， ∴//PD 平面ACE ．

（Ⅱ）解：∵点A 在平面PBC 的正投影恰好是PB 中点， ∴AE ⊥平面PBC ， E 是PB 的中点， 又CE ， PB ?平面PBC ， ∴AE CE ⊥， AE PB ⊥．

在PAB ?中， E 是PB 的中点， AB PA ⊥，

∴PAB ?是等腰直角三角形， 1AE =， AB =，

在等边PBC ?中，

CE == 在Rt ACE ?中，

2AC ==，

在等腰ABC ?中，

12ABC S ?== 设点P 到平面ABCD 的距离为d ，

由P ABC A PBC V V --=，得11

33ABC PBC S d S AE ???=?，

∴7PBC ABC AE S d S ???=

==

． 18．（1）见解析；（2

）

48

. （1）证明：作//FM CD 交PD 于M ，连接AM .

∵点F 为PC 中点，∴1

2FM CD =.

∵点E 为AB 的中点，∴1

2

AE AB FM ==.

又//AE FM ，∴四边形AEFM 为平行四边形，∴//EF AM ， ∵EF ⊥平面PAD ， AM ⊥平面PEC ，∴直线//EF 平面PAD .

（2）已知60DAB ∠=?， 1

2

AE =， 1AD =，由余弦定理，得： DE DC ⊥，

设F 到面BEC 的距离为h ，∵点F 为PC 的中点，∴1

2

h PD =，

从而有F PBE P BEF V V --== P BEC F BEC V V ---= ()1?3BEC S PC h ?-= 11

·32

BEC S PD ?

1111???3222=.

全国高考文科数学立体几何综合题型汇总

新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明：在ABD ?中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理，1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理， AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C

3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设 11111 A C B D O ?=，连结1AO ∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴? ∥面11AB D ，1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D （2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又 1111 A C B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即 同理可证 11 A C AD ⊥， 又 1111 D B AD D ?= ∴1A C ⊥面11AB D 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C

(完整版)高三数学立体几何历年高考题(2011年-2017年)

高三数学立体几何高考题 1.（2012年7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出 的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18 2.（2012年8）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为( )． A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______． 5.(2014年8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4， 底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4 7.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 9（2016年7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的 圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3 ， 则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 10（2016年11）平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面, ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）1 3 11．(2017年6)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是 12．（2017年16）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。

高中数学《立体几何(文科)》练习题

高中数学《立体几何》练习题 1．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( ) A.12 B.24 C.62 D.122 2．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥β D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 3．如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．． 的是 A ．P D DC 11⊥ B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1 C ．1AP D ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+ 4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m 3. 5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 . 6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是____________

7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞F E D ,,，且知 1:2:::===FS CF EB SE DA SD ，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 . 8．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝ 12 PD. (1)证明：PQ ⊥平面DCQ ； (2)求棱锥Q -ABCD 的体积与棱锥P -DCQ 的体积的比值．[来 9．如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3 BAD π ∠=． （1）求证://BCF AED 平面平面. （2）若,BF BD a A BDEF ==-求四棱锥的体积。 10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点． (1) 求证：PC AD ⊥； (2) 求证：//FG 平面BCP ； S F C B A D E

2015年高考文科数学立体几何试题汇编

图 2 1俯视图 侧视图 正视图2 11.（北京8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点， 则 P 到各顶点的距离的不同取值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2.（广东卷6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．1 6 B ．1 3 C ．2 3 D ．1 3. （广东卷8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4. （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ． 3 B.1 C. 21 + D.2 5. 江西卷8）.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. （辽宁卷10）已知三棱柱 1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A ． 317 B ．210 C ．13 2 D ．310 B ．. （全国卷11）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （A ） 2 3 （B ）3 （C ）2 （D ）13 8. （四川卷2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

（一） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 ： `

} （一） 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- < 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0, {n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 - <

（二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ \ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 《

2013-2018全国新课标1.2卷文科数学立体几何题(附答案)

2013-2018高考立体几何题文科数学（Ⅰ） （2013年）： （11）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+ （15）已知H 是球O 的直径AB 上一点， :1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为_______。 （19）如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =， 1AB AA =，160BAA ∠=。 （Ⅰ）证明：1 AB AC ⊥； （Ⅱ）若2AB CB == ，1 AC 111ABC A B C -的体积。 （2014年）： （8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三 视图，则这个几何体是 A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 1

（19）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ， 且⊥AO 平面C C BB 11.（Ⅰ）证明：证明：;1AB C B ⊥（Ⅱ）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高. （2015年）： 6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆 放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径 为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8

山东高考文科数学立体几何大题及答案汇编

2008年-2014年山东高考文科数学立体几何大题及答案 （08年）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC == （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． （09年）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 11111 （10年）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==. （I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ； （II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. （11年）（本小题满分12分） 如图，在四棱台 1111 ABCD A B C D -中， 1D D ABCD ⊥平面，底面 ABCD 是平行四边形， 112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11//CC A BD 平面. A B C M P D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D D B1 D1 C1 C B A A1

（12年） (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC . （13年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ， AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB=2CD ，E ，F ，G ， M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点。 （Ⅰ）求证，CE ∥平面PAD; （Ⅱ）求证，平面EFG ⊥平面EMN 。 （14年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，,//,BC AD PCD AP 平面⊥AD BC AB 2 1 = =,F E ,分别为线段PC AD ,的中点。 （Ⅰ）求证：BEF AP 平面// （Ⅱ）求证：PAC BE 平面⊥ P A C D E

高考立体几何文科大题及标准答案

高考立体几何大题及答案 1.（2009全国卷Ⅰ文）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ， 2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，o ∠ABM=60。 （I ）证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.（2009全国卷Ⅱ文）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.（2009浙江卷文）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====， 120ACB ∠=o ，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平 面ABE 所成角的正弦值． A C B A 1 B 1 C 1 D E

4.（2009北京卷文）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB = 且E 为PB 的中点时，求 AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.（2009江苏卷）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。 求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .

6.（2009安徽卷文）如图，ABCD 的边长为2的正方形，直线l 与平面ABCD 平行，g 和F 式l 上的两个不同点，且EA=ED ，FB=FC ， 和是平面ABCD 内的两点，和都与平面ABCD 垂直，（Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD ：（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多 面体ABCDEF 的体积。 7.（2009江西卷文）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球 面交PD 于点M ． （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 8.（2009四川卷文）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面； （II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A --的大小。 O A P B M D

历年江苏高考数学立体几何真题汇编含详解

历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解） （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ? ??? ?E ，F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）??????? ?? ?CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上， A 1D ⊥ B 1 C . 求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ， 因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1， 又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ， 又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ， 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题）

最新高考文科立体几何大题

1．（2013年高考辽宁卷（文））如 图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点 (I)求证:BC PAC ⊥平面； (II)设//.Q PA G AOC QG PBC ?为的中点，为的重心，求证：平面 2.2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中 心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA == (Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积. O D 1 B 1 C 1 D A C A 1

3.（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =, 60PAD ∠=o .(1)当正视图方向与向量AD u u u r 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程); (2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面; (3)求三棱锥D PBC -的体积. 4. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点． （1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积．

5.（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中2BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23 AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 图 4G E F A B C D 图 5D G B F C A E 6．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证: (1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD

(完整版)历年高考立体几何大题试题.doc

2015 年高考立体几何大题试卷 1.【 2015 高考新课标2，理 19】 如图，长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=16，BC =10， AA18 ，点E，F分别在 A1 B1，C1D1上， A1 E D1F 4 ．过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方 形． D F C A E B D C A B （ 1 题图） （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面所成角的正弦值． 2. 【 2015 江苏高考， 16】如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中，已知AC BC ， BC CC1，设 AB1的中点为D， B1C BC1 E .求证：（1） DE // 平面 AA1C1C ； （2）BC1AB1. A C B E D A C B （ 2 题图）（3 题图） 3. 【2015 高考安徽，理19】如图所示，在多面体A1 B1 D1 DCBA ，四边形 AA1B1 B ， ADD A , ABCD 均为正方形， E 为 B D 的中点，过 A1 , D , E 的平面交CD于F. 1 1 1 1 1 （Ⅰ）证明：EF / / B1C ；（Ⅱ）求二面角 E A1 D B1余弦值.

4.【2015江苏高考，22】如图，在四棱锥P ABCD 中，已知 PA平面ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形，ABC BAD,PA AD 2, AB BC 12 （ 1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值； （ 2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ 与 DP 所成角最小时，求线段BQ 的长 A P D Q B F A D G B C E C （ 4 题图）（ 5 题图） 5 .【 2015 高考福建，理 17】如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形， AB ^平 面 BEC， BE^ EC，AB=BE=EC=2 ， G，F 分别是线段 BE， DC 的中点 . ( Ⅰ ) 求证：GF / /平面ADE； ( Ⅱ ) 求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值． 6. 【 2015 高考浙江，理17】如图，在三棱柱ABC A1B1C1 - 中，BAC 90o， AB AC 2 ，A1A 4 ，A1在底面ABC的射影为BC的中点， D 为B1C1的中点. （1）证明：A1D平面A1B C； （2）求二面角A1-BD- B1的平面角的余弦值.

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A C D 图2 B A C D 图1 1 C 1B 1 A 1D C B A D F E 1，(本小题满分14分)如图（1），ABC ?是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ?沿EF 折起， 使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）． （Ⅰ）求证：EF A C '⊥； （Ⅱ）求三棱锥BC A F '-的体积． 2，（本小题满分13分） 如图1,在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面 平面,得到几何体,如图2所示. (Ⅰ) 求证:平面； (Ⅱ) 求几何体的体积. 3，（本小题满分14分）、已知几何体1111ABCD A B C D -的直观图如图所示，其三视图中主视图是长边为3的矩形，左视图是边长为2有一个角等于60°的菱形。 （1）求证平面1AD C ⊥平面11A DCB （2）求四棱锥1111D A B C D -的体积 4．（本小题满分12分） 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱1111,,,AB CC D A BB 的中点. （1）证明：//FH 平面1A EG ； （2）证明：AH EG ⊥； （3）求三棱锥1A EFG -的体积. 5.（本小题满分14分） 如图，已知三棱锥A-BPC 中，AP ⊥PC, AC ⊥BC ， M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。 (Ⅰ) 求证：DM ∥平面APC ：(Ⅱ) 求证：平面ABC ⊥平面APC ； (Ⅲ) 若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM 的体积． 6．（本小题满分12分）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 中点,AC BD F =. (Ⅰ) 求证:CE ⊥BD ；(Ⅱ) 求证:CE ∥平面1A BD ； (Ⅲ) 求三棱锥1D A BC -的体积. ABCD 90ADC ∠=?//CD AB 4,2AB AD CD ===ADE ?AC ADE ⊥ABC D ABC -BC ⊥ACD D ABC -3 2 2 A 1 B 1 A D C B D 1 C 1 俯视图 左视图 主视图 A C A 1E F

高考文科立体几何大题

1. (2013年高考辽宁卷(文))如 图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点. (I) 求证：BC _平面PAC ； (II) 设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG//平面PBC. 2.2013年高考陕西卷(文))如图，四棱柱ABCDAιBιCD的底面ABCt是正方形，O为底面中 心,AC⊥平面ABCD AB=AA=√2. (I )证明：A i BD // 平面CDB1； ( ∏ )求三棱柱ABDABD的体积.

3. (2013年高考福建卷(文))如图，在四棱锥P- ABCD 中,PD _ 面ABCD , AB∕∕DC , AB _ AD , BC =5, DC =3, AD = 4, .PAD =60 .(1)当正视图方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P- ABCD的正视图.(要求标出尺寸，并画出演算过程); ⑵若M为PA的中点，求证：DM / /面PBC ; (3) 4. 如图，四棱锥 P—ABCD中，ABCD为矩形，△ PAD为等腰直角三角形，∠ APD=90°,面 PAD⊥面 ABCD,且 AB=1，AD=2, E、F分别为 PC和BD的中点. (1)证明：EF// 面 PAD (2)证明：面PDC⊥面PAD; (3)求四棱锥 P— ABCD的体积. A B 求三棱锥D- PBC的体积.

5. (2013年高考广东卷(文))如图4,在边长为1的等边三角形 ABC 中，D ) E 分别是AB )AC 边上的点，AD =AE , F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G , 将 :ABF 沿AF 折起, (1)证明：DE //平面BCF ; (2) 证明：CF _平面ABF ; 2 ⑶ 当AD 时，求三棱锥F - DEG 的体积V F DEG 3 _ 6. (2013年高考北京卷(文))如图,在四棱锥P-ABCD 中，AB∕∕CD , AB _ AD , CD =2AB ,平面 PAD _ 底面 ABCD , PA _ AD , E 和 F 分别是CD 和PC 的中点，求证: (1) PA _ 底面 ABCD ;(2) BE//平面 PAD ;(3)平面 BEF _ 平面 PCD 得到如图5所示的三棱锥 A - BCF ,其中BC 洱

2018高考文科立体几何大题

立体几何综合训练1、证明平行垂直 1．如图，AB 是圆O 的直径，PA⊥圆O 所在的平面，C是圆O 上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC； （2）若Q 为PA的中点，G为△AOC 的重心，求证：QG∥平面PBC．2．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB ∥ CD，AB⊥AD ，CD=2AB ，平面PAD⊥ 底面ABCD ，PA⊥ AD ．E和F分别 是CD 和PC 的中点，求证：（Ⅰ） PA⊥底面ABCD； （Ⅱ）BE∥平面PAD； （Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD ．

3．如图，四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD ，点E在线段AD 上，且CE∥AB ． （Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD ； （Ⅱ）若PA=AB=1 ，AD=3 ，CD= ， ∠ CDA=45 °，求四棱锥P﹣ABCD 的体4．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形．已知 ．M 是PD 的中点． Ⅰ）证明PB∥平面MAC Ⅱ）证明平面PAB⊥平面ABCD Ⅲ）求四棱锥p ﹣ABCD 的体积．

Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M ﹣ACD 的体积． 2、求体积问题 5．如图，已知四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC，∠ ABC=45 °，DC=1 ，AB=2 ，PA⊥平面ABCD ，PA=1 ． （Ⅰ）求证：AB∥平面PCD； Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；

6．（2011? 辽宁）如图，四边形ABCD 为正方形，QA⊥平面ABCD ， PD∥QA， OA=AB= PD． （Ⅰ）证明PQ⊥平面DCQ ； （Ⅱ）求棱锥Q﹣ABCD 的体积与棱锥P ﹣DCQ 的体积的比值．7．如图，四棱锥P﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为 2 的菱形，∠ BAD=60 °，已知 PB=PD=2 ，PA= ． （Ⅰ）证明：PC⊥ BD （Ⅱ）若E为PA 的中点，求三棱锥P ﹣ BCE的体积．

全国卷历年高考立体几何真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考立体几何真题归类分析（含答案） 类型一：直建系——条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z轴或与z轴平行，底面垂直关系直接给出或容易得出（如等腰三角形的三线合一）。这类题入手比较容易，第（Ⅰ）小问的证明就可以用向量法，第（Ⅱ）小问往往有未知量，如平行坐标轴的某边长未知，或线上动点等问题，以增加难度。该类问题的突破点是通过条件建立方程求解，对于向上动点问题这主意共线向量的应用。 1.（2014年全国Ⅱ卷）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC； (Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积. 2.（2015年全国Ⅰ卷）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC；(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 3.（2015年全国Ⅱ卷）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.

4.（2016年全国Ⅲ卷）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥底面面ABCD ，AD ∥BC ， 3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （I ）证明MN 平面PAB ；（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 5.（2017全国Ⅱ卷）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，1 2 AB BC AD == ，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点. （1）求证：直线//CE 平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成的锐角为45，求二面角M AB D --的余弦值. E M D C B A P 类型二：证建系（1）——条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z 轴或与z 轴平行，但底面垂直关系需要证明才可以建系（如勾股定理逆定理等证明平面线线垂直定理）。这类题，第（Ⅰ）小问的证明用几何法证明，其证明过程中的结论通常是第（Ⅱ）问证明的条件。第（Ⅱ）小问开始需要证明底面上两条直线垂直，然后才能建立空间直角坐标系。 6.（2011年全国卷）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD ，PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：P A ⊥BD ； (Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值.

(新)高三立体几何习题(文科含答案)

23 正视图 图1 侧视图 图2 2 2 图3 立几习题2 1若直线l 不平行于平面a ，且l a ?，则 A ．a 内的所有直线与异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线 C ．a 内存在唯一的直线与l 平行 D ．a 内的直线与l 都相交 2.1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 （A ）12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ? （B ）12l l ⊥，23//l l ?13l l ⊥ （C ）233////l l l ?1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面 3．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A ．3 B ．4 C ．3 D ．2 4.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） A.283 π - B.83 π- C.8-2π D.23 π 5、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证： （1）直线E F ‖平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD

5（本小题满分13分） 如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OD=，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。 OA=，2 1 ∥； （Ⅰ）证明直线BC EF -的体积. （Ⅱ）求棱锥F OBED 6.（本小题共14分） 如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点. （Ⅰ）求证：DE∥平面BCP； （Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形； . （Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由 7．（本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。

高中立体几何练习题(根据历年高考题改编)

立体几何复习精选 一．选择 10 1模 5．已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 三．大题 18．如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，ADP BAD △∽△． （1）求线段PD 的长； （2）若11PC R =，求三棱锥P ABC -的体积． C P A B 图5 D

09 1模 如图4，A A 1是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点， 12AA AB ==． （1）求证：BC ⊥平面AC A 1； （2）求三棱锥1A ABC -的体积的最大值．

18在长方体1111112,ABCD A B C D AB BC A C -==中，过、、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为 403 。 （1）证明：直线1A B ∥平面11CDD C ; （2）求棱1A A 的长; （3）求经过11A C 、、B 、D 四点的球的表面积。 10 1模 17．（本小题满分14分） 如图6，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且3AE =，6AB =． （1）求证：AB ⊥平面ADE ； （2）求凸多面体ABCDE 的体积． A B C D E 图5

高中数学立体几何大题练习(文科)

立体几何大题练习（文科）： 1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD． （1）求证：平面SBD⊥平面SAD； （2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积． 【分析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证； （2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=， 设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°， 可得BD=a，∠CBD=45°，∠ABD=45°， 由余弦定理可得AD==a， 则BD⊥AD， 由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD， 又BD?平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD； （2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为， 由AD=SD=a， 在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=a， △SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a， 由SH⊥平面BCD，可得 ×a××a2=，

解得a=1， 由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD， SB===2a， 又AB=2a， 在等腰三角形SBA中， 边SA上的高为=a， 则△SAB的面积为×SA×a=a=． 【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题． 2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC． 【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论； （2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论． 【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，

高考真题立体几何文科

文科立体几何

4、如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且 ACE BF 平面⊥. （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//； （Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积. B C

5、如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分 别为1DD 、DB 的中点． (Ⅰ)求证：//EF 平面11ABC D ； (Ⅱ)求证：1EF B C ⊥； （III ）求三棱锥EFC B V -1的体积． 6、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， 1==DC PD ，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F ． (I) 证明： PA ∥平面EDB ； (II) 证明：PB ⊥平面EFD ； (III) 求三棱锥DEF P -的体积． A B D E F A 1 B 1

1 A 1B 1C A B D C 7、 如图, 在三棱柱中，， 1CC ⊥平面ABC ，，,， 点是的中点， （1）求证：； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积。 8. 如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点， 且BF ⊥平面ACE ． (1)求证：AE ⊥BE ； (2)求三棱锥D －AEC 的体积； (3)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试 在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE. 111ABC A B C -3AC =4BC =5AB =14AA =D AB 1AC BC ⊥11AC CDB 平面11C CDB -