线性代数模拟题二答案
线性代数 试题 班级 姓名 学号 第 1 页
线性代数模拟题（二）答案
一、 判断题（正确画“ √ ”，错误画“×”）（每题2分，共10分）
（ √ ） 1. 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵。 （ × ） 2. 若向量组的秩为r ，则向量组中任意1r -个向量线性无关。 （ √ ） 3. 任意两个行列式都可以相乘。
（ × ） 4. 设A ，B 是n 阶方阵，则()2
22AB A B =。 （ × ） 5. 若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量。
二、 填空题（每空3分，共30分）
1．已知4阶行列式1
124307115392
6
8
D --=
----，则11121314539M M M M -+++的值为 0 ，
其中M ij 为D 的第i 行第j 列元素的余子式。
2．已知3阶矩阵A 的行列式2A =，则12A -= 4 ，*A = 4 。
3．已知4元齐次线性方程组0A x =的通解为1210011001x k k ????
? ? ? ?=+ ? ? ? ?????
，则0A x =的系数矩阵
A 的秩为 2 ，0A x =的一个基础解系为
1001,1001???? ? ? ? ? ? ? ? ?????。
4．已知非齐次线性方程组的增广矩阵为
B =2
21
0021
01100
001010
1k k k
k -?? ?-
? ?
-- ?+??
，则当k =
时
方程组无解；当k =
1
时方程组有无穷解。
5．可逆矩阵的列向量组的线性相关性为 线性无关 。
6．已知1
010
1001
1A ??
?
= ? ?-?
?
的3个特征值为123,,λλλ，则123λλλ++= 1 ，A 的3个特征值的乘积为??=123λλλ -1 。
1. 已知矩阵201021,1
1
21
1A B --??
??==
?
?--??
??，1
22
1C ??
= ?-??
。 （1）试指出下列运算哪个有定义（即运算可以进行），哪个没有定义：（3分）
,2,AB B C C +（表示矩阵C 的行列式）； （2）求矩阵2T BA -。（4分） （3）求矩阵C 的逆矩阵。（3分）
解：1）运算C 有定义；………………………（1分）
运算,2AB B C +没有定义。………………………（2分）
（2）210
422,01,2
212T
B A
??-?? ?-==-
? ?-??
?-??
………………………（2分）
210
42282012
2621
2T
BA
??
--????
?-=-= ? ? ?
--????
?-??
。………………………（2分） （3）12
521C ==-，*
1221C -??
= ???
，………………………（2分） 所以*
1
1212
15C
C
C
--??
=
= ???。………………………（1分） 2．已知矩阵
1111101121232443
5
1
7
5A ?? ?-
?
= ? ???
，记矩阵A 的5个列向量分别为12345,,,,ααααα。
（1）求矩阵A 的秩；（6分）
（2）求矩阵A 的列向量组12345,,,,ααααα的秩和一个最大无关组。（4分） 解：（1）利用初等行变换将矩阵A 化为阶梯形矩阵：
1
1111111110
11210112101022001010
2
2
4
20
0A ????
? ?--
?
?→→ ? ? ? ?-????
………………………（4分）
从而矩阵的秩为3。………………………（2分）
（2）矩阵A 的列向量组12345,,,,ααααα的秩为3，………………………（2分） 矩阵A 的列向量组12345,,,,ααααα一个最大无关组为123,,ααα。……………（2分）
线性代数 试题 班级 姓 学 第 2 页
1. 已知实二次型123(,,)f x x x 的矩阵为2
000
3202
3A ??
?= ? ??
?
。 （1）写出123(,,)f x x x 的一般形式；（2分） （2）求矩阵A 的特征值；（4分）
（3）判定二次型123(,,)f x x x 是否是正定的，说明理由。（4分） 解：
1）123(,,)f x x x 的一般形式为：22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++。
…………………………（2分）
2）200||032(2)(1)(5)0
2
3A E λ
λλλλλλ
--=
-=-----，……………………（3分）
所以矩阵A 的特征值为1232,1,5λλλ===。……………………（1分） 3）方法一：（特征值判别法）
由于A 的特征值为1232,1,5λλλ===，均大于零。…………………（2分） 从而A 是正定的，故二次型是正定的。…………………………（2分） 方法二：（顺序主子式判别法）
矩阵A 的各阶顺序主子式为：2
00
20220;
60;
0321000
3
2
3
=>=>=>， …………………（2分）
所以矩阵A 是正定的，故二次型是正定的。…………………………（2分）
2. 已知非齐次线性方程组如下：
124123412341
23421241225
3620
x x x x x x x x x x x x x x x -+=-??-++
=??-+-
=??-+
+=?。
（1）写出方程组的增广矩阵B ；（2分）
（2）用初等行变换将矩阵B 化为行最简形矩阵；（4分） （3）求该非齐次线性方程组的通解和一个特解。（4分） 解：
1） 方程组的增广矩阵为1
20112
4111122153
6
1
2
0B --?? ?-
?= ?-- ?-??
。………………………（2分）
2） 对增广矩阵B 做初等行变换，化为行最简形矩阵：
12011120110
01130011300226000000
1
1
30
0B ----????
? ?--
?
?→→ ? ?- ? ?-????
。……………（4分）
3） 与原方程组同解的方程组为：
12434213
x x x x x =--??
=+?，………………………（1分）
于是可得方程组的通解为
12121234211100,,013010x x k k k k R
x x --???????? ? ? ? ? ? ?
? ?=++∈ ? ? ? ? ? ? ? ???????
?
?。……………（2分）
方程组的一个特解为10
30η-??
? ?
= ? ???
。…………………………………（1分）
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五、 计算题（本题10分）
已知矩阵0
011
1110
0A -??
?
= ? ?-?
?
的三个特征值为1231,1λλλ===-。
（1）求A 的全部特征向量；（7分）
（2）求可逆矩阵P 使得11
000
1000
1P AP -??
?
= ? ?-?
?
。（3分） 解：（1）当121λλ==时，()0A E x λ-=，即1231
0101
01010
10x x x --??????
?
? ?= ? ? ?
? ? ?--????
??。………（1分） 从而有12310100
00000
00x x x ?????? ?
? ?= ? ? ? ? ? ??
?????，所以12121230110,,01x x k k k k R x ?????? ? ? ?=+∈ ? ? ? ? ? ?-??????
。………（2分）
故A 的属于121λλ==的全部特征向量为12121230110,
,001x x k k k k x ??????
? ? ?
=+ ? ? ? ? ? ?
-??????不同时为。
……………………………（1分）
当31λ=-时，()0A E x λ-=，即1231
0101
21010
10x x x -??????
?
? ?= ? ? ? ? ? ?-????
??。…………………（1分） 从而有12310100
11000
00x x x -?????? ?
? ?= ? ? ?
? ? ??
?????，所以1233311,1x x k k R x ????
? ?
=-∈ ? ? ? ?????
。…………………（1分）
故A 的属于31λ=-的全部特征向量为3111k ?? ?
- ? ???，30k ≠。……………………（1分）
（2）以A 的三个线性无关的特征向量0111,01011?????? ? ? ?- ? ? ?
? ? ?
-??????，构造矩阵P ，即01110101
1P ??
?=- ? ?-??
可得11
000
1000
1P AP -??
?
= ? ?-?
?
…………………………………（3分）
六、 综合题（本题共2小题，每题5分，共10分）
1. 已知12310522,1,6,10286a a a b ????????
? ? ? ?
=-==-=- ? ? ? ? ? ? ? ?????????
。
证明：向量b 能由向量组123,,a a a 线性表示。 证：对矩阵()1
2
310522
16102
8
6B a a a b ?? ?
==--- ? ???
进行初等行变换化为阶梯形矩阵：1
0521
0520
143014302
8
600
0B ????
? ?
→→ ? ? ? ??
???
。……………（3分） 显然123123(,,)(,,,)R a a a R a a a b =，所以向量b 能由向量组123,,a a a 线性表示。
……………（2分）
注：此问题可转化后证明：b 能由123,,a a a 线性表示112233x a x a x a b ?++=有解。 2. 两种常见的早餐麦片A 和B 每份食用量包含的热量（卡路里）、蛋白质（克）、碳
水化合物（克）与脂肪（克）如下表所示：
现欲将上述两种麦片混合得到混合物C ，要求C 含热量295卡路里，9克蛋白质，48
克碳水化合物和8克脂肪。
1）试建立这个问题的向量方程；（3分） 2）写出与向量方程等价的矩阵方程。（2分） 解：（答案不唯一，可以有其他表示形式）
向量方程：12
110130295439201848258x x ??????
? ? ? ? ? ?+= ? ? ? ? ? ???????
；……………（3分）
矩阵方程：121101302954
39201848258x x ????
? ???
? ?
=
? ? ?
?? ? ?????
。……………（2分）