高中数学解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点定值问题

考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。 一、

定点问题

解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2

=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=

4

π

时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。 解析： 设A （

121

,2y p y ），B （222

,2y p

y ），则 2

12tan ,

2tan y p

y p

==βα，代入1)tan(=+βα

得2

21214)(2p y y y y p -=+ （1） 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则

022222

=+-????=+=pb py ky px

y b

kx y ∴k

p

y y k

pb

y y 2,22121=

+=

，代入（1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点（-)2,2p p

说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。

例2．【2010·东城一模】已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>

，以原点为圆心，椭圆的

短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程；

⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；

⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．

解析：

⑴由题意知c e a ==2222

2234c a b e a a -===

，即224a b =

，又因为1b ==，所以22

4,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214

x y +=．

⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22

(4)14

y k x x y =-???+=??消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ?=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意，

所以直线PN

的斜率的取值范围是0k <<

或0k <． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为21

2221

()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221

()

y x x x x y y -=-

+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②

由得①2212122232644

,4141k k x x x x k k -+==

++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．

【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M

到点()1,0F

，)

2

,0F 的距离之和是4，点M 的轨

迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；

⑵当0AP AQ ?=u u u r u u u r

时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．

解：⑴∵点M

到(),0

，)

,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x

轴上焦中为的椭圆，其方程为2

214

x y +=．

⑵将y kx b =+，代入曲线C

的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y

，则12x x +=，122

4

14x x k

=+ ②

且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ?=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ．由0AP AQ ?=u u u r u u u r

，得1212(2)(2)0x x y y +++=．

将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6

5b k =．经检验，

都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ?

?=+=+ ??

?．

显然，此时直线l 经过定点6,05??

- ???点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点

6,05??

- ???

点． 【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15

92

2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、

),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设3

1

,221=

=x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。

【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。

解：（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。

由42

2=-PB PF ，得2

2

2

2

(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92

x =

。 故所求点P 的轨迹为直线92

x =。 （2）将31,221=

=x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53）、N （13，209

-） 直线MTA 方程为：03

52303

y x -+=

+-，即113y x =+， 直线NTB 方程为：03

2010393

y x --=

---，即5562y x =-。

联立方程组，解得：7103x y =??

?=??

，

所以点T 的坐标为10(7,

)3

。 （3）点T 的坐标为(9,)m

直线MTA 方程为：

03093y x m -+=-+，即(3)12m

y x =+，

直线NTB 方程为：03093y x m --=

--，即(3)6

m

y x =-。 分别与椭圆1592

2=+y x 联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠， 解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++、

222

3(20)20(,)2020m m

N m m --++。 （方法一）当12x x ≠时，直线MN 方程为：222

22

2222

203(20)

202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =。此时必过点D （1，0）；

当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）。 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）。

（方法二）若12x x =，则由2222

24033608020m m m m

--=++及0m >，得210m =， 此时直线MN 的方程为1x =，过点D （1，0）。

若12x x ≠，则210m ≠，直线MD 的斜率222

2

4010802403401

80MD

m

m m k m m m +==

---+， 直线ND 的斜率222

2

201020360401

20ND

m

m m k m m

m -+==---+，得MD ND k k =，所以直线MN 过D 点。 因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）。

【针对性练习3】（2011年石景山期末理18）已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并

求出定点的坐标．

解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则

22222,

2,

c b a b c =??=??=+?

解得

2,

a b =???

=?? ∴ 椭圆C 的标准方程为 22

143

x y +=． …… 4分 （Ⅱ）由方程组22

143x y y kx m

??

+=??=+? 消去y ，得

()

2223484120k x kmx m +++-=． …… 6分 由题意△()(

)()2

2

2

84344120km k

m

=-+->，

整理得：2

2

340k m +-> ① ………7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则

122

834km

x x k

+=-+， 212241234m x x k -=+ ． ……… 8分 由已知，AM AN ⊥， 且椭圆的右顶点为A (2,0)， ∴

()()1212220x x y y --+=．

…… 10分

即 ()

()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，

也即 ()()22

222

412812403434m km k km m k k

--+?+-?++=++， 整理得22

71640m mk k ++=． 解得2m k =- 或 27

k

m =-

，均满足① ……… 11分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去；

当27k m =-

时，直线l 的方程为 27y k x ?

?=- ??

?，过定点2(,0)7，

故直线l 过定点，且定点的坐标为2

(,0)7

． ………… 13分

例3、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2

4x y =

的焦点，离心率e =

椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。 （I ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥u u u r u u u r u u u r

，求m 的取值范围； （Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N

三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。

解法一： （I ）设椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，由题意知1b =

2

5a =?=故椭圆方程为2215x y += （Ⅱ）由（I ）得(2,0)F ，所以02m ≤≤，设l 的方程为(2)y k x =-（0k ≠） 代入2

215

x y +=，得2222(51)202050k x k x k +-+-= 设1122(,),(,),A x y B x y 则22121222

20205

,5151

k k x x x x k k -+==++,12121212(4),()y y k x x y y k x x ∴+=+--=- 112212122121(,)(,)(2,),(,)∴+=-+-=+-+=--u u u r u u u r u u u r

MA MB x m y x m y x x m y y AB x x y y 12212112(),()0,(2)()()()0+⊥∴+?=∴+--+-+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

Q MA MB AB MA MB AB x x m x x y y y y

2222220420,(85)05151∴--=∴--=++k k m m k m k k 由280,0855

m k m m =>∴<<-， ∴当8

05

m <<时，有()MA MB AB +⊥u u u r u u u r u u u r 成立。

（Ⅲ）在x 轴上存在定点5

(,0)2

N ，使得C 、B 、N 三点共线。依题意知11(,)C x y -，直线BC 的方

程为211121()y y y y x x x x ++=--， 令0y =，则1211221

12121

()y x x y x y x x x y y y y -+=+=++

Q l 的方程为(2),y k x A =-、B 在直线l 上，

1221121211221212(1)(1)22()

(2),(2)()4()4-+--+∴=-=-∴==+-+-k x x k x x kx x k x x y k x y k x x k x x k k x x k

22

2

2

22205202255151202451

k k k k k k k k k k -?-?++=

=-+∴在x 轴上存在定点5(,0)2N ，使得C B N 三点共线。 解法二：（Ⅱ）由（I ）得(2,0)F ，所以02m ≤≤。设l 的方程为(2)(0),y k x k =-≠

代入2

215

x y +=，得2222(51)202050k x k k +-+-=设1122(,),(,),A x y B x y 则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++ 121212122

4(4),()51

k

y y k x x y y k x x k ∴+=+-=--=-+

1212121222212(),||||,(2)()()()0,

(1)()240,(85)0

+⊥∴==∴+--++-=++--=∴--=u u u r u u u r u u u r

Q Q MA MB AB MA MB x x m x x y y y y k x x m k m k m

22

22

888)0,05155(51k m k k k k ∴==-≠∴>++Q 805

m ∴<< ∴当8

05

m <<时，有()MA MB AB +⊥u u u r u u u r u u u r 成立。

（Ⅲ）在x 轴上存在定点5

(,0)2

N ，使得C 、B 、N 三点共线。

设存在(,0),N t 使得C 、B 、N 三点共线，则//CB CN u u u r u u u r

，

122111(,),(,)CB x x y y CN t x y =-+=-u u u r u u u r

Q ， 211112()()()0x x y t x y y ∴---+= 即211112()(2)()(4)0x x k x t x k x x ----+-=12122(2)()40x x t x x t ∴-+++=

2222205202(2)405151k k t t k k -∴-++=++，52t ∴=∴存在5

(,0)2

N ，使得C B N 三点共线。

二、

定值问题

在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。

例4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+a OB OA 与共线。 （1）求椭圆的离心率；

（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R ∈+=μλμλ，证明2

2

μλ+为定值。

解析：（1）设椭圆方程为122

22=+b y a x （a >b >0），A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) ，AB 的中点为N(x 0,y 0)，

∴???????=+=+112222222

2

1221b y a x b y a x ，两式相减及11212=--x x y y 得到0220x a b y -=，所以直线ON 的方向向量为),1(22a b -=，

∵ ON //，∴2231a

b =，即2

23b a =，从而得36=e

（2）探索定值 因为M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合，则OM =，此时0,

1==μλ，

∴122=+μλ

证明 ∵ 2

23b a =，∴椭圆方程为2

2

2

33b y x =+，又直线方程为c x y -=

∴ ????=+-=2

2233b

y x c

x y 03364222=-+-b c cx x ∴

2

2221218

3433,

2

3

c b c x x c x x =-==+

又设M （x ，y ），则由OB

OA OM μλ+=得?

??+=+=212

1y y y x x x μλμλ，代入椭圆方程整理得

222212

2222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ

又∵ 2212133b y x =+，2

222233b y x =+，

032

9233)(34322

2221212121=+-=

++-=+c c c c x x c x x y y x x ∴

122=+μλ

例5、已知，椭圆C 过点A 3

(1,)2

，两个焦点为（－1，0），（1，0）。

（1） 求椭圆C 的方程；

（2） E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率

为定值，并求出这个定值。

解析：（1）由题意，c=1,可设椭圆方程为

22

19114b b +=+，解得23b =，2

34b =-（舍去）

所以椭圆方程为22

143x y +=。 （2）设直线AE 方程为：3

(1)2

y k x =-+，代入22143x y +=得 2223

(34)4(32)4()1202

k x k k x k ++-+--=

设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F ,因为点3(1,)2

A 在椭圆上，所以

22

3

4()12

2x 34F k k --=+，

3

2E E y kx k =+- 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代K ，可得

22

3

4()12

2x 34F k k

+-=+， 3

2E E y kx k =-++

所以直线EF 的斜率()21

2

F E F E EF F E F E y y k x x k K x x x x --++=

==--

即直线EF 的斜率为定值，其值为1

2

。 将第二问的结论进行如下推广：

结论 1.过椭圆22

221(0,0)x y a b a b

+=>>上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于

E 、

F 两点，则直线EF 的斜率为定值20

20

b x a y （常数）。

证明：直线AE 的方程为00()y y k x x -=-，则直线AF 的方程为00()y y k x x -=--，

联立00()y y k x x -=-和22

221x y a b

+=，消去y 可得

222222222

0000()2()()0a k b x a k y kx a y kx a b ++-+--=

200112210222

22222222000000

1222222220

12222

20

12100200222

20

122122()

(,),(,),22,4,4()(),

EF a k y kx E x y F x y x x a k b a k x a ky b x a k x a ky b x x x a k b a k b a ky x x a k b b kx y y k x x y k x x y a k b b x y y x x a -+=-+--+-?=

++--=+--=-++--=+-=-设则同理，由则直线的斜率为0

.

y

结论 2.过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆

于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值20

20

b x a y -（常数）。

结论3.过抛物线2

2(0)y px p =>上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值0

p

y -（常数）。 例6、【2010·巢湖市第一学期期末质检】已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e ； (Ⅱ)若F '为焦点F 关于直线32y =

的对称点，动点M 满足MF e MF ||='||

，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

解析：(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a c ，，由已知得

44,26a a c a c =?==?

+=?

，

解得，. 所以椭圆的标准方程为22

11612

y x +=. 离心率21.42e ==

(Ⅱ)(0,2),(0,1)F F ',设(,),M x y 由

MF e MF ||

='||

得

12

=

化简得223314150x y y +-+=，即22272

)()33

x y +-=（

故存在一个定点7(0,)3A ，使M 到A 点的距离为定值，其定值为2

.3

例7、【2010·湖南师大附中第二次月考】已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，P(2，0)为定点．

(Ⅰ)若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程；

(Ⅱ)若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A 、B 是圆M 与y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C ，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．

解析：(Ⅰ) 设抛物线方程为2

2(0)y px p =≠，则抛物线的焦点坐标为(

,0)2p .由已知，22

p

=，即4p =，故抛物线C 的方程是28y x =．

(Ⅱ)设圆心(,)M a b (0a ≥)，点A 1(0,)y ，B 2(0,)y . 因为圆M 过点P(2，0)，则可设圆M 的方程为

2222()()(2)x a y b a b -+-=-+. 令0x =，得2

2440y by a -+-=.则122y y b +=，1244y y a ?=-.

所以||AB ===

. ，设抛物线C 的方程为

2(0)y mx m =≠，因为圆心M 在抛物线C 上，则2b ma =. 所以

||AB =由此可得，当4m =时，||4AB =为定值．故存在一条抛物

线2

4y x =，使|AB|为定值4.

例8、已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值

1，离心率为e

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）过点()1,0作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MP MQ ?u u u r u u u u r

为定值？

若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒

解析：（I ）设椭圆E 的方程为2222x y 1a b +=,

由已知得：a c 1

c a

?-=?

?=?

? 。。。。。2分

a c 1

??∴?

=??222

b a

c 1∴=-=∴椭圆E 的方程为22x y 12+=。。。。 3分 （Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则： 11221212MP (x m,y ),MQ (x m,y ),MP MQ (x m)(x m)y y =-=-?=-?-+u u u r u u u u r u u u r u u u u r

2121212x x m(x x )m y y =-+++。。。。。 5分

①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y k(x 1)=-，则 由22

x y 12y k(x 1)?+=???=-?

得222x 2k (x 1)20+--= 2

2

2

2

(2k 1)x 4k x (2k 2)0+-+-=221212224k 2k 2

x x ,x x 2k 12k 1

-+=?=++ 7分

222

121212122

k y y k (x 1)(x 1)k [x x (x x )1]2k 1

=--=-++=-+ 所以2222

2222k 24k k MP MQ m m 2k 12k 12k 1-?=-?+-+++u u u r u u u u r 2222(2m 4m 1)k (m 2)2k 1-++-=

+ 9分 对于任意的k 值，MP MQ ?u u u r u u u u r 为定值，所以222m 4m 12(m 2)-+=-，得5m 4

=，

所以57

M(,0),MP MQ 416

?=-u u u r u u u u r ； 11分

②当直线l 的斜率不存在时，直线1212121

l:x 1,x x 2,x x 1,y y 2

=+===-

由5m 4=得7

MP MQ 16

?=-u u u r u u u u r

综上述①②知，符合条件的点M 存在，起坐标为5

(,0)4

﹒ 13分

法二：假设存在点M(m,0)，又设1122P(x ,y ),Q(x ,y ),则：1122MP (x m,y ),MQ (x m,y )=-=-u u u r u u u u r

1212MP MQ (x m)(x m)y y ?=-?-+u u u r u u u u r

=2121212x x m(x x )m y y -+++…. 5分 ①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ty 1=+，

由22

x y 1

2x ty 1

?+=???=+?

得22(t 2)y 2ty 10++-=121222

2t 1y y ,y y t 2t 2--∴+=?=++ 7分 22221212212122

2

t 2t t 22t 2

x x (ty 1)(ty 1)t y y t(y y )1t 2t 2

--++-+=+?+=+++==++ 22

1212222t 2t 44

x x t(y y )2t 2t 2

-+++=++==

++ 22

2222t 24m 1MP MQ m t 2t 2t 2-+∴?=-+-+++u u u r u u u u r 2222(m 2)t 2m 4m 1t 2

-+-+=

+ 9分 设MP MQ ?=λu u u r u u u u r 则2222(m 2)t 2m 4m 1t 2

-+-+=λ+

2

2

2

2

222(m 2)t 2m 4m 1(t 2)(m 2)t 2m 4m 120∴-+-+=λ+∴--λ+-+-λ=2

2m 202m 4m 120?--λ=?∴?-+-λ=??5m 4716?=??∴??λ=-??

5M(,0)4∴ 11分 ②当直线l 的斜率为0时，直线l:y 0=，由5

M(,0)4

得：

55257MP MQ )()2441616

?=?=-=-u u u r u u u u r

综上述①②知，符合条件的点M 存在，其坐标为5

(,0)4

。。。。13分

三、 定直线问题

例9、设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

过点M

，且焦点为1(F

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足

AP QB AQ PB =u u u r u u u r u u u r u u u r

g g ，证明：点Q 总在某定直线上

解析： (1)由题意：

2222222211c a b

c a b ?=?

?+=???=-?

，解得22

4,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y += (2)设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r

均不为零。

且 PA PB AQ QB

=u u u r u u u r u u u r u u u r

又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±u u u r u u u r u u u r u u u r

,于是

1141,11x y

x y λλλλ--=

=

-- （1） 2241,11x y

x y λλλλ

++==

++ （2） 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2

2

24,x y += 整理得 2

2

2

(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3）

222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)

(4)－(3) 得 8(22)0x y λ+-=

0,220x y λ≠+-=∵∴，即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上

例10、已知椭圆C

的离心率e =

，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

解法一：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()2222x y 1a b 0a b +=>>。 …………………

1分

∵a 2=

，c e a ==

c =222b a c 1=-=。 ……………… 4分

∴椭圆C 的方程为2

22x y 14

+=。 ……………………………………… 5分

（Ⅱ）取m 0,=

得P ,Q 1,?? ????，直线1A P

的方程是y =+ 直线2A Q

的方程是y =

交点为(1S . …………7分,

若P 1,,Q ?? ????

，由对称性可知交点为(2S 4,. 若点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=l 。…………………8分

以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=l 上。事实上，由22

x y 1

4x my 1?+=???=+?

得

()

2

2my 14y 4,++=即()

22m 4y 2my 30++-=，

记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212

222m 3

y y ,y y m 4m 4--+==++。………… 9分

设1A P 与l 交于点00S (4,y ),由011y y ,42x 2=++得1

016y y .x 2=+

设2A Q 与l 交于点00S (4,y ),''由

022y y ,42x 2'=--得2

022y y .x 2

'=-……… 10 12

00126y 2y y y x 2x 2'-=

-

+-Q ()()()()1221126y my 12y my 3x 2x 2--+=+-()()()

1212124my y 6y y x 2x 2-+=+- ()()

2

2

1212m 12m m 4m 40x 2x 2---++==+-，……12分 ∴00y y '=，即0S 与0S '重合，这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=l 上。 13分

解法二：（Ⅱ）取m 0,=

得P ,Q 1,?? ????，直线1A P

的方程是y =+直线2A Q

的方程是y =

交点为(1S . ………………………………………… 7分

取m 1,=得()83P ,,Q 0,155??

- ???

，直线1A P 的方程是11y x ,63=+直线2A Q 的方程是1y x 1,2=-交点为()2S 4,1.

∴若交点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=l 。 ……………8分

以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=l 上。事实上，由22

x y 1

4x my 1?+=???=+?

得

()

2

2my 14y 4,++=即

()2

2m

4y 2my 30

++-=，记

()()

1122P x ,y ,Q x ,y ，则

121222

2m 3

y y ,y y m 4m 4

--+==++。………………9分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22y y x 2,x 2=--消去y,得()()1212y y

x 2x 2x 2x 2+=-+-…

①以下用分析法证明x 4=时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明

12

126y 2y ,x 2x 2

=+-即证()()12213y my 1y my 3,-=+即证()12122my y 3y y .=+………………

②

∵

()1212226m 6m

2my y 3y y 0,m 4m 4

---+=

-=++∴②式恒成立。

这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=l 上。 解法三：（Ⅱ）由22

x y 1

4x my 1?+=???=+?

得()22my 14y 4,++=即()

22m 4y 2my 30++-=。

记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则121222

2m 3

y y ,y y m 4m 4

--+=

=++。…………… 6分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22y

y x 2,x 2

=-- ……

7分

由()()11

22y y x 2,x 2y y x 2,x 2?

=+?+???=-?-?

得()()1212y y x 2x 2,x 2x 2+=-+- …………………

9分

即()()()()21122112y x 2y x 2x 2y x 2y x 2++-=+--g ()()()()21122112y my 3y my 12y my 3y my 1++-=+--g 1221

21

2my y 3y y 23y y +-=+g

11

2211232m 2m 3y y m 4m 42 4.2m 3y y m 4--??+-- ?++??==-??-+ ?+??g g ………………………………

12分

这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=l 上。………………

13分

四、 其它定值问题

例11、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b

-=>>

，右准线方程为3x =

（Ⅰ）求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 是圆22

:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同

的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值.

解析：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得2a c

c a

?=????=??

，解得1,a c == ∴2

2

2

2b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2

2

12

y x -=. （Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆2

2

2x y +=上，

圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0

000

x y y x x y -=-

-， 化简得002x x y y +=.由2

20

012

2

y x x x y y ?-=???+=?及22

002x y +=得 ()2

22

000344820x

x x x x --+-= ① ()2220

00348820x

y y x x ---+= ②

∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2

002x <<， ∴2

0340x -≠，设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，

则22

00121222

008228

,3434

x x x x y y x x --==--， ∴12120OA OB x x y y ?=+=u u u r u u u r ，∴ AOB ∠的大小为90?

.

例12、己知椭圆122

22=+b

y a x （a >b >0）,过其中心O 的任意两条互相垂直的直径是P 1P 2、

Q 1Q 2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P 1Q 1P 2Q 2与一定圆相切。

探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，则22B A

1=+b

y

a x ，原点O 到直线22B A 的距离为2

2

b

a a

b r +=，

则与菱形2211B A B A 内切的圆方程为2

22

22

2

b

a b a y x +=+。 证明：设直径P 1P 2的方程为,kx y = 则Q 1Q 2的方程为x k

y 1-

= ∴?????=+=12

222b y a x kx y 解得???

????+=+=22222222222

22k a b b a k y k a b b a x ∴2

2222222)1(k a b b a k OP ++= 同理OQ 22=2

222

22)1(k

b a b

a k ++，作OH ⊥P 2Q 2 则2

2

2

2

2222b

a a

b OQ OP OQ OP OH +=

+?=

又四边形P 1Q 1P 2Q 2是菱形，∴菱形P 1Q 1P 2Q 2必外切于圆2

22

22

2

b

a b a y x +=+. 例13、已知P ),(00y x 是双曲线)0(2

≠=a a xy 上的一个定点，过点P 作两条互相 垂直的直线分别交双曲线于P 1、P 2两点（异于P 点），求证：直线P 1P 2的方向不变。

探索定值：取P ),(02

0x a x ，过P 点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线

与曲线的另一个交点),(0201x a x P --，其斜率2

2

1x a k PP = ∴2202

a x

k PP -= PP 2的方程为)(022

00x x a x y y --=-

把x a y 2

=

代入解得),(230304

2a

x

x a P 22

021a x k P P =∴（定值） 证明：设PP 1的斜率为k ，则PP 2的斜率为 －

k

1

， ∴PP 1的方程为)(00x x k y y -=- PP 2的方程为)(1

00x x k

y y --

=-，与抛物2a xy = 联立解得),(0201y k a k y P --、 ),(0202ky a ky P ，从而22

20221a

x y a k P P ==（定值）

EX ：过抛物线y 2

=2px （P>0）上一定点（x 0,y 0）作两条直线分别交抛物线于A ，B 两点，满足直线PA 、PB 斜率存在且倾斜角互补，则AB 的斜率为定值。 推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。 五、练习

1、（2008唐山三模）椭圆中心在原点，焦点在x

，三角形ABM

的三个顶点都

在椭圆上，其中M 点为（1，1），且直线MA 、MB 的斜率之和为0。（1）求椭圆的方程。（2）求证：直线AB 的斜率是定值。

分析：（1）x 2+2y 2

=3 （2）12

2、（2008年西城一模）已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两

点.（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是1

2

-

，求直线AB 的方程； （Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使?为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 分析：M （73-，0） 4

9

3、已知不垂直于x 轴的动直线l 交抛物线y2=2mx （m>0）于A 、B 两点，若A 、B 两点满足∠AQP=∠BQP ，若其中Q 点坐标为（-4，0），原点O 为PQ 中点。（1）证明：A 、P 、B 三点线；（2）当m=2时，是否存在垂直于x 轴的直线l ‘，使得l ‘被以PA 为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l ’的方程。 分析：设点AB 的坐标 （2）l ：x=3.

4、（2009年保定统测）已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点为

A 、

B ，且四边形F1AF2B 是边长为2的正方形。 （1） 求椭圆的方程。

（2） 若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD,连结CM 交椭圆于点P ，证明：OM OP u u u u r u u u r

g

为值。

（3） 在（2）的条件下，试问x 轴上是否存在异于C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆过直线DP ，MQ 的

交点，若存在，求出点Q 的坐标。

分析：（1）22

142

x y += （2）由O 、M 、P 三点共线，得42p m

p y y x =

+，所以OM OP u u u u r u u u r g =4 （3）设Q 点（a ，0），由0QM DP =u u u u r u u u r

g ，得a=0.

5、（2009年邯郸第一次模拟）设P 为双曲线22

221(,0)x y a b a b

-=>上任意一点，F1，F2是双曲线的左右焦

点，若12PF PF u u u r u u u u r g 的最小值是-1

，双曲线的离心率是3

。

（1） 求双曲线C 的方程；

（2）过双曲线C 的右焦点F2的直线交双曲线于A 、B 两点，过作右准线的垂线，垂足为C ，求证：直线AC 恒过定点。

分析：（1）2213x y -= （2）先猜再证：（74，0）1217144

y y

x =--换掉x1代入韦达定理得证。方法二：

设AB ：ｘ＝ｍｙ＋２代入方程得：（ｍ２

－３）ｙ２

＋４ｍｙ＋１＝０

故1221224313m y y m y y m -?

+=??-??=

?-?

AC ：12213

()322y y y x y x -=

-+-=1212122113()21212

y y y y my y y x my my -----

++又2my 1y 2=-12（y1+y2）然后代入韦达定理得。

6、在平面直角坐标系xOy 中,Rt △ABC 的斜边BC 恰在x 轴上，点B(－2,0)，C （2，0），且AD 为BC 边上的高。

(I)求AD 中点G 的轨迹方程； (II)若过点(1,0)的直线l 与(I)中G 的轨迹交于两不同点P 、Q ，试问在x

轴上是否存在定点E(m,0)，使PE u u u r ·QE uuu

r 恒为定值λ？若存在，求出点E 的坐标及实数λ的值；若不存在，

请说明理由。

分析：（1）2

21(0)4

x y y +=≠ （2） m =

178 定值为33

64

不容易先猜出，只能是化简求出。

7、（2009年衡水三模）已知直线l 过椭圆E ：2

2

22x y +=的右焦点F,且与E 相交于P ，Q 两点。

（1） 设1()2

OR OP OQ =+u u u r u u u r u u u r

，求点R 的轨迹方程。

（2） 若直线l 的倾斜角为60?，求

11||||PF QF +的值。（当l 的倾斜角不定时，可证11

||||

PF QF +是

定值。）

分析：2

2

20x y x +-= （2）可先猜再证:

微专题26解析几何中的最值与范围问题(教学案)

微专题26 解析几何中的最值与范围问题 1. 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆中的部分范围问题． 2. 构造函数模型研究长度及面积相关的范围与最值问题． 3. 根据条件或几何特征构造不等关系解决与离心率相关的范围问题． 4. 熟悉线段的定比分点、弦长、面积等问题的处理手段，深刻体会数形结合、等价转化的数学思想方法的运用． 考题导航 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆 2. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.则y x 的最大值为________；y －x 的最小 值为________；x 2＋y 2的最小值为________． 1. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 1. 已知A 、B 分别是椭圆x 36＋y 20＝1长轴的左、右端点，F 是椭圆的右焦点，点P 在 椭圆上，且位于x 轴的上方，PA ⊥PF.设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于MB ，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________． 1. 已知双曲线为C ：x 24－y 2 ＝1，P 为双曲线C 上的任意一点．设点A 的坐标为(3，0)， 则PA 的最小值为________．

1. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是________． 1. 椭圆M ：x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上的任意一点， 且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2 ，3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是_______． 1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别 为F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆C 于另一点Q ，设PF 1→ ＝λF 1Q → .若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈??? ?12，22，求实数λ的取值范围．

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

解析几何中的定点和定值问题精编版

解析几何中的定点定值问题 考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。 一、 定点问题 解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。 例1、已知A 、B 是抛物线y 2 =2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β= 4 π 时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。 解析： 设A （ 121 ,2y p y ），B （222 ,2y p y ），则 2 1 2tan , 2tan y p y p ==βα，代入1)tan(=+βα 得2 21214)(2p y y y y p -=+ （1） 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则 022222 =+-????=+=pb py ky px y b kx y ∴k p y y k pb y y 2,22121= += ，代入（1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点（-)2,2p p 说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。 例2．已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>> ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的 圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程； ⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．

高中数学解析几何测试题答案版(供参考)

解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l

A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22

高中数学平面解析几何的知识点梳理

平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．

解析几何中的定值定点问题

解析几何中的定值定点问题 一、定点问题 【例1】．已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>> ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 与直线0x y -+=相切． ⑴求椭圆C 的方程； ⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 解：⑴由题意知c e a ==2222 2234c a b e a a -=== ，即224a b = ，又因为1b ==，所以22 4,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214 x y +=． ⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22 (4)14 y k x x y =-???+=??消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ?=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意， 所以直线PN 的斜率的取值范围是0k << 或0k <． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为21 2221 ()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221 () y x x x x y y -=- +，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ② 由得①2212122232644 ,4141k k x x x x k k -+== ++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)． 【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨 迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 解：⑴∵点M 到(),0 ，) ,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为的椭圆，其方程为2 214 x y +=．

高三数学解析几何专题

专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线

高三数学选择填空题压轴专题5.4 解析几何中的定值与定点问题(教师版)

一．方法综述 解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下； （1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性； 一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果； 另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。 （2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。 二．解题策略 类型一定值问题 【例1】（2020?青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（） A．B．C．2p D． 【答案】D 【解析】分析：直接利用直线和曲线的位置关系式的应用建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣），

解析几何最值问题

解析几何最值问题的赏析 丹阳市珥陵高级中学数学组：李维春 教学目标：１．掌握解析几何中图形的处理方法和解析几何中变量的选择； ２．掌握利用基本不等式和函数的思想处理最值问题． 重点难点：图形的处理和变量的选择及最值的处理． 问题提出： 已知椭圆方程：14 32 2=+y x ，A ，B 分别为椭圆的上顶点和右顶点。过原点作一直线与线段AB 交于点G ，并和椭圆交于E 、F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值。 问题分析： 1、 图形的处理： 不规则图形转化为规则图形（割补法） ABF ABE AENF S S S ??+= BEF AEF AENF S S S ??+= 2、 变量的选择： （1） 设点：设点),(00y x E 则),(00y x F --，可得到二元表达式； （2） 设动直线的斜率k （可设AF,BF,EF,AE,BE 中任意一条直线的斜率），可得 一元表达式。 3，最值的处理方法： （1） 一元表达式可用基本不等式或函数法处理； （2） 二元表达式可用基本不等式或消元转化为一元表达式。 X

问题解决： 解法一： 由基本不等式得62 24)34(2322 02000==+≤+=y x y x S 时取“＝” 当且仅当0032 y x = 解法二： 00000 0(,),(,),(0,0)x y F x y x y -->>设E ，四边形的面积为S (0,2),A B 因为,12 y += 20x +-=即1d =点E 到直线的距离：00( ,)x y 因为E 在直线AB 的上方，0020x ->所以1d =所以2d =点F 到直线的距离：00(,)x y --因为F 在直线的下方2d =所以)(21)(212121d d AB d AB d AB S +=+=002S x =+所以AB =因为00(,)F x y 又因为22134 x y +=在椭圆上22004312x y +=所以max S =所以

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2） 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越

解析几何中的定点、定值问题

解析几何中的定点和定值问题 【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不 变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用． 【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学方法】讨论式 【教学过程】 一、基础练习 1、过直线4x =上动点P 作圆224O x y +=：的切线PA PB 、，则两切点所在直线 AB 恒过一定点．此定点的坐标为_________． 【答案】(1,0) 【解析】设动点坐标为(4,t P ），则以OP 直径的圆C 方程为：(4)()0x x y y t -+-= ， 故AB 是两圆的公共弦，其方程为44x ty +=． 注：部分优秀学生可由200x x y y r += 公式直接得出．

令440 x y -=?? =? 得定点(1,0). 2、已知PQ 是过椭圆22:21C x y +=中心的任一弦，A 是椭圆C 上异于P Q 、的 任意一点．若AP AQ 、 分别有斜率12k k 、 ，则12k k ?=______________． 【答案】-2 【解析】设00(,),(,)P x y A x y ，则(,)Q x y -- 22 0001222 000y y y y y y k k x x x x x x -+-?=?= -+-， 又由A 、P 均在椭圆上，故有：22 002221 21x y x y ?+=??+=?? ， 两式相减得2 2 2 2 002()()0x x y y -+-= ，22 0122202y y k k x x -?==-- 3、 过右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点， AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则_______.1=24 e 【解析】 设直线AB 斜率为k ，则直线方程为()3y k x =-,

高中数学解析几何常考题型整理归纳

高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0）， 则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为

解析几何中的最值问题.

解析几何中的最值问题 解析几何中的最值问题是很有代表性的一类问题，具有题形多样，涉及知识面广等特点。解决这类问题，需要扎实的基础知识和灵活的解决方法，对培养学生综合解题能力和联想思维能力颇有益处。本文通过实例，就这类问题的解法归纳如下： 一、 转化法 例1、 点Q 在椭圆 22 147 x y +=上，则点Q 到直线32160x y --=的距 离的最大值为 （ ） A B C D 分析：可转化为求已知椭圆平行于已知直线的切线，其中距离已知直线较远的一条切线到该直线的距离即为所求的最大值。 解：设椭圆的切线方程为 3 2 y x b =+，与 22 147 x y +=消去y 得 224370x bx b ++-=由?=01272=+-b 可得4(4)b b ==-舍去，与 32160x y --=平行且距离远的切线方程为3280x y -+= 所以所求最大值为d = = ，故选C 二 、配方法 例2、 在椭圆 22 221x y a b +=的所有内接矩形中，何种矩形面积最大？ 分析：可根据题意建立关系式，然后根据配方法求函数的最值。 解：设椭圆内接矩形在第一象限的顶点坐标为A (),x y ，则由椭圆对称性，矩形的长为2x ，宽为2y ，面积为4xy ，与 22 221x y a b +=消去 y 得： 22b S x a =?=

可知当x a = 时，max 2S ab = 三、 基本不等式法 例3、 设21,F F 是椭圆14 22 =+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF ?的最大值是 解： 124PF PF += 由12PF PF +≥得 44 )(2 2121=+≤ ?PF PF PF PF 即21PF PF ?的最大值是4 。 四、 利用圆锥曲线的统一定义 例4 、设点A (-，P 为椭圆22 11612 x y +=的右焦点，点 M 在椭 圆上，当取2AM PM +最小值时，点M 的坐标为 （ ） A (- B (- C D 解：由已知得椭圆的离心率为1 2 e = ， 过M 作右准线L 的垂线，垂足为N ，由圆锥曲线的统一定义得 2MN PM = 2AM PM AM MN ∴+=+ 当点M 运动到过A 垂直于L 的直线上时， AM MN +的值最小，此时点M 的坐标为，故选 C 五、 利用平面几何知识 例5 、平面上有两点(1,0),(1,0)A B -，在圆22 (3)(4)4x y -+-=上取一点 P ，求使22 AP BP +取最小值时点P 的坐标。

解析几何中定值与定点问题

解析几何中定值与定点问题 【探究问题解决的技巧、方法】 (1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究． 【实例探究】 题型1：定值问题: 例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的 焦点，离心率等于 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 为定值. 解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1. ∴椭圆C的方程为 （II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为 易知F点的坐标为（2，0）. 将A点坐标代入到椭圆方程中，得

去分母整理得 方法二：设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为（2，0）. 显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 又 例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0). 1）求椭圆方程 2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值 （1）a2-b2=c2 =1 设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1 将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b2-9=0 解得b2=3 （另一值舍） 所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1 （2） 设AE斜率为k 则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①

解析几何中的最值问题教案

解析几何中的最值问题 一、教学目标 解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景，以函数和不等式等知识作为工具，具有较强的综合性，这类问题的解决没有固定的模式，其解法一般灵活多样，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。基本内容：有关距离的最值，角的最值，面积的最值。 二、教学重点 方法的灵活应用。 三、教学程序 1、基础知识 探求解析几何最值的方法有以下几种: (1)函数法（设法将一个较复杂的最值问题，通过引入适当的变量能归为某初等函数（常见）的有二次函数和三角函数）的最值问题，然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。 (2)不等式法：（常用的不等式法主要有基本不等式等） (3)曲线定义法：利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点（或定直线）距离之间的不变关系，一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法 （4）平面几何法：有些最值问题具有相应的几何意义（如分式最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式等等） （1）函数法 例1、已知P 点在圆()2241x y +-=上移动，Q 点在椭圆2 219 x y +=上移动,试求PQ 的最大值。 分析：两个都是动点，看不出究竟，P 、Q 在什么位置时|PQ|最大 故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ| 的最大值，只要求|OQ|的最大值。 说明：函数法其我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。 例2 在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 是椭圆2 213 x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值 （2）不等式法

解析几何中的定点、定值与最值问题解法揭秘

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/e313215923.html, 解析几何中的定点、定值与最值问题解法揭秘 作者：黄伟军 来源：《广东教育·高中》2012年第01期 在平面解析几何这个知识版块里，定点、定值与最值问题历来都是中学数学中的重点问题，同时又是高考的热点问题，常考常新.据统计2011年高考各省市（区）解析几何大题中涉及考查定点、定值与最值问题的就有10个省份左右.为帮助2012届的高三考生在复习中能更 好地把握这三个问题，探索这三种类型问题的解题规律，本文特地详细介绍了这三种类型问题的基本概念、分类，并结合典型的高考试题、各地最新模拟试题给予剖析、小结归纳，并且给出相应的变式题目，让同学们小试牛刀，相信对同学们的复习有一定的帮助. 一、解析几何中的定点、定值问题 解析几何中的定点、定值问题一般是指在一定的情境下，不随其它因素的改变而改变的量．从近几年的新课标高考题来看，定点、点值问题多数以选择、填空题的形式出现，考查特殊与一般的转化思想，也有以证明等解答题面目出现，着重考查逻辑推理能力．处理定点、点值的基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出定点、定值，然后给以证明．值得注意的是，解析几何中的定点、定值问题与一般几何证明不同，它的结论中没有确定的定点、定值对象，所以探求定点、定值成为首要任务.其一，要有一定量的基本图形、基本结论作基础，先设一般问题成为一个 特殊问题，动中取静，使图形极端化（考虑图形的特殊位置和临界位置等），从而求得定点、定值，然后，从图形或数据的直观观察中，获得合乎情理的猜想，再进行逻辑证明；其二，要注意前面解答结论中的暗示功能和桥梁作用. 由于解析几何中的定点、定值问题在解题之前不知道定点、定值的结果，因而更增添了题目的神秘色彩，因而是颇有难度的问题，解决这类问题时，要运用辩证的观点去思考分析，在“变”中寻求“不变”，用特殊探索法（即用特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定点、定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口.另外，有许多定点、定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定点、 定值，还可以为我们提供解题的线索. 例1．已知抛物线y2=2px（p＞0），问：在轴的正半轴上是否存在一点M，使得过M点的抛物线的任意一条弦P1P2都有∠P1OP2=■（O为坐标原点）？请说明理由. 分析：这是一道与探索性相结合的定点问题，通过阅读题意我们发现几个关键词：“正半轴”，“任意一条弦”，抛物线y2=2px（p＞0）的开口向右，先假设满足题设条件的点M存

(完整)高中数学解析几何解题方法

高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。

解析几何中定点、定值、定直线问题

解析几何中定点、定值、定直线问题

解析几何中定点定值问题 2 例1已知椭圆 —=1(2)的上顶点为M( 0, 1),过M a 的两条动弦MA MB 满足MAL MB 对于给定的实数a(a 1), 证明：直线AB 过定点。 解：由MA MB =0知MA_MB ,从而直线MA 与坐标轴不垂直， 故可 设直线MA 的方程为y 二kx 1，直线MB 的方程为 1 y x 1 k 将y 二kx1代入椭圆C 的方程，整理得 (1 a 2 k 2 )x 2 2a 2 k=x 0 例3已知椭圆的中心为坐标原点 O ,焦点在x 轴上， 斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点, OA OB 与 a =(3,-1) 共线. (1) 求椭圆的离心率； 解得x=0或 -2a 2 k 1 a 2k 2 故点A 的坐标为 -2a 2 k 1 a 2k 2 2 2 1-a k ) 1 a k 同理，点B 的坐标为 2 2 2 (2a k k -a ) k a k a 知直线l 的斜率为 k 2 - a 2 1 -a 2k 2 k 2 a 2 1 a 2k 2 = k _1 2a k _ -2a k (a 2 1)k ~T2 2 ^~2 k a 1 a k 直线l 的方程为 k 2 -1 2 (a 2 - (x- 2a 2k k 2 a 2 k 2 a 2 k 2 -1 a 2 -1 2 (a 2 - a 2 1 -直线l 过定点0, a 2 -1 a 2 1

化简得(a 2 b 2 )x 2 —2a 2 cx a 2c 2 -a 2b 2 令 A(x i ,y i ), B(X 2 , y 2), 2 贝 y X i X 2 |a -c ^,x i x 2 a +b 2 2 a c 2 2 a b a 2 b 2 由OA OB =(为 X 2 ,% y 2 ), a =(3,- 1),OA OB 与a 共线，得 3(% y 2)(x i X 2) =0. y i =Xi -cy 7 -c, 3( x 2 -2c)区 x 2) = 0, 3c 2 . 二至,所以a 2 =3b 2. X-| x 2 2a 2c a 2 b 2 2 2 16a c = a 「b , 3 I 故离心率e = c —. (II )证明：由(I )知a 2 =3b 2 ，所以椭圆 2 2 0 y__ a 2 b 2 x 2 3y 2 =3b 2 . 设OM =(x,y),由已知得(x,y) = (Xi,y )；； ■丄化 小), x =檢1 + %, 「? J y =环卡%. (2)设M 为椭圆上任意一点，且OM 「OA .OB(.i R), 证明，」为定值. 2 2 笃与=1(a b ■ 0), F(c,0), a b 2 2 则直线AB 的方程为y=x —c,代入笃吕 a b (I )解：设椭圆方程为

解析几何范围最值问题(教师)

第十一讲 解析几何范围最值问题 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 一、几何法求最值 【例1】 抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足＋＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线的方程； (2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值． [满分解答] (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)． 由????? y ＝kx －2，x 2＝－2py ， 得x 2＋2pkx －4p ＝0 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 所以＋＝(－4，－12)，所以??? ? ? －2pk ＝－4，－2pk 2 －4＝－12， 解得? ???? p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y . (2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)． 此时点P 到直线l 的距离d ＝ |2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2 ＝45＝4 5 5. 由? ???? y ＝2x －2， x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝ 1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋22·(－4)2－4·(－4)＝4 10. 于是，△ABP 面积的最大值为12×4 10×4 55＝8 2. 二、函数法求最值 【示例】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝ 2 3 ，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程； (2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． (1)由e ＝c a ＝ a 2－ b 2 a 2＝ 23，得a ＝3 b ，椭圆C ：x 23b 2＋y 2 b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2，