高中数学-幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)
高中数学-幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)
高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数
【第一部分】知识复习
【第二部分】典例讲解
考点一：幂函数
例1、比较大小
例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞)上是减函数，又，则m= A．0B．1C．2D．3
解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，则有，又，故为偶函数，故m为1．
例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论的奇偶性．
∵幂函数在区间上是减函数，∴，解得，∵，∴．又是偶数，∴，∴．
(2)，．
当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数；
当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数．例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系
(1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B).
变式训练：
1、下列函数是幂函数的是（）
A．y=2x B．y=2x－1C．y=(x＋1)2D．y=
2、下列说法正确的是（）
A．y=x4是幂函数，也是偶函数B．y=－x3是幂函数，也是减函数
C．是增函数，也是偶函数D．y=x0不是偶函数
3、下列函数中，定义域为R的是（）
A．y=B．y=C．y=D．y=x－1
4、函数的图象是（）
A．B．C．D．
5、下列函数中，不是偶函数的是（）
A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x－1 6、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（）
A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1) C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5)
7、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（）
A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a )) 8、已知，则下列正确的是（）
A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数
C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数
9、若函数f(x)=x2＋ax是偶函数，则实数a=（）
A．－2B．－1 C．0D．1
10、已知f(x)为奇函数，定义域为，又f(x)在区间上为增函数，且f(－1)=0，则满足f(x)>0的的取值范围是（）
A．B．(0，1) C．D．
11、若幂函数的图象过点，则_____________．
12、函数的定义域是_____________．
13、若，则实数a的取值范围是_____________．
14、是偶函数，且在上是减函数，则整数a的值是_____________．DACAD ABACD
9、，函数为偶函数，则有f(－x)=f(x)，即x2－ax=x2＋ax，所以有a=0．
10、奇函数在对称区间上有相同的单调性，则有函数f(x)在上单调递增，则当
x<－1时，f(x)<0，当－1
11、解析：点代入得，所以．
12、解：
13、解析：，解得．
14、解：则有，又为偶函数，代入验证可得整数a的值是5．
考点二：指数函数
例1、若函数y=a x＋m－1(a>0)的图像在第一、三、四象限内，则（）
A.a>1
B.a>1且m<0
C.0
D.0 例2、若函数y=4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，试确定x的取值范围． 例3、若关于x的方程有负实数解，求实数a的取值范围． 例4、已知函数． (1)证明函数f(x)在其定义域内是增函数；(2)求函数f(x)的值域． 例5、如果函数（a>0，且a≠1）在[－1，1]上的最大值是14，求a的值． 例1、解析：y=a x的图像在第一、二象限内，欲使其图像在第一、三、四象限内，必须将y=a x向下移动．而当0 答案：B 例2、分析：在函数y=4x－3·2x＋3中，令t=2x，则y=t2－3t＋3是t的二次函数，由y∈[1,7]可以求得对应的t的范围，但t只能取正的部分. 根据指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围． 解答：令t=2x,则y=t2－3t＋3，依题意有： ∴x≤0或1≤x≤2，即x的范围是(－∞，0]∪[1,2]． 小结：当遇到y=f(a x)类的函数时，用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理，再结合指数函数的性质得到原问题的解． 例3、分析：求参数的取值范围题，关键在于由题设条件得出关于参数的不等式． 解答：因为方程有负实数根，即x＜0， 所以， 解此不等式，所求a的取值范围是 例4、分析：对于(1)，利用函数的单调性的定义去证明；对于(2)，可用反解法求得函数的值域． 解答：(1)，设x1＜x2，则 ． 因为x 1＜x2，所以2x1＜2x2，所以,所以．又＋1＞0, ＋1＞0,所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函数f(x)在其定义域(－∞，＋∞)上是增函数． (2)设，则，因为102x＞0，所以，解得－1＜y＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)． 例5、分析：考虑换元法，通过换元将函数化成简单形式来求值域． 解：设t=a x>0，则y=t2＋2t－1，对称轴方程为t=－1． 若a>1，x∈[－1，1]，∴t=a x∈，∴当t=a时，y max=a2＋2a－1=14． 解得a=3或a=－5(舍去)． 若0 ∴当时，．解得（舍去）． ∴所求的a值为3或． 变式训练： 1、函数在R上是减函数，则的取值范围是（） A．B．C．D． 2、函数是（） A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数3、函数的值域是（） A．B．C．D． 4、已知,则函数的图像必定不经过（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5、函数的定义域为（） A．B．C．D． 6、函数，满足f(x)>1的x的取值范围是（）A．B．C．D． 7、函数的单调递增区间是（） A．B．C．D． 8、已知，则下列正确的是（） A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数 C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数 9、函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D． 10、下列说法中，正确的是（） ①任取x∈R都有；②当a>1时，任取x∈R都有； ③是增函数；④的最小值为1； ⑤在同一坐标系中，的图象对称于y轴． A．①②④B．④⑤C．②③④D．①⑤ 11、若直线y=2a与函数y=|a x－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围__. 12、函数的定义域是______________． 13、不论a取怎样的大于零且不等于1的实数，函数y=a x－2＋1的图象恒过定点________． 14、函数y=的递增区间是___________. 15、已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y=()x－1－4()x＋2的最大值和最小值． 16、若关于x的方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m=0有实根，求m的取值范围． 17、设a是实数，． (1)试证明对于a取任意实数，f(x)为增函数； (2)试确定a的值，使f(x)满足条件f(－x)＝－f(x)恒成立． 18、已知f(x)＝（a>0且）． （1）求f(x)的定义域、值域．（2）讨论f(x)的奇偶性．（3）讨论f(x)的单调性． 答案及提示：1-10 DADAD DDACB 1、可得0 2、函数定义域为R，且，故函数为奇函数. 3、可得2x>0，则有，解得y>0或y<－1. 4、通过图像即可判断. 5、. 6、由，由，综合得x>1或x<－1. 7、即为函数的单调减区间，由，可得， 又，则函数在上为减函数，故所求区间为. 8、函数定义域为R，且，故函数为奇函数， 又，函数在R上都为增函数，故函数f(x)在R上为增函数. 9、可得. 10、①中当x=0时，两式相等，②式也一样，③式当x增大，y减小，故为减函数． 11、0＜a＜提示：数形结合.由图象可知0＜2a＜1，0＜a＜. 12、提示：由得2－3x＞2，所以－3x＞1，． 13、(2,2) 提示：当x=2时，y=a0＋1=2． 14、(－∞，1] 提示：∵y=()x在(－∞，＋∞)上是减函数，而函数y=x2－2x＋2=(x－1)2＋1的递减区间是(－∞，1］，∴原函数的递增区间是(－∞，1］． 15、解：由9x－10·3x＋9≤0得(3x－1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9. ∴0≤x≤2，令()x=t，则≤t≤1，y=4t2－4t＋2=4(t－)2＋1. 当t=即x=1时，y min=1；当t=1即x=0时，y max=2. 16、解法一：设y=5－|x＋1|，则0＜y≤1，问题转化为方程y2－4y－m=0在(0，1］内有实根.设f(y)=y2－4y－m，其对称轴y=2，∴f(0)＞0且f(1)≤0，得－3≤m＜0. 解法二：∵m=y2－4y，其中y=5－|x＋1|∈(0，1]，∴m=(y－2)2－4∈［－3，0)． 17、(1)设， 即f(x1)＜f(x2)，所以对于a取任意实数， f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)由f(－x)=－f(x)得，解得a=1，即当a=1时，f(－x)=－f(x)． 18、解：（1）定义域为R． ． ． ∴值域为（－1，1）． （2）， ∴f(x)为奇函数． （3）设，则 当a>1时，由，得， ， ∴当a>1时，f(x)在R上为增函数． 同理可判断当0 考点三：对数函数 例1、求函数的定义域和值域，并确定函数的单调区间． 例2、已知函数f(x)=lg(ax2＋2x＋1)（a∈R）. （1）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围. 例3、已知的最大值和最小值以及相应的x值. 例4、已知f(x)=log a(a x－1)（a＞0，a≠1）. （1）求f(x)的定义域； （2）讨论f(x)的单调性； （3）求函数y=f(2x)与y=f－1(x)的图象交点的横坐标. 例1解：由－x2＋2x＋3＞0 ，得 x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3，定义域为 (－1，3)； 又令 g(x)=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，∴当 x∈(－1，3) 时， 0＜g(x)≤4. ∴ f(x)≥=－2 ，即函数 f(x) 的值域为[－2，＋∞）； ∵ g(x)=－(x－1)2＋4 的对称轴为 x=1. ∴当－1＜x≤1 时， g(x) 为增函数，∴为减函数. 当 1≤x＜3 时， g(x)为减函数，∴ f(x)为增函数． 即 f(x) 在（－1，1] 上为减函数；在 [1，3 ）上为增函数． 例2、分析：令g(x)=ax2＋2x＋1，由f(x)的定义域为R，故g(x)＞0对任意x∈R均成立，问题转化为g(x)＞0恒成立，求a的取值范围问题；若f(x)的值域为R，则g(x)的值域为B必满足B（0，＋∞），通过对a的讨论即可． 解答：（1）令g(x)=ax2＋2x＋1，因f(x)的定义域为R，∴ g(x)＞0恒成立．∴∴函数f(x)的定义域为R时，有a＞1. （2）因f(x)的值域为R，设g(x)=ax2＋2x＋1的值域为B，则B（0，＋∞）. 若a＜0，则B=（－∞，1－]（0，＋∞）； 若a=0，则B=R，满足B（0，＋∞）. 若a＞0，则△=4－4a≥0，∴ a≤1. 综上所述，当f(x)的值域为R时，有0≤a≤1. 例3、分析：题中条件给出了后面函数的自变量的取值范围，而根据 对数的运算性质，可将函数化成关于log2x的二次函数，再根据二次函数在闭区间上的最值问题来求解. 解答： 当t=3时，y有最大值2，此时，由log2x=3，得x=8. ∴当x=2时，y有最小值－. 当x=8时，y有最大值2. 例4、分析：题设中既含有指数型的函数，也含有对数型的函数，在讨论定义域，讨论单调性时应注意对底数a进行讨论，而（3）中等价于求方程f(2x)=f－1(x)的解． 解答：（1）a x－1＞0得a x＞1. ∴当a＞1时，函数f(x)的定义域为（0，＋∞）， 当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域为（－∞，0）. （2）令g(x)=a x－1，则当a＞1时，g(x)=a x－1在（0，＋∞）上是增函数. 即对0＜x1＜x2，有0＜g(x1)＜g(x2)， 而y=log a x在（0，＋∞）上是增函数， ∴ log a g(x1) ＜log a g(x2)，即f(x1)＜f(x2)． ∴ f(x)= log a(a x－1)在（0，＋∞）上是增函数； 当0＜a＜1时，g(x)=a x－1在(－∞,0)上是减函数. 即对x1＜x2＜0，有g(x1)＞g(x2)＞0． 而y=log a x在（0，＋∞）上是减函数， ∴ log a g(x1) ＜log a g(x2)，即f(x1)＜f(x2)． ∴ f(x)=log a(a x－1)在（－∞，0）上是增函数. 综上所述，f(x)在定义域上是增函数． （3）∵ f(2x)= log a(a2x－1)，令y=f(x)= log a(a x－1)， 则a x－1=a y，∴ a x=a y＋1，∴ x= log a (a y＋1)(y∈R)． ∴ f－1(x)= log a (a x＋1)（x∈R）． 由f(2x)=f－1(x)，得log a(a2x－1)= log a(a x＋1)． ∴ a2x－1= a x＋1，即(a x)2－a x－2=0. ∴ a x=2或a x=－1（舍）． ∴ x=log a2. 即y=f(2x)与y= f－1(x)的图象交点的横坐标为x=log a2． 变式训练： 一、选择题 1、当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a－x与y=log a x的图象是（） A．B．C．D． 2、将y=2x的图象（），再作关于直线y=x对称的图象，可得函数y=log2(x＋1)和图象． A．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位 C．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位 3、函数的定义域是（） A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，2）D．（1，2] 4、函数y=lg(x－1)＋3的反函数f－1(x)=（） A．10x＋3＋1B．10x－3－1 C．10x＋3－1D．10x－3＋1 5、函数的递增区间是（） A．（－∞，1）B．（2，＋∞）C．（－∞，）D．（，＋∞）6、已知f(x)=|log a x|，其中0 A．B． C．D． 7、是（） A．奇函数而非偶函数B．偶函数而非奇函数 C．既是奇函数又是偶函数D．既非奇函数也非偶函数 8、已知0 A．B． C．D． 9、函数f(x)的图象如图所示，则y=log0.2f(x)的图象示意图为（） A．B．C．D． 10、关于x的方程（a＞0，a≠1），则（） A．仅当a＞1时有唯一解B．仅当0＜a＜1时有唯一解 C．必有唯一解D．必无解 二、填空题 11、函数的单调递增区间是___________. 12、函数在2≤x≤4范围内的最大值和最小值分别是 ___________. 13、若关于x的方程至少有一个实数根，则a的取值范围是___________. 14、已知（a＞0，b＞0），求使f(x)＜0的x的取值范围. 15、设函数f(x)=x2－x＋b，已知log2f(a)=2，且f(log2a)=b(a>0且a≠1)， (1)求a，b的值； (2)试在f(log2x)>f(1)且log2f(x) 16、已知函数f(x)=log a(x－3a)（a＞0且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f(x)图象上的点时，点Q（x－2a，－y）是y=g(x)图象上的点. （1）写出y=g(x)的解析式； （2）若当x∈[a＋2，a＋3]时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试求a的取值范围. 答案及提示：1-10 DDDDA BBBCC 1、当a>1时，y=log a x是单调递增函数，是单调递减函数，对照图象可知D正确. ∴应选D. 2、解法1：与函数y=log2(x＋1)的图象关于直线y=x对称的曲线是反函数y=2x－1的图象，为了得到它，只需将y=2x的图象向下平移1个单位. 解法2：在同一坐标系内分别作出y=2x与y=log2(x＋1)的图象，直接观察，即可得D. 3、由≥0，得 0 5、应注意定义域为（－∞，1）∪（2，＋∞），答案选A. 6、不妨取，可得选项B正确． 7、由f(－x)=f(x)知f(x)为偶函数，答案为B. 8、由ab>1，知，故且，故答案选B. 10、当a＞1时，0＜＜1，当0＜a＜1时，＞1， 作出y=a x与y=的图象知，两图象必有一个交点. 11、答案：（－∞，－6） 提示： x2＋4x－12＞0 ，则 x＞2 或 x＜－6. 当 x＜－6 时， g(x)=x2＋4x－12 是减函数， 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数． 【考试要求】（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 【考题分类】 （一）选择题（共15题） 1.（安徽卷文7）设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾，选D 。 3.（辽宁卷文10）设525b m ==，且112a b +=，则m = （A （B ）10 （C ）20 （D ）100 【答案】 D 解析：选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a 指数函数和对数函数知识点总结及练习题 一.指数函数 （一）指数及指数幂的运算 n m n m a a = s r s r a a a +=? rs s r a a =)( r r r b a ab =)( （二）指数函数及其性质 1.指数函数的概念：一般地，形如x a y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数。 2.指数函数的图象和性质 10<a 6 54321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y ＞0 值域y ＞0 在R 上单调递减 在R 上单调递增 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点（0，1） 定点（0，1） 二.对数函数 （一）对数 1.对数的概念：一般地，如果N a x =（0>a 且1≠a ），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做底数，N 叫做真数，N a log 叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化 幂值 真数 x N N a a x =?=log 底数 指数 对数 3.两个重要对数 （1）常用对数：以10为底的对数N lg （2）自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln （二）对数的运算性质（0>a 且1≠a ，0,0>>N M ） ①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log log =- ③M n M a n a log log = ④换底公式：a b b c c a log log log =（0>c 且1≠c ） 关于换底公式的重要结论：①b m n b a n a m log log = ②1log log =?a b b a （三）对数函数 1.对数函数的概念：形如x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做对数函数，其中x 是自变量。 2对数函数的图象及性质 0 指数函数与对数函数专项练习 例1.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x ) 的反函数f －1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0)0(f >=?=-?=, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax )x (u 2-=, 对称轴a 21 x =. (1) 当1a >时, 1a 0)2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.（安徽卷文7）设 232 555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >， 2 ()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一 直角坐标系中的图像可能是【答案】D 指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a ＞0, f (x)＝ x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习: 高一数学 指数函数平移问题 ⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x ＋a )的图象;向右平移a 个单位得到f (x －a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )＋a 的图象;向下平移a 个单位得到f (x )－a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，∴值域是≤＜．0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）4 12 -=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）12 41 ++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 及时演练 指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 358945 12--() 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 经典例题透析 类型一、求函数的反函数 例1．已知f(x)=225x - (0≤x ≤4)， 求f(x)的反函数. 思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域). 解：∵0≤x ≤4，∴0≤x 2≤16， 9≤25-x 2≤25，∴ 3≤y ≤5， ∵ y=225x -， y 2=25-x 2，∴ x 2=25-y 2.∵ 0≤x ≤4，∴x=225y - (3≤y ≤5) 将x ， y 互换，∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2．已知f(x)=21(0)1(0) x x x x +≥??-0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式. 思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1)在反函数的图象上，则点(1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ，b 的点，也就有了两个求解a ，b 的方程. 解： ? ?+?=+?=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51， b=521，∴ f(x)=-51x+521. 另：这个题告诉我们，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x 上. 例5．已知f(x)= ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253 x x +-，求a ，b ，c 的值. 思路点拨：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f -1(x)=253 x x +-的反函数就是函数f(x). 解：求f -1(x)=253 x x +-的反函数，令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2)，f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-，∴ a=3， b=5， c=-2. 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0 ，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1 时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10，， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ? ? ?12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101， 则， 则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x =是增函数， 例1.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0) 0(f >=?=-? =, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4 x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax ) x (u 2-=, 对称轴a 21x = . (1) 当1a >时, 1a 0 )2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.（安徽卷文7）设 232 555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2 ()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可 能是【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1 对数函数与指数函数的运算 1.化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(65312121132 b a b a b a ????-- （2）.)4()3(6521 332121231----?÷-??b a b a b a 2.化简(1) 313 2)3(---a y x (2) )111)((2211b ab a b a +-+-- 3.化简下列各式 (1) 6113175.0231729)95()27174(256)61(027 .0------+-+-- (2) (a 3+a -3)(a 3-a -3)÷[(a 4+a -4+1)(a-a -1)] 4.求值(1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3) 2.1lg 10lg 38lg 27lg -+ (4)(lg2)3+(lg5)3+3lg2?lg5 (5)化简22)4(lg 16lg 25lg )25(lg ++ 答案： 1.（1）原式= .100653121612131656131212131=?=?=?-+-+--b a b a b a b a b a （2）原式=- )(45)4(25233136121332361------÷-=?÷b a b a b a b a .45145452 32321ab ab ab b a -=?-=?-=-- 2. (1) 639 27x a y ； (2) 3311b a +； 3.(1) 5132；(2) a a 1 ； 4. (1) 0；(2) 25；(3) 23；(4) 1；(5) 2 ； 指数函数和对数函数的重点知识 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为 1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210 ，，的图象的认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ???12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101 ，则，则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐上升，y x =?? ? ? ?12的图象逐渐下降。 （4）当a >1时，y a x =是增函数， 当01< 高中数学指数与指数函数练习题及答案 2019级数学单元同步试题 （指数与指数函数） 姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿ 一、选择题（12*5分） 1．（）4（）4等于（） （A）a16 （B）a8 （C）a4 （D）a2 2．函数f（x）=(a2-1)x在R上是减函数，则a的取值范围是（） （A）（B）（C）a （D）1 3.下列函数式中，满足f(x+1)= f(x)的是( ) (A) (x+1) (B)x+ (C)2x (D)2-x 4．已知ab,ab 下列不等式（1）a2b2,(2)2a2b,(3) ,(4)a b ,(5)( )a( )b 中恒成立的有（） （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 5．函数y= 的值域是（） （A）（- ）（B）（- 0）（0，+ ） （C）（-1，+ ）（D）（- ，-1）（0，+ ） 6．下列函数中，值域为R+的是（） （A）y=5 （B）y=( )1-x （C）y= （D）y= 7．下列关系中正确的是（） （A）（）（）（）（B）（）（）（） （C）（）（）（）（D）（）（）（） 8．若函数y=32x-1的反函数的图像经过P点，则P点坐标是（） （A）（2，5）（B）（1，3）（C）（5，2）（D）（3，1）9．函数f(x)=3x+5,则f-1(x)的定义域是（） （A）（０，＋）（B）（５，＋） （C）（６，＋）（D）（－，＋） 10．已知函数f(x)=ax+k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（）(A)f(x)=2x+5 (B)f(x)=5x+3 (C)f(x)=3x+4 (D)f(x)=4x+3 11．已知01,b-1,则函数y=ax+b的图像必定不经过（）(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 12．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（） （A）na(1-b%) （B）a(1-nb%) （C）a[(1-(b%))n （D）a(1-b%)n 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题（4*4分） 关于指数函数与对数函数的问题 一、指数函数 底数对指数函数的影响： ①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0 二、对数函数 底数对函数值大小的影响： 1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a>l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O 对数函数的图象与性质： 三、对数函数与指数函数的对比： (1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称． (2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a>l时，它们是增函数；当O 四、关于同底指数函数与对数函数的交点问题 一、1a >时方程 x log a a x =的解 先求如图3所示曲线x log y a y a x ==与相切时a 的值。设曲线x log y a y a x ==与相切 于点M （00x ,x ），由于曲线x a y =在点M 处的切线斜率为1， 所以?????==?????===1a ln a , x a 1|)'a (,x a 0000x 0x x x x 0x 即 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较， 指数函数和对数函数综合 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 【要点链接】 1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较： 对数函数增长比较缓慢，指数函数增长的速度最快． 2．要能熟练掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像，并能利用它们的图像的增减情况解决 一些问题． 【随堂练习】 一、选择题 1．下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是（ ） A ．1100 x y e = B ．100ln y x = C ．100y x = D ．1002x y =? 2．若112 2 a a -<，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．0a > C ．01a << D ．01a ≤≤ 3．x x f 2)(=，x x g 3)(=，x x h )2 1()(=，当x ∈（-)0,∞时，它们的函数值的大小关系 是（ ） A ．)()()(x f x g x h << B ．)()()(x h x f x g << C ．)()()(x f x h x g << D ．)()()(x h x g x f << 4．若b x <<1，2 )(log x a b =，x c a log =，则a 、b 、c 的关系是（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a b c << D ．b a c << 二、填空题 5．函数x e y x x y x y x y ====,ln ,,3 2 在区间(1,)+∞增长较快的一个是__________． 6．若a ＞0，b ＞0，ab ＞1，a 2 1log =ln2，则log a b 与a 2 1log 的关系是_________________． 7．函数2 x y =与x y 2=的图象的交点的个数为____________． 三、解答题 8．比较下列各数的大小： 5 2)2(－、21 )23(－、3)3 1(－、54 )32(－． 9．设方程2 22x x =-在(0,1)内的实数根为m ，求证当x m >时，2 22x x >-． 答案 1．A 指数增长最快． 2．C 在同一坐标系内画出幂函数2 1 x y =及2 1- =x y 的图象，注意定义域，可知10< 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a x ，y log a x 在 a 1及 0 a 1两种不同情况。 1、指数函数： y x 且a 叫指数函数。 定义：函数 aa 0 1 定义域为 R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数 y a x 中的 a 必须 a 0且a 1 。 因为若 a 0时， y 4 x ，当 x 1 时，函数值不存在。 4 a 0 ， y 0x ，当 x 0 ，函数值不存在。 a 时， y 1 x x 虽有意义，函数值恒为 1，但 1 对一切 y 1x 的反函数不存在， 因 为 要 求 函 数 y a x 中 的 a 0且 a 1 。 x 1、对三个指数函数 y 2 x ， y 1 ，y 10x 的图象的 2 认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （ 1）图象都位于 x 轴上方； （ 1） x 取任何实数值时，都有 a x 0 ； 2 0 1 ）； （ 2）无论 a 取任何正数， x 0 时， y 1 ； （ ）图象都经过点（ ， （ 3） y 2x ， y 10 x 在第一象限内的纵坐 （ 3）当 a x 0，则 a x 1 1 时， 0，则 a x 1 标都大于 1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， x 1 y 2 x x 0，则 a x 1 当 0 的图象正好相反； a 1时， 0，则 a x 1 x （ 4） y 2x ， y 10 x 的图象自左到右逐渐 （ 4）当 a 1 时， y a x 是增函数， 课题： 指数函数及其性质（一） 课 型：新授课 教学目标： 使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质. 教学重点：掌握指数函数的的性质． 教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？ 2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？ 二、讲授新课： 1.教学指数函数模型思想及指数函数概念： ① 探究两个实例： A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？ B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？ ② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？ ③ 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R . ④讨论：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模型？ 2. 教学指数函数的图象和性质： ① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ ② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1 ()2 x y =， 2x y = （师生共作→小结作法） ④ 探讨：函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1 ()2 x y =的图 象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3等后？ ⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P 56) 3、例题讲解 例1：（P 56 例6）已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值. 例2：（P 56例7）比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.73 第 讲 指数函数与对数函数 时间： 年 月 日 刘老师 学生签名： 一、 兴趣导入 二、 学前测试 log 1. log . 2. (1).; (); (). (2).log log log ; log log ;(0,0). 3. ; log ; a b a x y x y x y xy x x x a a a n a a N x a a N b N a a a a a ab a b MN M N M n M M N a N a x +=?=?===?=+=>>==指数式、对数式：指数、对数的运算性质： 常用关系式： log log ;log log ; log log . log 4. ; 5. 6. ,(, 111. 2a aM m N n b a a a b M N N n N M M M m y x R x x αααα== ==∈指数函数的定义、图象、性质对数函数的定义、图象、性质，指、对函数间的关系。幂函数 定义：是常数）叫幂函数。定义域是使的意义的的值的集合，与的取值有关。性质：（）图象都过点（，）（0.+00 3 7. 8.ααα><）在（∞)上，当时，是增函数，时，是减函数。 （）若为有理数，且定义域关于原点对称，则是奇或偶函数。指数方程、对数方程： 均属超越方程，解法是化成同底数幂（同底的对数），从而幂指数（真数）相等。或用换元法、或两边取对数。 指数不等式、对数不等式：解法与指数方程、对数方程类似。 三、方法培养 ☆专题1：指数运算与对数运算 [例1] 已知,27log 12a =试用a 表示.16log 6 变式练习：1已知,ln .log log 3,12x x x x a +==/求证：.) 2(2log 3 e e e = 2若a ＞1,b ＞1且lg(a +b )=lg a +lg b ，则lg(a -1)+lg(b -1)的值 (A) 等于lg2 (B)等于1 (C)等于0 (D)不是与a ,b 无关的常数 ☆专题2：指数函数与对数函数 [例2] 求下列函数的定义域：高一数学指数函数知识点及练习题
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(完整版)高考指数函数和对数函数专题复习
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