反常积分与含参变量的积分共8页文档
第十二章 反常积分与含参变量的积分
§12.1 .无穷积分
一、无穷积分收敛和发散概念
实例：设地球的质量为M ，地球的半径为R.若火箭距离地心为()b b R >，则将质量为m 的
火箭，从地面发射到距离地心为b 处，§8.5例21给出了火箭克服地球引力2
2mgR F r
=所作的
功
2222211.b
b R R mgR dr W dr mgR mgR r r R b ??===- ???
?? 为了使火箭脱离地球的引力范围，即b →+∞，火箭克服地球引力F 所作的功
22211lim lim .b
R b b mgR W dr mgR mgR r R b →+∞→+∞??'==-= ???
? 定义 设函数()f x 在区间[,]a +∞（或(,],(,))b -∞-∞+∞有定义，符号
()a
f x dx +∞
?
（或(),()b
f x dx f x dx +∞
-∞
-∞
?
?
）
称为函数()f x 的无穷积分.
设,,p R p a ?∈>函数()f x 在［a,p ］可积，若极限
lim
()P
a
p f x dx →+∞?
存在（不存在），则称无穷积分()a
f x dx +∞
?收敛（发散），其极限称为无穷积分()a
f x dx +∞?
（的值），
即
()lim
()p
a
a
p f x dx f x dx +∞→+∞=?
?
.
设,,q R q b ?∈<函数()f x 在［q,b ］可积，若极限
lim ()b
q
q f x dx →-∞?
存在（不存在），则称无穷积分()b
f x dx -∞
?收敛（发散），其极限称为无穷积分()b f x dx -∞
?
（的值），
即
()lim ()b
b
q
q f x dx f x dx -∞
→-∞=??.
若c R ?∈，两个无穷积分
()c
f x dx -∞
?
与 ()c
f x dx +∞
?
都收敛（至少由一个发散），则称无穷积分()f x dx +∞-∞
?
收敛（发散），且
()()()c
c
f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
-∞
-∞
=+?
?
?
.
显然，火箭脱离地球引力所作的功W '是函数2
2()mgR F r r
=的无穷积分，即
2
2
22lim .b
R R b mgR mgR W dr dr mgR r r
+∞→+∞'===?? 例1 . 求下列无穷积分
2
,
x x e dx xe dx +∞
+∞
--?
?
.
解 ：0
lim
lim ()lim (1)1p
p
x
x
x
p p p p e dx e dx e e +∞----→+∞→+∞
→+∞
==-=-=??
2
2
220
1111lim
lim ()lim ()2222p
p
x x
x p p p p xe dx xe dx e e +∞
----→+∞→+∞→+∞==-=-=?
?
例2.求下列无穷积分
201dx dx x +∞+?；021dx
dx x -∞+?；21dx dx x +∞-∞+?. 解： 220
00
lim lim arctan lim arctan 112p p p p p dx dx dx dx x p x x π
+∞→+∞→+∞→+∞====++?
?.
00
022lim lim arctan lim arctan 112q q q q q dx dx dx dx x p x x π-∞→-∞→-∞→-∞===-=++??. 0222
0111dx dx dx dx dx dx x x x +∞
+∞-∞-∞=++++???＝22ππ
π+=. 若函数()f x 在区间[,]a +∞存在原函数()F x ，则
()lim
()lim ()lim ()()()()()p
p
a
a
a
p p a
p f x dx f x dx F x F p F a F F a F x +∞
→+∞→+∞
+∞
→+∞
===-=+∞-=?
?
其中符号()lim ().p F F p →+∞
+∞=
例3 .判别无穷积分a
dx
dx x
λ+∞
?的敛散性(0)a > 解： 当1,λ≠有
11,111
1,1a
a
a dx dx x x λ
λ
λλλλ
λ-+∞
+∞-?>?
==-?-?+∞
?
当1,λ=有
ln a a
dx dx x x
+∞
+∞
==+∞?
于是，当1λ>时，无穷积分a
dx
dx x λ
+∞?收敛，无穷积分的值是11a λλ--；当1λ≤时，无穷积分a dx dx
x λ+∞?发散
例4.判别无穷积分2
(ln )
dx
x x λ
+∞?的敛散性. 解：当1λ≠，有 2
2ln (ln )(ln )dx d x x x x λλ+∞
+∞
=?
?1
2
1
(1)(ln )x λλ+∞-=
-1
1,1,(1)(ln 2), 1.
λλλλ-?
>?-=??+∞
当1λ=，有
22ln ln ln dx d x x x x
+∞+∞=??2
ln(ln )
.x +∞==+∞
二、无穷积分与级数
上述三种形式的无穷积分：
(),
(),
(),b
a
f x dx f x dx f x dx +∞+∞
-∞
-∞
??
?
其中 ()()()c c
f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞
-∞
=+?
??
，
()lim ()b
b
q q f x dx f x dx
-∞
→-∞=?
?lim
()()x y
b
q
q f y d y =---→-∞=--?
令
lim
()().q
b
b
q f y dy f y dy -+∞
--→-∞=-=-?
?
于是，讨论三种形式的无穷积分的敛散性只须讨论无穷积分()a
f x dx +∞?的敛散性即可.
无穷积分
a
dx x λ
+∞
?
与广义调和级数1
1
n n λ∞
=∑
，对1λ>都收敛，对1λ≤都发散.这说明无穷积分与级数之间存在着内在的联系.
定理 1 .无穷积分
()a
f x dx +∞
?
收敛?对任意数列{},,n A n N +?∈有[.),n A a ∈+∞而
1,lim n n A a A →∞
==+∞，级数
1
1
()k k
A A k f x dx +∞
=∑?
收敛于同一个数，且
11
()()k k
A a
A k f x dx f x dx +∞
+∞
==∑?
?
.
证明：必要性 已知无穷积分收敛，即
1
1
1
1
1
()lim ()lim ()()n k k k
k
n
A A A a
a
A A n n k k f x dx f x dx f x dx f x dx +++∞
+∞
→∞→∞
=====∑∑?
?
?
?
.
充分性 已知对任意数列{}n A ，而1,lim n n A a A →∞
==+∞时，级数1
1
()k k
A A k f x dx +∞
=∑?
收敛于同一个
数，根据海涅极限定理，无穷积分()a
f x dx +∞
?
收敛，且
.
1
1
1
()lim ()()n k k
A A a
a
A n k f x dx f x dx f x dx ++∞
+∞
→∞===∑?
?
?
三、无穷积分的性质
假设函数()f x 在区间[,)a +∞有定义，且,p R p a ?∈>，函数()f x 在),[p a 可积.由无穷积
分定义，无穷积分()a
f x dx +∞?
收敛?当p →+∞时，函数()()()p
a
F p f x dx
a p =
定理2（柯西收敛准则） 无穷积分()a
f x dx +∞
?
收敛?120,,,,A a p A p A ε?>?>?>?>有
21
()p p f x dx ε
.
推论1.若无穷积分()a
f x dx +∞?
收敛，则lim ()0p
p f x dx +∞→∞
=?
.
证明：根据定理2，0,,,,A a p A q A ε?>?>?>?>有
()q p
f x dx ε
令q →+∞，即lim
()q p
q f x dx ε→∞
≤?
或
()p
f x dx ε+∞≤?
推论2 若无穷积分()a
f x dx +∞?收敛，则无穷积分 ()a
f x dx +∞?
也收敛.
证明 ：根据定理2 120,,,,A a p A p A ε?>?>?>?>有 21
(),p p f x dx ε
从而，有
221
1
()()p p p p f x dx f x dx ε≤
?
，
即无穷积分()a
f x dx +∞
?
收敛.
推论3.无穷积分()a f x dx +∞?收敛?b a ?>，无穷积分()b
f x dx +∞
?
也收敛
定理3.无穷积分()a
f x dx +∞
?
收敛，则无穷积分()a
cf x dx +∞?也收敛，其中c 是常数，且
()()a
a
cf x dx c f x dx +∞
+∞
=?
?
.
定理4.若无穷积分()a
f x dx +∞?与()a
g x dx +∞?
都收敛，则无穷积分[()()]a
f x
g x dx +∞±?也收敛，
且
[()()]()()a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx +∞
+∞
+∞
±=±?
?
?
.
定理5 .若函数()f x 与()g x 在区间[,)a +∞存在连续导数，极限lim ()()x f x g x →∞
存在，且无穷
积分()()a f x g x dx +∞
?
收敛，则无穷积分()'()a
f x
g x dx +∞
?
也收敛，有
()'()lim ()()()()()()a
a
x f x g x dx f x g x f a g a f x g x dx +∞
+∞→∞
'=--?
?
.
或
()()()()()().a a
a
f x d
g x f x g x g x df x +∞
+∞
+∞
=-?
?
这是无穷积分的分部积分公式.
定理 6 .若函数()f x 在在区间[,)a +∞连续，无穷积分()a
f x dx +∞
?
收敛，且函数()x t ?=在
[,)αβ严格增加，存在连续导数，而(),(0)a ?α?β=-=+∞，则
()a
f x dx +∞
?
＝[()]'()f t t dt β
α
???.
这是无穷积分的换元公式.
例5 .求无穷积分0
sin x K e xdx +∞
-=?.
解：根据定理5，有
sin (cos )x
x K e xdx e d x +∞
+∞
--==-??
00
cos cos 1sin x x x e x e xdx e d x +∞+∞
+∞
---=--=-??
＝00
1(sin sin )1x x e x e xdx K +∞
+∞
---+=-?
有21K =，或1
2
K =
，即 01sin 2
x K e xdx +∞
-==
?. 例6. 求无穷积分2
211sin dx x x
π
+∞
?.
解： 设
211
,t dt dx x x
==-，根据定理6，有 022
22011
sin sin sin dx tdt tdt x x π
π
π
+∞
=-=??? ＝20cos 1t π
-=.
另解：2221111sin sin dx d x x x x ππ
+∞+∞??=- ?
????2
1
cos x π
+∞=1=.（凑微分法）
四、无穷积分的敛散性判别法
定理7 . 设[,),x a ?∈+∞有 ()(),f x c x c ?≤是正常数. 1）若无穷积分()a x dx ?+∞
?收敛，则无穷积分()a
f x dx +∞
?
也收敛；
2）若无穷积分()a
f x dx +∞
?
发散，则无穷积分()a
x dx ?+∞
?也发散.
推论 设[,),()0,0x a f x a ?∈+∞≥>，且极限
lim ()(0).x x f x d
d λ→+∞
=≤≤+∞. （3）
1）若1,0,d λ>≤<+∞则无穷积分()a f x dx +∞
?收敛. 2）若1,0,d λ≤<≤+∞则无穷积分()a
f x dx +∞
?
发散.
★说明：应用此推论判别某些无穷积分()a
f x dx +∞?
的敛散性比较简便，但要注意观察被积函
数()f x ，从中找出合适的λ（利用无穷小阶的比较），使（3）式的极限存在，然后再由数λ确定无穷积分()a
f x dx +∞
?
的敛散性.
例7.判别无穷积分2
x e dx +∞
-?的敛散性
解：已知1,x ?≥有2
0x x e e --<≤.
由例1知，无穷积分1
x e dx +∞
-?收敛，根据定理7 ，无穷积分2
1
x e dx +∞
-?收敛，再根据定理2的推
论3，无穷积分2
x e dx +∞
-?也收敛.
例8.
判别无穷积分1
+∞
?.
解：已知极限
2
3lim lim
1x x x
→+∞
==，
其中2
1,
3λ=
<则无穷积分1+∞?. 例9.判别无穷积分
1
+∞
?
的敛散性 解：已知[1,),x ?∈+∞有
≤
，
又 32
lim lim 1
x x x
→+∞
==，
其中3
12
λ=
>，则无穷积分1
?
收敛，根据定理2的推论2 ，
无穷积分
1
+∞
?
也收敛. 例10 .判别无穷积分11
x x e dx α+∞--?
的敛散性（α是参数）。
解：已知,R α?∈有极限
1
2
1lim .lim 0x
x x x x x x
e
e
αα+--→+∞
→+∞==， 其中21,0d λ=>=，则,a R ?∈无穷积分11
x x e dx α+∞--?都收敛.
定义 若无穷积分()a
f x dx +∞?收敛，则称无穷积分()a
f x dx +∞?
绝对收敛.
定义 若无穷积分()a f x dx +∞
?
收敛，而()a
f x dx +∞?发散，则称无穷积分()a
f x dx +∞?
条件收敛.
定理8 .若函数()f x 在[,)a +∞连续(0),a >且函数()()x a
F x f u du =?在[,)a +∞有界，即
0,[,),C x a ?>?∈+∞有 ()()x
a
F x f u du C =
≤?
，则当0λ>时，无穷积分()
a
f x dx x
λ+∞
?
收敛. 例11 .证明 ：无穷积分0sin x
dx x +∞
?
条件收敛 证明： 在0,x =被积函数sin x x 没有定义，已知0sin lim 1x x x →=，将函数sin x
x
在0作连续开拓，
当0,x =时，令sin x x =1，于是被积函数sin x
x
在区间[0,)+∞连续
首先，证明无穷积分1sin x
dx x
+∞?收敛 已知函数()sin f x x =在区间[1,)+∞连续，1,p ?>有
1
sin cos1cos 2p
xdx p =-≤?
根据定理8 ，无穷积分1
sin x
dx x +∞?
收敛(10)λ=>，从而，无穷积分0sin x dx x +∞?也收敛
其次，证明无穷积分1
sin x
dx x
+∞
?
发散 已知21,sin sin x x x ?≥≥有，从而，
2sin sin 121cos 2222x x cox x x
x x x x x -≥==-，
有 1
11sin cos 222x
dx x dx dx x x x
+∞
+∞+∞≥-?
??
以上右端无穷积分1
cos 22x
dx x +∞
?
收敛，
而无穷积分12dx x +∞?发散，根据定理7，无穷积分1sin x dx x +∞?发散，从而无穷积分0
sin x
dx x +∞
?
也发散，于是，无穷积分0sin x dx x
+∞?条件收敛
例12 .讨论无穷积分2
sin x dx +∞
?与20
cos x dx +∞
?的敛散性
解：设2,
x y dx ==
有 2001sin 2x dx +∞+∞=??
已知函数sin y 在[1,)+∞连续，1,p ?>有
1
sin 2p
ydy ≤?
根据定理8，无穷积分
1
+∞?收敛1
(0,2λ=>且条件收敛）即无穷积分20sin x dx +∞?收敛（条
件收敛）
同法可证20
cos x dx +∞
?也收敛（条件收敛）
第十八章 含参变量的广义积分
第十八章 含参变量的广义积分 1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+? ； (2) 20 cos() ()1xy dy x y +∞ -∞<<+∞+?； (3) 1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤?； (4) 1 cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥?； (5) 20sin (0)1p x dx p x +∞ ≥+?. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性： (1) 20 (0)x dx αα-<<+∞?； (2) 0 xy xe dy +∞-?， （i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2 ()x e dx α+∞ ---∞?， （i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞ -+<<+∞?. 3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞ ?当,a b λλ==皆收敛，且a b <。求证： 0()t f t dt λ+∞ ?关于λ在[,]a b 一致收敛. 4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 22 0()x F x dy x y +∞ =+?，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y +∞ =+?，3x >； (3) 20sin ()()x x y F x dy y y π π-=-?，(0,2)x ∈.
5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续，含参变量广义积分 ()(,)c I x f x y dy +∞ =? 在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛. 6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞ =?在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一 趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =） ，函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞ ===∑∑? 在[,]a b 上一致收敛. 7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞ =?在[,]a b 的积分交换次序 定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）. 8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()() n n dx I a x a +∞ +=+? （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x --+∞ -?（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-? (0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-? （0,0a b >>）； (2) 0 sin ax bx e e mxdx x --+∞ -?（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x +∞-+=+?计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx x α+∞=+? 和 120sin 1x x L dx x α+∞=+? . 11． 2 0(0)xy e dy x +∞ -=>计算傅伦涅尔积分
含参量积分汇总
第十九章含参量积分 一.填空题 1.若在矩形区域上_________,则 2.含参量反常积分 在____________上一致收敛. 3.设在上连续,若含参量反常积分 在上___________,则在上连续. 4. 5.在中如令, 则 6. 对于任何正实数函数与B函数之间的关系为 7. 在上不一致收敛是指______________. 8. 9. 设, 则 10. 利用函数定义, 二.证明题 1. 证明在上一致收敛. 2. 证明在上一致收敛. 3.证明若函数在连续, 则, 有
4.证明在上非一致收敛. 5.证明 6.证明在上一致收敛. 7. 证明在上不一致收敛. 8. 证明 9. 证明 10. 证明在R上连续. 计算题1. 求 2. 求 3.设. 求 4. 求 5.用函数与B函数求积分 6.用函数与B函数求积分 7.求积分 8.从等式出发, 计算积分 9.设. 求
10.求 填空题答案 1. 连续. 2. R 3. 一致收敛. 4. 5.. 6. . 7. , 有 8. 1 9. . 10. . 证明题答案: 1. 证明: , 有 , 而收敛, 则 在上一致收敛. 2. 证: , 有, 而, 则 在上一致收敛. 3证: 已知在连续, 使. 设, 有 于是,
4.证: , 有 . 即在上非一致收敛. 5.证: 设有 . 6.证: 由于反常积分收敛,函数对每个单调, 且对任何, 都有. 故由阿贝耳判别法可知 在上一致收敛. 7. 证: 因在处不连续, 而在 内连续, 由连续性定理知, 在上不一致收敛. 8. 证: 令, 则. 9. 证: 令则, . 10. 证：
第十五章 含参变量的积分(数学分析)课件
第十五章含参变量的积分 教学目的与要求 1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题. 3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等； 6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系； 7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。 教学重点 1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分； 3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等 6 Beta函数和Gamma函数的性质。 教学难点 1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 3 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；
§1 含参变量的常义积分 教学目的 1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题. 教学过程 1 含参变量的常义积分的定义 （P373） 2 含参变量的常义积分的分析性质 2.1 连续性定理P374 T h e o r e m 1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续 , 则函数 ?=d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 . Theorem 2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函数)(1x y 和 )(2x y 在] , [b a 上连续 , 则函数? =)() (21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续. 例 1 求下列极限 (1)dx y x y ? -→+1 1 2 20lim (2) dx n x n n ? ++∞→1 )1(11lim 2.2 积分次序交换定理P375 例2 见教材P375. 2.3 积分号下求导定理P375—376 T h e o r e m 3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 则函数? = d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且 ??=d c d c x dy y x f dy y x f dx d ),(),(. ( 即积分和求导次序可换 ) . Theorem 4设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函 数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上, 且可微 , 则含参积分
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总
含参量反常积分的一致收敛判别法及推广 作者：蒋碧希 指导老师：张海 摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性 质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用. 关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛 1 引言 对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用. 2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤≤+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? (1) 都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当这个函数为()I x 时，则有 ()(,),[,],c I x f x y dy x a b +∞ =∈? (2) 称(1)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 2.2 含参量反常积分的一致收敛概念 若含参量反常积分(1)与()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切[,]x a b ∈，都有 (,)()M c f x y dy I x ε-
(,)M f x y dy ε+∞ ，使得当M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε?ε,0>?M ,M A A >?21,时，使得],[b a x ∈?时，有 1 (,)2A f x y dy ε+∞ ?>?M ε，当M A A >21,时， 有 2 1 (,)A A f x y dy ε，总存在某一实数c M >，使得M A A >21,时，对一切 ],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε
含参变量反常积分的几种计算方法
含参变量反常积分的几种计算方法 摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。 关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理 在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。 一 积分号下积分法 要对含参变量反常积分()(),y a g f x y dx +∞=? 实现积分号下求积分，须验证以下条件： (1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞? 在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),c f x y dx +∞ ? 在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛； (3) (,)c a dy f x y dx +∞ +∞?? 及(),a c dx f x y dy +∞+∞ ?? 至少有一个收敛， 则 ()(),,a c c a dx f x y dy dy f x y dx +∞+∞ +∞ +∞ =?? ?? 例1 利用2 u e du +∞ -?u=x α令2 ()0 (0)x e dx ααα+∞ -?>?，求2 e d αα+∞ -?的值。 分析：2 x e dx +∞ -?这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积 分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。 解：由已知，得()g α=2 ()0 x e dx αα+∞ -?是取常值的函数，记I=2 e d αα+∞ -?, 则 I 2=I 2 e d αα+∞ -?=2 Ie d αα+∞ -? =22 ()0 ()x e dx e d αααα+∞+∞ --??=2 2(1) x d e dx α αα+∞+∞ -+?? =2 2(1) x dx e d α αα+∞+∞ -+??= 201121dx x +∞+?=4π 故 二 积分号下微分法
含参量反常积分一致收敛的判别法
题目含参量反常积分一致收敛的判别法学生姓名 学号 系别数学系 年级2010级 专业数学与应用数学 指导教师 职称 完成日期
摘要 含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法
Abstract Improper integral with variable is the study and expression tool function. To better function of parameter improper integral expression of the key problem lies in the judgment, the uniform convergence of his. Through the study of judging function discriminant method of parameter improper integral converges uniformly to help the study of parameter improper integral expression. Key words: Improper integral with variable;uniform convergence; discriminant analysis
目录 1引言 (1) 2基本概念 (1) 2.1含参量反常积分 (1) 2.2含参量反常积分一致收敛 (2) 3含参量反常积分一致收敛的判别方法 (2) 3.1定义法 (2) 3.2柯西准则法 (3) 3.3变上限积分的有界性法 (3) 3.4确界法 (4) 3.5微分法 (5) 3.6级数判别法 (6) 3.7维尔斯特拉斯判别法（简称M判别法） (6) 3.8狄里克莱判别法 (8) 3.9阿贝尔判别法 (8) 4结束语 (1) 参考文献 (10) 致谢 (11)
含参量反常积分一致收敛性的判别法资料
含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε-
含参变量的积分
含参变量的积分 1 含参变量的正常积分 1． 求下列极限： (1) 1 0lim a -→? ； (2) 2 20 0lim cos a x ax dx →? ； (3) 122 0lim 1a a a dx x a +→++? . 2．求'()F x ，其中： (1) 2 2 ()x xy x F x e dy -=?； (2) cos sin ()x x F x e =? ； (3) sin() ()b x a x xy F x dy y ++= ? ； (4) 2 2 (,)x x t f t s ds dt ?????? ? ?. 3．设()f x 为连续函数， 2 01 ()()x x F x f x d d h ξηηξ??=++???? ? ?， 求'' ()F x . 4．研究函数 1 22 () ()yf x F y dx x y =+? 的连续性，其中()f x 是[0，1]上连续且为正的函数. 5．应用积分号下求导法求下列积分： (1) 2220 ln(sin ) (1)a x dx a π ->? ; (2) 20 ln(12cos ) (||1)a x a dx a π -+
(4) 20 arctan(tan ) (||1)tan a x dx a x π >? ； (2) 1 01sin ln (0,0)ln b a x x dx a b x x -??>> ??? ?. 7．设f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数： (1) 0()()()x F x x y f y dy =+?； (2) ()()|| ()b a F x f y x y dy a b = -
含参量反常积分答案
§2 含参量反常积分 一 一致收敛性及其判别法 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y x I c y =∈≤<+∞上，其中I 为一区间，若对固定的x I ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? （1） 都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数，当记这个函数为()x φ时，则有 ()(,),c x f x y dy x I φ+∞ =∈? ， （2） 称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。 如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。 首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。 定义1 若含参量反常积分（1）与函数()x φ对任何的正数ε。总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切x I ∈。都有 (,)()c f x y dy x φε+∞ -，使得当1 2 ,M A A >时，对一切x I ∈， 都有 1 2 (,)A f x y dy A ε），但在()0,+∞内不一致收敛。
含参量反常积分
§2 含参量反常积分 教学目的：掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分 的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学要求： (1)掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反 常积分的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议： (1) 本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要求学生会用魏尔 斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性． (2) 本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与 可积性定理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结． 教学程序： 定义 设函数()y x f ,定义在无界区域R =(){}+∞<≤≤≤y c b x a y x ,,上，若对[]b a ,内每一个固定的x ，反常积分 ()?+∞ c dy y x f ,都收敛，则它的值定义了[]b a ,上一个x 的函数，记 ()x I = ()?+∞ c dy y x f ,，x ∈[]b a , （1） 称（1）式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分. 一 一致收敛概念及其判别法 1．一致收敛的定义 定义1 若含参量的反常积分（1）与函数()x I 对任给的正数ε，总存在某个实数c N >，使得当N M >时，对一切x ∈[]b a ,，都有 ()()ε<-?M c x I dy y x f , 即 ()ε，使得当M A A >21,时，对一切x ∈[]b a ,，都有 ()()ε<-?2 1 ,A A x I dy y x f 例1 证明参量的反常积分 ?+∞ sin dy y xy
关于含参量反常积分的证明.
关于含参量反常积分的证明 引言 刚开始学习数学分析这门课时，老师就说过，在数学分析这门课中，极限的)(δεN -定义和积分等知识十分重要，可以说学好了它们就学好了数学分析这门课。在第四版数学分析教材下册第十九章中向我们介绍了含参量积分的相关知识。在本文中我将对含参量积分的性质的证明做一下归纳总结，希望与大家一同分享。 一、证明过程中用到的定理 定理1（函数项级数的连续性定理）若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上一致收敛， 且每一项都连续，则其和函数在[]b a ,上也连续。 定理 2（函数项级数的逐项求积定理）若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上一致收敛， 且每一项()x u n 都连续，则()∑ ? b a n x u dx =()∑? x u n b a dx . 定理 3（函数项级数的逐项求导定理））若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上每一项都 有连续的导函数，[]b a x n ,∈为∑n u ()x 的收敛点，且()∑x u n '在[]b a ,上一致收敛，则 ()()()∑∑ =??? ??x u dx d x u dx d n n . 定理4 若()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上连续，则 ()()dx y x f dy dy y x f dx d c b a b a d c ? ???= ,,. 定理5 含参量反常积分()dy y x f c ? +∞ ,在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞ +的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数 ()()∑ ? ∑∞ =∞ =+= 1 1 1 ,n A A n n N N x u dy y x f 在I 上一致收敛。 二、证明思想 由于直接从含参量反常积分入手不易证明，所以我们可以利用定理5将含参量反常积分 转化为已解决的函数项级数问题，从而证得。 三、含参量反常积分性质的证明 1、连续性 设()y x f ,在[]+∞?,c I 上连续，若含参量反常积分()()? +∞ = Φc dy y x f x ,在 I 上一致收敛，则()x Φ在[]b a ,上连续。
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法
学年论文（本科） 学院数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 年级2011级 姓名蒋丽 论文题目含参量反常积分的一致收敛性的判别方法指导教师胡旺职称教授 成绩 2014年 3月14日
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1.定义 (3) 2.含参量反常积分一致收敛性的判别法 (3) 结束语 (7) 参考文献 (7)
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法 学生姓名:蒋丽 学号：20115031005 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导老师：胡旺 职称： 教授 摘 要: 本文从含参量反常积分的定义及含参量反常积分的一致收敛的定义出发,叙述 了含参量反常积分的一致收敛性的四种判别法,并且给出了一些例子. 关键词: 区域;收敛;一致收敛 The judgement methods of uniform convergence on improper integrals with paramer Abstract :This article summarizs four kinds of judgement methods of uniform convergence on improper integrals with paramer according to the definitions of improper integrals with aramer and uniform convergence on improper integrals,and give some examples. Key Words : region; convergence; uniform convergence 前言 含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分,研究含参量反常积分及其一致收敛性,可以为分析讨论函数的性质打下坚实的基础.本文归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的五种方法:一致收敛定义、魏尔斯特拉斯M 判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点. 1.定义 定义1 设函数()y x f ,定义在无界区域{}(,),R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (),c f x y d y +∞ ? (1) 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(),c I x f x y dy +∞ = ? ，[],x a b ∈, (2)
含参量反常积分的一致收敛性判别法
3. 含参量的反常积分一致收敛性判别法 Weierstrass 判别法 设函数(,)f x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的； （b ） 存在()x ?，使得 ()a x dx ?+∞ ?收敛，且 (,)(), [,)f x t x x a ?≤∈+∞； 则反常积分(,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈绝对一致收敛，亦即，反常积分 (,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致 收敛. 我们称定理中的()x ?为(,)f x t 的优函数. Abel 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 若反常积分 (,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致收敛； （b ） (,)g x t 是x 的单调函数，且存在常数0L >（与[,)x a ∈+∞、t T ∈无关），使得 (,)g x t L ≤； 则反常积分 (,)(,)a f x t g x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致收敛. Dirichlet 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的，且积分 (,)A a f x t dx ?关于t T ∈ 一致有界，亦即，0M ?>（与A 、t 无关），使得
最新192含参变量的反常积分汇总
192含参变量的反常 积分
幻灯 片 1 ?Skip Record If...? 幻灯片 2 ?Skip Record If...?板书积分(1)收敛的分析 定义. 幻灯片 3 ?Skip Record If...?在积分(1)收敛的分析定 义基础上,对比地,板书出 积分(1)一致收敛的分析 定义. 下面首先引入含参变量广 义积分的一致收敛概念及 Cauchy准则. 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2
幻灯片 4 ?Skip Record If...?证明方法,由定义,分析法 证. 幻灯片 5 ?Skip Record If...?证明方法,由定义1的否 定判断,分析法证.此证明 过程与教材上的证明略的 不同. 幻灯片 6 ?Skip Record If...?含参变量广义积分与函数 项级数的关系，由此关 系，我们容易把函数项级 数的性质与一致收敛性判 别法，移植给含参变量广 义积分。 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3
幻灯片 7 ?Skip Record If...?由柯西收敛准则,分析法 来证. 幻灯 片 8 ?Skip Record If...? 幻灯 片 9 ?Skip Record If...? 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4
幻灯片 10 ?Skip Record If...?下面我们把函数项级数的 一致收敛性判别法，移植 给含参变量广义积分。给 出含参变量广义积分的一 致收敛性的判别法，它们 的证明相仿。 幻灯 片 11 ?Skip Record If...? 幻灯 片 12 ?Skip Record If...? 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5
数学分析19.2含参量积分之含参量反常积分(含习题及参考答案)
第十九章 含参量积分 2含参量反常积分 一、一致收敛性及其判别法 概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分?+∞ c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=?+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称?+∞ c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分. 定义1： 若含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f M c Φ-?<ε, 即?+∞ M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛. 定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有?2 1 ),(A A dy y x f <ε. 定理19.8：含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是： +∞ →A lim F(A)=0, 其中F(A)=? +∞ ∈A I x dy y x f ),(sup . 例1：证明含参量反常积分?+∞ 0sin dy y xy 在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛.
含参量积分的分析性质及其应用
含参量积分的分析性质及其应用 班级：11数学与应用数学一班 成绩： 日期： 2012年11月5日
含参量积分的分析性质及其应用 1. 含参量正常积分的分析性质及应用 1.1含参量正常积分的连续性 定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上连续,则函数 ()x ?=?d c dy y x f ),(在[a,b]上连续. 例1 设 )sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积 分?=10 ),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续. 解 因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1. -1,x
连续性定理得dx a x ? -+1 1 22在[-1,1]上连续.则 ???--→-→==+=+1 1 22110 1 1 2201lim lim dx x dx a x dx a x αα. （2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2 ,2[]2,0[π π- ?=R 上连续,由连续性定理得,函数?202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.3 8cos lim 202022 0==??→dx x axdx x α 例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ? +1 2 2) (的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是 正的连续函数. 解 对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数 2 2) (y x x yf +在],[]1,0[00δδ+-?=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在 区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因 dx y x x yf dx y x x yf y F ?? +-=+-=-10221 22)() ()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0. y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(10221 22=+-≥+=?? ,从而04 )(lim 0>≥+→πm y F y ,但 F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞Y 上连续,在y=0处不连续. 定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ?) () (),(x d x c dy y x f 在[a,b] 上连续. 例4 求? +→++α α αα 12201lim x dx . 解 记? +++α ααα1221)(x dx I .由于2211 ,1,α αα+++x 都是α和x 的连续函数,由定理2知)(αI 在0=α处连续,所以4 1)0()(lim 1020π αα=+==?→x dx I I . 例5 证明函数dx e y F y x ?-∞ --=0)(2 )(在),(+∞-∞上连续. 证明 对),(+∞-∞∈?y ,令x-y=t,可推得
含参量积分一致收敛及其应用
1 引言 无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分,这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分. 广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了.在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序.于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要. 1. 含参量的广义积分 和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。从形式上讲，含参量的广义积分也应有两种形式：无穷限形式的广义积分和无界函数的广义积分，由于二者之间可以相互转化，我们仅以无穷限广义积分为例讨论其性质。 1.1无穷限广义积分的定义 定义1：设),(y x f 为定义在[)I a D ?+∞=,（I 为某区间，有界或无界）的二元函数，形如dx y x f a ? +∞),(的积分称为含参变量y 的广义积分。 从定义形式决定研究内容： 广义积分是否存在-----收敛性问题 与一元函数广义积分相区别的是：由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值，而是一个函数，这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中，不仅要有收敛性而且还必须讨论收敛性与参量之关系，由此形成一致收敛性。 1.1.2 含参量广义积分的收敛和一致收敛。 定义2：设),(y x f 定义在[)I a D ?+∞=,，若对某个I y ∈0，广义积分dx y x f a ?+∞),(0在0y 点收敛，则称含参量广义积分dx y x f c ?+∞),(在0y 点收敛；若dx y x f c ? +∞ ),(在I 中每 一点都收敛，称含参量广义积分dx y x f a ?+∞),(在I 上收敛. “δε-”定义： dx y x f a ? +∞ ),(在I 上收敛是指：对每个I y ∈，a y A >?>?),(,00εε，使当 0,A A A >'时， ε
反常积分与含参变量的积分
116 第十二章 反常积分与含参变量的积分 一、 反常积分： 内容提要： 1、 反常积分收敛的定义： ● 无穷积分： ():lim ()A a a A f x dx f x dx +∞→+∞=? ? ● 瑕积分： 0 ():lim ()b b a a f x dx f x dx δ δ+-→=?? b 为瑕点 若极限存在，则称反常积分收敛，否则称其发散. ● 绝对收敛与条件收敛： 若|()|a f x dx +∞ ?收敛，则称()a f x dx +∞? 绝对收敛. 若()a f x dx +∞ ? 收敛，但不绝对收敛则称其为条件收敛. 2、 反常积分的敛散性判别： ● 比较判别法： 若0()() [,)f x c x x a ?≤≤?∈+∞ ()a x dx ?+∞ ? 收敛?()a f x dx +∞ ? 收敛 ()a f x dx +∞ ? 发散?()a x dx ?+∞ ?发散 若0()() [,]f x c x x a b ?≤≤?∈ ()b a x dx ??收敛?()b a f x dx ? 收敛 ()b a f x dx ? 发散?()b a x dx ??发散 若()() ()a x f x g x f x dx +∞ →+∞? 收敛()a g x dx +∞ ?? 收敛 ● Dirichlet 判别发： ·若()f x 满足 () ().[,),0A a a f x f x dx M A a dx x λλ+∞ ≤?∈+∞?>? ? 收敛. ·若()f x 满足 ().[,)()(),0x b a a f x dx M x a b x b f x dx λλ≤?∈?->? ?收 敛. ● ·()f x 满足： ().[,)A a f x dx M A a x ≤?∈+∞→+∞? 时()g x 单调趋 于0 ()()a f x g x dx +∞ ?? 收敛.