2019年高考数学一轮复习(北师大版理科) 课时分层训练46 利用空间向量证明平行与垂直 理 北师大版

课时分层训练(四十六) 利用空间向量证明平行与垂直

A 组 基础达标

一、选择题

1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )

A ．l ∥α

B ．l ⊥α

C ．l ?α

D ．l 与α相交

B [∵n ＝－2a ，∴a 与平面α的法向量平行，∴l ⊥α.]

2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)．若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B ．637

C.607

D ．657

D [由题意得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，

∴????

?

7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ，

∴?????

t ＝337

，

μ＝17

7，

λ＝657.

]

3．若AB →＝λCD →＋μCE →

，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )

【导学号：79140251】

A ．相交

B ．平行

C ．在平面内

D ．平行或在平面内

D [∵AB →＝λCD →＋μC

E →，∴AB →、CD →、CE →

共面， ∴AB 与平面CDE 平行或在平面CDE 内．]

4．(2017·西安月考)如图7-7-8，F 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点．E 是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有(

)

图7-7-8

A ．

B 1E ＝EB B ．B 1E ＝2EB

C ．B 1E ＝1

2EB

D ．

E 与B 重合

A [分别以DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)，F (0,1,0)，D 1(0,0,2)，设E (2,2，z )，D 1F →＝(0,1，－2)，DE →

＝(2,2，

z )，∵D 1F →·DE →

＝0×2＋1×2－2z ＝0，∴z ＝1，∴B 1E ＝EB .]

5．如图7-7-9所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：

图7-7-9

①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.

以上说法正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

C [A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →，

D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →，∴A 1M →∥D 1P →

，所以A 1M ∥D 1P ，由

线面平行的判定定理可知，A 1M ∥平面DCC 1D 1，A 1M ∥平面D 1PQB 1.①③④正确．] 二、填空题

6.如图7-7-10所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________．

图7-7-10

垂直 [以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→

所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A (0,0,0)，M ? ????0，1，12，O ? ????12，12，0，N ? ????12，0，1，AM →·ON

→＝?

????0，1，12·? ????0，－12，1＝0，∴ON 与AM 垂直．]

7．(2017·广州质检)已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________． α∥β [设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由m ·AB →

＝0，得x ·0＋y －z ＝0?y ＝z ， 由m ·AC →

＝0，得x －z ＝0?x ＝z ，取x ＝1， ∴m ＝(1,1,1)，m ＝－n ， ∴m ∥n ，∴α∥β.]

8．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →

＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＋y ＝________.

【导学号：79140252】

25

7

[由条件得?????

3＋5－2z ＝0，x －1＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －3z ＝0，

解得x ＝407，y ＝－15

7，z ＝4，

所以x ＋y ＝407－157＝25

7.]

三、解答题

9．如图7-7-11，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝1

2PD .证明：平

面PQC ⊥平面DCQ .

图7-7-11

[证明] 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA ，DP ，DC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz .