排队论模型

如服从泊松分布,则在时间t内到达n辆车的概率为

排队论模型

排队论也称随机服务系统理论。它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。现实世界中排队的现象比比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。排队的内容虽然不同，但有如下共同特征：

有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。

有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员”。

由顾客和服务员就组成服务系统。

顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。

排队论主要是对服务系统建立数学模型，研究诸如单位时间内服务系统能够服务的顾客的平均数、顾客平均的排队时间、排队顾客的平均数等数量规律。

一、排队论的一些基本概念

为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分：

输入过程

即顾客来到服务台的概率分布。排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。

排队规则

即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即时制就是服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是服务台被占用时，顾客便排队等候服务。等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先服务的系统。

服务机构

服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单独顾客进行服务，也可以对成批顾客进行服务。和输入过程一样，多数的服务时间

表示服务员为都是随机的，且我们总是假定服务时间的分布是平稳的。若以ξ

n

第n个顾客提供服务所需的时间，则服务时间所构成的序列{ξ

}，n=1，2，…

n

，所服从的概率分布表达了排队系统的服务机制，一般假定，相继的服务时间ξ

1ξ2，……是独立同分布的，并且任意两个顾客到来的时间间隔序列{T n}也是独立的。

如果按服务系统的以上三个特征的各种可能情形来对服务系统进行分类，那

么分类就太多了。因此，现在已被广泛采用的是按顾客相继到达时间间隔的分布、服务时间的分布和服务台的个数进行分类。

研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率，估计服务质量，确定系统参数的最优值，以决定系统的结构是否合理，设计改进措施等。所以，必须确定用来判断系统运行优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是： 队长

指排队系统中的顾客数，它的期望值记为L

系

；排队长，指在排队系统中排

队等待服务的顾客数，其期望值记为L

队

。

系统中的顾客数 = 等待服务的顾客数 + 正被服务的顾客数

所以L

队（或L

系

）越大，说明服务效率越低。

逗留时间

指一个顾客在排队系统中的停留时间，即顾客从进入服务系统到服务完毕的

整个时间。其期望值记为W

系

。等待时间，指一个顾客在排队系统中等待服务的

时间，其期望值记为W

队

。

逗留时间 = 等待时间 + 服务时间

忙期

指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲这段时间长度，即服务机构连续工作的时间长度。它关系到服务员的工作长度，即服务机构连续工作的时间长度。它关系到服务员的工作强度、忙期的长度和一个忙期中平均完成服务的顾客数，这些都是衡量服务效率的指标。

要计算以上这些指标必须知道系统状态的概率，所谓系统状态即时刻t时排队系统中的顾客数。如果时刻t时排队系统中有n个顾客，就说系统的状态是n，

其概率一般用P

n (t)表示。求P

n

(t)的方法，首先要建立含P

n

(t)关系式，因t为

连续变量而n只取非负整数，所以建立的P

n

(t)的关系式一般是微分差分方程，这时要求方程的解是不容易的，有时即使求出也很难利用。因此，往往只求稳态

解P

n ，求P

n

并不一定求t→∞时的P

n

(t)极限，而只需由)('t

P

n

=0，用P

n

代替P

n

(t)

即可。

下面分析几个排队系统。

二、单通道等待制排队问题

对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过程服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，单服务台的情形。分两种模型来分析：

标准模型

所谓标准模型是指顾客源为无限，顾客单个到来，相互独立，一定时间的到达数服从泊松分布，到达过程是平稳的，排队为单队，队长没有限制，先到先服务，各顾客的服务时间服从负指数分布，且相互独立。同时还假定顾客到达的时间间隔和服务时间是相互对立的。可以证明，顾客相继到达的时间间隔独立且为负指数分布的充要条件是输入过程服从泊松分布。

首先求出排队系统在任意时刻t的、状态为n的概率P

n

(t)，不妨假设顾客到达规律服从参数为λ的泊松分布，服务时间服从参数为μ的负指数，由此决定了[t，t+△t]时间间隔内：

1、有1个顾客到达的概率为λ△t+o(△t)，没有顾客到达的概率是1-λ△

t+o(△t)。

2、当有顾客在接受服务时，1个顾客被服务完了的概率是μ△t+o(△t)，

没有服务完的概率是1-μ△t+o(△t)。

3、多于一个顾客到达或服务完的概率为o(△t)，均可忽略。 注1：因为单位时间内顾客到达数X ～P （λ），所以Δt 时间间隔内顾客到达数Y ～ P （λΔt ），因而在Δt 时间间隔内有一个顾客到达的概率为：P{ Y=1 } =λΔt ·e -λΔt =λΔt + o(Δt)，没有顾客到达的概率为P{Y=0}= e -λΔt =1-λΔt + o(Δt)。

注2：由于服务时间T ～E （μ），故在有顾客接受服务时，一个顾客被服务

完的概率为P{T ≤Δt }=1 - e -μΔt

=μΔt + o(Δt)，没有被服务完的概率为1 -μΔt + o(Δt)。

在t+△t 时刻，系统中有n 个顾客的状态由t 时刻的以下状态转化而来：①t 时刻系统中有n 个顾客，没有顾客到达且没有顾客服务完毕，其概率为：[1-λ△t+o(△t)][ 1-μ△t+o(△t)]= (1-λ△t-μ△t)+o(△t)；②t 时刻系统中有n+1个顾客，没有顾客到达且有一个顾客服务完毕，其概率为：[1-λ△t+o(△t)][μ△t+o(△t)]= μ△t+o(△t)；③t 时刻系统中有n-1个顾客，有一个顾客到达且没有顾客服务完毕，其概率为：[λ△t+o(△t)][1-μ△t+o(△t)]= λ△t+o(△t)；④其他状态的概率为o(△t)。

因此，在t+△t 时刻，系统中有n 个顾客的概率P n (t+△t)满足：

P n (t+△t)= P n (t)(1-λ△t-μ△t)+ P n+1(t)μ△t + P n-1(t)λ△t+o(△t)

[P n (t+△t)- P n (t)]/△t=λP n-1(t)+μP n+1(t)-(λ+μ)P n (t)+o(△t)/△t

令△t →0，得到

2,1)()()()()

(11=+-+=+-n t P t P t P dt

t dP n n n n μλμλ

n=0时，因为

P 0(t+△t)= P 0(t)(1-λ△t)+ P 1(t)(1-λ△t) μ△t+o(△t) 所以，有

)()()

(100t P t P dt

t dP μλ+-= 对于稳态情形，与t 无关，其导数为零。因此，得到差分方程

???=+-≥=+-++-0

1

,0)(1011P P n P P P n n n μλμλμλ

求解此差分方程

P n =(λ/μ)n P 0 由概率的性质知

∑∞

==0

1n n

P

，将上式代入λ/μ<1时可得到

P 0=1-λ/μ

P n =(1-λ/μ)( λ/μ)n

因为顾客到达规律服从参数为λ的泊松分布，服务时间服从参数为μ的负指数分布，其期望值就分别为λ，1/μ。所以λ表示单位时间内平均到达的顾客数，μ表示单位时间内能服务完的顾客数。如果令ρ=λ/μ，这时ρ就表示相同区间内顾客到达的平均数与能被服务的平均数之比，它是刻画服务效率和服务机构利用程度的重要标志，称ρ为服务强度。上面在ρ<1的条件下得到了稳定状态下的概率P n ，n=0，1，2，…。其实，如果ρ>1，可以证明排队长度将是无限增加的，即使ρ=1的情况下，P 0(t)也是随时间而变化的，系统达不到稳定状态。因此，这里只讨论ρ<1时情况，从上面的推导知

P n =(1-ρ) ρn n=0,1,2,… 下面计算出系统的运行指标

)

/()

1/()1(1

λμλρρρρ-=-=-==∑∑∞

=∞

=n n n n n np L 系

)

/()1/()

1()1()1(21

1

λμρλρρρρ-=-=--=-=∑∑∞

=∞=n n n n n p n L 队

可以证明，顾客在系统中逗留时间服从参数为的负指数分布。因此，有

W 系=1/(μ-λ)

W 队=W 系-)/(1

λμρμ

-=

由以上结论可以看出，各指标之间有如下关系：

L 系=λW 系； L 队=λW 队

W 系=W 队+1/μ, L 系=L 队+λ/μ

在指标的计算过程中，一般只要计算其中一个，其它的指标便可随之导出。 例1 病人候诊问题 某单位医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时平均可诊5个病人，病人的到来服从泊松分布，医生的诊病时间服从负指数分布。试分析该科室的工作状况。如果满足99%以上的病人有座，此科室至少应设多少个座位？如果该单位每天24h 上班，病人看病1h 因耽误工作单位要损失30元，这样单位平均每天损失多少元？如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊6个病人，单位每天可减少损失多多少？可减少多少个座位？

解 由题意知λ=4，μ=5，ρ=4/5，ρ=4/5=0.8<1，从而排队系统的稳态概率为：

P n =0.2×0.8n n=0，1，2… 该科室平均有病人数为：

L 系=ρ/（1-ρ）=0.8/（1-0.8）=4（人） 该科室内排队候诊病人的平均数为：

L 队=L 系-λ/μ=4-0.8=3.2（人） 看一次病平均所需的时间为：

W 系=L 系/λ=4/4=1h 排队等候看病的平均时间为：

W 队=W 系-1/μ=1-1/5=0.8h

为满足99%以上的病人有座，设科室应设m 个座位，则m 应满足：

P{医务室病人数≤m}≥0.99

99.01)1(10≥-=-+=∑m m

n n ρρρ

20

1ln 01

.0ln 01

.01=-≥≤+ρ

ρm m

所以该科室至少应设20个座位。

如果该单位24h 上班，则每天平均有病人24×4=96人，病人看病所花去的总时间为96×1=96 h 。因看病平均每天损失30×96=2880元。

如果医生每小时可诊6个病人，ρ=2/3，则

L 系=2（人），L 队=4/3（人） W 系=0.5h ，W 队=1/3h

这样单位每天的损失费为96×0.5×30=1440元，因而单位每天平均可减少损失2880-1440=1440元，这时为保证99%以上的病人有座，应设座位数m ≥ln0.01/ln(2/3)-1=11个，比原来减少了9个。

下面举一个与决策有关的排队问题。

例 2 修理工录用问题 某工厂平均每天有一台机器发生故障而需要修理，机器的故障数服从泊松分布。修理一台机器平均花费20元。现有技术水平不同的修理工人A 和B ，A 种修理工平均每天能修理1.2台机器，每天工资3元；B 种修理工平均每天能修理1.5台机器，每天工资5元，两种修理工修理机器的时间为负指数分布。问工厂录用哪种工人较合算？

解 用N 表示每天发生故障机器的平均数，包括正在修理和等待修理的机器数，即等于排队L 系，C 1和C 2分别表示修理一台机器的费用和工人的工资，则工厂每天平均损失费用为：

R=NC 1+NC 2

①若录用A 种修理工，据题意知λ=1，μA =0.2，ρA =λ/μA =5/6，L 系A =ρA /(1-ρA )=5台，则若录用A 种修理工，工厂每天平均损失费用为：

R A =5×20+3=103元

②若录用B 种修理工，据题意知λ=1，μB =1.5，ρb =2/3，L 系B =2台，则若录用B 种修理工，工厂每天平均损失费用为：

R B =2×20+3=43元

比较可知，工厂录用B 种修理工较为合算。如果计入机器停工损失费用，这一选择更为上算。

系统容量有限的模型 因为是单服务台，设排队系统的容量为N ，即是排队等待的顾客最多为N-1，

在某时刻一顾客到达时，如系统中已有N 个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统。在研究系统中有n 个顾客的概率P n (t)时，和标准模型研究方法相同，当n=N 时有

)()()(1'

t P t P t P N N N

μλ-=- 在稳态情形下，并令μ

λ

ρ=

，得

??=-=+=+=--+111011,,2,1,)1(N N

n n n P

P N n P P P P P ρρρρ

在条件∑==N

i i P 0

1下解上式得到

???

?

???

≠≤--==+===+1,111,111

10ρρρρρN n P N P P P n N n N

这里，不假设ρ<1，下面给出系统的各种指标的计算结果： （1） L 系=1,2

10

==+=∑∑

==ρN

N n nP N

n N

n n

1,1)1(11)1(11

01

1≠-+--=--==++=+=∑∑ρρ

ρρρ

ρ

ρρN N N

n N n

N

n n N n np L 系

（2） L 队=∑==-N

n n P n 1

)1( L 系-(1-P 0)

=???????≠----=+-++1,111,1211

ρρρρρ

ρρN N N N N N

（3） W 系= L 系/[μ(1-P 0)] （4） W 队= W 系 -μ

1 应该指出，W 系，W 队的导出过程中不是采用平均达到率λ，而是采用有效到

达率λ效。这主要是由于当系统已满时，顾客的实际到达率为零，因为正在被服务的顾客的平均数为1-P 0=λ效/μ，于是λ效=μ（1- P 0）。

例3 单人理发馆有6个椅子，当6个椅子都坐满时，后来到的顾客不进店就离开。顾客平均到达率为3人/h ，理发平均需15min ，试分析该服务系统。

解 由题意知N=7，λ=3人/h ，μ=4人/h ，因此，某顾客一到达就能理发的概率为：

P 0=（1-3/4）（1-（3/4）8）=0.2778 平均需要等待的顾客数量为：

L 系 ==---8

8

)

4/3(1)4/3(8)4/3(14/3 2.11人 L 队= L 系-(1-P 0)

=2.11-(1-0.2778)=1.39人 有效到达率为：

λ效=μ（1-P 0）=4（1-0.2778）=2.89人/h 顾客在理发馆平均逗留时间为：

W 系= L 系/λ效=min 8.4373.089.111

.2==h

多通道等待制排队问题 多通道就是服务台。对于这种排队问题只讨论标准模型，其特征与单通道标准模型特征完全相同。假定有m 个服务台，每个服务台相互独立工作，平均服务个数相同，则整个服务机构的平均服务率为m μ，显然只有当λ/m μ<1时才不会排成无限长的队列，下面不加证明的给出稳定状态概率P n 和系统指标。

令μ

λ

ρm =

，则

1

1

0])(11!1)(!1[--=-+

=∑m k

m k m k P μλρμλ ???????≤=-m n P m

m m n P n P n m

n n

n ,)(!1)(!100

μλμλ

L 系= L 队+m ρ, L 队=0

2)

1(!)(P m m m ρρ

ρ- W 队= L 队/λ, W 系= W 队+

μ

1

=L 系/λ 例4 某火车站售票处有三个窗口，顾客的到达服从泊松分布，平均每分钟有0.9人到达，服务时间服从负指数分布，平均每分钟可服务0.4人。现假设排成一队，依次向空闲的窗口购票，试分析该排队系统。

解 据题意知m=3，λ=0.9，μ=0.4,则 75.04

.039.0=?==μλρ P 0=[1+

132]75

.011

)4.09.0(!31)4.09.0(!214.09.0--++ =0.0743

即整个售票处空闲的概率为0.0743。 平均队长：

L 队=

7.10743.0)4/1(!34

/3)4.0/9.0(2

3=?? 平均等待时间：

W 队=1.7/0.9=1.89min 平均逗留时间：

W 系=1.89+1/0.4=4.39min

总之，排队论是具有特殊实用价值的现代应用数学分支之一，其内容十分丰富，像单通道顾客数有限，多通道容量有限，多通道顾客数目有限等情形这里未予介绍，有兴趣的读者可参阅有关资料。

基于排队理论的仿真模型

关键词：动态模拟蒙特卡洛模拟排队论 内容摘要：论文根据超市顾客到达的随机性和服务时间的随机性，用蒙特卡洛方法模拟不同的顾客到达和服务水平，在MA TLAB/Simulink上对超市单队列多收银台的服务系统进行了动态模拟仿真，得到不同顾客到达率和不同服务水平下，顾客的排队等待时间，服务器的空闲率等要素。 在超市收银排队系统中，顾客希望排队等待的时间越短越好，这就需要服务机构设置较多的收银台，这样可以减少排队等待时间，但会增加商场的运营成本。而收银台过少，会使服务质量降低，甚至造成顾客流失。如何科学合理地设置收银台的数量，以降低成本和提高效益，是商场管理人员需要解决的一个重要问题。 蒙特卡洛方法简介 蒙特卡洛方法又称随机模拟方法，它以随机模拟和统计试验为手段，从符合某种概率分布的随机变量中，通过随机选择数字的方法，产生一组符合该随机变量概率分布特性的随机数值序列，作为输入变量序列进行特定的模拟试验、求解（杜比，2007）。在应用该方法时，要求产生的随机数序列应符合该随机变量特定的概率分布。应用该方法的基本步骤如下： 步骤1：建立概率模型，即将所研究的问题变为概率问题，构造一个符合其特点的概率模型；步骤2：产生一组符合该随机变量概率分布特性的随机数值序列；步骤3：以随机数值序列作为系统的抽样输入进行大量的数字模拟试验，以得到模拟试验值；步骤4：对模拟试验结果进行统计处理（如计算频率、均值等），进而对研究问题做出解释。 基于排队理论的仿真模型建立 （一）超市服务排队模型（M/M/C） 超市收款台服务是一个随机服务系统（唐应辉，2006），该系统具有如下特征：服务的对象是已经选购好商品的顾客，顾客源是无限的，顾客之间相互独立，顾客相继到达的时间间隔是随机的。系统有多个服务员且对每个顾客的服务时间是相互独立的。服务规则遵从先到后服务（FCFS）的原则。每个收款台前都有排队队列，顾客选择较短的队列排队等候，这样形成单队列多服务员（M/M/C）的排队系统。超市收银台顾客排队系统结构见图1。 （二）产生随机数值序列 由于顾客到达间隔时间和顾客服务的时间服从负指数颁布的随机数。令这个负指数分布的随机数为x，负指数分布密度函数为：，其分布函数为：，F（x）的反函数为。设u为[0，1]区间上的独立、均匀分布的随机变量，则所求随机数为，进而简化得，这样得到负指数分布的随机数（吴飞，2006）。 针对商场顾客到达和服务水平的统计数据，据此可产生两个随机数列：顾客到达时间间隔a （i）和顾客服务时间st（i），以此数值序列进行动态输入仿真。 （三）模型变量设置 at（i）：表示第i 个顾客到达时刻； a（i）：表示第i个顾客到达的时间间隔；st（i）：第i个顾客的服务时间；sst（i）： 第i个顾客的开始服务时间；lea（i）：第i个顾客离开时间；ls（j）：第j个队列中最后一个顾客的离开时间；ls（m）：每个队列中最后一个顾客离开时间的最早值；freet（j）：第j个

排队论模型

排队论模型 排队论也称随机服务系统理论。它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。现实世界中排队的现象比比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。排队的内容虽然不同，但有如下共同特征： 有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。 有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员”。 由顾客和服务员就组成服务系统。 顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。 排队论主要是对服务系统建立数学模型，研究诸如单位时间内服务系统能够服务的顾客的平均数、顾客平均的排队时间、排队顾客的平均数等数量规律。 一、排队论的一些基本概念 为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分： 输入过程 即顾客来到服务台的概率分布。排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。 排队规则 即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即时制就是服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是服务台被占用时，顾客便排队等候服务。等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先服务的系统。 服务机构 服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单独顾客进行服务，也可以对成批顾客进行服务。和输入过程一样，多数的服务时间都是随机的，且我们总是假定服务时间的分布是平稳的。若以ξ 表示服务员为 n }，n=1，2，…第n个顾客提供服务所需的时间，则服务时间所构成的序列{ξ n 所服从的概率分布表达了排队系统的服务机制，一般假定，相继的服务时间ξ ， 1ξ2，……是独立同分布的，并且任意两个顾客到来的时间间隔序列{T n}也是独立的。 如果按服务系统的以上三个特征的各种可能情形来对服务系统进行分类，那么分类就太多了。因此，现在已被广泛采用的是按顾客相继到达时间间隔的分布、服务时间的分布和服务台的个数进行分类。 研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率，估计服务质量，确定系统参数的最优值，以决定系统的结构是否合理，设计改进措施等。所以，必须确

排队论模型

排队论模型 随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。 排队论模型及其在医院管理中的作用 每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。排队论就是对排队进行数学研究的理论。在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。 一、医院系统的排队过程模型 医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。 图1 医院系统的多级排队过程模型 二、排队系统的组成和特征 一般的排队系统都有三个基本组成部分： 1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。 2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。排队的列数还分单列和多列。 3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。

排队论及其在通信领域中的应用

排队论及其在通信领域中的应用 信息与通信工程学院 2班 姓名：李红豆 学号：10210367 班内序号：26 指导老师：史悦 一、摘要 排队论是为了系统的性态、系统的优化和统计推断，根据资料的合理建立模型，其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。排队是一种司空见惯的现象，因此排队论可以用来解决许多现实问题。利用排队论的知识可以来解决通信服务中的排队论问题。应用排队论一方面可以有效地解决通信服务系统中信道资源的分配问题；另一方面通过系统优化，找出用户和服务系统两者之间的平衡点，既减少排队等待时间，又不浪费信号资源，从而达到最优设计的完成。 二、关键字 排队论、最简单流、排队系统、通信 三、引言 排队论又称随机服务系统, 主要解决与随机到来、排队服务现象有关的应用问题。是研究系统由于随机因素的干扰而出现排队(或拥塞) 现象的规律的一门学科, 排队论的创始人Erlang 是为了解决电话交换机容量的设计问题而提出排队论。它适用于一切服务系统,包括通信系统、计算机系统等。可以说, 凡是出现拥塞现象的系统, 都属于随机服务系统。随着电子计算机的不断发展和更新, 通信网的建立和完善, 信息科学及控制理论的蓬勃发展均涉及到最优设计与最佳服务问题, 从而使排队论理论与应用得到发展。 四、正文 1、排队论概述： 1.1基本概念及有关概率模型简述： 排队论是一个独立的数学分支有时也把它归到运筹学中。排队论是专门研究由于随机因素的影响而产生的拥挤现象(排队、等待)的科学也称为随机服务系统理论或拥塞理论。它专于研究各种排队系统概率规律性的基础上解决有关排队系统的最优设计和最优控制问题。 排队论起源于20世纪初。当时美国贝尔Bell电话公司发明了自动电话以后如何合理配臵电话线路的数量以尽可能地减少用户重复呼叫次数问题出现了。 1909年丹麦工程师爱尔兰发表了具有重要历史地位的论文“概率论和电话交换”从而求解了上述问题。 1917年又提出了有关通信业务的拥塞理论用统计平衡概念分析了通信业务量问题形成了概率论的一个新分支。后经C.Palm等人的发展由近代概率论观点出发进行研究奠定了话务量理论的数学基础。

M M C ∞排队系统模型及其应用实例分析

M M C ∞排队系统模型及其应用实例分析 摘要:文章阐述了M/M/C/∞排队系统的理论基础,包括排队论的概念,排队系统的基本组成部分以及排队系统的模型。在理论分析的基础上,文章以建行某储蓄所M/M/C/∞排队系统为例,对该系统进行分析并提出了最优解决方案。 关键词:排队论;银行储蓄所;M/M/C/∞模型;最优解 1M/M/C/∞排队系统 1.1排队论的概念及排队系统的组成 上世纪20年代,丹麦数学家、电气工程师爱尔朗(A. K. Erlang)在用概率论方法研究电话通话问题时,开创了这门应用数学学科。排队论主要研究各种系统的排队队长,排队的等待时间及所提供的服务等各种参数,以便求得更好的服务。研究排队问题实质上就是研究如何平衡等待时间与服务台空闲时间。目前,排队论已经广泛应用于通信工程、交通运输、生产与库存管理、计算机系统设计、计算机通信网络、军事作战、柔性制造系统和系统可靠性等众多领域。 任意一个排队系统都是由三个基本部分构成,即输入过程、排队规则和服务机构。①输入过程是描述顾客来源以及顾客按什么规律达到排队系统。②排队规则描述的顾客到达服务系统时顾客是否愿意排队,以及在排队等待情形下的服务顺序。③服务机构描述服务台数目及服务规律。服务机构可分为单服务台和多服务台;接受服务的顾客是成批还是单个的;服务时间服从何种分布。 1.2M/M/C/∞排队模型 ①排队系统模型的表示。目前排队模型的分类采用1953年由D. G. Kendall 提出的分类方法。他用3个字母组成的符号A/B/C表示排队系统。为了表示其它特征有时也用4～5个字母来表示如A/B/C/D/E。其中:A 顾客到达间隔时间的概率分布;B 服务时间的概率分布;C 服务台数目;D 系统容量限制(默认为∞);E 顾客源数目(默认为∞);概率分布的符号表示:M:泊松分布或负指数分布,D:定长分布,Ek:k阶爱尔朗分布,C:一般随机分布。 ②排队系统的衡量指标。—所有服务设施空闲的概率;—系统中的顾客总数;—队列中的顾客总数;—顾客在系统中的停留时间;—顾客在队列中的等待时间。 ③M/M/C/∞排队模型。排队系统模型大体上可以分为简单排队系统,特殊排队系统,休假排队系统及可修排队系统。纵观所有排队系统的模型,无非是系统的三个组成部分分别为不同情况时,进行的排列组合,并由此导致排队系统的数量指标的计算公式不一致。无论是何种排队系统,其研究实质都是如何平衡等待时间

李春晓毕业论文之排队论模型及其应用

排队论模型及其应用 摘要：排队论是研究系统随机服务系统和随机聚散现象工作过程中的的数学理论和方法，又叫随机服务的系统理论，而且为运筹学的一个分支。又主要称为服务系统，是排队系统模型的基本组成部分。而且在日常生活中，排队论主要解决存在大量无形和有形的排队或是一些的拥挤现象。比如：学校超市的排队现象或出行车辆等现象，。排队论的这个基本的思想是在1910年丹麦电话工程师埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始逐渐形成的。后来，他在热力学统计的平衡理论的启发下，成功地建立了电话的统计平衡模型，并由此得到了一组呈现递推状态方程，从而也导出著名的埃尔朗电话损失率公式。 关键词：出行车辆；停放；排队论；随机运筹学 引言：排队论既被广泛的应用于服务排队中，又被广泛的应用于交通物流领域。在服务的排队中到达的时间和服务的时间都存在模糊性，例如青岛农业大学歌斐木的人平均付款的每小时100人，收款员一小时服务30人，因此，对于模糊排队论的研究更具有一些现实的意义。然而有基于扩展原理又对模糊排队进行了一定的分析。然而在交通领域，可以非常好的模拟一些交通、货运、物流等现象。对于一个货运站建立排队模型，要想研究货物的一个到达形成的是一个复合泊松过程，每辆货车的数量为W，而且不允许货物的超载，也不允许不满载就发车，必须刚刚好，这个还是一个具有一般分布装车时间的一个基本的物流模型。 一．排队模型 排队论是运筹学的一个分支，又称随机服务系统理论或等待线理论，是研究要求获得某种服务的对象所产生的随机性聚散现象的理论。它起源于A.K.Er-lang的著名论文《概率与电话通话理论》。 一般排队系统有三个基本部分组成]1[： （1）输入过程： 输入过程是对顾客到达系统的一种描述。顾客是有限的还是无限的、顾客相继到达的间隔时间是确定型的也可能是随机型的、顾客到达是相互独立的还是有关联的、输入过程可能是平稳的还是不平稳的。 （2）排队规则： 排队规则是服务窗对顾客允许排队及对排队测序和方式的一种约定。排队规则可以分为3种制式： a 损失制系统------顾客到达服务系统时，如果系统中的所有服务窗均被占用，则顾客即时离去，不参与排队，因为这种服务机制会失掉许多顾客，故称损失制系统； b 等待制系统------顾客到达服务系统时，虽然发现服务窗均忙着，但系统设有场地供顾客排队等候之用，于是到达系统的顾客按先后顺序进行排队等候服

基于排队论模型的收费站优化设计

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/e96338463.html, 基于排队论模型的收费站优化设计 作者：刘昕岳丁韩旭杨佳琪 来源：《科学家》2017年第15期 摘要本文从形状、尺寸、组合等因素入手，以减少等待时间与不必要的费用为目的，设计了一个新型高速公路收费站。首先，在系统稳态的基础上，运用排队论模型建立收费站车辆行为模型的基本模型。其次，利用元胞自动机算法模拟了四种不同轮廓下的交通流，并分析了它们对拥塞的抵抗能力。最后，进行了遗传算法优化分析，最大限度地提高了吞吐量，降低了成本，提出一种新型的具有双重停车和互惠共享车道的高速公路收费站方案。 关键词排队论模型；元胞自动机算法；遗传算法；高速公路收费站 中图分类号 TP2 文献标识码 A 文章编号 2095-6363（2017）15-0010-01 随着经济不断发展，人们的日常生活节奏不断加快，需要避免把时间浪费在不必要的事情上，比如等待排队，应该花更多的时间去创造更多的价值。基于这样的社会背景，有必要系统地评估高速公路收费站设计。众所周知，高速公路收费站总是浪费时间。除了司机在等待收费亭的时间浪费，如果车辆迅速增加，更容易造成交通堵塞（瓶颈）。如何合理的设计收费站是一个急需解决的问题。 1 排队论模型建立 排队论模型中，车到达一个单次和连续到达的时间间隔服从负指数分布的参数λ。系统中有s服务站。每个服务站的服务时间是相互独立的，服从参数m的负指数分布。当顾客到达时，如果有免费服务台，第一辆车将立即接受服务，否则汽车将排队等候。且等待的时间是无限的。 下面讨论了这个排队系统的平滑分布。本文认为，在系统达到稳定状态后，队列长度n的概率分布等于（n=1，2，…）。设收费站数目为B。 通过公式推导表明，繁忙收费站平均数目并不取决于收费站数目B。 λn=λ，n=0，1，2，… 相关文献给出了在平衡条件下系统中车辆数为n的概率。当收费广场的车辆数目超过或等于收费站的数目，返回的车辆必须等候。 继续推导得到平均队列长度： LB=平均队列长度+被送达车辆的平均数=Lq+p

数学建模港口问题_排队论

排队模型之港口系统 本文通过排队论和蒙特卡洛方法解决了生产系统的效率问题，通过对工具到达时间和服务时间的计算机拟合，将基本模型确定在//1 M M排队模型，通过对此基本模型的分析和改进，在概率论相关理论的基础之上使用计算机模拟仿真（蒙特卡洛法）对生产系统的整个运行过程进行模拟，得出最后的结论。好。关键词：问题提出： 一个带有船只卸货设备的小港口，任何时间仅能为一艘船只卸货。船只进港是为了卸货，响铃两艘船到达的时间间隔在15分钟到145分钟变化。一艘船只卸货的时间有所卸货物的类型决定，在15分钟到90分钟之间变化。 那么，每艘船只在港口的平均时间和最长时间是多少 若一艘船只的等待时间是从到达到开始卸货的时间，每艘船只的平均等待时间和最长等待时间是多少 卸货设备空闲时间的百分比是多少 船只排队最长的长度是多少 问题分析： | 排队论：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。本题研究的是生产系统的效率问题，可以将磨损的工具认为顾客，将打磨机当做服务系统。【1】 M M：较为经典的一种排队论模式，按照前面的Kendall记号定义，前//1 面的M代表顾客(工具)到达时间服从泊松分布，后面的M则表示服务时间服从负指数分布，1为仅有一个打磨机。 蒙特卡洛方法：蒙特卡洛法蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神

排队论模型

排队论模型 研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方 法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。 日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。排队论的基本思想是1910年丹麦电话工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。自20世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式。30年代苏联数学家А.Я.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。50年代初， 美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论 基础。在这以后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。 排队系统模型的基本组成部分 排队系统又称服务系统。服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）

都是随机的。图1为一最简单的排队系统模型。排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。 输入过程 输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n（t）服从一定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为 排队规则 排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都被占用，则顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，

排队论例题

排队论例题 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

几种典型的排队模型 （1）M/M/1///FCFS 单服务台排队模型 系统的稳态概率n P 01P ρ=-，/1ρλμ=<为服务强度；(1)n n P ρρ=-。 系统运行指标 a.系统中的平均顾客数（队长期望值） 0.s n i L n P λμλ∞=== -∑； b.系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值） 0(1).q n i L n P ρλμλ ∞==-= -∑； c.系统中顾客停留时间的期望值 1[]s W E W μλ == -； d.队列中顾客等待时间的期望值 1q s W W ρμμλ=- =-。 (2) M/M/1/N//FCFS 单服务台排队模型 系统的稳态概率n P 011,11N P ρρρ+-= ≠-； 11,1n n N P n N ρρρ +-=<- 系统运行指标 a ．系统中的平均顾客数（队长期望值） b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值） c ．系统中顾客停留时间的期望值 d ．队列中顾客等待时间的期望值 。1q s W W μ=- (3) M/M/1//m/FCFS （或M/M/1/m/m/FCFS ）单服务台排队模型 系统的稳态概率n P 00 1!()()!m i i P m m i λμ==-∑； 0!(),1()!n n m P P n m m n λμ=≤≤- 系统运行指标 a ．系统中的平均顾客数（队长期望值） b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值） c ．系统中顾客停留时间的期望值

排队论模型

排队论模型 随机服务系统理论是研究山顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，乂称排队论。排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设讣与性能估价，等等。随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。 排队论模型及其在医院管理中的作用 每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。排队论就是对排队进行数学研究的理论。在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。山于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队儿乎是不可避免的。但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。 一.医院系统的排队过程模型 医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复朵的。如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。 图1医院系统的多级排队过程模型 二、排队系统的组成和特征 一般的排队系统都有三个基本组成部分： 1.输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。 2.排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗, 在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。排队的列数还分单列和多列。 3.服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的; 服务时间的分布与时间有关或无关。 三、排队模型的分类方法

MMN排队系统建模与仿真

. 《系统仿真与matlab》综合试题....................... 错误!未定义书签。 M/M/N 排队系统的模拟仿真 (1) 摘要 (1) 1. 问题分析 (3) 2. 模型假设 (4) 3. 符号说明 (5) 4. 模型准备 (5) 4.1 排队系统的组成和特征 (5) 4.1.1输入过程 (6) 4.1.2排队规则 (6) 4.1.3服务过程 (7) 4.1.4排队系统的主要指标 (7) 4.2输入过程与服务时间的分布 (8) 4.2.1负指数分布 (8) 4.2.2泊松分布 (8) 4.3生灭过程 (9) 5. 标准M/M/N模型 (11) 5.1多服务台模型准备 (11) 5.2多服务台模型建立 (12) 5.2.1服务利用率 (12) 5.2.2平均排队长 (13) 5.2.3平均队长 (13)

5.2.4平均等待时间 (14) 6. 程序设计 (14) 6.1动画流程图 (14) 6.2 M/M/N流程图 (15) 7. 程序运行实例介绍 (16) 7.1动画实例讲解 (16) 7.2M/M/N排队系统实例讲解 (18) 8. 程序实现难点和模型评价 (21) 8.1程序实现难点 (21) 8.2模型评价 (21) 9. 参考文献 (21) 10. 附录 (22) 10.1动画实现的核心程序 (22) 10.2 M/M/N模型计算主要程序 (32) M/M/N 排队系统的模拟仿真 摘要

排队是在日常生活中经常遇到的事，由于顾客到达和服务时间的随机性，使得排队不可避免。因此，本文建立标准的M/M/N模型，并运用Matlab软件，对M/M/N排队系统就行了仿真，从而更好地深入研究排队问题。 问题一，基于顾客到达时间服从泊松分布和服务时间服从负指数分布，建立了标准的M/M/N模型。运用Matlab软件编程，通过输入服务台数量、泊松分布参数以及负指数分布参数，求解出平均队长、服务利用率、平均等待时间以及平均排队长等重要指标。然后，分析了输入参数与输出结果之间的关系。得出当服务台数增加时，几个参数都会变小的结论。 问题二，为了更加清晰地反映出实际排队过程。本文通过运用Matlab软件编程，制作了M/M/1排队过程的动画仿真，通过输入泊松分布参数以及负指数分布参数来模拟不同情况下的排队过程。通过仿真动画，可以看到明显的等待和排队过程。 问题三，为了清晰地展示程序执行的效果以及程序功能的使用方法。本文特意制作了程序运行指南，并做了程序运行实例分析。通过详细地介绍，使读者能更好地理解M/M/N模型以及如何使用该仿真程序。 最后，对建立的M/M/N模型做了评价，并提出了一些改进的思路。同时，指

MMN排队系统建模与仿真

《系统仿真与matlab》综合试题...................... 错误！未定义书签。 M/M/N 排队系统的模拟仿真 (1) 摘要 (1) 1. 问题分析 (2) 2. 模型假设 (2) 3. 符号说明 (3) 4. 模型准备 (3) 4.1 排队系统的组成和特征 (3) 4.1.1输入过程 (4) 4.1.2排队规则 (4) 4.1.3服务过程 (4) 4.1.4排队系统的主要指标 (5) 4.2输入过程与服务时间的分布 (5) 4.2.1负指数分布 (5) 4.2.2泊松分布 (5) 4.3生灭过程 (6) 5. 标准M/M/N模型 (8) 5.1多服务台模型准备 (8) 5.2多服务台模型建立 (9) 5.2.1服务利用率 (9) 5.2.2平均排队长 (9) 5.2.3平均队长 (10) 5.2.4平均等待时间 (10) 6. 程序设计 (11) 6.1动画流程图 (11) 6.2 M/M/N流程图 (12) 7. 程序运行实例介绍 (13) 7.1动画实例讲解 (13) 7.2M/M/N排队系统实例讲解 (14) 8. 程序实现难点和模型评价 (17) 8.1程序实现难点 (17) 8.2模型评价 (17) 9. 参考文献 (17) 10. 附录 (17) 10.1动画实现的核心程序 (17) 10.2 M/M/N模型计算主要程序 (22)

M/M/N 排队系统的模拟仿真 摘要 排队是在日常生活中经常遇到的事，由于顾客到达和服务时间的随机性，使得排队不可避免。因此，本文建立标准的M/M/N模型，并运用Matlab软件，对M/M/N排队系统就行了仿真，从而更好地深入研究排队问题。 问题一，基于顾客到达时间服从泊松分布和服务时间服从负指数分布，建立了标准的M/M/N模型。运用Matlab软件编程，通过输入服务台数量、泊松分布参数以及负指数分布参数，求解出平均队长、服务利用率、平均等待时间以及平均排队长等重要指标。然后，分析了输入参数与输出结果之间的关系。得出当服务台数增加时，几个参数都会变小的结论。 问题二，为了更加清晰地反映出实际排队过程。本文通过运用Matlab软件编程，制作了M/M/1排队过程的动画仿真，通过输入泊松分布参数以及负指数分布参数来模拟不同情况下的排队过程。通过仿真动画，可以看到明显的等待和排队过程。 问题三，为了清晰地展示程序执行的效果以及程序功能的使用方法。本文特意制作了程序运行指南，并做了程序运行实例分析。通过详细地介绍，使读者能更好地理解M/M/N模型以及如何使用该仿真程序。 最后，对建立的M/M/N模型做了评价，并提出了一些改进的思路。同时，指出了程序实现的难点等问题。 关键词：M/M/N排队系统泊松分布负指数分布动画模拟仿真